S GD& T THANH HểA TR NG THPT BA èNH THI TH I H C L N 1 N M 2013 Mụn: TON; Kh i A, B Th i gian lm bi: 180 phỳt Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 i m) Câu I (2,0 im) Cho hm s 2 1 1 x y x + = cú th l (C) 1. Kh o sỏt s bi n thiờn v v th (C) c a hm s . 2. Tỡm cỏc giỏ tr m ng th ng 3 y x m = + c t (C) t i A v B sao cho tr ng tõm c a tam giỏc OAB thu c ng th ng 2 2 0 x y = (O l g c t a ). Cõu II ( 2,0 điểm) 1. Gi i b t phửụng trỡnh 3 2 (3 4 4) 1 0 x x x x + + 2. Gi i phửụng trỡnh cos cos 3 1 2 sin 2 4 x x x + = + + Câu III (1,0 điểm) Tớ nh tớch phõn 2 2 0 1 3 sin 2 2cos x xdx + Câu IV (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nh t, , 2 2 AB a AD a = = . Hỡnh chi u vuụng gúc c a i m S trờn m t ph ng (ABCD) trựng v i tr ng tõm tam giỏc BCD. ng th ng SA t o v i m t ph ng (ABCD) m t gúc 45 0 . Tớnh th tớch c a kh i chúp S.ABCD v kho ng cỏch gi a hai ng th ng AC v SD theo a . Câu V (1,0 điểm) Cho x , y , z l cỏc s th c d ng. Ch ng minh b t ng th c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) x xy y yz z zx y zx z z xy x x yz y + + + + + + + + + + + PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc ph n B) A. Theo ch ng trỡnh chu n Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong m t ph ng Oxy, cho hai ng th ng d 1 : 3 5 0x y+ + = , d 2 : 3 1 0x y+ + = v i m ( 1 ; 2)I . Vi t ph ng trỡnh ng th ng i qua I v c t d 1 , d 2 l n l t t i A v B sao cho 2 2AB = . 2. Trong khụng gian Oxyz, cho hai i m A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) v m t ph ng (P) cú ph ng trỡnh 3 2 0 x y z + + = . Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (Q) l m t ph ng trung tr c c a o n AB. G i l giao tuy n c a (P) v (Q). Tỡm i m M thu c sao cho o n th ng OM nh nh t. Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm s ph c z th a món ( 1 3 )i z l s th c v 2 5 1z i + = . B. Theo chơng trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong m t ph ng Oxy , cho hai ng th ng d 1 : 3 5 0 x y + + = , d 2 : 3 5 0 x y + = v i m ( 1 ; 2) I . G i A l giao i m c a d 1 v d 2 . Vi t ph ng trỡnh ng th ng i qua I v c t d 1 , d 2 l n l t t i B v C sao cho 2 2 1 1 AB AC + t giỏ tr nh nh t. 2. Trong khụng gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) vaứ C(2;2;1) v m t ph ng (P): x + 3y z + 2 = 0 . Tỡm t a i m M thu c m t ph ng (P) sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 t giỏ tr nh nh t. Cõu VII.b (1,0 im) Gi i h ph ng trỡnh () ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2log 2 2 log 1 6 log 5 log 4 1 x y x y xy y x x y x + + + + + = + + = --------------------------------------------------Hết----------------------------------------------------- Cm n (trongxuanhp@gmail.com) ó gi ti www.laisac.page.tl Đ ÁP ÁN VÀ BI Ể U Đ I Ể M CH Ấ M Câu Ý N ộ i dung Đ i ể m Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố 2 1 1 x y x + = − 1,00 TX Đ : { } \ 1ℝ . 2 3 ' 0, 1 ( 1) y x x − = < ∀ ≠ − 0,25 Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên các kho ả ng ( ;1) và (1; ) −∞ +∞ 1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x + − → → + + = +∞ = −∞ ⇒ − − TC Đ : 1x = 2 1 lim 2 1 x x x →±∞ + = ⇒ − TCN : 2 y = 0,25 L ậ p BBT x −∞ 1 +∞ y’ - - y 2 −∞ +∞ 2 0,25 1 Đồ th ị 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -4 -2 2 4 6 1 0,25 tr ọ ng tâm c ủ a tam giác OAB thu ộ c đườ ng th ẳ ng 2 2 0 x y − − = (d) 1,00 Pt hoành độ giao đ i ể m: 2 1 3 1 x x m x + = − + − . V ớ i đ k 1 x ≠ 2 PT 2 1 ( 1)( 3 ) 3 (1 ) 1 0 (1) x x x m x m x m ⇔ + = − − + ⇔ − + + + = 0,25 D c ắ t (C) t ạ i A và B ⇔ Pt (1) có 2 nghi ệ m khác 1 2 11 (1 ) 12( 1) 0 ( 1)( 11) 0 1 3 (1 ) 1 0 m m m m m m m m > ∆ = + − + > ⇔ ⇔ + − > ⇔ < − − + + + ≠ 0,25 I 2 Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của (1). Khi đó 1 1 2 2 ( ; 3 ), ( ; 3 ) A x x m B x x m − + − + G ọi I là trung điểm của AB 1 2 1 1 , 3 2 6 2 I I I x x m m x y x m + + − ⇒ = = = − + = 0,25 G ọ i G là tr ọ ng tâm tam giác OAB 2 1 1 ; 3 9 3 m m OG OI G + − ⇒ = ⇒ 1 1 11 2. 2 0 9 3 5 m m G d m + − ∈ ⇔ − − = ⇔ = − (TM). V ậ y 11 5 m = − 0,25 Giả i b ấ t phöông trình 3 2 (3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤ 1,00 Đ i ề u ki ệ n : 1 x ≥ − . Đặ t 2 0 1 1 y y x y x ≥ = + ⇔ = + Bpt tr ở thành 3 2 2 (3 4 ) 0 x x y y + − ≤ 0,25 TH 1. 0 1 y x = ⇔ = − . Th ỏ a mãn BPT TH 2. 0 1 y x > ⇔ > − . Chia hai v ế cho 3 y ta đượ c 3 2 3 4 0 x x y y + − ≤ . Đặt x t y = và gi ải BPT ta được 1 t ≤ 0,25 2 1 0 0 1 1 1 1 0 x x x t x x y x x − ≤ < ≥ ≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − − ≤ 0,25 1 1 0 0 1 5 1 2 1 5 1 5 2 2 x x x x − ≤ < ≥ + ⇔ − ≤ ≤ − + ≤ ≤ . K ế t h ợ p 1 x > − ta đượ c 1 5 1 2 x + − < ≤ . V ậ y t ậ p nghi ệ m c ủ a BPT là S = 1 5 1; 2 + − 0,25 Gi ả i phöông trình cos cos3 1 2 sin 2 4 x x x π + = + + 1,00 ⇔ = + + 2 cos 2x cos x 1 sin 2x cos 2x 0,25 ⇔ − = + cos 2x(2 cos x 1) 1 2sin x cos x ⇔ − − = + 2 2 2 (cos x sin x)(2 cos x 1) (cos x sin x) + = ⇔ − − = + cos x sin x 0 (1) (cos x sin x)(2 cos x 1) cos x sin x (2) 0,25 π π π ⇔ + = ⇔ + = π ⇔ = − + π (1) 2 sin x 0 x k x k 4 4 4 0,25 II 2 π = = + π ⇔ − − = ⇔ ⇔ π + = π π + = ± + π cos x 0 x k 2 (2) 2 cos x(cos x sin x 1) 0 2 cos x 1 x k2 4 4 4 V ậ y pt có nghi ệ m là π = − + πx k 4 , π = + πx k 2 , = πx k2 0,25 III Tí nh tích phân I = 2 2 0 1 3sin 2 2cosx xdx π − + ∫ 1,00 2 2 2 2 2 0 0 0 1 3sin 2 2cos (sin 3cos ) sin 3 cosI x xdx x x dx x x dx π π π = − + = − = − ∫ ∫ ∫ 0,25 sin 3cos 0 tan 3 3 x x x x k π π − = ⇔ = ⇔ = + Do 0; 2 x π ∈ nên 3 x π = 0,25 3 2 0 3 sin 3 cos sin 3 cosI x x dx x x dx π π π = − + − ∫ ∫ 3 2 0 3 (sin 3cos ) (sin 3cos )x x dx x x dx π π π = − + − ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 0 3 cos 3 sin cos 3sinx x x x π π π = − − + − − 0,25 1 3 1 3 1 3 3 3 2 2 2 2 = − − + + − + + = − 0,25 Tính th ể tích c ủ a kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AC và SD theo a . 1,00 G ọ i H là tr ọ ng tâm tam giác BCD. Theo GT ( ) SH ABCD ⊥ G ọ i 2 1 2 3 3 O AC BD CH CO AC a AH AC HC a = ∩ ⇒ = = = ⇒ = − = SA t ạ o v ớ i đ áy góc 45 0 suy ra 0 45 2 SAH SH AH a = ⇒ = = 0,25 G ọ i V là th ể tích kh ố i chóp S.ABCD thì 3 1 1 4 2 . .2 2 .2 3 3 3 ABCD V S SH a a a a = = = 0,25 G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a SB. M ặ t ph ẳ ng (ACM) ch ứ a AC và // SD Do đ ó ( ; ) ( ;( )) ( ;( )) d SD AC d SD ACM d D ACM = = Ch ọ n h ệ t ọ a độ Oxyz nh ư hình v ẽ . Khi đ ó 2 4 2 (0;0;0), ( ;0;0), (0;2 2 ;0), ; ;2 , ( ;2 2 ;0) 3 3 a a A B a D a S a C a a 0,25 IV 5 2 2 ; ; 6 3 a a M a . ( ;2 2 ;0) AC a a = 5 2 2 ; ; 6 3 a a AM a = ⇒ 2 2 2 (2 2 ; ; 2 ) AC AM a a a ∧ = − − M ặ t ph ẳ ng (ACM) đ i qua đ i ể m A và có vtpt (2 2; 1; 2)n = − − nên có ph ươ ng trình là 0,25 M H O B D C A S 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ;( )) 8 1 2 11 a a x y z d D ACM − − − = ⇒ = = + + Ch ứ ng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) x xy y yz z zx y zx z z xy x x yz y + + + + + ≥ + + + + + + (1) 1,00 Ta có 2 2 ( ) ( . . . ) ( )( ) y zx z y y x z z z y x z y z z + + = + + ≤ + + + + 2 2 2 2 1 1 2 2 ( )( 2 ) ( )( 2 ) ( ) ( ) x xy x xy x y z y z x y z y z y zx z y zx z + + ⇒ ≥ ⇔ ≥ + + + + + + + + + + 0,25 2 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 x xy x xy xz x x x x y z y z x y z y z + + + = + − = − + + + + + + 2 2 x x y z x y z = − + + + . T ươ ng t ự , c ộ ng l ạ i ta đượ c VT (1) 2 2 2 1 2 2 2 x y z y z z x x y ≥ + + − + + + 0,25 2 2 2 2 2( ) 2 1 1 2 2 2 3( ) x y z x y z xy xz yz yx zx zy xy yz zx + + = + + − ≥ − + + + + + 0,25 V Chứng minh được 2 ( ) 3( )x y z xy yz zx+ + ≥ + + . Suy ra VT (1) 2 1 1 ≥ − = Đẳ ng th ứ c x ả y ra x y z= = 0,25 Vi ế t pt đ t đ i qua I và c ắ t d 1 , d 2 l ầ n l ượ t t ạ i A và B sao cho 2 2AB = 1,00 1 2 ( ; 3 5); ( ; 3 1) A d A a a B d B b b ∈ ⇒ − − ∈ ⇒ − − ( 1; 3 3) 0; ( 1; 3 1) IA a a IB b b = − − − ≠ = − − + I, A, B th ẳ ng hàng 1 ( 1) 3 1 ( 3 3) b k a IB kIA b k a − = − ⇒ = ⇔ − + = − − 0,25 N ế u 1 1 4 a b AB = ⇒ = ⇒ = (không TM) N ế u 1 3 1 ( 3 3) 3 2 1 b b a a b a − ⇒ − + = − − ⇔ = − − 0,25 [ ] 2 2 2 2 ( ) 3( ) 4 2 2 (3 4) 8, AB b a a b t t t b a = − + − + = ⇔ + + = = − 2 2 5 12 4 0 2 5 t t t t = − ⇔ + + = ⇔ = − 0,25 1 2 2 2, 4 :5 3 0 t b a b a x y = − ⇒ − = − ⇒ = = ⇒ ∆ + − = 2 2 6 8 , :13 11 0 5 5 5 5 t b a b a x y − − = ⇒ − = ⇒ = = ⇒ ∆ + − = 0,25 Tìm đ i ể m M thu ộ c ∆ sao cho đ o ạ n th ẳ ng OM nh ỏ nh ấ t 1,00 VI.a 2 G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a AB 3 3 3 ; ; . ( 1; 1; 1) 2 2 2 I AB − − ⇒ = − − − Pt (Q) là 3 0 2 x y z + + + = 0,25 Đườ ng th ẳ ng ∆ đ i qua đ i ể m 7 1 ;0; 4 4 I − và có vtcp (2; 1; 1) u = − − Pt tham s ố c ủ a ∆ là 7 2 4 1 4 x t y t z t = − + = − = − 0,25 2 7 1 25 2 ; ; . 12 15 4 4 4 M M t t t OM t t ∈∆ ⇒ − + − − = − + 0,25 OM nhỏ nhất 5 19 5 3 ; ; 8 6 8 8 t M = ⇒ − − 0,25 Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 ) i z − là số th ự c và 2 5 1z i− + = . 1,00 Gi ả s ử z x yi= + , khi đ ó (1 3 ) (1 3 )( ) 3 ( 3 ) i z i a bi a b b a i − = − + = + + − 0,25 (1 3 ) i z − là s ố th ự c 3 0 3 b a b a ⇔ − = ⇔ = 0,25 2 2 2 5 1 2 (5 3 ) 1 ( 2) (5 3 ) 1 z i a a i a a − + = ⇔ − + − = ⇔ − + − = 0,25 VII.a 2 2 2 6 10 34 29 1 5 17 14 0 7 21 5 5 a b a a a a a b = ⇒ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = Vậy 7 21 2 6 , 5 5 z i z i= + = + 0,25 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và c ắt d 1 , d 2 lần lượt tại B và C sao cho 2 2 1 1 AB AC + đạt giá trị nhỏ nhất 1,00 1 2 1 2 , ( 2;1) d d d d A A ⊥ ∩ = ⇒ − 0,25 G ọ i H là hình chi ế u c ủ a A trên BC. ∆ ABC vuông tại A nên 2 2 2 1 1 1 AB AC AH + = 0,25 2 2 1 1 AB AC + nh ỏ nh ấ t 2 1 AH ⇔ nh ỏ nh ấ t AH ⇔ l ớ n nh ấ t H I⇔ ≡ 0,25 1 Khi đ ó ∆ qua I và có vtpt ( 1; 1) n AI = = − − . Pt ∆ là 1 0 x y + + = 0,25 Tìm M thu ộ c (P) sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t 1,00 G ọ i G là tr ọ ng tâm tam giác ABC. Ch ứ ng minh đượ c MA 2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 0,25 MA 2 + MB 2 + MC 2 nh ỏ nh ấ t MG nh ỏ nh ấ t M⇔ là hình chi ế u c ủ a G trên (P). 0,25 VI.b 2 Tìm đượ c t ọ a độ 4 2 1; ; 3 3 G 0,25 Tìm đượ c 22 61 17 ; ; 3 3 3 M − 0,25 Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2log 2 2 log 1 6(1) log 5 log 4 1 (2) x y x y xy y x x y x − + − + − + − + + − = + − + = 1,00 Đ k Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 1 1 0 0 1 1 2 0 2 1 x x y y ≠ − > ≠ < ⇔ ≠ + > − < ≠ − 0,25 ( ) ( ) 1 2 (1) 2log (1 ) 2 2log 1 6 x y x y x − + ⇔ − + + − = ( ) ( ) 1 2 2 2log 2 2log 1 6 x y y x − + ⇔ + + + − = . 0,25 Đặ t 1 log ( 2) x t y − = + ta đượ c 2 2 2 2 6 2 4 2 0 1 t t t t t ⇔ + + = ⇔ − + = ⇔ = 0,25 VII.b 2 1 y x + = − Thế vào (2) ta được ( ) ( ) 1 1 1 2 2 log 2 log 4 1 log 1 1 4 4 x x x x x x x x x x − − − + + + − + = ⇔ = ⇔ = − + + 2 2 6 (TM) 4 2 0 2 6 (KTM) x x x x = − − − = ⇔ = + V ậ y 2 6, 1 6 x y = − = − − 0,25 www.MATHVN.com