Biến ngẫu nhiên rời rạc

ÔN T ẬP VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC I.. Hơn nữa, ta dễ dàng quan sát các giá trị của biến ngẫu nhiên X1 and X2 là các giá trị rời rạc.. Bảng này còn gọi là bảng phân phối xác suất chung c

ÔN T ẬP VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

I Lý thuy ết

Các em ôn t ập trong slide bài giảng Trong lúc giải mẫu các ví dụ, Thầy sẽ nhắc lại phần lý thuyết

II Bài tập

Bài t ập 1: Cho hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 có bảng phân phối chung như sau:

x 2

x 1

0 0.08 0.07 0.04 0.00

1 0.06 0.15 0.05 0.04

2 0.05 0.04 0.10 0.06

3 0.00 0.03 0.04 0.07

4 0.00 0.01 0.05 0.06

a) Tính xác suất P(X1 = X2)

b) Tính pX1(x) của X1 và pX2(x) of X2

c) Hai biến ngẫu nhiên X1 and X2có độc lập với nhau hay không

d) Tính xác suất P(X1 + X2 < 3)

e) Tính xác suất P(2*X1 < X2)

f) Tính E[X1 + X2]

Bài giải

Ôn Lý Thuyết: Trước khi giải bài ta ôn lại kiến thức: ta thấy đề bài cho bảng phân phối xác suất như vậy

thì hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 là các biến ngẫu nhiên rời rạc Hơn nữa, ta dễ dàng quan sát các giá trị của biến ngẫu nhiên X1 and X2 là các giá trị rời rạc Bảng này còn gọi là bảng phân phối xác suất chung của hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 Ví dụ: xác suất mà X1 = 1 và X2 = 2 sẽ là P X( 1 =1,X2 =2)=0.05

Thầy có đánh dấu màu xanh trên bảng phân phối xác suất

a) Tính xác su ất P(X 1 = X 2 )

Đây là xác suất mà hai biến ngẫu nhiên X1 và X2 nhận giá trị giống nhau Ta sẽ có 04 trường hợp tất cả

đó là X1= X2 = 0, X1 = X2 = 1, X1 = X2 = 2 và X1= X2 = 3 Như vậy xác suất P X( 1 =X2) sẽ bằng tổng xác suất của cả 04 trường hợp đã liệt kê:

( 1 2) ( 1 2 0) ( 1 2 1) ( 1 2 2) ( 1 2 3 )

Bây giờ ta tiến hành tra bảng phân phối xác suất để tính các xác suất thành phần Đó là:

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

0 0.08

1 0.15

3 0.07













Cuối cùng, lấy các kết quả cộng lại sẽ xong câu a

( 1 2) 0.08 0.15 0.1 0.07 0.4

b) Tính p X1 (x) của X 1 và p X2 (x) of X 2

Ôn lý thuyết: Biến ngẫu nhiên rời rạc X1 sẽ có hàm PMF (probability mass function) là p X1( )x được định nghĩa là xác suất X1 nhận giá trị x: p X1( )x =P X( 1 =x) Tương tự như vậy, p X2( )x là hàm PMF của biến ngẫu nhiên rời rạc X2 Tuy nhiên, đề bài lại cho bảng phân phối xác suất chung và yêu cầu phải tìm hàm phân phối xác suất riêng của X1 và X2 Do đó, p X1( )x và p X2( )x còn được gọi là hàm PMF riêng (margin PMF)

Xét biến ngẫu nhiên X1, ta thấy X1 chỉ nhận 05 giá trị rời rạc đó là 0, 1, 2, 3 và 4 Cho nên, ta cần tìm 05 hàm PMF gồm: p X1( )0 ,p X1( )1 ,p X1( )2 ,p X1( )3 và pX1( ) 4

Ví dụ tính p X1( )0 được tính như sau (xem định nghĩa trong slide bài giảng)

0.19

X

=

Tương tự , ta tính p X1( )1 như sau:

0.06 0.15 0.05 0.04 0.3

X

=

Tương tự , ta tính p X1( )2 như sau:

0.05 0.04 0.1 0.06 0.25

X

=

Tương tự , ta tính p X1( )3 như sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.14

X

=

Tương tự , ta tính p X1( )4 như sau:

0.12

X

=

Sau khi tính xong các giá trị, ta nên vẽ bảng phân phối cho hàm p X1( )x :

pX1(x1) 0.19 0.30 0.25 0.14 0.12

Tương tự cách làm trên, các em sẽ đạt được hàm p X2( )x như trong bảng sau:

pX2(x2) 0.19 0.30 0.28 0.23

c) Hai bi ến ngẫu nhiên X 1 and X 2 có độc lập với nhau hay không

Ôn lý thuyết: Hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 nếu độc lập với nhau thì ta có:

( 1 , 2 ) ( 1 ) ( 2 )

P X =x X = y =P X =x P X = y sẽ đúng với mọi x và y

Bây giờ ta thử một ví dụ xem có đúng hay không: theo bảng phân phối xác suất chung, ta có:

( 1 0, 2 0) 0.08

Theo bảng phân phối xác suất riêng thì: P X( 1 =0)=0.19 và P X( 2 =0)=0.19

Vì vậy, mệnh đề P X( 1 =x X, 2 = y)=P X( 1=x P X) ( 2 = y) không đúng khi x=0 và y = 0 nên hai

biến ngẫu nhiên này không độc lập với nhau

Chú ý: các em chỉ cần tìm 01 phản ví dụ như trên là có thể kết luận được hai biến ngẫu nhiên này không độc lập với nhau Không cần tìm nhiều phản ví dụ cho mất thời gian

d) Tính xác su ất P(X 1 + X 2 < 3)

Ta cần liệt kê hết tất cả các trường hợp có thể xảy ra Ví dụ để X1 + X2 < 3 thì X1 + X2 có thể bằng 0,

bằng 1 hoặc bằng 2 Do đó, ta có thể viết

( 1 2 3) ( 1 2 0) ( 1 2 1) ( 1 2 2)

Bây giờ tính P X( 1+X2 =0): xác suất này xảy ra chỉ khi X1= X2 = 0 Do đó,

Bây giờ tính P X( 1+X2 =1): xác suất này xảy ra khi X1 = 0, X2 = 1 và X1= 1, X2 = 0 Do đó,

0.07 0.06 0.13

=

Bây giờ tính P X( 1+X2 =2): xác suất này xảy ra khi X1= 0, X2 = 2; X1 = 1, X2 = 1 và X1 = 2,

2 0

X = Do đó,

0.04 0.15 0.05 0.24

=

Sau khi đã tính được các kết quả P X( 1+X2 =0), P X( 1+X2 =1) và P X( 1+X2 =2), ta thay vào ( 1 2 3)

P X +X < để được:

0.08 0.13 0.24 0.45

=

e) Tính xác suất P(2*X 1 < X 2 )

Cũng vậy, ta thực hiện liệt kê các trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: X2 = 3 thì X1 chỉ có thể là:X1= 0 hoặc X1= 1

Trường hợp 2: X2 = 2 thì X1 chỉ có thể là:X1= 0

Trường hợp 3: X2 = 1 thì X1 chỉ có thể là:X1 = 0

Trường hợp 4: X2 = 0 thì X1 không thể nhận bất cứ giá trị nào

Do đó, ta có thể viết:

(2 1 2) ( 1 0, 2 3) ( 1 1, 1 3) ( 1 0, 2 2) ( 1 0, 2 1)

0.15

=

Chú ý: Khi làm bài các em trình bày bằng TA và chỉ viết đơn giản các công thức và đáp số là được Thầy

trình bày cụ thể bằng TV để các em ôn bài

f) Tính E[X 1 + X 2 ]

Ôn lý thuyết: E là ký hiệu kỳ vọng toán học tức là tính giá trị trung bình Xem lại slide bài giảng, ta có

công thức:

4 3

0 0

x x

= =

Trong đó,

1 , 2( ,1 2)

X X

p x x là hàm PMF chung, và được đưa ra trong bảng phân phối Cụ thể:

4 3

0 0

X X

x x

= =

∑ ∑

3.2

=

Bài t ập 2: Cho hai biến ngẫu nhiên X and Y có hàm phân phối chung như sau:

,

,

0, Otherwise

X Y

= 



a) Tìm giá trị của c

b) Tìm các hàm fX ( ) x và fY( ) y

Bài giải

Các em thấy đề bài cho hàm f mà không nói là hàm gì nhưng nhìn vào giá trị của x và y ta thấy rằng x chỉ

có 03 giá trị là -1, 0 và 1; và y cũng có 03 giá trị là -1, 0 và 1 Nên X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc,

và hàm f này chính là hàm PMF Do đó, lúc nào trước khi làm bài cũng phải xác định đúng biến ngẫu nhiên là rời rạc hay liên tục

a) Tìm giá trị của c

Ôn lý thuyết: Khi đã xác định được X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, ta sẽ có: X Y, ( , ) 1

x y

Tức là tổng tất cả các giá trị của hàm PMF chung sẽ bằng 1 (xem lại slide bài giảng)

Áp dụng trong bài tập này, ta có:

1 1

,

1 1

( , ) 1

( 1, 1) ( 1, 0) ( 1,1) (0, 1) (0, 0) (0,1) (1, 1) (1, 0) (1,1) 1

1 ( 1) 1 (0) 1 (1)

0 ( 1) 0 (0) 0 (1)

1 ( 1) 1 (0) 1 (1)

X Y

x y

=− =−

=

⇒ − − − + − − + − −

∑ ∑

1 1

0 1 4 1 0 1 4 1 0 1

12

⇒ + + + + + + + + = ⇒ = Tương tự, ta có bảng phân phối xác xuất chung:

y

x

-1 0 1/12 4/12

0 1/12 0 1/12

1 4/12 1/12 0

Làm tương tự như trên Bài tập 1, ta sẽ được các hàm PMF riêng:

fX(x) 5/12 2/12 5/12

FY(y) 5/12 2/12 5/12