Phương pháp véctơ và tọa độ trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CAP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 KHỔNG XUÂN THẠNH PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CAP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 Người hướng dẫn: TS NGUYEN THÁI HÒA Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Bình Định, ngày 28 tháng 07 năm 2020 rp' „ ' z lác giả Khổng Xuân Thạnh Muc luc Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định nghĩa 1.2 Phép cộng hai vectơ 1.3 Tích vectơ với số 1.4 Tích vơ hướng, Tích có hướng 1.5 Tọa độ điểm vectơ 1.5.1 Tọa độ điểm vectơ mặt phẳng 1.5.2 Tọa độ điểm vectơ không gian 1.6 Tâm tỷ cự 1.7 Định lý nhím 10 Phương pháp vectơ tọa độ hình học 11 2.1 Các tốn hình học phẳng 11 2.1.1 ứng dụng phương pháp vectơ 11 2.1.2 ứng dụng phương pháp tọa độ 18 2.2 Các tốn hình học khơng gian 29 2.2.1 ứng dụng phương pháp vectơ 29 2.2.2 ứng dụng phương pháp tọa độ 36 ứng dung phương pháp vectơ tọa độ toán đại số 44 3.1 Các tốn phương trình bất phương trình 44 3.2 Các toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhỏ 52 3.3 Các toán số học 63 Kết luận Tài liêu tham khảo 67 68 Lời nói đầu Trong chương trình giáo dục tốn học trường phổ thông trung học, phương pháp vectơ tọa độ chiếm vị trí quan trọng Nói đến phương pháp vectơ tọa độ người hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị tốn hình học giải tích Tuy nhiên khơng có nhiều người nghĩ dùng phương pháp vectơ tọa độ cịn có lời giải hay toán khác, chẳng hạn toán đại số, số học hình học túy, đối tượng “xa vời” với phương pháp vectơ tọa độ Chủ đề “phương pháp vectơ tọa độ” thường xuất hàng năm kỳ thi đại học, cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi nước quốc tế Đối với số toán sơ cấp mà chúng tồn yếu tố hình học, chúng tơi hi vọng ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ cho lời giải gọn gàng sáng Chúng hy vọng nội dung luận văn tài liệu tham khảo quí Nội dung luận văn bao gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống kiến thức vectơ tọa độ vectơ để chuẩn bị cho chương sau Chương Phương pháp vectơ tọa độ hình học Trong chương này, chúng tơi ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số tốn hình học phẳng hình học khơng gian Chương ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ toán đại số Trong chương này, ứng dụng phương pháp vectơ tọa độ để giải số toán đại số, chẳng hạn tốn phương trình bất phương trình; toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; toán số học Luận văn thực nhờ ý tưởng hướng dẫn tận tình TS.Nguyễn Thái Hịa - Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành thầy Hòa, người giúp đỡ tài liệu hướng dẫn tận tình động viên tơi vượt qua nhiều khó khăn để hồn thành luận văn Cho phép tơi bày tỏ lịng biết ơn tất quý thầy, cô ban lãnh đạo trường, Khoa Tốn Thống kê, Phịng đào tạo Đại học Sau đại học Xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy năm cao học trường đại học Quy Nhơn Mặc dù có nhiều cố gắng, với khả thời gian có hạn chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong q thầy, giáo người đọc góp ý, bổ sung Bình Định, tháng năm 2020 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức vectơ tọa độ vectơ để chuẩn bị cho chương sau theo [7], [8], [9] 1.1 Các định nghĩa Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm vectơ mặt phẳng không gian Định nghĩa 1.1.1 1) Vectơ đoạn thẳng, điểm đầu điểm mút cuối Vectơ có MN 2) Vectơ có điểm đầu vectơ khơng.Vectơ khơng kí hiệu — đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai rõ điểm điểm đầu, điểm điểm M điểm cuối N, ta kíhiệu vectơ điểm cuối trùng nhauđược gọi Ví dụ 1.1.2 Các vectơ A-B, C D, E-F vectơ phương Vectơ -M-N P-Q không phương Khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ gọi độ dài vectơ Độ dài vectơ — kí hiệu |—| Để thuận tiện, kí hiệu vectơ chữ in thường, với mũi tên Định nghĩa 1.1.3 1) Với vectơ AB (khác vectơ không), đường thẳng AB gọi giá vectơ AB Mọi đường thẳng qua A gọi giá vectơ A-A 2) Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng Định nghĩa 1.1.4 Hai vectơ gọi chúng chiều độ dài Hai vectơ ~ẽt, b kí hiệu = b 1.2 Phép cộng hai vectơ Định nghĩa 1.2.1 Cho hai vectơ b Lấy điểm A xác định điểm B C cho AB = ~C,BC = lb Khi AC gọi tổng hai vectơ Kí hiệu AC = + C A Tính chất 1.2.2 Tính chất giao hốn: + b + 1a , với vectơ a , 1b Tính chất kết hợp : (it + "bQ +1 = + (C + , với vectơ 1,1,11 Tính chất vectơ khơng : + "0 = 1, với vectơ Ghi 1.2.3 1) Với ba điểm M, N, P, ta có MN + Np = M P 2) Nếu OABC hình bình hành ta có 1A + õC = õB C Định nghĩa 1.2.4 1) Vectơ b gọi vectơ đối vectơ + b = "0 Kí hiệu b = 1~ằ 2) Hiệu hai vectơ b , kí hiệu b , tổng vectơ vectơ đối vectơ 1, tức ~ắ 11 = ~ắ + (1 b Ghi 1.2.5 1) Vectơ đối vectơ 2) Vectơ đối vectơ vectơ 3) Vectơ đối vectơ — vectơ ngược chiều với — có độ dài với vectơ 1.3 Tích vectơ với số Định nghĩa 1.3.1 Tích vectơ — với số thực k vectơ, kí hiệu k1, xác định sau Nếu k vectơ k— chiều với vectơ —; Nếu k < vectơ k— ngược chiều với vectơ Độ dài vectơ k— mi1| Tính chất 1.3.2 Các tính chất phép nhân vectơ với số Với hai vectơ b số thực k,l, ta có k (l1) = (kl) (k + l) = k1 + l~ắ k = k1 + k1; k ( - = k1 - k1 k- = — k = — = — 1.-a = -a (-1)-a = a Định lí 1.3.3 Vectơ — phương với vectơ — (— = "0) có số k cho — = k — Mệnh đề 1.3.4 Cho A,B,C ba điểm mặt phang Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thang hàng có số k cho AB = kAC Định lí 1.3.5 Cho hai vectơ không phương — — mặt phang Khi vectơ biểu thị cách qua hai vectơ — b , nghĩa có cặp số m n cho — = m— + n b — Định nghĩa 1.3.6 Ba vectơ không gian gọi đồng phang giá chúng song song với mặt phang Định lí 1.3.7 1) Cho ba vectơ la, lb , lc không gian, la lb khơng phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ "a, 1,1 đồng phang tồn số m, n cho = m— + n 2) Nếu —,—,1 ba vectơ khơng đồng phang với vectơ 1, tồn số m,n,p cho — = m— + n1 + P1 1.4 Tích vơ hướng, Tích có hướng Định nghĩa 1.4.1 Cho hai vectơ khác vectơ — Từ điểm O ta vẽ ỡA = ỡè = b Góc AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ b Ta kí hiệu góc hai vectơ b ( b, b ) 0 Trong trường hợp có hai vectơ b b vectơ b xem góc hai vectơ tùy ý (từ đến 180 ) 0 Định nghĩa 1.4.2 Tích vô hướng hai vectơ ~ắ ~bblà số, kí hiệu ~ắ b , xác định Tính chất 1.4.3 Với ba vectơ —,—, ~ề tùy ý số thực k, ta có 11 — = 11 (Tính chất giao hốn) .— = o ±1 (k-a).-b = -a k-b = k -a.-b (1 + ~c) = 11 + "0\“C (Tính chất phân phối phép nhân phép cộng) 1 ~c) = lì.1 (Tính chất phân phối phép nhân phép trừ) Định nghĩa 1.4.4 Tích có hướng hai vectơ (hay tích vectơ) 11 khơng gian vectơ 1, kí hiệu [—, 1] (hoặc A 1) xác định sau: Vectơ w vng góc với hai vectơ lì 11 |1w| = |1u| |1v| sin (1u,1v) Khi không phương ba vectơ ~ẩ, "V, có chung điểm đầu O theo thứ tự tạo thành tam diện thuận O Tính chất 1.4.5 Với vectơ 1 ta có \l, v = -\[l, l Hai vectơ — 1' phương o |[ì, 1]\ = Ba vectơ —,1— đồng phẳng o [~ĩt,— = 1.5 Tọa độ điểm vectơ 1.5.1 Tọa độ điểm vectơ mặt phang Mệnh đề 1.5.1 Trong hệ trục tọa độ (o,l, l, vectơ có biểu diễn thành tích — = x— + y-, với x,y G R Cặp số (x,ỳ) gọi tọa độ vectơ Kí hiệu — = (x,y) — (x,y) Định nghĩa 1.5.2 Cho hệ trục tọa độ (o,—, Tọa độ điểm M tọa độ vectơ ỡM Khi mặt phẳng cho (hay chọn) hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng mặt phẳng tọa độ Tính chất 1.5.3 Trong mặt phẳng Oxy cho1 = (x ,y ),—b = (x ,y ),A(xA,yA), B(XB,yB),k G R 1 2 Khi ì a = b o X1 = X2 yi = y2 = (kx1, ky1) ~l-1 = X1.X2 + yi.y2; \_l\ = /l + y1 ABB = (XB - XA, yB - yÀ)-; ABB = /( xB - xA) + (yB - yA) 2 —ỳ , , Vectơ ~bb phương với vectơ ~ắ = lĩ x2, o=, , kx1 y2 = ky1 Bài toán Chứng minh tam giác ABC, ta có cos A + cos B + cos C Giải Chọn vectơ ế , ế , thỏa mãn |~e Ị = Ị-^ Ị = Ịế | hình vẽ sau 1 Ta có (ế + ~ee + ~ee 3) > + 2cos (‘ế’ 1, ~e? 2) + 2cos (‘ế’ 2, ~ee 3) + 2cos (-e 3, ~e? 1) > < >3 — (cos A + cos B + cos C) o cos A + cos B + cos C Đẳng thức xảy _ế + ~e + ~èe = "(ỷ > AABC tam giác Bài toán Chứng minh với a, b, c, ta có a + b + c 4 > abc(a + b + c) Giải Ta có a + b + c > abc(a + b + c) > a + b + c > a bc + ab c + abc Trong hệ trục tọa độ Oxyz, đặt ~uU = (ab, bc, ca) ế = (ca,ab,bc) Khi 4 4 4 2 Ịế Ị = Va b + b c + c a , Ị"V’Ị = Vc a + a b + b c ếu ếv = a bc + ab c + abc 2 2 2 2 2 2 2 Ta có ỊếỊ ỊếỊ > ~uu ỹử > a b + b c + c a 2 2 a bc + ab c + abc 2 Đặt u' = (a ,b ,c ) ế = (b ,c ,a ) Khi 2 2 2 Ị — Ị = / a + b + c , Ị-— Ị = / a + b + c 4 4 —u —v = a b + b c + c a Vậycóa +ế b + cế > abc(a + b + c) Ta u v > —.— > a + b + c 4 4 4 2 2 > a2b2 + b2c2 + c2a2 2 ab = kca bc = kab ca b= kbc = lc c = la a = lb Đẳng thức xảy < 2 với k,l > o a = b = c 2 Bài toán Chứng minh với x,y G R, ta có -ự4 cos x cos y + sin (x — y) + 2 sin x sin y + sin (x — y) 2 2 Giải Tập xác định bất đẳng thức R Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt —u = (2cosxcosy,sin(x — y)) ,—v = (2sinxsiny,sin(x — y)) Khi — u + —v = (2 cos x cos y + sin x sin y, sin(x — y)) = (2 cos(x — y), sin(x — y)) Ta có \—| + |—| > |— + lì| o cos x cos y + sin (x — y) + ỵ/ sin x sin y + sin (x — y) 2 2 2 Đẳng thức xảy thỏa mãn trường hợp sau x = y + kn Hoặc — = o cos x = cos y = Hoặc sin(x — y) = sin x sin y = x = y + kn sin x = sin y = Đẳng thức xảy fn x = — + +mn n [ y = nn Bài toán Cho a + b + c = 2, ax + by + cz = Chứng minh V 16a2 + a2x2 + V 16b2 + b2y2 + V 16c2 + c2z2 10 Giải Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt — = (4a, ax ), è = (4b,byỵ — = (4c, cz) Khi lì + — + lè = (4(a + b + c), ax + by + cz) = (8,6) Do Ịĩt + è + lè| = 10 Hơn nữa, ta có 1^l + lèl + l'W'| lè + "V + è| — V 16a + a x ■ ự I6b + b y +V 16c + c z > 10 2 2 2 2 Đẳng thức xảy thỏa trường hợp sau 11 — Có hai< số vectơ lỉ, —b, lè vectơ không sử = =2 hoặcGiả a =x=3 lì = = Ta có a = b = cz=3 y=3 Suy c =2 z = Hốn vị vịng quanh, ta thấy trường hợp đẳng thức xảy z z a=b=0 11 |— + W| + lè = ì = k lw , k > z Z a=0 by = kcz b=c=0 -1 = l0 — í lì = - b=kc z a=c=0 - a=0 í b=kc=0 - kcy = kcz a=0 y=z b=kc b, c > {a + b + c =2 b+c=2 í ■■■ ì by + cy = ax + by + cz = — y = a=0 Vậy trường hợp ta có y=z=3 b+c=2 Có ba vectơ lì, —, lè vectơ khơng Giả sử lì = "0, đẳng thức xảy Hốn vị vịng quanh, ta thấy trường hợp có đẳng thức xảy b = 0;a Ìa =+0;c =b +2,a,c c = >2,0b,hoặc c > 0< x=z=3 y=z=3 ic = 0; a + b = 2,a, b > x=y=3 Khơng có vectơ số vectơ 0,—— vectơ Khi đẳng thức xảy a = kb = / ax = kby b = mc = < by = mcz x=y=z=3 a+b+c=2 a, b, c > k, m > Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x, y) = cos 2x + cos 2y miền D = {(x,y) : sinx + siny = I} Giải Đặt u = sin x, v= sin y Khi đó, Ta có cos2x + cos2y = - 2sin x - 2sin y = - u + v 2 2 Xét toán sau: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số F(u,v) = u + v 2 miền D = {(u, v); |u| < 1, |v| < 1; u + v = I} Khi ta có mối liên hệ sau maxf(x,y) = - 2minF(u,v)minf(x,y) = - 2maxF(u,v) Xét hệ trục tọa độ Ouv Tập D đoạn thẳng AB - phần đường thẳng u+v = nằm hình vng Dễ thấy A, B có tọa độ A( 2,1), B(1, 2) Nếu M(u,v) G D có u + v = OM 2 Do 1+1=5 4; max F(u, v) = max OM = OA D MeAB F (u, v) = OM = OH D Vậ MeAB y max f (x, y) = - = f (x y) = - Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x,y) = x + 2y Xét miền D = {(x,y) : x + 3y — 10 > 0,x + y — < 0,x — y + > 0} Giải Trong mặt phẳng tọa độ xOy, miền D biểu diễn hình tam giác ABC với tọa độ đỉnh A(4,2),B(2,4),C(1, 3) Gọi m giá trị tùy ý hàm số, x + 2y = m họ phương trình đường thẳng song song với đường thẳng x + 2y = Ta có phương trình đường thẳng qua C, B song song với đường thẳng x + 2y = x + y = x + 2y = 10 Do phương trình x + 2y = m có nghiệm đường thẳng x + 2y = m cắt hình tam giác ABC, tức < m < 10 Vậy max f (x,y) = 10 f (x,y) = Bài toán Tìm giá trị nhỏ hàm so f (x, y, z, t) = z3 +t — 2xz — 2yt — z miền D = {(x, y,z,t) : x + y = 1, z — t + = 0} 2 Giải Ta có f(x, y, z, t) = z + t — 2xz — 2yt — z = (x — z) + (y — t) — (x + y ) — 2 2 2 = (x — z) + (y — t) — với (x,y,z,t) e D 2 Trong hệ trục tọa độ Ouv, đặt M(x, y) thuộc đường tròn u + v = N(z, t) thuộc parabol u — v + = Khi MN2 = (x — z) + (y — t) Gọi M (0,1) tọa độ giao điểm parabol với Ov N (0,3) tọa độ giao điểm đường I tròn với trục Ov hình vẽ x = 0, y = Ta có f(x, y, z, t) = MN *IIo = M N0 — = — = 0, giá trị nhỏ z = 0, t = Bài tốn 10 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm so 2 2 o 2 — sin x + sin x\/2 — sin x, với x e R f(x) = sin x + 2 Giải Gọi m giá trị tùy ý hàm số f (x), phương trình f (x) = sin x + \/2 — sin x + sin x\/2 — sin x = m có nghiệm Đặt u = \/2 — sin x, v = sin x Khi phương trình tương đương với hệ u + v + uv = m u +v =2 2 2) —1v1 1u ( 1) 3) ự2 ( ( ( 4) Xét hệ trục tọa độ Ouv sau M = M đạt 4I N = No v u+v= B u+v = u+v=2 u O /2 \ ► - Miền biểu diễn (2), (3), (4) cung nhỏ AB, với A(1, — 1), B(1,1) Từ (1) ta có (u+v) - 2 u+v+ o(u + v) + 2(u + v) =m — 2m — = o u + v = -1 + ự2m + ( Vì đường thẳng u + v = — — ự2m + không cắt cung AB nên loại trường hợp này) Suy hệ (1), (2), (3), (4) có nghiệm đường thẳng u + v = — + ự2m + cắt cung AB, tức — + ự2m + o ự2m + 3 0—1 m Vậy max f (x) = f (x) = —1 xeR xeR Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức |z — — i| = |z — — 3i| Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z + — i| + |z — + 2i| Giải Trong hệ tọa độ Oxy, gọi số phức z = x + yi với x, y G R có điểm biểu diễn điểm M(x, y) Khi |z - - i| = |z - - 3i| o |(x - 1) + (y + 1)i| = |(x - 2) + (y - 3)i| o(x - 1) + (y + 1) = (x - 2) + (y - 3) o 2x + 8y - 11 = 2 2 Đặt A(-2,1),B(3,-2), suy A B nằm phía so với đường thẳng (A) : 2x + 8y 11 Hơn P = |z + - i| + |z - + 2i| = MA + MB Gọi A điểm đối xứng với A qua A Đường thẳng AA qua A vng góc với A có phương trình 4x - y + = Gọi I giao điểm AA A, suy I - 61, 31 , tọa độ điểm A - 27, 45 Ta có Z 34’17 17’17 A/493 17 P = |z + - i| + |z - + 2i| = MA + MB = MA + MB > A'B = Đẳng thức xảy B,M,A' thẳng hàng Do M giao điểm đường thẳng A đường thẳng A’B : 79x + 78y - 81 = Vậy M -15,101 34 68 Bài toán 12 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức |z - - 3i| = |z - + i| Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z +1 - i| + |z - - i| 2 Giải Trong hệ tọa độ Oxy, gọi số phức z = x + yi với x, y G R có điểm biểu diễn điểm M(x,y) A(-1,1),B(3,1) Khi |z-1-3i|=|z-5+i|o|(x-1)+(y-3)i|=|(x-5)+(y+1)i| o(x-1) +(y-3) =(x-5) +(y+1) ox-y-2=0 2 2 Gọi I(1,1) trung điểm AB Ta có P = |z +1 - i| + |z - - i| = MA + MB = Ợ-1}2 + (MB)2 2 2 = (MÍ + TAy + (MÍ + 12 = 2MI + IA + IB 2 Vậy P nhỏ MI nhỏ Do M hình chiếu điểm I lên đường thẳng (A) : x — y — = Gọi d đường thẳng qua I vng góc với A có phương trình x + y — = 0, tọa độ giao điểm d A M(2,0) Suy P = 2MI + IA + IB = 2.2 + + = 12 Đẳng thức xảy M(2,0) 2 Bài toán 13 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức |z + — i| v' 13 Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức P = |z — — 5i| + |z + — 9i| 2 Giải Trong hệ tọa độ Oxy, gọi số phức z = x + yi với x, y G R có điểm biểu diễn điểm M(x,y) A(1,5),B(—3,9) Ta có |z + — i| = V13 o |(x + 5) + (y — 1)i| = V13 o (x + 5) + (y — 1) = 13 2 Khi tọa độ điểm M thuộc đường trịn (C) có tâm I(—5,1) bán kính R v' 13 Gọi H trung điểm AB H(—1, 7) Đường thẳng IH có phương trình 3x — 2y +17 = Gọi M ,M tọa độ giao điểm đường thẳng IH đường tròn (C) (M nằm M I), suy M (—3,4) M (—7, —2) 2 Khi P = |z— — 5i| + |z+ — 9i| = MA + MB = 2MH + HA + HB Vậy Pmin = MHmin = 2 MiH = yĩã Pmax = MHmax = M2H = 3ựũ 2 2 3.3 Các toán số học Bài toán Cho p q hai số tự nhiên nguyên tố Chứng minh p q q p + + — q qp + + — + q qp + ( — ( p qJ — 1)q ’ p .+ Giải Ta xét tất điểm (x,y) mặt phẳng tọa độ , với hai tọa độ nguyên với < x < q — < y < p — Các điểm nằm hình chữ nhật OABC với; OA ( p - 1)(q - 1) = q, OC = p, số điểm nguyên (p — 1)(q — 1) Vẽ đường chéo OM Rõ ràng đường chéo khơng có điểm ngun khácđường M Thật vậyOB chéo tọa độ (x,y) điểm đường chéo thỏa mãn phương p Do xứng đường chéo khơng điểm ngun trìnhtính y =đối x Vì p, qvà số nguyên tố OB nhau,cónên khơng tồn q nên p p p p x,y nguyên dương thỏa mãn x < q,y < p y = x phân số tối giản ữ q q -■ Giả sử OM = k(k nguyên dương k < q) Khi từ M kẻ đường thẳng vng góc với trục hồnh cắt OB N, suy MN = — q Số điểm ngun có hồnh độ k nằm đường chéo OB số phần kp nguyên , tức ( — 1) 2p p 3p q q p q .q + + q p q q p Tương tự + + — q qp + + p — + q qp + ( q q ịq + + p_ — ( p qJ — 1)q ’ p 2? p _ .+ ( p — 1)q p số điểm nguyên nằm phía ( p — 1)(q — 1) Bài tốn Cho n số ngun khơng âm Chứng minh biểu diễn dạng n = (x + y) + 3x + y, x y số nguyên không âm Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tọa độ nguyên M(x,y) Ta đánh số tất điểm nguyên theo thứ tự hình sau Ta chứng minh quy nạp sau: Với n = 0, xét điểm (0,0) hiển nhiên ta có (0 + 0) + 3.0 + 12 (Điểm (0,0) mang 0) = (0 + 1) + 3.0 + (Điểm (0,1) mang 1) n =1, xét điểm (0,1), ta có n = 2, xét điểm (1,0), ta có (1 + 0) + 3.1 + (Điểm (1,0) mang 2) Giả thiết quy nạp điều khẳng định toán đến n, tức ứng với số mang số thứ tự n có tọa độ (x,y) Khi n = (x + y) + 3x + y Xét số n +1 Tương ứng ta xét điểm mang số thứ tự n +1 Có hai khả xảy [(x+1)+(y-1)] +3(x+1)+(y-1) 2 Neu y = theo cách (x + y) + 3xđánh + y +số =thì điểm mang (x +sốy)thứ + 3xtự+ny+ có tọa độ (0, x + 1+ = n + 1) Do 2 [0 + (x + 1)] + 3.0 + (x + 1) (x+y)2+3x+y + = n + (x + 0) + 3x + 2+ Vậy điều khẳng định đen n + Theo nguyên lý quy nạp, với n ta (x+y) +3x+y -‘ĩ- - có n = , x y số ngun khơng âm Vì điểm nguyên mang số cách đánh số nói trên, từ lập luận suy biểu diễn đồng thời p Bài toán Cho t số dương tùy ý Số phân số tối gian p,q q khơng vượt q t kí hiệu d(t) Tính tổng sau p q d Giải Mỗi phân số tối giản 100 , với < 100,0 1000 +