VI TÍCH PHÂN 1

Giáo trình Vi tích phân Bộ mơn Giải tích Bản ngày 24 tháng năm 2020 Mục lục Giới thiệu 1 Số thực Hàm số thực 1.1 Số thực 1.1.1 Tập hợp ánh xạ 1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học 1.1.3 Tập hợp số thực 1.1.4 Dãy số thực 1.2 Hàm số 1.2.1 Đồ thị Đường thẳng 1.2.2 Hàm số sơ cấp Hàm số liên tục 2.1 Giới hạn hàm số 2.1.1 Tiếp tuyến Vận tốc Tỉ lệ thay đổi 2.1.2 Giới hạn hàm số 2.1.3 Một số tính chất giới hạn 2.1.4 Các giới hạn mở rộng 2.2 Hàm số liên tục 2.2.1 Tính chất hàm số liên tục 2.2.2 Định lý giá trị trung gian Phép tính vi phân 3.1 Đạo hàm tính chất 3.1.1 Định nghĩa đạo hàm 3.1.2 Tính chất đạo hàm 3.2 Các công thức cho đạo hàm 3.2.1 Đạo hàm hàm hợp 3.2.2 Đạo hàm hàm ngược 3.2.3 Đạo hàm hàm sơ cấp 3.2.4 Đạo hàm hàm ẩn 3.2.5 Đạo hàm bậc cao 16 16 18 23 23 23 26 30 32 38 40 42 Ứng dụng đạo hàm 4.1 Cực trị hàm số 4.1.1 Sự tồn giá trị lớn giá trị nhỏ 4.1.2 Các định lý giá trị trung bình 4.2 Đạo hàm tính chất hàm 4.2.1 Tính tăng, giảm, cực trị ii 46 46 46 50 52 52 54 55 57 58 61 61 64 65 68 68 MỤC LỤC 4.2.2 4.2.3 4.2.4 iii Tính lồi, lõm, điểm uốn 70 Xấp xỉ tuyến tính 73 Qui tắc l’Hôpital ứng dụng tính giới hạn 75 Phép tính tích phân 5.1 Định nghĩa tính chất tích phân 5.1.1 Bài toán diện tích 5.1.2 Định nghĩa tích phân 5.1.3 Các tính chất tích phân 5.2 Định lý Cơ phép tính vi tích phân 5.2.1 Nguyên hàm 5.2.2 Công thức Newton-Leibniz 5.3 Một số phương pháp biến đổi tích phân 5.3.1 Phép đổi biến tích phân 5.3.2 Tích phân phần 5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân cho 5.3.4 Sự tồn cơng thức cho tích phân 5.3.5 Tính tích phân phương pháp số 5.3.6 Tích phân suy rộng 5.4 Ứng dụng tích phân 5.4.1 Diện tích, thể tích 5.4.2 Giá trị trung bình 5.4.3 Một số ứng dụng khoa học 5.4.4 Xác suất hàm đặc biệt 86 86 86 86 88 89 89 91 94 94 97 98 101 102 103 109 109 111 112 114 Chuỗi 6.1 Tiếp theo Dãy số thực 6.2 Chuỗi số thực 6.2.1 Sự hội tụ chuỗi số 6.2.2 Chuỗi số dương 6.2.3 Chuỗi đổi dấu 6.3 Chuỗi hàm 6.3.1 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 6.3.2 Chuỗi lũy thừa 6.3.3 * Chuỗi Fourier 119 119 122 122 125 129 133 134 138 141 Tài liệu tham khảo 145 Chỉ mục 146 iv MỤC LỤC Giới thiệu Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối B C (các ngành ngồi tốn) Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn ❼ Tham gia biên soạn: Vũ Đỗ Huy Cường, Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ ❼ Tham gia đánh máy LaTeX: Hồ Thị Kim Vân ❼ Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hồng Hải ❼ Người biên tập nay: Huỳnh Quang Vũ Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn Trang web Tài liệu hỗ trợ môn học Bộ mơn Giải tích có ở: https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich Đây thảo, tiếp tục chỉnh sửa bổ sung Các góp ý vui lịng gởi cho người biên tập Đối tượng giáo trình Sinh viên ngành khoa học liệu, nhóm ngành máy tính cơng nghệ thông tin, điện tử - viễn thông, hải dương, khoa học vật liệu, vật lý, (mơn tốn B), địa chất, hóa học, mơi trường, sinh học, cơng nghệ sinh học, (mơn tốn C) Sinh viên ngành tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giáo trình Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng học phép tính vi phân phép tính tích phân hàm biến, với trình độ tương đồng với số giáo trình vi tích phân phổ biến quốc tế [Ste16], sát với chương trình đào tạo hành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mục tiêu gồm: trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả tư xác tính tốn định lượng, cung cấp cơng cụ tốn học cho ngành khoa học kỹ thuật Việc giảng dạy giảng viên lớp việc học tự học sinh viên không thiết theo hết nội dung giáo trình Để phục vụ nhiều đối tượng sinh viên, giáo trình chứa nhiều chứng minh xác cho mệnh đề, nhiều ví dụ tập từ dễ tới khó hơn, số phần nâng cao Mỗi giảng viên sinh viên chọn bỏ qua số nội dung, để phần cịn lại để tự học thêm Đối với tốn C giảm bớt mức độ chặt chẽ chi tiết lý luận giảm tập phần MỤC LỤC Sử dụng giáo trình Mục tiêu sư phạm giáo trình mơn học nhấn mạnh: hiểu khái niệm, tăng cường lực tư lực tính toán, tiếp xúc với số ứng dụng Việc giảng dạy học tập nhắm tới tiêu chí trên, khơng q tập trung tiêu chí mà bỏ qua tiêu chí nào: (a) Hiểu khái niệm, kết phương pháp chính; (b) Phát triển tư việc thảo luận số lý luận toán học chặt chẽ Các khái niệm khác giải thích mức độ định Bổ sung giải thích trực quan, định lượng miêu tả ý tưởng; (c) Tăng cường kỹ tính tốn, hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm tính tốn; (d) Giới thiệu số ví dụ ứng dụng cụ thể Một phần lớn nội dung môn học sinh viên học trung học (trừ phần Chuỗi), tham khảo lại sách giáo khoa trung học [SGKTH] bổ ích cho sinh viên, nhiên giáo trình môn học yêu cầu cao rõ rệt tiêu chí Mỗi mục cấp hai giáo trình (ví dụ mục 1.1) ứng với khoảng tiết lớp Các mục có dấu ∗ tương đối nâng cao, không bắt buộc Về dạy học ứng dụng Việc giới thiệu ứng dụng vào ngành khoa học kỹ thuật cụ thể quan tâm giáo trình mơn học, xuất giải thích khái niệm đạo hàm, mơ hình dân số, toán cực trị, Tuy nhiên cần lưu ý điểm sau: (a) Hàm lượng ứng dụng thảo luận lớp bị hạn chế thời lượng dành cho mơn học, sinh viên cần dành thời gian tự học (b) Để ứng dụng tốn học thường cần trình độ chun mơn tương đối cao ngành khoa học kỹ thuật Chẳng hạn, muốn áp dụng phép tính vi tích phân vào ngành phải trình độ xét mơ hình có tính liên tục ngành (c) Tốn học có chức nghiên cứu chung quan hệ số lượng, hình dạng, cấu trúc phương pháp suy luận logic Việc áp dụng hiểu biết chung vào lĩnh vực thực tế cụ thể thường công việc chuyên gia lĩnh vực Vì sinh viên ngành khoa học kỹ thuật nên học tốt môn tốn vi tích phân để ứng dụng chúng vào ngành học mơn chun ngành nâng cao sau Chương Số thực Hàm số thực 1.1 1.1.1 Số thực Tập hợp ánh xạ Trong toán học đương đại tập hợp coi khái niệm ban đầu, từ dùng số qui tắc suy luận định người ta xây dựng kết Như khơng định nghĩa tập hợp Có thể hình dung tập hợp ghép nhóm đối tượng có tính chất chung Các đối tượng gọi phần tử tập hợp xét Nếu x phần tử tập hợp A, ta kí hiệu x ∈ A đọc “x thuộc A” Nếu x không phần tử tập hợp A ta kí hiệu x ∈ / A đọc “x không thuộc A” Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, kí hiệu ∅ Để mơ tả tập hợp người ta thường dùng hai cách sau: (a) Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ tập hợp A chứa phần tử x, y, z t ta viết A = {x, y, z, t} Hay tập hợp B gồm ngày tuần viết B = {thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật} Cách thường dùng để mô tả tập hợp có phần tử (b) Chỉ tính chất mà phần tử tập hợp có phần tử có Giả sử A tập hợp phần tử có tính chất P, ta viết A = {x | P} Ví dụ tập hợp C gồm sinh viên năm nam viết là: C = {sinh viên năm | sinh viên nam} Phương pháp thường dùng để mô tả tập hợp có nhiều phần tử Để biểu diễn tập hợp cách trực quan ta dùng biểu đồ Hình 1.1.1 Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập B kí hiệu A ⊂ B Ví dụ 1.1.1 Cho A = {x, y, z} B = {x, y, z, t} A ⊂ B Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại, phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A ta nói A B hay trùng nhau, kí hiệu A = B CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ THỰC Hình 1.1.1: Biểu đồ biểu diễn tập hợp chứa phần tử Các phép toán tập hợp Hợp hay hội hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử A tất phần tử B, kí hiệu A ∪ B Vậy x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.2 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∪ B = {a, b, c, x, y, z} Giao hai tập A B tập hợp gồm tất phần tử A mà phần tử B, kí hiệu A ∩ B Vậy x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.3 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∩ B = {a, x} Hiệu tập A tập B tập gồm tất phần tử A mà khơng thuộc B, kí hiệu A \ B Vậy x ∈ A \ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ / B) Ví dụ 1.1.4 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A \ B = {b, z} Nếu A ⊂ E E \ A gọi phần bù A E Ví dụ 1.1.5 Cho A = {a, b, x, z} E = {a, b, c, x, y, z} E \ A = {c, y} Tích tập hợp A với tập hợp B tập hợp gồm tất cặp có thứ tự (x, y) với x ∈ A y ∈ B, kí hiệu A × B Vậy (x, y) ∈ A × B ⇐⇒ (x ∈ A y ∈ B) Ví dụ 1.1.6 Cho A = {a, b} B = {x, y} A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} Ánh xạ Ta hình dung ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y Y Người ta thường ký hiệu f : X → Y , x → y = f (x) Tập X gọi tập hợp nguồn, hay miền xác định ánh xạ, tập Y gọi tập hợp đích ánh xạ Phần tử y gọi ảnh x phần tử x gọi tiền ảnh y Cho A tập X, tập hợp tất ảnh phần tử A qua ánh xạ f gọi ảnh A qua f , tập f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} Ảnh miền xác định X gọi miền giá trị ánh xạ f ký hiệu f (X) Cho B tập Y , ta gọi tập hợp tiền ảnh phần tử B qua ánh xạ f tiền ảnh B qua f xác định f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} Một ánh xạ đơn ánh hai phần tử khác có hai ảnh khác Bằng kí hiệu, điều viết với x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) 1.1 SỐ THỰC Một ánh xạ tồn ánh phần tử tập đích ảnh, tức phần tử tập đích có tiền ảnh Bằng kí hiệu, điều viết với y ∈ Y tồn x ∈ X cho y = f (x); hay nói cách khác, f (X) = Y Một ánh xạ song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh Hình 1.1.2: Biểu đồ minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh Giả sử f : X → Y song ánh với y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho f (x) = y Khi ánh xạ g : Y → X xác định g(y) = x ⇐⇒ y = f (x) gọi ánh xạ ngược f , thường kí hiệu f −1 Xem Hình 1.1.3 Hình 1.1.3: Biểu đồ minh họa ánh xạ ngược Ví dụ 1.1.7 Cho f : R → R xác định f (x) = 2x + Đặt y = f (x) = 2x + 1, x = (y − 1)/2 Vậy f song ánh với ánh xạ ngược f −1 (y) = (y − 1)/2 1.1.2 CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ THỰC Vài quy tắc suy luận toán học Toán học phát triển cách xuất phát từ số nhỏ khái niệm tiên đề thừa nhận suy diễn theo số nhỏ quy tắc kết Điều khiến cho lý luận kết tốn học có tính chặt chẽ xác cao so với số lĩnh vực hoạt động khác người Mệnh đề toán học Các kết tốn học trình bày mệnh đề Mỗi mệnh đề tốn học có hai giá trị: sai Vì tốn học khơng chấp nhận mâu thuẫn: khơng thể có mệnh đề vừa vừa sai Với mệnh đề A mệnh đề A sai gọi mệnh đề phủ định mệnh đề A, thường kí hiệu A Ví dụ 1.1.8 Phủ định mệnh đề x ∈ A mệnh đề x ∈ / A Với hai mệnh đề A B, mệnh đề “A hay B” có hai mệnh đề A B Phủ định “A hay B” “không A không B”, nghĩa khơng có điều A B xảy Mệnh đề “A B” hai A B Phủ định của mệnh đề “không A hay khơng B”, nghĩa hai điều A hay B không xảy Giả sử phần tử x thuộc tập D tương ứng với mệnh đề T (x) Mệnh đề ∃x ∈ D, T (x) nghĩa tồn phần tử x thuộc D mà mệnh đề T (x) Phủ định mệnh đề ∀x ∈ D, T (x), nghĩa với phần tử x thuộc D mệnh đề T (x) sai Mệnh đề ∀x ∈ D, T (x) nghĩa với phần tử x thuộc D mệnh đề T (x) Phủ định mệnh đề ∃x ∈ D, T (x), nghĩa có phần tử x thuộc D mà mệnh đề T (x) sai Suy diễn chứng minh Mệnh đề A ⇒ B đọc “A dẫn tới B” hay “A suy B” A B đúng, A sai Mệnh đề sai A B sai Như xuất phát từ giả thiết đúng, qua suy luận đúng, ta phải kết luận Xuất phát từ giả thiết sai cho dù suy luận ta thu kết luận sai Phủ định “A dẫn tới B” “A B”, nghĩa có A khơng có B Lưu ý mệnh đề A ⇒ B không tính sai với mệnh đề đảo mệnh đề B ⇒ A, mà tính sai với với mệnh đề phản đảo mệnh đề B ⇒ A (nếu khơng có B khơng có A) Một chứng minh tốn học việc khẳng định mệnh đề toán học A cách dãy suy luận từ mệnh đề khác biết tới A Để chứng minh mệnh đề ∀x ∈ D, T (x) ta phải với tất x ∈ D mệnh đề T (x) Ngược lại, cần tồn x ∈ D mà mệnh đề T (x) sai (một phản ví dụ) mệnh đề ∀x ∈ D, T (x) sai Ta thấy thuật ngữ “chứng minh” tốn học địi hỏi ta khơng thể khẳng định điều chưa kiểm tra tất trường hợp xảy 6.3 CHUỖI HÀM 133 ∞ n=1 n 6.2.5 Dưới cách khác để thấy phân kì chuỗi điều hịa ∞ 1 =1 + + n n=1 1 + + 1 1 + + + Ta viết + ··· 1 1 + + ··· + n + 2n−1 + 2n−1 + 2 − 2n 1 1 1 >1 + + + + + + + + ··· 4 8 8 1 1 + n + ··· + n + n + ··· + 2n 2 + + ··· Giải thích tính tốn dẫn tới kết luận chuỗi điều hòa phân kì 6.2.6 * (a) Năm 1910 Srinivasa Ramanujan cho cơng thức sau cho π: √ 2 = π 9801 ∞ k=0 (4k)!(1103 + 26390k) (k!)4 3964k (6.2.1) Chứng tỏ chuỗi vế phải (6.2.1) hội tụ (b) Một phương pháp nhanh để tính π máy tính dùng cơng thức ∞ (−1)k (6k)!(13591409 + 545140134k) = 12 (6.2.2) π (3k)!(k!)3 6403203k+3/2 k=0 Chứng tỏ chuỗi vế phải công thức (6.2.2) hội tụ (c) Hãy thử viết chạy đoạn lệnh máy tính để tính π công thức 6.3 Chuỗi hàm Ở phần ta phát triển khái niệm tổng dãy số (chuỗi số) thành khái niệm tổng dãy hàm số (chuỗi hàm) Giả sử ta có dãy (un )n∈Z+ hàm số thực có miền xác định Với x miền xác định ta có dãy số thực tương ứng (un (x))n∈Z+ , có chuỗi số thực tương ứng ∞ n=1 un (x) Nếu với x chuỗi số x hội tụ số thực, ta nói tới hàm số thực mà giá trị x ∞ n=1 un (x) viết ∞ u1 + u2 + · · · + un + · · · = un n=1 Vậy ∞ ∞ un (x) = (u1 + u2 + · · · )(x) = u1 (x) + u2 (x) + · · · = n=1 un (x) n=1 Vậy chuỗi hàm dãy tổng riêng phần dãy hàm Giá trị chuỗi hàm điểm chuỗi số Ví dụ 6.3.1 Xét chuỗi hàm + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · 134 CHƯƠNG CHUỖI với biến x ∈ R Với x chuỗi số hình học Ta biết chuỗi số hội tụ |x| < giới hạn 1−x (xem Ví dụ 6.2.7) Chẳng hạn giá trị chuỗi hàm 1 1 x = + + + + · · · = Vậy miền xác định chuỗi hàm khoảng (−1, 1), ta hiểu chuỗi hàm hội tụ hàm số thực x → 1−x : + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · = 6.3.1 1−x Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Định lý 6.3.2 Nếu hàm f có đạo hàm đến cấp n + khoảng mở chứa a x có cơng thức Taylor: f (a) f (n) (a) f (n+1) (θ) (x − a)2 + · · · + (x − a)n + (x − a)n+1 2! n! (n + 1)! (6.3.1) θ số thực a x Trong trường hợp riêng a = cơng thức Taylor thường gọi công thức Maclaurin: f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + f (x) = f (0) + f (0) f (0) f (0) f (n) (0) n f (n+1) (θ) n+1 x+ x + x ··· + x + x 1! 2! 3! n! (n + 1)! (6.3.2) với θ số thực x Với n = 0, cơng thức Taylor cơng thức Định lý giá trị trung bình Lagrange 4.1.10 Với n = 1, công thức Taylor cho xấp xỉ tuyến tính (4.2.3) f (x) − f (a) ≈ f (a)(x − a) cịn cho cơng thức xác cho sai số xấp xỉ Đặt Pn (x) = f (a) + f (a)(x − a) + f (θ) 2! (x − a)2 f (a) f (n) (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n 2! n! đa thức bậc n xấp xỉ hàm f Định lý 6.3.1 khẳng định phần dư hay sai số phép xấp xỉ Rn (x) = f (x) − Pn (x) = f (n+1) (θ) (x − a)n+1 (n + 1)! Đây thường gọi phần dư dạng Lagrange Phần dư Rn (x) hiểu Rn (x) = o((x − a)n ) với kí hiệu o((x − a)n ) dùng để “vô bé” cấp cao (x − a)n , n) nghĩa limx→a o((x−a) (x−a)n = Chuỗi f (a) f (a) f (a) f (a) + (x − a) + (x − a)2 + (x − a)3 + · · · = 1! 2! 3! ∞ n=0 f (n) (a) (x − a)n n! (6.3.3) 6.3 CHUỖI HÀM 135 gọi chuỗi Taylor cho hàm f a (hay quanh a, hay tâm a) Trường hợp đặc biệt a = chuỗi Taylor trở thành chuỗi Maclaurin: f (0) + f (0) f (0) f (0) x+ x + x + ··· = 1! 2! 3! ∞ n=0 f (n) (0) n x n! (6.3.4) Viết công thức Taylor hàm thường gọi viết khai triển Taylor hàm Cơng thức Taylor cho phép ta thay việc xét hàm phức tạp việc xét hàm đa thức, thường đơn giản nhiều Chứng minh Định lý 6.3.1 Ta chứng minh qui nạp toán học Khi n = 0, cơng thức Taylor cơng thức Định lý giá trị trung bình Lagrange, nói Giả sử công thức Taylor với n = k − 1, nghĩa với hàm f có đạo hàm tới cấp k − tồn θ khoảng a x để phần dư Rk−1 (x) hàm f , mà phần kí hiệu Rk−1 (x, f ) cho rõ hơn, cho Rk−1 (x, f ) = f (k) (θ) (x − a)k k! Ta xét n = k Theo công thức Cauchy giá trị trung bình (4.1.1), tồn c khoảng a x để Rk (c, f ) Rk (x, f ) − Rk (a, f ) Rk (x, f ) = = k+1 k+1 k+1 (x − a) (x − a) − (a − a) (k + 1)(c − a)k (6.3.5) Ta thu tính tốn trực tiếp: Rk (x, f ) = f (x) − [f (a) + f (a)(x − a) + · · · + f (k) (a) (x − a)k−1 ] = Rk−1 (x, f ) (k − 1)! Áp dụng giả thiết qui nạp cho hàm f , tồn θ a c cho Rk (c, f ) = Rk−1 (c, f ) = f (k) (θ) k! (c − a)k Thay vào (6.3.5) ta thu Rk (x, f ) = f (k+1) (θ) (x − a)k+1 (k + 1)! Vậy công thức phần dư n = k Ví dụ 6.3.3 Tìm khai triển Maclaurin hàm số f (x) = Dùng qui nạp toán học ta tìm f (n) (x) = (1 + x)−1 (n) = (−1)n 1+x n! , (1 + x)n+1 f (0) = 1, f (0) = −1, , f (n) (0) = (−1)n n! Khai triển Maclaurin f 1 = − x + x2 − · · · + (−1)n xn + (−1)n+1 xn+1 1+x (1 + θ)n+1 n (−1)i xi = i=0 + (−1)n+1 xn+1 , (1 + θ)n+1 với θ số thực nằm x Hình 6.3.1 Hình 6.3.2 minh họa kết xấp xỉ đa thức Pn (x) = ni=0 (−1)i xi 136 CHƯƠNG CHUỖI Hình 6.3.1: Hàm số f (x) = Hình 6.3.2: Hàm số f (x) = 1+x 1+x xấp xỉ tuyến tính P1 x = đa thức xấp xỉ Pn x = với vài giá trị n Ví dụ 6.3.4 Tìm khai triển Maclaurin hàm số f (x) = ex Ta có (ex )(n) = ex , f (0) = 1, f (0) = 1, , f (n) (0) = Khai triển Maclaurin f ex = + x x2 xn eθ + + ··· + + xn+1 , 1! 2! n! (n + 1)! với θ số thực nằm x Xem minh họa Hình 6.3.3 eθ Ta xa Với x ∈ R ta có đánh giá phần dư Rn (x) = (n+1)! xn+1 : |Rn (x)| = Vì eθ e|x| xn+1 < |x|n+1 (n + 1)! (n + 1)! xn =0 n→∞ n! lim (Mệnh đề 6.1.8) nên theo Định lý kẹp limn→∞ Rn (x) = Điều có nghĩa chuỗi Maclaurin ex hội tụ ex với x Vậy ta có cơng thức ex = + x x2 xn + + + + ··· , 1! 2! n! ∀x ∈ R Ví dụ 6.3.5 Bằng phương pháp ví dụ ta kiểm tra hội tụ khai triển Taylor số hàm thường gặp sau (được để Bài tập 6.3.3): 6.3 CHUỖI HÀM 137 Hình 6.3.3: Vẽ đồ thị hàm số ex xấp xỉ phần mềm máy tính (a) Với x ∈ R sin x = x − x2n−1 x3 x5 + − · · · + (−1)n−1 + ··· 3! 5! (2n − 1)! (b) Với x ∈ R x2 x4 x2n + − · · · + (−1)n + ··· 2! 4! (2n)! cos x = − Ta dùng khai triển Taylor Maclaurin để tính xấp xỉ giá trị số f (x) sau chọn n đủ lớn để phần dư Rn (x) có trị tuyệt đối khơng vượt q sai số cho phép Ví dụ 6.3.6 Tính e xác đến 0,00001 Dùng khai triển Maclaurin hàm số ex ta ex = + x + x2 x3 x4 xn xn+1 θ + + + ··· + + e 2! 3! 4! n! (n + 1)! với θ x Lấy x = ta e=1+ 1 1 + + + ··· + + eθ 1! 2! 3! n! (n + 1)! với θ Ta cần đảm bảo giá trị tuyệt đối sai số 0,00001 cách lấy n đủ lớn Vì < cho e (n+1)! < 10−5 hay (n + 1)! > e · e≈1+ θ (n+1)! e 105 < e (n+1)! θ (n+1)! e không vượt nên ta cần chọn n đủ lớn Ta chọn n = thu 1 1 + + + + · · · + = 2,71828 1! 2! 3! 4! 8! Ví dụ 6.3.7 Tính sin 20◦ xác đến 0,0001 138 CHƯƠNG CHUỖI Chú ý sin 20◦ = sin π9 Dùng khai triển Maclaurin hàm sin, lấy x = π9 , chọn n = 3, ta đánh giá phần dư Lagrange π < 0,0001 |R3 (x)| ≤ 5! Vậy sin 20◦ ≈ π − 3! π ≈ 0,34197 Sau ví dụ khai triển Taylor điểm khác Ví dụ 6.3.8 Viết cơng thức Taylor hàm f (x) = ex quanh điểm a = đến cấp n Ta có f (n) (2) = e2 Vậy ex = e2 + e2 (x − 2) + e2 e2 eθ (x − 2)2 + · · · + (x − 2)n + (x − 2)n+1 2! n! (n + 1)! với θ nằm x Mặt khác ta thu công thức từ khai triển Maclaurin ex biết: 1 eθ ex = e2 ex−2 = e2 + (x − 2) + (x − 2)2 + · · · + (x − 2)n + (x − 2)n+1 2! n! (n + 1)! e2 e2 e2+θ = e2 + e2 (x − 2) + (x − 2)2 + · · · + (x − 2)n + (x − 2)n+1 2! n! (n + 1)! với θ nằm x − Ví dụ 6.3.9 Để đảm bảo công thức xấp xỉ sin x ≈ x − x6 có sai số khơng q 0,0001 lấy x có giá trị khoảng nào? Cơng thức Maclaurin cho hàm sin tới bậc có sai số sin(4) (θ) x 4! Sai số có độ lớn khơng q 0,0001, ta đảm bảo lấy |x| ≤ 0,1 6.3.2 |x|4 4! |x|4 4! Để đảm bảo sai số công thức xấp xỉ không √ ≤ 0,0001 đủ Vậy ta lấy |x| ≤ 24 · 10−1 , hay đơn giản Chuỗi lũy thừa Ở phần ta thảo luận dạng chung chuỗi hàm mà chuỗi Taylor trường hợp riêng, gọi chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa chuỗi mà số hạng hàm lũy thừa, có dạng ∞ Cn x n = C0 + C1 x + C2 x + C3 x + · · · (6.3.6) n=0 x biến số số Cn gọi hệ số chuỗi Với x cho trước, chuỗi (6.3.6) chuỗi số Một chuỗi lũy thừa hội tụ với giá trị x phân kỳ với giá trị khác x Tổng chuỗi hàm f (x) = C0 + C1 x + C2 x2 + C3 x3 + · · · + Cn xn + · · · có miền xác định tập hợp tất giá trị x chuỗi số hội tụ Ta thấy tổng chuỗi giống đa thức, có vơ hạn số hạng Tổng quát hơn, chuỗi có dạng ∞ Cn (x − a)n = C0 + C1 (x − a) + C2 (x − a)2 + · · · n=0 gọi chuỗi lũy thừa tâm a, hay chuỗi lũy thừa xung quanh a (6.3.7) 6.3 CHUỖI HÀM 139 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa Chú ý phương trình (6.3.7) x = a tất số hạng với n ≥ 0, chuỗi (6.3.7) ln hội tụ x = a n Ví dụ 6.3.10 Với giá trị x chuỗi ∞ n=0 n!x hội tụ? n Từ Mệnh đề 6.1.8 x = số hạng n!x tiến vô Suy chuỗi phân kỳ x = hội tụ x = ∞ Định lý 6.3.11 (a) Nếu chuỗi lũy thừa Cn (x − a)n hội tụ x = x0 hội tụ n=0 điểm x thỏa mãn |x − a| < |x0 − a| ∞ (b) Nếu chuỗi lũy thừa Cn xn phân kì x = x1 phân kì điểm x thỏa n=0 mãn |x − a| > |x1 − a| n n Chứng minh (a) Vì chuỗi ∞ n=0 Cn (x0 − a) hội tụ nên limn→∞ Cn (x0 − a) = Giả sử x0 − a = 0, với n đủ lớn ta có |Cn (x − a)n | = |Cn (x0 − a)n | (x − a)n (x − a)n x−a n < = (x0 − a)n (x0 − a)n x0 − a Kết luận có từ Tiêu chuẩn so sánh chuỗi số, áp dụng vào so sánh chuỗi số n x−a cho với chuỗi hình học ∞ n=0 x0 −a n (b) Giả sử ngược lại, ∞ n=0 Cn (x − a) hội tụ, theo phần (a), a)n phải hội tụ, mâu thuẫn ∞ n n=0 Cn (x − a) Do định lý với chuỗi lũy thừa sau xảy ra: ∞ n=0 Cn (x1 − có ba khả (i) Chuỗi hội tụ x = a (ii) Chuỗi hội tụ với x (iii) Có số thực dương R cho chuỗi hội tụ |x − a| < R phân kỳ |x − a| > R Số thực R trường hợp (iii) gọi bán kính hội tụ chuỗi Ta qui ước bán kính hội tụ trường hợp (i) R = trường hợp (ii) R = ∞ Khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa khoảng chứa tất giá trị x mà chuỗi hội tụ Trong trường hợp (i) khoảng hội tụ chứa điểm a Trong trường hợp (ii) khoảng hội tụ (−∞, ∞) Trong trường hợp (iii), hai điểm đầu mút a − R a + R chuỗi hội tụ phân kỳ, khoảng hội tụ chuỗi (a − R, a + R), (a − R, a + R], [a − R, a + R), [a − R, a + R], ta phải xét cụ thể hai đầu mút kết luận Từ Tiêu chuẩn tỉ số Tiêu chuẩn thức cho hội tụ chuỗi số, ta có ngay: Định lý 6.3.12 (Qui tắc tìm bán kính hội tụ) Nếu lim ρ bán kính hội tụ chuỗi ∞ n=0 Cn (x 1  ρ R=   ∞ n→∞ − a)n < ρ < ∞, ρ = ∞, ρ = Cn+1 Cn = ρ hay lim n→∞ n |Cn | = 140 CHƯƠNG CHUỖI Ví dụ 6.3.13 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi ∞ n=1 xn n Ta có n lim n→∞ |xn | = |x| n Theo Tiêu chuẩn thức cho chuỗi số, |x| < chuỗi hội tụ, |x| > chuỗi phân kì Vậy bán kính hội tụ Ở phần chuỗi số ta biết chuỗi với x = −1 hội tụ, chuỗi với x = chuỗi điều hòa, phân kì Vậy khoảng hội tụ chuỗi [−1, 1) Ví dụ 6.3.14 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi ∞ n=0 n(x + 2)n 3n+1 Đặt an = n(x + 2)n /3n+1 an+1 an = = 3n+1 (n + 1)(x + 2)n+1 · 3n+2 n(x + 2)n |x + 2| |x + 2| → n → ∞ 1+ n 3 Theo Tiêu chuẩn tỷ số chuỗi số ta thấy chuỗi cho hội tụ |x + 2|/3 < phân kỳ |x + 2|/3 > Do chuỗi hội tụ |x + 2| < phân kỳ |x + 2| > 3, bán kính hội tụ R = Ta xét hai đầu mút khoảng hội tụ |x + 2| < Khi x = −5 chuỗi trở thành ∞ n=0 n(−3)n = n+1 3 ∞ (−1)n n n=0 phân kỳ (−1)n n không hội tụ Khi x = chuỗi trở thành ∞ n=0 n(3)n = 3n+1 ∞ n n=0 phân kỳ với lí Vậy chuỗi cho hội tụ −5 < x < 1, khoảng hội tụ (−5, 1) Ví dụ 6.3.15 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi ∞ n=1 (x − 6)n nn Sử dụng Tiêu chuẩn thức ta có: (x − 6)n lim n→∞ nn n = lim n→∞ x−6 = n Theo Tiêu chuẩn thức, chuỗi cho luôn hội tụ, bán kính hội tụ R = ∞, khoảng hội tụ −∞ < x < ∞ 6.3 CHUỖI HÀM 6.3.3 141 * Chuỗi Fourier Khác với việc xấp xỉ hàm đa thức để thu chuỗi lũy thừa, phần ta xấp xỉ hàm hàm lượng giác Phương pháp xấp xỉ phù hợp cho hàm tuần hoàn Ta nhắc lại khái niệm hàm tuần hoàn Hàm f xác định miền D, gọi hàm tuần hoàn tồn số dương T thỏa f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ D Hằng số T > nhỏ thỏa tính chất gọi chu kì tuần hồn hàm f Như ta biết, hàm sin(x), cos(x) hàm tuần hồn có chu kì 2π Định nghĩa 6.3.16 Cho hàm f hàm tuần hồn có chu kì 2π, chuỗi hàm a0 + ∞ với an = bn = (6.3.8) an cos(nx) + bn sin(nx) n=1 π π f (x) cos(nx)dx, n≥0 f (x) sin(nx)dx, n≥1 −π π π −π gọi chuỗi Fourier hàm f Trong trường hợp tổng quát, cho hàm f với chu kì T , chuỗi hàm a0 + ∞ an cos n=1 2πn x + bn sin T 2πn x T (6.3.9) với hệ số an = T bn = T T −T T −T f (x) cos 2πn x dx, T n≥0 f (x) sin 2πn x dx, T n≥1 gọi chuỗi Fourier f Chuỗi Fourier cho phép xấp xỉ hàm tuần hoàn phức tạp hàm lượng giác đơn giản Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng vào kĩ thuật, xử lí tín hiệu Ví dụ 6.3.17 Tìm chuỗi Fourier hàm số sau: − π ≤ x < ≤ x < π, f (x) = f (x + 2π) = f (x) Hàm f hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π Sử dụng cơng thức tính hệ số Fourier, ta có a0 = π π f (x)dx = −π 2π 0dx + −π 2π π 1dx = , 142 CHƯƠNG CHUỖI x fun2 -1 x Hình 6.3.4: Hàm f (x) = x, x ∈ [0, 2π], tổng phần tử đầu chuỗi Fourier hàm với n ≥ 1, an = bn = π π π f (x) cos(nx)dx = −π π π f (x) sin(nx)dx = −π π =− cos(nx) π x = n chẵn nπ n lẻ =− π 0dx + −π 0dx + −π π π cos(nx)dx = −π sin(nx)dx −π (cos(nπ) − cos(0)) nπ Vậy chuỗi Fourier f + ∞ b2k−1 sin(2k − 1)x = k=1 + ∞ k=1 sin(2k − 1)x (2k − 1)π Bài tập √ 6.3.1 Hãy tìm xấp xỉ bình phương (nghĩa n = khai triển Taylor) hàm số + x2 x = √ 6.3.2 Hãy tìm xấp xỉ lập phương (nghĩa n = khai triển Taylor) hàm số sin x + x2 x = 6.3.3 Hãy kiểm tra khai triển thường gặp Ví dụ 6.3.5 6.3.4 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau (a) f (x) = sin πx (b) f (x) = e−2x 6.3.5 Tìm khai triển Taylor hàm số sau điểm a tương ứng (a) f (x) = ln x, a = 6.3 CHUỖI HÀM 143 (b) f (x) = 1/x, a = −3 (c) f (x) = e2x , a = (d) f (x) = sin x, a = π/2 (e) f (x) = cos x, a = π √ (f) f (x) = x, a = 16 6.3.6 Chứng tỏ khai triển Taylor ln x ∞ (x − 1) (x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)n − + − ··· = (−1)n+1 n n=1 với < x < Hãy vẽ đồ thị hàm ln đồ thị tổng số hạng đầu khai triển Taylor mặt phẳng tọa độ nhận xét 6.3.7 Công thức gần e≈2+ 1 1 86 + + + =2+ 2! 3! 4! 5! 120 có sai số tối đa bao nhiêu? 6.3.8 Dùng xấp xỉ sin x ≈ x − x3 để tính sin(0,1) Hãy ước lượng sai số 6.3.9 Hãy tính gần giá trị cos 91◦ khai triển Taylor cấp 6.3.10 Hãy tính gần giá trị cos 61◦ , với sai số so với giá trị xác không vượt 10−6 √ 6.3.11 Cho hàm số f (x) = x5 + (a) Viết khai triển Taylor hàm số f tới cấp quanh điểm x = (b) Áp dụng, tính gần số 2,0015 + 6.3.12 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi hàm: (a) (d) ∞ ∞ 2n xn n3 + n=0 (−1)n n=1 (b) 2n n x n! (e) ∞ ∞ 2n2 + n − n x 3n + n=0 (x − 4)n nn n=3 (c) (f) ∞ ∞ (x + 2)n n3n n=1 nx2n n=0 6.3.13 Chuỗi ∞ (−1)n n=1 n(n + 1) (3x + 6)n chuỗi lũy thừa xung quanh điểm nào? Hãy tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 6.3.14 Tìm chuỗi Fourier hàm: (a) f (x) = x, x ∈ [0, 2π] (b) f (x) = 0, −π < x < 0, x, ≤ x < π 144  π  0, ≤ x < , π (c) f (x) = 1, ≤ x ≤ 3π ,   3π 0, < x ≤ 2π   ≤ x < π2 , x, 3π π (d) f (x) = π − x, ≤x≤ ,   3π x − 2π, < x ≤ 2π CHƯƠNG CHUỖI Tài liệu tham khảo [Apo67] Tom Apostol, Calculus, 2nd ed., John Wiley and Sons, 1967 [Bmgt2] Bộ mơn Giải tích, Giáo trình Phép tính vi tích phân 2, Khoa Toán– Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich [Duc06] Dương Minh Đức, Giáo trình Tốn Giải Tích (Tốn vi tích phân A1), NXB Thống kê, Tp Hồ Chí Minh, 2006 [Fic77] G M Fichtengơn, Cơ sở Giải tích tốn học, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1977 [GeoG] GeoGebra, có phiên web, máy tính, điện thoại: https://www.geogebra.org, phần mềm miễn phí, dễ dùng [Kha15] Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, Toán cao cấp, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2015 [Kha96] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, tập 1, Nhà Xuất Bản Giáo dục, 1996 [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997 [Maxi] Maxima, có http://maxima.sourceforge.net, phần mềm mã nguồn mở, kích thước nhỏ [Pis69] N Piskunov, Differential and Integral Calculus, Mir, 1969 [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 [SGKTH] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách giáo khoa môn Đại số, Giải tích, Hình học lớp 10, 11, 12, Nhà xuất Giáo dục, 2019 [Spi94] Michael Spivak, Calculus, 3rd ed., Publish or Perish, 1994 [Ste16] James Stewart, Calculus, Brooks-Cole, 8th ed., 2012 Có dịch tiếng Việt cho lần xuất thứ 7, Nhà xuất Hồng Đức 2016 [TPTT02] Đinh Ngọc Thanh, Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đặng Đức Trọng, Giải tích hàm biến, Nhà Xuất Bản Giáo dục, 2002 [Tri07] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, NXB Giáo dục, 2007 [Wolf] Wolfram Alpha, Giao diện web miễn phí https://www.wolframalpha.com [Zor04] Vladimir A Zorich, Mathematical Analysis I, Springer, 2004 145 Chỉ mục inf, ln, 20 sup, e, 19 biên dưới, biên trên, toán tối ưu hố, 61 bán kính hội tụ, 139 bị chặn bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn, giới nội, chi phí cận biên, 74 chuỗi phân kỳ, 122 tổng, 122 chuỗi Fourier, 141 chuỗi hàm, 133 chuỗi hình học, 123 chuỗi lũy thừa, 138 chuỗi Maclaurin, 135 chuỗi số, 122 chuỗi số dương, 125 chuỗi Taylor, 135 chuỗi đan dấu, 129 chuỗi điều hòa, 125 chặn chặn dưới, chặn trên, công lực, 113 công thức Maclaurin, 134 Công thức Newton–Leibniz, 92 Công thức Taylor phần dư, 134 sai số, 134 công thức Taylor, 134 công thức đổi biến, 95 cận dưới, cận trên, cực trị, 61 dãy bị chặn, 10 giới hạn, 11 giới nội, 10 hội tụ, 11 phân kỳ, 11 tiến về, 11 tập giá trị, 10 dãy con, 119 dãy giảm, 10 dãy tăng, 10 dãy đơn điệu, 10 dạng vô định, 75 giá trị cực tiểu tương đối, 61 giá trị cực tiểu địa phương, 61 giá trị cực tiểu toàn cục, 61 giá trị cực tiểu tuyệt đối, 61 giá trị cực đại toàn cục, 61 giá trị cực đại tuyệt đối, 61 giá trị cực đại tương đối, 61 giá trị cực đại địa phương, 61 giá trị lớn nhất, 61 gián đoạn, 39 giới hạn bên phải, 33 giới hạn bên trái, 33 giới hạn hàm số, 28 giới nội, hàm hàm hàm hàm hàm hàm hàm hàm hàm hàm 146 giảm, 68 giảm ngặt, 68 hiện, 57 hợp, 21 lõm, 71 lồi, 70 mật độ, 113 số, 16 số sơ cấp, 21 số tuyến tính, 16 CHỈ MỤC hàm trơn, 69 Hàm tuần hoàn, 141 hàm tăng, 68 hàm tăng ngặt, 68 hàm ẩn, 57 hệ số góc, 16 hệ số góc tiếp tuyến, 47 hội tụ tuyệt đối, 130 khoảng hội tụ, 139 khả tích, 88 khả vi, 46 liên tục, 38 lãi nhập vốn, 20 lãi nhập vốn liên tục, 79 miền xác định, mệnh đề phản đảo, mệnh đề đảo, nguyên hàm, 89 nguyên lí qui nạp toán học, nhỏ nhất, 61 phân kỳ vô cực, 12 phép qui nạp, phép thế, 94 phép đổi biến, 94 phương pháp thế, 94 phương pháp đổi biến, 94 phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, Qui tắc hình thang, 102 Qui tắc Simpson, 103 Qui tắc điểm giữa, 102 Quy tắc mắc xích, 53 song song, 17 tích chập, 109 tích phân, 88 tích phân bất định, 90 tập hợp giao, hiệu, hợp, miền giá trị, phần bù, tích, tập hợp rỗng, tổng Riemann, 87 tổng riêng, 122 147 vô cùng, 12, 34 vô cực, 12, 34 vô hạn, 7, 12, 34 vận tốc, 47 ánh xạ, toàn ánh, ánh xạ ngược, đơn ánh, Định lý Cơ Phép tính vi tích phân, 91 Định lý Fermat, 62 Định lý giá trị trung bình Cauchy, 66 Định lý giá trị trung gian, 42 Định lý kẹp, 14 Định Lý Rolle, 65 điểm cực trị, 61 điểm dừng, 63 điểm giới hạn, 28 điểm tới hạn, 63 điểm tụ, 28 điểm uốn, 72 đường thẳng, 16 đạo hàm, 46 đạo hàm hàm số ngược, 54 đồ thị, 16 độ nghiêng, 16 động năng, 113 ... 86 86 86 86 88 89 89 91 94 94 97 98 10 1 10 2 10 3 10 9 10 9 11 1 11 2 11 4 Chuỗi 6 .1 Tiếp theo Dãy số thực 6.2 Chuỗi số thực 6.2 .1 Sự hội tụ chuỗi số 6.2.2 Chuỗi... thực định Ta thấy điều từ tính tốn số lượng bảng đây: x 1, 5 1, 1 1, 01 1,0 01 mP Q 2,5 2 ,1 2, 01 2,0 01 x 0,5 0,9 0,99 0,999 mP Q 1, 5 1, 9 1, 99 1, 999 Bây ta đốn hệ số góc tiếp tuyến P 2, “giới hạn” hệ... Giới thiệu 1 Số thực Hàm số thực 1. 1 Số thực 1. 1 .1 Tập hợp ánh xạ 1. 1.2 Vài quy tắc suy luận toán học 1. 1.3 Tập hợp số thực 1. 1.4 Dãy số thực 1. 2 Hàm số