Luận văn thạc sỹ một số tính chất của lý thuyết đồ thị và vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HỒNG THANH PHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ VẬN DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phƣơng Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Đồ thị 1.1 Một số khái niệm giải tích tổ hợp 5 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm 1.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.2 Đồ thị, đường đi, chu trình 11 1.2.1 Lịch sử phát minh đồ thị 11 1.2.2 Định nghĩa đồ thị 12 1.2.3 Đường đi, chu trình 14 1.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt 15 Chương Tính chất đồ thị vận dụng 17 2.1 Tính liên thông 17 2.1.1 Một số định nghĩa ví dụ 2.1.2 Một số tính chất 2.2 Đồ thị Euler đồ thị Hamilton 2.2.1 Đường Euler đồ thị Euler 17 18 20 20 2.2.2 Đường Hamilton đồ thị Hamilton 24 2.3 Bài toán đường ngắn 31 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Danh mục hình 1.1 Đồ thị 13 1.2 Đường chu trình đồ thị 15 2.1 Đồ thị liên thông 18 2.2 Bảy cầu sông Pregel 20 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Chu trình Euler đồ thị Đồ thị có đồ thị khơng có chu trình Hamilton Điều kiện định lý 2.2.7 không điều kiện đủ Đồ thị có trọng số G ví dụ 2.3.4 Ví dụ 2.3.4 21 25 26 36 39 Một số ký hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên N∗ |S | Tập hợp số tự nhiên khác không Số phần tử tập hợp S Cnk Số tổ hợp chập k n Số chỉnh hợp chập k n Akn Pn = n! Số hoán vị n phần tử Qn = (n − 1)! Số hốn vị vịng quanh n phần tử Akn Số chỉnh hợp lặp chập k n Cnk G(X, E) D(X) d(x) Số tổ hợp lặp chập k n Đồ thị Tập đỉnh đồ thị Bậc đỉnh Mở đầu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có từ lâu đời có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà tốn học người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính Euler sử dụng đồ thị để giải toán ting v cỏc cỏi cu thnh ph Kăonigsberg Lý thuyết đồ thị vận dụng nhiều khía cạnh thực tế, với góc độ đề tài cho Tốn sơ cấp, chúng tơi khai thác chúng dạng tốn vận dụng bậc phổ thơng Chủ đề toán tổ hợp hay cụ thể toán liên quan tới đồ thị khai thác số luận văn thạc sĩ, mục đích luận văn khai thác số tính chất đồ thị để giải toán tổ hợp bậc phổ thơng Đó lý nghiên cứu thời gian qua Đề tài mang tên “Một số tính chất lý thuyết đồ thị vận dụng”, nhằm mục tiêu: - Nêu lại số kiến thức giải tích tổ hợp, quy tắc đếm - Một nội dung quan trọng đề tài lý thuyết đồ thị : định nghĩa, tính chất, số dạng đồ thị đặc biệt, tập trung vào dạng đồ thị có ý nghĩa thực tiễn quan trọng đồ thị liên thông - Đề tài khai thác khía cạnh đồ thị quan trọng với học sinh ứng dụng nhiều thực tế, đồ thị Euler đồ thị Hamilton thuật tốn để tìm đường hai đồ thị Một chủ đề quan trọng đề cập luận văn toán đường ngắn - tốn có nhiều áp dụng sống Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh, thầy tận tình hướng dẫn bảo cho tơi suốt q trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy giáo, phịng chức trường tạo cho tác giả điều kiện tốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, bạn học viên lớp Cao học Toán K14 động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin bày tỏ biết ơn cha mẹ, anh chị em người thân gia đình động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày 05 tháng 10 năm 2022 Tác giả Hoàng Thanh Phương Chương Đồ thị Tác giả đề cập tới số kiến thức giải tích tổ hợp (các phép đếm, hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp) số khái niệm đồ thị để làm sở cho chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1] [4] 1.1 Một số khái niệm giải tích tổ hợp Trong sống, ta thường gặp tình cần đếm liệt kê như: xếp đồ vật, phân chia người/vật theo điều kiện, đặc điểm định, , từ nảy sinh tốn đếm Ở đây, ta đề cập tới hai quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân) phương pháp đếm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm Bài toán đếm số phần tử tập hợp phổ biến khoa học sống Nếu số phần tử xuất không nhiều, ta đếm trực tiếp phương pháp liệt kê Tuy nhiên, phần lớn trường hợp ta gặp phải có số phần tử lớn nên cách đếm trực tiếp không khả thi, nên thường ta sử dụng hai quy tắc đếm bản: quy tắc cộng quy tắc nhân Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng) Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak Có n1 cách thực phương án A1 , n2 cách thực phương án A2 , nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc thực n1 + n2 + · · · + nk cách Quy tắc cộng phát biểu theo phép toán tập hợp sau: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An tập hợp hữu hạn không giao đôi một, tức ∀1 ≤ i, j ≤ n, Ai ∩ A j = ∅ i , j Khi đó, số cách chọn k+1 Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik (−1) 1≤i1 Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A) Số tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) n phần tử kí hiệu Cnk tính theo cơng thức Cnk = n! · k!(n − k)! Định nghĩa 1.1.16 (Tổ hợp lặp) Một dãy bao gồm k phần tử (k lớn n) tập A, phần tử lặp lại nhiều lần (khơng tính đến thứ tự xếp chúng) gọi tổ hợp lặp chập k n phần tử Ta ký hiệu Cnm số tổ hợp lặp chập m n phần tử Số tổ hợp lặp chập k k tập n phần tử Cn+k−1 10 VÍ DỤ 1.1.17 Một cửa hàng bán loại máy in ký hiệu loại 1, loại 2, , loại Một khách hàng muốn mua máy in Hỏi khách hàng có lựa chọn? LỜI GIẢI Theo đề bài, số cách chọn máy in tổ hợp lặp chập phần tử 3 = 120 cách để chọn máy in theo = C10 Vậy người có C3+8−1 u cầu đề □ VÍ DỤ 1.1.18 Có cách chia cho nhóm người, người từ có 52 lá? LỜI GIẢI Ta có cách lấy bài, cịn 47 - Người thứ có C52 cách lấy bài, cịn 42 - Người thứ hai có C47 cách lấy bài, cịn 37 - Người thứ ba có C42 cách lấy bài, cịn 32 - Người thứ tư có C37 5 5 = C37 C42 C47 Theo quy tắc nhân, ta có C52 người, người 52! cách chia cho bốn 5!5!5!5!32! □ Ta tổng quát ví dụ nêu mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.19 Số cách chia n đồ khác vào m hộp khác cho có n1 vật đặt hộp thứ 1, , ni vật đặt vào hộp n! thứ i, với i = 1, 2, , m · n1 !n2 ! nk ! (n − n1 − · · · − nm )! 1.2 Đồ thị, đường đi, chu trình 1.2.1 Lịch sử phát minh đồ thị Lý thuyết đồ thị bắt đầu lĩnh vực toán học từ lập luận Euler v bi toỏn by chic cu thnh ph Kăonigsberg năm 1736 Khoảng kỷ 19 người ta quay trở lại vấn đề lý thuyết đồ thị, xuất phát từ toán nghiên cứu mạng điện, mơ hình tinh 11 thể cấu trúc phân tử chất Sau đó, nhiều tốn khác phát triển ngôn ngữ đồ thị, tiếng tốn bốn màu đề xuất vào năm 1850 De Morgan Ta điểm qua số toán lịch sử dẫn tới phát triển lý thuyết đồ thị • Bi toỏn by chic cu thnh ph Kăonigsberg (s nêu kỹ phần 2.2.1) • Bài tốn mạng điện: Năm 1847, nhà vật lý học Kirchhoff xây dựng lý thuyết để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cho phép xác định cường độ dòng điện dây dẫn mạch khép kín mạng điện Ơng ta biểu diễn mạch điện sơ đồ mà ngày ta gọi đồ thị Bằng cách dùng đồ thị đó, Kirchhoff giải tốn đặt • Bài tốn đếm đồng đẳng hóa học: Năm 1857, nhà hóa học Cayley đếm số đồng đẳng hidrocacbon no C2 H2n+2 với số nguyên tử cacbon n Để giải toán, Cayley tới khái niệm cây, khái niệm quan trọng đồ thị Muộn vào năm 1869, Jordan độc lập với Cayley nghiên cứu cách toán học Trên ta xét vấn đề tốn học, vật lý hóa học mà giải chúng đưa tới khái niệm đồ thị Ngoài ra, khái niệm nảy sinh từ nhiều lĩnh vực thực tế lý thuyết trò chơi, lý thuyết tối ưu, thông tin, sinh vật học, kinh tế, 1.2.2 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.2.1 (xem [4]) Tập hợp X , ∅ đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, ký hiệu G(X, E) (hoặc G = (X, E) G(X)) Thông thường, ta biểu diễn tập đỉnh V G tập điểm mặt phẳng tập cạnh E gồm đoạn thẳng (hoặc đường cong) nối cặp điểm tương ứng Cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cung Trong trường hợp hai đầu mút trùng nhau, cạnh với hai đầu mút gọi 12 A F B E C D Hình 1.1: Đồ thị khuyên Hai cạnh có chung hai đầu mút gọi cạnh bội cạnh song song Ta nói hai đỉnh kề hai đỉnh cạnh đồ thị, hai cạnh kề (khơng song song) có chung đầu mút Ký hiệu D(x) tập đỉnh mà đỉnh nối với x cạnh; D+ (x) để tập đỉnh, mà đỉnh từ x có cung tới; D− (x) để tập đỉnh, mà đỉnh có cung tới x Hai cạnh (cung) gọi kề • Chúng khác • Chúng có đỉnh chung (nếu a, b cung, khơng phụ thuộc vào đỉnh chung đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung b) Định nghĩa 1.2.2 (xem [4]) Số đỉnh kề với đỉnh x ∈ X gọi bậc đỉnh x ký hiệu dG (x) Nếu khơng có nhầm lẫn, ký hiệu d(x) Tính chất 1.2.3 (Bổ đề bắt tay, xem [2], tr.192) Mối quan hệ số cạnh đồ thị với bậc đỉnh thể công thức X d(x) = 2|E| x∈X Chứng minh Gọi N(x) = {v ∈ X | x , v {x, v} ∈ E} Mỗi x ∈ N(x) ta tương ứng với e = {x, v} ∈ E Dễ thấy tương ứng song ánh N(x) E x = {{x, v} ∈ E | x , v} Vì X X |N(v)| = |E x | x∈V x∈V 13 Vì cạnh {x, v} ∈ E với v , x có hai đỉnh liên thuộc với v x, nên tổng vế phải {x, v} ∈ E với v , x tính hai lần: lần Ev lần E x Do X |E x | = |E1 | , x∈V Mặt khác, ta có E2 = E \ E1 tập tất khuyên G Ký hiệu X1 = {x ∈ X | {x, x} < E}, X2 = {x ∈ X | {x, x} ∈ E} Khi đó, với đỉnh x ∈ X2 , ta có khuyên {x, x} ∈ E, nên |X2 | = |E2 | Vi vậy, X X X deg(x) = deg(x) + deg(x) x∈X x∈X1 = = X x∈X1 X x∈X2 X |N(x)| + |N(x)| + |V2 | x∈X2 |N(v)| + |X2 | = |E1 | + |E2 | = 2|E| x∈X □ 1.2.3 Đường đi, chu trình Định nghĩa 1.2.4 (xem [4]) Trong đồ thị G, đường chuỗi luân phiên đỉnh cạnh, bắt đầu kết thúc hai đỉnh, cho không đỉnh xuất nhiều lần Nếu biểu diễn đường đỉnh x1 x2 xk cho xk xk+1 ∈ E ta có chu trình v1 v2 vk v1 Nói cách khác, chu trình hợp đường cạnh nối đỉnh đầu cuối đường Độ dài đường chu trình số cạnh đường chu trình Chu trình độ dài (hay đồ thị đầy đủ đỉnh K3 ) gọi tam giác, cịn chu trình độ dài gọi tứ giác Một đường (có hướng vơ hướng) gọi khép kín đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Đường khép kín trở thành chu trình đường có độ dài xóa đỉnh cuối trở thành đường Một đường gọi vết cạnh đường khác VÍ DỤ 1.2.5 Xét đồ thị hình 1.1 Khi ta có • ABCD đường 14 v3 v2 e2 e1 e5 e6 e7 v1 e8 e3 v4 e4 v5 Hình 1.2: Đường chu trình đồ thị • ACDEFA chu trình • ABFA chu trình độ dài (tam giác) VÍ DỤ 1.2.6 Xét đồ thị hình 1.2 Khi ta có • Chu trình v1 v2 v4 v5 v1 chu trình v1 v2 v3 v4 v5 v1 • Chu trình v1 v2 v4 v5 v1 tứ giác (chu trình độ dài 4) • v2 v3 v4 v5 đường 1.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt Nếu không thiết phân biệt cạnh cung, ta quy ước dùng cạnh thay cho cung Đồ thị G(X, E) khơng có khun cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn Đồ thị G(X, E) khơng có khun có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đồ thị vơ hướng (hoặc có hướng) G(X, E) gọi đồ thị đầy đủ, hai đỉnh đồ thị ln có cạnh nối Đồ thị G(X, E) gọi đồ thị hai phía, tập đỉnh X hợp rời hai tập X1 , X2 khác rỗng cạnh có đầu thuộc X1 , đầu cịn lại thuộc X2 Khi G(X, E) ký hiệu G(X1 , X2 , E) Đồ thị gọi liên thơng khơng có chu trình 15 Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hữu hạn số đỉnh đồ thị hữu hạn, nghĩa tập X có lực lượng hữu hạn Trong phần tiếp theo, đồ thị, đa đồ thị xét hữu hạn Cho Y ⊆ X, Y , ∅; H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y); V = (X × X)/E với X × X = {(x, y) : x, y ∈ X}; Y × Y = {(x, y) : x, y ∈ Y ⊆ X} Đồ thị G1 (Y, F) gọi đồ thị con, đồ thị G2 (X, H) gọi đồ thị phận đồ thị G(X, E) Đồ thị G′ (X, V) gọi đồ thị bù đồ thị G(X, E) Chương trình bày quy tắc đếm bản, đồng thời trình bày số khái niệm dạng đồ thị thường gặp Trong chương sau, ta nghiên cứu số tính chất đặc biệt đồ thị hai dạng đồ thị phổ biến: đồ thị Euler đồ thị Hamilton 16