Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương

Đề tài này trình bày một chứng minh đầy đủ và ngắn gọn cho định lí Gauss-Bonnet, một định lí đặc sắc của Hình học vi phân, nêu lên mối liên hệ giữa tính hình học vi phân và tính tôpô, tuy nhiên, kết quả này lại bị bỏ qua trong Chương trình mới dành cho sinh viên Khoa Toán-Tin, cũng như học viên cao học. Chứng minh dựa hoàn toàn vào định lí Stokes. Mời các bạn cùng tham khảo!

HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Sciences, 2021, Volume 66, Issue 1, pp 3-11 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2021-0001 CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ GAUSS-BONNET ĐỊA PHƯƠNG Trần Đức Anh Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt Chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ ngắn gọn cho định lí Gauss-Bonnet, định lí đặc sắc Hình học vi phân, nêu lên mối liên hệ tính hình học vi phân tính tơpơ, nhiên, kết lại bị bỏ qua Chương trình dành cho sinh viên Khoa Toán-Tin, học viên cao học Chứng minh dựa hồn tồn vào định lí Stokes Từ khóa: Gauss-Bonnet, độ cong Gauss, độ cong trắc địa, hình học vi phân, dạng liên kết, định lí Stokes Mở đầu Định lí Gauss-Bonnet kết đặc sắc hình học vi phân cổ điển, nêu lên mối liên hệ tính hình học vi phân mặt khả vi (hay đa tạp hai chiều) với đặc trưng tơpơ Do tính chất quan trọng định lí mà khóa học Hình học vi phân giới đề cập tới định lí Trước đây, khoa Tốn-Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội sử dụng giáo trình [1] tác giả Đồn Quỳnh, đó, nội dung định lí Gauss-Bonnet đề cập tới Hiện nay, chương trình đào tạo thay đổi kể từ Khóa 64 (năm 2014), nhiều môn học phải thay đổi lại thời lượng kiến thức, nên số mục trở thành kiến thức tự đọc bỏ qua, có định lí Gauss-Bonnet Giáo trình [2] đời nhằm phục vụ nhu cầu Mặc dù giáo trình [2] trình bày theo tinh thần [1] với nhiều diễn giải gọn gàng dễ hiểu cho sinh viên, nhiên, định lí Gauss-Bonnet khó tiếp cận với đại trà sinh viên học viên cao học gặp khó khăn đọc chứng minh Điều ảnh hưởng phần tới việc tiếp thu tốn học trình độ cao nhiều học viên cao học Trong viết này, viết lại đầy đủ chứng minh định lí Gauss-Bonnet, phiên địa phương (cũng phiên quan trọng nhất, phiên tồn cục hệ quả), đồng thời giải thích chi tiết kí hiệu tính tốn, chỗ khó mà người học gặp Ngày nhận bài: 10/3/2021 Ngày sửa bài: 19/3/2021 Ngày nhận đăng: 26/3/2021 Tác giả liên hệ: Trần Đức Anh Địa e-mail: ducanh@hnue.edu.vn Trần Đức Anh Nội dung nghiên cứu 2.1 Kiến thức chuẩn bị Trước phát biểu định lí Gauss-Bonnet địa phương, ta cần chuẩn bị số kiến thức Các khái niệm sử dụng lấy từ giáo trình [1, 2] Định nghĩa 2.1 Cho S mặt quy định hướng R3 c : [0, l] → S ánh xạ liên tục từ đoạn [0, l] vào S Ta nói c cung tham số đơn, đóng, quy khúc nếu: (i) c(0) = c(l), (ii) Với t1 = t2 ∈ [0, l), ta có c(t1 ) = c(t2 ) (iii) Tồn phân hoạch = t0 < t1 < t2 < < tk = l [0, l] cho c quy đoạn [ti , ti+1 ] với i = 0, 1, , k − Trong đó, quy nghĩa khả vi đạo hàm c′ (t) = với t Ảnh c, tức tập hợp c [0, l] , gọi đường cong đơn quy khúc Tại điểm ti , tính quy c đoạn, nên tồn đạo hàm trái phải ti , kí hiệu c′ (ti −) c′ (ti +) lưu ý hai vector = Nếu hai vector c′ (ti −) = c′ (ti +) c(ti ) gọi đỉnh c Do S mặt định hướng được, nên góc c′ (ti −), c′ (ti +) góc định hướng có số đo góc θi nằm (−π, π) Góc θi gọi góc ngồi c đỉnh c(ti ) Giả sử c : [0, l] → S đường cong quy khúc nằm tham số hóa r : U → S, tức ảnh c [0, l] ⊂ r(U ), U tập mở R2 Mỗi điểm U kí hiệu (u, v), vector ru′ , rv′ vector đạo hàm riêng r theo u, v Do S định hướng được, nên ta đòi hỏi r phải tương thích với hướng S, tức ru′ ∧ rv′ xác định trường pháp tuyến S, hay góc định hướng ru′ rv′ phải góc dương, ngược chiều kim đồng hồ Khi đó, đoạn [ti , ti+1 ], ta định nghĩa hàm liên tục ϕi : [ti , ti+1 ] → R cho ϕ(t) ≡ ru′ , c′ (t) (mod 2π) với t ∈ (ti , ti+1 ), đó, ta hiểu vector ru′ vector phương trục hoành xác định điểm c(t) Hàm ϕi (t) gọi hàm góc c Định lí sau cần thiết chứng minh định lí Gauss-Bonnet Định lí 2.1 (Định lí quay tiếp tuyến, hay cịn gọi Umlaufsatz) Với kí hiệu trên, ta có: k−1 k−1 θi = ±2π ϕi (ti+1 ) − ϕi (ti ) + i=0 i=0 Trong đó, dấu cộng hay trừ phụ thuộc vào hướng c Cụ thể hướng dương hướng ngược chiều kim đồng hồ, hướng âm thuận chiều kim đồng hồ Độc giả tham khảo chứng minh định lí trang 250 396 [3] trang 24-26 [4] Bây giờ, ta phát biểu định lí Gauss-Bonnet địa phương sau: Định lí 2.2 (Định lí Gauss-Bonnet địa phương) Cho S ⊂ R3 mặt quy định hướng Giả sử D ⊂ S miền đơn vi phôi với đĩa mở R2 có biên ∂D đường cong Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương đơn quy khúc, tham số hóa c : [0, l] → S Giả sử c định hướng dương θ0 , θ1 , , θk−1 góc ngồi c kí hiệu kg độ cong trắc địa c S K độ cong Gauss S Khi ta có: k−1 l θi = 2π KdS + kg ds + D i=0 2.2 Một số kết cần thiết cho chứng minh Ta tiếp cận chứng minh định lí Gauss-Bonnet thơng qua định lí Stokes, đây, ta phát biểu định lí Stokes dạng cần thiết cho chứng minh Định lí 2.3 (Định lí Stokes) Cho S đa tạp hai chiều compact có bờ định hướng ω 1-dạng vi phân khả vi S Khi đó, ω= dω S ∂S Chứng minh định lí xem trang 161-162 [5] trang 59-60 [6] Ta nhắc lại định nghĩa tích phân dạng vi phân trường hợp cụ thể có ích chứng minh định lí Gauss-Bonnet Giả sử ∂S tham số hóa tồn cục c : I → ∂S I khoảng đoạn R, tức S = c(I) ∂S\c(I) gồm hữu hạn điểm Ta yêu cầu thêm c phải tương thích với hướng ∂S Khi đó, ω(c′ (t))dt ω= I ∂S Tương tự, giả sử r : U → S tham số hóa tồn cục tương thích với hướng S, dω = S U dω(ru′ , rv′ )du dv Trong trường hợp khơng có tham số hóa tồn cục ta bắt buộc phải sử dụng phân hoạch đơn vị, công thức tính tốn cốt yếu * Ý tưởng chứng minh Định lí 2.2 Đầu tiên, ta chuyển đổi tích phân D KdS thành tích phân theo 2-dạng vi phân, kí hiệu tạm η Sau đó, ta tìm nguyên dạng η, tức 1-dạng vi phân ω cho η = dω Từ áp dụng định lí Stokes kết thúc chứng minh Định nghĩa 2.2 Cho c : I → S cung tham số quy từ khoảng I ⊂ R vào mặt quy định hướng S ⊂ R3 kí hiệu n trường pháp tuyến đơn vị xác định hướng S Giả sử c tham số hóa tự nhiên, tức |c′ (s)| = với s ∈ I kí hiệu t(s) = c′ (s), n(s) = n(c(s)), g(s) = n(s) ∧ t(s) Khi đó, ba {t, g, n} gọi trường mục tiêu Darboux dọc c Độ cong trắc địa c điểm c(s), kí hiệu kg (s), kg (c(s)) cần làm rõ điểm c(s), cho công thức kg (s) = t′ (s), g(s) Trần Đức Anh Định nghĩa 2.3 Cho U1 , U2 , , Un trường mục tiêu khả vi Rn kí hiệu D đạo hàm trường vector Rn , gọi liên thông Rn Định nghĩa D sau: Cho α vector tiếp xúc tới Rn điểm p ∈ Rn , cho X trường vector quanh p Giả sử ρ : I → Rn cung tham số khả vi thỏa mãn ρ(t0 ) = p ρ′ (t0 ) = α với t0 ∈ I Khi đó, d dt Dα X = X(ρ(t)) ∈ Tp Rn t=t0 Thay viết Dα X, ta viết DX ngầm hiểu có vector tiếp xúc α Bây giờ, đạo hàm trường mục tiêu U1 , U2 , , Un , ta thu n ωij Uj DUi = j=1 ωji 1-dạng vi phân, gọi dạng liên kết tới trường mục tiêu U1 , U2 , , Un Định lí 2.4 (Phương trình cấu trúc Rn ) Cho U1 , U2 , , Un trường mục tiêu Rn kí hiệu θ , θ , , θ n trường đối mục tiêu tương ứng (tức θ i 1-dạng vi phân Rn thỏa mãn θ i (Uj ) = δij với δij kí hiệu Kronecker) Khi ta có hai phương trình sau, gọi phương trình cấu trúc Rn (a) n ωji ∧ θ j với i = 1, 2, , n dθ i = − j=1 (b) n dωji = − ωki ∧ ωjk với i, j k=1 Chứng minh định lí xem trang 61-63 [1] 2.3 Chứng minh Định lí 2.2 * Bước Chuyển đổi tích phân D KdS thành tích phân dạng vi phân Giả sử U1 , U2 trường mục tiêu trực chuẩn S tương thích với hướng S Nhắc lại: n trường pháp tuyến đơn vị xác định hướng S Khi đó, ta mở rộng tập xác định U1 , U2 , n lên tập mở chứa S cho U1 , U2 , n trường mục tiêu trực chuẩn tập mở R3 Khi đó, ta thu dạng liên kết ωji trường mục tiêu coi U3 = n kí hiệu α vector tiếp xúc Khi đó, theo định nghĩa dạng liên kết, ta có ωji (α) = Dα Uj , Ui Do Ui , Uj vng góc với i = j nên = Dα Ui , Uj = Dα Ui , Uj + Ui , Dα Uj Do đó, dạng liên kết ωji = −ωij , tức có tính phản đối xứng Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương Tiếp theo ta có DU1 n = ω31 (U1 )U1 + ω32 (U1 )U2 DU2 n = ω31 (U2 )U1 + ω32 (U2 )U2 Do đó, độ cong Gauss K = ω31 (U1 )ω32 (U2 ) − ω31 (U2 )ω32 (U1 ) = (ω31 ∧ ω32 )(U1 , U2 ) Như ta suy ω31 ∧ ω32 = Kθ ∧ θ , mà θ ∧ θ lại dạng diện tích tắc (Thuật ngữ theo Giáo trình [1] trang 166, đồng thời xem thêm trang 248, mục 2.2.1.) S, nghĩa ω31 ∧ ω32 Kθ ∧ θ2 = KdS = D D D ω31 ω32 ∧ * Bước Tìm nguyên dạng Theo phương trình cấu trúc thứ hai Định lí 2.4, ta có: dω21 = −ω31 ∧ ω23 = ω31 ∧ ω32 Như vậy, ω21 nguyên dạng ω31 ∧ ω32 Do đó, tích phân KdS = D D dω21 = ∂D ω21 = l ω21 (c′ (t))dt Để tiện trình bày, ta giả sử c tham số hóa tự nhiên, tức |c′ (s)| = với s ∈ [0, l], viết lại tích phân KdS = D D dω21 = ∂D ω21 = l ω21 (c′ (s))ds ω21 (c′ (s)) * Bước Xác định mối liên hệ với độ cong trắc địa c c(s) ′ Do vector c (s) vector đơn vị, nên ta viết c′ (s) = cos ϕ(s)U1 (c(s)) + sin ϕ(s)U2 (c(s)) với ϕ(s) hàm góc Định nghĩa 2.1 Lưu ý ϕ định nghĩa đoạn [si , si+1 ] tồn [0, l] Khi đó, ta có t′ (s) = c′′ (s) = ϕ′ (s) − sin ϕ(s)U1 (c(s)) + cos ϕ(s)U2 (c(s)) + =g(s) + cos ϕ(s)Dc′ (s) U1 + sin ϕ(s)Dc′ (s) U2 = ϕ′ (s)g(s) + cos ϕ(s) ω12 (c′ (s))U2 (c(s)) + ω13 (c′ (s))n(s) + + sin ϕ(s) ω21 (c′ (s))U1 + ω23 (c′ (s))n(s) Trần Đức Anh Do đó, độ cong trắc địa kg (s) = t′ (s), g(s) = ϕ′ (s) + ω12 (c′ (s)) Như ω21 (c′ (s)) = ϕ′ (s) − kg (s) * Bước Kết thúc chứng minh Ta có: l ω21 (c′ (s))ds = l (ϕ′ (s) − kg (s))ds Theo Định lí 2.1, ta có k−1 l ′ ϕ (s)ds = 2π − θi i=0 với θi góc ngồi c (xem Định nghĩa 2.1) Do ta chứng minh xong định lí Gauss-Bonnet địa phương 2.4 Bình luận giải thích thêm số kí hiệu tính tốn 2.4.1 Tầm quan trọng định lí Gauss-Bonnet địa phương Từ định lí này, ta chứng minh định lí Gauss-Bonnet (tồn cục), cụ thể tích phân S KdS, với S đa tạp hai chiều compact có hướng, đặc trưng Euler S Để chứng minh điều đó, ta cần kết khó tơpơ, đa tạp hai chiều tam giác phân (xem Định lí 2.3.A.1, trang 37-39 [7]) Định lí cho phép chứng minh tổng góc n−giác mặt phẳng (n − 2)π Thật vậy, mặt phẳng, độ cong Gauss K ≡ cạnh đa giác đường trắc địa nên độ cong trắc địa ≡ Ta suy tổng góc ngồi n−giác 2π, mà có n góc Do đó, tổng góc n−giác nπ − 2π = (n − 2)π Nhờ định lí này, nhiều phần kiến thức quan trọng Mơn hình học nhóm biến đổi [8] trở nên dễ hiểu hơn, ví dụ áp dụng định lí Gauss-Bonnet cho mơ hình hình học khác hình học elliptic, hyperbolic, hình học đĩa nửa phẳng Poincare Điều đặc biệt có ý nghĩa, mơn học mang tinh thần học thuật đại 2.4.2 Giải thích kí hiệu tích phân kg ds Giáo trình [1] [2] quy ước: cung tham số tham số hóa tự nhiên ta sử dụng chữ s để kí hiệu tham số Điều vơ tình gây lẫn lỗn với tích phân kg ds trên, khiến người học nghĩ phải chuyển tham số hóa tự nhiên tính tích phân Thực chất, ds phần tử độ dài, tức độ đo xác định đường cong Ta phác lại cách định nghĩa độ dài đường cong Giả sử ta có cung tham số c : I → Rn với I khoảng R Xét đoạn [a, b] ⊂ I Khi đó, độ dài cung tham số c từ c(a) tới c(b) định nghĩa thông qua xấp xỉ đường gấp Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương khúc Tức là, xét phân hoạch a = t0 < t1 < t2 < < tk = b, ta tính tổng độ dài k−1 −−−−−−−→ |c(ti )c(ti+1 )| i=0 Khi bước nhảy phân hoạch trở nên nhỏ giá trị tổng tiến tới giới hạn giới hạn gọi độ dài c từ c(a) tới c(b) Nhiều giáo trình (trong có [1, 2]) định nghĩa độ dài nêu cơng thức chứng minh, nên người học nhiều không hiểu chất kí hiệu tính tốn −−−−−−−→ Ta xét phần tử |c(ti )c(ti+1 )| = |c(ti+1 ) − c(ti )| Theo cơng thức Taylor, ta có |c(ti+1 ) − c(ti )| ≈ |c′ (ti )|(ti+1 − ti ) Đại lượng ti+1 − ti số gia kí hiệu dt Như vậy, kí hiệu dt tích phân số cụ thể, mà đại diện cho số gia ti+1 − ti , tức đại diện cho q trình Do đó, độ dài c từ c(a) tới c(b) tích phân b |c′ (t)|dt a Như vậy, |c′ (t)|dt đại diện cho độ dài đường gấp khúc kí hiệu ds Đấy chất kí hiệu ds tích phân khơng liên quan tới tham số hóa tự nhiên 2.4.3 Giải thích kí hiệu tích phân S KdS Cũng giống trên, kí hiệu dS khơng liên quan tới mặt S kí hiệu dS phần tử diện tích mặt, tức độ đo mặt S Cách xác định chất thơng qua việc xấp xỉ mặt S tứ giác Cụ thể sau: Giả sử r : U → S tham số hóa Do U tập mở R2 nên ta chia U thành lưới hình chữ nhật nhỏ Khi đó, diện tích r(U ) xấp xỉ thông qua diện tích tứ giác mà đỉnh ảnh lưới U qua r Tuy nhiên, ta khơng có tứ giác nghĩa, khơng có đảm bảo tính đồng phẳng điểm R3 Vì vậy, việc xấp xỉ diện tích thực cách chia đơi "tứ giác" thành tam giác, tính diện tích bình thường Ta giả sử (x, y) nút lưới, (x + h, y), (x, y + k), (x + h, y + k) nút lân cận tạo thành hình chữ nhật R2 , với h, k nhỏ Diện tích tam giác dựng ba điểm r(u, v), r(u + h, v), r(u, v + k) −−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−−→ |r(u, v)r(u + h, v) ∧ r(u, v)r(u, v + k)| ≈ |hru′ (u, v) ∧ krv′ (u, v)| 2 = hk|ru′ ∧ rv′ | Các đại lượng h, k số gia du, dv Do đó, phần tử diện tích dS có biểu diễn qua tham số r dS = |ru′ ∧ rv′ |du dv Điều giải thích cách định nghĩa tích phân mặt quy nêu giáo trình [2] trang 108 [1] trang 166 Các định nghĩa nêu nhiều giáo trình nước ngồi khơng làm bật chất định nghĩa Trần Đức Anh 2.4.4 Về định lí quay tiếp tuyến Chứng minh định lí kỹ thuật gồm hai phiên bản: Phiên cho đường cong R2 , phiên thứ hai cho đường cong đa tạp chiều có hướng Phiên thứ hai đòi hỏi khái niệm dịch chuyển song song, khái niệm độc đáo Hình học vi phân, nên người học khơng dễ tiếp thu phần Trong giáo trình [1], trang 282, GS Đồn Quỳnh tránh định lí cách "biến dạng" metric S thành metric phẳng, độ cong Gauss triệt tiêu giản lược tính tốn Đó kĩ thuật thú vị hình học vi phân Trong sách Pressley [9] trang 344 có trình bày đoạn chứng minh kỹ thuật "trơn hóa" đỉnh đường cong c Kỹ thuật có ích cho trực giác người học 2.4.5 Về Định lí Gauss-Bonnet địa phương giáo trình [2] Định lí Gauss-Bonnet giáo trình [2] phát biểu cho đa tạp chiều compact Rn nên có tính tổng quát so với định lí Gauss-Bonnet phát biểu Tuy nhiên, mục đích chúng tơi chứng minh chất liệu quen thuộc với sinh viên học viên cao học trường ĐHSP Hà Nội Ví dụ định lí Stokes nằm học phần Đa tạp vi phân thuộc mơn chung tồn học viên cao học ngành Tốn Chứng minh có lẽ lấy từ chứng minh [3], kỹ thuật Chứng minh cố gắng quy tích phân D KdS hệ số dạng thứ thứ hai mặt S dạng đạo hàm phức tạp, để sau áp dụng định lí Green-Ostrogradski Chính thiếu tự nhiên động lực để chúng tơi viết chứng minh khác mà cho tự nhiên hơn, dễ tiếp cận cho người học Chứng minh chúng tơi hồn tồn tổng qt hóa dễ dàng cho định lí Gauss-Bonnet tổng quát Nhưng điều quan trọng người học cảm thấy dễ tiếp thu trở nên u thích mơn Tốn học 2.4.6 Định lí Gauss-Bonnet giáo trình [1] Định lí Gauss-Bonnet giáo trình GS Đồn Quỳnh phát biểu cho tam giác cong, điều tiện cho trực giác người học Chứng minh mà chúng tơi trình bày quay lại với ý tưởng thực đó, chi tiết nhiều Giáo trình GS Đồn Quỳnh có mật độ kiến thức dày, điều kiện thời trước, nên việc trình bày trích dẫn có nhiều khó khăn Điều khiến cho sinh viên học viên cao học khơng dễ hiểu trọn vẹn kết quan trọng Điều thúc đẩy chúng tơi viết để bổ sung tư liệu học tập cho sinh viên học viên cao học Đồng thời khẳng định [1] tài liệu giá trị, cần nghiên cứu nghiêm túc, qua người học thụ đắc thêm nhiều kiến thức toán học Kết luận Trong viết này, đưa chứng minh chi tiết định lí Gauss-Bonnet thơng qua sử dụng định lí Stokes, đồng thời điểm khó chứng minh giáo trình mà sinh viên cao học viên gặp phải Qua đó, viết góp phần làm tư liệu học tập có giá trị cho sinh viên học viên cao học 10 Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Đồn Quỳnh, 2001 Hình học Vi phân NXB Giáo Dục Việt Nam (tái lần thứ nhất) Nguyễn Doãn Tuấn (chủ biên), Sĩ Đức Quang, Nguyễn Thị Thảo, 2017 Giáo trình Hình học Vi phân NXB Đại học Sư phạm (in lần hai) Do Carmo, Manfredo P., 2016 Differential geometry of curves and surfaces Dover Publications, Inc., Mineola, NY, xvi+510 pp ISBN: 978-0-486-80699-0; 0-486-80699-5 Klingenberg, Wilhelm, 1978 A course in differential geometry Translated from the German by David Hoffman Graduate Texts in Mathematics, Vol 51 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, xii+178 pp ISBN: 0-387-90255-4 Nguyễn Văn Đoành, 2015 Đa tạp Khả vi NXB Đại học Sư phạm (in lần thứ hai) Aubin, Thierry, 2001 A course in differential geometry Graduate Studies in Mathematics, 27 American Mathematical Society, Providence, RI, xii+184 pp ISBN: 0-8218-2709-X Jost, Jăurgen, 2006 Compact Riemann surfaces An introduction to contemporary mathematics Third edition Universitext Springer-Verlag, Berlin xviii+277 pp ISBN: 978-3-540-33065-3; 3-540-33065-8 Trần Văn Tấn, 2018 Hình học nhóm biến đổi NXB Đại học Sư phạm Pressley, Andrew, 2010 Elementary differential geometry Second edition Springer Undergraduate Mathematics Series Springer-Verlag London, Ltd., London, xii+473 pp ISBN: 978-1-84882-890-2 ABSTRACT A proof of Gauss-Bonnet theorem - Local version Tran Duc Anh Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Education We present a short proof with details for the local Gauss-Bonnet theorem, a deep result in differential geometry, which shows a connection between differential geometric and topological aspects However, this theorem is left to students according to the new programme in our faculty The main idea in the proof makes use of Stokes’ theorem Keywords: Gauss-Bonnet, Gaussian curvature, geodesic curvature, differential geometry, associated forms, Stokes’ theorem 11 ... tham khảo chứng minh định lí trang 250 396 [3] trang 24-26 [4] Bây giờ, ta phát biểu định lí Gauss-Bonnet địa phương sau: Định lí 2.2 (Định lí Gauss-Bonnet địa phương) Cho S ⊂ R3 mặt quy định hướng... cần thiết cho chứng minh Ta tiếp cận chứng minh định lí Gauss-Bonnet thơng qua định lí Stokes, đây, ta phát biểu định lí Stokes dạng cần thiết cho chứng minh Định lí 2.3 (Định lí Stokes) Cho... (xem Định nghĩa 2.1) Do ta chứng minh xong định lí Gauss-Bonnet địa phương 2.4 Bình luận giải thích thêm số kí hiệu tính tốn 2.4.1 Tầm quan trọng định lí Gauss-Bonnet địa phương Từ định lí này,