Chuyên đề số phức có lời giải chi tiết

Chuyên đề về số phức chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về về số phức lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 25 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ Mục tiêu đề thi: Đề thi gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề số phức mức độ nhận biết Số phức khái niệm hoàn toàn HS lớp 12 Đề thi đưa với mục đích giúp HS làm quen với số phức, giải toán vấn đề nhận biết phần thực, phần ảo, biểu diễn số phức mặt phẳng phức, tính mođun số phức, số phức nghịch đảo, số phức liên hợp, thực phép toán liên quan đến số phức, giải phương trình nghiệm phức Câu 1: Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức z = ( 1+ i ) ( − i ) ? A P B M C N D Q Câu 2: Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức: A z = −2 + i B z = 1− 2i C z = 2+ i D z = 1+ 2i Câu 3: Gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z = ( + 7i ) i mặt phẳng phức Tìm tọa độ điểm M A M(6;7) B M(-6;-7) C M(6;-7) D M(-7;6) C D Câu 4: Số phức z = 2+ i có phần thực là: A -2 B i Câu 5: Biết nghịch đảo số phức z số phức liên hợp Khi A z = B z = C z số thực D z số ảo Câu 6: Nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z2 − z + = 1 15 A − i 2 15 B − + i 2 C 15 + i 2 15 D − − i 2 Câu 7: Cho số phức z = 5− 4i Số phức đối z có điểm biểu diện hình học A (5;4) B (5;-4) C (-5;-4) Câu 8: Cho số phức z = 3− 2i Tìm số phức w = i.z − z A w = −5+ 5i B w = −1+ 5i C w = −5+ i D (-5;4) D w = 5− 5i Câu 9: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức 2 A = z1 + z2 A.10 B 19 C 20 D 17 Câu 10: Cho số phức z = 2− i Số phức liên hợp z là: A z = −2 − 3i B z = 2− 3i C z = 2+ 3i D z = 2− 3i Câu 11: Cho số phức z = 1− i Tìm số phức w = iz + 3z được: A w = B w = 10 C w = + i D w = 10 +i Câu 12: Xác định phần ảo số phức z = 12 − 18i ? A.-18 B -18i C 12 D 18 i z' = 3− 2i Tìm mơđun số phức w = z.z' Câu 13: Cho hai số phức z = 2+ 3, A w = 13 B w = 13 Câu 14: Tìm phần ảo số phức z = A i B − 10 C w = 12 D w = 14 1+ 2i 3− 4i C − 10 i D Câu 15: Cho số phức z = ( 1= 2i ) ( 5− i ) , z có phần thực A B C D Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A, B hình vẽ bên Trung điểm đoạn thẳng AB biểu diễn số phức A −1+ 2i B − + 2i C − i D − i Câu 17: Điểm M hình bên điểm biểu diễn số phức z Mệnh đề đúng? A Phần thức phần ảo -4 B Phần thực -4 phần ảo 3i C Phần thực -4 phần ảo D Phần thực phần ảo -4i Câu 18: Kí hiệu z1, z2 hai nghiệm phương trình z2 + z + 1= Giá trị biểu thức P = z12 + z22 + z1z2 bằng: A P = B P = -1 C P = D P = Câu 19: Cho số phức z = −4 + i Biểu diễn hình học z điểm có tọa độ A (-4;-5) B (4;-5) C (-4;5) D (4;5) Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1+ i ) ( + i ) z + 1− i = ( 5− i ) ( 1+ i ) Tính mơđun số phức w = 1+ 2z + z2 A 100 B 10 C 10 D Câu 21: Tìm phần thực số phức z12 + z22, biết z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z2 − 4z + = A B C D Câu 22: Cho số phức z có biểu diễn hình học điểm M hình vẽ bên Khẳng định sau ? A z = −3+ 2i B z = 3+ 2i C z = −3− 2i D z = 3− 2i Câu 23: Cho số phức z = 1+ i Số phức nghịch đảo z A 1− i B 1− i C 1− i D −1+ i Câu 24: Cho số phức z = −3+ 4i Môđun z A B C D i z2 = −4 − i Tính z = z1 + z2 Câu 25: Cho số phức z1 = + 3; A z = 2− 2i B z = −2 − 2i C z = 2+ 2i D z = −2 + 2i HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-D 2-A 3-D 4-C 5-A 6-C 7-D 8-A 9-C 10-C 11-A 12-A 13-B 14-D 15-B 16-B 17-A 18-C 19-C 20-C 21-B 22-D 23-C 24-D 25-B Câu 1: Chọn D Phương pháp: Rút gọn, đưa số phức z dạng z = a + bi, điểm M(a;b) điểm biểu diễn số phức z Cách giải: z = 3+ i Sử dụng MTCT, ta tính Vậy điểm biểu diễn cho số phức z điểm Q ( 3;1) Câu 2: Chọn A Phương pháp: Điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Cách giải: Điểm M(-2;1) biểu diễn số phức z = −2 + i Câu 3: Chọn D Phương pháp: Cho số phức z = a + bi ( a;b∈ R) điểm M(a;b) biểu diễn số phức z Cách giải: Ta có: z = ( + 7i ) i = 6i + 7i = −7+ 6i ⇒ M (−7;6) điểm biểu diễn số phức z Câu 4: Chọn C Phương pháp: Số phức z = a + bi ( a, b∈ ¡ ) có phần thực a, phần ảo b Cách giải: Phần thực số phức z = 2+ i Câu 5: Chọn A Phương pháp: Sử dụng công thức thường gặp z.z = z Cách giải: Theo ra, ta có = z ⇔ z.z = 1⇔ z = 1⇔ z = z Câu 6: Chọn C Phương pháp: Phương trình az2 + bz + c = có hai nghiệm phân biệt z1 = −b + δ −b − δ ;z2 = với δ bậc hai biểu 2a 2a thức ∆ = b2 − 4ac Cách giải: 2  i 15  1 15  1 2 Ta có: z − z + = ⇔ z − 2.z + = − ⇔  z − ÷ =  ÷ ÷ 4 2    Vậy số nghiệm phức có phần ảo dương z =  z = ⇒  z =  + − 15 i 15 i 15 + i 2 Câu 7: Chọn D Phương pháp: Số phức z = a + bi có số phức đơí z' = −a − bi điểm biểu diễn số phức z’ mặt phẳng : M(−a;− b) Cách giải: Ta có z = 5− 4i ⇒ Số phức đối z w = −5+ 4i có điểm biểu diễn hình học (-5;4) Câu 8: Chọn A Phương pháp: Xác định số phức liên hợp tìm số phức w máy tính casio Cách giải: Ta có z = 3− 2i ⇒ z = 3+ 2i ⇒ i.z = −2 + i Vậy w = i.z = −2+ 3i − 3+ 2i = −5+ i Câu 9: Chọn C Phương pháp: Giải phương trình phức bậc hai tính mơđun số phức Cách giải:  z = −1+ 3i 2 2 Ta có z + 2z + 10 = ⇔ ( z + 1) = −9 ⇔ ( z + 1) = ( 3i ) ⇔   z = −1− 3i Khi A = z1 + z2 2= −1+ 3i + −1− 3i = 10+ 10 = 20 Câu 10: Chọn C Phương pháp: Số phức z = a + bi có số phức liên hợp z = a − bi Cách giải: Số phức liên hợp z = 2− 3i z = 2+ i Câu 11: Chọn A Phương pháp: Sử dụng công thức cộng, nhân số phức Cách giải:     w = iz + 3z = i  1+ i ÷+ 3 1− i ÷ = i − + 3− i = 3     Câu 12: Chọn A Phương pháp: Số phức z = a + bi có phần thực a phần ảo b Cách giải: Số phức z = 12 − 18i có phần ảo -18 Câu 13: Chọn B Phương pháp: Tính z.z' ⇒ w Tính mơđun số phức w = a + bi : w = a2 + b2 Cách giải: Sử dụng MTCT ta tính được: ⇒ w = z.z' = 12 + i ⇒ w = 122 + 52 = 13 Câu 14: Chọn D Phương pháp: Nhân tử mẫu với số phức liên hợp mẫu để phá phân thức bấm máy tính caiso Cách giải: Ta có z = 1+ 2i ( 1+ 2i ) ( 3+ 4i ) 3+ 10i + 8i −5+ 10i = = = = − + i 3− 4i 25 25 5 32 − ( 4i ) Vậy phần ảo số phức z Im( z) = Câu 15: Chọn B Phương pháp: Số phức z = a + bi,( a, b∈ ¡ ) có phần thực a, phần ảo b Cách giải: z = (1+ 2i )(5− i ) = 5− i + 10i − 2i = 5− i + 10i + = 7+ 9i z có phần thực Câu 16: Chọn B Phương pháp: +) Số phức z = a + bi ( a, b∈ Z) biểu diễn điểm M9a;b) mặt phẳng xOy xA + xB   xI = +) Tọa độ trung điểm I AB là:  y +  y = A yB  I Cách giải:   Dựa vào hình vẽ ta thấy: A(−2;1), B(1;3) ⇒ M  − ;2÷⇒ z = − + 2i   Câu 17: Chọn A Phương pháp: Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn mặt phẳng phức M(a;b) a phần thực b phần ảo Cách giải: M(3;−4) ⇒ Số phức z có phần thức phần ảo -4 Câu 18: Chọn C Phương pháp: Sử dụng định lí Vi-et Cách giải: b   z1 + z2 = − a = −1 z1, z2 nghiệm phức phương trình z2 + z + 1= nên theo định lí Vi-et ta có:  z z = c =  a P = z12 + z22 + z1z2 = ( z1 + z2 ) − z1z2 = (−1)2 − 1= Câu 19: Chọn C Phương pháp: Số phức z = x + yi ( x, y∈ ¡ ) có điểm biểu diễn hình học M(x;y) Cách giải: Ta có z = −4 + 5i ⇒ Điểm biểu diễn hình học z M(-4;5) Câu 20: Chọn C Phương pháp: Tìm số phức z thơng qua phép tính số phức tìm số phức w Cơng thức tính modun số phức z = a + bi là: z = a2 + b2 Cách giải: Ta có ( 1+ i ) ( + i ) z + 1− i = (5− i )(1+ i ) ( ) ⇔ 2+ i + 2i + i z = i − 1+ 5+ 5i − i − i ⇔ (1+ 3i )z = 5+ 5i ⇔ z= ⇔ z= 5+ 5i 1+ 3i ( 5+ 5i ) ( 1− 3i ) 1− 9i = − i Vậy w = 1+ 2( − i ) + ( − i ) = 8− 6i ⇒ w = 82 + (−6)2 = 10 Câu 21: Chọn B Phương pháp: Áp dụng định lí Vi-et phương trình bậc hai Cách giải:  z1 + z2 = 2 ⇒ z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − 2z1z2 = 42 − 2.5 = Ta có z − 4z + = ⇒   z1z 2= Câu 22: Chọn D Phương pháp: Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng phức Cách giải: Ta có: M(3;−2) ⇒ z = 3− 2i Câu 23: Chọn C Phương pháp: Ta có z = a + bi ⇒ 1 a − bi a − bi = = = z a + bi ( a + bi ) ( a − bi ) a2 + b2 Cách giải: Ta có z = 1+ i ⇒ 1 1− i 1− i = = = 2 z 1+ i − i Câu 24: Chọn D Phương pháp: Số phức z = a + bi có mơđun z = a2 + b2 Cách giải: Ta có z = −3+ 4i ⇒ z = ( −3) + 42 = Câu 25: Chọn B Phương pháp: z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i ⇒ z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i Cách giải: z1 + z2 = ( + 3i ) + (−4− 5i ) = −2− 2i 10 Phương pháp: Sử dụng công thức z z = z Cách giải: ( ) 2 2 Ta có: z + = z ⇔ z + = z ⇔ ( z + 1) z + = z z ( ) ( ) ⇔ ( z + 1) z + = z z ⇔ z z ( ⇔ z+z ) + ( zz) 2 + z + z + − 4z z = ( − 6z z +1 = ⇔ z + z ( 2 ⇔ z − z +1 = − z + z ) ) + z − z +1 = ≤ ⇔ 3− 2 ≤ z ≤ 3+ 2  z1 = − ⇔ −1 ≤ z ≤ +1 ⇔   z2 = + ( ( ( ( ) ) )  z = −1 i   z1 = −    w = z1 + z2 = 2   z2 = − i ⇔ Dấu = xảy ⇔  z2 = + ⇔   w = z1 + z2 =    z1 = + i  z + z =   z = − −1 i   ) Câu 15 Chọn B Phương pháp: Tìm đường biểu diễn z1 , z2 Vẽ trục tọa độ Oxy biện luận Cách giải: Gọi z1 = x + yi ta có: x − yi + i = x − yi − x − yi − 2i ⇔ x − yi + i = yi + i ⇔ x + ( y − 1) = ( y + 1) ⇔ x + y − y + = y + y + 2 ⇔ x2 = y ⇔ y = x2 ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z1 parabol y = x2 Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 đường tròn (C) tâm I ( 10;1) bán kính R = ⇒ ( C ) : ( x − 10 ) + ( y − 1) = 2 80 uuuu r uuur Gọi M, N điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 ⇒ z1 − z2 = OM − ON = MN ⇒ z1 − z2 ⇔ MN Dựa vào hình vẽ ta thấy MN ⇔ MN ⊥ tiếp tuyến M parabol y = Ta có: y ′ = x2 qua I x  m2  m Gọi M  m; ÷( m > ) ⇒ y′ ( m ) =   ⇒ pttt : y = ( x − m ) + m2 m m2 = x− (d) 4 ⇒ MN ≥ d ( I ; d ) − ⇒ MN ⇔ d ( I ; d ) = IM ⇔ m2 5m − − 1+ m2  m2  2  5m − − ÷   m2   m2  2  = ( m − 10 ) +  − 1÷ = = ( m − 10 ) +  − 1÷ m2     1+ Giải phương trình tìm m = 4, IM = ⇒ MN = − Câu 16 Chọn C Phương pháp: Biểu diễn mặt phẳng phức Cách giải: 81 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A ( 0; −3) điểm biểu diễn số phức z1 ; B ( 4;1) điểm biểu diễn số phức z2 ; I ( 0;1) điểm biểu diễn số phức i M điểm biểu diễn cho số phức z Theo đề ta có z − i = ⇒ MI = ⇒ M thuộc đường trịn tâm I bán kính R = T = z − z1 + z − z2 = MA + 2MB Ta có: IM = 2, IO = 1, IA = ⇒ IM = IA.IO ⇔ IM IO = IA IM Do tam giác IMO đồng dạng với tam giác IAM ⇒ IM OM = = ⇔ MA = MO IA AM ⇒ T = MA + MB = MO + MB = ( MO + MB ) ≥ 2OB Dấu xảy M giao điểm OB ( I ) ⇔ M ≡ E.O ( 0;0 ) , B ( 4;1) ⇒ Phương trình OB y = x ( d ) ; E ∈ d ⇒ E ( 4m; m ) ( m > ) Vì E ∈ ( I ) ⇒ IE = ⇒ ( 4m ) + ( m − 1) = ⇔ 17 m − 2m − = ⇔ m = 2 + 13 ( m > 0) 17  a = 4m + 13 ⇒ a − b = 3m = Ta có:  17 b = m Câu 17 Chọn B Phương pháp: Tọa độ hóa điểm số phức z, đánh giá GTNN Cách giải: 82 Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy P = z + + z − + z − z − 4i = ( ( x + 1) + y2 + ( x − 1) + y2 + y − ) Đặt A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) , C ( 0; ) H ( 0; y ) hình chiếu M lên Oy Khi P = ( MA + MB + HC ) Ta xác định vị trí M để P đạt giá trị nhỏ nhất, ( M di chuyển hình trịn x + y ≤ ) 2 2 +) Nếu M ∈ ( C1 ) : x + y ≤ 4, y < ta ln tìm điểm M ∈ ( C2 ) : x + y ≤ 4, y ≥ đối xứng qua Ox Khi P = ( MA + MB + HC ) = ( M ′A + M ′B + H ′C ) > ( MA + MB + HC ) 2 +) Ta xét điểm M ∈ ( C2 ) : x + y ≤ 4, y ≥ Với M nằm nửa hình trịn ( C2 ) thay đổi đường thẳng y = m cố định ( ≤ m ≤ ) độ dài đoạn HC không đổi, MA + MB ≥ HA + HB = HA P = ( MA + MB + HC ) ≥ ( HA + HC ) Ta có: HA + HC = m + + − m = f ( m ) , m ∈ [ 0; ] f ′( m) = m2 + − 1, f ′ ( m ) = ⇔ m =  i 3     f ( m ) = f  = + M  0; ÷ = + ⇒ Pmin = 1 + ÷ ÷ hay z = ÷ 3  3    Câu 18 Chọn B Phương pháp: Sử dụng phương pháp hình học, xác định tập hợp điểm biểu diễn hai đường tròn biện luận vị trí điểm để mơđun nhỏ Cách giải: 83 Theo ta có: z − − i ⇒ Tập hợp biểu diễn số phức z đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( 1;1) bán kính R1 = w − − 3i = ⇔ w − + 3i = ⇒ Tập hợp biểu diễn số phức w đường trịn ( C2 ) có tâm I ( 2; −3) có bán kính R2 = Do I1 I > R1 + R2 nên hai đường trịn khơng cắt Khi đó: z − w = MN ⇒ z − w = MN = I1 I − ( R1 + R2 ) = 17 − Câu 19 Chọn D Phương pháp: Bài tốn giải phương pháp đại số hình học Cách giải: Cách 1: Đặt z − − 2i = w với w = x + yi ( x, y ∈ R ) 2 Theo ta có: w = ⇔ x + y = Ta có: P = z + − 2i + z − − 5i = w + + w + − 3i = ( x + 4) + y2 + = 20 + x + =2 ( ( x + 1) ( x + 1) x2 + y2 + x + + + ( y − 3) + ( y − 3) = + x + ( x + 1) + ( y − 3) ) = 2( ( x + 1) + y2 + ( x + 1) ( x + 1) + ( y − 3) 2 + ( y − 3) ) ≥ 2( y + y − ) ≥ y + − y = 84  x = −1  x = −1  Do đó: P = ⇔  y ( − y ) ≥ ⇔   y =  2 x + y =  ( ) Vậy GTNN P đạt z = + + i ⇒ a+b = 2+2+ = 4+ Cách 2: Giả thiết z − − 2i = ⇒ MI = ⇒ M ∈ ( I ; ) với I ( 3; ) P = z + − 2i + z − − 5i = MA + MB với A ( 1; ) , B ( 2;5 ) Ta có: IM = 2, IA = Chọn K ( 2; ) IK = Do IA.IK = IM ⇒ IA IM AM IM = ⇒ ∆IAM : ∆IMK ⇒ = = ⇒ AM = 2MK IM IK MK IK Từ P = MA + MB = ( MK + MB ) ≥ BK Dấu xảy M , K , B thẳng hàng M thuộc đoạn thẳng BK ( Từ tìm M 2; + ) Cách 3: Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z = a + bi Đặt I ( 3; ) , A ( −1; ) , B ( 2;5 ) Ta xét tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn (C) có tâm I , bán kính R = cho biểu thức P = MA + MB đạt giá trị nhỏ Trước tiên, ta tìm điểm K ( x; y ) cho MA = 2MK , ∀M ∈ ( C ) uuu r uu r uuu r uur Ta có: MA = 2MK ⇔ MA2 = MK ⇔ MI + IA = MI + IK uuu ruu r uuu r uur uuu r uu r uur ⇔ MI + IA2 + MI IA = MI + IK + 2MI IK ⇔ 2MI IA − IK = 3R + IK − IA2 ( *) ( ( ) ( ) ) ( ) uu r uur r uur uur r  IA − IK = IA − IK = ⇔ (*) ∀M ∈ ( C ) ⇔  mà 2 3R + IK − IA =  ( x − 3) = −  x = ⇔  y =  ( y − ) = Thử trực tiếp ta thấy K ( 2; ) thỏa mãn 3R + IK − IA2 = Vì BI = 12 + 32 = 10 > R = nên B nằm (C) Vì KI = < R = nên K nằm (C) Ta có: MA + 2MB = 2MK + 2MB = ( MK + MB ) ≥ KB Dấu bất đẳng thức xảy M thuộc đoạn thẳng BK Do MA + MB nhỏ M giao điểm (C) đoạn thẳng BK 85 Phương trình đường thẳng BK : x = Phương trình đường trịn ( C ) : ( x − 3) + ( y − ) = 2   x =   x =   y = + ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ   x=2 ( x − 3) + ( y − ) =     y = −  ( ) Thử lại ta thấy M 2; + thuộc đoạn BK Vậy a = 2, b = + ⇒ a + b = + Câu 20 Chọn D Phương pháp: Từ giả thiết ( + i ) z = 17 + − 3i, tìm z z w = ( − 4i ) z − + 2i, rút z theo w, tính mơđun hai vế suy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w Cách giải: ( + i ) z = 17 17 + − 3i ⇔ ( + i ) z − + 3i = z z ⇔ ( z − 1) + ( z + 3) i = 2 17 17 ⇔ ( z − 1) + ( z + 3) = z z ( ) ⇔ z + z + 10 z − 17 = ⇔ ( z − 1) z + z + z + 17 = 3  z =1 ⇔ 5 z + z + z + 17 = ( VN ) Đặt w = x + yi ta có: w = ( − 4i ) z − + 2i ⇒ ( − 4i ) z = w + − 2i ⇔ z = w + − 2i = Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = ( − 4i ) z − + 2i đường tròn tâm I ( −1; ) bán kính R=5 Câu 21 Chọn D Phương pháp: Sử dụng công thức: z1 z2 = z1 z2 , z = z , z1 + z2 = z1 + z2 Cách giải: Ta có: z1 z2 + 16 z2 z3 + z1 z3 = z3 z3 z1 z2 + z1.z1.z2 z3 + z2 z2 z1 z3 ( ) = z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 = z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 86 = z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 = 24 z1 + z2 + z3 = 48 ⇒ P = z1 + z2 + z3 = 48 =2 24 Câu 22 Chọn C Phương pháp: Gọi tọa độ, biểu diễn số phức hình học phẳng, đưa biện luận khoảng cách điểm Cách giải: Ta có: 5w = ( + i ) ( z − ) ⇔ 5w + 5i = ( + i ) z − + i ⇔ w + i = ( + i ) z − + i ⇔ ( + i) z − + i = ⇔ + i z − 8−i 8−i =3 ⇔ z− = ⇔ z − + 2i = 2+i 2+i ⇒ Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 9, tâm I ( 3; −2 ) , R = 2 Gọi A ( 1; ) , B ( 5; ) E ( 3; ) trung điểm AB ⇒ P = MA + MB 2 2 Lại có: ( MA + MB ) ≤ ( MA + MB ) = 4ME + AB ⇒ P lớn ⇔ ME lớn → MEmax = IE + R = Mà IE = > R =  Vậy Pmax = ME + AB = 53 Câu 23 Chọn D ( a + c) a + b2 + c2 + d ≥ Phương pháp: Sử dụng BĐT +(b+d) a b = c d Dấu = xảy ⇔ Cách giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) Từ giả thiết z + = z + 2i ⇒ x + yi + = x + yi + 2i ⇔ ( x + ) + y = x + ( y + ) ⇔ x = y ⇔ z = x + xi 2 ⇒ P = x + xi − − 2i + x + xi − − 4i + x + xi − − 6i = ( x − 1) + ( x − 2) + Sử dụng BĐT ≥ 2 + ( x − 4) + ( a + c) 2 + ( x − 6) +(b+d) 2 a b = c d + ( x − 2) + ( x −1+ − x ) ( x − 5) a + b2 + c2 + d ≥ Dấu = xảy ⇔ ( x − 1) ( x − 3) 2 ( x − 5) + ( x − 6) = ( x − 1) + ( x − 2) + ( − x) + ( − x) + ( x − + − x ) = 34 87 Dấu = xảy ⇔ Mặt khác: x −1 x − = ⇔ x= 6− x 5− x ( x − 3) + ( x − 4) 2 7 1  = x − 14 x + 25 =  x − ÷ + ≥ 2  Dấu = xảy ⇔ x = Từ ta thấy Pmin = 1 + 17 + 34 = ⇔ a = 1, b = ⇒ a + b = 2 Câu 24 Chọn D Phương pháp: Đưa khoảng cách hai điểm thuộc đường tròn biểu diễn số phức biện luận vị trí điểm để biểu thức đạt giá trị lớn u u  z=  − + 3i =   z − + i = u = 3iz    3i 3i ⇔ ⇒ ⇔ Cách giải: Đặt   v = −2 w  iw + + 2i = w = − v  − iv + + 2i =    u − − 15i =3   u − − 15i = 3i   u − − 15i = ⇔ ⇔ ⇔  iv − − 4i =  v − + 8i =  iv − − 4i =  Do đó, tập hợp điểm M biểu diễn số phức u thuộc đường tròn ( C1 ) : ( x − ) + ( y − 15 ) = 81 2 Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v thuộc đường tròn ( C2 ) : ( x − ) + ( y + ) = 16 2 Xét ( C1 ) có tâm I1 ( 9;15 ) , bán kính R1 = 9, ( C2 ) có tâm I ( 4; −8 ) , bán kính R2 = Dễ thấy ( C1 ) , ( C2 ) không cắt ⇒ u − v = MN lớn ⇔ MN = I1 I + R1 + R2 = 554 + 13 Vậy T = 3iz + w đạt giá trị lớn 554 + 13 Câu 25 Chọn B Phương pháp: Chuyển toán xét GTNN số phức sang tìm GTNN hình học phẳng: - Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức u , v - Dựa vào đó, tìm vị trí để độ dài điểm biểu diễn số phức u − v nhỏ Cách giải: 88 Ta có: u − 6i + u − − 3i = 10 ⇔ u − 6i + u − − 3i = 10 ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức u đường elip (E) có tiêu điểm F1 ( 0;6 ) , F2 ( 1;3) độ dài trục lớn 10 ( ) Ta có: v − + 2i = v + i = v + −i = v − i = v − i ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức u đường trung trực (d) đoạn thẳng AB, A ( 1; −2 ) , B ( 0;1) Giả sử M ′, N ′ điểm biểu diễn số phức u , v ⇒ M ′ ∈ ( E ) , N ′ ∈ d Nhận xét: Việc tìm GTNN u − v tìm độ dài ngắn đoạn thẳng MN Dễ dàng kiểm tra F1 F2 ⊥ d Gọi N = F1 F2 ∩ d , M = F1F2 ∩ ( E ) (M nằm N F2) Khi với điểm M ′ ∈ ( E ) , N ′ ∈ d ta có: MN ≤ M ′N ′ ⇒ u − v = MN Ta tính MN? uuur  AB = ( −1;3)  +) Viết phương trình đường thẳng d: A ( 1; −2 ) , B ( 0;1) ⇒   1  (I trung điểm AB) I  ; − ÷  2 2 1  1  ⇒ d :  x − ÷−  y + ÷ = ⇔ x − y − = 2  2  uuur +) Phương trình đường thẳng F1 F2 : F1 F = ( 1; −3) EF : ( x − ) + 1( y − ) = ⇔ x + y − = 89 x − 3y − = x = ⇔ ⇒ N ( 2;0 ) +) Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình:  3 x + y − = y = +) M ∈ F1 F2 ⇒ M ( m;6 − 3m ) ,1 < m < Ta có: MA + MB = 2a ⇔ ( m − 1) + ( − 3m ) + m + ( − 3m ) = 2 10 4  ⇔ m = ⇒ M  ;2÷ 3 3  2 10 10 2 ⇒ MN =  ÷ + 22 = ⇒ u − v = MN = 3 3 Câu 26 Chọn B Phương pháp: +) Đặt ( z − i ) ( i + 1) = x + yi Tìm z − i, z + i theo x, y +) Tính z − i , z + i thay vào giả thiết z − i + z + i = +) Gọi điểm biểu diễn, đưa tốn hình học, tìm quỹ tích điểm M ( x; y ) tính diện tích hình phẳng Cách giải:  z − i = Đặt ( z − i ) ( i + 1) = x + yi ⇒    z + i =   z −i =  ⇒   z +i =  x + yi i +1 x + yi x + yi − + 2i x − + ( y + ) i + 2i = = x +1 i +1 i +1 x2 + y2 ( x − 2) + ( y + 2) 2 ⇒ x2 + y 2 + ( x − 2) + ( y + 2) 2 = ( *) Gọi M ( x; y ) , I ( 2; −2 ) từ (*) ta có: MO MI + = ⇔ MO + MI = 2 Do quỹ tích điểm M elip nhận O; I hai tiêu điểm trục lớn 2a = ⇒ a = 2c = OI = 2 ⇒ c = ⇒ b = a − c = Vậy diện tích elip S = π ab = π 4.3 = 12π Câu 27 Chọn D Phương pháp: Đưa tốn hình học cách gọi điểm biểu diễn số phức Cách giải: Đặt z = x + yi ( x, y ∈ R ) ta có: z − − 2i = z − + 2i ⇔ x + yi − − 2i = x + yi − + 2i 90 ⇔ ( x − 1) + ( y − ) = ( x − 3) + ( y + ) ⇔ −2 x − y + = −6 x + y + 13 2 2 ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y − = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z − − 2i = z − + 2i đường thẳng ( d ) : x − 2y − = Gọi M, N điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 ⇒ M , N ∈ d MN = Gọi P điểm biểu diễn cho số phức w = + 3i ⇒ P ( 1;3) Theo ta có: H = PM + PN ≥ PM PN Dấu = xảy ⇔ PM = PN ⇔ ∆PMN cân P Gọi H trung điểm MN ⇒ PH ⊥ d ⇒ PH = d ( P; ( d ) ) = 1− − = MN 221 4420 1105 1105 ⇒ PM = PN = PH + = = = = 20 20 20 10 ⇒ PM + PN = Vậy H max = 1105 1105 = 10 1105 Câu 28 Chọn C Phương pháp: Chuyển sang tốn hình học phẳng Cách giải: 91 z1 + − i = → Tập hợp điểm biểu diễn z1 đường trịn tâm I1 ( −1;1) , bán kính R = z2 = iz1 ⇒ z + i +1 z2 z + i +1 +1− i = ⇔ =2⇔ = ⇔ z2 + i + = i i i → Tập hợp điểm biểu diễn z2 đường tròn tâm I ( −1; −1) , bán kính R = Gọi M , M điểm biểu diễn z1 , z2 ⇒ M ∈ ( I1 ; R ) , M ∈ ( I ; R ) z1 − z2 = M 1M Mặt khác: z2 = iz1 nên giả sử z1 = a + bi ⇒ z2 = −b + ⇒ M ( a; b ) , M ( −b; a ) uuuur uuuuu r ⇒ OM 1.OM = ⇒ OM ⊥ OM Dễ thấy ∆OM 1M tam giác vuông cân O Khi đó, để M 1M ngắn OM = OM ngắn ⇒ M , M trùng với A, B giao điểm OI1 , OI ( I1 , R ) , ( I ; R ) (A nằm khác phía I1 so với O, B nằm khác phía I so với O) +) Tìm tọa độ điểm A: A ( a; b ) ∈ ( I1 ; R ) ⇒ ( a + 1) + ( b − 1) = 2 A ∈ I1O ⇒ b = −a ⇒ ( a + 1) + ( − a − 1) = ⇔ ( a + 1) = ⇔ a = −1 ± ⇒ a = −1 + 2 ( ⇒ A −1 + 2;1 − ⇒ OA = ) ( −1 + ) + ( − ) 2 = ( ) −1 = − ⇒ AB = 2OA = 2 − ⇒ m = 2 − Câu 29 Chọn D Phương pháp: +) Đặt AB = x ( < x < ) Tinh diện tích chu vi tam giác OAB theo x 92 +) Viết T = f ( x ) Tìm GTLN f ( x ) Cách giải: Ta có: z2 = z1 z3 = ⇒ OB = OA = x2 Đặt AB = x ( < x < ) Ta có: a = x − = x 16 − x , b = + + x = + x 4 ⇒T = a+b = x 16 − x +4+ x Sử dụng MTCT ta tính Tmax ≈ 9;19 Câu 30 Chọn C Phương pháp: uuuu r uuur uur OM + ON OI 2OI z1 + z2 z = = uuuu r uuur = uuuu r = (với I trung điểm MN) z1 − z2 MN OM − ON MN Sử dụng cơng thức định lí cosin tam giác cơng thức tính độ dài đường trung tuyến uuuu r uuur 0 Cách giải: Ta có: OM = 3; ON = 4; OM ; ON = 60 ⇒ ( OM ; ON ) = 60 uuuu r uuur uur OM + ON OI 2OI z1 + z2 z = = uuuu r uuur = uuuu r = (với I trung điểm MN) z1 − z2 MN OM − ON MN ( ) Áp dụng định lí cosin tam giác OMN có MN = OM + ON − 2OM ON cos ( OM , ON ) = 13 93 OI đường trung tuyến tam giác OMN ⇒ OI = Vậy z = OM + ON MN 37 − = 37 = 481 13 13 94 ... TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ 20 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC Mục tiêu đề thi: Đề thi gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm số phức mức độ thông hiểu sưu tầm từ đề thi thử... NGHIỆM VỀ SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ + 2: NHẬN BIẾT + THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC Mục tiêu: Đề thi gồm 30 tập trắc nghiệm số phức mức độ nhận biết thông hiểu sưu tập từ đề thi... S có phần tử 35 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC Mục tiêu: Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm số phức mức độ vận dụng, sưu tầm 100% từ đề