Khóa luận Động học của nguyên tử siêu lạnh trong bẫy quang học

Mục lục Danh mục chữ viết tắt i Danh sách hình vẽ ii MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Bài toán hệ lượng tử tuần hoàn 1.2 Bài toán Wannier - Stark 1.2.1 Bậc thang Wannier - Stark 1.2.2 Hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener 10 1.2.3 Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học 11 1.2.3.1 Bẫy quang học 11 1.2.3.2 Dao động Bloch 14 1.2.3.3 Dao động Bloch cổ điển 16 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH 19 2.1 Sơ đồ tính tốn mơ 19 2.2 Phương pháp chia ô Fourier 21 2.2.1 Bài toán TISE 21 2.2.2 Bài toán TDSE 22 CHƯƠNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 24 3.1 3.2 Kiểm chứng tính xác thuật toán cho toán dao động tử điều hòa chiều 24 3.1.1 Bài tốn dao động tử điều hịa chiều 24 3.1.2 Tính xác chương trình 25 Quá trình động học nguyên tử siêu lạnh 30 3.2.1 30 Biểu bó sóng 3.2.1.1 Sự phụ thuộc dao động Bloch vào cường độ trường 3.2.1.2 31 Sự phụ thuộc dao động Bloch vào độ cao rào quang học 34 Vận tốc nhóm vận tốc trung bình ngun tử 37 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 3.2.2 Danh mục chữ viết tắt Chữ viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh BEC Ngưng tụ Bose - Einstein Bose - Einstein condensation MOT Bẫy từ quang học Magneto - optical trap RWA Phép gần xoay mặt phẳng sóng Rotating wave approximation SBA Gần đơn mạng Single band approximation TBA Gần tight - binding Tight - binding approximation TISE Phương trình Schrăodinger dng TDSE Time - Independent Schrăodinger Equation Phng trỡnh Schrăodinger ph Time - dependent Schrăodinger thuc thi gian Equation i Danh sách hình vẽ 1.1 Tần suất xuyên ngầm Landau - Zener 11 1.2 Bố trí nguồn laser để tạo bẫy quang học ba chiều 12 1.3 Cấu trúc vùng lượng hệ bẫy quang học 14 1.4 Dao động Bloch không gian động lượng 16 2.1 Sơ đồ tính tốn mơ 20 3.1 Sự sai khác mức lượng so với kết giải tích 26 3.2 Hàm mật độ xác suất dao động tử điều hòa 28 3.3 Hàm mật độ xác suất trạng thái n = 100 sai số tương đối tương ứng 29 3.4 Sự sai khác hàm mật độ xác suất theo thời gian 29 3.5 Biểu bó sóng dao động tử điều hịa 30 3.6 Biểu bó sóng thay đổi cường độ trường tuyến tính 32 3.7 Xác suất xuyên ngầm Landau - Zener 33 3.8 Sự phụ thuộc biên độ dao động Bloch vào cường độ trường 34 3.9 Biểu bó sóng thay đổi chiều cao rào 35 3.10 Cấu trúc vùng lượng hệ bẫy quang học 36 3.11 Sự phụ thuộc biên độ dao động Bloch vào chiều cao rào quang học 37 3.12 Dao động Bloch cổ điển 37 3.13 Vận tốc nhóm vận tốc trung bình nguyên tử 39 ii MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ngày nay, nghiên cứu nguyên tử siêu lạnh, nhiệt độ thấp lĩnh vực hấp dẫn, đông đảo cộng đồng khoa học quan tâm Để đưa nguyên tử trạng thái có nhiệt độ thấp này, kĩ thuật làm lạnh làm lạnh bay (evaporative cooling) hay kĩ thuật bẫy nguyên tử bẫy từ quang học (magneto - optical trap - MOT) thường sử dụng Nhắc đến kĩ thuật bẫy nguyên tử, không đề cập đến bẫy quang học (optical lattice), xem phương pháp hiệu ứng dụng để tạo ngưng tụ Bose - Einstein (Bose - Einstein condensation - BEC) miền nhiệt độ thấp (xấp xỉ vài nK) Đặc trưng cho loại bẫy tính tuần hồn hồn hảo nó, mang đến nhiều ứng dụng với ưu điểm vượt trội nghiên cứu thực nghiệm Trong vật lí chất rắn, biểu hệ lượng tử hàm có tính chất tuần hồn tốn phổ biến mang đến nhiều thông tin hấp dẫn cấu trúc vùng lượng Bloch hay hàm sóng Bloch hệ có tính tuần hồn với chu kì tuần hồn Khi đặt thêm trường ngồi tuyến tính vào hệ nguyên tử tuần hoàn, phổ lượng hệ trở thành phổ gián đoạn, biết đến với tên gọi phổ bậc thang Wannier - Stark [1] Bên cạnh đó, nhờ vào đóng góp trường ngồi tuyến tính, hạt mức lượng thấp chuyển lên vùng lượng cao, vượt qua vùng cấm lượng cấu trúc lượng Bloch Đó tượng xuyên ngầm Landau - Zener [2] Ngoài bậc thang Wannier - Stark hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, dao động Bloch hiệu ứng quan trọng nghiên cứu nguyên tử siêu lạnh, nhận quan tâm nhiều nhóm nghiên cứu Bài toán hệ lượng tử đặt tác dụng tuần hồn trường ngồi tuyến tính hay cịn gọi tốn Wannier - Stark Lần lượt vào năm 1929 1934, Bloch Zener cơng bố nghiên cứu tính tốn lí thuyết cho electron tinh thể đặt trường tĩnh điện [3] Theo suy luận thông thường, electron hạt mang điện, bị đặt vào trường tĩnh điện chịu tác dụng lực điện qE Tuy nhiên, hai nhà khoa học cho rằng, thay trường bị gia tốc với giá trị a = me bị gia tốc tuyến tính, electron tiến hành dao động đặc biệt, gọi dao động Bloch với chu kì xác định TB = 2π dF (1) Tuy nhiên, giả thuyết vấp phải sóng tranh cãi dội suốt nhiều năm liền nhà khoa học Hàng loạt cơng trình cơng bố để phản bác ủng hộ lí thuyết Bloch Zener đưa [4],[5],[6] Vào thời điểm này, nghiên cứu thực nghiệm chưa thể liệu dao động Bloch có tồn hay khơng chưa thể tạo thông số phù hợp để quan sát biểu hệ khoảng thời gian đủ dài để kết luận sử dao động Với đời bán dẫn siêu mạng (semiconductor superlattices), điều kiện tiên để tạo thời gian quan sát phù hợp đáp ứng Vào năm 1992, Karl Leo đồng nghiệp gián tiếp quan sát dao động Bloch bán dẫn siêu mạng [7], qua thức chấm dứt nghi ngờ tượng Mặc dù chứng minh tồn dao động Bloch bán dẫn siêu mạng chưa phải công cụ tối ưu để đưa kết thực nghiệm rõ ràng, trực tiếp Những khuyết điểm bán dẫn siêu mạng khắc phụ tuyệt đối việc sử bẫy quang học để thay Nhờ vào đó, năm 1996, Dahan cộng đưa bố trí thí nghiệm sau: thời điểm ban đầu, nguyên tử bị giam bẫy quang học bẫy điều hịa; sau đó, bẫy điều hịa bị tắt trường tuyến tính bật lên đột ngột Với xếp dao động Bloch không gian động lượng quan sát, mở nhiều nghiên cứu tiềm khác liên quan đến BEC [8] Năm 2001, Morsch cơng bố cơng trình tạp chí Physical Review Letters sau quan sát dao động Bloch nguyên tử 87 Rb trạng thái BEC [9] Vào năm 2013, nhóm nghiên cứu thực nghiệm Bắc Kinh đề xuất phương pháp rút ngắn khoảng thời gian để đưa nguyên tử 87 Rb trạng thái BEC vào mức kích thích mạng quang học [10], đồng thời đưa tính tốn lý thuyết tương ứng Để phát triển nghiên cứu này, trình động học nguyên tử siêu lạnh cần làm rõ, biểu cụ thể qua dao động Bloch Gần đây, năm 2017, nghiên cứu dao động Bloch diễn sôi với cơng bố tạp chí khoa học tiếng nghiên cứu dao động Bloch không dùng đến tính tuần hồn mạng, cơng bố tạp chí Science [11] hay nâng cao tính hiệu dao động Bloch giới hạn mơ hình tight - binding [12], dao động Bloch nguyên tử BEC quang học tạo hố quang học có tính chuẩn xác cao [13] tạp chí Physical Review A Vì vậy, nghiên cứu dao động Bloch có tính ứng dụng cao mang tính thời Hiện nước, theo ghi nhận tác giả, dao động Bloch chủ đề chưa có cơng bố khoa học từ nhóm nghiên cứu hay cá nhân Từ kết nghiên cứu chọn đề tài "ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRONG BẪY QUANG HỌC" để thực khóa luận tốt nghiệp, để nghiên cứu sâu chủ đề Trong khuôn khổ luận văn này, tiến hành khảo sát dao động Bloch tác dụng bẫy quang học trường ngồi tuyến tính giới hạn mơ hình gần đơn mạng (single band approximation), đó, xác suất xuyên ngầm Landau - Zener nhỏ, bỏ qua Mục tiêu luận văn Khảo sát trình động học nguyên tử 87 Rb siêu lạnh mạng quang học thông qua nghiên cứu dao động Bloch chương trình giải số phương trình Schrăodinger ph thuc thi gian (TDSE) gii hn ca mơ hình gần đơn mạng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp giải số: sử dụng giải thuật Fourier để giải TDSE Từ đó, kết sử dụng để mô dao động Bloch không gian tọa độ đại lượng liên quan Trong phương pháp giải số này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 để lập trình tính tốn, xử lý số liệu Nội dung nghiên cứu • Tìm hiểu tốn Wannier - Stark mơ hình gần để giải tốn • Kiểm chứng độ tin cậy chương trình giải số cho trường hợp tốn dao động tử điều hịa chiều • Sử dụng chương trình giải số tính tốn đại lượng liên quan vận tốc trung bình hay cấu trúc vùng lượng hệ • Mơ chuyển động bó sóng khơng gian tọa độ thay đổi giả động lượng theo thời gian với mơ hình gần đơn mạng Từ đó, đưa kết luận phạm vi áp dụng mô hình • So sánh kết mơ dựa việc giải TDSE với kết theo thuyết cổ điển thơng qua việc giải phương trình Hamilton • So sánh kết giải số với kết thực nghiệm Dahan công bố [8] Đối tượng nghiên cứu Trong luận văn này, nguyên tử siêu lạnh bị giam bẫy quang học tác dụng trường tuyến tính khảo sát Nội dung luận văn • Chương 1: Cơ sở lí thuyết: Trình bày tính chất hệ lượng tử tốn Wannier - Stark Từ đó, sâu vào tìm hiểu trình dao động Bloch hệ Đặc biệt, chi tiết kĩ thuật bẫy quang học trình dao động Bloch bẫy quang học nhấn mạnh Ngoài ra, dao động Bloch cổ điển giới thiệu phần • Chương 2: Phương pháp tính: Giới thiệu chương trình giải số sử dụng để giải toán Wannier - Stark Sau đó, trình bày thuật tốn sử dụng để mơ biểu bó sóng • Chương 3: Kết nghiên cứu Kiếm chứng tính xác chương trình giải số thơng qua tốn dao động tử điều hịa chiều Ngồi ra, q trình động học bó sóng, mà cụ thể dao động Bloch, tác dụng mạng quang học trường tuyến tính khảo sát Chương 1: 1.1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT Bài tốn hệ lượng tử tuần hồn Bài tốn hệ lượng tử tuần hoàn vấn đề quen thuộc mơn vật lí chất rắn, mang đến nhiều ứng dụng thực tế Các toán thu hút quan tâm nhà khoa học tính chất tuần hồn hàm sóng, cịn gọi hàm Bloch Xét Hamiltonian hệ ˆB = − H ∂2 + V (x), 2m ∂x2 (1.1) với V (x) hàm có tính chất tuần hồn với chu kì d cho V (x) = V (x + d), (1.2) việc giải phương trình Schrăodinger dng (Time-Independent Schrăodinger Equation TISE) B (x) = En (q)φnq (x), H (1.3) hàm sóng hệ với Hamiltonian Bloch (1.1) tuân theo định lý Bloch: Hàm riêng phương trình sóng cho hệ tuần hồn xác định tích sóng phẳng hàm tuần hồn uq với chu kì chu kì hàm thế, biểu diễn qua biểu thức φnq (x) = exp iqx unq (x) (1.4) Trong hàm u(x) mang tính chất tuần hồn với chu kì tương tự với chu kì hàm V (x) unq (x) = unq (x + d) (1.5) sát dao động Bloch Hamiltonian cho ˆ = − ∂ + ξ sin2 (χ) + αχ H ∂χ2 (3.19) Ngồi ra, thơng số liên quan để thực mơ giới thiệu: • Bước sóng xung laser dùng để tạo bẫy quang học: λ = 852nm [8] • Tần số bẫy điều hịa f = 100Hz • Đối tượng nguyên tử khảo sát: 3.2.1.1 87 Rb Sự phụ thuộc dao động Bloch vào cường độ trường Để khảo sát phụ thuộc vào hệ số α, thông số khác giữ nguyên không đổi chiều cao rào ξ = Khi tiến hành tăng dần cường độ trường ngoài, biên độ dao động Bloch giảm dần đồng thời chu kì Bloch tăng lên, biểu diễn cụ thể qua hình vẽ (3.6) với cột màu biểu thị xác suất tồn hạt Trong biểu diễn Bloch, động lượng tinh thể gia tốc tuyến tính theo lý thuyết cổ điển Tuy nhiên, biên vùng Brillouin thứ nhất, tượng phản xạ Bragg xảy ra, tạo nên tuần hoàn bó sóng khơng gian động lượng theo chu kì Bloch Cụ thể, trường hợp α = 0.005; 0.01 0.05, dao động Bloch xảy rõ ràng với chu kì Bloch tương ứng Tuy nhiên, tăng giá trị trường lên đến α = 0.1, phần dao động rõ nét hạt trạng thái ba trường hợp kể trên, khơng gian tọa độ, cịn có tách bó sóng dao động với biên độ lớn Điều giải thích hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, tăng cường độ trường lên đến giá trị đủ lớn, hạt bị giam hãm bẫy quang học có đủ lượng để vượt qua vùng cấm mức lượng chuyển từ mức lượng thấp lên mức mức lượng cao [16], [26] Ở đây, chúng tơi trình bày cụ thể xác suất xuyên ngầm Landau - Zener từ trạng thái lên bốn trạng thái kích thích tính tốn chương trình giải số cho trạng thái hệ ứng với giá trị trường ngồi α = 0.1 qua hình (3.7) Với hai chuyển mức 31 Hình 3.6: Biểu bó sóng năm chu kì Bloch thay đổi cường độ trường tuyến tính giá trị α 0.005; 0.01; 0.05 0.1 biểu diễn Wannier (hình bên trái) biểu diễn Bloch (hình bên phải) 32 lượng đầu tiên, từ trạng thái lên trạng thái kích thức thứ (đường liền nét màu đỏ) thứ hai (đường đứt nét màu lam), xác suất xuyên ngầm Landau - Zener đạt cực đại vào chu kì cuối trình lan truyền bó sóng với giá trị xấp xỉ 0.07 Xác suất tương đối lớn giới vi mô Đối với chuyển mức lượng từ trạng thái lên trạng thái kích thích thứ ba (đường chấm gạch màu đen), xác suất có cực trị cuối chu kì Bloch, nhiên xác suất nhỏ, xấp xỉ 0.01 chu kì cuối Đối với trạng thái kích thích cao nữa, xác suất giảm dần giá trị Như vậy, thành phần dao động với xác suất nhỏ xác suất thành phần trạng thái xảy trường hợp α = 0.1 chủ yếu đóng góp từ hạt trạng thái kích thích thứ trạng thái kích thích thứ hai Hình 3.7: Xác suất xun ngầm Landau - Zener hệ từ trạng thái lên bốn mức kích thích cường độ trường ngồi α = 0.1 Để kết lại phần trình bày phụ thuộc dao động Bloch vào cường độ trường ngồi tuyến tính, đồ thị phụ thuộc biên độ dao động vào Bloch vào cường độ điện trường thể qua đồ thị (3.8) Trong miền cường độ trường thỏa phạm vi áp dụng mơ hình gần đơn mạng, biên độ dao động giảm nhanh tăng cường độ trường ngồi 33 Hình 3.8: Sự phụ thuộc biên độ dao động Bloch vào cường độ trường 3.2.1.2 Sự phụ thuộc dao động Bloch vào độ cao rào quang học Sự phụ thuộc vào chiều cao rào bó sóng biểu diễn Bloch Wannier khảo sát việc giữ cố định giá trị cường độ trường α = 0.01 hình (3.11) Như trình bày, hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener xảy hạt trạng thái có mức lượng thấp trường cung cấp thêm lượng để vượt qua vùng cấm đạt trạng thái kích thích cao Như vậy, việc tăng cường độ trường ngồi tuyến tính, vùng cấm lượng nới rộng để loại bỏ hoàn toàn hiệu ứng xuyên ngầm Để thực điều này, chiều cao rào nâng lên, làm cho vùng cấm lượng trở nên rộng hơn, biểu thị thơng qua hình (3.10) Từ trái sang phải, chiều cao rào nâng lên qua giá trị ξ = 1.0, ξ = 2.0 ξ = 4.0 Ứng với rào có chiều cao lớn, dấu hiệu phần tử trạng thái kích thích khơng cịn Lúc này, mơ hình gần đơn mạng áp dụng Có thể thấy, tăng dần độ cao rào thế, biên độ dao động giảm dần chu kì dao động giữ nguyên; điều phù hợp với tính tốn lí thuyết trình bày chương hai Cũng cần lưu ý, trường hợp ξ = 0.5, dao động Bloch không gian động lượng tọa độ xuất dấu hiệu hạt mức lượng cao Trong 34 Hình 3.9: Biểu bó sóng thay đổi chiều cao rào với giá trị ξ 0.5; 2.0; 4.0 8.0 thể khơng gian tọa độ (hình bên trái) khơng gian động lượng (hình bên phải) khơng gian động lượng, vị trí biên vùng Brillouin thứ nhất, dấu hiệu trạng thái kích thích liền kề rõ nét Điều lí giải thơng qua hình (3.10), vị trí biên, vùng cấm lượng có bề rộng hẹp, vào khoảng xấp xỉ 0.2ER , hạt có xác suất xuyên ngầm từ trạng thái lên trạng thái kích thích cao trị trí Khi rào nâng lên giá trị ξ = 1.0, hiệu ứng xuyên ngầm loại bỏ, dao động Bloch 35 Hình 3.10: Cấu trúc mạng lượng hệ bẫy quang học tiến hành thay đổi chiều cao rào Hình (a): ξ = 1.0; hình (b): ξ = 2.0; hình (c): ξ = 4.0 quan sát rõ rệt hai cách biểu diễn Như vậy, mơ hình gần đơn mạng mơ hình TBA áp dụng chiều cao rào có giá trị ξ ≥ 1.0, nghiệm với kết cơng bố [27] Từ đó, phụ thuộc biên độ dao động vào chiều cao rào thể qua hình (3.11) Trục hồnh đồ thị giới hạn miền ξ ≥ 1.0 để phù hợp với phép gần đơn mạng mơ hình TBA sử dụng xun suốt chương ba Bên cạnh đó, dao động Bloch lượng tử cịn so sánh với dao động Bloch cổ điển để đưa kết luận biên độ chu kì dao động Ở đây, dao động Bloch cổ điển thể trường hợp cường độ trường α = 0.01 chiều cao rào ξ = 2.0 Biên độ dao động Bloch lượng tử dao động Bloch cổ điển có giá trị tương 2J ứng A = Tuy nhiên, dựa theo hình (3.12) (3.9), biên độ dao động Bloch lượng tử α biểu cổ điển không trùng khớp với dự đoán lý thuyết Nguyên nhân sai khác phép gần TBA xem xét hai vector tịnh tiến (translational vector) liền kế với gốc tọa độ, mà không quan tâm đến vector tịnh tiến xa [23] Cũng cần nói thêm, biểu bó sóng biểu diễn Bloch gia tốc tuyến tính đến vơ cực 36 Hình 3.11: Sự phụ thuộc biên độ dao động Bloch vào chiều cao rào quang học mà khơng có phản xạ Bragg vùng Brillouin thứ Về mặt chu kì dao động, quan điểm lượng tử quan điểm cổ điển cho kết trùng khớp Hình 3.12: Dao động Bloch cổ điển khơng gian tọa độ (hình bên trái) khơng gian động lượng (hình bên phải) 3.2.2 Vận tốc nhóm vận tốc trung bình nguyên tử Khi tiến hành khảo sát biểu bó sóng, vận tốc lan truyền bó sóng đại lượng cần quan tâm Vận tốc định nghĩa thông qua vận tốc nhóm vg 37 phần tử mức lượng bản, xác định đạo hàm mức lượng theo động lượng tinh thể [28] vg = ∂E0 ∂q (3.20) Sử dụng kết thu từ mơ hình TBA Eq,n = (3.21) ξ − 2J cos(πq) + αχ, vận tốc nhóm xác định công thức (3.22) vg = 2Jπ sin(πq) Từ kết biểu thức trên, trường tuyến tính hồn tồn khơng đóng góp vào vận tốc nhóm hệ, có cấu trúc vùng lượng tạo quang học tạo nên vận tốc nhóm Trong vận tốc nhóm thể tốc độ lan truyền bó sóng, vận tốc trung bình ngun tử bị giam hãm xác định v = ∂E ∂q (3.23) , giá trị trung bình đạo hàm lượng theo động lượng tinh thể tính tốn dựa kết cấu trúc vùng lượng từ chương trình giải số Đồ thị (3.13) thể vận tốc nhóm vận tốc trung bình hệ thơng qua chương trình giải số với trường hợp giá trị ξ 1.4 (các đường màu đen), 2.3 (các đường màu lam) 4.4 (các đường màu đỏ) Đây trường hợp nhóm nghiên cứu Dahan đo đạc vào năm 1996 đối tượng nguyên tử 132 Cs Kết cho thấy vận tốc nhóm vận tốc trung bình hạt trạng thái hoàn toàn khác Đây hai khái niệm khác nhau, nhiên, công thức xác định lại gần giống nhau, dễ gây nên hiểu lầm cho người đọc Trong vận tốc nhóm biểu thị tốc độ lan truyền bó sóng vận tốc trung bình cung cấp thông tin dao động hạt Từ đồ thị, vị trí biên vùng Brillouin thứ gốc tọa độ, bó sóng đứng yên, khơng chuyển động Đối với vận tốc trung bình nguyên tử, vận tốc trung bình hạt q = q = ±1 Quá trình động học nguyên tử ba vị trí giải thích thơng qua 38 phương trình động học hệ với khối lượng hiệu dụng m∗ (effective mass) m∗ ∂ v = F ∂t (3.24) Khối lượng hiệu dụng khái niệm đưa để chuyển toán từ hệ với khối lượng thật m thành toán hệ tự với khối lượng m∗ , có giá trị đại số [29] ∗ m = ∂2 E0 (q) ∂q −1 (3.25) Theo cấu trúc vùng lượng hệ hình (3.10), đường độ thị biểu diễn lượng Hình 3.13: Đồ thị biểu thị vận tốc trung bình nguyên tử Cesium (đường liền nét) vận tốc trung bình nguyên tử Rubidium (đường ô vuông) vận tốc nhóm hệ (đường đứt nét) Màu đen, màu lam màu đỏ thể cho trường hợp ứng với chiều cao rào 1.4ER , 2.3ER 4.4ER mức bản, xét gần đúng, có dạng parabol y = ax2 + bx + c với hệ số a < q = ±1 a > q = [16] Như vậy, vị trí biên vùng Brillouin thứ nhất, khối lượng hiệu dụng số âm; gốc tọa độ khối lượng hiệu dụng số dương Từ biểu thức (3.24), kết luận vận tốc vị trí biến đổi tuyến tính với ∂ v F gia tốc = ∗ [8] ∂t m 39 Đồng thời, kết giải số cho vận tốc trung bình nguyên tử Rb luận văn phù hợp với kết công bố cho nguyên tử Cs Dahan cộng tọa độ không thứ nguyên, không phụ thuộc vào đặc tính nguyên tử khảo sát [8] 40 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Trong đề tài khóa luận tốt nghiệp này, chúng tơi kiểm chứng tính xác chương trình giải số thơng qua tốn dao động tử điều hịa chiều Kết cho thấy chương trình giải số cho kết phù hợp kết giải tích, với sai số nhỏ, bỏ qua Qua đó, độ tin cậy khả áp dụng chương trình giải số khẳng định, làm sở để tiến hành mô Tiếp theo, biểu dao động Bloch không gian tọa độ không gian động lượng mơ chương trình giải số giới hạn áp dụng mơ hình gần đơn mạng, bỏ qua trình động học mức lượng Sự phụ thuộc dao động Bloch vào cường độ trường chiều cao rào biểu thị qua đồ thị (3.8) (3.11) Từ đó, chúng tơi đưa kết luận sau: phép gần đơn mạng có khả áp dụng cho hệ bị giam bẫy quang học với chiều cao rào ξ ≥ 1.0 cường độ trường α < 0.1 Điều hoàn toàn phù hợp với nghiên cứu hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, cường độ trường ngồi khơng lớn chiều cao rào không thấp, xác suất xuyên ngầm từ trạng thái thấp lên trạng thái kích thích cao nhỏ [26] Cuối cùng, vận tốc nhóm vận tốc trung bình nguyên tử trình bày để thấy khác biệt hai khái niệm Biểu vận tốc trung bình ngun tử ba vị trí đặc biệt hai biên vùng Brillouin thứ gốc tọa độ khảo sát đưa kết vận tốc biến đổi tuyến tính theo thời gian Ngồi ra, vận tốc trung bình ngun tử so sánh với kết thực nghiệm công bố để chứng minh phù hợp chương trình giải số [8] Trong khn khổ khóa luận này, chúng tơi tiến hành kiểm chứng khả áp dụng độ xác chương trình giải số tìm hiểu dao động Bloch nguyên tử siêu lạnh bẫy quang học Đó nghiên cứu tảng để thực 41 đề tài lĩnh vực BEC khảo sát dao động Bloch cho trường hợp trường mạnh, tượng xuyên ngầm Landau - Zener xảy mạnh; khảo sát dao động Bloch nguyên tử trạng thái BEC mạng quang học đưa nghiên cứu lí thuyết để kiểm chứng kết thực nghiệm công bố phương pháp đưa nguyên tử trạng thái BEC lên trạng thái kích thích cao khoảng thời gian ngắn [10] 42 Tài liệu tham khảo [1] M Glă uck, A R Kolovsky, and H J Korsch, “Wannier–stark resonances in optical and semiconductor superlattices,” Phys Rep., vol 366, no 3, pp 103–182, 2002 [2] C F Bharucha, K W Madison, P R Morrow, S R Wilkinson, B Sundaram, and M G Raizen, “Observation of atomic tunneling from an accelerating optical potential,” Phys Rev A, vol 55, pp R857–R860, 1997 [3] C Zener, “A theory of the electrical breakdown of solid dielectrics,” Proc R Soc London, Ser A, vol 145, no 855, pp 523–529, 1934 [4] D Emin and C F Hart, “Existence of wannier-stark localization,” Phys Rev B, vol 36, pp 7353–7359, Nov 1987 [5] A Rabinovitch and J Zak, “Does a bloch electron in a constant electric field oscillate?” Physics Letters A, vol 40, no 3, pp 189 – 190, 1972 [6] J Zak, “Stark ladder in solids? a reply to a reply,” Phys Rev., vol 181, pp 1366–1367, May 1969 [7] K Leo, P H Bolivar, F Bră uggemann, R Schwedler, and K Kăohler, Observation of Bloch oscillations in a semiconductor superlattice,” Solid State Commun., vol 84, no 10, pp 943–946, 1992 [8] M B Dahan, E Peik, J Reichel, Y Castin, and C Salomon, “Bloch oscillations of atoms in an optical potential,” Phys Rev Lett., vol 76, no 24, p 4508, 1996 43 [9] O Morsch, J Mă uller, M Cristiani, D Ciampini, and E Arimondo, “Bloch oscillations and mean-field effects of Bose-Einstein condensates in 1D optical lattices,” Phys Rev Lett., vol 87, no 14, p 140402, 2001 [10] Y Zhai, X Yue, Y Wu, X Chen, P Zhang, X Zhou et al., “Effective preparation and collisional decay of atomic condensates in excited bands of an optical lattice,” Phys Rev A, vol 87, no 6, p 063638, 2013 [11] F Meinert, M Knap, E Kirilov, K Jag-Lauber, M B Zvonarev, E Demler, and H.-C Năagerl, Bloch oscillations in the absence of a lattice, Science, vol 356, no 6341, pp 945–948, 2017 [12] P Cladé, M Andia, and S Guellati-Khélifa, “Improving efficiency of Bloch oscillations in the tight-binding limit,” Phys Rev A, vol 95, p 063604, 2017 [13] C Georges, J Vargas, H Keßler, J Klinder, and A Hemmerich, “Bloch oscillations of a Bose-Einstein condensate in a cavity-induced optical lattice,” Phys Rev A, vol 96, p 063615, 2017 [14] A R Kolovsky and H J Korsch, “Bloch oscillations of cold atoms in optical lattices,” Int J Mod Phys B, vol 18, no 09, pp 1235–1260, 2004 [15] T Hartmann, F Keck, H Korsch, and S Mossmann, “Dynamics of Bloch oscillations,” New J Phys., vol 6, no 1, p 2, 2004 [16] O Morsch and M Oberthaler, “Dynamics of Bose-Einstein condensates in optical lattices,” Rev Mod Phys., vol 78, no 1, p 179, 2006 [17] B Wu and Q Niu, “Landau and dynamical instabilities of the superflow of Bose-Einstein condensates in optical lattices,” Phys Rev A, vol 64, p 061603, 2001 [18] J Liu, L Fu, B.-Y Ou, S.-G Chen, D.-I Choi, B Wu, and Q Niu, “Theory of nonlinear Landau-Zener tunneling,” Phys Rev A, vol 66, p 023404, 2002 44 [19] I Bloch, “Ultracold quantum gases in optical lattices,” Nat Phys., vol 1, no 1, p 23, 2005 [20] A J Fox, “Acousto-optic modulator,” 1988, US Patent 4,759,613 [21] T Yamakoshi and S Watanabe, “Wave-packet dynamics of noninteracting ultracold bosons in an amplitude-modulated parabolic optical lattice,” Phys Rev A, vol 91, p 063614, 2015 [22] T Yamakoshi, S Watanabe, S Ohgoda, and A P Itin, “Dynamics of fermions in an amplitude-modulated lattice,” Phys Rev A, vol 93, p 063637, 2016 [23] M Roy, “The tight - binding method,” 2015 [Online] Available: http://www.physics rutgers.edu/~eandrei/chengdu/reading/tight-binding.pdf [24] K T A Bande, J C Tremblay, “Exercise 1: Fourier Grid Hamiltonian method.” [Online] Available: http://userpage.fu-berlin.de/jctremblay/webpage/course/ QRD1617_e1.pdf [25] D Kosloff and R Kosloff, “A Fourier method solution for the time dependent Schrăodinger equation as a tool in molecular dynamics, J Comput Phys., vol 52, no 1, pp 35–53, 1983 [26] M Holthaus, “Bloch oscillations and Zener breakdown in an optical lattice,” J Opt B: Quantum and Semiclassical Opt., vol 2, no 5, p 589, 2000 [27] W Zwerger, “Mott–hubbard transition of cold atoms in optical lattices,” J Opt B: Quantum and Semiclassical Opt., vol 5, no 2, p S9, 2003 [28] D Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, ser Pearson international edition Pearson Prentice Hall, 2005 [29] N Ashcroft and N Mermin, Solid State Physics, ser HRW international editions Holt, Rinehart and Winston, 1976 45 ... giả, dao động Bloch chủ đề chưa có cơng bố khoa học từ nhóm nghiên cứu hay cá nhân Từ kết nghiên cứu chọn đề tài "ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRONG BẪY QUANG HỌC" để thực khóa luận tốt nghiệp,... Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học 1.2.3.1 Bẫy quang học Để tạo bẫy quang học chiều, hai nguồn laser đặt trực diện, chiếu trực tiếp vào tạo nên giao thoa Tương tự vậy, để tạo nên bẫy quang học. .. (evaporative cooling) hay kĩ thuật bẫy nguyên tử bẫy từ quang học (magneto - optical trap - MOT) thường sử dụng Nhắc đến kĩ thuật bẫy nguyên tử, không đề cập đến bẫy quang học (optical lattice), xem