Phương pháp véctơ và tọa độ trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI HÒA Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Bình Định, ngày 28 tháng 07 năm 2020 Tác giả Khổng Xuân Thạnh Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định nghĩa 1.2 Phép cộng hai vectơ 1.3 Tích vectơ với số 1.4 Tích vơ hướng, Tích có hướng 1.5 Tọa độ điểm vectơ 1.5.1 Tọa độ điểm vectơ 1.5.2 Tọa độ điểm vectơ 1.6 Tâm tỷ cự 1.7 Định lý nhím mặt phẳng không gian Phương pháp vectơ tọa độ hình học 2.1 Các tốn hình học phẳng 2.1.1 Ứng dụng phương pháp vectơ 2.1.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ 2.2 Các tốn hình học khơng gian 2.2.1 Ứng dụng phương pháp vectơ 2.2.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ Ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ đại số 3.1 Các tốn phương trình bất phương trình 3.2 Các toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhỏ 3.3 Các toán số học 3 7 8 10 11 11 11 18 29 29 36 toán 44 44 52 63 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 Lời nói đầu Trong chương trình giáo dục tốn học trường phổ thơng trung học, phương pháp vectơ tọa độ chiếm vị trí quan trọng Nói đến phương pháp vectơ tọa độ người hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị tốn hình học giải tích Tuy nhiên khơng có nhiều người nghĩ dùng phương pháp vectơ tọa độ cịn có lời giải hay toán khác, chẳng hạn toán đại số, số học hình học túy, đối tượng “xa vời” với phương pháp vectơ tọa độ Chủ đề “phương pháp vectơ tọa độ” thường xuất hàng năm kỳ thi đại học, cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi nước quốc tế Đối với số toán sơ cấp mà chúng tồn yếu tố hình học, chúng tơi hi vọng ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ cho lời giải gọn gàng sáng Chúng hy vọng nội dung luận văn tài liệu tham khảo quí Nội dung luận văn bao gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống kiến thức vectơ tọa độ vectơ để chuẩn bị cho chương sau Chương Phương pháp vectơ tọa độ hình học Trong chương này, ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số tốn hình học phẳng hình học không gian Chương Ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ toán đại số Trong chương này, ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số toán đại số, chẳng hạn tốn phương trình bất phương trình; tốn bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; toán số học Luận văn thực nhờ ý tưởng hướng dẫn tận tình TS.Nguyễn Thái Hịa - Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy Hòa, người giúp đỡ tài liệu hướng dẫn tận tình động viên tơi vượt qua nhiều khó khăn để hồn thành luận văn Cho phép tơi bày tỏ lòng biết ơn tất quý thầy, ban lãnh đạo trường, Khoa Tốn Thống kê, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học Xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy năm cao học trường đại học Quy Nhơn Mặc dù có nhiều cố gắng, với khả thời gian có hạn chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong q thầy, giáo người đọc góp ý, bổ sung Bình Định, tháng năm 2020 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức vectơ tọa độ vectơ để chuẩn bị cho chương sau theo [7], [8], [9] 1.1 Các định nghĩa Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm vectơ mặt phẳng không gian Định nghĩa 1.1.1 1) Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng, rõ điểm điểm đầu, điểm điểm −−→ cuối Vectơ có điểm đầu M điểm cuối N , ta kí hiệu vectơ M N 2) Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ không.Vectơ → − khơng kí hiệu B E A M F D P C Q N Ví dụ 1.1.2 −→ −−→ −→ Các vectơ AB, CD, EF vectơ phương −−→ −→ Vectơ M N P Q không phương Khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ gọi độ dài − − vectơ Độ dài vectơ → a kí hiệu |→ a | Để thuận tiện, kí hiệu vectơ chữ in thường, với mũi tên −→ Định nghĩa 1.1.3 1) Với vectơ AB (khác vectơ không), đường thẳng AB −→ gọi giá vectơ AB Mọi đường thẳng qua A gọi giá −→ vectơ AA 2) Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng Định nghĩa 1.1.4 Hai vectơ gọi chúng chiều → − → − − − độ dài Hai vectơ → a , b kí hiệu → a = b 1.2 Phép cộng hai vectơ → − − Định nghĩa 1.2.1 Cho hai vectơ → a b Lấy điểm A xác định → − −→ → − − → −→ − điểm B C cho AB = a , BC = b Khi AC gọi tổng hai → − − −→ − → − vectơ → a b Kí hiệu AC = → a + b → − a Tính chất 1.2.2 → − → − a, b B → − b → − a → − b C → − → − a + b A → − → − − − Tính chất giao hốn: → a + b = b +→ a , với vectơ → − → − − → − − − −c = → − − Tính chất kết hợp : → a + b +→ a + b +→ c , với vectơ → a , b ,→ c → − − − − Tính chất vectơ khơng : → a + =→ a , với vectơ → a −−→ −−→ −−→ Ghi 1.2.3 1) Với ba điểm M, N, P, ta có M N + N P = M P M P N −→ −→ −−→ 2) Nếu OABC hình bình hành ta có OA + OC = OB O C A B → − − Định nghĩa 1.2.4 1) Vectơ b gọi vectơ đối vectơ → a → − → − → − → − → − a + b = Kí hiệu b = − a → − → − − − − 2) Hiệu hai vectơ → a b , kí hiệu → a − b , tổng vectơ → a vectơ → − → − → − → − → − đối vectơ b , tức a − b = a + − b Ghi 1.2.5 − 1) Vectơ đối vectơ → a → − → − 2) Vectơ đối vectơ vectơ − − 3) Vectơ đối vectơ → a vectơ ngược chiều với → a có độ dài với → − vectơ a 1.3 Tích vectơ với số − − Định nghĩa 1.3.1 Tích vectơ → a với số thực k vectơ, kí hiệu k → a, xác định sau − − vectơ k → a chiều với vectơ → a; − − Nếu k < vectơ k → a ngược chiều với vectơ → a Nếu k − − Độ dài vectơ k → a |k|.|→ a | Tính chất 1.3.2 Các tính chất phép nhân vectơ với số → − − Với hai vectơ → a , b số thực k, l, ta có − − k (l→ a ) = (kl) → a − − − (k + l) → a = k→ a + l→ a → − → − → − → − − − − − k → a + b = k→ a + k b ;k → a − b = k→ a −k b → − → − − − k → a = k = → a = − − − − 1.→ a =→ a (−1)→ a = −→ a → − → − − − Định lí 1.3.3 Vectơ b phương với vectơ → a → a = có → − − số k cho b = k → a Mệnh đề 1.3.4 Cho A, B, C ba điểm mặt phẳng Điều kiện cần đủ −→ −→ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho AB = k AC → − − Định lí 1.3.5 Cho hai vectơ khơng phương → a b mặt phẳng Khi → − − vectơ x biểu thị cách qua hai vectơ → a → − → − → − → − b , nghĩa có cặp số m n cho x = m a + n b Định nghĩa 1.3.6 Ba vectơ không gian gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng → − → − − −c khơng gian, → − Định lí 1.3.7 1) Cho ba vectơ → a , b ,→ a b → − → → − − không phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng tồn → − −c = m→ − số m, n cho → a +n b → − − → − − 2) Nếu → a , b ,→ c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ d , tồn → − → − − −c số m, n, p cho d = m→ a + n b + p→ 1.4 Tích vơ hướng, Tích có hướng → − → − − Định nghĩa 1.4.1 Cho hai vectơ → a b khác vectơ Từ điểm O − −→ → −−→ → − ta vẽ OA = a OB = b Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 gọi → − → − → − − − − góc hai vectơ → a b Ta kí hiệu góc hai vectơ → a b → a, b A → − b → − a → − a O → − b B → − → − − Trong trường hợp có hai vectơ → a b vectơ xem góc hai vectơ tùy ý (từ đến 1800 ) → − − Định nghĩa 1.4.2 Tích vơ hướng hai vectơ → a b số, kí hiệu → − → − a b , xác định → − → − → − → − − − a b = |→ a | b cos → a, b → − − − Tính chất 1.4.3 Với ba vectơ → a , b ,→ c tùy ý số thực k , ta có → − → − − − → a b = b → a (Tính chất giao hốn) → − → − − − → a.b =0⇔→ a⊥b → − → − − − (k → a ) b = → a k b → − − =k → a.b → − − → − − − − −c (Tính chất phân phối phép nhân → a b +→ c =→ a.b +→ a → phép cộng) → − − → − − − − −c (Tính chất phân phối phép nhân → a b −→ c = → a.b −→ a → phép trừ) − − Định nghĩa 1.4.4 Tích có hướng hai vectơ (hay tích vectơ) → u → v → − → − → − → − → − không gian vectơ w , kí hiệu [ u , v ] (hoặc u ∧ v ) xác định sau: − − − Vectơ → w vng góc với hai vectơ → u → v − − − − − |→ w | = |→ u | |→ v | sin (→ u ,→ v ) − − − − − Khi → u → v không phương ba vectơ → u ,→ v ,→ w có chung điểm đầu O theo thứ tự tạo thành tam diện thuận 54 Bài toán Chứng minh tam giác ABC , ta có − − − − − − Giải Chọn vectơ → e 1, → e 2, → e thỏa mãn |→ e | = |→ e | = |→ e | hình vẽ sau cos A + cos B + cos C A → − e1 B → − e3 → − e2 C → − e1 D Ta có − − − (→ e1+→ e2+→ e 3) − − − − − − ⇔ + cos (→ e 1, → e ) + cos (→ e 2, → e ) + cos (→ e 3, → e 1) ⇔3 − (cos A + cos B + cos C) ⇔ cos A + cos B + cos C → − − − − Đẳng thức xảy → e +→ e +→ e = ⇔ ∆ABC tam giác Bài toán Chứng minh với a, b, c, ta có a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) Giải Ta có a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) ⇔ a4 + b4 + c4 a2 bc + ab2 c + abc2 − − Trong hệ trục tọa độ Oxyz , đặt → u = (ab, bc, ca) → v = (ca, ab, bc) Khi − |→ u|= − a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 , |→ v|= c a2 + a2 b + b c → − − u → v = a2 bc + ab2 c + abc2 Ta có − − |→ u | |→ v| → − → − − u → v ⇔ a2 b + b c + c a2 a2 bc + ab2 c + abc2 → − Đặt u = (a2 , b2 , c2 ) v = (b2 , c2 , a2 ) Khi − |→ u|= − a4 + b4 + c4 , |→ v|= a4 + b + c − − → u → v = a2 b + b c + c a2 Ta có u v → − → − → − → − u v ⇔ a4 + b4 + c4 Vậy a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) a2 b + b c + c a2 55 Đẳng thức xảy   ab = kca       bc = kab       ca = kbc với k, l ⇔ a = b = c   a2 = lb2       b2 = lc2      c2 = la2 Bài toán Chứng minh với x, y ∈ R, ta có cos2 x cos2 y + sin2 (x − y) + sin2 x sin2 y + sin2 (x − y) Giải Tập xác định bất đẳng thức R Trong hệ trục tọa độ Oxy , đặt → − − u = (2 cos x cos y, sin(x − y)) , → v = (2 sin x sin y, sin(x − y)) Khi → − − u +→ v = (2 cos x cos y + sin x sin y, sin(x − y)) = (2 cos(x − y), sin(x − y)) − − Ta có |→ u | + |→ v| ⇔ − − |→ u +→ v| cos2 x cos2 y + sin2 (x − y) + sin2 x sin2 y + sin2 (x − y) Đẳng thức xảy thỏa mãn trường hợp sau      x = y + kπ   sin(x − y) =   x = π + mπ → − − Hoặc → u = ⇔ ⇔ ⇔ cos x = π  cos x cos y =     y = + nπ   cos y = → − − Hoặc → v = ⇔   sin(x − y) = ⇔  sin x sin y = − − Hoặc → u = k→ v với k > ⇔    x = y + kπ   ⇔ sin x =   x = kπ  y = mπ      sin y =   cos x cos y = k sin x sin y  sin(x − y) = k sin(x − y) ⇔ cos x cos y = sin x sin y ⇔ cos(x + y) = ⇔ x + y = Đẳng thức  xảy   x = π + mπ  x = kπ ,  y = π + nπ  y = mπ π + kπ , x + y = π + kπ 56 Bài toán Cho a + b + c = 2, ax + by + cz = Chứng minh 16a2 + a2 x2 + 16b2 + b2 y + 16c2 + c2 z 10 − − Giải Trong hệ trục tọa độ Oxy , đặt → u = (4a, ax), → v = (4b, by), → − − − − w = (4c, cz) Khi → u +→ v +→ w = (4(a + b + c), ax + by + cz) = (8, 6) → − → − → − Do | u + v + w | = 10 Hơn nữa, ta có − − − |→ u |+|→ v |+|→ w| − − − |→ u +→ v +→ w| ⇔ 16a2 + a2 x2 + 16b2 + b2 y + 16c2 + c2 z 10 Đẳng thức xảy thỏa trường hợp sau − − − Có hai số vectơ → u ,→ v ,→ w vectơ không → − − − Giả sử → u =→ v = Ta có a = b = Suy c = z = Hốn vị vịng quanh, ta thấy  trường hợp  đẳng thức xảy       a=b=0 a=c=0 b=c=0       c = b = a =             z=3 y=3 x=3 → − − − − − Có ba vectơ → u ,→ v ,→ w vectơ không Giả sử → u = , đẳng thức xảy  → − − → u = ⇔ ⇔ − − − − → v +→ w = |→ v +→ w|       a=0 a=0     b = kc ⇔     by = kcz Ta có  a + b + c =  ax + by + cz = Vậy trường hợp ta có  → − − → u = − − → v = k→ w, k >    a=0   b = kc =     kcy = kcz ⇔  b + c =  by + cy =   a=0      y = z =   b+c=2      b, c > ⇔ y=z     b = kc ⇔ y = 57 Hốn vị vịng quanh, ta thấy trường hợp có đẳng thức xảy    b = 0; a + c = 2, a, c >  a = 0; b + c = 2, b, c > hoặc x = z = y = z =   c = 0; a + b = 2, a, b > x = y = → − − − − Khơng có vectơ số vectơ → u ,→ v ,→ w vectơ Khi đẳng thức xảy   a = kb =           ax = kby x=y=z=3     ⇔ b = mc =      by = mcz      k, m > a+b+c=2     a, b, c > Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x, y) = cos 2x+cos 2y miền D = {(x, y) : sin x + sin y = } Giải Đặt u = sin x, v = sin y Khi đó, Ta có cos 2x + cos 2y = − sin2 x − sin2 y = − u2 + v Xét tốn sau: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số F (u, v) = u2 + v miền D1 = {(u, v); |u| 1, |v| 1; u + v = } Khi ta có mối liên hệ sau max f (x, y) = − F (u, v) f (x, y) = − max F (u, v) D D D D Xét hệ trục tọa độ Ouv Tập D1 đoạn thẳng AB - phần đường 1 thẳng u+v = nằm hình vng Dễ thấy A, B có tọa độ A(− , 1), B(1, − ) Nếu M (u, v) ∈ D1 có u2 + v = OM 2 58 v A M H u −1 − 1 O − B −1 Do max F (u, v) = max OM = OA2 = + M ∈AB D = ; 4 F (u, v) = OM = OH = M ∈AB D Vậy max f (x, y) = − D = f (x, y) = − = − 4 2 D Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x, y) = x + 2y Xét miền D = {(x, y) : x + 3y − 10 0, x + y − 0, x − y + 0} Giải Trong mặt phẳng tọa độ xOy , miền D biểu diễn hình tam giác ABC với tọa độ đỉnh A(4, 2), B(2, 4), C(1, 3) y x+y−6=0 B d10 d7 x − 2y + = C A x + 3y − 10 = d0 x O 10 Gọi m giá trị tùy ý hàm số, x + 2y = m họ phương trình đường thẳng song song với đường thẳng x + 2y = Ta có phương trình đường thẳng qua C, B song song với đường thẳng x + 2y = x + y = x + 2y = 10 Do phương trình x + 2y = m có nghiệm đường thẳng x + 2y = m cắt hình tam giác ABC , tức m 10 Vậy max f (x, y) = 10 f (x, y) = D D 59 Bài tốn Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x, y, z, t) = z + t2 − 2xz − 2yt − z miền D = {(x, y, z, t) : x2 + y = 1, z − t + = 0} Giải Ta có f (x, y, z, t) = z + t2 − 2xz − 2yt − z = (x − z)2 + (y − t)2 − (x2 + y ) − = (x − z)2 + (y − t)2 − với (x, y, z, t) ∈ D Trong hệ trục tọa độ Ouv , đặt M (x, y) thuộc đường tròn u2 +v = N (z, t) thuộc parabol u2 − v + = Khi M N = (x − z)2 + (y − t)2 Gọi M0 (0, 1) tọa độ giao điểm parabol với Ov N0 (0, 3) tọa độ giao điểm đường tròn với trục Ov hình vẽ Ta có f (x, y, z, t) = M N − = M0 N02 − = − = 0, giá trị nhỏ D  D   M ≡ M0  x = 0, y = đạt ⇔ N ≡ N  z = 0, t = Bài toán 10 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) = sin x + − sin2 x + sin x − sin2 x, với x ∈ R Giải Gọi m giá trị tùy ý hàm số f (x), phương trình f (x) = sin x + Đặt u = − sin2 x + sin x − sin2 x = m có nghiệm − sin2 x, v = sin x Khi phương trình tương đương với hệ    u + v + uv = m      u2 + v =   −1      Xét hệ trục tọa độ Ouv sau v u √ (1) (2) (3) (4) 60 v u+v =m B u+v =0 u+v =2 √ O u A Miền biểu diễn (2), (3), (4) cung nhỏ AB , với A(1, −1), B(1, 1) Từ (1) ta có u+v+ (u + v)2 − =m ⇔(u + v)2 + 2(u + v) − 2m − = ⇔ u + v = −1 + √ 2m + √ ( Vì đường thẳng u + v = −1 − 2m + không cắt cung AB nên loại trường hợp này) Suy hệ (1), (2), (3), (4) có nghiệm đường thẳng √ u + v = −1 + 2m + cắt cung AB , tức −1 + √ 2m + 2⇔1 √ 2m + 3 ⇔ −1 m Vậy max f (x) = f (x) = −1 x∈R x∈R Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức |z − − i| = |z − − 3i| Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z + − i| + |z − + 2i| Giải Trong hệ tọa độ Oxy , gọi số phức z = x + yi với x, y ∈ R có điểm biểu diễn điểm M (x, y) y A I M A -2 O -2 B x 61 Khi |z − − i| = |z − − 3i| ⇔ |(x − 1) + (y + 1)i| = |(x − 2) + (y − 3)i| ⇔(x − 1)2 + (y + 1)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 ⇔ 2x + 8y − 11 = Đặt A(−2, 1), B(3, −2), suy A B nằm phía so với đường thẳng (∆) : 2x + 8y − 11 Hơn P = |z + − i| + |z − + 2i| = M A + M B Gọi A điểm đối xứng với A qua ∆ Đường thẳng AA qua A vng góc với ∆ có phương trình 4x − y + = Gọi I giao điểm AA ∆, suy 27 45 61 31 , tọa độ điểm A − , Ta có I − , 34 17 17 17 √ 493 AB = 17 P = |z + − i| + |z − + 2i| = M A + M B = M A + M B Đẳng thức xảy B, M, A thẳng hàng Do M giao điểm 15 101 đường thẳng ∆ đường thẳng A B : 79x + 78y − 81 = Vậy M − , 34 68 Bài toán 12 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức |z − − 3i| = |z − + i| Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z + − i|2 + |z − − i|2 Giải Trong hệ tọa độ Oxy , gọi số phức z = x + yi với x, y ∈ R có điểm biểu diễn điểm M (x, y) A(−1, 1), B(3, 1) y A I −1 O B x M Khi |z − − 3i| = |z − + i| ⇔ |(x − 1) + (y − 3)i| = |(x − 5) + (y + 1)i| ⇔(x − 1)2 + (y − 3)2 = (x − 5)2 + (y + 1)2 ⇔ x − y − = Gọi I(1, 1) trung điểm AB Ta có −−→ P = |z + − i|2 + |z − − i|2 = M A2 + M B = M A −−→ − → = M I + IA −−→ −→ + M I + IB 2 = 2M I + IA2 + IB −−→ + MB 62 Vậy P nhỏ M I nhỏ Do M hình chiếu điểm I lên đường thẳng (∆) : x − y − = Gọi d đường thẳng qua I vng góc với ∆ có phương trình x + y − = 0, tọa độ giao điểm d ∆ M (2, 0) Suy Pmin = 2M I + IA2 + IB = 2.2 + + = 12 Đẳng thức xảy M (2, 0) √ Bài toán 13 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức |z + − i| = 13 Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức P = |z − − 5i|2 + |z + − 9i|2 Giải Trong hệ tọa độ Oxy , gọi số phức z = x + yi với x, y ∈ R có điểm biểu diễn điểm M (x, y) A(1, 5), B(−3, 9) Ta có |z + − i| = √ 13 ⇔ |(x + 5) + (y − 1)i| = √ 13 ⇔ (x + 5)2 + (y − 1)2 = 13 Khi tọa độ điểm M thuộc đường trịn (C ) có tâm I(−5, 1) bán kính √ R = 13 Gọi H trung điểm AB H(−1, 7) Đường thẳng IH có phương trình 3x−2y +17 = Gọi M1 , M2 tọa độ giao điểm đường thẳng IH đường tròn (C ) (M1 nằm M2 I ), suy M1 (−3, 4) M2 (−7, −2) y B H A M1 I −7 −3 x −1 O −1 M2 Khi P = |z − − 5i|2 + |z + − 9i|2 = M A2 + M B = 2M H + HA2 + HB √ √ Vậy Pmin = M Hmin = M1 H = 13 Pmax = M Hmax = M2 H = 14 63 3.3 Các toán số học Bài toán Cho p q hai số tự nhiên nguyên tố Chứng minh p 2p 3p (q − 1)p + + + + q q q q = q 2q 3q (p − 1)q (p − 1)(q − 1) + + + + = p p p p Giải Ta xét tất điểm (x, y) mặt phẳng tọa độ , với hai tọa độ nguyên với x q − y p − Các điểm nằm hình chữ nhật OABC với; OA = q, OC = p, số điểm nguyên (p − 1)(q − 1) Vẽ đường chéo OM Rõ ràng đường chéo khơng có điểm ngun khác M Thật tọa độ (x, y) điểm đường chéo thỏa mãn p phương trình y = x Vì p, q số nguyên tố nhau, nên không tồn q p p x, y nguyên dương thỏa mãn x < q, y < p y = x phân số tối giản q q Giả sử OM = k(k nguyên dương k < q) Khi từ M kẻ đường thẳng kp vng góc với trục hồnh cắt OB N , suy M N = q Số điểm ngun có hồnh độ k nằm đường chéo OB số phần kp 2p 3p (q − 1)p p + + + + nguyên , tức q q q q q q 2q 3q (p − 1)q Tương tự + + + + số điểm nguyên nằm phía p p p p đường chéo OB Do tính đối xứng đường chéo OB khơng có điểm nguyên nên p 2p 3p (q − 1)p + + + + q q q q = q 2q 3q (p − 1)q (p − 1)(q − 1) + + + + = p p p p y p B N q k O M A x 64 Bài toán Cho n số ngun khơng âm Chứng minh biểu diễn dạng n = (x + y)2 + 3x + y , x y số nguyên không âm Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét tọa độ nguyên M (x, y) Ta đánh số tất điểm nguyên theo thứ tự hình sau y 15 16 10 11 17 12 18 13 19 14 20 x O Ta chứng minh quy nạp sau: Với n = 0, xét điểm (0, 0) hiển nhiên ta có 0= (0 + 0)2 + 3.0 + , (Điểm (0, 0) mang số 0) Với n = 1, xét điểm (0, 1), ta có (0 + 1)2 + 3.0 + 1= , (Điểm (0, 1) mang số 1) Với n = 2, xét điểm (1, 0), ta có 2= (1 + 0)2 + 3.1 + , (Điểm (1, 0) mang số 2) Giả thiết quy nạp điều khẳng định toán đến n, tức ứng (x + y)2 + 3x + y Xét số n + Tương ứng ta xét điểm mang số thứ tự n + Có hai khả với số mang số thứ tự n có tọa độ (x, y) Khi n = xảy Nếu y = ( điểm (x, y) tọa độ điểm mang số thứ tự n) theo cách đánh số điểm mang số thứ tự n + có tọa độ (x + 1, y) Do 65 [(x + 1) + (y − 1)]2 + 3(x + 1) + (y − 1) (x + y)2 + 3x + y (x + y)2 + 3x + y + =1+ = n + = 2 Nếu y = theo cách đánh số điểm mang số thứ tự n + có tọa độ (0, x + 1) Do [0 + (x + 1)]2 + 3.0 + (x + 1) (x + 0)2 + 3x + = +1 2 (x + y)2 + 3x + y =1 + = n + Vậy điều khẳng định đến n + Theo nguyên lý quy nạp, với n ta có n = (x + y)2 + 3x + y , x y số ngun khơng âm Vì điểm ngun mang số cách đánh số nói trên, từ lập luận suy biểu diễn đồng thời Bài toán Cho t số dương tùy ý Số phân số tối gian p , p, q q khơng vượt t kí hiệu d(t) Tính tổng sau 100 100 100 100 100 +d +d + + d +d 99 100 p Giải Mỗi phân số tối giản , với < p 100, < q 100 Trong mặt phẳng q tọa độ Oxy , xét điểm M (p, q) Khi tập hợp điểm M hình vng OACB S=d không lấy cạnh OB, OA Vẽ đường chéo OB Rõ ràng đoạn thẳng OM khơng có điểm nguyên Thật tọa độ (x, y) điểm đường thẳng OM thỏa mãn q phương trình y = x Vì p, q số nguyên tố nhau, nên không tồn p q p x, y nguyên dương thỏa mãn x < p, y < q y = x phân số tối giản p q p Gọi M0 (p0 , q0 ) điểm nguyên ứng với phân số tối giản thỏa mãn q0 0