CHUYÊN ĐỀ 1: TỨ GIÁC VÀ HÌNH THANG A/ LÝ THUYẾT I/ Tứ giác * Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng * Tứ giác lồi tứ giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác * Định lý: Tổng góc tứ giác 1800 II/ Hình thang Định nghĩa: AB // CD ⇔ BC // AD Tứ giác ABCD hình thang 2.Tính chất: Nếu hình thang có hai cạnh đáy hình bình hành Hình thang vng: Hình thang vng hình thang có hai góc vng Hình thang cân AB // CD µ µ ⇔ C =D µ µ A = B Tứ giác ABCD hình thang cân * Tính chất: Trong hình thang cân: + Hai cạnh bên + Hai đường chéo * Dấu hiệu nhân biết: + Hình thang có hai đường chéo hình thang cân + Hình thang có hai góc chung cạnh đáy hình thang cân B/ CÁC DẠNG TỐN DẠNG 1: TÍNH CÁC GĨC CỦA TỨ GIÁC (HÌNH THANG) I/ Phương pháp: Vận dụng kiến thức sau: - Tổng góc tứ giác 360o - Tổng hai góc kề bù 180o - Tổng góc tam giác 180o - Hai góc nhọn tam giác vng có tổng 90o - Nếu hình thang, liên quan tới hai đáy song song ta có: + Hai góc so le Hai góc đồng vị + Hai góc kề cạnh bên có tổng 180o II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm x hình vẽ sau Bài 2: Tìm x hình vẽ sau Bài (Trang 66 SGK) Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác a) Tính góc ngồi tứ giác hình a b) Tính tổng góc ngồi tứ giác hình b (tại đỉnh tứ giác chọn góc µ µ µ µ ngoài): A1 + B1 + C1 + D1 = ? c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác? Bài 4: Cho tứ giác ABCD góc B = 80o, D = 120o góc ngồi đỉnh C 130o Tính góc A? Bài 5: Cho tứ giác ABCD, tia phân giác góc A góc B cắt M Các tia phân giác góc C o · · góc D cắt N Chứng minh AMB + CND = 180 ? Bài 6: Cho tứ giác ABCD, biết AB = AD; góc B = 900, góc A = 600, góc D = 1350, a) Tính góc C b) Từ A ta kẻ AE vng góc với đường thẳng CD Tính góc tam giác AEC Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD, biết có góc A = góc D = 900 ; góc B C khác a) Chứng minh: AB // DC b) Chứng tỏ hai góc B C phải có góc nhọn c) Khi góc C nhọn chứng minh AB < DC Bài (Trang 71 SGK Tốn Tập 1): Tìm x y hình 21, biết ABCD hình thang có đáy AB CD o µ µ µ µ Bài (Trang 71 SGK Toán Tập 1): Hình thang ABCD (AB // CD) có A − D = 20 ; B = 2C Tính góc hình thang Bài 10 Hình thang vng ABCD có A = D = 90o , đường chéo BD vng góc BC BD = BC a) Tính góc hình thang b) Biết AB = 3cm Tính BC CD µ µ µ C µ µ µ Bài 11 Cho tứ giác ABCD biết B + = 2000, B +D = 1800; C + D = 1200 a) Tính số đo góc tứ giác µ +D µ C · AIB = µ µ b) Gọi I giao điểm tia phân giác A B tứ giác Chứng minh: Bài giải: 0 0 µ µ µ µ µ µ a) Từ giả thiết ta có: 2B + 2C + 2D = 200 + 180 + 120 ⇒ B + C + D = 250 0 µ µ µ µ µ Vì A + B + C + D = 360 ⇒ A = 110 ( ) µ = 2500 − C µ +D µ = 2500 − 1200 = 1300 B µ = 2000 − B µ = 2000 − 1300 = 700 C µ = 1200 − C µ = 1200 − 700 = 500 D b) Trong tam giác ABI: ( ) µ +B µ µ µ 3600 − A µ +D µ C ·AIB = 1800 − A + B = = 2 µ µ · Bài 12 Cho tứ giác lồi ABCD có B +D = 1800, CB = CD Chứng minh AC tia phân giác BAD Bài giải: Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI = AD · · · Ta có ADC = IBC (cùng bù với góc ABC ) AD = IB, DC = BC Từ ta có ∆ADC = ∆IBC · · Suy ra: DAC = BIC AC = IC · · · Tam giác ACI cân C nên BAC = BIC = DAC · Vậy AC phân giác góc BAD Bài 13 Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC cắt E, hai cạnh DC AB cắt F Kẻ tia phân giác hai góc CED BFC cắt I Tính góc EIF theo góc tứ giác ABCD Bài giải: FI cắt BC K, suy K thuộc đoạn BC ¶ = EKI · · ¶ góc ngồi ∆ IKE) ⇒ EIF + IEK ( EIF · µ + BFK · · + IEK = B ( CKF góc ngồi ∆ FBK) µ +C µ B · ·BFC = 1800 − B µ +C µ ⇒ BFK = 90 − ( ) µ +B µ A ·AEB = 1800 − A µ +B µ ⇒ IEK · = 90 − ( ) µ µ µ µ µ µ µ µ ¶ =B µ + 900 − B + C + 900 − A + B = 1800 − A + C = B + D EIF 2 2 Vậy DẠNG 2: CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG (HÌNH THANG CÂN) I/ Phương pháp - Chứng minh tứ giác có cạnh đối song song => Tứ giác hình thang - Chứng minh tứ giác hình thang cân: + Bước 1: Chứng minh tứ giác hình thang + Bước 2: Chứng minh hình thang có hai đường chéo (hai góc kề đáy nhau) II/ Bài tập vận dụng Bài 1: (Bài trang 71 sgk - Toán tập 1) Tứ giác ABCD có AB = BC AC phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang Bài Cho tứ giác ABCD có AD = DC, đường chéo AC phân giác góc  Chứng minh ABCD hình thang Bài giải: Ta có AD = DC nên tam giác ADC cân D · · · Suy DCA = DAC = BAC Suy AB//CD (hai góc so le nhau) Vậy ABCD hình thang Bài Cho hình thang ABCD, đáy AB = 40cm, CD = 80cm, BC = 50cm, AD = 30cm Chứng minh ABCD hình thang vuông Bài giải: Gọi H trung điểm CD Ta có DH = CH = 40cm Xét hai tam giác ABH CHB có: · · AB = CH = 40cm, ABH = CHB (so le trong), BH = HB Suy ∆ABH = ∆CHB (c-g-c) ⇒ AH = CB = 50cm Tam giác ADH có: AD2 + DH2 =402 + 302 = 502 = AH Suy tam giác ADH vng D Vậy hình thang ABCD hình thang vng Bài 4: Cho tam giác ABC vng A BC = 2cm Ở phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác ACE vng cân E a) Chứng minh tứ giác AECB hình thang vng? b) Tính góc cạnh hình thang AECB Bài 5: Cho ∆ ABC vng cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ BD vng góc với BC, BD = BC a) Tứ giác ABCD hình gì? b) Biết AB = 5cm Tính CD Bài 6: Cho ∆ ABC Từ điểm O tam giác kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt CB E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB F Chứng minh tứ giác ADOF hình thang cân Bài 7: Cho ∆ ABC cân A Lấy điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho AD = AE Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân Bài 8: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD CE Gọi I trung điểm BC, J trung điểm ED, O giao điểm BD CE Chứng minh: a) Tứ giác BEDC hình thang cân b) BE = ED = DC c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng Bài 9: Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (CA > CB) Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác ACD BCE Gọi M, N, P, Q trung điểm AE, CD, BD, CE a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Chứng minh MP = DE DẠNG 3: BIẾT TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG – CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ KHÁC I/ Phương pháp Dựa vào đặc điểm hình thang cân, hình thang vng: cạnh bên nhau, đường chéo nhau, hai góc kề đáy nhau, góc so le (đồng vị) tạo hai đáy song song, yếu tố vng góc ….để từ chứng minh yếu tố liên quan hình như: + Hai đoạn thẳng + Hai góc + Tam giác tam giác cân … II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD Kẻ đường cao AH, BK Chứng minh DH = CK Bài 2: Hình thang cân ABCD có AB // CD, gọi O giao điểm hai đường chéo Chứng minh OA = OB ; OC = OD Bài 3: Hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB cạnh bên AD Chứng minh CA tia phân giác góc C Bài 4: Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vng góc với cạnh bên BC, DB phân giác góc D Biết BC = 3cm Tính chu vi hình thang Bài 5: Hình thang cân ABCD , gọi O giao điểm hai cạnh bên AD BC; gọi E giao điểm hai đường chéo Chứng minh OE đường trung trực củ hai đáy Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), O giao điể m AC BD, I giao điểm AD BC a) Chứng minh OA = OB, OC = OD b) Gọi M, N l ần lượt trung điểm c nh AB, CD Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm BD, AC, DC Gọi H giao điểm đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc BC Chứng minh: a) H trực tâm tam giác EFK b) Tam giác HCD cân Bài Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD; AD = BC), có đáy nhỏ AB Độ dài đường cao BH độ dài đườ ng trung bình MN (M thuộc AD, N thuộc BC) hình thang ABCD Vẽ BE // AC (E thuộc DC) a) Chứng minh DE = MN/2 b) Gọi O giao điểm AC BD, chứng minh tam giác OAB cân c) Tam giác DBE vuông cân Bài Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) AD cắt BC O a) Chứng minh ∆ OAB cân b) Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh ba điểm I, J, O thẳng hàng c) Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD N Chứng minh MNAB, MNDC hình thang cân Bài giải: µ µ a) Vì ABCD hình thang cân nên C = D suy OCD tam giác cân · µ µ · Ta có OAB = D = C = OBA (hai góc đồng vị) ⇒ Tam giác OAB cân O b) OI trung tuyến tam giác cân OAB nên OI đường cao tam giác OAB ⇒ OI ⊥ AB Mà AB // CD nên OI ⊥ CD Tam giác OCD cân O có OI ⊥ CD nên OI cắt CD trung điểm J CD Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng c) Xét ∆ ACD ∆ BDC có: AC = BD (2 đường chéo hình thang cân) AD = BC (2 cạnh bên hình thang cân) CD = DC Do ∆ ACD = ∆ BDC (c-c-c) · · · · Suy ACD = BDC hay MCD = NDC · · Hình thang MNDC có MCD = NDC nên MNDC hình thang cân ⇒ MC = ND ⇒ AC – MC = BD – ND ⇒ AM = BN Hình thang MNAB có hai đường chéo AM BN nên MNAB hình thang cân ... pháp - Chứng minh tứ giác có cạnh đối song song => Tứ giác hình thang - Chứng minh tứ giác hình thang cân: + Bước 1: Chứng minh tứ giác hình thang + Bước 2: Chứng minh hình thang có hai đường... Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác a) Tính góc ngồi tứ giác hình a b) Tính tổng góc ngồi tứ giác hình b (tại đỉnh tứ giác chọn góc µ µ µ µ ngoài): A1 + B1 + C1 + D1 = ? c) Có nhận... 71 SGK Tốn Tập 1) : Tìm x y hình 21, biết ABCD hình thang có đáy AB CD o µ µ µ µ Bài (Trang 71 SGK Toán Tập 1) : Hình thang ABCD (AB // CD) có A − D = 20 ; B = 2C Tính góc hình thang Bài 10 Hình