VI TÍCH PHÂN 2

Giáo trình Vi tích phân Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày 19 tháng năm 2020 Mục lục Giới thiệu 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích 1.1.2 Hình học Rn 1.1.3 Tập mở tập đóng Rn 1.2 Hàm số nhiều biến 1.2.1 Giới hạn hàm số 1.2.2 Hàm số liên tục 1.3 Đạo hàm hàm số 1.3.1 Đạo hàm riêng 1.3.2 Mặt phẳng tiếp xúc Xấp xỉ tuyến tính 1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao 1.4 Đạo hàm hàm vectơ 1.4.1 Đạo hàm hàm hợp 1.4.2 Đạo hàm theo hướng 1.4.3 Đạo hàm hàm ẩn 1.5 Cực trị hàm số nhiều biến 1.5.1 Cực trị khơng có ràng buộc 1.5.2 Cực trị có ràng buộc 1.5.3 Giá trị lớn nhỏ 3 12 14 15 17 20 20 21 23 26 29 31 33 39 40 47 49 Tích phân hàm nhiều biến 2.1 Định nghĩa tính chất tích phân bội 2.1.1 Tích phân hình hộp 2.1.2 Tích phân tập tổng quát 2.1.3 Thể tích 2.1.4 Tính chất tích phân 2.2 Công thức Fubini 2.2.1 Công thức Fubini cho miền phẳng 2.2.2 Công thức Fubini cho miền ba chiều 2.3 Công thức đổi biến 2.3.1 Tọa độ cực 2.3.2 Tọa độ cầu 2.3.3 Giải thích cơng thức đổi biến 2.4 Ứng dụng tích phân bội 2.4.1 Giá trị trung bình 2.4.2 Tâm khối lượng 54 54 55 57 58 60 62 65 66 70 72 74 76 81 81 81 ii MỤC LỤC 2.4.3 iii Xác suất kiện ngẫu nhiên 82 Giải tích vectơ 3.1 Tích phân đường 3.1.1 Chiều dài đường 3.1.2 Tích phân đường loại 3.1.3 Tích phân đường loại hai 3.1.4 Sự phụ thuộc vào đường 3.2 Công thức Newton–Leibniz Công thức Green 3.2.1 Trường bảo toàn 3.2.2 Công thức Green 3.2.3 Điều kiện để trường vectơ phẳng bảo tồn 3.3 Tích phân mặt 3.3.1 Diện tích mặt 3.3.2 Tích phân mặt loại 3.3.3 Tích phân mặt loại hai 3.3.4 Định hướng Sự phụ thuộc vào tham số hóa 3.4 Cơng thức Stokes Công thức Gauss–Ostrogradsky 3.4.1 Công thức Stokes 3.4.2 Công thức Gauss–Ostrogradsky 87 87 87 89 90 92 96 96 99 102 110 111 111 112 113 119 119 122 Phương trình vi phân 132 4.1 Phương trình vi phân mơ hình tốn học 132 4.1.1 Mơ hình với phương trình vi phân cấp 134 4.1.2 Mơ hình với phương trình vi phân cấp hai 135 4.2 Giải phương trình vi phân cấp 139 4.2.1 Phương trình vi phân cấp tách biến 139 4.2.2 Phương trình vi phân cấp đẳng cấp 142 4.2.3 Phương trình vi phân cấp tuyến tính 143 4.3 Giải phương trình vi phân cấp hai 150 4.3.1 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số 150 4.3.2 Phương trình cấp hai tuyến tính khơng hệ số 153 Tài liệu tham khảo 159 iv MỤC LỤC Giới thiệu Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối B C (các ngành ngồi tốn) Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn • Tham gia biên soạn: Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ • Tham gia đánh máy LaTeX: Hồ Thị Kim Vân • Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hồng Hải • Người biên tập nay: Huỳnh Quang Vũ Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn Tài liệu có trang web Bộ mơn Giải tích địa http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich Giáo trình tiếp tục xây dựng Người đọc vui lịng gởi góp ý cho người biên tập theo địa Mỗi mục tương ứng với khoảng buổi thảo luận lớp học Những phần có đánh dấu * phần bổ sung, mở rộng, nâng cao, không bắt buộc Đối tượng giáo trình Sinh viên ngành cơng nghệ thông tin, điện tử - viễn thông, hải dương, khoa học vật liệu, vật lý (mơn tốn B) địa chất, hóa học, mơi trường, sinh học, cơng nghệ sinh học, (mơn tốn C) Sinh viên ngành tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giáo trình Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng học phép tính vi phân phép tính tích phân hàm nhiều biến, với trình độ tương đồng với số giáo trình vi tích phân phổ biến quốc tế [Ste16], sát với chương trình đào tạo hành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mục tiêu gồm: trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả tư xác tính tốn định lượng, cung cấp cơng cụ tốn học cho ngành khoa học kỹ thuật Việc giảng dạy giảng viên lớp việc học tự học sinh viên không thiết theo hết nội dung giáo trình Để phục vụ nhiều đối tượng sinh viên, giáo trình chứa nhiều chứng minh xác cho mệnh đề, nhiều ví dụ tập từ dễ MỤC LỤC tới khó hơn, số phần mở rộng, nâng cao Mỗi giảng viên sinh viên chọn bỏ qua số nội dung, để phần lại để tự học thêm Mơn tốn C bỏ bớt số phần giáo trình giảm bớt mức độ chặt chẽ chi tiết lý luận Phương pháp dạy học Mục tiêu sư phạm nhấn mạnh: hiểu khái niệm, tăng cường lực tư lực tính tốn, tiếp xúc với số ứng dụng Việc giảng dạy học tập nhắm tới tiêu chí trên, khơng q tập trung tiêu chí mà bỏ qua tiêu chí nào: (a) Hiểu khái niệm, kết phương pháp chính; (b) Phát triển tư việc thảo luận số lý luận toán học chặt chẽ Các khái niệm khác giải thích mức độ định Bổ sung giải thích trực quan, định lượng miêu tả ý tưởng; (c) Tăng cường kỹ tính tốn, hướng dẫn sử dụng phần mềm tính tốn; (d) Giới thiệu số ví dụ ứng dụng cụ thể Về dạy học ứng dụng Giáo trình giới thiệu số ứng dụng vào ngành khoa học kỹ thuật có số tập ứng dụng đặt khung cảnh ứng dụng Chẳng hạn phần Giải tích vectơ thể đặc biệt rõ tiềm hữu ích cho ngành Vật lý Tuy nhiên người đọc nên lưu ý: (a) Hàm lượng ứng dụng thảo luận lớp bị hạn chế thời lượng dành cho mơn học, sinh viên cần dành thời gian tự học (b) Để ứng dụng tốn học vào ngành thường cần trình độ chun mơn tương đối cao ngành Chẳng hạn, muốn áp dụng phép tính vi tích phân hàm nhiều biến vào ngành người ta phải trình độ xét mơ hình nhiều biến có tính liên tục ngành (c) Tốn học có chức nghiên cứu chung quan hệ số lượng, hình dạng, cấu trúc phương pháp suy luận Việc áp dụng hiểu biết chung vào lĩnh vực thực tế cụ thể thường công việc chuyên gia lĩnh vực Vì sinh viên ngành khoa học kỹ thuật nên học tốt mơn tốn vi tích phân để ứng dụng chúng vào ngành học môn chuyên ngành nâng cao sau Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn Khoảng 300 năm trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Euclid viết sách “Cơ sở hình học”, tổng kết hiểu biết hình học đương thời Ngày hình học phẳng hình học khơng gian ba chiều mà Euclid trình bày với hệ thống tiên đề chứng minh suy diễn toán học học trường trung học phổ thông Phát triển từ hình học Euclid, chương xét không gian Euclide nchiều Nhưng phương pháp phương pháp Hình học Giải tích Descartes, theo điểm tương ứng với số, nhờ quan hệ hình học diễn tả quan hệ số lượng Cụ thể hơn, môn Vi tích phân hàm biến (xem [Bmgt1]), mơn Vi tích phân hàm nhiều biến đặt sở tập hợp số thực, dùng hình vẽ trực quan để dẫn dắt suy luận coi chặt chẽ nằm hệ thống suy luận từ tập hợp số thực quy tắc suy luận toán học Phát triển nhắm tới tương thích chứa trường hợp số chiều n = 1, n = 2, n = mà ta học trung học phổ thông, người học gặp khó khăn với trường hợp tổng qt trước tiên xét trường hợp này, nội dung mục có sách giáo khoa trung học phổ thông [SGKTH] Trên tinh thần đó, bắt đầu mơn học với định nghĩa cho khái niệm không gian, điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng, Với số nguyên dương n, tập hợp Rn tập hợp tất có thứ tự n số thực Vậy Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) | x1 , x2 , xn ∈ R} Số thực xi gọi thành phần hay tọa độ thứ i phần tử x 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích Khi tập hợp Rn trang bị phép tốn định gọi khơng gian vectơ, phần tử gọi vectơ Đôi khi, để nhấn mạnh việc nhìn phần tử x khía cạnh vectơ người ta dùng kí hiệu x hay x, đặc biệt n = 2, Các phép toán gồm phép tốn cộng phép tốn nhân, định nghĩa sau Phép cộng + hai vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) cho vectơ x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) từ vector tiếng Anh đoạn thẳng có hướng, hay đại lượng có hướng di chuyển CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Phép nhân vectơ x với số thực α cho vectơ α · x = (αx1 , αx2 , , αxn ) Hai phép toán + · có tính chất mà ta dễ dàng kiểm tra từ tính chất số thực: Mệnh đề 1.1.1 Với x, y ∈ Rn , với α, β ∈ R: (a) x + y = y + x, (b) (x + y) + z = x + (y + z), (c) với vectơ có tất thành phần 0, nghĩa = (0, 0, , 0) (thường gọi điểm gốc tọa độ thường kí hiệu chữ O ), x + = + x = x, (d) tồn vectơ đối −x = (−1) · x = (−x1 , −x2 , , −xn ) cho x + (−x) = 0, (e) · x = x, (f) α · (β · x) = (α · β) · x, (g) (α + β) · x = α · x + β · x, (h) α · (x + y) = α · x + α · y Về sau để kí hiệu đơn giản ta thường bỏ dấu chấm để kí hiệu phép nhân trên, ví dụ viết 2x thay · x z (x, y, z) O y x Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họa cho tọa độ điểm (x, y, z) R3 Những tính chất phù hợp với trường hợp riêng R, R2 , R3 biết Tuy có điểm khác biệt đáng ý trường hợp riêng này, vật lý, ta thường hình dung vectơ đoạn thẳng có hướng, xác định cặp có thứ tự hai điểm, điểm đầu điểm cuối; tức vectơ trước có gốc Cịn vectơ ta vừa định nghĩa trên, không kèm khái niệm gốc, trước có gọi “vectơ tự do” tiếng Anh “origin” nghĩa “gốc” 1.1 KHÔNG GIAN RN Khơng gian vectơ Rn có đặc biệt vectơ (e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1)) có tính chất dễ thấy với vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) Rn n x= xi e i i=1 Bộ gọi sở vectơ tắc Rn Ta nói n số chiều khơng gian vectơ Rn , Rn có sở vectơ gồm n phần tử, phần tử Rn nhận từ sở phép cộng vectơ phép nhân với số thực, Rn có n “chiều” độc lập, tự Mỗi vectơ có chiều dài, hay độ lớn, gọi chiều dài Euclid, kí hiệu |x|, gọi chuẩn vectơ (đặc biệt n > 3), kí hiệu x , cho x = |x| = x21 + x22 + · · · + x2n Trong trường hợp n = độ lớn giá trị tuyệt đối số thực Chiều dài vectơ có tính chất: Mệnh đề 1.1.2 Với x ∈ Rn , với α ∈ R thì: (a) x ≥ 0, (b) x = x = 0, (c) αx = |α| x , Hai phần tử x, y Rn lại có khoảng cách chúng, kí hiệu d(x, y), gọi khoảng cách Euclid, cho d(x, y) = y − x = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + · · · + (yn − xn )2 Trong trường hợp n = khoảng cách chiều dài thơng thường đoạn số thực Trong trường hợp n = n = khoảng cách từ x tới y chiều dài vectơ từ x tới y, xem Hình 1.1.2 1.1.3 Ta thấy d(x, y) = y − x , nghĩa khoảng cách từ điểm x tới điểm y chiều dài vectơ y − x Mặt khác, chiều dài vectơ x khoảng cách từ điểm tới điểm x Khoảng cách có tính chất sau: Mệnh đề 1.1.3 Với x, y ∈ Rn thì: (a) d(x, y) ≥ 0, (b) d(x, y) = x = y, (c) d(x, y) = d(y, x) Trên Rn ta cịn có tích vơ hướng hai vectơ, tổng qt hóa tích số thực tích vơ hướng R2 , R3 mà ta biết, gọi tích vơ hướng Euclid hay tích Euclid, cho x · y = x, y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Phép tốn tích vơ hướng có tính chất sau: CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN y y2 )2 (x y1 − + (y − )2 y1 x1 |y2 − y1 | |x2 − x1 | x1 x2 x Hình 1.1.2: Khoảng cách Euclid, trường hợp hai chiều (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 y |z2 − z1 | (x2 , y2 , zz ) |x − x 1| (x1 , y1 , z1 ) |y2 − y1 | y (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 x Hình 1.1.3: Khoảng cách Euclid, trường hợp ba chiều Mệnh đề 1.1.4 Với x, y, z ∈ Rn , với α ∈ R thì: (a) x · x ≥ 0, (b) x · x = x = 0, (c) x · y = y · x (d) x · (y + z) = x · y + x · z, 4.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 149 4.2.10 (Định tuổi Carbon) Carbon C 14 sinh khí Quả Đất tác động tia vũ trụ Tỉ lệ C 14 (phóng xạ) C 12 (khơng phóng xạ) mơi trường coi khơng thay đổi theo thời gian Các thể sống trao đổi chất với môi trường nên tỉ lệ C 14 C 12 thể với tỉ lệ môi trường Khi thể chết đi, khơng trao đổi chất nữa, lượng C 12 không đổi lượng C 14 giảm theo thời gian phóng xạ Bằng cách đo tỉ lệ C 14 thể người ta suy thời điểm mà thể chết Đây ngun C(t) ta lí phương pháp định tuổi Carbon Về mặt toán học, biết giá trị C(0) tính t Năm 1991 người ta phát xác người đóng băng dãy núi Alps Châu Âu, đo lượng C 14 xác ướp 53% lượng C 14 có thể sống Hãy tính xem xác ướp tuổi? 4.2.11 Năm 1950 người ta phát gần Biển Chết phần sách viết giấy da có nội dung liên quan tới kinh người Do Thái cổ Các nhà khảo cổ xác định hàm lượng Carbon-14 sách 78% Hãy tính tuổi sách 4.2.12 Người ta tìm thấy bánh xe gỗ chiến xa ngựa kéo Kazakhstan Hàm lượng Carbon-14 gỗ 62,5% so với hàm lượng sống Hãy tính tuổi bánh xe 4.2.13 Dân số loài người 5,28 tỉ người vào năm 1990 6,07 tỉ người vào năm 2000 Giả thiết hạn chế tài nguyên, Quả Đất đủ chỗ cho 10 tỉ người Hãy dùng mơ hình tăng trưởng dân số có kìm hãm để dự đốn dân số giới vào năm 2025 4.2.14 Giải phương trình học Bài tập 4.1.8 P = k(M − P ) Hãy vẽ đường cong nghiệm 4.2.15 Giải phương trình nguội Bài tập 4.1.7 Hãy vẽ đường cong nghiệm 4.2.16 Một vật nóng để nguội mơi trường có nhiệt độ 30◦ Sau 10 phút ta đo nhiệt độ vật 50◦ sau 20 phút nhiệt độ vật 40◦ Dùng mơ hình phương trình vi phân nguội, tính nhiệt độ ban đầu vật sau nhiệt độ vật cịn 35◦ ? 4.2.17 Trong mạch điện cho Hình 4.2.1 tìm cường độ dịng điện tức thời I(t) vẽ đồ thị (có thể dùng máy tính) trường hợp: (a) Một pin cung cấp điện áp không đổi 40 vôn, cảm kháng henri, trở kháng 10 ôm I(0) = (b) Một máy phát điện cung cấp điện áp E(t) = 40 sin 60t vôn, cảm kháng henri, trở kháng 20 ôm I(0) = ampe 4.2.18 Một phương trình vi phân Bernoulli phương trình có dạng dy + P (x)y = Q(x)y n dx Nếu n = n = phương trình Bernoulli tuyến tính Với n nhận giá trị khác, phép u = y 1−n biến đổi phương trình Bernoulli thành phương trình tuyến tính du + (1 − n)P (x)u = (1 − n)Q(x) dx Dùng phương pháp để giải phương trình vi phân sau: (a) xy + y = −xy (b) y + y3 y = x x 150 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.2.19 Một phương trình vi phân dy −P (x, y) = dx Q(x, y) viết lại P dx + Qdy = 0, gọi phương trình vi phân tồn phần, hay phương trình vi phân khớp (exact), ∂P ∂Q = ∂y ∂x Ta tìm hàm f (x, y) cho ∂f ∂x ∂f ∂y =P = Q phương trình ẩn f (x, y) = C, với C ∈ R số, xác định nghiệm phương trình vi phân Ta nhận thấy phương pháp phương pháp tìm hàm trường phẳng thỏa điều kiện cần trường bảo toàn mà ta khảo sát Chương Giải tích vectơ, Mục 3.2.1, xem Ví dụ 3.2.6 Dùng phương pháp để giải phương trình vi phân sau: + yexy 2y − xexy (a) y = −2xy + x2 (c) y = (b) y = −y 2xy + (d) y = − x2 + y + x + y + y3 4.2.20 Một phương trình tích phân phương trình chứa ẩn hàm y(x) tích phân chứa y(x) Giải phương trình tích phân sau (Hướng dẫn: Lấy đạo hàm sử dụng điều kiện đầu thu từ phương trình tích phân.) (a) y(x) = + 4.3 4.3.1 ´x [t − ty(t)] dt (b) y(x) = + ´x 2t y(t) dt Giải phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số Một phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số phương trình có dạng ay (x) + by (x) + cy(x) = với a, b, c ∈ R a = Ta ứng phương trình vi phân với phương trình với ẩn số thực phức, gọi phương trình đặc trưng cho phương trình vi phân trên, ar2 + br + c = 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 151 Cách giải phương trình cấp hai tuyến tính với hệ số ay (x) + by (x) + cy(x) = Bước 1: Giải phương trình đặc trưng ar2 + br + c = Bước 2: Biện luận dựa vào nghiệm phương trình đặc trưng: • phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực khác r1 , r2 phương trình vi phân có nghiệm tổng quát y(x) = C1 er1 x + C2 er2 x , • phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép r0 phương trình vi phân có nghiệm tổng quát y(x) = C1 er0 x + C2 xer0 x , • phương trình đặc trưng có nghiệm phức α ± iβ, phương trình vi phân có nghiệm tổng quát y(x) = eαx [C1 cos βx + C2 sin βx], với C1 , C2 ∈ R Ở ta gọi nghiệm tổng quát nghiệm thỏa điều kiện đầu cho trước Chứng minh Ta xét trường hợp thứ nhất: phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực khác r1 , r2 Với y(x) = C1 er1 x + C2 er2 x ta tính y (x) = C1 r1 er1 x + C2 r2 er2 x y (x) = C1 r12 er1 x + C2 r22 er2 x Từ ay (x) + by (x) + cy(x) = C1 er1 x (ar12 + br1 + cr1 ) + C2 er2 x (ar22 + br2 + cr2 ) = Trường hợp thứ hai tương tự, với y(x) = C1 er0 x + C2 xer0 x ta tính y (x) = C1 r0 er0 x + C2 er0 x + C2 xr0 er0 x y (x) = C1 r02 er0 x + C2 r0 er0 x + C2 r0 er0 x + C2 xr02 er0 x , từ ay (x) + by (x) + cy(x) = C1 er0 x (ar02 + br0 + cr0 ) + C2 xer0 x (ar02 + br0 + cr0 )+ + C2 er0 x (2ar0 + b) = 0, 152 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ý r0 = −b/2a Trường hợp thứ ba cần tính toán nhiều chút Thế nghiệm α + iβ vào phương trình đặc trưng ta a(α2 − β ) + bα + c = 2aαβ + bβ = Ta tính trực tiếp ay (x) + by (x) + cy(x) = C1 eαx (cos βx) aα2 − aβ + bα + c − (sin βx) (2aαβ + bβ) + + C2 eαx (sin βx) aα2 − aβ + bα + c + (cos βx) (2aαβ + bβ) = Ví dụ 4.3.1 Giải phương trình vi phân cấp hai y − 2y − 8y = Phương trình đặc trưng r2 − 2r − = có hai nghiệm thực phân biệt r1 = 4, r2 = −2 Do nghiệm tổng quát phương trình y(x) = C1 e4x + C2 e−2x , với C1 , C2 ∈ R Ví dụ 4.3.2 Giải phương trình vi phân cấp hai y − 4y + 4y = Phương trình đặc trưng r2 − 4r + = có nghiệm thực kép r0 = Do nghiệm tổng quát phương trình y(x) = C1 e2x + C2 xe2x , với C1 , C2 ∈ R Ví dụ 4.3.3 Giải phương trình vi phân cấp hai y + 2y + 10y = Phương trình đặc trưng r2 + 2r + 10 = có hai nghiệm phức −1 ± 3i Do nghiệm tổng quát phương trình y(x) = e−x [C1 cos 3x + C2 sin 3x] với C1 , C2 ∈ R Ví dụ 4.3.4 Giải tốn giá trị đầu sau   y (x) + y (x) = y(0) =   y (0) = − 12 Phương trình đặc trưng r2 + r = có hai nghiệm thực phân biệt r1 = −1, r2 = Do nghiệm tổng quát phương trình y(x) = C1 + C2 e−x , với C1 , C2 ∈ R Do y(0) = 1, ta thu C1 + C2 = Ngồi ra, ta tính đạo hàm y sau y (x) = −C2 e−x Từ điều kiện y (0) = − 12 , ta tìm C2 = 21 Do đó, C1 = 12 Vậy, nghiệm toán 1 y(x) = + e−x 2 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 153 Ví dụ 4.3.5 Ta giải phương trình vi phân chuyển động lò xo (4.1.3): mx = −kx Đây phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số Giải phương trình đặc trưng mr2 = −k ta hai nghiệm phức r = ±i k m Vậy phương trình có nghiệm tổng quát x(t) = C1 cos k x + C2 sin m k x, m với C1 , C2 ∈ R Nếu C1 C2 không đồng thời 0, ta viết x(t) = Đặt sin β = √ x(t) = C1 C12 + C22 C1 , C12 +C22 C12 + C22 cos β = √ C12 + C22 (sin β cos C2 C12 +C22 cos k x+ m C2 C12 + C22 sin k x m ta viết k x + cos β sin m k x) = m C12 + C22 sin β + k x m Đây hàm thể dao động điều hịa có đồ thị hình sin, tượng vật lí 4.3.2 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng với hệ số Một phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng với hệ số phương trình có dạng ay (x) + by (x) + cy(x) = f (x) với a, b, c ∈ R a = 0, f hàm liên tục khoảng Ta giới thiệu phương pháp gọi phương pháp hệ số bất định giúp tìm nghiệm số trường hợp Trong trường hợp ta cố gắng tìm nghiệm phương trình, gọi nghiệm riêng hay nghiệm đặc biệt Gọi nghiệm thỏa điều kiện đầu định, trái với nghiệm tổng qt mà ta muốn tìm thỏa điều kiện đầu cho trước Giả sử y nghiệm tổng quát yr nghiệm riêng Ta có đồng thời ay + by + cy = f ayr + byr + cyr = f Trừ hai phương trình ta a(y − yr ) + b(y − yr ) + c(y − yr ) = Vậy hiệu y − yr nghiệm tổng qt với nghiệm riêng phương trình khơng nghiệm phương trình tương ứng ay + by + cy = 154 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Cách giải phương trình ta thảo luận mục trước Đặt y0 nghiệm tổng quát phương trình tương ứng này, ta nghiệm tổng quát phương trình khơng y = y0 + yr Như bước để giải tìm nghiệm riêng phương trình khơng Cách giải phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng với hệ số ay (x) + by (x) + cy(x) = f (x) Bước 1: Giải phương trình ay (x) + by (x) + cy(x) = để nghiệm tổng quát y0 phương trình Bước 2: Tìm nghiệm riêng yr phương trình khơng Nếu hàm f tổng, tức f = f1 + · · · + fn , ta tìm nghiệm riêng tương ứng yr,1 , , yr,n cho hàm thành phần f1 , , fn , yr = yr,1 +· · ·+yr,n Bước 3: Bây hàm f có thành phần thì: (a) Nếu f đa thức bậc n yr đa thức bậc n, có dạng yr (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , với số (b) Nếu f (x) = Cekx với C k số, yr (x) = aekx , với a số (c) Nếu f (x) = C sin αx f (x) = C cos αx với C số, yr (x) = a sin αx + b cos αx, với a b số Bước 4: So sánh yr với y0 Nếu có thành phần yr xuất y0 phải chỉnh yr cách nhân thêm x x2 vào yr để yr y0 khơng cịn thành phần chung Bước 5: Thế yr vào phương trình khơng tương ứng để giải tìm hệ số chưa biết Bước 6: Nghiệm tổng qt phương trình khơng y = y0 + yr Phương pháp phát triển nữa, f tích, có tài liệu nâng cao [Long, Boyce09] Phương pháp phức tạp, để dễ hiểu ta xem xét ví dụ sau Ví dụ 4.3.6 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y − y = x2 Giải phương trình tương ứng y −y =0 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 155 ta có nghiệm y0 (x) = C1 ex + C2 e−x Vế phải phương trình vi phân x2 đa thức bậc 2, ta tìm nghiệm yr có dạng yr (x) = ax2 + bx + c, ta thấy thành phần yr xuất y0 Ta có yr (x) = 2ax + b yr (x) = 2a Thay vào phương trình khơng ban đầu, ta 2a − (ax2 + bx + c) = x2 hay −ax2 − bx + 2a − c = x2 Đồng hệ số tương ứng, ta   −a = −b =   2a − c = hay a = −1, b = 0, c = −2 Do ta tìm yr (x) = −x2 − Vậy nghiệm tổng qt phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 ex + C2 e−x − x2 − Ví dụ 4.3.7 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y + y = e2x Giải phương trình tương ứng y +y =0 ta có nghiệm tổng quát y0 (x) = C1 cos x + C2 sin x Vế phải phương trình khơng hàm e2x , nghiệm yr có dạng yr (x) = ae2x , ta thấy khơng có thành phần yr xuất y0 Ta có y (x) = 2ae2x y (x) = 4ae2x Thay vào phương trình khơng ban đầu ta 5ae2x = e2x , a = 15 , yr (x) = 15 e2x Vậy nghiệm tổng quát phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 cos x + C2 sin x + e2x 156 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ 4.3.8 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y − y − 2y = sin 2x Giải phương trình tương ứng y − y − 2y = ta có nghiệm tổng quát y0 (x) = C1 e−x + C2 e2x Vế phải phương trình khơng hàm sin 2x, nghiệm yr có dạng yr (x) = a sin 2x + b cos 2x, ta thấy khơng có thành phần yr xuất y0 Ta có y (x) = 2a cos 2x − 2b sin 2x y (x) = −4a sin 2x − 4b cos 2x Thay vào phương trình không ban đầu ta −6a + 2b = −2a − 6b = 0, , b = 20 , a = − 20 yr (x) = − sin 2x + cos 2x 20 20 Vậy nghiệm tổng quát phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 e−x + C2 e2x − sin 2x + cos 2x 20 20 Ví dụ 4.3.9 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y − y − 12y = e4x Giải phương trình tương ứng y − y − 12y = ta có nghiệm y0 (x) = C1 e4x + C2 e−3x Vế phải phương trình không hàm e4x , nghiệm yr có dạng yr (x) = ae4x , ta thấy thành phần e4x yr xuất y0 , theo phương pháp ta phải nhân thêm với yr thừa số x, nghiệm yr thực có dạng yr (x) = axe4x Bây yr khơng cịn thành phần chung với y0 Ta có y (x) = ae4x + 4axe4x y (x) = 8ae4x + 16axe4x Thay vào phương trình khơng ban đầu, ta (8ae4x + 16axe4x ) − (ae4x + 4axe4x ) − 12axe4x = e4x Đồng hệ số tương ứng, ta a = 71 Do ta tìm yr (x) = xe4x Vậy nghiệm tổng quát phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 e4x + C2 e−3x + xe4x 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 157 Ví dụ 4.3.10 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân y − y − 12y = e4x + 3x − Phương trình tương ứng y − y − 12y = ta giải Ví dụ 4.3.9 vừa Nghiệm y0 (x) = C1 e4x + C2 e−3x Vế phải phương trình khơng hàm e4x + (3x − 2), tổng hai hàm e4x 3x − 2, ta cần tìm hai nghiệm riêng yr,1 tương ứng với e4x yr,2 tương ứng với 3x − Nghiệm yr,1 tương ứng với phương trình y − y − 12y = e4x ta tìm Ví dụ 4.3.9 vừa yr,1 (x) = xe4x Nghiệm yr,2 tương ứng với phương trình y − y − 12y = 3x − 2, đa thức bậc 1, có dạng yr,2 (x) = ax + b Thay vào phương trình ta −a − 12(ax + b) = 3x − Suy a = − 41 b = 16 Vậy yr,2 (x) = − x + 16 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho 1 y(x) = y0 (x) + yr,1 (x) + yr,2 (x) = C1 e4x + C2 e−3x + xe4x − x + 16 Bài tập 4.3.1 Tìm nghiệm phương trình vi phân (a) y + 3y − 10y =   y + 3y − 10y = (b) y(0) =   y (0) =   4y + 20y + 25y = (c) y(0) =   y (0) =   y − 8y + 16y = (d) y(0) =   y (0) =   y + 3y = (e) y(0) =   y (0) =   y + y + y = (f) y(0) =   y (0) = 158 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN   y + 2y + 2y = (g) y(π) = e−π   y (π) = −2e−π 4.3.2 Tìm nghiệm phương trình vi phân (a) y + y − 2y = 2x (k) y − 3y − 4y = 3e2x (b) y − y − 2y = 4x2 (l) y + 4y − = e−5x (c) y − 2y + y = x2 −   y − 7y + 10y = 100x (d) y(0) =   y (0) = (e) y + 4y = sin x (f) y − y + 4y = sin 2x (g) y + 2y − 3y = cos 3x (h) y − 3y − 4y = sin x (i) y − 3y + 2y = 6e3x (j) y − 2y + y = −4ex (m) y − 6y + 9y = e3x (n) y + y = 2e−x (o) y + 4y = x2 + 3ex (p) y + 4y = sin t + sin(2t)  x  y + 3y + 2y = − 2e (q) y(0) =   y (0) =  x  y − 4y + 2y = xe (r) y(0) = −2/9   y (0) = 5/9 Tài liệu tham khảo [Ang] Sigurd Angenent, Calculus, http://www.math.wisc.edu/∼angenent/Free-Lecture-Notes [Apo69] Tom M Apostol, Calculus, vol 2, John Wiley and Sons, 1969 [Bmgt1] Bộ môn Giải tích, Giáo trình Phép tính vi tích phân 1, Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich, https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich [Boyce09] William E Boyce and Richard C DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 9th ed., John Wiley and Sons, 2009 [Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978 [Fich77] G M Fichtengôn, Cơ sở Giải tích tốn học, NXB Đại học Trung học chun nghiệp, 1977 [GeoG] GeoGebra, phần mềm miễn phí, có phiên web, máy tính, điện thoại, https://www.geogebra.org [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002 [Kha15] Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, Toán cao cấp, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2015 [Kha96] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo dục, 1996 [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997 [Long] Nguyễn Thành Long, Giáo trình Giải tích A4, Khoa Toán–Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh [MT03] Jerrold E Marsden and Anthony J Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003 [Maxi] Maxima, phần mềm tính tốn http://maxima.sourceforge.net [Pis69] N Piskunov, Differential and Integral Calculus, Mir, 1969 [PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 159 mã nguồn mở, có 160 TÀI LIỆU THAM KHẢO [SGKTH] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách giáo khoa môn Đại số, Giải tích, Hình học lớp 10, 11, 12, Nhà xuất Giáo dục, 2019 [Ste16] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 8th ed., Brooks/Cole, 2016 Có dịch tiếng Việt cho lần xuất thứ 7, Nhà xuất Hồng Đức 2016 [TPTT02] Đinh Ngọc Thanh, Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đặng Đức Trọng, Giải tích hàm biến, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [TTQ11] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Phạm Hồng Qn, Giáo trình giải tích 2, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2011 [Tri07] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, NXB Giáo dục, 2007 [Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ, http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/gt3.pdf, https://sites.google.com/view/hqvu/ [Wolf] Wolfram Alpha, phần mềm tính tốn, giao diện web miễn phí https://www.wolframalpha.com Chỉ mục pv u, Định lý tích phân đường, 97 đồ thị, 14 độ cong, 96 động năng, 99 đạo hàm ánh xạ, 31 đạo hàm riêng, 20 đạo hàm theo hướng, 110 định hướng ngoài, 115 định luật Faraday, 128 định thức, 28 định tuổi Carbon, 149 đường đi, 87 đóng, 87 đơn, 87 định hướng, 93 qui, 93 liên tục, 87 trái định hướng, 93 vết, 87 đường qui khúc, 123 đường cong, 94 hướng tiếp tuyến, 95 đường mức, 47 đường thẳng, 10 điểm, điểm biên, 12 điểm dừng, 40 điểm gốc tọa độ, điểm giới hạn, 13 điểm tới hạn, 40 điểm tụ, 13 điểm trong, 12 điểm yên, 40, 45 bất đẳng thức tam giác, toán giá trị đầu, 132 bổ đề Poincaré, 103, 122 biên, 12 công thức đổi biến, 70 công thức Divergence, 122 công thức Fubini, 63 công thức Gauss–Ostrogradsky, 122 công thức Green, 100, 105, 110, 130 công thức Newton–Leibniz, 97 công thức Pappus, 86 cơng thức Stokes, 120 cơng thức tích phân phần, 109 cực đại địa phương, 40 cực đại toàn cục, 40 cực đại tương đối, 40 cực đại tuyệt đối, 40 cực tiểu địa phương, 40 cực tiểu toàn cục, 40 cực tiểu tương đối, 40 cực tiểu tuyệt đối, 40 cực trị, 40 sở vectơ tắc, chiếu vng góc, chiều dài Euclid, curl, 119 div, 104, 122 góc hai vectơ, giá trị trung bình, 81 hình hộp, 55 con, 55 thể tích, 55 hình sao, 102 hàm điều hịa, 26 hàm điều hòa, 110, 130 hàm Gamma, 85 hàm mật độ, 81 hàm thế, 96 khối đơn giản với biên trơn mảnh, 123 khối nón, 81 161 162 khả tích, 56, 57 khả vi liên tục, 24 khả vi khúc, 90 khoảng cách Euclid, lân cận, 13 liên tục, 17 CHỈ MỤC phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số hằng, 150 phương trình vi phân cấp tuyến tính, 143 phương trình vi phân cấp đẳng cấp, 142 phương trình vi phân cấp tách biến, 139 qui tắc bàn tay phải, 10 hình học, 138 số chiều, hình nguội, 138 hình hậu cần, 135 tích phân, 56 hình lãi nhập vốn liên tục, 148 tích phân đường hình tăng trưởng dân số, 134 độc lập với đường đi, 97 hình tăng trưởng dân số có kìm hãm, loại hai, 91 135 loại một, 89 mặt, 110 tích phân lặp, 62 định hướng, 114 tích phân mặt định hướng lên trên, 115 loại hai, 113 đơn, 114 loại một, 112 biên, 114 tích Euclid, qui, 114 tích vơ hướng Euclid, vết, 110 tập mức, 33 mặt cong, 116 tập đóng, 13 mặt phẳng, 11 tập bị chặn, 49 mặt phẳng tiếp xúc, 21 tập compắc, 49 ma trận, 28 tập mở, 12 ma trận Hesse, 41, 45 tọa độ, ma trận Jacobi, 27 tọa độ cầu, 75 miền, 57 tọa độ trụ, 74 miền đơn giản, 65, 66 tổng Riemann, 56 năng, 99 nghiệm đặc biệt, 153 thông lượng, 105, 112 nghiệm cân bằng, 135 thể tích, 58 nghiệm riêng, 153 thể tích khơng, 59 nghiệm tổng qt, 151 tham số hóa, 94, 110 nhân tử Lagrange, 47 tiêu chuẩn kẹp, 16 toán tử Laplace, 110 phép đổi biến, 70 trực giao, đảo ngược định hướng, 71, 113 trơn, 24 bảo toàn định hướng, 71, 92, 113 đường đi, 88 phép chia, 55 trường khoảng con, 55 bảo toàn, 96 phân hoạch, 55 gradient, 96 phân rã Carbon C 14 , 148 trường vectơ, 90 phần trong, 12 phương pháp hệ số bất định, 153 vectơ, phương trình đặc trưng, 150 hướng, phương trình Laplace, 26 phương, phương trình vi phân tích có hướng, 9, 28 Bernoulli, 149 vectơ đơn vị, 8, 31 toàn phần, 150 vectơ pháp tuyến, 11, 22 vectơ pháp tuyến đơn vị, 117 trường vectơ, 133 mô mô mơ mơ mơ mơ CHỈ MỤC vectơ pháp tuyến ngồi, 104 vng góc, 163 ... y -2 -4 z = x2 + y (-y2)-x2 -10 -20 z -30 -40 -50 -4 -2 x y -2 -4 z = −x2 − y x2-y2 30 20 10 z -10 -20 -30 -4 -2 x y -2 -4 z = x2 − y Hình 1.5.1: Đồ thị hàm z = x2 + y , z = −x2 − y , z = x2 −... det a2 a3 a1 b1 a2 b2 hợp ma trận ×  b1 c1 b2 c2 b2 c2  = a1 det b3 c3 b3 c3 = a1 b2 − a2 b1 − a2 det b1 c1 b3 c3 + a3 det b1 c1 b2 c2 = a1 b2 c3 − a1 b3 c2 + a2 b3 c1 − a2 b1 c3 + a3 b1 c2 −... (1, 2) z = f (1, 2) + fx (1, 2) (x − 1) + fy (1, 2) (y − 2) = + 2( x − 1) + 5(y − 2) Xem Hình 1.3.3 1.3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 23 4*(y -2) +2* (x-1)+5 y2+x2 50 40 30 20 10 z -10 -20 -30 -40 -4 -2 x -2 -4