TỔNG hợp CÔNG THỨC TOÁN 9

Tổng hợp kiến thức Tốn TỔNG HỢP CƠNG THỨC TOÁN LUYỆN THI VÀO 10 KIẾN THỨC CƠ BẢN CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA Căn bậc hai – Căn bậc ba Căn bậc hai số không âm a số x cho x2 = a Số dương a có hai bậc hai hai số đối Số có bậc hai số 0, ta viết Với số dương a, số a bậc hai số học a Số bậc hai số học Căn bậc ba : Căn bậc ba số a số Ví dụ: = x a = − a cho x3 = a Căn hai Mọi số a có bậc ba A < B ⇔ A < B AB = A B 3 A 3A = B 3B bậ c A = B ⇔ A = B3 Điều kiện để biểu thức xác định ( có nghĩa) Nếu có A Nếu có mẫu mẫu có nghĩa ⇔ A ≥ f ( x) g ( x) A có nghĩa ⇔ A > f ( x)  f (x) ≥ xác định  g ( x)  g ( x ) ≠  f ( x) ≥0  có nghĩa  g ( x ) g ( x) g x ≠  ( ) có nghĩa g ( x) ≠ f ( x) f ( x) g ( x) g (x) > có nghĩa   f ( x ) ≥  f (x) ≥  f (x) ≤ f ( x ) g ( x ) có nghĩa    g ( x ) ≥  g ( x ) ≤ Chú ý:  f (x) ≥ a Nếu f ( x ) ≥ a ⇔   f ( x ) ≤ − a (với a > ) Nếu f ( x ) ≤ a ⇔ −a ≤ f ( x ) ≤ a (với a > ) Liên hệ phép khai phương – phép nhân – phép chia  f ( x) ≥ a Nếu f ( x ) ≥ a ⇔   f ( x ) ≤ − a Nếu f ( x) ≤ a ⇔− a ≤ f ( x) ≤ a; a > Tổng hợp kiến thức Toán Khai phương tích: AB = A B ( A ≥ 0, B ≥ 0) A A = ( A ≥ 0, B ≠ 0) B B Khai phương thương: Đưa thừa số vào – Với B ≥ ta có:  A B A B =| A | B =   − A B A ≥ A <  A2 B A ≥ Với B ≥ ta có: A B =  − A2 B A < Trục thức mẫu Trục thức mẫu làm cho mẫu số khơng cịn biểu thức chứa Cách 1: Đặt thừa số chung tử số mẫu số, rút gọn: 2− = 2(1 − 3) 1− 1− Cách 2: Nếu mẫu số chứa thừa số có căn, ta nhân với thừa số đó: = A A B A AB = = B B | B| B Cách 3: Nếu mẫu số tổng biểu thức, ta nhân với biểu thức liên hợp 1 C C( A ∓ B) = A − B2 A±B C C( A ∓ B ) = A− B A± B C = A−3 B 3 C = A+3 B C ( ( A2 + AB + B )( A−3 B C ( ( 3 A2 + AB + B A2 − AB + B )( A+3 B ) ) A2 − AB + B ) ) = = C C ( ( A2 + AB + B A− B A2 − AB + B A+ B ) ) Giải phương trình Phương pháp chung: Bước 1: Điều kiện Bước 2: Biến đổi tương đương ( đưa dạng tích, bình phương ) để tìm x Bước 3: So sánh với điều kiện kết luận Một số cách biến đổi hay gặp : A2 = B ⇔ A = ± B A = B 2 A =B⇔ A =B⇔  A = −B B ≥ A=B⇔ A = B  A ≥ 0( hay B ≥ 0) A= B ⇔ A = B A ≥ A < A =B⇔ hay  A = B  A = −B B ≥ A =B⇔  A = B hay A = −B Tổng hợp kiến thức Toán A = B A = B ⇔  A = −B A = A ⇔ A≥ 10 A =−A ⇔ A ≤ A = A + B =0⇔ B = Các dạng toán hay gặp Dạng 1: c <  VN  f ( x ) = c ⇔ c =  f ( x ) =  c >  f ( x ) = c Dạng 2:  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x ) = g ( x ) Dạng 3: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) (tra PP bảng PT giá trị tuyệt đối) Dạng 4: g ( x) ≥  f ( x) = g ( x) ⇔  f ( x) ≥   f ( x) = g ( x) Dạng 5: c <  PTVN  f ( x ) + g ( x ) = c ⇔ c =  f ( x ) = g ( x ) = c >  Binh phuong hai ve Dạng 6: f ( x) + g ( x) = h( x) Các dạng phương trình  f ( x) ≥  • Điều kiện:  g ( x ) ≥ bình phương hai vế thành:  h ( x ) ≥ f ( x ) g ( x ) = h x − g ( x ) − h ( x ) đưa dạng Dạng 7: f ( x) + g ( x) = h( x)  f ( x) ≥  • Điều kiện:  g ( x ) ≥ bình phương hai vế thành:  h ( x ) ≥ f ( x ) g ( x ) = hx − g ( x ) − h ( x ) đưa dạng Dạng 8: f ( x) − g ( x) = h ( x) • Ta chuyển vế đưa Dạng 9: f ( x ) = h ( x ) + g ( x ) làm dạng f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x)  f ( x) ≥  g ( x) ≥ • Điều kiện:  bình phương hai vế h x ≥ ( )  k x ≥  ( ) Dạng 10: a f ( x ) + b + c f ( x ) + d = • Tìm điều kiện đặt f ( x ) = t , sau bình phương hai vế để giải Dạng 11: a f ( x ) + b = c f ( x ) + d Tổng hợp kiến thức Toán c f ( x ) + d = t • Tìm điều kiện đặt • Bình phương rút f ( x ) theo t để đưa vế phương trình ẩn t ( bx + c )( ex + g ) + hx = Dạng 12: a bx + c + d ex + g + • Tìm điều kiện đặt a bx + c + d ex + g = t ( bx + c )( ex + g ) theo t • Bình phương hai vế So sánh bậc hai A Tính trực tiếp so sánh So sánh 16 + 16 + Ta có 16 + = 25 = 16 + = + = >  16 + > 16 + B Đưa thừa số vào trong, so sánh So sánh 27 147 : Ta có 27 = 108 < 147 C Lũy thừa hai vế so sánh 2005 + 2007 2006 So sánh ( 2005 + ( 2006 ) 2007 ) = 2005 + 2007 + 2005.2007 = 4012 + 2005.2007 = 4.2006 = 4012 + 2.2006 Vì 2005.2007 = (2006 − 1)(2006 + 1) = 20062 − < 20062 Nên 2005.2007 < 2006  ( 2005 + 2007 ) < (2 2006 )  2005 + 2007 < 2006 D Nhân liên hợp 2005 + 2007 2006 So sánh Xét 2007 − 2006 = Và 2006 − 2005 = Vì < 2007 + 2006 ( ( 2007 − 2006 )( 2007 + 2006 2007 + 2006 2006 − 2005 )( 2006 + 2005 2006 + 2005 )= )= 2007 + 2006 2006 + 2005  2007 − 2006 < 2006 − 2005 2006 + 2005 2007 + 2005 < 2006 E Dùng bất đẳng thức Hay So sánh 76 77 + + Áp dụng bất đẳng thức Cosi : Vì 7 76 77 + + ≥ 33 7 76 77 ≥3 5 76 77 ≠ ≠ Nên đẳng thức không xảy dấu suy F Dùng thừa số chung gian So sánh 65 + 10 : Có Tính giá trị biểu thức 65 + > 64 + = 10 76 77 + + >3 Tổng hợp kiến thức Toán Tìm x ( chưa cho), chọn giá trị x thỏa mãn đề Nếu cho giá trị x = a , em cần x = a thỏa mãn yêu cầu thay số Ví dụ: Tính giá trị A = x −2 , x ≠ 1, x ≥ x = 16 x −1 Thay x = 16 ( thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A = Vậy x = 16 A = 16 − 2 = 16 − 15 15 10 So sánh biểu thức có chứa biến Để so sánh biểu thức A với c ta xét hiệu A − c Nếu A > 0; B > 0; A > B  A > B Chú ý: So sánh A với A đưa xét hiệu A − A so sánh A với : • Nếu A ≥  A ≥ A ngược lại, < A <  A < A So sánh A với | A | so sánh A với • Nếu A ≥  A = A ; A <  A < A 1 đưa xét hiệu A − so so sánh A với 1: A A 1 Nếu A ≥  A ≥ ngược lại Với < A <  A < A A So sánh A với • 11 Tìm giá trị thỏa mãn đẳng thức ( sau rút gọn ) Các em lựa chọn phương pháp sau: Biến đổi tương đương Đưa tổng bình phương A2 + B =  A = B =  f ( x) = a  f ( x) ≥ a  f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) = a  g ( x) ≤ a Đánh giá hai vế:  Chú ý: Phải so sánh với điều kiện xác định, kết luận 12 Tìm giá trị thỏa mãn bất phương trình ( sau rút gọn ) Thơng thường toán này, em cần biến đổi tương đương, phải nhớ hai ý sau: Dựa vào điều kiện để giảm bớt trình biến đổi, ví dụ: x + > 0, ∀x > tốn đưa x −4 < , em thấy x +2 x − < ⇔ x < 16 Kết hợp điều kiện ≤ x < 16 Tuyệt đối không bỏ mẫu số chưa biết mẫu số âm hay dương Ví dụ: • lời giải sai: 2− x 16 < ⇔ − x < 2( x − 1) ⇔ x > ⇔ x > x −1 Tổng hợp kiến thức Tốn • lời giải đúng: 2− x 2− x 4−3 x f (m) có nghiệm f (m) < max P , có nghiệm với x f (m) < P • Bất phương trình P < f (m) có nghiệm f (m) > P , có nghiệm với x f (m) > max P • Ta chuyển tốn tìm P , max P trước tìm m 17 Tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ biểu thức sau rút gọn A Tìm giá trị lớn – Giá trị nhỏ biểu thức A = x − a + b − x Phương pháp: Tìm điều kiện bình phương hai vế, sau sử dụng Cosi: Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x − + 10 − x Lời giải • Điều kiện: ≤ x ≤ 10 • Ta có: A2 = Vì ( x − + 10 − x ( x − )(10 − x ) ≥ nên ) ( x − )(10 − x ) + 10 − x = + ( x − )(10 − x ) = x−4+2 A2 ≥ Suy A ≥ ( x − )(10 − x ) = suy • Vậy Amin = • Vì x =  x = 10  ( x − )(10 − x ) ≤ x − + 10 − x = (BĐT Cosi Suy A2 = + ( x − )(10 − x ) ≤ 12  A ≤ ab ≤ a + b ) 12 • Vậy max A= 12 x − = 10 − x ⇔ x = B Tìm giá trị lớn – Giá trị nhỏ cách sử dụng đẳng thức số số : ( a + b )2 = a + 2ab + b  2 ( a − b ) = a − 2ab + b Ví dụ: Tìm GTLN A = x − x Lời giải 1 • Ta có: A = −  x −   2 1 • Vì  x −  ≥ 0, ∀x ≥  −  x −  ≤ 2  2  Dấu " = " xảy x− 1 = ⇔ x = (thỏa mãn) Tổng hợp kiến thức Toán 1 x = 4 • Vậy giá trị lớn A Min Max - Chú ý: Với biểu thức: A = x + x + Các em cần đánh giá: x ≥  x +2 x ≥0  x+2 x + 4≥  A≥ C Tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ phương pháp đánh giá Thường dùng tử số số 10 (với x ≥ ) −3 − x Lời giải 10 10 −10  A≥− x ≥ 0, ∀x ≥  −3 − x ≤ −3  ≥ 3 −3 − x Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = • Ta có: • Dấu " = " xảy x = ⇔ x = (thỏa mãn) −10 x = D Tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ cách thực phép chia đánh giá • Vậy giá trị nhỏ A Thường dùng tử mẫu số bậc x +1 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = • Ta có: A = x +1 x +6 =1− x +6 (với x ≥ ) x +6 Lời giải x ≥ 0, ∀x ≥  x + ≥  Vì • Dấu " = " xảy 5  A≥ ≥1− = 6 x +6 5 ≤ 1− x +6 x = ⇔ x = (thỏa mãn) x = E Phương pháp chia (tách) sử dụng bất đẳng thức Cơ – si • Vậy giá trị nhỏ A Thường dùng bậc tử lớn bậc mẫu x+7 (với x ≥ ) x +3 Lời giải 16 16 = x +3 + −6 x +3 x +3 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = • Ta có: A = x+7 = x −3+ x +3 Do x ≥ nên x + ( ) 16 số dương x +3 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho số dương ta được: ( ) x +3 + 16 ≥2 x +3 • Dấu " = " xảy ( ) 16 =8  x +3 x +3 x +3= 16  x +3 x + =  x + = (Do  ( ( x +3 ) x +3 + ) 16 −6≥  A≥ x +3 = 16  ( x +3 ∈ ; ∈ =4 x + > 0, ∀x ≥ )  x =  x = (thỏa mãn) • Vậy giá trị nhỏ A x = F Tìm ) để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tổng hợp kiến thức Tốn Ví dụ: Tìm x ∈ ℕ để A = đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x −2 Lời giải • Điều kiện: x ∈ ℕ , x ≠ • Nhận xét:  Nếu ≤ x <  A <  Nếu x >  A > Như A đạt giá trị nhỏ ≤ x < A đạt giá trị lớn x > • Tìm giá trị lớn nhất: Để A = đạt giá trị lớn x −2 x − số dương nhỏ Mà x ∈ ℕ x ≠  x = (thỏa mãn) = 6+3 ⇔ x = 5−2 Vậy Max A = • Tìm giá trị nhỏ nhất: Để A = đạt giá trị nhỏ x −2 x − số âm lớn Mà x ∈ ℕ x ≠  x = (thỏa mãn) Vậy Min A = Hàm số bậc hai = −6 − 3 ⇔ x = 3−2 HÀM SỐ BẬC NHẤT – BẬC HAI Tim điều kiện để hàm số hàm số bậc nhật Đồ thị y = ax + b bậc a ≠ a = b ≠ Đồ thị y = ax + bx + c hàm số bậc  a = b = c ≠ Đồ thị y = ax3 + bx + cx + d hàm số bậc  Đồ thị hàm số y = ax + b hàm a = Chú ý : Ngồi điều kiện trên, em phải tìm điều kiện để biểu thức xác định Hàm số đồng biến – nghịch biến Để chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến định nghĩa: • Giả sử x1 < x2 , tính f ( x1 ) − f ( x1 ) • Nếu • Nếu f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 > , hàm số đồng biến < , hàm số nghịch biến Với hàm số bậc nhất: y = ax + b : Hàm số đồng biến a > nghịch biến a < Hệ số góc đường thẳng Tổng hợp kiến thức Tốn Nếu đường thẳng có dạng y = ax + b hệ số góc a Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) k = y2 − y1 x2 − x1 • Góc tạo đường thẳng với chiều dương trục Ox α tính theo cơng thức: a = tan α • Nếu a > Đường thẳng tạo với trục Ox góc nhọn, a < đường thẳng tạo với trục Ox góc tù • Các đường thẳng có hệ số góc tạo với trục Ox góc • Góc tạo đường thẳng y = a1 x + b1 với đường thẳng y = a2 x + b2 góc α cho: tan α = a1 − a2 − a1a2 Vẽ đồ thị hàm số bậc Để vẽ đồ thị hàm số bậc ta lấy hai điểm mà đồ thị qua, vẽ đường thẳng qua hai điểm (thường lấy giao đồ thị với hai trục Ox , Oy )  b  • Đồ thị y = ax + b qua hai điểm có tọa độ ( 0;b )  − ;0   a  • Đồ thị y = ax qua hai điểm có tọa độ ( 0;0 ) (1;a ) Chú ý: Đường thẳng x = a song song với Oy cắt Ox a Đường thẳng y = b song song với Ox cắt Oy b Tính diện tích hình – độ dài đoạn thẳng hệ trục Điểm A ( a; b ) giao hai đường thẳng x = a y = b Để tính độ dài cạnh ta đưa cạnh cạnh tam giác vuông sử dụng định lí Pitago Để tính diện tích hình: • Cách 1: Tính trực tiếp • Cách 2: Tính gián tiếp thơng qua hình khác Tìm giao tuyến hai đồ thị Xét hoành độ giao điểm hai đồ thị thỏa mãn phương trình: f ( x ) = g ( x )  x , thay x vào y = f ( x ) y = g ( x ) để tìm y suy giao điểm • Tìm giao điểm đồ thị với Ox : cho y =  x • Tìm giao điểm đồ thị với Oy : cho x =  y Vẽ đồ thị hàm số | | Cách 1: Dùng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối vẽ Cách 2: • Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) • Giữ ngun phần đồ thị phía trục Ox y = f ( x ) ( P1 ) • Lấy đối xứng phần đồ thị phía trục Ox y = f ( x ) lên phía Ox ta ( P2 ) Đồ thị y = f ( x ) ( P1 ) ( P2 ) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Tổng hợp kiến thức Toán Gọi s quảng đường đi, v vận tốc, t thời gian đi, ta có s = v.t Vận tốc ca nơ xi dịng = Vận tốc ca nơ lúc nước n lặng + Vận tốc dịng nước Vận tốc ca nơ ngược dịng = Vận tốc ca nơ lúc nước n lặng – Vận tốc dịng nước Vận tốc ca nơ xuôi – Vận tốc ca nô ngược = vận tốc dịng nước Vận tốc bèo trơi vận tốc dòng nước Hai vật chuyển động đường trịn: Nếu chuyển động ngược chiều, gặp S1 + S = Chu vi = 2π R Nếu chuyển động chiều, gặp S1 − S = Chu vi = 2π R Hai vật chuyển động đường thẳng : Nếu chuyển chiều, xuất phát lúc gặp quãng đường hai vật đượclà AB , tức t.v1 + t.v2 = AB Nếu chuyển động ngược chiều, xuất phát khơng lúc thời gian gặp hai vật t2 = S v1 + v2 Dạng tốn có nội dung hình học Sau gọi ẩn số em cần sử dụng kiến thức sau để thiết lập phương trình hệ phương trình: Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước a, b S = a.b Chu vi hình chữ nhật P = ( a + b ) Diện tích tam giác S = đáy chiều cao 2 Diện tích tam giác vng có hai cạnh góc vng a, b S = a b Thể tích hình lập phương a3 Thể tích hình hộp abc Diện tích hình thang S = (đáy bé + đáy lớn ) Chiều cao / Diện tích hình vng a Chu vi hình vng a Dạng tốn suất – phần trăm Các em sử dụng bảng sau để giải toán dễ : Lập bảng Năng suất Khối lượng công việc Thời gian Theo kế hoạch Thực tế Công thức sử dụng : khối lượng = suất lao động x thời gian Dạng tốn có nội dung lí hóa Số mol = m ; thể tích đktc V = n.22, M HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiểm tra +; + có phải nghiệm phương trình ( khơng? TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 18 Tổng hợp kiến thức Toán Thay ( x0 ; y0 ) vào ax + by + c = Nếu thỏa mãn ( x0 ; y0 ) nghiệm ngược lại ( Tìm nghiệm tổng quát phương trình Từ ax + by = c ta rút x theo y y theo x ta nghiệm tổng quát là: c − by c − ax   x = y =  a b   y ∈ R  x ∈ R c  x = Nghiệm tổng quát ax + y = c là:  a  y ∈ R Hệ phương c  y = Nghiệm tổng quát 0.x + b y = c là:  b  x ∈ R Tìm nghiệm nguyên, nguyên dương, nguyên âm trình ( y+h (1) a Để x nguyên y + h ⋮ a  y = at − h Thay y = at − h vào (1) để tìm x Ta rút x (hoặc y ) đưa dạng: x = f ( y ) + Chú ý: Với toán không tách biểu thức (1) Các em làm sau: Rút x (hoặc y ): x = −by + c Lúc đặt y = at + h Với ( c − bh ) ⋮ a a Với tốn tìm nghiệm ngun dương, ngun âm phương trình, ta tìm nghiệm nguyên x > x <  để tìm t , sau thay t trở lại để tìm x y > y < cho  Dự đốn số nghiệm hệ phương trình  a1 x + b1 y = c1 ta dựa vào vị trí tương đổi hai đường thẳng  a2 x + b2 y = c2 Để dự đoán số nghiệm hệ  a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 • Nếu a1 b1 ≠ hai đường thẳng cắt nên hệ có nghiệm a2 b2 • Nếu a1 b1 c1 = ≠ hai đường thẳng song song nên hệ vơ nghiệm a2 b2 c2 • Nếu a1 b1 c1 = = hai đường thẳng trùng nên hệ vô số nghiệm a2 b2 c2 Giải hệ phương trình phương pháp a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Biến đổi đưa hệ phương trình dạng:  Rút x y từ phương trình vào phương trình cịn lại 3 x − y = 7 x = 14 x = 3x − ( − x ) = Ví dụ:  ⇔ ⇔ ⇔  y = − x 2 x + y =  y = − 2x y =1 Giải hệ phương trình phương pháp cộng TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 19 Tổng hợp kiến thức Toán a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Biến đổi đưa hệ phương trình dạng:  Nhân thêm vào hai phương trình hệ số phụ (của ẩn) cộng trừ hai phương trình cho để khử ẩn 3 x − y = 3 x − y = 7 x = 14 x = Ví dụ:  ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + y =  x + y = 10 2 x + y = y =1 Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Đặt điều kiện x , y (nếu có) Đặt ẩn phụ đặt điều kiện ẩn phụ (nếu có) a1 x + b1 y = c1 dùng phương pháp cộng phương pháp a2 x + b2 y = c2 Đưa hệ phương trình dạng:  để giải Chú ý: Các em thường điểm quên không đặt điều kiện x ẩn phụ Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Cách 1: Đặt ẩn phụ:  x − + y − =  x − = a ≥ Ví dụ:  Đặt  3 x − − y − = −3  y − = b ≥ Cách 2: Xét điều kiện phá dấu giá trị tuyệt đối: Giải Hệ phương trình  x − + y − = Ví dụ:  3 x − y = −3 x −1+ y − = (HS tự giải)  x − y = −3 Xét x ≥  x − = x − Hệ có dạng  1 − x + y − = (HS tự giải)  x − y = −3 Xét x <  x − = − x Hệ có dạng  (Chú ý giải kết phải so sánh với điều kiện) 9.Tìm hệ số ; biết hệ , có nghiệm +; + Thay x0 ; y0 vào hệ ta hệ phương trình bậc hai ẩn a, b Giải hệ để tìm a b  ax + by = Ví dụ Tìm a, b để hệ  có nghiệm ( x0 ; y0 ) = ( −1;3) 3 x + by =  − a + 3b = a = ⇔  −3 − 3b = b = Thay x = −1; y = vào hệ phương trình ta  10 Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình tương đương chúng có tập nghiệm Tìm m để hệ hai phương trình tương đương • Nếu hệ phương trình thứ có nghiệm ( x0 ; y0 ) Thay x0 ; y0 vào hệ phương trình thứ hai để tìm m ( Chú ý phải tìm điều kiện để hệ phương trình thứ hai có nghiệm nhất.) TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 20 Tổng hợp kiến thức Toán • • Nếu hệ phương trình thứ vơ nghiệm, để hệ hai phương trình tương đương hệ phương trình thứ hai vơ nghiệm Từ tìm m Nếu hệ phương trình thứ vơ số nghiệm, để hệ hai phương trình tương đương hệ phương trình thứ hai vơ số nghiệm Từ tìm m 11 Giải biện luận hệ phương trình Có nhiều cách cho tốn này, em nên chọn cách làm sau để sử dụng giải câu hỏi kéo theo bên • a1 x + b1 y = c1 , ta dùng phương pháp phương a2 x + b2 y = c2 Để giải biện luận hệ phương trình  pháp cộng, đưa phương trình bậc ax = b (1) ay = b (1) Sau biện luận • phương trình bậc Xét a = 0; b = Phương trình (1) có vơ số nghiệm nên hệ có vơ số nghiệm • Xét a = 0; b ≠ Phương trình (1) vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm • Xét a ≠ Phương trình (1) có nghiệm nên hệ có nghiệm 12 Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Bước : Dùng phương pháp thế( phương pháp cộng) đưa hệ phương trình phương trình bậc ax = b ay = b Bước : hệ có nghiệm nhất: a ≠ suy điều kiện m tính x , y theo m • Thay x , y vào điều kiện K để tìm m , đối chiếu với điều kiện kết luận Các điều kiện - gặp: x , y dấu ⇔ x, y > x , y trái dấu ⇔ x, y < x > x < , nằm góc phần tư thứ hai :  , y > y > Điểm M ( x, y ) nằm góc phần tư thứ :  x < x > , nằm góc phần tư thứ tư :  y < y < nằm góc phần tư thứ ba :  x + y > a, x + y = Điểm M ( x, y ) nằm đường tròn tâm ( O, R )  x + y = R Điểm M ( x, y ) nằm đường thẳng ax + by + c = , thay x , y tìm vào phương trình đường thẳng x >  x , y hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền a   y >  2 x + y = a Biểu thức f ( x, y ) đạt GTLN; GTNN: thay x , y bước vào biểu thức f ( x, y ) tìm GTLN - GTNN b  x = A + f ( x)  Để nguyên x , y số nguyên: Chuyển  y = B + c  g ( x) b⋮ f ( x ) m  c⋮ g ( x ) TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 21 Tổng hợp kiến thức Tốn 13 Tìm hệ thức độc lập , không phụ thuộc vào minh ' / ; nằm đường thẳng cố định ) ( tìm quỹ tích điểm ' / ; chứng Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính x , y theo m Khử m từ biểu thức x , y ta hệ thức x , y khơng phụ thuộc vào m Đây đường thẳng cố định cần tìm Chú ý khử m bạn dùng phương pháp thế, phương pháp cộng x = m +1  m = x − Ví dụ 1:  ⇔  y = 3x −  y = 3m −  y = ( x − 1) − 1− m 21     x = m +  x = −1 + m + 7 x = −7 + m +  7x + 3y = Ví dụ 2:  ⇔ ⇔ m − 21 y = y = 3− 3 y = −  m+2 m+2 m+2   Hệ đối HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I xứng Định nghĩa:  f ( x, y ) = với f ( x, y ) = f ( y, x ) g ( x, y ) = g ( y, x )  g ( x, y ) = Hệ đối xứng loại I hệ phương trình có dạng  Nhận dạng: Khi ta hốn đổi vị trí x y f ( x, y ) g ( x, y ) không thay đổi Phương pháp giải Đặt S = x + y P = xy Thế ẩn S , P vào hệ phương trình ban đầu ta hệ phương trình Giải hệ phương trình ta tìm ẩn S , P Tìm nghiệm ( x; y ) cách giải phương trình bậc hai t − St + P = HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Định nghĩa  F ( x; y ) = Trong F ( x; y ) biểu thức khơng đối xứng  F ( y; x ) = Hệ đối xứng loại II hệ có dạng :  Hay nói cách khác hệ đối xứng loại II hệ mà ta đổi vai trò x, y cho phương trình hệ chuyển thành phương trình Phương pháp giải Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta nhân tử chung ( x − y ) : x = y F ( x; y ) − F ( y; x ) = ⇔ ( x − y ) f ( x; y ) = ⇔   f ( x; y ) = HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI  a1 x + b1 xy + c1 y = d1 Định nghĩa: Hệ đẳng cấp bậc có dạng:  2  a2 x + b2 xy + c2 y = d 2 Phương pháp giải TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 22 Tổng hợp kiến thức Toán Cách : Khử số hạng tự dẫn đến phương trình Ax + Bxy + Cy = sau chia vế cho y2 ( y ≠ 0) Cách : Khử số hạng tự dẫn đến tới phương trình Ax + Bxy + Cy = (1) Đặt x = ty (1) ⇔ y ( At + Bt + C ) = Cách : Từ hệ khử số hạng x ( y ) dẫn đến phương trình khuyết x Rút x theo y vào hai phương trình hệ ta phương trình trùng phương theo ẩn y ( PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ( Giải phương trình Sử dụng cơng thức nghiệm : Tính ∆ = b − 4ac ( ∆′ = b′2 − ac ) • Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = • Nếu ∆ = phương trình có nghiệp kép: x1 = x2 = − −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a b 2a • Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm Nhẩm nghiệm: Phương trình bậc hai :  x + x = m + n  x1 = m  Dùng Vi-Ét:   x1.x2 = m.n  x2 = n (  x1 =  Nếu a + b + c =  c  x2 = a  x1 = −1  Nếu a − b + c =  c  x2 = − a 2 Tìm hai số biết tổng – tích: (với ) Khi a, b nghiệm phương trình: x + Sx + P = Giải phương trình để tìm a, b Định lý Vi-Ét: b  x1 + x2 = −   a Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = Khi đó:  c  x x =  a Mối liên hệ hai nghiệm ; : x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 − x2 ) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) x14 + x2 = ( x12 + x2 ) − x1 x2 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1.x2 x1 − x2 = ± x12 − x2 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 23 Tổng hợp kiến thức Toán x14 − x2 = ( x12 + x2 )( x12 − x2 ) x16 + x2 = ( x12 + x2 )( x14 − x12 x2 + x2 ) Nếu phương trình: ( có hai nghiệm x1 = ( x1 + x2 ) x1 − x1 x2 = S x1 − P ; ; thì: x13 = ( S − P ) x1 − S P x14 = ( S − 2SP ) x1 − P ( S − P ) Giải biện luận ( Xét a =  m , với m tìm thay vào phương trình để kiểm tra xem có nghiệm khơng Xét a ≠ , tính ∆ = b − 4ac (hoặc tính ∆ ' ) • Nếu ∆ < , suy điều kiện m , suy phương trình vơ nghiệm • Nếu ∆ = , suy m , suy phương trình có nghiệm kép x = − • Nếu ∆ > , suy m , suy phương trình có hai nghiệm x1 = b 2a −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a Chứng minh phương trình ln có nghiệm – vơ nghiệm Xét Xét • • a =  m kiểm tra a≠0 Nếu ∆ ≥ với m a.c < phương trình ln có nghiệm Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm Phương trình có hai nghiệm phân biệt – Phương trình có nghiệm kép a ≠ ∆ > Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  a ≠ ∆ = Phương trình có nghiệm kép:  Lập phương trình bậc hai biết nghiệm Nếu phương trình có hai nghiệm a, b : S = a + b  Phương trình cần tìm: x + S x + P = P = a b  Ta tính  Nếu hai nghiệm f ( x1 ) ; f ( x2 ) : :  S = f ( x1 ) + f ( x2 )  Phương trình cần tìm: x + S x + P =  P = f ( x1 ) f ( x2 ) Ta tính  Tìm để phương trình có nghiệm ( Ta thay x = x0 vào phương trình để tim m , sau thay m tìm trở lại phương trình giải, kiểm tra kết luận 10 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (nằm bên phải Oy) TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 24 Tổng hợp kiến thức Toán  a ≠ 0; ∆ >  −b  >0  x1 + x2 = a  c   x1 x2 = a > Định lí Vi ét 11 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ( nằm bên trái trục tung)  a ≠ 0; ∆ >  −b  12 Phương trình có hai nghiệm trái dấu + dấu ( nằm hai phía phía với Oy) a ≠  Phương trình có hai nghiệm trái dấu  c  x1.x2 = a < a ≠  Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu ∆ > P >  a ≠ ∆ >  Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  S >  P < a ≠ ∆ >  Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn  S >  P < 13 Tìm m để phương trình có nghiệm dương Các em phải xét trường hợp : Th1: Xét a =  m kiểm tra Th2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu Th3: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Th 4: Phương trình có nghiệm kép dương Th 5: có nghiệm dương, nghiệm 14 Phương trình có nghiệm dương Th 1: a =  m kiểm tra TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 25 Tổng hợp kiến thức Toán  a ≠  Th 2: Xét ∆ > phương trình có hai nghiệm trái dấu c  < 0; a  a ≠  Th 3: Xét ∆ = phương trình có nghiệm kép dương  −b  > 0;  2a Th 4: Phương trình có nghiệm nghiệm dương 15 Tìm để phương trình có nghiệm âm Các em phải xét trường hợp : Th 1: a =  m kiểm tra Th 2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu Th 3: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Th 4: Phương trình có nghiệm kép dương Th 5: Có nghiệm âm, nghiệm = 16 Phương trình có nghiệm âm Th 1: a =  m kiểm tra  a ≠  Th : Xét ∆ > phương trình có hai nghiệm trái dấu c  < 0; a Tìm m  a ≠  Th 3: Xét ∆ = phương trình có nghiệm kép âm  −b  < 0;  2a Th 4: Phương trình có nghiệm nghiệm âm 17 Tìm để phương trình có nghiệm Th 1: a =  m kiểm tra a ≠ ∆ = Th 2:  18 Phương trình có hai nghiệm đối a ≠  Phương trình có hai nghiệm đối khi:  ∆ >  S = 0; P <  TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 26 Tổng hợp kiến thức Tốn 19 Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo  a ≠  Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo khi: ∆ ≥  c  x1 x2 = = a  20 Chứng minh có phương trình có nghiệm Tính ∆1 , ∆ Chỉ ∆1 + ∆ ≥ ∆1 ∆ ≤ nên có biệt số không âm (chú ý đến giả thiết) 21 Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Phần : a ≠ điều kiện bị ẩn câu hỏi (điều kiện ∆ ≥ Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm:  căn, mẫu số, cạnh tam giác…) Phần 2: Ưu tiên hàng đầu cho dạng toán nhẩm nghiệm Khi nhẩm nghiệm xong kiểm tra xem có phải chia trường hợp hay không? Nếu không nhẩm nghiệm, ta biến đổi điều kiện thay Vi-ét 22 Hệ thức ; không phụ thuộc a ≠ ∆ ≥ Điều kiện có nghiệm:  b   S = x1 + x2 = − a Dựa vào định lý Vi-ét:  theo m khử m định lý Vi-ét cách: Rút m  P = x x = c  a theo S P nhân thêm hệ số cộng trừ hai phương trình theo vế để khử m 23 Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa ; a ≠ Bước : Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:  ∆ > b b    S = x1 + x2 = − a  S = x1 + x2 = − a Bước : Dùng định lý Vi-ét để tính:  thay  vào biểu thức  P = x x = c  P = x x = c 2   a a để tìm GTNN; GTLN Chú ý : Dấu xảy có thỏa mãn điều kiện hay không, không thỏa mãn điều kiệc em cần lập luận dựa vào điều kiện m bước 24 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ngun Cách : • • Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt Tính ∆  x1 x2 tìm m để x1 ; x2 số nguyên TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 27 Tổng hợp kiến thức Toán Cách : Dùng Vi ét để tìm hện thức x1 ; x2 khơng phụ thuộc vào m tìm biến đổi biểu thức Cách : Rút m theo x đưa tốn 25 Tìm để phương trình ( ( có nghiệm chung Cách : • Giả sử x0 nghiệm chung, lập hệ phương trình ( ẩn x tham số ) • Giải hệ phương trình tìm x0 , tìm tham số • Thử lại: Thay giá trị tham số vào phương trình, giải phương trình, tìm nghiệm chung • Rút kết luận Cách 2: ( Dùng phương pháp cộng để khử m , tìm x ) • Rút tham số từ số phương trình cho • Thế giá trị tham số vào phương trình cịn lại tìm x • Thay giá trị x tìm m • Rút kết luận 26 So sánh số với nghiệm phương trình ax + bx + c = a ≠  A Phương trình có nghiệm x1 < x0 < x2 ⇔ ∆ >  x −x x −x  B Phương trình có nghiệm x0 < x1 < x2 ⇔   x1 + x2 > x0 ( x1 − x0 )( x2 − x0 ) >  a ≠ ∆ >  C Phương trình có nghiệm x1 < x2 < x0 ⇔   x1 + x2 < x0 ( x1 − x0 )( x2 − x0 ) >  D Phương trình có nghiệm x1 < x2 ≤ x0  x2 = x0  x1 < x0 Trường hợp 1: Phương trình có nghiệm  • Thay x2 = x0 vào phương trình để tìm m , thay m trả lại phương trình để tìm nghiệm cịn lại kết luận Trường hợp 2: Phương trình có nghiệm x1 < x2 < x0 ( giải bảng bên cạnh) Tương tự cho tốn: x0 ≤ x1 < x2 E Phương trình có nghiệm a ≠ ∆ >  x1 < c < b < x2 ⇔  ( x1 − c )( x2 − c ) < ( x − b )( x − b ) <  a ≠  ∆ >  x1 < c < x2 < b ⇔ ( x1 − c )( x2 − c ) <  ( x1 − b )( x2 − b ) >  x + x < 2b  TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 28 Tổng hợp kiến thức Toán a ≠  ∆ >  c < x1 < b < x2 ⇔ ( x1 − c )( x2 − c ) >  ( x1 − b )( x2 − b ) <  x + x > 2c  10 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA a ≠  ∆ >  c < x1 < x2 < b ⇔ ( x1 − c )( x2 − c ) >  ( x1 − b )( x2 − b ) >  2c < x + x < 2b  Phương trình có nghiệm phân biệt: Nhẩm nghiệm x0 đưa phương trình dạng: ( x − x0 ) ( ax + bx + c ) = Để phương trình có nghiệm phân biệt thì: f ( x ) = ax + bx + c = phải có hai nghiệm phân biệt a ≠  khác x0  ∆ > m f x ≠0  ( 0) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Đưa phương trình dạng ( x − x0 ) ( ax + bx + c ) = Để phương trình có hai nghiệm :   a≠0  • Th1: f ( x) = ax + bx + c = phải có nghiệm kép khác x0   ∆ =  m  b  − ≠ x0  2a • Th2: f ( x) = ax + bx + c = hai nghiệm phân biệt, nghiệm a ≠ 0; ∆ > x0   m  f ( x0 ) = Phương trình có nghiệm Nhẩm nghiệm x0 đưa phương trình dạng: ( x − x0 ) ( ax + bx + c ) = Để phương trình có nghiệm : a = • Th1: f ( x) = ax + bx + c = vô nghiệm   m ∆ < a ≠ 0; ∆ =  m • Th2: f ( x) = ax + bx + c = có nghiệm kép x0   b − 2a = x0 11 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Cách giải ( Đặt t = x (t ≥ 0) Suy at + bt + c = ( ) Giải phương trình (2) suy t, sau kiểm tra điều kiện t ≥ thay vào x = t để tìm x TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 29 Tổng hợp kiến thức Toán Chú ý : x = t >  x = ± t Phương trình có nghiệm Đặt t = x (t ≥ 0) Suy at + bt + c = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình ( ) phải có hai nghiệm dương phân biệt   a ≠ 0; ∆ >   −b m Suy  > a c  a > Phương trình có nghiệm Đặt t = x (t ≥ 0) Suy at + bt + c = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình ( ) có hai nghiệm có nghiệm   a ≠ 0; ∆ >  −b  >  m kiểm tra lại 0, nghiệm dương : ⇔  S = a  c   P = a = Phương trình có hai nghiệm Đặt t = x (t ≥ 0) Suy at + bt + c = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình ( ) phải có : • Th1: Xét a = suy m , thay m trả lại kiểm tra   a ≠ 0; ∆ =   −b >0 m • Th2: Có nghiệm kép dương:   a  c  a > GPT bậc   a ≠ 0;  • Th3: Có hai nghiệm trái dấu:  ∆ >  m c   m  S <  P =  Phương trình vơ nghiệm Để phương trình (1) vơ nghiệm phương trình ( ) vơ nghiệm có nghiệm phân biệt âm ∆ <   ∆ ≥  Suy   S <  m   P >   Phương trình với Đặt t = x + (a + b) x , đưa phương trình bậc hai (t + ab)(t + c d) = m Ví dụ: ( x − 3)( x + 2)( x + 1)( x + 6) = −84 ⇔ ( x − 3)( x + 6)( x + 2)( x + 1) = −84 ⇔ ( x + x − 18 )( x + x + ) = −84 Đặt x2 + 3x = a Phương trình (1) có dạng: (a − 18)(a + 2) = −84 Phương trình hồi quy Đặt ( mà d = t đưa phương trình b Kiểm tra x = có phải nghiệm phương trình khơng chia hai vế cho x2 ta được:  t2   a  x2 +  + b  x ± x    Phương trình dạng t t  + c = Sau đặt x ± = a x x a+b , đưa phương trình trùng phương theo t Chú ý: ( x ± y )4 = x ± x3 y + x y ± xy + y Đặt t = x + 10 Phương trình dạng : với Đưa phương trình dạng:  x + ( a + b ) x + ab   x + (c + d ) x + cd  = rx Kiểm tra x = có phải nghiệm phương trình khơng chia hai vế cho x2 ab cd ab     x + x + a + b   x + x + c + d  = r ( ý tách x = x ⋅ x ) Đặt t = x + x Ví dụ: ( x + x + )( x + x + 18 ) = 168 x Lời giải • ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) = 168 x ⇔ ( x + x + )( x + x + ) = 168 x 2 TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 31 Tổng hợp kiến thức Toán • Nhận xét: x = khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình (1) cho x2 ta được:  6   x + +  x + +  = 168 Đặt x + = t x x x    • t = t Phương trình có dạng: ( t + )( t + 5) = 168  t + 12t − 133 = ⇔  t = −19 11 Phương trình #$ ; $ % ∓  S = 0; P <  TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 26 Tổng hợp kiến thức Toán 19 Phương trình có hai nghiệm nghịch... để x1 ; x2 số nguyên TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 27 Tổng hợp kiến thức Toán Cách : Dùng Vi ét để tìm hện thức x1 ; x2 khơng phụ