Thông tin tài liệu
Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Dãy số Các khái niệm Dãy vô hạn {un }n = dãy số u0 , u1 , u2 ,… tn theo quy luật ∞ Cùng dãy số xác định nhiều cách, toán dãy số, nhiều phải ñưa ñược dãy dạng mà ta mong muốn ñể giải yêu cầu ñặt - c om Ở ñây ta xét cách xác ñịnh phổ biến là: Xác định cơng thức số hạng tổng qt un dãy Thí dụ: Dãy {un } xác ñịnh un = 2n + dãy số tự nhiên lẻ co ng - Xác định tính quy nạp (chủ yếu công thức truy hồi) Thí dụ: + Dãy {un } xác định u0 = 30 , un+1 = 30 + un an + Dãy {un } ñược xác ñịnh u0 = u1 = , un + = un2un +1 th - Xác định thơng qua phép tốn dãy khác Thí dụ: Cho dãy {un } : u1 = , un+1 = 2011un2 + un Dãy {vn } ñược xác ñịnh bởi: u0 u1 u2 u + + +… + n u1 u2 u3 un +1 du on g = Cấp số cộng Dãy số {un } ñược gọi cấp số cộng với công sai d ≠ , un +1 = un + d cu u Tính chất: un = u0 + nd , un +1 + un −1 = 2un Cấp số nhân Dãy số {un } ñược gọi cấp số nhân với công sai q ∉ {0;1} , un+1 = un q Tính chất: un = u0 q n , un +1un −1 = un2 , n ∑ uk = k =0 − q n +1 1− q Dãy ñơn ñiệu - Dãy ñơn ñiệu tăng (tăng ngặt) un +1 > un , ∀n ∈ ℕ Trong tài liệu này, nhắc ñến dãy số {u n } mà khơng thích thêm, ta hiểu dãy vơ hạn Nếu u n +1 > u n , ∀n ≥ n0 , ta nói dãy {u n } ñơn ñiệu tăng, nên nói dãy ñơn ñiệu tăng, dãy ñơn ñiệu {u n } tăng với n ≥ n0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt {un }n =n ∞ Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 - Dãy ñơn ñiệu không giảm un +1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ Dãy ñơn ñiệu giảm (giảm ngặt) un +1 < un , ∀n ∈ ℕ - Dãy đơn điệu khơng tăng un +1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ - Giới hạn dãy số ðịnh nghĩa Dãy {un } gọi có giới hạn L (hội tụ L ) n → ∞ , ∀ε > , ∃n0 ∈ ℕ : Phép cộng trừ, nhân, chia giới hạn Giả sử tồn lim un = a ; lim = b thì: n →∞ n →∞ lim ( un + ) = a + b n →∞ ng lim ( un ) = ab un a = n →∞ v b n (b ≠ ) an co n →∞ lim c om n > n0 ⇒ un − L < ε So sánh hai giới hạn un ≤ , ∀n tồn lim un = a ; lim = b ⇒ a ≤ b n →∞ th n →∞ du on g Dãy đơn điệu, bị chặn hội tụ a) {un } dãy ñơn ñiệu tăng (khơng giảm) bị chặn M , hội tụ lim un = L ≤ M n →∞ lim un = L ≥ M n →∞ cu u b) {un } dãy ñơn ñiệu giảm (khơng tăng) bị chặn m , hội tụ Nguyên lí kẹp Nếu wn ≤ un ≤ , ∀n , {vn } , {wn } hội tụ giới hạn lim un = lim = a ; n →∞ lim un = a n →∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt n →∞ Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán (cần) tìm cơng thức số hạng tổng qt Trong tốn xác định cơng thức số hạng tổng qt dãy số từ cơng thức truy hồi cần đặc biệt ý phương pháp sau: - Phương pháp sai phân - Phương pháp lượng giác hóa 1) Phương pháp sai phân Xét dãy {un } ñược xác ñịnh từ công thức truy hồi: - c om anun +i + an −1un −1+i + an − 2un −2+i + … + a0ui = ðể tìm cơng thức số hạng tổng quát, ta làm theo bước: - Giải phương trình đặc trưng: an λ n + an −1λ n −1 + … + a1λ + a0 = (*) Nếu (*) có n nghiệm phân biệt λ1 , λ2 ,… , λn số hạng tổng quát dãy là: ng un = c1λ1n + c2 λ2n + … + cn λnn co c1 , c2 ,… , cn số (có thể xác ñịnh biết số hạng ñầu u0 , u1 ,… , ui −1 ) Nếu (*) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội k số hạng tổng quát dãy là: an - th un = c1λ1n + c2 nλ1n + c3n λ1n + … + ck n k −1λ1n + ck +1λkn+1 + … + cn λnn Lời giải du on g Bài toán 1: ∞ Dãy Fibonacci { Fn }n =1 ñược xác ñịnh sau: u1 = u2 = , un + = un +1 + un Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy cu u Phương trình ñặc trưng: λ − λ − = , có nghiệm λ1 = 1+ 1− λ2 = 2 n n 1+ 1− Công thức số hạng tổng quát dãy: Fn = c1 + c , số c1 , c2 thỏa mãn: 1+ 1− + c2 c1 = 1 = u1 = c1 + c1 + − c2 = 2 ⇒ 2 ⇒ 2 1 = u = c + + c − + c1 + − c2 = c = − 2 ( ( n ) ( ) ( ) ) n 1+ 1− Vậy Fn = − 5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán 2: Dãy {un } ñược xác ñịnh u0 = , u1 = , u2 = công thức truy hồi: un = 7un −1 − 11un − + 5un −3 , với n ≥ Tìm công thức số hạng tổng quát dãy ng 0 = u0 = c1 + c3 Các số c1 , c2 , c3 thỏa mãn: 1 = u1 = c1 + c2 + 5c3 3 = u = c + 2c + 25c 2 Giải hệ ñược c1 = − , c2 = , c3 = 16 16 n n Vậy un = − + n + = ( − 1) + n 16 16 16 c om Lời giải Phương trình đặc trưng: x − x + 11x − = (*) (*) có nghiệm x1 = bội 2, nghiệm ñơn x2 = Khi đó, un = c1 + c2 n + c3 5n co Bài toán 3: Cho dãy số { xn } xác ñịnh sau: x0 = a , xn +1 = + bxn , ∀n ∈ ℕ th an Với ñiều kiện a, b dãy { xn } hội tụ? du on g Lời giải xn +1 = + bxn ⇒ xn +1 − xn + = bxn − bxn +1 ⇒ xn + − (b + 1) xn +1 + bxn = xn + = + bxn +1 Nếu b = xn = n + a , ∀n ∈ ℕ , dãy không hội tụ 1 + bn a − , ∀n ∈ ℕ 1− b 1− b u Nếu b ≠ xn = = b < 1− b b ≠ hội tụ b < , a = − b cu Khi ñó, dãy { xn } hội tụ a − Vậy, ñiều kiện cần ñủ để dãy { xn } Bài tốn 4: Tìm tất hàm f : ℝ + → ℝ + thỏa mãn f ( f ( x) ) + af ( x) = b ( a + b ) x , ∀x ∈ ℝ + (*) ( a, b số dương) Lời giải Xét dãy { xn }n = : xn +1 = f ( xn ) , với x0 số thực cố ñịnh ∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Từ (*) ta có cơng thức truy hồi dãy: xn + = −axn +1 + b ( a + b ) xn Phương trình đặc trưng: x + ax − b ( a + b ) = , có nghiệm x1 = b , x2 = −a − b Công thức tổng quát dãy xn = c1b n + c2 ( − a − b ) , n với c1 , c2 ∈ ℝ thỏa mãn x0 = c1 + c2 x1 = c1b − c2 ( a + b ) Do xn > ∀n ∈ ℕ , nên c2 = Suy x0 = c1 f ( x0 ) = x1 = c1b = bx0 Vậy f ( x) = bx , ∀x ∈ ℝ + Bài toán 5: Cho số thực dương p, q thỏa mãn p + q < dãy số {un }n∈ℕ không âm thỏa mãn c om ñiều kiện un + ≤ pun +1 + qun , với n ∈ ℕ Chứng minh dãy {un }n∈ℕ hội tụ tìm giới hạn dãy ng Lời giải Xét dãy {vn }n∈ℕ : v0 = u0 , v1 = u1 , + = pvn +1 + qvn , với n ∈ ℕ Bằng quy nạp, ta chứng minh ñược un ≤ , với n ∈ ℕ co Ta tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy {vn }n∈ℕ an Phương trình ñặc trưng: x − px − q = (*), có nghiệm: p + p + 4q p + p + 4(1 − q ) p + (2 − p ) < = = 1, 2 > x2 = p − x1 > −1 th < x1 = g Khi đó, = c1 x1n + c2 x2n , mà lim x1n = lim x2n = −1 < x2 < < x1 < du on n→∞ n →∞ ⇒ lim = , mà ≤ un ≤ với n ∈ ℕ Theo nguyên lí kẹp, lim un = n →∞ Bài toán 6: n →∞ cu u Cho dãy số { xn } xác ñịnh sau: u0 = , un = un −1 + (−1)n , ∀n ≥ 2011 Tính lim un2 n →∞ Lời giải un −1 n un = 2011 + (−1) u u (vì (−1)n + (−1) n+1 = ) ⇒ un + un +1 = n −1 + n 2011 2011 u = un + (−1) n +1 n +1 2011 2010 Từ suy ra: un +1 + un − un −1 = 2011 2011 2010 1 Phương trình đặc trưng: x + x− = , có nghiệm x1 = −1 x2 = 2011 2011 2011 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 n Công thức số hạng tổng quát dãy: un = c1 ( −1) + c2 2011 2011 2011 , c2 = − Từ u0 = , u1 = −1 , ta tìm c1 = 2012 2012 n n 2n 2 Khi đó, un2 = c12 + 2c1c2 − + c2 2011 2011 c om 2011 Vậy lim un2 = c12 = n →∞ 2012 2) Phương pháp lượng giác hóa Dấu hiệu lượng giác Cách đặt a sin xn b co un = a − bun2 ng Bảng sau có ích cho nhiều tốn: sin x + cos x = an a un = cos xn b a − bun a tan xn b + tan x = cos x un = a cot xn b + cot x = sin x x x + cos x = cos 2 − cos x = 2sin a un = cos xn b cu u a + bun un = th g du on a + bun2 Công thức sử dụng Bài tốn 7: Cho < a < , tìm công thức số hạng tổng quát dãy {un } sau: u0 = a −un + − 3un2 un +1 = Lời giải Do < a < π nên tồn ϕ0 ∈ 0; cho u0 = sin ϕ0 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Khi đó, u1 = π ϕ1 = − ϕ0 − sin ϕ + cos ϕ π = sin − ϕ = sin ϕ1 3 Tương tự, u2 = sin ϕ2 , với ϕ = π − ϕ1 = ϕ0 Do đó, u2 = u0 , từ quy nạp suy dãy {un } tuần hoàn chẵn lẻ: π u2 n = sin ϕ0 , u2 n +1 = sin − ϕ0 3 Bài tốn 8: Tìm lim ( 2n un ) un 1+ 1+ u c om Cho dãy {un } : u0 = , un +1 = n →∞ n Hướng dẫn + + ( tan x ) = công thức số hạng tổng quát un = tan sin x x = tan phép quy nạp ñể chứng minh + cos x π 3⋅ n ng tan x Khi ñó, lim ( 2n un ) = n →∞ co Sử dụng biến ñổi π 2 , un +1 = − − un2 2 g u0 = th an Bài toán 9: Cho dãy số {un } , {vn } ñược xác ñịnh sau: n →∞ un cu Hướng dẫn + vn2 − (n ∈ ℕ) u Tính lim du on v0 = , vn+1 = (n ∈ ℕ) Chứng minh un = sin π n+2 , = tan π n+2 Từ ñó, suy lim n →∞ un π = lim cos n n →∞ Bài toán 10: − < u0 < Cho dãy {un } ñược xác ñịnh: + un (n ∈ ℕ) un +1 = Dãy {vn } ñược xác ñịnh sau: = u1u2 … un Tìm lim n →∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt = Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Lời giải ðặt u0 = cos α , α ∈ ( 0; π ) Bằng quy nạp chứng minh ñược un = cos α Khi đó, = cos cos α α 2n … cos α 2n sin α = 2n sin α α = sin α α n ⋅ α sin α 2n 2n Bài toán 11: Cho dãy số { xn } thỏa mãn < x0 < x1 và: ( ) c om n sin α Do lim = , nên lim = n →∞ n →∞ α α sin n ( ) ng + xn + xn−1 xn +1 = + xn −1 + xn xn +1 , ∀n ∈ ℕ* (*) co Chứng minh dãy { xn } hội tụ n → +∞ Tìm lim xn n →+∞ an Lời giải π ( với a0 , a1 , ϕ ∈ 0; ) 2 th ðặt x0 = tan a0 , x1 = tan a1 , x2 = tan ϕ Áp dụng (*) với n = , ta ñược: + x1 + x0 x2 = + x0 + x1 x2 ⇔ g ) du on ( ( ) 1 (1 + tan a0 tan ϕ ) = (1 + tan a1 tan ϕ ) cos a1 cos a0 ⇔ cos a0 (1 + tan a0 tan ϕ ) = cos a1 (1 + tan a1 tan ϕ ) cu u ⇔ cos a0 + sin a0 tan ϕ = cos a1 + sin a1 tan ϕ cos a0 − cos a1 a +a ( a0 ≠ a1 ) ⇔ tan ϕ = = tan sin a1 − sin a0 a +a Nếu ñặt a2 = x2 = tan ϕ = tan a2 Thêm nữa, a2 ≠ a1 a +a Thiết lập dãy {an } : an +1 = n −1 n , với n ≥ Bằng quy nạp ta chứng minh ñược an +1 ≠ an xn = tan an , ∀n ∈ ℕ a + 2a1 1 Công thức số hạng tổng quát dãy {an } : an = c1 + c2 − , ñó c1 = 2 a + 2a1 a + 2a1 Khi đó, lim an = c1 = , suy lim xn = tan n →+∞ n →∞ 3 n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Một số dạng tốn thường gặp Tính hội tụ dãy {un } ñược xác ñịnh hệ thức truy hồi un+1 = f ( un ) Phương pháp khảo sát tính ñơn ñiệu dãy Bài toán 12: u0 ∈ ℝ Cho dãy {un } ñược xác ñịnh un un +1 = − 1, ∀n ∈ ℕ Chứng minh dãy {un } hội tụ Tìm lim un co Lời giải x − , ñược nghiệm x = −2 Nếu u0 ≥ −2 theo quy nạp, ta có un ≥ −2 , ∀n ∈ ℕ u u +2 Khi đó, un +1 − un = n − − un = − n ≤ ⇒ un +1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ 2 Dãy {un } dãy không tăng, bị chặn −2 , nên hội tụ ðặt lim un = L g th an Giải phương trình x = - ng n →∞ c om Nói chung, ta ln bắt đầu việc giải phương trình x = f ( x ) để tìm nghiệm x = α giới hạn dãy số, ñồng thời thuận lợi cho việc chia khoảng để xét tính tăng giảm dãy du on n →∞ L − ⇒ L = −2 , nghĩa lim un = −2 n→∞ Nếu u0 < −2 theo quy nạp, ta có un < −2 , ∀n ∈ ℕ u u +2 Khi đó, un +1 − un = n − − un = − n > ⇒ un +1 > un , ∀n ∈ ℕ 2 Dãy {un } dãy tăng ngặt, bị chặn −2 , nên hội tụ ðặt lim un = L Từ công thức truy hồi, suy L = cu u - n→∞ L − ⇒ L = −2 , nghĩa lim un = −2 n →∞ Tóm lại, dãy {un } hội tụ lim un = −2 Từ công thức truy hồi, suy L = n →∞ Bài tốn 13: u0 > Cho dãy {un } xác ñịnh un +1 = ln (1 + un ) , ∀n ∈ ℕ Chứng minh dãy {un } hội tụ Tìm lim un n →∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Nhận xét Phương trình ln (1 + x ) = x có nghiệm x = Lời giải Do u0 > nên theo quy nạp, ta có un > , ∀n ∈ ℕ Xét hàm g ( x) = ln (1 + x ) − x ( x > 0) x −1 = − < , ∀x > 1+ x 1+ x Suy g ( x ) < g (0) = , ∀x > Khi đó, un +1 − un = ln (1 + un ) − un = g ( un ) < ⇒ un +1 < un , ∀n ∈ ℕ g ′( x) = Dãy {un } dãy giảm, bị chặn 0, nên hội tụ ðặt lim un = L c om n →∞ Từ công thức truy hồi, suy L = ln (1 + L ) ⇒ g ( L) = g (0) ⇒ L = Vậy dãy {un } hội tụ lim un = n →∞ ng Bài toán 14: n →∞ n roots co Cho số thực a > Tìm lim a + a + a + … + a ( n dấu ) a + a + a + … + a = un Vậy ta cần tìm lim un du on n roots n →∞ g Khi đó, th an Lời giải Xét dãy {un } : u0 = , un +1 = a + un , ∀n ∈ ℕ 1 + +a Nếu un < c un +1 = a + un < a + c = c , mà u0 = < c , nên theo quy nạp: u Phương trình x = a + x có nghiệm c = un < c , ∀n ∈ ℕ cu Do u1 = a > u0 = nên u2 = a + u1 > a + u0 = u1 > Tương tự, theo quy nạp, ta ñược un +1 > un , ∀n ∈ ℕ Dãy {un } tăng, bị chặn trên, nên hội tụ ðặt L = lim un n →∞ Khi đó, L = a + L ⇒ L = c Vậy lim un = c = n →∞ 1 + +a Bài toán 15: u0 = b Cho dãy {un } ñược xác ñịnh sau: 2 un +1 = un + (1 − 2a ) un + a Với điều kiện số a, b ñể dãy {un } hội tụ ∀n ∈ ℕ 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Nhận xét x = x + (1 − 2a ) x + a ⇔ ( x − a ) = ⇔ x = a Lời giải un +1 − un = ( un − a ) ≥ ⇒ un +1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ , suy dãy {un } khơng giảm Do đó, dãy {un } hội tụ {un } bị chặn * Giả sử {un } hội tụ, L = lim un Khi đó, L = L2 + (1 − 2a ) L + a ⇒ L = a n →∞ Do {un } không giảm, lim un = a , nên un ≤ a , ∀n ∈ ℕ n →∞ u1 ≤ a ⇔ u02 + (1 − 2a ) u0 + a ≤ a c om ⇔ ( u0 − a + 1)( u0 − a ) ≤ co ng ⇔ a − ≤ u0 = b ≤ a * Giả sử a − ≤ u0 = b ≤ a , u1 ≤ a (theo biến đổi trên) Mà dãy {un } không giảm, nên u1 ≥ u0 ≥ a − , suy a − ≤ u1 ≤ a Tương tự, quy nạp, ta có a − ≤ un ≤ a , ∀n ∈ ℕ Dãy {un } không giảm, bị chặn a , nên hội tụ an Vậy ñiều kiện cần ñủ ñể dãy {un } hội tụ a − ≤ b ≤ a Bài toán 16: du on g th 0 < u n < Cho dãy {un } thỏa mãn ñiều kiện: un +1 (1 − un ) > ∀n ∈ ℕ Tìm lim un n →∞ cu u Lời giải Áp dụng BðT Cơ-si, ta có: un +1 + − un ≥ un +1 (1 − un ) > ⋅ =1 ⇒ un +1 > un , ∀n ∈ ℕ Dãy {un } tăng, bị chặn 1, nên tồn giới hạn hữu hạn L = lim un n →∞ Khi đó, từ điều kiện tốn, suy L (1 − L ) ≥ Vậy lim un = n →∞ 1 ⇒L− ≤0⇒ L = 2 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Phương pháp ánh xạ co Phương pháp ánh xạ co ñược áp dụng ñây với ý tưởng sở ñơn giản Dãy {un }∞n =0 ñược gọi co tồn số q ∈ ( 0;1) cho un +1 − α ≤ q un − α , ∀n ∈ ℕ Khi {un } hội tụ α Chứng minh : Ta có: ≤ un − α ≤ q un −1 − α ≤ q un− − α ≤ ≤ q n u0 − α < q < ⇒ lim ( q n u0 − α ) = ⇒ lim un − α = ⇒ lim un = α (ñpcm) n →∞ n →∞ n →∞ c om Như vậy, sau giải phương trình f ( x) = x để dự đốn số α có khả giới hạn dãy, chứng minh ñược un +1 − α ≤ q un − α , với số q ∈ ( 0;1) lim un = α −3 + , dự đốn nghiệm âm α = giới hạn 3+ x th Nhận xét Giải phương trình x = − an n →∞ (n ∈ ℕ) co u0 = Cho dãy số {un } xác ñịnh sau: un +1 = − + u n Chứng minh {un } hội tụ Tìm lim un ng Bài tốn 17: Lời giải du on g dãy −3 + , ta có α = − 3+α un − α 1 Khi đó, un +1 − α = − + = + un + α (3 + un )(3 + α ) Chứng minh quy nạp: un > −1 , ∀n ∈ ℕ cu u ðặt α = Khi đó, (3 + un )(3 + α ) > 2(3 + α ) = + > , 1 Suy un +1 − α < un − α , ∀n ∈ ℕ ⇒ < un − α < n u0 − α 5 Mà lim n u0 − α = , nên theo nguyên lý kẹp lim un − α = n →∞ n→∞ −3 + Vậy lim un = α = n →∞ 12 CuuDuongThanCong.com n →∞ https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán 18: u1 = Cho dãy {un } thoả mãn u = un − 1, n +1 Tìm lim un ∀n ≥ n →∞ x2 − , dự đốn giới hạn α = − (nghiệm dương + khơng un ∈ ( −1; ) , ∀n ≥ ) Lời giải ( )( ) un − + un + − un2 −1 + −1 = 2 ⇒ un +1 + − = un − + un + − ng un+1 + − = c om Nhận xét Giải phương trình x = co Bằng quy nạp ta chứng minh ñược un ∈ ( −1; ) , ∀n ≥ Bài toán 19: du on g n →∞ th un + − Vậy lim un = − ⇒ un +1 + − < an ⇒ un − + < cu u u0 > −1 Cho dãy {u n } thoả mãn un2 + u = n +1 2(u + 1) , ∀n ∈ ℕ n Tìm lim un n →∞ Lời giải u2 + ( u − 1) = un − u − un+1 − = n −1 = n ( n ) 2(un + 1) 2(un + 1) 2(un + 1) Từ biến ñổi dễ thấy un > 1, ∀n ≥ u −1 1 Khi đó, < n < , ∀n ≥ nên un +1 − < ( un − 1) , ∀n ≥ ⇒ lim un = n →∞ 2(un + 1) 2 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán 20: Cho dãy số { xn } x1 ∈ ( 0; ) thoả mãn xn2 = + − , ∀n ≥ x x n +1 n Tìm lim xn n →∞ giác” xn > , ∀n ∈ ℕ Lời giải x2 ta ñược x = ± song giá trị x + 2 xn2 xn+1 − = + xn − − = xn − 1 − n 2 ⇒ xn +1 − = xn − 2 − xn − 2 t2 Xét hàm số f (t ) = − + t + 3 Dễ chứng minh ≥ f ( x) > , ≥ f ( x) > t∈( 0;2) t∈ 0; ) co ng ( “có cảm c om Nhận xét Giải phương trình x = + x − 2 an u du on g th 3 Từ đó, theo quy nạp ta chứng minh ñược xn ∈ 0; , ∀n ≥ 2 3 Vì xn ∈ 0; , ∀n ≥ nên − xn − < , ∀n ≥ 2 ⇒ xn +1 − < xn − Vậy lim xn = n →∞ cu Phương pháp cịn kèm với cơng cụ chứng minh hữu ích định lý Lagrange ðiều kiện áp dụng: - xn ∈ D , ∀n ≥ n0 - f khả vi D ∃k ∈ ( 0;1) : f ′( x) ≤ k , ∀x ∈ D Bài toán 21: x0 = Cho dãy { xn } : 3 + x = log x + ,n ≥1 ( ) n +1 n Tìm lim xn n →∞ 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Lời giải Dễ thấy xn > , ∀n ∈ ℕ Xét f ( x ) = log ( x3 + 1) + 4 = log ( x + 1) + ( x > 0) 3 3 x2 x3 x3 3x ⇒ < f '( x) = < = k < , ∀x > (vì x3 + = + + ≥ , ∀x > ) 2 ( x + 1) ln 3ln Xét g ( x) = f ( x) − x ( x > 0) g ' ( x ) = f ' ( x ) − < , ∀x > ⇒ g ( x ) giảm ( 0, +∞ ) Mà g ( x ) = .c om ⇒ x = nghiệm phương trình g ( x ) = ( 0, +∞ ) Từ ta có: xn +1 − = f ( xn ) − f ( ) = f ′ ( c ) xn − ≤ k xn − , k= ∈ ( 0;1) 3ln ng ⇒ lim xn = co n →+∞ an Cách làm theo ý tưởng dãy co sử dụng ñịnh lý Lagrange ñặc biệt hữu ích chứng minh dãy hội tụ lại khó xác định giới hạn dãy, mà phương trình f ( x) = x có nghiệm tìm nghiệm khơng dễ g th Bài toán 22: Cho dãy số thực {un } ñược xác ñịnh sau: du on u1 = a ∈ ℝ , un +1 = Chứng minh dãy {un } hội tụ Lời giải cu u Xét hàm số f ( x) = ln (1 + un ) − 2011 , với n ≥ ln (1 + x ) − 2011 x ≤ 1+ x g ( x ) = f ( x ) − x , g ′( x ) = f ′( x ) − < f ′( x) = lim g ( x ) = +∞ , g (0) < x →−∞ Suy phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x) = x có nghiệm Gọi α nghiệm phương trình f ( x) = x Áp dụng ñịnh lý Lagrange, ∃c : un +1 − α = f ( un ) − f (α ) = f ′ ( c ) un − α ≤ Vậy {un } hội tụ α 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt un − α Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán 23: Cho hàm số f ( x) = ex ( x + 1) Xét dãy {un } ñược xác ñịnh bởi: u0 = , un +1 = f ( un ) , ∀n ∈ ℕ Chứng minh dãy {un } hội tụ Hướng dẫn .c om 1 - Chứng minh phương trình f ( x) = x có nghiệm α ∈ ;1 2 1 - Chứng minh un ∈ ;1 , ∀n ∈ ℕ* 2 e un − α 27 an co - Áp dụng ñịnh lý Lagrange, suy un +1 − α < ng e 1 - Chứng minh f ′( x ) tăng đoạn ;1 Từ suy > f ′( x) > − > −1 27 2 g th Dãy số ñược xác ñịnh phép tốn tổng tích – Dãy số hạng “khử liên tiếp” du on Ta quy ước số khái niệm: Cho {vn } dãy số ñược xác ñịnh Dãy {un } ñược gọi dãy khử tổng số hạng có dạng un = +1 − - Dãy {un } ñược gọi dãy khử tích số hạng có dạng un = - cu ðặc ñiểm: u - n Nếu {un } dãy khử tổng dãy {S n } : S n = ∑ uk = +1 − v0 , có tính chất phụ thuộc vào tính chất dãy {vn } k =0 n - +1 Nếu {un } dãy khử tích dãy { Pn } : S n = ∏ uk = k =0 thuộc vào tính chất dãy {vn } +1 , có tính chất phụ v0 Trong nhiều tập, để tìm ñược tính chất cần thiết {Sn } {Pn } , ta cần tìm dãy {vn } tương ứng tính chất 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán 24: Chứng minh bất ñẳng thức sau ñúng với n ∈ ℕ* : 1 1 + + + … + > ln ( n + 1) n Lời giải Với x > , ta có x > ln (1 + x ) Do đó, 1 n +1 > ln 1 + = ln = ln ( n + 1) − ln n n n n n Suy ∑ k ≥ ln ( n + 1) − ln1 = ln ( n + 1) (ñpcm) .c om k =1 Bài tốn 25: Cho dãy số {un } xác định u1 = , un+1 = 2011un2 + un co ng u u u Tìm giới hạn: lim + + … + n n →∞ u un +1 u3 Nhận xét n an uk , ta cần biểu diễn số hạng tổng k =1 uk +1 dạng +1 − Trong này, = 2011un Lời giải un +1 − un un un2 1 = = 2011 = − un +1 unun+1 unun +1 2011 un un+1 du on g th Ở ñây cần tìm giới hạn dãy S n = ∑ u u u1 u2 1 + +… n = − u2 u3 un +1 2011 u1 un+1 cu ⇒ {un } dãy tăng, không bị chặn (dễ chứng minh), lim un = +∞ n →∞ u u u 1 Vậy lim + + … + n = = n →∞ u un +1 2011u1 2011 u3 Bài toán 26: u = Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh un +1 = + u1u2 … un ∀n ≥ n Tìm lim Sn n →∞ k =1 uk ðặt S n = ∑ 17 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Lời giải Dễ thấy un ≥ , ∀n ≥ Ta có un +1 − = u1u2 … un = un ( un − 1) ⇒ Suy un +1 − = 1 = − , ∀n ≥ un ( un − 1) un − un 1 = − , ∀n ≥ un un − un +1 − Khi đó, S n = 1 1 + − = 2− u1 u2 − un +1 − un +1 − Do un ≥ , ∀n ≥ , nên un +1 = + u1u2 … un ≥ 2n , ∀n ≥ ⇒ lim un = +∞ c om n →∞ Vậy lim S n = n→∞ Bài toán 27: n n→∞ k =1 uk + an Tìm lim ∑ Hướng dẫn n 1 = k =1 uk + du on ðáp số: lim ∑ g th 1 = − un + un + un +1 + Chứng minh n →∞ ∀n ≥ co ng u1 = Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh un +1 = un ( un + 1)( un + )( un + 3) + cu u Bài toán 28: Cho dãy { xn }n∈ℕ* xác định cơng thức truy hồi xn+1 = xn2 − , với x1 = 1) Tìm giới hạn lim n →∞ xn +1 x1 x2 … xn 1 1 2) Tìm giới hạn lim + +… + n →∞ x x1 x2 … xn x1 x2 Lời giải x − xn2+1 − 1) Ta có xn2 = xn +1 + = n +1 = xn +1 − xn2 − xn +1 xn2+1 xn2+1 − xn2+1 − ⇒∏x = = ⇒ = 21 x1 − 21 k =1 x1 x2 … xn xn +1 − Dễ dàng chứng minh ñược { xn } dãy tăng, không bị chặn n k 18 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 xn +1 21 x Do đó, lim xn = +∞ ⇒ lim = lim n +1 = 21 n →∞ x x … x n →∞ x n →∞ n n +1 − xn +1 Vậy lim = 21 n →∞ x x … x n xn xn +1 1 x − xn +1 = n − = x1 x2 … xn x1 x2 … xn x1 x2 … xn −1 x1 x2 … xn xn+1 xn +1 1 1 1 x ⇒ + +… + = + 2− = − x1 x1 x2 x1 x2 … xn x1 x1 x1 x2 … xn 2 x1 x2 … xn xn +1 Theo 1), lim = 21 n →∞ x x … x n 1 1 Vậy lim + +… + n →∞ x x1 x2 … xn x1 x2 − 21 = c om 2) ng Trong vài khó hơn, để tìm tính chất cần thiết {vn } , ta cần khảo sát co tính chất dãy tổng {S n } dãy tích {Pn } tương ứng an Bài tốn 29: th u1 = Cho dãy số {un } thỏa mãn u1 + u2 + … + un = n un du on n→∞ g Tìm lim n 2un ∀n ≥ Lời giải cu u u1 + u2 + … + un −1 + un = n 2un un n −1 2 , ∀n ≥ n u n u ⇒ − = − ⇒ = ( ) ( ) n n − un −1 n + = (n − 1) un −1 u1 + u2 + … + un −1 n n u k −1 u 1⋅ Khi đó, ∏ k = ∏ ⇒ n = ⇒ un = u1 n ⋅ (n + 1) n(n + 1) k = uk −1 k =2 k + 4n = n →∞ n ( n + 1) Vậy lim ( n 2un ) = lim n→∞ Bài toán 30: Cho dãy số {un } u1 ∈ ( 0;1) thỏa mãn un2 un +1 = un + n ∀n ≥ Chứng minh dãy {un } hội tụ 19 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Lời giải Dễ thấy un +1 ≥ un , ∀n ≥ un2 (nu1 ) < nu + = nu1 + u12 < (n + 1)u1 (vì < u1 < ) n2 n2 Do ñó, theo quy nạp: un ≤ nu1 , ∀n ≥ Nếu un ≤ nu1 un +1 = un + Với số nguyên dương m ñủ lớn ñể u 1 < − u1 , m < u1 < − ⇒ um < m − m m m c om un2 1 u 1 1 Ta có , − = n = n < 2< = − un un +1 unun +1 n un+1 n n(n − 1) n n − 1 n 1 1 1 − − = − < , ∀n > m = ∑ − ∑ ⇒ uk +1 k =m k k − um un m n − m k = m uk n ⇒ un < (m − 1)um , ∀n > m (m − 1) − um ng Suy Như vậy, dãy {un }n = m dãy tăng, bị chặn trên, nên hội tụ (ñpcm) th Một số vấn ñề liên quan an co ∞ du on g Phần nêu số phương pháp tìm giới hạn tiêu biểu khác, thường xuất tập Giải tích I bậc ðại học tốn thi HSGQG, khơng phổ biến đề thi KSTN Dù vậy, bạn ñọc nên tham khảo ñể nắm ñược ý tưởng u Phương pháp dãy cu Trong số tốn tìm giới hạn dãy số, dãy xét khơng đơn điệu, chia thành dãy mà dãy ñơn ñiệu quan trọng hội tụ Dãy lớn hội tụ dãy ñều hội tụ giới hạn Bài toán 31: Cho dãy số thực { xn } xác ñịnh bởi: x0 = − xn ∀n ∈ ℕ xn +1 = + Chứng minh dãy số hội tụ tìm giới hạn 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Lời giải ( x ∈ R) Ta có: f ′ ( x ) = −2− x ln < , ∀x ∈ R , nên hàm f nghịch biến R ðặt f ( x ) = 2− x + 1 , x2 = + , suy x2 < x0 24 Dùng tính đơn điệu f , theo quy nạp, ta chứng minh ñược ñồng thời dãy { x2 n+1} tăng x1 = dãy { x2n } giảm Thêm nữa, x2 n +1 ≤ ≤ x2 n , ∀n ∈ ℕ Phương trình x = 2− x + Vậy lim xn = c om Do đó, { x2 n+1} { x2 n } có giới hạn hữu hạn có nghiệm x = Do đó, lim x2 n +1 = lim x2 n = n →∞ n →∞ n →∞ co ng Phương pháp min, max an Bài toán 32: Dãy { xn } ñược xác ñịnh bởi: g th x0 , x1 , x2 > xn +3 = xn + xn + Chứng minh dãy { xn } hội tụ Tìm lim xn du on n →∞ Lời giải Ta xây dựng dãy {an } {bn } sau: a0 = max { x0 , x1 , x2 , 2} b0 = { x0 , x1 , x2 , 2} cu u , a = a n n +1 bn+1 = 2bn Khi đó, dãy {an } giảm dần cịn dãy {bn } tăng dần đến Bằng quy nạp ta chứng minh ñược: bn ≤ { x3n , x3n+1 , x3n + } ≤ max { x3n , x3n +1 , x3n + } ≤ an∀n Từ dẫn đến lim x3n = lim x3n +1 = lim x3n + = ⇒ lim xn = 21 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Dãy số xác ñịnh phương trình Bài tốn 33: 1 1 + + +… + = , n ∈ ℕ* 2x x −1 x − x − n2 1) Chứng minh với n ∈ ℕ* , phương trình cho có nghiệm ( 0;1) Kí hiệu nghiệm xn Xét phương trình 2) Chứng minh dãy nghiệm { xn } ñược xác ñịnh hội tụ Lời giải .c om 1 1 + + +… + 2x x −1 x − x − n2 f n ( x) hàm liên tục nghịch biến ( 0;1) Mà lim+ f n ( x) = +∞ , lim− f n ( x) = −∞ 1) Với n ∈ ℕ* , xét hàm số f n ( x) = x →0 x →1 ng Do đó, phương trình f n ( x) = có nghiệm ( 0;1) , kí hiệu xn < , suy f n +1 ( xn ) < f n ( xn ) = = f n +1 ( xn +1 ) xn − (n + 1) Từ kết hợp với tính nghịch biến hàm f n +1 ( x) , suy xn > xn+1 co 2) Do xn ∈ ( 0;1) nên th an Dãy { xn } giảm, bị chặn 0, hội tụ (đpcm) g Phương pháp tổng tích phân du on Cho hàm f khả tích đoạn [ 0;1] n ∑ n →∞ n i =1 i f = ∫ f ( x) dx n u lim cu Bài tốn 34: Tìm giới hạn sau: 1 1) lim + +… + n →∞ n + n+2 2n n n n 2) lim 2 + +… + n →∞ n + n +2 n + n2 n 2n 2n 2n 3) lim + +… + n →∞ n + 1 1 n+ n+ n 1 4) lim n (n + 1)(n + 2)… (2n) n →∞ n 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Lời giải k k k 2n n 2n ≤ ≤ n , nên lim ∑ = ∫ x dx = n →∞ n k =1 + ln 1+ nk nk ng Mà k −1 n c om 1 n 1 1) lim + + … + = lim ∑ =∫ = ln − n →∞ n + n →∞ n+2 2n n k =1 + k + x n n n n 1 π n 2) lim 2 + +… + = lim ∑ =∫ = 2 n →∞ n + n →∞ n +2 n +n n k =1 k 1+ x 1+ n n k 2n 2n 2n n 2n 3) lim + +… + = lim n →∞ n + 1 n→∞ n ∑ k =1 n+ n+ 1+ n nk 1n n (n + 1)(n + 2)… (2n) = n 1 + 1 + … 1 + n n n n un = ln S n = n k ∑ ln 1 + , lim un = ∫ ln(1 + x)dx = ln − n k =1 n n→∞ cu u du on g n →∞ th Vậy lim S n = e2ln 2−1 an co 4) ðặt S n = 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... số khái niệm: Cho {vn } dãy số ñược xác ñịnh Dãy {un } ñược gọi dãy khử tổng số hạng có dạng un = +1 − - Dãy {un } ñược gọi dãy khử tích số hạng có dạng un = - cu ðặc ñiểm: u - n Nếu {un } dãy. .. toán thi HSGQG, khơng phổ biến đề thi KSTN Dù vậy, bạn ñọc nên tham khảo ñể nắm ñược ý tưởng u Phương pháp dãy cu Trong số tốn tìm giới hạn dãy số, dãy xét khơng đơn điệu, chia thành dãy mà dãy. .. ðKTð – K55 - Dãy ñơn ñiệu không giảm un +1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ Dãy ñơn ñiệu giảm (giảm ngặt) un +1 < un , ∀n ∈ ℕ - Dãy đơn điệu khơng tăng un +1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ - Giới hạn dãy số ðịnh nghĩa Dãy {un }
Ngày đăng: 18/08/2021, 14:17
Xem thêm:
