Một số bất đẳng thức hình học và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI ANH TRƯỜNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bình Đinh - Năm 2020 BÙI ANH TRƯỜNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84601113 TS NGUYỄN HỮU TRỌN NGƯỜI HƯỚNG DẪN: Muc luc QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐE TÀI LUẬN VĂN (bản sao) Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giải cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Bùi Anh Trường Lời nói đầu Hình học phân nhánh Toán học liên quan đến câu hỏi hình dạng, kích thước, vị trí tương đối hình khối, tính chất Hình học phát triển độc lập số văn hóa cổ đại phần kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, diện tích, thể tích, Từ nhu cầu khoa học thực tiễn liên quan đến khảo sát, đo đạc, diện tích, khối lượng Những thành tích đáng ý giai đoạn đầu hình học bao gồm cơng thức độ dài, diện tích thể tích, Các nhà toán học nhận đánh giá giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hay so sánh đại lượng hình học đóng vai trò quan trọng nhiều quan trọng đẳng thức Luận văn tập trung nghiên cứu định lí đẳng chu hình học vấn đề liên quan Trong thực tế ta bắt gặp định lí đẳng chu thường xuyên ví dụ mèo đêm lạnh, thường cuộn lại giống hình cầu, hiển nhiên mèo làm để giữ nhiệt, làm nhiệt lượng thoát khỏi bề mặt nhỏ khơng có ý định làm giảm thể tích thân nó, Rõ ràng, làm ta liên tưỏng đến định lí: "Trong vật thể có thể tích hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất" Luận văn trình bày lại cách có xếp, hệ thống lý thuyết định lý đẳng chu bất đẳng thức hình học liên quan Luận văn trình bày 75 trang, gồm: Lời nói đầu, chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức AM - GM, hệ thức lượng tam giác, tỉ số lượng giác góc, làm sỏ, cơng cụ chứng minh định lý luận văn Chương 2: Các định lý đẳng chu Chương trình bày lý thuyết cực đại cực tiểu, trình bày chứng minh định lý đẳng chu tam giác đa giác mỏ rộng sang số lớp hình không gian tứ diện, lăng trụ tứ giác Chương 3: Đối xứng hóa vấn đề liên quan Chương trình bày nguyên lý phản xạ phương pháp hình học để tiếp cận lời giải lớp tốn, định lý hình học cách đơn giản dl hình dung Chương 4: Các tốn lời giải Chương trình bày hệ thống tốn hình học sơ cấp, cực trị hình học tiếp cận định lý đẳng chu phép đối xứng, tạo nguồn tư liệu học tập, nghiên cứu cho học sinh Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy TS Nguyln Hữu Trọn, người nhắc nhỏ, động viên, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy khoa Tốn Thống kê, phịng Sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Cuối tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện cho mặt suốt thời gian học thạc sĩ hoàn thành luận văn Mặc dù tơi cố gắng khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Bùi Anh Trường Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức hữu dụng cho chương sau như: Định lý trung bình số học trung bình hình học, tỉ số lượng giác, số đẳng thức hình học Các kết chương trình bày dựa vào [4], [7] 1.1 Các định lý trung bình số học trung bình hình học Định nghĩa 1.1.1 Trung bình số học A n số a , • • • , a + a2 + • • • + a n n n Trung bình số học tập hợp số thực cịn gọi trung bình cộng số Định lý 1.1.2 Tích n số dương với tổng cho trước lớn n số Cụ thể, a > (i = 1, • • • , n) a = nA khơng i i i=1 đổi • a2 • • • an < An (1.1) Dấu = xảy a = a = • • • = a n Hiểu theo nghĩa hình học, tất hình hộp n chiều có tổng độ dài cạnh khơng đổi khối hộp n chiều tích lớn Một cách phát biểu hình học tương đương khác là: "Nếu đoạn thẳng có độ dài cho trước chia thành hữu hạn đoạn thẳng nhỏ có độ dài nhỏ tích độ dài đoạn thẳng lớn đoạn thẳng chia có độ dài nhau" Chứng minh n Xét số dương a , a , • • • , a ^2 a = nA không đổi n i i=1 Nếu a = A, i = 1, 2, • • • , n dấu = (1.1) xảy i Nếu có a = A có số lớn A số nhỏ A Giả sử a i a Đặt a = A — h, a = A + k h,k > Tiếp tục đặt a/1 = A, a'2 = A + k — h 2 Khi + (.a-2 = A + k — h = + a2, n ứi + a2 + a3 + • • • + a = = nA n i=i Rõ ràng ai, a'2 số dương Đồng thời ta tập hợp gồm n số dương thỏa mãn tổng chúng tổng n số dương ban đầu Ta cần chứng minh a' a2 > a a i Thật vậy, ta có: a^2 = A (A + k — h) = A + (k — h) A, aia2 = (A — h) (A + k) = A + (k — h) A — hk Suy a^2 = aia2 + hk > ữiữ Vì a' • a' • a • • • a > a • a • a • • • a i n i n Bây A = a' = a' = a = • • • = a (1.1) Ngược lại tồn số lớn A số nhỏ A Giả sử b ,b Lặp lại chứng minh với hai số b , b ta tìm tập hợp số dương thỏa mãn tổng chúng tổng n số dương ban đầu tích chúng lớn a' • a' • a • • • a Tiếp tục lặp lại trình (nhiều n — lần) ta n số dương i n 1 2 i n 10 A có tích lớn tích n số dương khác có tổng □ Định lý 1.1.3 Tổng n số thực dương có tích ln lớn n Dấu xảy tất số Cụ thể, a > 0, i = 1, • • • , n a • a • • • a = thì^^ a > n i n n i Dấu "=" xảy a = 1, Vi = 1, 2, • • • , n i Hiểu theo nghĩa hình học: "Nếu thể tích hình hộp chữ nhật n chiều (khối hộp chữ nhật) 1, tổng chiều dài cạnh đạt giá trị nhỏ khối n chiều" Chứng minh Ta có a > 0, Vi = 1, 2, • • • , n a • a • • • a = Ta cần chứng minh n > n i n i=1 Dấu = xảy a = 1, Vi = 1,2, • • • , n Ta chia số cho tổng chúng, ta n số có tổng áp dụng Định lý 1.1.2 i Đặt n s= ai, bi i=1 Ta có a i s nn 1 a s — y bi > — = — — = n s n s—.nn i i=1 i=1 Áp dụng Định lý 1.1.2 ta có bi • b2 • • • bn < Q) Dấu = xảy b = b = • • • = b = Tức a a n a 1• 2• 3• • • an < ssss Vậ y n s Dấu = xảy a =1, Vi = 1, 2, • • • , n i Lời giải Giả sử hình bình hành ABCD có chu vi 2p độ dài cạnh AC = h Khi AABC có chu vi P = p + h không đổi Theo Định lý 2.2.5, tam giác có diện tích lớn Do hình bình hành cần xác định phải hình thoi có số đo góc đỉnh 60° Bài tốn 4.1.8 Trong khối hộp chữ nhật có tổng chiều dài cạnh cho trước Chứng minh khối lập phương tích diện tích bề mặt lớn Lời giải Gọi a, b, c độ dài cạnh khối hộp chữ nhật Khi đó, tổng chiều dài cạnh khối hộp L = 4(a + b + c) V = abc < (a + b + c) L^ 12 Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có Dấu ” = ” xảy a = b = c Tức khối hộp khối lập phương Diện tích bề mạt khối hộp S = 2(ab + bc + ca) Khi ta có S < 2(a + b + c ) = 2(a + b + c) - 4(ab + bc + ca) 2 3S < 2 ơ)’ = 2(a + b + c) - 2S, Dấu ” = ” xảy a = b = c Vì L khơng đổi khối hộp chữ nhật có diện tích bề mạt lớn khối lập phương 4.2 Một số toán sử dụng nguyên lý phản xạ Bài toán 4.2.1 Trong hình giới hạn sợi dây có chiều dài L đoạn thẳng có chiều dài D cho trước, hình có diện tích lớn Cho ví dụ? Rõ ràng với đoạn thẳng AB có chiều dài D cho trước sợi dây có chiều dài L hình giới hạn sợi dây lập thành đường tùy ý đoạn thẳng đa dạng Giả sử ta có hình giới hạn hình 4.5 (a) Một hình dạng có sợi dây lập thành cung trịn tạo với đoạn thẳng AB hình viên phân (hình 4.5 (b)) Bây ta bổ sung vào hình viên phân hình viên phân khác (phần gạch chéo) để tạo thành hình trịn bổ sung hình hình viên phân tương tự Rõ ràng hai hình tạo thành có chu vi L + L' nên theo định lí đẳng chu, hình trịn có diện tích lớn Khi đó, bỏ phần gạch chéo đi, hình 4.5(b) đáp án toán Vậy sợi dây chiều dài L vây quanh đoạn thẳng chiều dài D tạo thành cung trịn diện tích hình giới hạn đạt lớn Bài toán 4.2.2 Cho n - giác có thứ tự độ dài cạnh cho trước trừ cạnh Hình có diện tích lớn nhất? Chứng minh dự đoán? Lời giải Ta dựng n - giác, có n — cạnh có độ dài cho trước nội tiếp nửa đường tròn nội tiếp nửa đường tròn nhận độ dài cạnh lại n - giác làm đường kính Khi ta hình viên phân (kẻ sọc) giới hạn bên ngồi n giác có diện tích khơng đổi (hình 4.6(a)) Ta hình dung đỉnh thay đổi vị trí "khớp nối" để nhận n - giác thoản mãn yêu cầu n — cạnh có độ dài khơng đổi cạnh cịn lại có độ dài thay đổi (hình 4.6(b)) Rõ ràng, hình viên phân có diện tích khơng đổi nên hai hình giới hạn đường cong có độ dài nửa cung trịn Từ kết tốn Dido, cung trịn đó, với đường thẳng có độ dài chưa biết (cạnh chưa biết n - giác) bao quanh hình có diện tích nhỏ diện tích nửa đường trịn Vậy n - giác có thứ tự độ dài cạnh cho trước trừ độ dài cạnh, diện tích đa giác đạt cực đại đa giác nội tiếp nửa đường tròn có đường kính độ dài cạnh chưa biết Bài tốn 4.2.3 Hình có diện tích lớn bị giới hạn phần tư mặt phẳng phần đường cong hình có độ dài L cho trước, 180 giả sử góc có sơ đo dạng , n sô tự nhiên? n ◦ Lời giải Chúng ta cần tìm hình giói cung có chiều dài L miền góc AMB có diện tích lón (hình 4.5 (a)) Ta thay đổi góc AMB vị trí điểm, nhiên chiều dài đường cong có độ dài khơng đổi Bài tốn dễ dàng góc phần tư góc vng, ta phản xạ liên tiếp đường cong cho qua cạnh góc phần tư (hình 4.5 (b)) Rõ ràng, đường cong mói có chu vi 4L khơng đổi theo định lí đẳng chu hình trịn có diện tích lón Hình trịn có hai trục đối xứng AA BBB nên tâm giao AA BBB Vậy lời giải toán 4.5 (b) hình quạt vng Z Từ ý tưởng trên, ta giải tốn ban đầu cách thực phản xạ liên tiếp để đường cong mói có chu vi 2nL, áp dụng định lí đẳng chu cho tốn mói mà lời giải hình trịn Vậy lời giải hình giói hạn cung trịn có tâm M Bài tốn 4.2.4 [IMO 1991] Cho AABC điểm P nằm tam giác Chứng minh có góc PAB, PBC, PCA nhỏ 30° Lời giải Giả sử D,E,F chân cácđườngcao kẽ từ P xuống cạnh BC, CA, AB Giả sử góc PAB, PBC, PCA lón 30° Đặt PAB = a, PBC = ft, PC A = Y (hình 4.5) Khi PA + PB + PC = Snr + PD3 + SPE sin a sin < sin Y PF PD PE + + =2 (PD + PE + PF) sin 30° sin 30° sin 30° Mâu thuẫn với bất đẳng thức Erdos - Mordell Do đó, góc PAB, PBC, PC A lớn 30° lầ sai Suy điều phải chứng minh Bài tốn 4.2.5 (Tam giác Steiner) Tìm điểm X mặt phẳng chứa AABC cho trước cho t (X) = XA + XB + XC đạt giá trị nhỏ Lời giải Xét trường hợp X nằm bên AABC, khơng tính tổng qt, ta giả sử X nằm phía ngồi cạnh AB Tức X C không thuộc nửa mặt phẳng bờ AB Gọi X' điểm đối xứng X qua AB Khi XA = X' A,XB = X'B Gọi Y giao điểm CX AB XY = X'Y Theo bất đẳg thức tam giác ta có CX' < CY + X'Y = CY + XY = CX, Do t (X') < t (X) Vì ta nên xét trường hợp điểm X nằm bên cạnh AABC Gọi a, 3, Y số đo góc đỉnh A, B, C AABC Khơng tính tổng qt giả sử Y p p a Do a, góc nhọn Gọi phép quay tâm A góc quay 60° ngược chiều kim đồng hồ Khi đó, với M mặt phẳng, tồn M' = (M) cho AAMM1 tam giác Lấy X nằm tam giác ẤBC Tồn C' = ty (C) , X' = ty (X) nên AÁCC', AÁXX' tam giác Đồng thời CX = C'X' t (X) = BX + XX' + X'C' hay nói cách khác t (X) độ dài đường gấp khúc BXX'C' (Hình 4.10) Xét ba trường hợp: Trường hơp 1: Y < 120 Ta có BCC' = Y + 60 < 180 Vì a < 90 , ta có BÁC’ < 180 , đoạn thẳng BC' cắt đoạn thẳng ÁC D Lấy X0 E BC' cho AX0B = 60 điểm BC' đường trịn ngoại tiếp ẤCC' Khi ÁX C' = ÁCC' = 60 X0 = (X ) nên AÁX X0 tam giác Hơn o o o o o o o 0 t (X0) = ÁX0 + BX0 + CX0 = BXo + Xo X0 + X0C' = BC' Vì t (X ) < t (X) vói điểm X nằm ẤBC Dấu ” = ” xảy X, X' E BC hay X = X Chú ý rằng, X dựng cho 0 ÁX0B = BXÕC = CXX = 120 o Điểm X cịn gọi điểm Torricelli ẤBC Trường hơp 2: Y = 120 Khi o BCA + ACC' = 120 + 60 = 180 , o o o Nên C e BC t (X) = BX + XX' + X'C' xảy X = C Trường hơp 3: Y > 120 Khi đoạn thẳng BC khơng có giao điểm với đoạn thẳng AC (Hình 4.11) Nếu AX > AC, theo bất đẳng thức tam giác o t (X) = AX + BX + CX > AC + BC Nếu AX < AC, X' nằm AACC' C nằm tứ giác BXX'C' nên t (X) = BX + XX + XC > AC + BC Trong hai trường hợp dấu ” = ” xảy X = C Tóm lại, góc AABC nhỏ 120 t (X) nhỏ X điểm Torricelli AABC Nếu có góc lớn 120 giả sử đỉnh C t (X) nhỏ X = C o o Bài toán 4.2.6 Trong mặt phẳng cho đường thẳng l hai điểm A, B nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ đườg thẳng l Một chất điểm chuyển động với vận tốc không đổi v nửa mặt phẳng chứa điểm A vận tốc không đổi v nửa mặt phẳng chứa điểm B Tìm đường từ A đến B cho thời gian chuyển động chất điểm nhỏ nhất? Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Descartes vng góc Oxy, giả sử đường thẳng l trufg với trục hoành Ox Điểm A G Oy Khi khơng tính tổng quát ta giả sử tọa độ điểm A = (0, a), B = (d, — b) (a, b,c,d > 0) Lấy X l giả sử có tọa độ X = (x, 0) (Hình 4.12) Ta có ' AX = Va + x , t (X) = \ Xét hàm so t(x) = v BX = ựb + (d — x) 2 AX BX a + x + = Vi v1 v2 ỵ/b2 + (d — x)2 Va + x + v1 v2 2 2 b + (d — x) v với < x < d, trường hợp d nằm ngồi khoảng khơng tồn giá trị nhỏ Ta có dx x t (x) = V2A/b + (d — x) va+x Thời gian chất điểm chuyển động đường gấp khúc AXB 2 Vì a Va + x x 2 nên hàm số a tăng ngoặt đoạn [0, d] ựa + X x d-x Tương tự hàm số V2 b + (d - x) tăng ngoặt đoạn [0,d] Do đó, t(x) tăng ngoặt [0,d] Vì t (0) < 0,t (d) > tồn x G (0, d) cho t’(x0) = Rõ ràng t (x) < với x G (0, x ), t (x) > với x G (x , d) nên t(x) đạt cực tiểu x = x Chú ý rằng, điểm X = (x , 0) thỏa điều kiện t (x) =0 ta viết z z z 0 z 0 sin a V z x d—x 0 Viự a + x0 v^/ b + (d — Xo) 2 sin d V2 a góc AX Oy, d góc BX Ox Vậy, tồn điểm X cho chất điểm chuyển động theo đường AX B có thời gian chuyển động tối thiểu Điểm X xác định bỏi đẳng sin a sin B thức —— — 0 v1 v2 Bài toán 4.2.7 Chứng minh bất đẳng thức Erdos - Mordell không gian với tứ diện ABCD có diện tích mặt Chứng minh trường hợp tứ diện bất đẳng thức khơng cịn đúng? Cho ví dụ minh họa? Lời giải Gọi ABCD tứ diện có diện tích mặt S, P điểmnằm mặt tứ diện Ta cần chứng minh PA + PB + PC + PD > (Pa + Pb + Pc + Pd) p ,p ,p ,p khoảng cách từ điểm P đến mặt tứ diện Dấu ” = ” xảy ABCD tứ diện P tâm a b c d V ABCD =V Giả sử h độ dài đường cao kẽ từ A PABC +V P BCD +V PCDA +V DAB, a Vì nên haS = S (pa + pb + pc + pd) , = pa + pb + pc + pd, - pa = pb + pc + pd Mặt khác AK = - pa < PA, Từ suy ra: PA > p + p + p Tương tự ta có b c d PB > pa + pd + pc, PC > pa + pb + pd, PD > pa + pb + pc Cộng vế theo vế đẳng thức ta được: PA + PB + PC + PD > (pa + pb + pc + pd) (4.1) Tuy nhiên, trường hợp tứ diện tổng quát, bất đẳng thức khơng xảy Cụ thể, ta chọn tứ diện ABCD có mặt bên BCA, BDA tam giác vuông cân cho suy biến thành tam giác Dễ dàng tính trường hợp PA + PB + PC + PD = 2ỵ/2 (p + p + p + p ) = • = Do bất đẳng thức (4.1) khơng xảy a c b d Bài toán 4.2.8 (Bất đẳng thức Erdos - Mordell không gian) Cho tứ diện ABCD P điểm tùy ý nằm bên Gọi p , p , p , p khoảng cách từ điểm P đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Đặt d = PA + PB + PC + PD Chứng minh a b c d d > (ựpõp, + VPÕPC + ựpopd + y/pb>Pc + \/PbPd + v'pcpd) (4.2) Lời giải Gọi h độ dài đường cao kẽ từ đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD) S , S , S , S diện tích tam giác BCD, CDA, DAB, ABC V, V , V , V thể tích khối tứ diện PBCD, PCDA, PDAB, PABC, ABCD Ta có a PA + pa > Do PA • S1 +p a • S1 > • S1, PA • S1 + 3V1 > 3V = 3(V1 + V2 + V3 + V4), PA • S1 > 3(V + V + V ) = pb • S2 +p c • S3 +p d • S4, PA > S2 p +p b• a • PC S b• p b• • d S S3 +p c • S d • S1 +p S2 a +p S c S3 • , S S4 +p • S4 +p S2 p PD S S1 p S4 +p • c S Tương tự, ta có PB S3 d +p S • a • , S1 S Cộng bất đẳng thức vế theo vế sau áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta > (/papb + /pãpC + /pãpd + VPbPc + VPbPd + VPcPd) Dấu ” = ” xảy ABCD tứ diện P tâm KỀT LUÂN Luận văn "Bất đẳng thức hình học ứng dụng giải toán sơ cấp" đạt kết sau: Hệ thống lại trình bày chứng minh chi tiết cho kết liên quan Định lý đẳng chu mặt phẳng, không gian Hệ thống lại kết đến nguyên lý phản xạ, sử dụng phương pháp hình học để tiếp cập lớp tốn, định lý hình học Hệ đẳng lý thốngchu, hóa phép đốitập xứng cực trị hình cơng học cụsơ giải cấphữu sử hiệu dụng Định Tài liêu tham khảo [1] Nguyên Hữu Điển, Phương pháp giải tốn cực trị hình học, NXB Khoa học kĩ thuật, 2002 [2] Trần Văn Hạo, Nguyên Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên, Hình học 12 bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2007 [3] Trần Văn Hạo, Nguyên Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên, Bài tập hình học 12 bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2007 [4] Lê Quốc Hán (chủ biên), Đinh Quang Minh, Lê Thị Ngọc Thúy,Những đường sáng tạo giải tốn hình học, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016 [5] G Polya, Tốn học suy luận có lí, NXB Giáo dục Việt Nam, 2001 [6] Bài tốn đẳng chu, Phạm Xuân Quang, http://thpt-lequydondanang.edu.vn/upload/soft/BaiToanDangChu-PhanXuanQuang.pdf [7] N.D Kazarinoff , Geometric Inequalities, Yale University, 1961 [8] P.S Modenov and A.S Parkhomenko, Geometric Transformations, Academic Press, New York, 1965 [9] T Andreescu, O Mushkarov and L Stoyanov, Geometric Problems on Maxima and Minima, Birkhauser, Berlin, 2006 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bình Đinh - Năm 2020 BÙI ANH TRƯỜNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 84601113... phương pháp hình học để tiếp cận lời giải lớp tốn, định lý hình học cách đơn giản dl hình dung Chương 4: Các tốn lời giải Chương trình bày hệ thống tốn hình học sơ cấp, cực trị hình học tiếp cận... tỉ số lượng giác, số đẳng thức hình học Các kết chương trình bày dựa vào [4], [7] 1.1 Các định lý trung bình số học trung bình hình học Định nghĩa 1.1.1 Trung bình số học A n số a , • • • , a