Bài 5 KHẢO sát DAO ĐỘNG điều hòa BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTO QUAY

CHƯƠNG BÀI 5: KHẢO SÁT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTO QUAY Mục tiêu  Kiến thức + Phát biểu công thức tổng hợp hai dao động điều hòa phương tần số + Viết điều kiện để hai dao động gặp xa  Kĩ + Biểu diễn dao động điều hòa vecto quay + Sử dụng thành thạo máy tính để giải nhanh tốn tổng hợp dao động điều hịa + Vẽ hình giản đồ vecto hai chất điểm dao động gặp cách xa + Giải tập dao động điều hòa A TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Tổng hợp dao động điều hòa phương pháp vecto quay Biểu diễn dao động điều hòa vecto quay Như ta biết, dao động điều hòa tượng tự nhiên, trình nghiên cứu tượng, cần “ghi lại” Có nhiều cách thực việc ghi lại dao động điều hịa, có cách ta cần lưu ý:  Ghi lại dao động điều hòa phương trình lượng x  A cos  t    giác :  Ghi lại chuyển động tròn  Ghi lại vecto quay Trong phép ghi dao động điều hòa vecto quay, thay điểm M chuyển động tròn chuyển động quay vecto OM Hình chiếu P vecto M xuống trục Ox dao động điều hịa cần biểu diễn Trang  Phép biểu diễn vecto quay có số đặc điểm sau:  Độ dài vecto biên độ A dao động Ví dụ:  Tốc độ góc quay vecto tần số góc  Biểu diễn vecto quay dao động dao động  Góc ban đầu pha ban đầu  dao động   x1  cos  3t   cm 3  Như vậy, chất, biểu diễn vecto quay khơng khác so với biểu diễn chuyển động tròn   x  3cos  t   cm 6  Tổng hợp hai dao động điều hòa phương tần số Khi chất điểm tham gia đồng thời nhiều dao động điều hịa phương, tần số dao động chất điểm dao động tổng hợp Trường hợp đơn giản chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có phương trình: x1  A1 cos  t  1  x  A cos  t  2  , để tìm phương trình dao động (tổng hợp) chất điểm, có hai cách:  Cộng lượng giác: x  x1  x , cách tiện dụng tổng hợp hai dao động biên độ  Cộng vecto quay: Biểu diễn dao động thành phần thành vecto, vecto tổng biểu diễn dao động tổng hợp chất điểm, A  A1  A Phương pháp cộng vecto trực quan, dễ hiểu, nên trình bày chi tiết hình vẽ Dao động tổng hợp chất điểm dao động điều hịa tần số, có dạng x  A cos  t    , đó:  A  A12  A 22  2A1A cos  2  1   tan   A1 sin 1  A sin 2 A1 cos 1  A cos 2 Trang Một số trường hợp đặc biệt cần lưu ý:  Hai dao động thành phần pha: A  A1  A    1  2  Hai dao động thành phần ngược pha: A  A1  A   1 A1  A2   2 A1  A2  Hai dao động thành phần vuông pha: A  A12  A22  Trong trường hợp, ta ln có bất đẳng thức: A1  A  A  A1  A 2 Dùng phép tính số phức để giải tốn dao động điều hòa Biểu diễn dao động điều hòa tọa độ cực số phức Cho dao động điều hịa có phương trình li độ x  A cos  t    biểu diễn vecto quay A Ta ghi lại vecto A nhiều cách: Ví dụ: Xét dao động điều hịa có   phương trình x  cos  t   , 3  biểu diễn vecto mơ tả hình vẽ:    Ghi tọa độ điểm ngọn:  x, y  x  Acos  Biểu diễn tọa độ Đề-các:  x, y   2, hoành độ, y  Asin  tung độ  Ghi tọa độ cực dạng: A Biểu diễn tọa độ cực: A  4  Trang  Ghi số phức: x  yi với x phần thực (hoành Biểu diễn số phức: x  yi   3i độ) y phần ảo (tung độ) Ví dụ: Các cách biểu diễn hoàn toàn tương đương nhau, biết x1  A1 cos  t  1   A11 cách dễ dàng suy cách lại x  A cos  t  2   A 2 Ứng dụng quan trọng phép biểu diễn dạng tọa độ cực biểu diễn số phức sử dụng máy tính điện tử x1  x  A11  A22  x  yi để tổng hợp nhanh dao động điều hòa phép cộng số  A  x  A cos  t    phức đơn giản Tổng hợp nhanh dao động điều hịa máy tính điện tử Trong máy tính điện tử, chế độ tính tốn số phức (COMPLEX) cho phép sử dụng hỗn hợp hai dạng biểu diễn tọa độ cực số phức Kết tính tốn ln trả dạng số phức, dễ dàng chuyển đổi sang tọa độ cực Khi sử dụng máy tính để tính tốn số phức, ta cần lưu ý hai điểm sau (đúng cho máy tính CASIO fx-570ES Plus máy tính thơng dụng thị trường):  Chuyển máy sang chế độ góc tính Radian:  SHIFT MODE  Chuyển máy tính toán số phức: MODE  Hiển thị kết dạng tọa độ cực: SHIFT   Hiển thị kết dạng số phức: SHIFT   Để tổng hợp hai dao động điều hòa phép tính số phức, ta làm sau:  Biểu diễn dao động thành phần dạng tọa độ cực (hoặc số phức) Cộng hai tọa độ cực (hoặc hai số phức) ta thu kết số phức biểu diễn cho dao động tổng hợp, chuyển số phức sang tọa độ cực, viết phương trình dao động tổng hợp Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Biểu diễn dao động điều hịa Quy tắc tổng hợp dao động Biểu diễn vecto Biểu diễn tọa độ cực x : A Quy tắc cộng vecto Phương pháp tổng hợp vecto Tổng hợp hai dao động phương tần số: x  x1  x Giải nhanh máy tính cầm tay Áp dụng công thức Cách sử dụng Bấm máy tính: A  A  A  2A1A cos  2  1  Dùng máy tính cộng hai tọa độ cực: x  A11  A22 2  MODE → nhập liệu dạng phức A sin 1  A sin 2 tan   A1 cos 1  A cos 2  SHIFT → hiển thị kết dạng tọa độ cực II CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 1: Tổng hợp hai dao động điều hịa Phương pháp giải Xét hai dao động thành phần x1  A1 cos  t  1  Ví dụ: Một vật đồng thời thực hai dao động dao động x  A cos  t  2  Dao động tổng hợp hai dao động có dạng: x  A cos  t    điều hòa phương, biểu thức có dạng   x1  3cos  2t    cm  ; 3  Vậy để tìm phương trình dao động tổng hợp ta   x  cos  2t    cm  Tìm phương trình dao 6  cần tìm A  động tổng hợp? Cách 1: Áp dụng cơng thức tính: Hướng dẫn giải - Tìm A: A  A12  A 22  2A1A cos  2  1  Cách 1: Áp dụng cơng thức túy: Phương trình dao động tổng hợp có dạng x  A cos  2t    - Biên độ tổng hợp: A  A12  A 22  2A1A cos  2  1  Trang - Tìm  : tan   A1 sin 1  A sin 2 A1 cos 1  A cos 2 - Pha ban đầu  thỏa mãn:     4sin    A sin 1  A sin 2  6 tan     A1 cos 1  A cos 2   3cos  cos     6 3sin    0,12rad Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES Plus: Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x  5cos  2t  0,12  cm  Dao động tổng hợp: Cách 2: Sử dụng máy tính để giải nhanh: x  x1  x  A11  A22  A Dao động tổng hợp:    x  x1  x  3  4     A  6 Sử dụng máy tính để bấm: Bước 1: Bấm MODE chuyển chế độ số Bước 1: Bấm MODE chuyển chế độ số phức phức Bước 2: Bấm SHIFT MODE để tính góc theo rad, SHIFT MODE để tính góc theo độ Bước 3: Nhập số liệu bấm Bước 2: Bấm SHIFT MODE chuyển chế độ rad Bước 3: Nhập vào máy tính Kết hiển thị dạng A , từ tìm    SHIFT    SHIFT  Màn hình hiển thị 50,12 biểu thức dao động tổng hợp Tức A  5cm   0,12rad Chú ý: Vậy phương trình dao động tổng hợp + Ở bước ta để máy chế độ góc theo đơn vị x  5cos  2t  0,12  cm  A1 SHIFT    1  A SHIFT    2 SHIFT  SHIFT    radian hay độ nhập góc 1 , 2 nhập theo đơn vị đo + Khi tổng hợp nhiều dao động, ta sử dụng Cách cách bấm máy tính kết nhanh Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hịa phương, Với khơng có phương trình là:   x1  cos  6t    cm  3  cho biết độ lệch pha hai dao động Trang x  3cos  6t    cm  Biên độ dao động tổng hợp nhận giá trị ta ý đến điều kiện sau: nào? A cm B cm C 12 cm A1  A  A  A1  A D 15 cm Hướng dẫn giải Vì biên độ dao động tổng hợp thuộc khoảng A1  A  A  A1  A Trong toán ta có 4cm  A  10cm Chọn B Ví dụ 2: Một vật đồng thời thực hai dao động điều hòa phương, biểu  2    thức có dạng x1  cos  2t    cm  x  cos  2t    cm  Phương 6    trình dao động tổng hợp là:   A x  cos  2t    cm  6    B x  cos  2t    cm  3    C x  cos  2t    cm  6    D x  cos  2t    cm  3  Hướng dẫn giải Cách 1: Áp dụng cơng thức: Phương trình dao động tổng hợp có dạng x  A cos  2t    Biên độ tổng hợp: A  A12  A 22  2A1A cos  2  1   2cm  2  1.sin A sin 1  A sin 2      rad  tan     A1 cos 1  A cos 2 3 cos  1.cos 3 sin   Vậy phương trình dao động tổng hợp x  cos  2t    cm  3  Cách 2: Sử dụng máy tính để giải nhanh:  2  A Dao động tổng hợp: x  x1  x  3  1 Sử dụng máy tính để bấm: Bấm MODE chuyển chế độ số phức Bấm SHIFT MODE chuyển chế độ rad Nhập vào máy tính: SHIFT     2  SHIFT    SHIFT  Màn hình hiển thị 2  Trang Tức A  2cm      Vậy phương trình dao động tổng hợp x  cos  2t    cm  3  Chọn B Ví dụ 3: Một vật đồng thời tham gia ba dao động phương, tần số có phương trình dao động   x1  cos  2t   cm ; 3    x  cos  2t   cm ; x  A3 cos  2t  3  cm Phương trình dao động tổng 6    hợp có dạng x  cos  2t   cm Tính biên độ pha ban đầu dao động 6  thành phần thứ ba?  A cm;  rad C cm; B cm;  rad  rad  D cm;  rad Hướng dẫn giải Ta có: x  x1  x  x  x  x  x1  x  6     3  4  A33 6 Sử dụng máy tính để bấm: Bấm MODE chuyển chế độ số phức Bấm SHIFT MODE chuyển chế độ rad Nhập: hình hiển thị 8 Vậy A3  8cm; 3    rad Chọn A Ví dụ 4: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa phương,   tần số có phương trình dao động x1  cos  5t   cm ; 6    x  cos  5t   cm Tốc độ cực đại vật trình dao động 6  A 20 cm/s B 50 cm/s C 40 cm/s D 10 cm/s Hướng dẫn giải Trang Dựa vào phương trình hai dao động x1 x ta thấy hai dao động pha nên biên độ dao động tổng hợp A  A1  A2    10cm Khi tốc độ cực đại vật trình dao động vmax  A  10.5  50 cm/s Chọn B Ví dụ 5: Cho vật m  200g tham gia đồng thời dao động điều hòa   phương tần số với phương trình x1  sin  20t   cm 2  5   x  cos  20t   cm Độ lớn hợp lực tác dụng lên vật thời điểm    t s 120 A 0,2 N B 0,4 N C 20 N D 40 N Hướng dẫn giải  5    x1  sin  20t    cos  20t  ; x  cos  20t   2    Sử dụng máy tính để tổng hợp dao động ta được: x  x1  x  30  2 5   1   Vậy phương trình dao động tổng hợp: x  cos  20t   cm 2    Phương trình gia tốc: a  2 x  400 cos  20   cm/s 2  Tại t         200 cm/s  m/s s ta có: a  400 cos  20 120 2 120  Độ lớn hợp lực tác dụng lên vật thời điểm t   s: 120 F  ma  0, 2.2  0,  N  Chọn B Ví dụ 6: Hai dao động điều hịa có đồ thị li độ - thời gian hình vẽ Tổng vận tốc tức thời hai dao động có giá trị lớn A 48 cm/s B 2 cm/s C 14 cm/s D 100 cm/s Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy điểm cao đồ thị nét liền có tọa độ x1max  8cm  A1  8cm điểm cao đồ thị nét đứt có tọa độ Trang x 2max  6cm  A2  6cm Ở thời điểm t  : x1  0, x  A  x1 x vuông pha với Suy biên độ dao động tổng hợp: A  A12  A22  62  82  10cm → Tổng vận tốc tức thời cực đại: vmax  A   A12  A22  10.10  100 cm/s Chọn D Bài toán 2: Tìm cực trị tốn tổng hợp dao động điều hịa Phương pháp giải Để tìm cực trị tốn tổng hợp dao Ví dụ: Cho hai phương trình dao động điều hịa động điều hịa ta có cách làm: phương tần số   x1  A1 cos  4t   cm ; 6  có phương trình x  A cos  4t    cm Phương trình dao động tổng hợp x  cos  4t    cm Tính giá trị A1 để biên độ A2 có giá trị cực đại? Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng phương pháp giản đồ vecto Bước 1: Từ phương trình biết, biểu diễn Cách 1: Bước + 2: Vẽ giản đồ vecto: thành vecto hình vẽ Bước 2: Dùng quy tắc tổng hợp hình bình hành để xác định vecto thiếu Bước 3: Áp dụng định lý hàm sin cosin tam giác để tìm mối quan hệ đại lượng rút đại lượng cần tìm Bước 3: Dựa vào giản đồ vecto Áp dụng định lý hàm số sin cho OAA2 : A2 A A sin    A2  (1)   sin  sin sin 6 Suy A 2max   sin  max     Khi đó: A  Định lý hàm sin: a b c   sin A sin B sin C Định lý hàm cosin: a  b2  c2  2bccos A  A  2A  18cm Tam giác OAA2 vng A nên ta có: A12  92  A22  A1  A22  92  cm Trang 10 A   A1  8sin   sin 60 sin  A1max    90  A  64  48  cm Chọn D Ví dụ 3: Cho hai dao động điều hịa phương với phương trình x1  A1 cos  t  0,35  cm x  A cos  t  1,57  cm Dao động tổng hợp hai dao động có phương trình x  20 cos  t    cm Giá trị cực đại  A1  A  gần giá trị sau đây? A 40 cm B 20 cm C 25 cm D 35 cm Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp giản đồ vecto: A A A  A1 A 20     sin1, 22 sin  sin  sin1, 22 sin   sin   A1  A  20  sin   sin   sin1, 22  A  A1  40       cos  sin  sin1, 22  2   40.sin 0,96     cos  34,89cos sin1, 22 2 Khi    cos      A1  A max  34,89 cm Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Độ lệch pha dao động   0,35   1,57   1,92 rad Ta có: A2  A12  A22  2A1A2 cos1,92  202  A12  A 22  0, 68.A1A  400   A1  A   2, 68A1A  A1A 2  A  A2    400 2, 68 Theo bất đẳng thức Cô-si có: 2A1A  A12  A 22  4A1A   A1  A   A  A2  4 2, 68  40   A1  A  2   A1  A   34,8   A1  A max  35 Trang 13 Chọn D Bài tập tự luyện Câu 1: Hai dao động điều hịa phương, tần số, có phương trình dao động     x1  3cos  t   cm x  3cos  t   cm Biên độ dao động tổng hợp hai dao động 4 4   A cm B cm C cm D cm   Câu 2: Hai dao động phương có phương trình, x1  5cos 100t   cm 3    x  12 cos 100t   cm Dao động tổng hợp hai dao động có biên độ bằng: 3  A cm B 13 cm C 17 cm D 109 cm Câu 3: Hai dao động điều hòa phương, tần số vuông pha Tại thời điểm t giá trị tức thời hai li độ cm cm Giá trị li độ tổng hợp thời điểm là: A 10 cm B 14 cm C cm D 12 cm Câu 4: Dao động tổng hợp hai dao động điều hòa phương, tần số có phương trình li độ 5     x  3cos  t   cm Biết dao động thứ có phương trình li độ x1  5cos  t   cm Dao động  6   thứ hai có phương trình li độ là: 5   A x  cos  t   cm     B x  8cos  t   cm 6    C x  cos  t   cm 6  5   D x  8cos  t   cm   Câu 5: Dao động vật tổng hợp hai dao động thành phần phương, tần số có   phương trình x1  4,8cos 10 2t  cm x  A cos 10 2t   cm Biết tốc độ vật thời   điểm động lần 0,3 m/s Biên độ A2 A 6,4 cm B 3,2 cm C 3,6 cm D 7,2 cm Câu 6: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hòa phương, tần số, có phương trình dao động x1  cos  5t  1  cm; x  3cos  5t  2  cm Gia tốc cực đại lớn mà vật đạt là? A 250cm/s2 B 25m/s2 C 2,5cm/s2 D 0, 25m/s2 Câu 7: Một vật có khối lượng 200g tham gia đồng thời hai dao động điều hòa tần số, phương     có li độ x1  cos 10t   cm; x  8cos 10t   cm (t tính s) Mốc vị trí cân 2 6   Cơ vật A 113 mJ B 225 mJ C 169 mJ D 57 mJ Trang 14 Câu 8: Một vật tham gia đồng thời dao động thành phần chu kì, phương Biên độ dao động thành phần dao động tổng hợp Cho biết phương trình dao động tổng hợp   x  cos 100t   cm Phương trình hai dao động thành phần 6      A x1  cos 100t   cm x  cos 100t   cm 2 6       B x1  cos 100t   cm x  cos 100t   cm 3 6     C x1  cos 100t   cm 3    D x1  cos 100t   cm 2  Câu 9: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hòa phương theo phương trình   x1  3cos  4t   cm x1  A cos  4t  cm Biết động vật phần ba lượng 2  dao động vật có tốc độ cm/s Biên độ A2 bằng: A 1,5 cm B cm C cm D 3 cm Câu 10: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hịa phương, tần số có phương trình  13    x1  3cos 10t   cm x  cos 10t   cm Dao động tổng hợp có phương trình 6      A x  cos 10t   cm 6  7   B x  10 cos 10t   cm     C x  10 cos  20t   cm 6    D x  10 cos 10t   cm 6  Câu 11: Cho ba dao động điều hòa phương tần số góc có phương trình là:       x1  cos  20t   cm; x  cos  20t   cm; x  8cos  20t   cm Một vật thực đồng 6 3 2    thời ba dao động Tìm phương trình dao động tổng hợp   A x  cos  20t   cm 6    B x  cos  20t   cm 6    C x  3cos  20t   cm 6    D x  3cos  20t   cm 6  Câu 12: Dao động vật tổng hợp hai dao động điều hòa phương có phương trình x1  8sin  t    cm  x  cos  t  cm  Biên độ dao động vật 12 cm thì: A    rad  B    rad C   0rad D    rad Trang 15 Câu 13: Cho vật m  200g tham gia đồng thời hai dao động điều hòa phương, tần số với  5    phương trình x1  sin  20t   cm x  cos  20t   cm Độ lớn gia tốc vật 2     thời điểm t  s là: 120 A m/s2 B m/s2 C 0, m/s2 D 0, m/s2 Câu 14: Dao động vật tổng hợp hai dao động điều hịa phương, có phương trình lần     lượt là: x1  cos  20t   x  8cos  20t   (với x tính cm, t tính s) Khi qua vị trí có 2 6   li độ 12 cm, tốc độ vật bằng: A 100 cm/s B 200 cm/s C 100 m/s D 50 cm/s Câu 15: Cho hai dao động điều hòa phương: x1  cos  4t  1  cm, x  cos  4t  2  cm Với    2  1   Biết phương trình dao động tổng hợp x  cos  4t   cm Pha ban đầu 1 : 6  A  B   C  D   Câu 16: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hịa phương với phương trình dao 5   động thành phần x1  sin  2t   cm x  cos  2t  cm Phương trình dao động   chất điểm   A x  8sin  2t   cm 3    B x  cos  2t   cm 3    C x  cos  2t   cm 6    D x  8cos  2t   cm 6  Câu 17: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa phương, tần số, có phương  2    trình x1  cos  t   cm x  cos  t   cm Phương trình dao động chất điểm 4    A x  4,3cos  t  1, 23 cm B x  4,3cos  t  0,57  cm C x  8,9 cos  t  1, 23 cm D x  8,9 cos  t  0,57  cm Câu 18: Hai dao động điều hòa phương, tần số có biên độ A1  8cm, A2  15cm lệch pha A 23 cm  Dao động tổng hợp hai dao động có biên độ B cm C 11 cm D 17 cm Câu 19: Dao động tổng hợp hai dao động điều hòa phương, tần số có phương trình li độ 5  5    x  3cos  t   cm Biết dao động thứ có phương trình li độ x1  5cos  t   cm , dao động     thứ hai có phương trình li độ 5   A x  8cos  t   cm   5   B x  cos  t   cm   Trang 16   C x  8cos  t   cm 6    D x  cos  t   cm 6  Câu 20: Khi tổng hợp hai dao động điều hịa phương tần số có biên độ thành phần cm cm biên độ tổng hợp cm Hai dao động thành phần A vng pha với C lệch pha góc B pha với  D lệch pha góc  B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI CHẤT ĐIỂM I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khoảng cách hai dao động tần số Xét chất điểm dao động điều hòa tần số trục Ox, quanh vị trí cân gốc O, với phương trình x1  A1 cos  t  1  x  A cos  t  2  Trong trình dao động, hai chất điểm cách đoạn   x1  x Biểu diễn hai dao động vecto quay A1 , A ta Cạnh   A12  A 22  2A1A cos  2  1  có giá trị khơng đổi thấy tam giác OA1A2 khơng bị biến dạng q trình quay Khoảng cách hai chất điểm  hình chiếu  xuống trục Ox Khoảng cách hai chất điểm cực đại max   Giá trị đạt đoạn  song song với trục Ox Thời điểm hai chất điểm xa Khoảng cách hai chất điểm xa max    song song với trục Ox A1 quay góc   1x1  1 Thời điểm xa lần đầu tiên: t x1    Khi tam giác OA1A2 quay góc 180 tương đương với thời gian T khoảng cách hai chất điểm lại xa lần tiếp theo, thời điểm xa lần thứ n là: Trang 17 t xn  t x1   n  1 T 1x1  1 T    n  1  Hai chất điểm gặp Hai chất điểm gặp nhau, khoảng cách chúng ( x1  x ) đoạn  vng góc với trục Ox vị trí gặp Từ thời điểm ban đầu đến thời điểm gặp lần đầu, chất điểm thứ quay   1G1  1 thời điểm: t G1  góc   Ví trí chất điểm gặp lần thứ nhất: x G1  A1 cos 1G1 Từ thời điểm gặp lần thứ nhất, sau thời gian T hai chất điểm lại gặp vị trí đối ứng với vị trí gặp trước qua gốc tọa độ: xG2  xG1 Thời điểm hai vật gặp lần thứ n là: t Gn  t G1   n  1 T 1G1  1 T    n  1  Trang 18 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Hai chất điểm gặp Khi  vng góc với Ox Hai chất điểm xa Khi  song song với Ox Vị trí tương đổi hai chất điểm dao động điều hòa Khoảng cách lớn nhất: max    x G1  A1 cos 1G1 Vị trí:   x G   x G1  A12  A 22  2A1A cos  2  1  Thời điểm:   t x1  1x1  t xn  : Khoảng cách hai chất điểm   x1  x Thời điểm: t G1  1G1  1  t Gn  t G1   n  1 T  t x1   n  1 T II CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Khoảng cách hai dao động tần số Phương pháp giải  Để tìm khoảng cách hai dao động x1 x Ví dụ: Hai chất điểm dao động điều hòa trục ta ý rằng: khoảng cách hai dao động x1 Ox với O vị trí cân theo phương trình  5    x   x x  x1  x  A cos  t    x1  cos  2   cm; x  cos  2t   cm     Giả thiết trình dao động hai chất điểm khơng va chạm vào Tìm khoảng cách hai chất điểm thời điểm t  3,5s ? Để tìm khoảng cách d, ta làm theo bước Hướng dẫn giải sau: Bước 1: Tại thời điểm t  3,5s , li độ x1 x Bước 1: Tìm x    Do x  x1  x nên coi x dao  x1  cos  2.3,5    1cm    là:  động tổng hợp hai dao động x1   x   x  cos  2.3,5  5   cm      Trang 19 Vậy ta có hai cách để tìm x dùng cơng thức Suy x  x  x  1   cm  bấm máy tính giống tốn Chú ý: Nếu cho rõ thời gian t ta thay trực tiếp t vào phương trình x1 x , từ xác định x1 , x x Bước 2: Vậy khoảng cách chất điểm thời Bước 2: Tìm  điểm t là:   x    cm  Sử dụng công thức   x để tìm đại lượng đề yêu cầu * Tìm khoảng cách lớn hai chất điểm: Ví dụ: Cho hai chất điểm dao động điều hịa Áp dụng cơng thức: trục Ox với phương trình li độ max    A12  A 22  2A1A cos  2  1      x1  3cos  5t   cm x  3cos  5t   cm 6 2   Hoặc bấm máy tính tìm biên độ A dao động x * Tìm thời điểm hai chất điểm xa nhất: Tính từ thời điểm ban đầu t  , thời điểm hai chất điểm xa lần bao nhiêu? Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách xa hai chất điểm Bước 1: Tìm khoảng cách lớn nhất: Cách 1: Áp dụng công thức:      max    32  32  2.3.3.cos        3 cm    Cách 2: Bấm máy tính:    x  3  3  3    A  3 cm Bước 2: Vẽ hình thời điểm t x1   // Ox  tìm Bước 2: Vẽ hình: góc 1x1 Ta có: Độ lệch pha x1 x 1  2  2 A1   2  5     rad  1x1    sin  sin 2 6 Bước 3: Tìm thời điểm xa lần đầu tiên: Bước 3: Thời điểm xa lần đầu tiên: Trang 20 t x1   1x1  1    5   1x1  1 t x1   6  s  5 15 Bước (Nếu có): Tìm thời điểm xa lần thứ n: t xn  t x1   n  1 T 1x1  1 T    n  1  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hịa trục Ox với O vị trí cân   theo phương trình x1  cos  t   cm ; 3  Khoảng cách lớn hai chất điểm biên 5   x  cos  t   cm Giả thiết trình dao động hai chất điểm độ dao động   x  x1  x không va chạm vào Tìm khoảng cách lớn hai chất điểm trình dao động chúng? A cm B cm C cm D cm Hướng dẫn giải Khoảng cách hai chất điểm:   x1  x Mà ta có:     x1  cos  t         x1  x  A cos  t      max    A   x  cos  t  5       Tức khoảng cách lớn biên độ dao động tổng hợp từ hai dao động x1   x  : Cách 1: Sử dụng công thức:   A12  A 22  2A1A cos  1  2    5   22   2.2.2 cos     cm 3    Cách 2: Sử dụng máy tính: Nhập vào máy tính: SHIFT     5  SHIFT    SHIFT  70,714 Suy A  cm Chọn B Ví dụ 2: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trục Ox quanh vị trí cân chung gốc O, với phương trình dao động Trang 21     x1  cos  2t   cm x  cos  2t   cm Tính từ thời điểm ban 2 6   đầu t  , thời điểm mà hai chất điểm xa lần thứ xấp xỉ A 5,148 s B 2,486 s C 2,648 s D 5,418 s Hướng dẫn giải Khoảng cách lớn hai dao động:        62  92  2.6.9cos        19 cm    Độ lệch pha hai dao động:   1  2  2 Tại thời điểm t x1 có: A2 A 19     sin   0,596  sin  sin sin  sin 2 3    0,64rad  1x1      2,5rad Thời điểm hai chất điểm xa lần đầu tiên: t x1  1x1  1  0,148s  Lần thứ hai chất điểm xa vào thời điểm: t x  t x1  T  2, 648s Chọn C Bài toán 2: Bài toán hai chất điểm gặp Phương pháp giải Ví dụ: Cho hai chất điểm dao động điều hịa trục Ox, quanh vị trí cân O, với phương trình  2    x1  3cos  3t   cm ; x  cos  3t   cm 6    Tính từ thời điểm ban đầu t  , thời điểm vị trí li độ hai chất điểm gặp lần Trang 22 A 0,27 s 4,2 cm B 0,72 s –4,2 cm C 0,21 s –2,4 cm Để tìm vị trí thời điểm hai chất điểm gặp nhau, ta làm theo bước sau: D 0,12 s 2,4 cm Hướng dẫn giải Bước 1: Tìm khoảng cách lớn hai chất Bước 1: Khoảng cách lớn hai chất điểm:   2    32  42  2.3.4cos     5cm 6  điểm  Bước 2: Vẽ hình minh họa thời điểm t G1 hai chất Bước 2: điểm gặp từ hình vẽ tìm pha x1 1G1 Độ lệch pha hai dao động: 2     Từ hình vẽ ta có: tan   Bước 3: Áp dụng công thức: Thời điểm gặp lần thứ n: t Gn  t G1   n  1 T 1G1  1 T    n  1  Vị trí gặp lần thứ n: x Gn  A1 cos 1G1 (Dựa vào hình vẽ để xác định dấu xGn )    0, 6435 rad  1G1  2, 498 rad Bước 3: Thời điểm gặp lần thứ nhất:   t G1  1G1   2, 498  3   0, 21s Ví trí li độ hai chất điểm gặp nhau: x G  3cos    2, 498   2, cm Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trục Ox quanh vị trí cân chung O, với phương trình dao động     x1  8cos  0,5t   cm x  cos  0,5t   cm Tính từ thời điểm 6 3   ban đầu t  , vị trí li độ thời điểm mà hai chất điểm gặp lần thứ Trang 23 A 4,8 cm 6,257 s B –4,8 cm 6,257 s C 2,4 cm 4,257 s D –4,8 cm 4,257 s Hướng dẫn giải Độ lệch pha hai dao động:         3 Khoảng cách cực đại hai dao động:   82  62  10cm Từ hình vẽ ta có: tan 1G1   1G1  0,927 rad Từ vị trí ban đầu đến vị trí gặp lần đầu vật quay góc:   0,927    0, 4037 rad Thời gian gặp lần đầu tiên: t G1  0, 4037  0, 257s 0,5 Vị trí gặp lần đầu tiên: x G1  8cos0,927  4,8cm Lần thứ 4: Thời gian: t G  t G1  T  0, 257  3.2  6, 257s Vị trí: xG4  x G1  4,8cm Chọn B Ví dụ 2: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa   2  2  t  , với phương, có phương trình li độ x1  8cos  t   x  cos  2    x1 x tính cm, t tính s Tại thời điểm mà x1  x gia tốc chúng âm li độ dao động tổng hợp A 9,6 cm B 10,38 cm C –9,6 cm D –10,38 cm Hướng dẫn giải Hai dao động vuông pha với Để gia tốc âm x1  x  nên ta có hình vẽ: Trang 24 Ta có tan   A2   tọa độ dao động có x1  x : A1 x G  x1  x  A2 cos   4,8cm Vậy li độ dao động tổng hợp lúc này: x  x1  x  2x G  9,6cm Chọn A Ví dụ 3: Hai chất điểm m1 m2 dao động điều hòa với chu kì giây, dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân m1 m2 đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Trong q trình dao động, khoảng cách lớn m1 m2 theo phương Ox cm Tính từ thời điểm hai vật gặp nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn khoảng cách chúng cm A s B s C s D s Hướng dẫn giải Tần số góc dao động:   2   rad/s T Khoảng cách lớn hai chất điểm theo phương Ox cm nên phương trình khoảng cách có dạng:   cos  t    Thời điểm hai vật gặp x1  x suy        biểu Trang 25 diễn hai điểm G1 G Khi khoảng cách cm   3cm   max nên biểu diễn bốn điểm N1, N2 , N3 , N4 vòng tròn Từ vòng tròn ta thấy khoảng thời gian ngắn tương ứng với quay cung Chọn D Bài tập tự luyện Câu 1: Hai chất điểm dao động điều hòa tần số hai trục Ox Oy vng góc với (O vị trí cân hai chất điểm) Biết phương trình dao động hai chất điểm     x  cos  5t   cm y  cos  5t   cm Khi chất điểm thứ có li độ x  cm 2 6   theo chiều âm khoảng cách hai chất điểm là: A cm B 15 cm C 39 cm D cm Câu 2: Hai chất điểm dao động điều hòa trục tọa độ Ox, coi trình dao động hai   chất điểm khơng va chạm vào Biết phương trình dao động hai vật x  cos  6t   cm 2    x1  5cos  6t   cm Trong trình dao động khoảng cách lớn hai vật là: 3  A cm B 10 cm C 7,5 cm D cm Câu 3: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trục Ox quanh vị trí cân chung O:     x1  cos  t   cm; x  cos  t   cm Tính từ lúc t  , khoảng cách xa hai chất điểm 2 6   trình dao động thời điểm hai chất điểm xa lần thứ A 8,7 cm; 6,3 s B 10,4 cm; 6,3 s C 8,7 cm; 6,2 s D 7,8 cm; 6,2 s Câu 4: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trục Ox với phương trình dao động     x1  3cos  5t   cm x  3cos  5t   cm Tính từ lúc t  , thời điểm hai chất điểm gặp 6 2   lần A s B 0,1 s C s 15 D s 30 Câu 5: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trục Ox, quanh vị trí cân O, với phương trình     x1  8cos  4t   cm x  cos  4t   cm Tính từ lúc t  , thời điểm hai chất điểm 3 6   xa lần A s 12 B s C s D s 24 Trang 26 Câu 6: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trục Ox với phương trình     x1  3cos  5t   cm x  3cos  5t   cm Tính từ lúc t  , thời điểm hai chất điểm xa 6 2   lần thứ 10 A 29 s 15 B s 15 C 32 s 15 D 56 s 15 ĐÁP ÁN A TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ 1-D 2-D 3-B 4-D 5-C 6-A 7-C 8-A 9-D 10 - D 11 - A 12 - D 13 - B 14 - A 15 - D 16 - C 17 - C 18 - D 19 - D 20 - A B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI CHẤT ĐIỂM 1-A 2-A 3-B 4-D 5-A 6-A Trang 27 ... diễn vecto quay có số đặc điểm sau:  Độ dài vecto biên độ A dao động Ví dụ:  Tốc độ góc quay vecto tần số góc  Biểu diễn vecto quay dao động dao động  Góc ban đầu pha ban đầu  dao động ... phức để giải tốn dao động điều hịa Biểu diễn dao động điều hòa tọa độ cực số phức Cho dao động điều hịa có phương trình li độ x  A cos  t    biểu diễn vecto quay A Ta ghi lại vecto A nhiều... II CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Tổng hợp hai dao động điều hòa Phương pháp giải Xét hai dao động thành phần x1  A1 cos  t  1  Ví dụ: Một vật đồng thời thực hai dao động dao động x  A cos