Một số tập con đặc biệt trong đồ thị

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUYEN TRÂN MỘT SỐ TẬP CON ĐẶC BIỆT TRONG ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Bình Định - 2020 NGUYỄN NGỌC HUYEN TRÂN MỘT SỐ TẬP CON ĐẶC BIỆT TRONG ĐỒ THỊ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS TRAN ĐÌNH LƯƠNG Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Một số tập đặc biệt đồ thị” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Trần Đình Lương chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 06 tháng 08 năm 2020 Học viên thực đề tài Nguyễn Ngọc Huyền Trân Mục lục Mở đầu 1 Các tập đỉnh đặc biệt 1.1 Một số kiến thức đồ thị 1.2 Tập phủ đỉnh 1.3 Tập độc lập đỉnh 11 1.4 Tập thống trị 25 1.5 Tập thống trị độc lập 32 Các tập cạnh đặc biệt 2.1 Tập phủ cạnh 2.2 Tập độc lập cạnh 2.3 Cặp ghép hoàn chỉnh 2.4 Clique 53 2.5 Đồ thị đặc biệt 2.6 Một số toán áp dụng Định lý Hall Kết luận Danh mục tài Quyết định 39 39 43 49 58 60 64 liệu tham khảo 64 66 Danh muc • ký hiệu V (G ) Tập đỉnh đồ thị G E(G ) Tập cạnh đồ thị G G Đồ thị bù G 5{GG Bậc bé đồ thị G A(G) Bậc lớn đồ thị G deg v Bậc đỉnh v đồ thị G a(G) Số phủ đỉnh đồ thị G £ (G) Số độc lập đỉnh đồ thị G Y (G) Số thống trị đồ thị G i(G) Số thống trị độc lập đồ thị G ai(G) Số phủ cạnh đồ thị G £1(G) Số độc lập cạnh đồ thị G NG(S) Tập hợp tất đỉnh G kề với đỉnh S a>(G) Số clique đồ thị G G Mở đầu Các vấn đề đồ thị nhà tốn học quan tâm nghiên cứu vịng 150 năm qua Cho đến trở thành vấn đề trung tâm toán học rời rạc có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học việc giải toán thực tiễn Một kết lý thuyết đồ thị xuất báo Leonhard Euler Bảy cầu Konigsberg, xuất năm 1736 Bài báo xem kết tôpô hình học, diễn tả mối liên hệ sâu sắc lý thuyết đồ thị tôpô học Năm 1852 Francis Guthrie đưa toán bốn màu vấn đề liệu với bốn màu tơ màu đồ cho khơng có hai nước biên giới tơ màu Bài toán xem khai sinh lý thuyết đồ thị, giải sau kỉ vào năm 1976 Kenneth Appel Wolfgang Haken Trong cố gắng giải toán này, nhà toán học phát minh nhiều thuật ngữ khái niệm tảng cho lý thuyết đồ thị Trong đồ thị tập đặc biệt đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất lý thuyết đồ thị áp dụng đồ thị vào việc giải tốn thực tiễn Do việc tìm hiểu, nghiên cứu tính chất tập đặc biệt đồ thị cần thiết Đặc biệt toán liên quan đến chủ đề thường hay xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế, vấn đề cần phải tiếp cận theo hướng gắn liền với toán sơ cấp Đề tài nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến tập đặc biệt đồ thị như: tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập, tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp ghép, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị Luận văn "Một số tập đặc biệt đồ thị" bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Các tập đỉnh đặc biệt Chương trình bày số vấn đề tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập đồ thị, đặc trưng số chúng, số toán thực tế liên quan đến tập Đồng thời chương trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Chương 2: Các tập cạnh đặc biệt Chương trình bày số vấn đề tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp ghép hoàn chỉnh, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị, đặc trưng số chúng, số toán sơ cấp liên quan đến việc áp dụng Định lý Hall cặp ghép Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Phương pháp tốn sơ cấp Khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q Thầy Cơ để luận văn hoàn thiện Chương Các tập đỉnh đặc biệt Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập đồ thị, đặc trưng số chúng, số toán thực tế liên quan đến tập Đồng thời chúng tơi trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [3], [4], [5], [6], [2] 1.1 Một số kiến thức đồ thị Trong mục trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Các kết mục tham khảo từ tài liệu [1], [3], [4], [5] Một đồ thị cặp G = (V, E) (i) V tập khác rỗng, phần tử V gọi đỉnh G (ii) E tập tập hợp tất tập hai phần tử phân biệt V, phần tử E gọi cạnh G Cho G đồ thị Ta ký hiệu tập tất đỉnh G V(G), ký hiệu tập tất cạnh G E(G) Đồ thị G gọi hữu hạn tập đỉnh V(G) hữu hạn, tập cạnh E(G) hữu hạn Trong trường hợp này, ta gọi số phần tử V(G) cấp G, gọi số phần tử E(G) cỡ G Ta thường mơ tả đồ thị hữu hạn hình vẽ đỉnh biểu diễn điểm cạnh biểu diễn đường nối hai điểm Nếu e = {u,v} cạnh G u, v hai đỉnh phân biệt, ta ký hiệu e = uv, e = vu, nói cạnh e nối hai đỉnh u v, hay nói hai đỉnh u v kề nhau; ta nói cạnh e đỉnh u (cũng đỉnh v) liên thuộc Nếu e e hai cạnh khác G liên thuộc với đỉnh ta nói e e hai cạnh kề nhau; trái lại, e e gọi độc lập Một đồ thị H gọi đồ thị đồ thị G, ký hiệu H c G, V (H) c V (G) E (H) c E (G) Cho G đồ thị cấp n, n > 1, có cỡ m Rõ ràng < m < n(n ~1) Nếu n =1 ta gọi G đồ thị tầm thường Nếu m = ta gọi G đồ thị rỗng Nếu m = n(n -1) gọi G đồ thị đầy đủ cấp n, ký hiệu K n Một đồ thị G gọi k-nhánh, k > 1, phân hoạch tập đỉnh G thành k tập khác rỗng V1,V2, ,V cho cạnh G nối đỉnh Vi với k đỉnh Vj với i = j Rõ ràng đồ thị 1-nhánh đồ thị rỗng Đặc biệt, với i = j, với u G V v G Vj ta có uv G E(G) G gọi k-nhánh đầy i đủ Nếu |V | = n với i = 1,2, , k ta ký hiệu đồ thị k-nhánh đầy đủ G K , i i , ,n ni n2 k Đồ thị 2-nhánh đầy đủ K , với n > cịn gọi ngơi n Định nghĩa 1.1.1 Cho G đồ thị (i) Nếu |V(G)| > u đỉnh G, ta ký hiệu G — u đồ thị có tập đỉnh V(G) \ {u} cạnh cạnh G khơng liên thuộc với u (ii) Nếu e cạnh G, ta ký hiệu G — e đồ thị có tập đỉnh V(G) tập cạnh E(G) \ {e} tồn |V — U| = |V.| — |U| cạnh độc lập khơng có đỉnh thuộc U hay NG(U) Kết hợp với |U| — d cạnh thu thuộc ta có w\ — |U| + |U| — d = |V11 — d cạnh thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: Với S c V \NG(S)| > |S| — d +1 Ta xét cạnh uv với u G V1,v G V Bỏ hai đỉnh ta đồ thị thỏa yêu cầu \NG(S)| > |S| — d với tập S c V1 \ {u} Theo giả thiết quy nạp, ta thu |V11 — — d cạnh độc lập, thêm cạnh uv ta thu |V11 — d cạnh độc lập □ Kết sau Tutte (1954) cho đặc trưng đồ thị có cặp ghép hồn chỉnh, xem [6] Định lý 2.3.5 Một đồ thị khơng tầm thường G có cặp ghép hoàn chỉnh với tập thực S V(G) o(G — S) < |S|, o(G — S) số thành phần liên thông cấp lẻ G — S 2.4 Clique Trong mục chúng tơi trình bày số vấn đề clique số clique đồ thị Các kết mục tham khảo từ tài liệu [4], [5] Định nghĩa 2.4.1 Cho G đồ thị (i) Một tập U đỉnh G gọi clique hai đỉnh thuộc U kề (ii) Số lớn số số clique G gọi số clique G, kí hiệu O)(G) Từ định nghĩa ta thấy w(G) = (G), G khác rỗng w(G) > Sau số ví dụ clique số clique cho số đồ thị Ví dụ 2.4.2 (i) Rõ ràng w(K ) = 1 Tập clique có số lớn K {v ,v }; w(K ) = 2 2 Tập clique có số lớn K {u ,u ,u }; w(K ) = 3 3 Tập clique có số lớn K {w ,w ,w ,w }; w(K ) = 4 4 Hình 2.9: Hình minh họa K vói n = 1,2, 3, tập clique số lớn K , {u ,u }, {u ,u }, {u ,u }, {u2, u4}, {u2, u6}, {u2, u5}, n (ii) Các 3 {u3, u4}, {u3, u5}, {u3, u6}; W(K3)3) = Hình 2.10: Hình minh họa K3,3 (iii) Tập clique có số lớn P {u ,u }; W(P2) = 2 Các clique có số lớn P {v ,v }, {v ,v }; W(P3) = 2 Các clique số lớn P {w ,w }, {w ,w }, {w ,w };do W(P4) = 2 Hình 2.11: Hình minh họa P vói n = 2, 3,4 n (iv) Các clique có số lớn C {v ,v }, {v ,v }, {v ,v }; U(C3) = 2 3 Các clique có số lớn C {u ,u }, {u ,u }, {u ,u }, {u ,u }; W(C4) = 2 3 4 Các clique có số lớn C {w ,w }, {w ,w }, {w ,w }, {w ,w }, {w ,w }; W(C5) 2 3 4 5 = Hình 2.12: Hình minh họa C vói n = 4, 5, n Kết sau cho ta công thức tính số clique số đồ thị đặc biệt Mệnh đề 2.4.3 (i) w(K ) = n với n n (ii) w(K , ) = với r, s r s (iii)w(P ) = với n > n (iv)u(C ) = với n n Chứng minh (i) Gọi tập đỉnh đồ thị K V(K ) = {ui,u , ,u } Rõ ràng tập V(K ) tập n n n n clique đồ thị K tập clique có số lớn n (ii) Gọi V , V hai tập đỉnh độc lập K , Với hai đỉnh u r s r r s G V u G V s r s tập {u , u } tập clique đồ thị K , Từ suy w(K ,s) > r s r s r Giả sử S tập clique K , với |S| > Khi tồn hai đỉnh ui, u thuộc S r s cho ui, u thuộc V thuộc V ; điều dẫn đến mâu thuẫn Từ s s suy w(K ,s) < Vậy w(K ,s) = r r (iii) Xét đường P : u = uo,ui, ,u = v, tập {u ,u } với i G {0,1, , n — 2} n n-1 i i+1 clique đồ thị P clique có số lớn Thật vậy, giả sử trái n lại tồn đỉnh ej với j = {i,i + 1} cho {u ,u ,Uj} clique Khi ta i có đường Pn : u = u0, u1, , ui, uj, ui+1, ui, , un-1 = v; i+1 điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy w(P ) = (iv) Xét chu trình C : u = UO,U1, ,u i = u, tập {u ,u } với i G {0,1, ,n — 2} n n n- i i+1 clique đồ thị C clique có số lớn Thật vậy, giả sử trái lại n tồn đỉnh Uj với j = {i, i + 1} cho {u ,u ,Uj} clique Khi ta i i+1 có chu trình C : u = u , u , , u , u , u , u , , u = u; n i j i+1 i n-1 điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy w(C ) = □ n Kết sau Turan (1941), xem [5] Mệnh đề 2.4.4 Cho G đồ thị cấp n > có cd m Nếu w(G) > n2 +1 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Với n = 3, m > 3, G = K , kết luận hiển nhiên Với n = 4, m > 5, G = K G = K — e 4 e cạnh K , kết luận hiển nhiên Giả sử n > mệnh đề với đồ thị có cấp bé n Lấy u v hai đỉnh kề G Kí hiệu H = G — u — v Nếu hai đỉnh u, v kề với đỉnh thuộc H, rõ ràng G có chứa đồ thị K , ta có điều phải chứng minh Giả sử trái lại đỉnh H kề với tối đa đỉnh số hai đỉnh u v Gọi m' cỡ H Khi ta có m < m + (n — 2) + = m + (n — 1) Từ suy Vì H có cấp n — theo giả thiết quy nạp, đồ thị H chứa đồ thị K Do G có chứa đồ thị K , ta có điều phải chứng minh 3 m > m — (n — 1) > nF +1 — (n — 1) = n -4n+4 (n-2) +1= +1 □ Ta có nhận xét cận cho m mệnh đề chặt Thật vậy, kiểm tra trực tiếp ta thấy với n > đồ thị 2-nhánh G = Ky J r có cấp n, có cỡ (I 'í I ) n n w(G) = Hơn nữa, ta chứng minh K y J r thỏa mãn điều kiện n n đồ thị Tổng quát ta có kết sau, xem [5] Mệnh đề 2.4.5 Giả sử r > Cho G đồ thị cấp n > r có cd m Nếu m > ( 27-2 ) n2 + w(G) > r Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề với r = Nếu r > n > theo Mệnh đề 2.4.4 ta có điều phải chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Giả sử với r — > n > r — đồ thị G có cỡ m > (2—ĩ) n2 + chứa đồ thị K tức O)(G) > r — r— Xét đồ thị G cấp n > r có cỡ m > (ị—2) n + Ta chứng minh quy nạp theo n đồ thị G chứa đồ thị K r Nếu n = r đồ thị G có cỡ m> (tì) n + > (ỉ) Vậy đồ thị G = K = K n r Nếu n > r gọi H đồ thị có cấp k với r < k < n có cỡ lớn (27-2) k2 +1 Khi đồ thị H có chứa đồ thị K Mặt khác r m > (2-2) n + > (2-4) n + nên theo giả thiết quy nạp G có chứa đồ thị K Đặt U tập đỉnh đồ thị r-1 G đẳng cấu với K H = G — U Nếu tồn đỉnh e thuộc H kề với U đồ thị G r-1 có chứa đồ thị K Nếu không tồn đỉnh H kề với r — đỉnh U r cỡ G phải lớn ( ) + (n — r +1) (r — 2) + ( "ĩ ) r-1 n +1 Nếu n — r + < r n < 2(r — 1) Tuy nhiên r < n < 2(r — 1) suy ta có + (n — r + 1) (r — 2) + (”"T +1 ) < (2-2) n ; điều mâu thuẫn với giả thiết toán Vậy n — r + > r Khi tập H có cấp n — r + < r có cỡ lớn (2-2) n2 +1 — (- ) r — (n — r + 1)(r — 2) = (2-2)(n — r +1) + Theo giả thiết quy nạp, H chứa đồ thị K Vậy G chứa đồ thị K r 2.5 r □ Đồ thị đặc biệt Các vấn đề Mục 2.4 mở rộng sau Cho trước F đồ thị cấp k n số nguyên với n > k Xác định số nguyên m bé cho đồ thị cấp n cỡ m chứa đồ thị đẳng cấu với F Sau số kết theo hướng phát triển Các kết mục tham khảo từ tài liệu [5], [6] Mệnh đề 2.5.1 Cho G đồ thị cấp n > có cd m Nếu m> [ nJ +1 G chứa đồ thị đẳng cấu với P Chứng minh Giả sử trái lại G không chứa đồ thị đẳng cấu với P Khi đỉnh G có bậc khơng vượt q Cho nên G hợp số thị đẳng cấu với K đỉnh lập Do m < , điều trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh □ Mệnh đề 2.5.2 Cho G đồ thị cấp n > có cd m Nếu G chứa đồ thị đẳng cấu với nC+n^ 44n-3 +1 Chứng minh Giả sử trái lại G không chứa đồ thị đẳng cấu với C Với v đỉnh G số cặp đỉnh phân biệt kề với v ( '2 ) Xét d v tổng / \ E deg v veV(G) V )• Vì G không chứa đồ thị đẳng cấu với C tổng cặp đỉnh kề với đỉnh khác tính lần Do ta có E/degv\ veV(G) k ) (n\ < \2J Ký hiệu bậc đỉnh G d ,d , ,dn Khi ta có 52n=i di = 2m Viết lại bất đẳng thức ta d,ỹ-En=i di = -2m n(n-1) > n=i d,(di-1) = EL1 d2 -1X1 di > n ■'< Giải bất phương trình ta Điều trái với giả thiết Vậy ta có phải4n-chứng minh m k > 1).Người ta chia n.k người thành n nhóm, nhóm có k người cho khơng có người nhóm đến từ nước Chứng minh chọn n người đến từ nhóm khác đến từ nước khác Ý tưởng: Xây dựng đồ thị 2-nhánh với V1, V , V1 tập hợp nhóm V 2 tập hợp nước từ sử dụng Định lý 2.3.1 Lời giải: Với h thuộc 1, 2, , n tập hợp tất đại biểu h nhóm đến từ h nước Ta xây dựng đồ thị hai nhánh G với hai nhánh V1, V , V tập hợp nhóm V tập hợp nước Nếu nhóm có đại diện nước ta đặt cạnh nối hai đỉnh nhóm nước tương ứng Vì nhóm có k người tới từ k nước khác nên bậc đỉnh biểu thị nhóm k Tuy nhiên, nước có k người tham gia vào k nhóm khác nên đỉnh biểu thị nước có bậc k Khi ta thu đồ thị k-nhánh k-chính quy Theo Định lí 2.3.1, tồn ghép cặp hoàn chỉnh từ V đến V , tức tồn cặp ghép nước nhóm cho tập cạnh độc lập tập phủ cạnh Vậy chọn n người đến từ nước khác từ n nhóm khác Bài 3: (Canada 2006) Trong bảng ô vuông m.n chứa số không âm, hàng (hoặc cột) chứa số dương Ngồi ra, hàng giao một ô chứa số dương, tổng hàng cột Chứng minh m = n Ý tưởng: Ta chứng minh m < n n < m cách xây dựng đồ thị hai nhánh nhánh V tập hợp hàng, nhánh V tập hợp cột sử dụng Định lý 2.3.1 Lời giải: Xây dựng đồ thị hai nhánh G nhánh V tập hợp hàng, nhánh V tập hợp cột Nếu cột hàng giao chung chứa số dương nối chúng cạnh Khơng tính tổng qt ta giả sử m > n Gọi S tập V1 NG(S) tập tất đỉnh V kề với đỉnh S cho | NG(S)| < |S| Giả sử tổng số hàng thuộc S s , s , , s Mỗi cột thuộc k NG(S) có tổng s Vì vậy, nhìn theo góc độ cột tổng i hàng thuộc S tổng tập hàng S Mà s > với i i = 1, , k, điều dẫn đến mẫu thuẫn Suy |NG(S)| > |S|, với tập S Vr Theo Định lý 2.3.1, tồn cặp ghép M hoàn chỉnh nối hàng cột Điều có nghĩa m < n Vậy m = n Bài 4: (VietNam TST 2001) Một lớp khiêu vũ có 42 thành viên, 31 người có cặp nam nữ quen Chứng minh chọn 42 người 12 cặp nam, nữ quen Ý tưởng: Bài toán sử dụng Mệnh đề 2.3.4 Lời giải: Giả sử có a nam b nữ Ta chứng minh có 12 nam 12 nữ Ngược lại, có 31 nam 31 nữ dẫn đến mâu thuẫn Ta chứng minh tập S nam quen |S| — (a — 12) nữ khác Thật vậy, ta xét cho |S| > (a — 12) Nếu nhóm quen nhiều với k nữ khác k < |S| — (a — 12), số nữ cịn lại b — k = 42 — a — k > 42 — a + |S| + a — 12 = 30 — a — |S| hay số nữ lại lớn 31 — |S|, nhóm nữ |S| nam lớn 31 — |S| + |S| = 31 người, khơng có cặp nam nữ quen nhau; điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết tốn Vậy ta ln có nhóm |S| nam quen với |S| — (a — 12) nữ khác Áp dụng Mệnh đề 2.3.4 ta có số cặp nam nữ phân biệt đôi không chung người a — (a — 12) = 12 cặp Bài 5: Bảng nxn gọi bảng hoán vị số bảng cho hàng cột có số Cho G bảng nxn gồm số nguyên không âm cho tổng số hàng cột Chứng minh G viết dạng tổng bảng hoán vị Ý tưởng: Ta thấy giống bảng hốn vị bảng G là: bảng hốn vị có tổng cột hàng Nên thay biểu diễn G thành tổng bảng hoán vị, ta trừ ô chọn tương ứng bảng G (các chọn Định lý 2.3.1) Lời giải: Ta chứng minh ln tìm n số nguyên dương nằm hàng cột khác Xét đồ thị 2-nhánh, U hàng V cột Một đỉnh U nối với đỉnh V giao hàng cột có số nguyên dương Ta chứng minh k đỉnh U kề với k đỉnh V Giả sử k đỉnh U kề với k — đỉnh V xét bảng kx(k — 1), tổng ô bảng tổng ô tính theo hàng tổng ô tính theo cột nên có c.k = c.(k — 1), điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy k đỉnh U phải kề k đỉnh V Theo Định lý 2.3.1 ta chọn n ô chứa n số nguyên dương ô nằm hàng cột khác Giảm đơn vị tính chất bảng khơng đổi nên tiếp tục áp dụng nhiều lần ta bảng toàn số Vậy ta xây dựng bảng G thỏa mãn yêu cầu toán Kết luận Trong luận văn thực cơng việc sau Trình bày số vấn đề liên quan đến tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập mối liên hệ chúng (Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.5, Mệnh đề 1.4.4, Mệnh đề 1.5.3, Mệnh đề 1.5.4); trình bày lời giải số toán thực tế liên quan đến tập ( Ví dụ 1.3.6, Ví dụ 1.3.7, Ví dụ 1.3.8, Ví dụ 1.4.5, Ví dụ 1.5.6) Tính tốn chi tiết tường minh số phủ đỉnh a(G), số độc lập đỉnh (G), số thống trị Y(G), số thống trị độc lập i(G) (Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.4.3) Trình bày số vấn đề liên quan đến tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, clique, đồ thị đặc biệt mối liên hệ chúng (Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.4.4, Mệnh đề 2.4.5, Mệnh đề 2.4.6, Mệnh đề 2.5.1, Mệnh đề 2.5.2) Tính tốn chi tiết tường minh số phủ cạnh a (G), số độc lập cạnh ^i(G), số clique w(G) (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.4.3) Trình bày chi tiết phép chứng minh Định lý Hall (Định lý 2.3.1) số kết liên quan đến cặp ghép hoàn chỉnh (Mệnh đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.4) Trình bày lời giải chi tiết cho số toán sơ cấp áp dụng Định lý Hall (Mục 2.6) Danh mục tài liêu tham khảo [1] Vũ Đình Hịa (2003), Định lý vấn đề đồ thị hữu hạn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Durango Bill (2008), The N-Queens Problem, Durango Bill's Home page, Địa chỉ: http : //www.durangoOnll.com/NQueens.html, [truy cập ngày 07/07/2020] [3] J Bondy, U Murty (1967), Graph theory with applications, American Elsevier Pub, New York [4] G Chartrand, L Lesniak (2005), Graphs and Digraphs, Chapman and Hall/CRC, London [5] R Diestel (2006), Graph Theory, Springer-Verlag New York, New York [6] E J Hoffman et al., "Construction for the Solutions of the m Queens Problem", Mathematics Magazine, Vol XX (1969), pp 66-72, Địa chỉ: http://penguin.ewu.edu/ trolfe/QueenLasVegas/Hoffman.pdf, [truy cập ngày 02/6/2020] Quyết định ... ) Tập đỉnh đồ thị G E(G ) Tập cạnh đồ thị G G Đồ thị bù G 5{GG Bậc bé đồ thị G A(G) Bậc lớn đồ thị G deg v Bậc đỉnh v đồ thị G a(G) Số phủ đỉnh đồ thị G £ (G) Số độc lập đỉnh đồ thị G Y (G) Số. .. cứu số vấn đề liên quan đến tập đặc biệt đồ thị như: tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập, tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp ghép, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị. .. trị đồ thị G i(G) Số thống trị độc lập đồ thị G ai(G) Số phủ cạnh đồ thị G £1(G) Số độc lập cạnh đồ thị G NG(S) Tập hợp tất đỉnh G kề với đỉnh S a>(G) Số clique đồ thị G G Mở đầu Các vấn đề đồ thị