Một số mô hình phân tích thành phần chính ba chiều

Bộ GIÁO DỤC v.\ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ÁI MY MỘT SỐ MƠ HÌNH PHÂN TÍCH THÀNH PHẦN CHÍNH BA CHIEU LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Bộ GIÁO DỤC v.\ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DẠI HỌC QUY NHƠN Bình Định - 2020 NGUYỄN THỊ ÁI MY MỘT SỐ MƠ HÌNH PHÂN TÍCH THÀNH PHẦN CHÍNH BA CHIEU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS LÂM THỊ THANH TÂM Bình Định - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn đề tài “Một số mơ hình phân tích thành phần ba chiều” viết hướng dẫn TS Lâm Thị Thanh Tâm chưa công bố để bảo vệ học vị thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, xin chịu trách nhiệm luận văn Bình Định, tháng 08 năm 2020 Học viên thực đề tài Nguyễn Thị Ái My Muc luc 1.1 1.1.1 Úng dụng toán xấp xỉ hạng thấp tốt ma trận 22 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ 1.1.5 Danh sách hình vẽ 2.1 Phân tích hai chiều 11 2.2 Ví dụ phương sai liệu không gian hai chiều, (a) Chiều thứ hai có phương sai (tỉ lệ với độ rộng đường hình chng) nhỏ chiều thứ nhất, (b) Cả hai chiều có phương sai đáng kể Phương sai chiều phương sai thành phần tương ứng lấy toàn 1.1.6 3.1 1.1.7 1.1.8 LỜI NÓI ĐẦU Trong thống kê, phân tích liệu khâu vơ quan trọng để tìm hiểu thơng tin có liệu Cùng với bùng nổ thông tin, liệu ngày lớn trở nên đa dạng nhiều Từ làm xuất ngày nhiều mơ hình phân tích liệu nhằm đáp ứng nhu cầu tìm hiểu thơng tin nhà khoa học Mục tiêu mơ hình phân tích tìm hiểu cách biểu diễn liệu cho đơn giản mà lượng thơng tin bị Luận văn nhằm tìm hiểu mơ hình phân tích liệu 1.1.9 Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu Phân tích giá trị kì dị (Singular value decomposition - SVD) Phân tích thành phần (Principal component analysis PCA) mảng hai chiều ứng dụng chúng, tìm hiểu mơ hình CP mơ hình Tucker3 mảng ba chiều Ngồi mục lục, bảng danh sách hình vẽ, lời nói đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương: 1.1.10 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở Lý thuyết ma trận, phát biểu chứng minh Định lí phổ ma trận đối xứng, tích có hướng véctơ, tích Kronecker, tích Khatri - Rao ma trận 1.1.11 Chương Một số mơ hình phân tích hai chiều ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày phân tích hai chiều, phân tích giá trị kì dị, phân tích thành phần chính, trình bày số ứng dụng hai mơ hình 1.1.12 Chương Một số mơ hình phân tích thành phần ba chiều Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức mảng ba chiều, mơ hình Candecomp/Parafac (CP), mơ hình Tucker3, mối quan hệ hai mơ hình 1.1.13 Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Lâm Thị Thanh Tâm 1.1.14 Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc dẫn dắt, bảo tận tình Cơ suốt q trình thực đề tài Nhân đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể Lớp Cao học Tốn K21, Q Thầy Cơ Khoa Toán - Truờng Đại học Quy Nhơn tận tình giảng dạy, nhu tạo điều kiện cho tơi hồn thành Khóa luận Đồng thời, tơi gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, nguời động viên, giúp đỡ mặt tinh thần thời gian qua 1.1.15 Mặc dù có nhiều cố gắng việc tìm tịi, học hỏi nghiên cứu nhung thời gian khả thân cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đuợc góp ý Q Thầy Cơ bạn để Khóa luận đuợc hồn chỉnh 1.1.16 Tôi xin chân thành cảm ơn 1.1.17 Bình Định, tháng 08 năm 2020 1.1.18 1.1.19 Nguyễn Thị Ái My Tác giả 1.1.20 Chương 1.1.21 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.22 Các kết chương trích dẫn từ tài liệu [1,4,6,12] 1.1 Ma trận 1.1.23 Định nghĩa 1.1.1 Ma trận cỡ m X n bảng gồm mn số thực xếp thành m dòng n cột Ma trận A cỡ m X n thường kí hiệu sau: 1.1.24 1.1.261.1.28 1.1.30 a 11 a12 a1n 1.1.271.1.29 1.1.31 a 1.1.25 A = 21 a22 a2n 1.1.32 1.1.33 1.1.341.1.35 1.1.36 a a m2 mi amn 1.1.38 1.1.39 1.1.40 1.1.41 1.1.37 \ / 1.1.42 1.1.43 1.1.441.1.45 1.1.46 a 'a 12 ain 1.1.47 1.1.48 1.1.491.1.50 1.1.51 a a 1.1.52 1.1.53 A = 21 1.1.54 22 1.1.551.1.56 a2n 1.1.57 1.1.58 1.1.591.1.60 1.1.61 ^am am2 amn y 1.1.62 1.1.63 A = (aij)mxn aj phần tử ma trận nằm dòng i, cột j với i = 1, m, j = 1, n 1.1.64 Với m = n, ta gọi ma trận cỡ m X m ma trận vuông cấp m Các phần tử a 11, a22, , amm nằm đường thẳng gọi đường chéo ma trận 1.1.65 Định nghĩa 1.1.2 Ma trận đơn vị cấp n ma trận vng cấp n có phần tử nằm đường chéo 1, phần tử khác Ta kí hiệu ma trận đơn vị cấp n I n có dạng sau: 1.1.66 10 1.1.67 I n 1.1.680 1.1.69 Trong trường hợp không cần ý đến cấp ma trận, ta kí hiệu ma trận đơn vị 1.1.70 I 1.1.71 Định nghĩa 1.1.3 Ma trận đường chéo ma trận vng có phần tử nằm ngồi đường chéo Ma trận đường chéo D có dạng sau 1.1.72a11 1.1.73D 1.1.74 0 a22 0 ann 1.1.75 Ta thường kí hiệu ma trận đường chéo diag (a11, a22, , ann) với a11, a22, , ann phần tử nằm đường chéo 1.1.76 Ma trận có dịng gọi véctơ dịng Ma trận có cột gọi véctơ cột 1.1.77 Định nghĩa 1.1.4 Ma trận vuông A cấp n gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận vuông B cấp n thỏa mãn AB = BA = In Khi B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A kí hiệu A-1 1.1.78 Định nghĩa 1.1.5 Cho ma trận A = (aij)mxn Ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT, ma trận xác định AT = (a^)^ 1.1.79 Ma trận vuông A gọi đối xứng A T = A, gọi ma trận phản đối xứng AT = — A 1.1.80 Định nghĩa 1.1.6 Ma trận vuông A gọi ma trận trực giao ATA = AAT = I 1.1.81 Định nghĩa 1.1.7 Cho A ma trận vuông cấp n Định thức ma trận A, kí hiệu det(A) hay |A| giá trị đuợc xác định công thức 1.1.82 det(A) = aiiAii + ai2Ai2 + + ainAin, 1.1.83 Aik = (—1)i+k det (Mik) với Mik tó ma trận vng cấp n — nhận đuợc từ ma trận A cách tó dịng thức i cột thứ k Đại lượng Aik gọi phần bù đại số aik 1.1.84 1.1.85 Từ Định nghĩa 1.1.7, ta có • Nếu A = det(A) = a 1.1.86 Định nghĩa 1.1.8 Cho A ma trận cỡm X n s số nguyên thỏa < s < • Nếu A = det(A) = ad — bc min(m, n) Khi đó, phần tử nằm giao s dòng s cột ma trận A lập nên ma trận vuông cấp s, gọi ma trận cấp s ma trận A 1.1.87 Định nghĩa 1.1.9 Định thức cấp cao khác ma trận A gọi định thức sở ma trận A 1.1.88 Một ma trận A có nhiều định thức sở cấp 1.1.89 Hạng ma trận A cấp định thức sở Kí hiệu hạng ma trận A rank(A) 1.1.90 Từ Định nghĩa 1.1.9, ta có nhật xét sau 1.1.91 Nhận xét 1.1.1 Cho A nia trận cấp m X n B ma trận cấp n X p (i) Nếu rank(B) = n rank(A.B) = rank(A) (ii) Nếu rank(A) = n rank(A.B) = rank(B') 1.1.92 Định nghĩa 1.1.10 vết ma trận vuông A cấp n xác định tổng phần tử đường chéo ma trận A kí hiệu Tr(A) 1.1.597 E mảng dư, q số cho trước, at G Rm, bt G Rn, ct G Rp véctơ có độ dài 1, gt trọng số thành phần thứ t Y(t) = gt (at ◦ bt ◦ ct) mảng 1.1.598 hạng 1, gọi thành phần, cố định q, phân tích CP (3.1) có cách giảm tối thiểu \\E||2 V e2jk Khi mơ hình CP (3.1) mơ tả hình ảnh 1.1.599 1.1.600 ijk sau: Hình 3.4: Phân tích ba chiều 1.1.601 1.1.602 1.1.603 Chúng ta kí hiệu A = [ai aq] G Rmxq, B = [bi bq] G Rnxq C = [ci cq] G Rpxq, gọi ma trận thành phần Khi đưa kí hiệu cho mơ hình CP sau 1.1.604 Ta có 1.1.605 X = gi (ai ◦ bi ◦ C1) + + gq (aq ◦ bq ◦ Cq) + E = gi (C1 * (aibD) + ••• + gq (ty * (aqbq )) + E 1.1.606 1.1.607 1.1.608 Khi đó, với k = 1, ,p, ta có X k) = gicki (aibf) + + gqckq (ữq q) + Ek ì b a iq = giCki b b + ii ni +g c q kq b b b b iq nq 1.1.609 1.1.609 aii 1.1.610 1.1.611 a a 1.1.614 1.1.615 1.1.612 1.1.613 1.1.616 1.1.617 b a b ii ii ii ni iq biq aiq bnq 1.1.618 1.1.619 1.1.622 1.1.623 1.1.620 1.1.621 +g c + •1.1.626 • q kq 1.1.627 a 1.1.624 a 1.1.625 1.1.628 1.1.629 b b 1.1.630 mi ii amibni mq iq amq bnq 1.1.8 a mi a mq + Eki2) +E (i2) k glck1a1lbl1 + + gqckqa1qb1q 1.1.631 glck1a1lbn1 glck1a2lbl1 + + gqckqa2qb1q glck1a2lbn1 a b + +g c a b g c a b + k1 m1 11 q kq mq 1q k1 m1 n1 + gqckqamq nq 1.1.632 g c a 11 a 21 a 12 a 22 a m a m + + gqckqa1qbnq + + gqckqa2qbnq b a1q a2q b 1b 2b g2 c k2 amq 1.1.634 1.1.635 1.1.636 1.1.637 1.1.638 g1Ck 1.1.641 1.1.640 g2ck2 với Ck = 1.1.643 T 1.1.644 12 = ACk B + E) ' 00 1.1.6461.1.648 Tương tự, ta có 1.1.649 q b 21 •b 22 • • • 0 1.1.642 1.1.645 gq ckq 1.1.647 (12 )k b n2 b2q • b nq 1.1.633 g1ck 1.1.6391 (3.2) +E*2’ 0 +E g c q kq X,(23) = BAiC + E!23’, I = 1, ,m, (3.3) 1.1.650 1.1.654 1.1.658 1.1.651 1.1.6521.1.653 1.1.655 1.1.6561.1.657 g1ai .0 g1bj .0 1.1.659 1.1.6601.1.661 1.1.662 1.1.663 1.1.6641.1.665 1.1.666 1.1.667 a b g2 i2 g2 j2 với Ai = 0 0 Do đó, khơng , Bj = 1.1.668 1.1.672 1.1.676 1.1.669 1.1.6701.1.671 1.1.673 1.1.6741.1.675 a c g b 0 q iq 0 q jq 1.1.677 1.1.9 xj13’ = cBjAT + Ej13’, j = 1, , n, 1.1.10 (3.4) 1.1.678 Ngồi ra, có cách khác để viết mơ hình CP cách sử dụng tích 1.1.679 Khatri - Rao ba dạng đây: A+ E(npxm) (npxm) 1.1.11 tính tổng quát, giả sử trọng số gt bù vào A B C 1.1.680 ZBCA 1.1.681 1.1.682 1.1.683 \BCpJ (C B) T+ , 1.1.684 © A E(npxm) (3.5) ( CAi\ (X© xm23) X (mpxn) yCAm y (A ) ©C B T+ E(mpxn) , í gt bù vào A; X 1.1.685 (mnxp) (X© X«»)T gt bù vào C; 1.1.686 1.1.687 1.1.689 1.1.688 1.1.690 1.1.692 1.1.693 (B © (3.6) A) C AB1\ 1.1.691 (mnxp), ỶABn ỳ T+E gt bù vào B 1.1.694 Rõ ràng có tương đồng mơ hình (2.1) mơ hình (3.1), Hình (2.1) Hình (3.4) Bộ ba (A, B, C) thỏa mãn mơ hình CP gọi nghiệm mơ hình CP xấp xỉ hạng q X- Các ma trận ABC gọi ma trận thành phần 1.1.695 Nếu q = rank(X) (A, B, C) nghiệm tốt CP Nếu q < rank(X) \\EII2 nhỏ (A, B, C) gọi tó nghiệm CP tối ưu xấp xỉ hạng q tốt X Do đó, hạng X số q nhỏ cho X có phân tích CP tồn phần 3.2.2 1.1.696 Thuật tốn tìm nghiệm CP mảng Trong phần này, giả sử trọng số mơ hình (3.1) bù vào ma trận C Thuật toán đơn giản phù hợp với mơ hình CP gọi thuật tốn bình phương tối thiểu luân phiên (ALS), có giải thuật sau: 1.1.697 • Bước Khởi tạo với ma trận A B C bất kì, ta có: (3.7) 1.1.698 eo = l (A, B, C) = £ I X^ACk BT • Bước Với B C cố định, tìm A tốt theo công thức sau: AT = (ế CkBTBC^ 1.1.699 (è CkBT (X“>)T) • Bước Với A C cố định, tìm B tốt theo công thức sau: BT = (ếCkATAC^ (ế CkAT (*kl2>)T) 1.1.700 1.1.701 • Bước Với A B cố định, tìm C tốt theo cơng thức sau: T T l2 1.1.702 1.1.703Ck = ((A © B ) (A © B)) (A © B) Vec (xk >>) , k = 1, ,p Khi C = 1.1.704 trước c Cl C p • Bước Lặp lại bước 1, 2, 3, eo < ố với ố > cho 1.1.705 3.2.3 1.1.706 Ví dụ Cho X mảng cỡ X X với hai lát cắt diện 1.1.715 II 1.1.733 1.1.707 1.1.708 1.1.709 1.1.710 11.1.717 01.1.718 01.1.719 1.1.711 1.1.712 1.1.713 1.1.714 -1 1.1.720 1.1.722 1.1.723 1.1.724 1.1.725 1.1.726 1.1.727 1.1.728 0 X(l2> 1.1.729 1.1.730 1.1.731 1.1.732 -4 1.1.734 Với q = 3, cách sử dụng phần mềm Matlab với ố =10 7, ta nhận nghiệm 1.1.735 CP sau 1.1.736 1.1.737 0.4864 -0.4738 1.1.740 1.1.741 A _ 0.6649 -0.6535 1.1.744 1.1.745 1.1.748 0.5671 -0.5999 1.1.749 C= 1.1.750 1.1.751 0.4616 0.6599 0.5835 1.1.742 ,B_ 1.1.738 1.1.739 0.7236 -0.6933 0.7086 1.1.743 0.6068 -0.6507 0.6290 1.1.746 1.1.747 0.3291 -0.3098 0.3203 0.2893 -0.2690 0.2790 , 0.9572 -0.9631 0.9603 trọng số tương ứng gl = 2258.674 g2 = 2324.58, g3 = 4579.80 3.3 Mơ hình Tucker3 1.1.752 3.3.1 Mơ hình 1.1.753 Năm 1966, Tucker đưa mơ hình Tucker3, định nghĩa sau 1.1.754 1.1.755 c )+ v 1.1.757 qrs X= E_ 1.1.756 t =1 u=1 v=1 EEE (3-8) g (a tuv t ◦ bu ◦ Dễ dàng nhận thấy mơ hình CP (3.1) trường hợp đặc biệt mơ hình Tưcker3 nói Thật vậy, với q = r = s gtuv = (t, u, v) = (t, t, t) mơ hình (3.8) trở thành mơ hình (3.1) Mảng G G Rqxrxs với thành phần gtuv gọi mảng nhân Thông thường, ma trận thành phần A G Rmxq, B G Rnxr C G Rpxs bị giới hạn để trở thành đôi trực chuẩn với Mơ hình Tucker3 mơ tả cơng thức sau: 1.1.758 Từ (3.8), ta có 1.1.759 1.1.760 1.1.761 1.1.762 qrs X g * ( tbu ) ) + E t=1 u=1 v=1 tuv (Cv a Suy Xk12) 1.1.763 1.1.764 t=1 u=1 v = gtuv 1.1.765 a ( ( )) 1t c kv a bT t + E 12) k qrs EEE =1 =1 =1 t u a 2t g b b 1u c tuv kv + Ek12) bnu 2u v a mt a a a1t bnu a a a2tbnu 1tb1u s qr ckv =1 v EE =1 =1 t 2tb1u 1tb2u 2tb2u tuv u a mt b 1u a b mt amtb nu 2u r a 1t s q g tuv kv t 1u =1 c =1 r b a 1t u s Ế v + Ek12) g n r r a =1 g mt tuv u 1.1.766 a 1t + Ek12) b =1 1u a g mt b tuv nu =1 u 1.1.17 1.1.13 q q 1.1.15 q s q a r r 1.1.767 1.1.768 1.1.769 t=1 -1 21.1.770 t 1.1.14 12) g 1.1.18 b g b + Ek1.1.16 22 tuv u 22 tuv nu 22 22 a 1.1.778 22 l_t 1.1.773 t=1 1.1.771 1.1.775 c 1.1.772 1.1.774 1.1.776 1.1.777 u=1a a kv u=1 a v=1 11 a12 t=1a1q g1 g12v m g1rv m m t t 1.1.7791.1.781 1.1.785 1.1.786 1.1.787 tg 1.1.782 1.1.783 a 1.1.784 g g mt 1.1.12 BT + g s a a g2 g22v t 2rv 21 22 a2q t t 12) 1.1.780 1.1.7891.1.790 bii b21 rvbn1 Ek a 1.1.792 1.1.791 1v1.1.794 1.1.795 1.1.788 1t 1v 1.1.793 v 1.1.800 v = 1.1.796 1.1.797 1.1.798 1.1.799 1.1.801 1.1.802 1.1.803 s q a b a a 12 b22 bn2 m1 m2 amq 2t gq1 gq2v gqrv + Ek12) g g t1v gt2v tru c kv t=1 v= b a b nr mt 1r b2r É £ É £ q q a c q 12 1tgt1v 22 1tgt2v t=1 t=1 q q a g a 22 2t t1v 12 2tgt2v t=1 t=1 a kv a g 22 1t trv t=1 q a g 22 2t trv t=1 BT + Ek12) 1.1.804 1.1.805 1.1.806 £ Ckv AGv B + Ek12) 1.1.807 v = T 1.1.808 A(^ £ C Gv) B + E kv T 12) k , ết mơ Gv G RqXr lát cắt diện thứ v G Từ đó, có 1.1.809 thể vi hình Tucker3 dạng ma trận sau: X X(12) X X npxm +E A+ npxm Xp 1.1.810 E‘„1 C1v BG 1.1.811 1.1.812 sumfV=1Cpv BG'V Q 1.1.813 A ET X(12) _ C11B • • • C1sB AT np X m _ 1_ A +E +E C 1.1.814 (C 1.1.815 1.1.816 G = B p1 c ••• G B) GT B ps AT + Enpxm, Gi • • • Gs ■ Khi đó, ta mơ tả phần tử X nhu sau: 1.1.817 qrs EEE 1.1.818 X = (A, B, C) G o Xijk = 1.1.819 t=i u=i v = i Nếu r = s = p G a b c g it ju kv t uv 1.1.820 mảng cấp q X q X q siêu chéo với q lát cắt diện sau 1.1.821 1.1.825 1.1.822 1.1.823 1.1.824 1.1.826 1.1.827 1.1.828 g •• • 0 •• • 1.1.831 1.1.832 1.1.835 1.1.836 1.1.8291.1.830 1.1.834 1.1.833 , Gi = 0 •• • 0 •• • • • • , Gq = 1.1.837 1.1.841 1.1.838 1.1.839 1.1.840 1.1.842 1.1.843 1.1.844 0 •• • 0 •• • gq 1.1.845 1.1.846 kí hiệu mơ hình CP (3.1) phát biểu lại duới dạng X = (A, B, C) G + E Mơ hình Tucker3 đuợc thực thuật tốn ALS Với q < m r < n s < p, mơ hình Tucker3 cho xấp xỉ hạng (q, r, s) đa tuyến tính tốt X 3.3.2 1.1.847 Thuật toán Đặt X = XmXnp = XỊpxrn, XnpXm xác định nhu (3.9) Nhờ Kroonenberg and De Leeuw (1980), mơ hình Tucker3 trở nên phù hợp cách giảm thiểu hàm sau: A,B,C 1.1.848 (3.10) 1.1.849 với giả thiết A B C ma trận trực giao Thuật toán ALS cho mơ hình Tucker3 (3.9) đuợc thực nhu sau: • Bước Khởi tạo với B C • Bước Tính ma trận A ma trận gồm q véctơ kì dị ma trận (C X x m nq B) • Bước Tính ma trận B ma trận gồm r véctơ kì dị ma trận X x n mq (C A) • Bước Tính ma trận C ma trận gồm s véctơ kì dị ma trận Xp • Bước Tính eo X - AG (C B) T 1.1.8501.1.851 • Bước Tính G = ATX (C B) 1.1.852 1.1.853 • Bước Lặp lại bước 1, 2, 3, 4, 5, Eo < ố với £ cho trước 1.1.854 3.4 Mối quan hệ CP Tucker3 1.1.855 Một tính hấp dẫn CP tính Tính nghiệm CP thường nghiên cứu cho mảng điều chỉnh phù hợp X = X — E Chúng ta giả sử trọng số gt (3.1) bù vào ma trận thành phần Có thể thấy ma trận thành phần (A, B, C) (3.1) để thay đổi kích thước hoán vị cột A, B, C Thật vậy, (A, B, C) nghiệm CP (3.1) (A, B, C) = (APTa, BPTb, CPTc) P ma trận hoán vị T a, Tb, Tc ma trận đường chéo với T aTbTc = Iq Nếu lựa chọn thay nghiệm CP (A, B, C) gọi chất Ví dụ với q = 3, A = a2 a3 , bi b2 b3\ ■> /0 0^ c i (A, B, C) nghiệm CP ma trận P = C = CPTc = 1.1.858 1.1.859 1.1.860 1.1.861 ũj ◦ bj ◦ Cj = 1.1.862 j aia3 @ib Y1C 3 ■ Nếu c = diag {ai, a2, a3}, Tb = diag {@i, @2, fìì}, Tc = diag {YI,Y2,Y3}> ta có A = APTa = 1.1.856 1.1.857 B = BPTb = c V 0/ a2ai a3a2 @2 bi Y2 C1 @3 b2 Y3C bi b b Ci C C a2 a3 • > (aiữ3) ◦ (@163) ◦ (Y1C3) (@2&1) ◦ (Y2C1) + (a2ai)◦ =i 1.1.863 58 + (a3a2) ◦ (@3b2) ◦ (Y3C2) 1.1.864 = aifiiYi (a3 ◦ b3 ◦ C3) + 012P2Y2 (ai ◦ bi ◦ Ci) + '>3/3Y3 (a2 ◦ b2 ◦ C2) 1.1.865 _ 1.1.866 Điều dẫn đến ^2 ãj ◦ bj ◦ Cj yj aj ◦ bj ◦ Cj IH'11 a.j Ị3j Yj = 1, j = 1, 2, 1.1.867 " j=i j=i 1.1.868 Vì (A, B, C) = (A, B, C) TaTbTc = I3 1.1.869 Đối với mơ hình Tucker3, biết ma trận Tucker3 A B C G không Thật vậy, S G R qxq, V G Rrxr W G Rsxs ma trận khơng suy biến 1.1.870 1.1.873 AG (C B)T = AG (CT BT) 1.1.871 = A (ST) -1 STG (W V) (W-1 V-1) (CT BT) 1.1.872 = A (ST) -1 STG (W V) (W-1CT V-1BT) Điều có nghĩa quay ma trận thành phần mảng core từ A B, C lần luợt sang A (ST) \ B (VT) C (WT) Một phép quay xiên để có đuợc cấu trúc đơn giản mảng score đuợc tìm thấy Kiers (1998b) Một phép quay trực giao để có đuợc cấu trúc đơn giản mảng score đuợc tìm thấy Kiers (1998a) 1.1.874 Các điều kiện cho tính nghiệm mơ hình CP đến hầu nhu đuợc giải cách trọn vẹn Trong đó, điều kiện mơ hình Tucker3 đua cho số truờng hợp đặc biệt 59 1.1.875 1.1.876 KÊT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: 1.Tìm hiểu hai mơ hình phần tích hai chiều, Phân tích giá trị kì dị (SVD) Phân tích thành phần (PCA), đưa số ứng dụng hai mơ hình 2.Nghiên cứu, trình bày lại hai mơ hình phân tích ba chiều, Mơ hình CP Mơ hình Tưcker3, mối quan hệ giUa hai mơ hình 1.1.877 Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi nhUng thiếu sót, kính mong nhận ý kiến đóng góp Q Thầy, Cơ bạn để luận văn hoàn thiện 1.1.878 1.1.879 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Duy Thuận, Phi Mạnh Ban, Nơng Quốc Chinh, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư phạm, (2003) [2] Vũ Hữu Tiệp, Machine Learning bản, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, (2018) 1.1.880 Tiếng Anh: [3] Aapo Hyvãrinen, Principal component analysis, Based on material from the book Natural Image Statistics to be published by Springer-Verlag in 2009, 2009 [4] Carl D Meyer, Matrix analysis and applied lineara, SIAM, Philadelphia 2000 [5] Caroll J D and Chang J J, Analysis of individual differences in multidimensional scaling via an n-way generalization of Eckart-Young decomposition, Psvchometrika, 35 (30), p.283-319, 1970 [6] David c Lay, Linear algebra and its applications, Addison-Wesley, Reading, MA, 1994 [7] Harshman R A., Foundations of Parafac procedure: Models and conditions for an ''explanatory'' multimodal factor analysis, UCLA Working papers in Phonetics, 16, p.1-84, 1970 [8] I J Good, Some applications of the singular value decomposition of matrix Technometrics, 11, p.823 - 831, 1969 [9] Kruskal J B., Rank, decomposition and uniqueness for three-way and N-way arrays, In R Coppi & s Bolassco (Eds.), Multiway data analysis, Elsevier Science Publisher B.v (North Holland), 1989 [10] Lam Thi Thanh Tam, Some new methods for three-mode, factor analysis and multiset factor analysis, PhD Thesis, University of Groningen, The Netherlands 2015 [11] Stewart G w., On the early history of the singular value decomposition, SIAM Review, 35, p.551 - 566, 1993 [12] Thomas s Sgores, Applied linear algebra and matrix analysis, Springer, 2000 1.1.881 [13] Tham khảo Internet: Website: https://t uanvanle wordpress, com 2013/12/25/phuong- 1.1.882 phap-phan-tich-thanh-phan-chinh-principal-component-analysis- pca/? fbclid=IwARlNNGSbA5WSa0hydV7FmNv90zYigO_ OzBcZ02z8iXyORỈ99 tzYhvc.LzO5s 1.1.883 sĩ Quyết định giao đề tài luận văn thạc ... chiều ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày phân tích hai chiều, phân tích giá trị kì dị, phân tích thành phần chính, trình bày số ứng dụng hai mơ hình 1.1.12 Chương Một số mơ hình phân. .. tích tắc) Paralac (Phân tích nhân tử song song) (viết gọn mơ hình CP) Phân tích CP mảng ba chiều phân tích mảng thành tổng mảng hạng Mơ hình CP tổng phân tích CP mảng dư mặt hình thức, cho X mảng... người phân biệt 1.1.456 Như vậy, véctơ với số chiều k = 100 không gian mang đầy đủ thơng tin véctơ có số chiều D = 11368 không gian ban đầu 1.1.457 Chương 1.1.458 MỘT SỐ MƠ HÌNH PHÂN TÍCH THÀNH PHẦN