Một số tập con đặc biệt trong đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUYỀN TRÂN MỘT SỐ TẬP CON ĐẶC BIỆT TRONG ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUYỀN TRÂN MỘT SỐ TẬP CON ĐẶC BIỆT TRONG ĐỒ THỊ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Một số tập đặc biệt đồ thị” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Trần Đình Lương chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 06 tháng 08 năm 2020 Học viên thực đề tài Nguyễn Ngọc Huyền Trân ii Mục lục Mở đầu 1 Các tập đỉnh đặc biệt 1.1 Một số kiến thức đồ thị 1.2 Tập phủ đỉnh 1.3 Tập độc lập đỉnh 11 1.4 Tập thống trị 25 1.5 Tập thống trị độc lập 32 Các tập cạnh đặc biệt 39 2.1 Tập phủ cạnh 39 2.2 Tập độc lập cạnh 43 2.3 Cặp ghép hoàn chỉnh 49 2.4 Clique 53 2.5 Đồ thị đặc biệt 58 2.6 Một số toán áp dụng Định lý Hall 60 Kết luận 64 Danh mục tài liệu tham khảo 64 Quyết định 66 iii Danh mục ký hiệu V (G) Tập đỉnh đồ thị G E(G) Tập cạnh đồ thị G ¯ G Đồ thị bù G δ(G) Bậc bé đồ thị G ∆(G) Bậc lớn đồ thị G deg G v Bậc đỉnh v đồ thị G α(G) Số phủ đỉnh đồ thị G β(G) Số độc lập đỉnh đồ thị G γ(G) Số thống trị đồ thị G i(G) Số thống trị độc lập đồ thị G α1 (G) Số phủ cạnh đồ thị G β1 (G) Số độc lập cạnh đồ thị G NG (S) Tập hợp tất đỉnh G kề với đỉnh S ω(G) Số clique đồ thị G Mở đầu Các vấn đề đồ thị nhà tốn học quan tâm nghiên cứu vịng 150 năm qua Cho đến trở thành vấn đề trung tâm toán học rời rạc có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học việc giải toán thực tiễn Một kết lý thuyết đồ thị xuất báo Leonhard Euler Bảy cầu Kăonigsberg, xut bn nm 1736 Bi bỏo ny cng xem kết tôpô hình học, diễn tả mối liên hệ sâu sắc lý thuyết đồ thị tôpô học Năm 1852 Francis Guthrie đưa toán bốn màu vấn đề liệu với bốn màu tơ màu đồ cho khơng có hai nước biên giới tơ màu Bài toán xem khai sinh lý thuyết đồ thị, giải sau kỉ vào năm 1976 Kenneth Appel Wolfgang Haken Trong cố gắng giải toán này, nhà toán học phát minh nhiều thuật ngữ khái niệm tảng cho lý thuyết đồ thị Trong đồ thị tập đặc biệt đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất lý thuyết đồ thị áp dụng đồ thị vào việc giải tốn thực tiễn Do việc tìm hiểu, nghiên cứu tính chất tập đặc biệt đồ thị cần thiết Đặc biệt toán liên quan đến chủ đề thường hay xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế, vấn đề cần phải tiếp cận theo hướng gắn liền với toán sơ cấp Đề tài nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến tập đặc biệt đồ thị như: tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập, tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp ghép, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị Luận văn "Một số tập đặc biệt đồ thị" bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Các tập đỉnh đặc biệt Chương trình bày số vấn đề tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập đồ thị, đặc trưng số chúng, số toán thực tế liên quan đến tập Đồng thời chương trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Chương 2: Các tập cạnh đặc biệt Chương trình bày số vấn đề tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp ghép hoàn chỉnh, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị, đặc trưng số chúng, số toán sơ cấp liên quan đến việc áp dụng Định lý Hall cặp ghép Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Phương pháp tốn sơ cấp Khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q Thầy Cơ để luận văn hoàn thiện Chương Các tập đỉnh đặc biệt Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập đồ thị, đặc trưng số chúng, số toán thực tế liên quan đến tập Đồng thời chúng tơi trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [3], [4], [5], [6], [2] 1.1 Một số kiến thức đồ thị Trong mục chúng tơi trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Các kết mục tham khảo từ tài liệu [1], [3], [4], [5] Một đồ thị cặp G = (V, E) (i) V tập khác rỗng, phần tử V gọi đỉnh G (ii) E tập tập hợp tất tập hai phần tử phân biệt V , phần tử E gọi cạnh G Cho G đồ thị Ta ký hiệu tập tất đỉnh G V (G), ký hiệu tập tất cạnh G E(G) Đồ thị G gọi hữu hạn tập đỉnh V (G) hữu hạn, tập cạnh E(G) hữu hạn Trong trường hợp này, ta gọi số phần tử V (G) cấp G, gọi số phần tử E(G) cỡ G Ta thường mô tả đồ thị hữu hạn hình vẽ đỉnh biểu diễn điểm cạnh biểu diễn đường nối hai điểm Nếu e = {u, v} cạnh G u, v hai đỉnh phân biệt, ta ký hiệu e = uv , e = vu, nói cạnh e nối hai đỉnh u v , hay nói hai đỉnh u v kề nhau; ta nói cạnh e đỉnh u (cũng đỉnh v ) liên thuộc Nếu e1 e2 hai cạnh khác G liên thuộc với đỉnh ta nói e1 e2 hai cạnh kề nhau; trái lại, e1 e2 gọi độc lập Một đồ thị H gọi đồ thị đồ thị G, ký hiệu H ⊆ G, V (H) ⊆ V (G) E (H) ⊆ E (G) Cho G đồ thị cấp n, n ≥ 1, có cỡ m Rõ ràng ≤ m ≤ n(n−1) Nếu n = ta gọi G đồ thị tầm thường Nếu m = ta gọi G đồ thị rỗng Nếu m = n(n−1) gọi G đồ thị đầy đủ cấp n, ký hiệu Kn Một đồ thị G gọi k -nhánh, k ≥ 1, phân hoạch tập đỉnh G thành k tập khác rỗng V1 , V2 , , Vk cho cạnh G nối đỉnh Vi với đỉnh Vj với i = j Rõ ràng đồ thị 1-nhánh đồ thị rỗng Đặc biệt, với i = j , với u ∈ Vi v ∈ Vj ta có uv ∈ E(G) G gọi k -nhánh đầy đủ Nếu |Vi | = ni với i = 1, 2, , k ta ký hiệu đồ thị k -nhánh đầy đủ G Kn1 ,n2 , ,nk Đồ thị 2-nhánh đầy đủ K1,n với n ≥ gọi Định nghĩa 1.1.1 Cho G đồ thị (i) Nếu |V (G)| ≥ u đỉnh G, ta ký hiệu G − u đồ thị có tập đỉnh V (G) \ {u} cạnh cạnh G không liên 52 S NG (S) Rõ ràng E1 ⊂ E2 Vì đồ thị G k-chính quy nên |E1 | = k |S| |E2 | = k |NG (S)| Từ suy k |NG (S)| ≥ k |S|, |NG (S)| ≥ |S| Cho nên, theo Định lý 2.3.1, đồ thị G có cặp ghép M cho đỉnh V1 liên thuộc với cạnh thuộc M Hơn nữa, |V1 | = |V2 | M cặp ghép hoàn chỉnh Mệnh đề 2.3.4 Cho G đồ thị hai nhánh gồm V1 , V2 Nếu với tập S V1 , NG (S) tập đỉnh thuộc V2 kề với đỉnh S cho |NG (S)| ≥ |S| − d tồn khơng |V1 | − d cạnh độc lập Chứng minh Ta chứng minh hệ quy nạp theo |V1 | d Hiển nhiên khẳng định với |V1 | = d Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: Tồn tập U ⊂ V1 mà |NG (U )| = |U | − d, ta sử dụng quy nạp cho tập đỉnh U với |U | < |V1 | d, ta có tồn |U | − d cạnh đơi độc lập có đỉnh thuộc U Với S ⊂ V1 − U áp dụng giả thiết quy nạp cho |V1 − U | < |V1 | d = tồn |V1 − U | = |V1 | − |U | cạnh độc lập khơng có đỉnh thuộc U hay NG (U ) Kết hợp với |U | − d cạnh thu thuộc ta có |V1 | − |U | + |U | − d = |V1 | − d cạnh thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: Với S ⊂ V1 |NG (S)| ≥ |S| − d + Ta xét cạnh uv với u ∈ V1 , v ∈ V2 Bỏ hai đỉnh ta đồ thị thỏa yêu cầu |NG (S)| ≥ |S| − d với tập S ⊂ V1 \ {u} Theo giả thiết quy nạp, ta thu |V1 | − − d cạnh độc lập, thêm cạnh uv ta thu |V1 | − d cạnh độc lập Kết sau Tutte (1954) cho đặc trưng đồ thị có cặp ghép hồn chỉnh, xem [6] Định lý 2.3.5 Một đồ thị không tầm thường G có cặp ghép hồn chỉnh với tập thực S V (G) o(G − S) ≤ |S|, 53 o(G − S) số thành phần liên thông cấp lẻ G − S 2.4 Clique Trong mục chúng tơi trình bày số vấn đề clique số clique đồ thị Các kết mục tham khảo từ tài liệu [4], [5] Định nghĩa 2.4.1 Cho G đồ thị (i) Một tập U đỉnh G gọi clique hai đỉnh thuộc U kề (ii) Số lớn số số clique G gọi số clique G, kí hiệu ω(G) ¯ , G khác rỗng ω(G) Từ định nghĩa ta thấy ω(G) = β(G) Sau số ví dụ clique số clique cho số đồ thị Ví dụ 2.4.2 (i) Rõ ràng ω(K1 ) = Tập clique có số lớn K2 {v1 , v2 }; ω(K2 ) = Tập clique có số lớn K3 {u1 , u2 , u3 }; ω(K3 ) = Tập clique có số lớn K4 {w1 , w2 , w3 , w4 }; ω(K4 ) = Hình 2.9: Hình minh họa Kn với n = 1, 2, 3, 54 (ii) Các tập clique số lớn K3,3 {u1 , u4 }, {u1 , u5 }, {u1 , u6 }, {u2 , u4 }, {u2 , u6 }, {u2 , u5 }, {u3 , u4 }, {u3 , u5 }, {u3 , u6 }; ω(K3,3 ) = Hình 2.10: Hình minh họa K3,3 (iii) Tập clique có số lớn P2 {u1 , u2 }; ω(P2 ) = Các clique có số lớn P3 {v1 , v2 }, {v2 , v3 }; ω(P3 ) = Các clique số lớn P4 {w1 , w2 }, {w2 , w3 }, {w3 , w4 };do ω(P4 ) = Hình 2.11: Hình minh họa Pn với n = 2, 3, (iv) Các clique có số lớn C3 {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v1 , v3 }; ω(C3 ) = Các clique có số lớn C4 {u1 , u2 }, {u2 , u3 }, {u3 , u4 }, {u1 , u4 }; ω(C4 ) = Các clique có số lớn C5 {w1 , w2 }, {w2 , w3 }, {w3 , w4 }, {w4 , w5 }, {w1 , w5 }; ω(C5 ) = 55 Hình 2.12: Hình minh họa Cn với n = 4, 5, Kết sau cho ta cơng thức tính số clique số đồ thị đặc biệt Mệnh đề 2.4.3 (i) ω(Kn ) = n với n (ii) ω(Kr,s ) = với r, s (iii) ω(Pn ) = với n (iv) ω(Cn ) = với n Chứng minh (i) Gọi tập đỉnh đồ thị Kn V (Kn ) = {u1 , u2 , , un } Rõ ràng tập V (Kn ) tập clique đồ thị Kn tập clique có số lớn (ii) Gọi Vr , Vs hai tập đỉnh độc lập Kr,s Với hai đỉnh ur ∈ Vr us ∈ Vs tập {ur , us } tập clique đồ thị Kr,s Từ suy ω(Kr,s ) ≥ Giả sử S tập clique Kr,s với |S| ≥ Khi tồn hai đỉnh u1 , u2 thuộc S cho u1 , u2 thuộc Vs thuộc Vs ; điều dẫn đến mâu thuẫn Từ suy ω(Kr,s ) ≤ Vậy ω(Kr,s ) = (iii) Xét đường Pn : u = u0 , u1 , , un−1 = v , tập {ui , ui+1 } với i ∈ {0, 1, , n − 2} clique đồ thị Pn clique có số lớn Thật vậy, giả sử trái lại tồn đỉnh ej với j = {i, i + 1} cho {ui , ui+1 , uj } clique Khi ta có đường Pn : u = u0 , u1 , , ui , uj , ui+1 , ui , , un−1 = v ; 56 điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ω(Pn ) = (iv) Xét chu trình Cn : u = u0 , u1 , , un−1 = u, tập {ui , ui+1 } với i ∈ {0, 1, , n − 2} clique đồ thị Cn clique có số lớn Thật vậy, giả sử trái lại tồn đỉnh uj với j = {i, i + 1} cho {ui , ui+1 , uj } clique Khi ta có chu trình Cn : u = u0 , u1 , , ui , uj , ui+1 , ui , , un−1 = u; điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ω(Cn ) = Kết sau Turan (1941), xem [5] Mệnh đề 2.4.4 Cho G đồ thị cấp n ≥ có cỡ m Nếu m≥ n2 +1 ω(G) ≥ Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Với n = 3, m ≥ 3, G = K3 , kết luận hiển nhiên Với n = 4, m ≥ 5, G = K4 G = K4 − e e cạnh K4 , kết luận hiển nhiên Giả sử n ≥ mệnh đề với đồ thị có cấp bé n Lấy u v hai đỉnh kề G Kí hiệu H = G − u − v Nếu hai đỉnh u, v kề với đỉnh thuộc H , rõ ràng G có chứa đồ thị K3 , ta có điều phải chứng minh Giả sử trái lại đỉnh H kề với tối đa đỉnh số hai đỉnh u v Gọi m cỡ H Khi ta có m ≤ m + (n − 2) + = m + (n − 1) Từ suy m ≥ m − (n − 1) ≥ n2 + − (n − 1) = n2 −4n+4 +1= (n−2)2 + 57 Vì H có cấp n − theo giả thiết quy nạp, đồ thị H chứa đồ thị K3 Do G có chứa đồ thị K3 , ta có điều phải chứng minh Ta có nhận xét cận cho m mệnh đề chặt Thật vậy, kiểm tra trực tiếp ta thấy với n ≥ đồ thị 2-nhánh G = K n, có cỡ K n , n n n , n có cấp ω(G) = Hơn nữa, ta chứng minh đồ thị thỏa mãn điều kiện Tổng quát ta có kết sau, xem [5] Mệnh đề 2.4.5 Giả sử r ≥ Cho G đồ thị cấp n ≥ r có cỡ m Nếu m≥ r−2 2r−2 n2 + ω(G) ≥ r Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề với r = Nếu r ≥ n ≥ theo Mệnh đề 2.4.4 ta có điều phải chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Giả sử với r − ≥ n ≥ r − đồ thị G có cỡ m ≥ r−3 2r−4 n2 + chứa đồ thị Kr−1 tức ω(G) ≥ r − Xét đồ thị G cấp n ≥ r có cỡ m ≥ r−2 2r−2 n2 + Ta chứng minh quy nạp theo n đồ thị G chứa đồ thị Kr Nếu n = r đồ thị G có cỡ m≥ n−2 2n−2 n2 + ≥ n Vậy đồ thị G = Kn = Kr Nếu n > r gọi H đồ thị có cấp k với r ≤ k < n có cỡ lớn r−2 2r−2 k + Khi đồ thị H có chứa đồ thị Kr Mặt khác 58 m≥ r−2 2r−2 r−3 2r−4 n2 + ≥ n2 + nên theo giả thiết quy nạp G có chứa đồ thị Kr−1 Đặt U tập đỉnh đồ thị G đẳng cấu với Kr−1 H = G − U Nếu tồn đỉnh e thuộc H kề với U đồ thị G có chứa đồ thị Kr Nếu không tồn đỉnh H kề với r − đỉnh U cỡ G phải lớn r−1 + (n − r + 1) (r − 2) + n−r+1 Nếu n − r + < r n ≤ 2(r − 1) Tuy nhiên r ≤ n ≤ 2(r − 1) suy ta có r−1 + (n − r + 1) (r − 2) + n−r+1 ≤ r−2 2r−2 n2 ; điều mâu thuẫn với giả thiết toán Vậy n − r + ≥ r Khi tập H có cấp n − r + ≤ r có cỡ lớn r−2 2r−2 n2 + − r−1 − (n − r + 1)(r − 2) = r−2 2r−2 (n − r + 1)2 + Theo giả thiết quy nạp, H chứa đồ thị Kr Vậy G chứa đồ thị Kr 2.5 Đồ thị đặc biệt Các vấn đề Mục 2.4 mở rộng sau Cho trước F đồ thị cấp k n số nguyên với n ≥ k Xác định số nguyên m bé cho đồ thị cấp n cỡ m chứa đồ thị đẳng cấu với F Sau số kết theo hướng phát triển Các kết mục tham khảo từ tài liệu [5], [6] Mệnh đề 2.5.1 Cho G đồ thị cấp n ≥ có cỡ m Nếu m≥ n +1 G chứa đồ thị đẳng cấu với P3 59 Chứng minh Giả sử trái lại G không chứa đồ thị đẳng cấu với P3 Khi đỉnh G có bậc khơng vượt q Cho nên G hợp số thị đẳng cấu với K2 đỉnh lập Do m ≤ n , điều trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.2 Cho G đồ thị cấp n ≥ có cỡ m Nếu m≥ √ n+n 4n−3 +1 G chứa đồ thị đẳng cấu với C4 Chứng minh Giả sử trái lại G không chứa đồ thị đẳng cấu với C4 Với v đỉnh G số cặp đỉnh phân biệt kề với v deg v Xét tổng v∈V (G) deg v Vì G khơng chứa đồ thị đẳng cấu với C4 tổng cặp đỉnh kề với đỉnh khác tính lần Do ta có v∈V (G) deg v n ≤ Ký hiệu bậc đỉnh G d1 , d2 , , dn Khi ta có n i=1 di = 2m Viết n i=1 di = lại bất đẳng thức ta n(n−1) ≥ n i=1 di (di −1) = n i=1 di − n i=1 di ≥ n n i=1 di − Giải bất phương trình ta m≤ √ n+n 4n−3 Điều trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh 4m2 n −2m 60 2.6 Một số toán áp dụng Định lý Hall Trong mục chúng tơi trình bày lời giải số toán sơ cấp kỳ thi TST (Team Selection Test), IMO (International Mathematical Olympiad) cách áp dụng Định lý Hall hệ Bài 1: Cho bảng nxk với k < n cho vng có số từ tới n Biết hàng cột khơng có số trùng Chứng minh ta mở rộng bảng thành bảng nxn với số từ đến n ô, cho hàng cột khơng có số trùng Ý tưởng: Một ý tưởng tự nhiên gặp toán ta thêm số vào cột Vì vậy, ta cần chứng minh mở rộng bảng thành bảng nx(k + 1) thỏa mãn yêu cầu đề Ta xây dựng đồ thị 2-nhánh gồm 2n đỉnh có n đỉnh biểu diễn hàng n đỉnh biểu diễn số từ đến n từ sử dụng Mệnh đề 2.3.3 để giải toán Lời giải: Ta chứng minh ta mở rộng bảng thành bảng nx(k + 1) thỏa mãn yêu cầu đề Xét đồ thị với 2n đỉnh có n đỉnh biểu diễn hàng n đỉnh biểu diễn số từ đến n Nếu số chưa xuất hàng ta đặt cạnh nối hai đỉnh tương ứng Để ý bậc đỉnh biểu thị hàng n − k Tuy nhiên, số xuất lần cột, nên chúng k hàng khác Vì vậy, bậc đỉnh biểu thị số n − k Vậy ta thu đồ thị 2-nhánh (n − k)-chính quy Theo Mệnh đề 2.3.3, tồn cặp ghép hoàn chỉnh, tức tồn cặp ghép số với hàng cho vừa tập độc lập cạnh vừa phủ cạnh để cột (k + 1) thỏa yêu cầu toán Tương tự ta tiếp tục thực trình thu đồ thị thỏa mãn yêu cầu toán 61 Bài 2: (Vietnam TST 2010) Có n nước, nước có k đại diện (n > k > 1).Người ta chia n.k người thành n nhóm, nhóm có k người cho khơng có người nhóm đến từ nước Chứng minh chọn n người đến từ nhóm khác đến từ nước khác Ý tưởng: Xây dựng đồ thị 2-nhánh với V1 , V2 , V1 tập hợp nhóm V2 tập hợp nước từ sử dụng Định lý 2.3.1 Lời giải: Với h thuộc 1, 2, , n tập hợp tất đại biểu h nhóm đến từ h nước Ta xây dựng đồ thị hai nhánh G với hai nhánh V1 , V2 , V1 tập hợp nhóm V2 tập hợp nước Nếu nhóm có đại diện nước ta đặt cạnh nối hai đỉnh nhóm nước tương ứng Vì nhóm có k người tới từ k nước khác nên bậc đỉnh biểu thị nhóm k Tuy nhiên, nước có k người tham gia vào k nhóm khác nên đỉnh biểu thị nước có bậc k Khi ta thu đồ thị k -nhánh k -chính quy Theo Định lí 2.3.1, tồn ghép cặp hoàn chỉnh từ V1 đến V2 , tức tồn cặp ghép nước nhóm cho tập cạnh độc lập tập phủ cạnh Vậy chọn n người đến từ nước khác từ n nhóm khác Bài 3: (Canada 2006) Trong bảng ô vuông m.n chứa số không âm, hàng (hoặc cột) chứa số dương Ngồi ra, hàng giao một ô chứa số dương, tổng hàng cột Chứng minh m = n Ý tưởng: Ta chứng minh m ≤ n n ≤ m cách xây dựng đồ thị hai nhánh nhánh V1 tập hợp hàng, nhánh V2 tập hợp cột sử dụng Định lý 2.3.1 Lời giải: Xây dựng đồ thị hai nhánh G nhánh V1 tập hợp hàng, 62 nhánh V2 tập hợp cột Nếu cột hàng giao ô chung chứa số dương nối chúng cạnh Khơng tính tổng qt ta giả sử m ≥ n Gọi S tập V1 NG (S) tập tất đỉnh V2 kề với đỉnh S cho |NG (S)| < |S| Giả sử tổng số hàng thuộc S s1 , s2 , , sk Mỗi cột thuộc NG (S) có tổng si Vì vậy, nhìn theo góc độ cột tổng hàng thuộc S tổng tập hàng S Mà si > với i = 1, , k , điều dẫn đến mẫu thuẫn Suy |NG (S)| ≥ |S|, với tập S V1 Theo Định lý 2.3.1, tồn cặp ghép M hoàn chỉnh nối hàng cột Điều có nghĩa m ≤ n Vậy m = n Bài 4: (VietNam TST 2001) Một lớp khiêu vũ có 42 thành viên, 31 người có cặp nam nữ quen Chứng minh chọn 42 người 12 cặp nam, nữ quen Ý tưởng: Bài toán sử dụng Mệnh đề 2.3.4 Lời giải: Giả sử có a nam b nữ Ta chứng minh có 12 nam 12 nữ Ngược lại, có 31 nam 31 nữ dẫn đến mâu thuẫn Ta chứng minh tập S nam quen |S| − (a − 12) nữ khác Thật vậy, ta xét cho |S| > (a − 12) Nếu nhóm quen nhiều với k nữ khác k < |S| − (a − 12), số nữ cịn lại b − k = 42 − a − k > 42 − a + |S| + a − 12 = 30 − a − |S| hay số nữ lại lớn 31 − |S|, nhóm nữ |S| nam lớn 31 − |S| + |S| = 31 người, khơng có cặp nam nữ quen nhau; điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết toán Vậy ta ln có nhóm |S| nam quen với |S| − (a − 12) nữ khác Áp dụng Mệnh đề 2.3.4 ta có số cặp nam nữ phân biệt đôi không 63 chung người a − (a − 12) = 12 cặp Bài 5: Bảng nxn gọi bảng hoán vị số bảng cho hàng cột có số Cho G bảng nxn gồm số nguyên không âm cho tổng số hàng cột Chứng minh G viết dạng tổng bảng hốn vị Ý tưởng: Ta thấy giống bảng hoán vị bảng G là: bảng hốn vị có tổng cột hàng Nên thay biểu diễn G thành tổng bảng hoán vị, ta trừ ô chọn tương ứng bảng G (các ô chọn Định lý 2.3.1) Lời giải: Ta chứng minh ln tìm n số ngun dương nằm hàng cột khác Xét đồ thị 2-nhánh, U hàng V cột Một đỉnh U nối với đỉnh V giao hàng cột có số nguyên dương Ta chứng minh k đỉnh U kề với k đỉnh V Giả sử k đỉnh U kề với k − đỉnh V xét bảng k x(k − 1), tổng ô bảng tổng ô tính theo hàng tổng tính theo cột nên có c.k = c.(k − 1), điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy k đỉnh U phải kề k đỉnh V Theo Định lý 2.3.1 ta chọn n ô chứa n số nguyên dương ô nằm hàng cột khác Giảm đơn vị tính chất bảng khơng đổi nên tiếp tục áp dụng nhiều lần ta bảng toàn số Vậy ta xây dựng bảng G thỏa mãn yêu cầu toán 64 Kết luận Trong luận văn thực công việc sau Trình bày số vấn đề liên quan đến tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập mối liên hệ chúng (Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.5, Mệnh đề 1.4.4, Mệnh đề 1.5.3, Mệnh đề 1.5.4); trình bày lời giải số toán thực tế liên quan đến tập ( Ví dụ 1.3.6, Ví dụ 1.3.7, Ví dụ 1.3.8, Ví dụ 1.4.5, Ví dụ 1.5.6) Tính toán chi tiết tường minh số phủ đỉnh α(G), số độc lập đỉnh β(G), số thống trị γ(G), số thống trị độc lập i(G) (Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.4.3) Trình bày số vấn đề liên quan đến tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, clique, đồ thị đặc biệt mối liên hệ chúng (Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.4.4, Mệnh đề 2.4.5, Mệnh đề 2.4.6, Mệnh đề 2.5.1, Mệnh đề 2.5.2) Tính toán chi tiết tường minh số phủ cạnh α1 (G), số độc lập cạnh β1 (G), số clique ω(G) (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.4.3) Trình bày chi tiết phép chứng minh Định lý Hall (Định lý 2.3.1) số kết liên quan đến cặp ghép hoàn chỉnh (Mệnh đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.4) Trình bày lời giải chi tiết cho số toán sơ cấp áp dụng Định lý Hall (Mục 2.6) 65 Danh mục tài liệu tham khảo [1] Vũ Đình Hịa (2003), Định lý vấn đề đồ thị hữu hạn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Durango Bill (2008), The N-Queens Problem, Durango Bill’s Home page, Địa chỉ: http : //www.durangobill.com/NQ ueens.html, [truy cập ngày 07/07/2020] [3] J Bondy, U Murty (1967), Graph theory with applications, American Elsevier Pub, New York [4] G Chartrand, L Lesniak (2005), Graphs and Digraphs, Chapman and Hall/CRC, London [5] R Diestel (2006), Graph Theory, Springer-Verlag New York, New York [6] E J Hoffman et al., "Construction for the Solutions of the m Queens Problem", Mathematics Magazine, Vol XX (1969), pp 66–72, Địa chỉ: http://penguin.ewu.edu/ trolfe/QueenLasVegas/Hoffman.pdf, [truy cập ngày 02/6/2020] 66 Quyết định ... đỉnh đồ thị G E(G) Tập cạnh đồ thị G ¯ G Đồ thị bù G δ(G) Bậc bé đồ thị G ∆(G) Bậc lớn đồ thị G deg G v Bậc đỉnh v đồ thị G α(G) Số phủ đỉnh đồ thị G β(G) Số độc lập đỉnh đồ thị G γ(G) Số thống... cứu số vấn đề liên quan đến tập đặc biệt đồ thị như: tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập, tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp ghép, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị. .. trị đồ thị G i(G) Số thống trị độc lập đồ thị G α1 (G) Số phủ cạnh đồ thị G β1 (G) Số độc lập cạnh đồ thị G NG (S) Tập hợp tất đỉnh G kề với đỉnh S ω(G) Số clique đồ thị G Mở đầu Các vấn đề đồ thị