Bài toán chặn trạng thái cho một hệ số dương có chậm thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NHẬT TỒN BÀI TỐN CHẶN TRẠNG THÁI CHO MỘT SỐ HỆ DƯƠNG CÓ CHẬM THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NHẬT TỒN BÀI TỐN CHẶN TRẠNG THÁI CHO MỘT HỆ SỐ DƯƠNG CĨ CHẬM THỜI GIAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PGS TS PHAN THANH NAM Bình Định - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực chưa sử dụng để bảo vệ học vị Mọi giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc phép công bố Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Huỳnh Nhật Toàn Mục lục Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Bài tốn tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho hệ có nhiễu 1.2.1 Hệ vi phân 1.2.2 Hệ sai phân 10 1.3 Hệ dương số bổ đề liên quan 10 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần 14 2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn 14 2.2 Chặn trạng thái cho hệ rời rạc dương có nhiễu bị chặn 19 2.2.1 Chặn thành phần cho hệ tuyến tính rời rạc 19 2.2.2 Chặn thành phần cho hệ tuyến tính rời rạc có nhiều chậm thời gian 23 2.2.3 2.3 Chặn thành phần cho hệ phi tuyến 23 Chặn trạng thái cho hệ suy biến dương có nhiễu bị chặn 26 2.3.1 Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn hệ tuyến tính dương 28 2.3.2 Đánh giá trạng thái cho hệ vi-sai phân dương khơng có nhiễu 33 2.3.3 Chặn trạng thái cho hệ vi-sai phân dương có nhiễu 36 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn 3.1 41 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn chuẩn 1,1 3.1.1 ∞,1 41 Điều kiện đủ để tập đạt hệ dương bị chặn siêu chóp 41 3.2 3.1.2 Tối ưu đa diện 44 3.1.3 Bài toán điều khiển ngược dựa trạng thái 45 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát 46 3.2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương tuyến tính có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát 47 3.2.2 Mở rộng kết cho hệ có chậm thời gian, hệ phi tuyến 51 3.2.3 Một số hướng tiếp cận khác cho toán TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 58 Danh mục ký hiệu R (R+ , R0,+ ) : Tập hợp số thực (dương, không âm) Rn (Rn0,+ ) : Tập hợp vectơ thực (khơng âm) n chiều Rn×m (Rn×m 0,+ ) : Tập hợp ma trận thực (không âm) n × m chiều N : {1, 2, 3, } N0 : {0} ∪ N n i=1 |xi (t)|, x(t) = [x1 (t) · · · xn (t)]T ∈ Rn x(t) : x(t) ∞ : maxni=1 |xi (t)|, x(t) = [x1 (t) · · · xn (t)]T ∈ Rn ∞ ω 1,1 : ω ∞,1 : ess supt≥0 ω(t) ω(s) ds σ(A) : Tập giá trị riêng ma trận A ρ(A) : max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ ma trận A µ(A) : max{Re(λ) : λ ∈ σ(A)} A > (≥) : Ma trận A ma trận đối xứng xác định dương (không âm) A : Tất phần tử ma trận A dương ( )0 (khơng âm) A, B ∈ Rn×m , A ( )B x = [x1 x2 xn ]T : aij > (≥) bij , i ∈ {1, , n}, j ∈ {1, , m} ( ) : Vectơ x dương (không âm), nghĩa xi > (≥) với i ∈ {1, , n} x, y ∈ Rn , x ( )y : x−y ( )0 B(0, q) : {x ∈ Rn0,+ : x q}, hình cầu Rn0,+ deg(P ) : Bậc đa thức P (s) C([a, b], Rn ) : Tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn ||x|| = max ||x(t)|| t∈[a,b] MỞ ĐẦU Vì nhiều lý hệ thống bị giới hạn tốc độ đường truyền, tác động không mong muốn từ bên ngoài, sai số đo đạc, yếu tố khơng chắn mơ hình hóa hệ thống nên chậm thời gian nhiễu không tránh khỏi hệ thống kỹ thuật thực tế Hai yếu tố gây tính khơng ổn định cho hệ thống Trong nhiều trường hợp, nhiễu giả sử bị chặn chặn biết Khi đó, thay nghiên cứu tính ổn định người ta nghiên cứu tốn tìm chặn trạng thái cho hệ có nhiễu Trong năm gần đây, nhiều quan tâm nghiên cứu dành cho toán chặn trạng thái cho hệ dương có chậm Nhằm hệ thống kết có tìm kiếm vài phát triển hướng nghiên cứu định hướng Thầy hướng dẫn, tơi chọn đề tài “ Bài Tốn chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian” Hướng nghiên cứu chặn trạng thái cho hệ dương mở rộng lần lên hệ dương có chậm thời gian báo [7] Sau năm 2014 báo [9] mở rộng lên lớp hệ với ma trận biến thiên Năm 2015 báo [15] mở rộng lên hệ phi tuyến đưa chặn nhỏ Các kết chủ yếu dành cho lớp hệ có nhiễu dương bị chặn theo thành phần Sau năm 2016 mở rộng tốn chặn trạng thái cho lớp hệ rời rạc với nhiễu bị chặn khoảng [17] Và sau hai báo [4], [24] tiếp tục mở rộng cho lớp hệ dương với chặn theo chuẩn l1 chặn tập Trong luận văn này, hệ thống trình bày số kết chặn trạng thái cho số lớp hệ dương có chậm thời gian nhiễu bị chặn Đối tượng nghiên cứu luận văn là: Bài tốn tìm chặn trạng thái tập trung vào lớp hệ dương có chậm thời gian nhiễu bị chặn Đề tài sử dụng phương pháp so sánh nghiệm, kết hợp với số kiến thức đại số tuyến tính liên quan đến ma trận khơng âm, ma trận Metzler, phương pháp hàm Lyapunov cho hệ dương số kỹ thuật tính tốn tối ưu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, giới thiệu toán chặn trạng thái, hệ dương tính chất liên quan Chương hai trình bày chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần Chương ba trình bày chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình, nghiêm khắc Thầy Phan Thanh Nam, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Giải Tích khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù tơi cố gắng khả thời gian hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tơi xin trình bày số kiến thức cần thiết hệ vi phân, hệ sai phân, tính chất hệ dương có liên quan đến toán chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian 1.1 Một số khái niệm (a) Phương trình hệ vi phân có chậm thời gian Trong mục này, chúng tơi trình bày dạng tổng qt hệ phương trình vi phân có chậm thời gian Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ chậm thời gian ≤ h < +∞ x(·) hàm liên tục R, nhận giá trị Rn , với t ∈ R ta xây dựng hàm xt ∈ C , phụ thuộc chậm thời gian sau: xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0], C := C [−h, 0], Rn không gian hàm liên tục từ [−h, 0] vào Rn Như vậy, đồ thị xt đoạn quỹ đạo đồ thị x(·) [t − h, t], tức xt (s) biến trạng thái x(·) thời điểm khứ t + s, s ∈ [−h, 0] Chuẩn xt chuẩn C xác định ||xt || = sup ||x(t + s)|| Khi đó, hệ s∈[−h,0] phương trình có chậm thời gian mơ tả phụ thuộc tốc độ thay đổi trạng thái hệ thống thời điểm t vào trạng thái hệ thống khoảng thời gian trước [t − h, t] cho dạng:   x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ 0,  x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (1.1) f : R0,+ × C → Rn hàm vectơ cho trước hàm ϕ ∈ C hàm giá trị ban đầu với ϕ = ϕ(s) Nghiệm x(·) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện sup s∈[−h,0] ban đầu x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0] ký hiệu x(t, ϕ) Để nghiên cứu tính ổn định hệ (1.1), ta giả thiết: (i) Hệ (1.1) có nghiệm x(t) ≡ 0, tức là, f (t, 0) = 0, t ∈ R0,+ (ii) Hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm đến vô (b) Các khái niệm ổn định Trong mục này, nhắc lại ba định nghĩa ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân có chậm thời gian (1.1): Định nghĩa 1.1 ([3]) Nghiệm x(t) ≡ hệ (1.1) gọi (i) ổn định với số > 0, tồn số δ > cho với ϕ ∈ C thỏa mãn ||ϕ|| < δ ||x(t, ϕ)|| < với t ≥ (ii) ổn định tiệm cận ổn định tồn số δ0 > cho với ϕ ∈ C thỏa mãn ||ϕ|| < δ0 lim ||x(t, ϕ)|| = t→+∞ (iii) ổn định mũ tồn số M > số α > cho nghiệm x(t, ϕ) hệ thỏa mãn ||x(t, ϕ)|| ≤ M e−αt ||ϕ|| với t ≥ Khi M gọi hệ số ổn định Lyapunov, α gọi số mũ ổn định Để cho ngắn gọn, thay nói nghiệm x(t) ≡ hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) (c) Hệ sai phân Xét hệ phương trình sai phân có chậm thời gian sau:   x(k + 1) = f (k, xk ), k ∈ N0 ,   x(s) = ϕ(s), s ∈ {−h, −h + 1, , 0}, (1.2) 46 Cp chứa tập đạt hệ (3.9) Vì đa diện Cp xác định vectơ p xác định, hệ (3.11) (3.12) tuyến tính với biến K α giá trị thích hợp K α dễ dàng tìm lập trình Mặt khác tồn K thỏa Mệnh đề 3.1 cho trạng thái hệ khép kín bao lại đa diện biết n n Cp = {ξ ∈ R+ | pT ξ ≤ 1, p ∈ R+ } Ta điều chỉnh K để tối ưu đa diện cho ∆ cách giải toán: Cho pn = [p1 , p2 , , pn ]T , tối thiểu γ = − cho (A + Bu K)T p 0, BuT p n i=1 log(pi ), Kí hiệu γ ∗ giá trị nhỏ γ , tương ứng với γ ∗ ta có p∗ đa diện Cp∗ tích khơng lớn Cp Lặp lại q trình tối ưu tham số γ đến tìm γ ∗ thích hợp Ví dụ 3.1 Xét hệ x(t) ˙ = Ax(t) + Bu u(t) + Bω ω(t) với     −2 1.3  1    A = 0.5 −3 0.7 , Bu = 0    1.5 −2   0 0.1     , Bω = 0.2   0.5  0.8 Với đa diện xác định Cp với p = [1.5 1, 0, 9]T ,ω(t) = 10e−10t (ω ∈ Ω1,1) nằm đa diện Từ Mệnh đề 3.1 ta tìm K =  −0.64 −0.5 −0.1  −0.0013 −0.78 −0.51   0.8  −2, 64  để ma trận hệ kín A + Bu K =  0.4987 −3, 78  1, 3594 0.61 0,   0.19   −2, 355 Metzler Khi trạng thái hệ bị chặn Cp 3.2 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát Trong mục ta tìm chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát Phương pháp tiếp cận gồm bước: (i) Phân tích số tính chất ma trận Metzler Hurwitz (ii) Dựa vào tính chất mới, mở rộng hệ xét lên số chiều cao 47 (iii) Tìm chặn thành phần cho hệ có số chiều cao tìm hàm tuyến tính chặn trạng thái cho hệ xét Phương pháp mở rộng cho hệ dương có chậm thời gian phi tuyến 3.2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương tuyến tính có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát Xét hệ:   x(t) ˙ = Ax(t) + Bω(t), t ≥ 0, (3.13)  x(0) = 0, với x(.) ∈ Rn vectơ trạng thái, A ∈ Rn×n ma trận Metzler Hurwitz, m B ∈ Rn×m 0,+ ma trận khơng âm, ω(.) ∈ S ⊂ R0,+ vectơ nhiễu biến thiên bị chặn tập đóng S Đặt z(t) = LT x(t) hàm vectơ tuyến tính vectơ trạng thái với L ∈ Rn×r 0,+ ma trận dương biết Mục tiêu toán ta phải tìm chặn thành phần nhỏ cho hàm z(t), ta gọi chặn cần tìm chặn hàm tuyến tính hệ z(t) = LT x(t) Chú ý 3.2.1 Trường hợp nhiễu bị chặn tập đóng S trường hợp tổng quát cho trường hợp xét trước luận văn + Trong trường hợp nhiễu bị chặn thành phần Tập S hình chữ nhật khơng gian vectơ Rm 0,+ , ta đặt S sau: Sc (ω) = {ω ∈ Rm 0,+ : ω ω}, với ω vectơ không âm biết + Trường hợp ω ∞ ≤ 1, ta đặt S sau: Sc (1m ) = {ω ∈ Rm 0,+ : ω 1m } + Trường hợp nhiễu bị chặn chuẩn (∞, 1), ta đặt S sau: S(∞,1) (γ) = {ω ∈ Rm 0,+ : ω ∞,1 γ}, 48 với γ số biết + Trường hợp tổng quát S khối đa diện không gian vectơ Rm 0,+ với ràng buộc F ω k δ , F ∈ Rk×m 0,+ , δ ∈ R0,+ biết ta đặt S là: SF (δ) = {ω ∈ Rm 0,+ : F ω δ} Sc (ω), Sc (1m ), S(∞,1) (γ) biểu diễn dạng tổng quát SF (δ) tương ứng với F = Im , δ = ω , F = Im , δ = 1m , F = 1m , δ = γ Ta có bổ đề quan trọng sau: Bổ đề 3.1 ([24]) Nếu maxω∈S Bω := u tính vectơ trạng thái x(t) hệ (3.13) thỏa mãn: x(t) −A−1 u, ∀t ≥ Bổ đề 3.2 ([24]) Giả sử A = [ai,j ] i, j = 1, , n, ma trận Metzler Hurwitz Cho j ∈ {1, , n}, kí hiệu Cj = n i=1 aij tổng hàng thứ j ma trận A Cmin := minj=1, ,n Cj < Bổ đề 3.3 ([24]) Cho vectơ h không âm khác 0, h = [h1 h2 hn ]T , A ∈ Rn×n ma trận Metzler Hurwitz Kí hiệu Aj vectơ hàng thứ j ma trận A, j = 1, , n Ξ = {ξ ∈ R : AT h + ξh 0}, (i) Ξ = ∅ (ii) Ξ = − j=1, ,n,hj >0 ATj h hj >0 Chứng minh (i) Bước 1: Đầu tiên ta xét trường hợp h vectơ dương Kí hiệu g(ξ) = AT h + ξh Vì h > 0, hàm vectơ g(ξ) liên tục tăng ngặt nên lim g(ξ) = [+∞, , +∞]T Do tồn ξ0 ∈ R cho g(ξ0 ) ξ→+∞ 0, suy tập Ξ khác rỗng Bước 2: Trường hợp h = [h1 , , hn ]T vectơ không âm khác vectơ 0, giả sử vectơ h có k thành phần dương hj1 > 0, , hjk > với ≤ j1 ≤ jk ≤ n Đặt P = {j1 , , jk }, P C = {1, , n} \ P hd = [hj1 · · · hjk ]T hd ∈ Rk vectơ dương Từ ma trận A, ta lấy ma trận    aj j aj j · · · aj j k     aj j aj j · · · aj j k  k×k  Ad =   ∈ R  ···     aj k j aj k j a j k j k 49 Vì A Metzler Hurwitz, Ad Metzler Hurwitz Kí hiệu gj (ξ) = ATj h + ξhj j = 1, , n vài phép tính ta có  (A )T h + ξh , j = j ∈ P, s j d js d gj (ξ) =  AT h, j ∈ P C, j Với Ξ1 = {ξ ∈ R : gj (ξ) 0, ∀j ∈ P } Vì Bước 1, ta có tập Ξ1 khác rỗng Mặt khác, hi = với i ∈ P C , vectơ h không âm aij ≥ ∀i = j , ta có n gj (ξ) = ATj h = n aij hi ≥ với j ∈ P C aij hi = i=1 i=1,i=j Suy Ξ = Ξ1 , Ξ khác rỗng (ii) Bước 1: Ta xét trường hợp h vectơ dương Vì hàm g(ξ) hàm tăng ngặt nên ta có −ATj h Ξ = max hj j=1, ,n ATj h = − hj j=1, ,n Mặt khác, đặt Dh = diag{h1 , h2 , , hn } D1/h = diag{ h11 , h12 , , h1n } Vì A ∈ Rn×n ma trận Metzler Hurwitz nên ma trận  h1  h1 a11  h2  h1 a21 Dh AD1/h =     hn h1 an1 h1 h2 a12 h2 h2 a22 ··· ···  h1 hn a1n   h2  hn a2n ··· hn h2 an2 hn hn ann     ma trận Metzler Hurwitz Áp dụng Bổ đề 3.2 ma trận Dh AD1/h , ATj h } j=1, ,n hj suy { < Suy Ξ > Bước 2: Ta xét trường hợp h vectơ không âm Bằng cách sử dụng kĩ thuật tách bước (2) chứng minh (i) bước chứng minh (ii) ta có Ξ = Ξ1 = −min (Ad )Tjs hd js ∈P hjs > 0, (3.14) với (Ad )js hàng thứ js ma trận Ad Mặt khác ta có j = js ∈ P, (Ad )Tjs hd = ATj h Do js ∈P (Ad )Tjs hd hjs = j=1, ,n,hj >0 ATj h hj (3.15) 50 Kết hợp (3.14) (3.15) ta có (ii) Nhận xét 3.1 Với ξ ∈ Ξ, đặt bn+1 (h) = −ξ b(h) = [b1 (h) bn (h)]T = [g1 (ξ) · · · gn (ξ)]T Ta có hàm tuyến tính hT Ax biểu diễn sau: hT Ax = b1 (h)x1 + + bn (h)xn + bn+1 (h)hT x, với bn+1 (h) < b(h) = [b1 (h) · · · bn (h)]T (3.16) Hơn giá trị lớn bn+1 (h) biểu diễn (3.16) thu b∗n+1 (h) = −ξ ∗ = ATj h j=1, ,n,hj >0 hj (3.17) Cho s = 1, , r, kí hiệu LS vectơ hàng thứ s ma trận L Với h = LS , s = 1, , r, ta có vectơ khơng âm [b1 (LS ) · · · bn (LS )] số âm bn+1 (LS ) cho (LS )T Ax = b1 1(LS )x1 + + bn (LS )xn + bn+1 (LS )(LS )T x  (3.18)  1 b1 (L ) bn (L )   r Kí hiệu b(L) =   ∈ Rr×n 0,+ c(L) = diag{bn+1 (L ), , bn+1 (L )} ∈   b1 (Lr ) bn (Lr ) Rr×r Từ (3.18) ta có LT A = b(L) + c(L)LT Lấy vi phân hai vế phương trình z(t) = LT x(t) ta z(t) ˙ = LT x(t) ˙ = LT Ax(t) + LT Bω(t) = b(L)x(t) + c(L)z(t) + LT Bω(t)  Bằng cách đặt x(t) = [x(t) z(t)]T , B = [B LT B]T A =  hệ (3.13) mở rộng lên hệ n + r chiều   ˙ x(t) = Ax(t) + Bω(t), t ≥ A 0n,r b(L) c(L) (3.19)  , (3.20)  x(0) = Vì A ma trận Metzler Hurwitz, b(L) 0, c(L) ma trận đường chéo Hurwitz, nên dễ dàng chứng minh A Metzler Hurwitz Bằng 51 cách sử dụng Bổ đề 3.1 cho hệ (3.20) kí hiệu u = maxBω, uL = maxLT Bω ω∈S u = [u uL ]T ω∈S Ta có chặn thành phần x(t) sau: x(t) −A−1 u, ∀t ≥ 0, Kí hiệu z = −[0r,n Ir ]A−1 u Suy z(t) bị chặn thành phần z , z(t) (3.21) z, ∀t ≥ Vì ma trận c(L) ma trận đường chéo âm, nên nghịch đảo tồn c− 1(L) = diag{ bn+11 L1 , , bn+11 Lr } ∈ Rr×r Suy ma trận nghịch đảo A  A−1 =  A−1  0n,r −c−1 (L)b(L)A−1 c−1 (L) (3.22) , Thay (3.22), b(L) = LT A − c(L)LT u = [u uL ]T vào (3.21) vài phép tính đơn giản Ta có z = −c−1 (L)(uL − LT u) − LT A−1 u (3.23) từ bất đẳng thức max(f + g) ≤ max(f ) + max(g) suy LT u uL (3.24) Từ (3.17), (3.23) và(3.24), z nhỏ với s = 1, , n, S bn+1 (L ) ≡ b∗n+1 (LS ) = j=1, ,n,LS j >0 ATj LS LSj (3.25) Từ nhận xét ta có định lý sau Định lý 3.4 ([24]) Giả sử A ma trận Metzler Hurwitz, z tính (3.23) (3.25) chặn hàm tuyến tính nhỏ hệ z(t) = LT x(t) 3.2.2 Mở rộng kết cho hệ có chậm thời gian, hệ phi tuyến Trong mục này, ta mở rộng kết cho hệ dương tuyến tính có chậm thời gian hệ phi tuyến bị chặn hệ dương tuyến tính Trước hết ta 52 xét hệ dương có chậm thời gian sau   x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − h(t)) + Bω(t), t ≥ 0, (3.26)  x(s) = 0, s ∈ [−hmax , 0], với x(.) ∈ Rn vectơ trạng thái, A ∈ Rn×n ma trận Metzler Hurwitz biết, A1 ∈ Rn×n ma trận không âm cho A + A1 ổn định Hurwitz, h(t) ∈ [0, hmax ] hàm chậm biết Tương tự cách chứng minh  thời gian chưa  A1 0n,r  hệ (3.26) mở rộng lên hệ n + r Định lí 3.4 Kí hiệu A1 =  LT A1 0r,r chiều   ˙ x(t) = Ax(t) + A1 x(t − h(t)) + Bω(t), t ≥ 0, (3.27)  x(s) = 0, s ∈ [−hmax , 0] Vì A + A1 ma trận Metzler Hurwitz kết hợp với Bổ đề 1.4, suy A + A1 ma trận Metzler Hurwitz Áp dụng Định lí 2.1 cho hệ (3.27) ta tìm chặn thành phần x(t) sau x(t) −(A + A1 )−1 u, ∀t ≥ 0, Tương tự ta tìm chặn hàm tuyến tính z(t) z = −c−1 (L)(uL − LT u) − LT (A + A1 )−1 u, (3.28) chặn nhỏ với s = 1, , r, bn+1 (LS ) tính (3.25) Do đó, ta suy định lí sau Định lý 3.5 ([24]) Giả sử A ma trận Metzler Hurwitz, A1 ma trận không âm cho A + A1 ma trận Metzler Hurwitz z tính (3.28) (3.25) chặn hàm tuyến tính nhỏ hệ z(t) = LT x(t) Tiếp theo ta xét hệ phi tuyến có chậm thời gian   x(t) ˙ = Ax(t) + f (t, x(t), x(t − h(t), ω(t)), t ≥ 0,  x(s) = 0, s ∈ [−hmax , 0], (3.29) 53 Với A ma trận Metzler Hurwitz, f (.) giả sử bị chặn hàm tuyến tính dương |f (.)| A0,f |x(t)| + A1,f |x(t − h(t))| + u(ω(t)), t ≥ 0, (3.30) với A0,f , A1,f ma trận không âm u(ω(t)) hàm không âm Ta xét hệ dương   y(t) ˙ = (A + A0,f )y(t) + A1,f y(t − h(t)) + u(ω(t)), t ≥ 0, (3.31)  y(s) = 0, s ∈ [−hmax , 0], Giả sử (A + A0,f + A1,f ) ma trận Metzler Hurwitz Áp dụng Định lí 2.1 ta có |x(t, 0)| y(t, 0) Suy |z(t)| = |LT x(t, 0)| |LT ||x(t, 0)| |LT |y(t, 0) Từ ta có định lí sau Định lý 3.6 ([24]) Giả sử f(.) thỏa điều kiện (3.30), (A + A0,f + A1,f ) ma trận Metzler Hurwitz Thì z tính (3.28) (3.25) với A, A1 thay A + A0,f ,A1,f chặn nhỏ giá trị tuyệt đối hàm tuyến tính z(t) = LT x(t) 3.2.3 Một số hướng tiếp cận khác cho toán Trong mục ta sử dụng Định lí 3.4 để giải toán hàm chặn trạng thái nghiên cứu so sánh phương pháp với phương pháp trước để thấy tính hiệu Hướng tiếp cận dựa việc tìm chặn thành phần Từ kết chặn thành phần cho hệ dương có chậm thời gian có vectơ biến thiên hình chữ nhật biết, ta mở rộng kết với vectơ nhiễu ω(t) biến thiên chặn biết tập S đóng Giả sử u = maxBω ω∈S 54 tính được, từ chặn thành phần Bổ đề 3.1 ta tìm chặn hàm tuyến tính hàm z(t) = LT x(t) sau: z(t) −LT A−1 u, ∀t Hơn từ (3.24) −c−1 (L) ma trận dương Nên ta suy z = −c−1 (L)(uL − LT u) − LT A−1 u chặn nhỏ z H = −LT A−1 u tìm phương pháp [7], [15] Hướng tiếp cận dựa phương pháp Du et al.(2016) Với trường hợp S = S∞,1 (1) = {ω ∈ Rm 0,+ : ω ∞,1 1}, Du et al (2016) trình bày phương pháp tìm chặn hàm tuyến tính cho hệ dương (3.13) với z(t) ∈ R Tuy nhiên phương pháp áp dụng cho vài hàm tuyến tính thích hợp, ví dụ hàm tuyến tính z(t) = pT x(t) với p ∈ Rn0,+ cho (AT + αI)p 0, B T p α1m , với α > Trong trường hợp z(t) bị chặn 1, hay z(t) = pT x(t) ≤ 1, ∀t 0, Bằng cách mở rộng kết ta có điều kiện đủ để tồn chặn cho hàm z(t) = pT x(t) tồn α > > cho (AT + αI)p 0, B T p z(t) bị chặn , hay z(t) = pT x(t) ≤ , ∀t α 1m , Trong số trường hợp phương pháp Du et al(2016) không áp dụng (ví dụ điều kiện "tồn α > cho (AT + αI)p 0" không xảy ) ta sử dụng cách tiếp cận gián tiếp từ phương pháp Du gồm bước sau: (i) Tìm chặn thành phần cho vectơ trạng thái, x(t) β, ∀t ≥ (ii) Tìm chặn hàm tuyến tính z(t) ≤ pT B ∀t ≥ Tuy nhiên hướng tiếp cận cho chặn hàm tuyến tính lớn chặn tìm từ Định lí 3.4, làm rõ Ví dụ 3.2 55 Hướng tiếp cận dựa L∞ -gain Với hàng LS , s = 1, , r, L, L∞ -gain, γs , zs (t) = (LS )T x(t) tính riêng biệt L∞ -gain hệ (3.13) với zs (t) = (LS )T x(t) định nghĩa Birat (2013) Shen and Lam (2015) giá trị γs > nhỏ cho zs (t) L∞ ≤ γs ω(t) L∞ , γs tính cách giải toán tối ưu sau: minγs cho λ ∈ Rn+ , γs > 0, Aλ + B1 ≺ LS λ − γs 1r ≺ 0, λ,γs sử dụng công thức γs = − LS A−1 B ∞ Do đó, trường hợp chuẩn ∞ ≤ ω ∗ , ∀t > 0, chặn hàm L∞ , ta tính ω ∗ thõa mãn ω(t) tuyến tính cho giá trị zs (t) z s = γs ω ∗ Suy chặn hàm tuyến tính z(t) = Lx(t) z = [z , , z r ]T Ví dụ 3.2 Xét hệ dương (3.13) với  −1.20 0.29 0.50   1.10 −2.00 0.20 A=   0.50 0.30 −1.50  0.23 0.15 0.33    0.10   0.00  0.12 0.35 0.17   0.07 0.14 0.21 ,B =  ,    0.20  0.19 0.23 0.05    −1.10 0.14 0.03 0.24 L = [2 1 2.5]T Ta xét vectơ nhiễu, ω(t) ∈ R30,+ hai trường hợp sau: (a) ω(t) ∈ SF1 (1) = {ω ∈ R30,+ : F1 ω 1}; (b) ω(t) ∈ SF2 (13 ) = {ω ∈ R30,+ : F2 ω 13 },   1.00 1.00 1.00   với F1 = [1 1] F2 = 0.90 1.10 1.10   1.30 0.95 1.20 Xét trường hợp (a): Đầu tiên ta sử dụng hướng tiếp cận dựa phương pháp Du et al.(2016) để tìm chặn hàm tuyến tính hệ Bằng cách tăng dần α từ đến αmax với bước nhảy 0.001, ta tìm αmax = 0.4310 thỏa mãn µ(AT + αI) < 0, ∀α ∈ [0, αmax ] Tương tự cách tăng dần α từ đến αmax với bước nhảy 0.001, ta kiểm tra khơng có số α ∈ [0, αmax ] thỏa mãn điều kiện (AT +αI)p Bằng cách giải toán tối ưu tìm p1i cho(AT +αI)p 56 0, B T p α13 với i = 1, , n, p = [p1 pn ]T 0n , ta tính chặn thành phần vectơ trạng thái x = [1.2875 3.6077 2.0212 2.5968]T chặn hàm tuyến tính z D = 14.6958 Với hướng tiếp cận dựa việc tính L∞ − gain, Bổ đề Briat (2013) Định lí Shen Lam (2015), ta tính L∞ − gain hệ γ = 7.7809, ω ∗ = z s = γs ω ∗ = 7.7809 Sau sử dụng hướng tiếp cận dựa việc tính chặn thành phần hệ, ta tính u = [0.35 0.21 0.23 0.24]T chặn hàm tuyến tính z k = 4.1685 Cuối áp dụng Định lí 3.4 ta tính [b1 b5 ]T = [1.655 0.195 1.465 0.000 − 0.940]T , LT Bω(t) = [0.8500 1.1450 1.200]ω(t), z N = 3.5940 Xét trường hợp (b): Ta có SF2 (13 ) ⊂ SF1 (1), hàm z(t) với ω(t) ∈ SF2 (13 ) nhỏ z(t) với ω(t) ∈ SF1 (1) Từ hướng tiếp cận 3, ta tính ω ∗ = 0.9091, (z)L1 = γω ∗ = 7.7809 × 0.9091 = 7.0735 Với hướng tiếp cận một, ta tính z K1 = 3.6939 Cuối áp dụng Định lí 3.4 ta tìm z N1 = 3.2152 Cả hai trường hợp (a),(b) phương pháp từ Định lí 3.4 tìm chặn hàm tuyến tính nhỏ phương pháp lại KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cưú chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian, luận văn hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Hệ thống, làm rõ, cung cấp chứng minh chi tiết số kết cho toán chặn trang thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn Ứng dụng tốn chặn trạng thái thơng qua số tốn ví dụ minh họa 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: Tiếng Việt: [1] V N Phát, Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội (2001) Tiếng Anh: [2] Berman A., Plemmons R.J (1979), Nonnegative Matrices in the Mathematical Science, Academic Press, New York [3] Bokharaie V.S (2012), Stability Analysis of Positive Systems with Applications to Epidemiology, Hamilton Institute National University of Ireland Maynooth [4] Du, B., Lam, J., Shu, Z., Chen, Y (2016), “ On reachable sets for positive linear systems under constrained exogenous inputs”, Automatica, pp.74, 230–237 [5] Eris O., Ergenc A.F (2016), “Delay scheduling for delayed resonator applications”, IFAC-PapersOnline, 49(10), pp 77-81 [6] Gu K., Kharitonov V.L., Chen J (2002), Stability of Time-Delay Systems, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin [7] Haimovich, H., Seron, M M (2010),“Componentwise ultimate bound and invariant set computation for switched linear systems”, Automatica, 46(11), pp.1897–1901 58 59 [8] Han X., Fridman E., Spurgeon S.K (2010), “Sliding-mode Control of Uncertain Systems in the Presence of Unmatched Disturbances with Applications”, International Journal of Control, 83, pp 2413-2426 [9] Hien L.V., Trinh H (2014), “A new approach to state bounding for linear time-varying systems with delay and bounded disturbances”, Automatica, 50(6), pp 1735-1738 [10] Kaczorek T (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London [11] Khalil H.K., (2002), Nonlinear Systems (3rd Edition), Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 [12] Kofman E., Haimovich H., Seron M.M (2007), “A systematic method to obtain ultimate bounds for perturbed systems”, International Journal of Control, 80(2), pp 167-178 [13] Liu X., Yu W., Wang L (2009), “Stability analysis of positive systems with bounded time-varying delays”, IEEE Transactions on Circuits and SystemsII:Express Briefs, 56(7), pp 600-604 [14] Nam P.T., Hiep L.T (2019), “State bounding for positive coupled differential-difference equations with bounded disturbances”, IET Control Theory and Applications, 13(11), pp 1728-1735 [15] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2015), “Reachable set bounding for nonlinear perturbed time-delay systems: The smallest bound”, Applied Mathematics Letters, 43(9), pp 68-71 [16] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2016), “Partial state bounding with a pre-specified time of non-linear discrete systems with time-varying delays”, IET Control Theory and Applications, 10(13), pp 1496-1502 [17] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N (2016), “Componentwise ultimate bounds for positive discrete time-delay systems perturbed by interval disturbances”, Automatica, 72, pp 153-157 60 [18] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N (2018), “Minimization of state bounding for perturbed positive systems with delays”, SIAM Journal on Control and Optimization, 56(3), pp 1739-1755 [19] Ngoc P.H.A., Trinh H (2016), “Novel criteria for exponential stability of linear neutral time-varying differential systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 61(6), pp 1590-1594 [20] Park P.G., Lee W.I., Lee S.Y (2015), “Auxiliary function-based integral inequalities for quadratic functions and their applications to time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 352(4), pp 1378-1396 [21] Pathirana P.N., Nam P.T., Trinh H (2018), “Stability of positive coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays”, Automatica, 92, pp 259-263 [22] Rami M.A (2009), “Stability analysis and synthesis for linear positive systems with time-varying delays”, Positive Systems, LNCIS, Springer, Berlin Heidelberg, 389, pp 205-215 [23] Shen J., Zheng W.X (2015), “Positivity and stability of coupled differentialdifference equations with time-varying delays”, Automatica, 57, pp 123-127 [24] Trinh H., Nam P.T., Pathirana P.N.(2020),“Linear functional state bounding for positive systems with disturbances varying within a bounded set”, Automatica, 111 , pp.108644] [25] Zuo Z., Fu Y., Wang Y (2012), “Results on reachable set estimation for linear systems with both discrete and distributed delays”, IET Control Theory and Applications, 6, pp 2346-2350 ... Chương Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần Trong chương tơi trình bày ba kết có chặn trạng thái cho hệ: hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn, hệ rời rạc dương có nhiễu bị chặn hệ. .. cho toán chặn trạng thái cho hệ dương có chậm Nhằm hệ thống kết có tìm kiếm vài phát triển hướng nghiên cứu định hướng Thầy hướng dẫn, chọn đề tài “ Bài Toán chặn trạng thái cho số hệ dương có. .. bày số kiến thức cần thiết hệ vi phân, hệ sai phân, tính chất hệ dương có liên quan đến toán chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian 1.1 Một số khái niệm (a) Phương trình hệ vi phân có