Tuyển tập đề thi kỹ sư tài năng môn toán

LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG 2011 cu u du o ng th an co ng Mơn Tốn c om Tuyển tập đề thi Kĩ Sư Tài Năng Hà Nội, 22-8-2011 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Thông báo về: Lớp Ôn kiến thức thi Kĩ Sư Tài Năng - Đại Học Bách Khoa Hà Nội Đầu tiên: Gsttvn xin chúc mừng tất em HS đỗ vào Đại học Bách Khoa Hà Nội, em đạt điểm cao có giải HSG Quốc gia Các em có hội thi vào lớp Tài Năng – hệ đào tạo tốt Đại học Bách Khoa Hà Nội Để giúp em ơn luyện Tốn Lý để có chuẩn bị tốt cho kì thi Tài Năng: Gsttvn group tổ chức lớp ôn luyện Tốn Lý cho em Cụ thể: Đăng kí: Tên: Lương Văn A Quê: VD: Ninh Bình SĐT: 01 Email: fdgg@gmail.com Gửi : thienctnb@gmail.com or nhắn tin: SĐT 01663788126 ng c om Địa điểm: Số nhà 4, ngõ 93, Bùi Xương Trạch, p- Khương Đình, Thanh Xuân, HN Thời gian: Bắt đầu: Thứ ngày 24/8 - Sáng 9h - 11h: Vật Lý - Chiều: 2h - 4h: Toán (Lịch tiếp update sau - qua email SĐT em) Mơn Tốn: du o  ng th an co Tài liệu: (phục vụ trình học) Các em cung cấp “Bộ tài liệu ôn thi Kĩ Sư Tài Năng – 2011” bao gồm: Đầy đủ chuyên đề Toán Lý, dạng tập hay thi Lời giải chi tiết đề thi Toán Lý tất năm trước, Đề thi mới, đề thi thử + kèm lời giải (Đây tài liệu tuyệt hay, tất vừa sáng tác Anh(chị) nhóm Gsttvn) Giáo viên: Là anh (chị) sinh viên lớp KSTN – K55 cu u Trần Vũ Trung – KSTN – ĐKTĐ – K55 (Giảng viên Tốn chính) Nguyễn Tuấn Linh - KSTN – ĐTVT – K55 Phạm Văn Cường – KSTN – ĐTVT – K55  Môn Lý: Trịnh Văn Sơn – KSTN – ĐTVT – K55 (Giảng viên Lý chính) Kim Đình Sơn - CNTT – K55 Nguyễn Xuân Ngọc – KSTN – CĐT – K55 Nguyễn Tuấn Linh -– KSTN – ĐTVT – K55 Trần Đình Thiêm – KSTN – ĐKTĐ – K55 Mục tiêu: Hướng dẫn em chuẩn bị kiến thức Tốn Lý tốt để vượt qua kì thi khó khăn Đồng thời truyền đạt kinh nghiệm ôn thi, làm thi anh chị trước, đặc biệt kĩ cho hạn chế tối đa sai sót khơng đáng tiếc Thực tế cho thất: nhiều bạn làm chưa có điểm Nội dung: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kiến thức Mơn Tốn: Hàm liên tục + Giới hạn hàm số tính liên tục + Các định lý hàm liên tục đoạn (khoảng) đóng Hàm khả vi c om + Giới hạn hàm số tính khả vi + Đạo hàm hàm hằng, hàm hàm hợp + Cực trị hàm số + Các định lý giá trị trung gian hàm khả vi Dãy số co ng + Bài toán cần xác định công thức số hạng tổng quát + Bài toán cần xác định giới hạn dãy số truy hồi Phương pháp ánh xạ co + Bài toán dãy số xác định thơng qua phép tốn dãy số Phương trình hàm th an + Phương pháp + Phương trình hàm dạng Cauchy ng Tích phân du o + Các kĩ thuật tính tốn, biến đổi: Đổi biến, tích phân phần + Bất đẳng thức tích phân u Các toán rời rạc khác: BĐT, hình học tổ hợp, tổ hợp, phương trình,… cu Kiến thức Môn Lý: Cơ học Dao động cơ, sóng Quang hình Điện học (dịng điện xoay chiều) Sóng ánh sáng Vật lý Hạt nhân Mọi thông tin thắc mắc xin gửi về: Anh: Lương Văn Thiện - KSTN-ĐTVT K55 mail: thienctnb@gmail.com SĐT:01663788126 Cuối xin chúc tất em có ôn luyện tốt đạt kết mong muốn kì thi này! CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ Sư Tài Năng – 1999 Bài 1, Khảo sát biến thiên hàm số f(x) xác định toàn R, cho: 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 𝑥+ 𝑘𝑕𝑖 𝑥 ≠ 𝑘𝑕𝑖 𝑥 = c om 1+ 𝑒𝑥 Bài 2, Tìm số thực 𝑎, 𝑏 , 𝑐 thỏa mãn điều kiện 𝑎 − 2𝑏 + 3𝑐 − 16 = cho biểu thức: 𝐹 = 2𝑎2 + 2𝑏2 + 2𝑐 − 4𝑎 − 4𝑏 − 4𝑐 + 15 an Bài 3, Chứng minh phương trình: co ng đạt giá trị nhỏ th 𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 sin 2𝑥 + 𝑐 cos 3𝑥 = 𝑥 du o ng Có nghiệm đoạn – 𝜋; 𝜋 với 𝑎, 𝑏, 𝑐 thuộc 𝑅 cu u Bài 4, Tìm hàm số f(x) xác định đoạn [0; 1] biết rằng: ≤ 𝑓(𝑥 ) ≤ 1, ∀𝑥 ∈ [0; 1] và: 𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥2 ) ≥ 𝑥1 − 𝑥2 , CuuDuongThanCong.com ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅 https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ Sư Tài Năng – 2000 Bài 1, Cho dãy số 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 … 𝑥𝑛 … thỏa mãn: 𝑥1 > 0, 𝑥𝑛 = ln(1 + 𝑥𝑛−1 ) , ∀𝑛 ≥ c om Chứng minh dãy số hội tụ đến giới hạn 𝑎 Tìm 𝑎 Bài 2, Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn điều kiện: 𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥2 ) ≤ 𝑥1 − 𝑥2 , ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅 co ng 𝑓(𝑥) hàm th an Bài 3, Cho 𝑓(𝑥) hàm số xác định liên tục 𝑥 ≠ , lấy giá trị không âm thỏa mãn điều kiện: 𝑥 ng 𝑓(𝑥) ≤ 𝑘 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, ∀𝑥 ≥ 0 u du o Trong 𝑘 số dương Chứng minh 𝑓 (𝑥 ) = 0, ∀𝑥 ≥ cu Bài 4, Hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện 𝑓’’(𝑥 ) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Chứng minh rằng: 𝑓 (𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦) ≤ 𝑡𝑓 (𝑥 ) + (1 − 𝑡)𝑓 (𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, ∀𝑡 ∈ (0; 1) Bài 5, Cho số thực 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 , khác đôi Chứng minh rằng: 𝑎1 𝑒 𝑘 𝑥 + 𝑎2 𝑒 𝑘 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑒 𝑘 𝑛 𝑥 = 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Khi khi: 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ Sư Tài Năng – 2001 Bài 1, Cho hàm số: 𝑓(𝑥 ) = 𝑒𝑥 (𝑥+1)2 Chứng minh dãy số *𝑢𝑛 + xác định bởi: 𝑢0 = 1, 𝑢𝑛+1 = 𝑓 (𝑢𝑛 ), ∀𝑛 ≥ 1 Chứng minh phương trình f(x)=x có nghiệm 𝛼 ∈ ; 1/ .c om 2 Chứng minh 𝑢𝑛 ∈ ; 11 , ∀𝑛 nguyên dương Chứng minh f’(x) tăng đoạn ; 11 Suy tồn số co an Chứng minh lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 = 𝛼 ng 𝑘 ∈ (0; 1) cho 𝑢𝑛+1 − 𝛼 = 𝑘 𝑢𝑛 − 𝛼 với 𝑛 nguyên dương th Bài 2, Với hai số 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 ta đặt 𝑑 (𝑥, 𝑦) = 𝑥−𝑦 1+ 𝑥−𝑦 du o ng Chứng minh với ba số 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta ln có: 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 (𝑧, 𝑦) u Bài 3, Cho hàm số f(x) có f’’(x) 0, ∀𝑥 ∈ ℝ Biết tồn 𝑥0 ∈ ℝ du o ng th cho 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 (𝑥0 ) / = 𝑥0 Chứng mihnh 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑥0 cu u Giải hệ phương trình: 𝑥 = 𝑦 + 2𝑦 − 𝑦 = 𝑧 + 2𝑧 − 𝑧 = 𝑡 + 2𝑡 − 𝑡 = 𝑥 + 2𝑥 − Bài 4, Cho dãy số {𝑥𝑛 } thỏa mãn: 𝑥1 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛2 𝑥𝑛 Tìm giới hạn: lim𝑛→∞ (𝑛2 𝑥𝑛 ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ Sư Tài Năng – 2004 Bài 1, Tìm số 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho: 𝑎(2𝑥 − 𝑥 ) + 𝑏(𝑥 + 5𝑥 − 1) − 𝑐 (3𝑥 + 𝑥 ) lim =1 𝑥→±∞ 𝑎(5𝑥 − 𝑥 ) − 𝑏𝑥 + 𝑐 (4𝑥 + 1) + 2𝑥 + 5𝑥 c om Bài 2, Chứng minh với tham số m phương trình: 𝑥 − 9𝑥 + 𝑚(𝑥 − 1) = co ng Ln có nghiệm an Bài 3, Cho 𝑓(𝑥) hàm số xác định đoạn [0; 1] nhận giá trị đoạn [0; 1] thỏa mãn: th 𝑓 (𝑥 ) − 𝑓 (𝑦) < 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ [0; 1] u Bài 4, du o ng Chứng minh tồn điểm 𝑥0 ∈ ,0; 1- cho: 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑥0 cu Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] thì: 𝑏 𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ≤ 𝑏 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑎 Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) có đạo hàm liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] thỏa mãn điều kiện 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = thì: 𝑏 (𝑏 − 𝑎)2 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ≤ 𝑀 𝑎 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 10 Kĩ Sư Tài Năng – 2005 Bài 1, Cho dãy số *𝑢𝑛 + xác định sau: 𝑢0 = 1, 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛 −1 + 𝑢𝑛−1 , ∀𝑛 ≥ ng c om Chứng minh dãy số không dần tới giới hạn hữu hạn 𝑛 → +∞ Chứng minh lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = +∞ 𝑏 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ng 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ≥ 𝑎 th 𝑏 an 𝑎 co Bài 2, Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục đơn điệu giảm [0; 𝑏] 𝑎 ∈ [0; 𝑏] Chứng minh rằng: 𝜋 Bài 3, Cho 𝑓(𝑥) hàm số liên tục đoạn [0; ] thỏa mãn: du o u 𝑓 (𝑥 ) > 𝜋 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 < cu Chứng minh phương trình: 𝑓 (𝑥 ) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 có nghiệm 𝜋 khoảng: 0; / Bài 4, Cho hàm số: 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 𝛼 sin( ) , 𝑘𝑕𝑖 𝑥 ≠ 0 , 𝑥 𝑘𝑕𝑖 𝑥 = (với 𝛼 số dương) Với giá trị 𝛼 hàm số 𝑓(𝑥 ) có đạo hàm 𝑥 Bài 5, Tìm tất hàm số 𝑓(𝑥) có đạo hàm liên tục 𝑅 thỏa mãn: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 𝑓 (𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑦) + 2𝑥𝑦, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 11 Kĩ Sư Tài Năng – 2006 Bài 1, Phương trình: 𝑥 − 𝑎𝑥 + = 0, (trong a tham số), có nghiệm Bài 2, Cho dãy số *𝑢𝑛 + xác định sau: 𝑢0 ∈ 𝑅 và: 𝑡 − 𝑢𝑛 𝑑𝑡, ∀𝑛 ∈ ℕ .c om 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ng Chứng minh dãy số tăng : 𝑢0 ≥ và: 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − , ∀𝑛 ∈ ℕ co Từ chứng minh rằng: lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 = +∞ an Chứng minh ≤ 𝑢0 < hay 𝑢0 < : lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 = +∞ Tìm : lim𝑛 →∞ 𝐼𝑛 ng th Bài 3, Với 𝑛 nguyên dương đặt : 𝐼𝑛 = du o Giả sử 𝑐 ∈ (0; 1) Đặt 𝐴𝑛 = 𝐵𝑛 𝑥 𝑛 𝑙𝑛 (1 + 𝑥 )𝑑𝑥, 𝐵𝑛 = 𝑛 𝑥 𝑙𝑛 (1 𝑐 + 𝑥 )𝑑𝑥 = cu Bài 4, 𝐴𝑛 + 𝑥 )𝑑𝑥 u Chứng minh rằng: lim𝑛→∞ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑙𝑛 (1 Tìm hàm số 𝑓(𝑥) xác định 𝑅, liên tục 0, cho: 𝑓 (2𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 ), ∀𝑥 ∈ 𝑅 Tìm hàm số 𝑔(𝑥) xác định 𝑅, có đạo hàm 0, cho: 𝑔(2𝑥 ) = 2𝑓 (𝑥 ), ∀𝑥 ∈ 𝑅 Bài 5, Cho 𝑥, 𝑦 hai đường thẳng chéo 𝐴 , 𝐵 điểm cố định 𝑥 𝐶𝐷 đoạn thẳng có chiều dài 𝑙 cho trước trượt 𝑦 Tìm vị trí 𝐶𝐷 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 cho diện tích tồn phần tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 nhỏ 12 Kĩ Sư Tài Năng – 2007 Bài 1, Cho phương trình: ( − 𝑥 + 𝑥)3 − 𝑥(1 − 𝑥) = 𝑚 (1) (𝑚 tham số) c om Giải phương trình (1) 𝑚 = Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 2, Với n số nguyên dương đặt: 𝑥 2𝑛 (sin 𝑥) 𝑑𝑥 , 𝑉𝑛 = 𝜋 𝑥 2𝑛−1 (cos 𝑥)2𝑛−1 𝑑𝑥, Chứng minh rằng: 𝜋2 32 , ∀𝑛 ≥ th 2𝑈𝑛 + 𝑉𝑛 ≤ an lim𝑛→+∞ 𝑈𝑛 = lim𝑛→+∞ 𝑉𝑛 = ng 2𝑛−1 co 𝑈𝑛 = 𝜋 ng Bài 3, Kí hiệu ℝ+ tập số thực dương Giả sử 𝑓: ℝ+ → ℝ+ hàm số du o liên tục thỏa mãn: 𝑓 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥 + 1)5 + Chứng minh rằng: Nếu 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 ) 𝑥1 = 𝑥2 cu u Hàm số 𝑓(𝑥) đơn điệu tăng lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥+1) 𝑓(𝑥) = Bài 4, Cho mặt phẳng (𝑃) hai điểm 𝐶, 𝐷 phía (𝑃) cho 𝐶𝐷 khơng vng góc với (𝑃) Xác định vị trí điểm 𝐴, 𝐵 thuộc (𝑃) cho 𝐴𝐵 = 𝑎 (𝑎 > cho trước) tổng độ dài 𝐶𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷 đạt giá trị nhỏ Bài 5, Cho 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 số thực dương khác đôi Chứng minh rằng: 𝛼1 cos 𝑘1 𝑥 + 𝛼2 cos 𝑘2 𝑥 + … + 𝛼𝑛 cos 𝑘𝑛 𝑥 = 0, ∀𝑥 ∈ ℝ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Khi khi: 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 13 Kĩ Sư Tài Năng – 2008 Bài 1, 𝑎1 = 2, Cho dãy số {𝑎𝑛 } thỏa mãn: 𝑎1 + 𝑎2 + … +𝑎𝑛 = 𝑛2 𝑎𝑛 , ∀𝑛 > 𝜋 sin 𝑛𝑥 sin 𝑥 Tính tích phân: 𝐼𝑛 = 𝑑𝑥, ∀𝑛 ∈ 𝑁 Bài 3, Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục [0,1] 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 < 2008 co ng Bài 2, c om Tìm lim𝑛→∞ 𝑛2 𝑎𝑛 th an Chứng minh phương trình 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2007 có nghiệm thuộc (0; 1) Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục đoạn [0,1] thỏa mãn 𝑓(0) = 0, 𝑓(1) = ng Bài 4, Bài 5, cu u du o Chứng minh tồn hai số 𝑎, 𝑏 thuộc (0; 1) phân biệt cho: 𝑓 ′ (𝑎)𝑓 ′ (𝑏) = Cho hàm số 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝑎, 𝑏] thỏa mãn: 𝑓 (𝑥 ) − 𝑓 (𝑦) < 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ ,𝑎, 𝑏-, 𝑥 ≠ 𝑦 Chứng minh phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥 có nghiệm [𝑎, 𝑏] Bài 6, Cho 𝐼𝐾 đoạn vng góc chung đường thẳng chéo 𝑎, 𝑏 (𝐼 ∈ 𝑎 , 𝐾 ∈ 𝑏), 𝑀 𝑁 hai điểm lần luợt thuộc 𝑎 𝑏 cho 𝐼𝑀 + 𝐾𝑁 = 𝑀𝑁 Trong số điểm cách đường thẳng 𝑎, 𝑏 𝑀𝑁, CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 tìm điểm có khoảng cách đến đường nói ngắn Kĩ Sư Tài Năng – 2009 Bài 1, Cho phương trình: 𝑥 + 𝑥 − 𝑚𝑥 + = 0, (1) 𝑚 tham số Giải phương trình (1) 𝑚 = Tìm m đề phương trình (1) có nghiệm c om Bài 2, co ng Chứng minh với 𝑎 cho trước hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑎 có đạo hàm điểm 𝑥 ≠ 𝑎 khơng có đạo hàm điểm 𝑥0 = 𝑎 Cho trước số thực 𝛼1 , 𝛼2 … 𝛼𝑛 khác đôi Chứng minh 𝑘1 𝑥 − 𝛼1 + 𝑘2 𝑥 − 𝛼2 + 𝑘3 𝑥 − 𝛼3 + … + 𝑘𝑛 𝑥 − 𝛼𝑛 ∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑘1 = 𝑘2 = ⋯ = 𝑘𝑛 = an Bài 3, số thực 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞, 𝑟 thỏa mãn : 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑥 − 2𝑧 − = 𝑝 + 𝑞2 + 𝑟 + 10𝑝 − 16𝑞 + 14𝑟 + 47 = Sao cho 𝐴 = 𝑥 +𝑦 +𝑧 + 𝑝2 + 𝑞2 + 𝑟 − 2𝑥𝑝 − 2𝑦𝑞 − 2𝑧𝑟 đạt giá trị lớn th Cho u du o ng cu Cho nửa đường thẳng chéo 𝐴𝑥; 𝐵𝑦 𝐴𝐵 = 𝑎 > đoạn vng góc chung Góc 𝐴𝑥 𝐵𝑦 30° Hai điểm C , D chạy 𝐴𝑥, 𝐵𝑦 cho 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 = 𝑑 (𝑑 > 0) khơng đổi Xác định vị trí điểm C, D cho thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn Bài 4, Tìm hàm số 𝑓: 𝑅 → 𝑅 thỏa mãn: 𝑓 (𝑥 ) ≤ 𝑥 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑓 (𝑥 ) + 𝑓 (𝑦) ≥ 𝑓 (𝑥 + 𝑦) Bài 5, Cho hàm số 𝑓: 𝑅 → 𝑅 liên tục thỏa mãn: 𝑓 ,𝛼𝑥 + (1 − 𝛼 )𝑦- ≤ 𝛼𝑓(𝑥 ) + (1 − 𝛼 )𝑓 (𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝛼 ∈ (0; 1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 14 LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 𝑏 𝑎 Chứng minh rằng: 𝑏+𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ≤ (𝑏 − 𝑎)𝑓( ) 15 Kĩ Sư Tài Năng – 2010 Bài 1, 1) Tính 2𝜋 sin(sin 𝑥 + 𝑛𝑥 )𝑑𝑥 (𝑛 ∈ 𝑁) 2) Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định tập số thực thỏa mãn: 𝑓 (𝑥 ) − (𝑓(𝑦) ≤ 𝑥 − 𝑦 , ∀, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓 𝑓 (𝑓(0)) = c om Chứng minh rằng: 𝑓 (0) = Bài 2, 1) Cho hàm số 𝑓(𝑥) khả vi liên tục cấp [0; 1] thỏa mãn ng 𝑓’’(0) = 1, 𝑓’’(1) = Chứng minh ∃ 𝑐 ∈ [0; 1] cho 𝑓’’(𝑐) = 𝑐 30 + 30+ + 30 (𝑛 dấu căn) co 2) Tìm giới hạn lim𝑛 →∞ th an Bài 3, 1) Hàm số 𝑓(𝑥) khả vi 𝑥0 gọi lồi (lõm) điểm tồn lân cận điểm 𝑥0 𝑈(𝑥0 ) cho ∀𝑥 ∈ 𝑈(𝑥0 ) ta có: ng 𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) du o (Tương ứng 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )) u Chứng minh hàm số khả vi đoạn [𝑎; 𝑏] lồi (lõm) điểm 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏) cu 2) Số lớn số sau: 1000 + + + … + 1000 22 22 Bài 4, Trong phịng có người, người ln tìm người quen người khơng quen Chứng minh nhóm ngồi quanh bàn trịn cho người quen với người ngồi cạnh Bài 5, Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 góc tam giác nhọn Chứng minh rằng: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 du o ng th an co ng c om 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝐵+𝑡𝑎𝑛𝑛 𝐶 ≥ 𝑛 + 𝑛, (𝑛 ∈ 𝑁) cu u Các thành viên Gsttvn Group- chương trình tình nguyện tiếp sức mùa thi 2011- với bí kíp thi Đại học đạt điểm cao CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 16 LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 ng th an co ng c om 17 cu u du o Buổi dạy học tình nguyện cho Sinh viên thành viên Gsttvn Group CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 ng th an co ng c om 18 cu u du o Buổi dạy học tình nguyện cho Sinh viên thành viên Gsttvn Group CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... 2011” bao gồm: Đầy đủ chuyên đề Toán Lý, dạng tập hay thi Lời giải chi tiết đề thi Toán Lý tất năm trước, Đề thi mới, đề thi thử + kèm lời giải (Đây tài liệu tuyệt hay, tất vừa sáng tác Anh(chị)... Toán (Lịch tiếp update sau - qua email SĐT em) Mơn Tốn: du o  ng th an co Tài liệu: (phục vụ trình học) Các em cung cấp “Bộ tài liệu ôn thi Kĩ Sư Tài Năng – 2011” bao gồm: Đầy đủ chuyên đề Toán. .. có giải HSG Quốc gia Các em có hội thi vào lớp Tài Năng – hệ đào tạo tốt Đại học Bách Khoa Hà Nội Để giúp em ơn luyện Tốn Lý để có chuẩn bị tốt cho kì thi Tài Năng: Gsttvn group tổ chức lớp ôn