CĐ 4 CHỨNG MINH CHIA hết lớp 6

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: 11 a, ab  ba M HD: b, ab  ba M9 (a > b) c, abcabcM7,11,13 11 a, Ta có : ab  ba  10a  b  10b   11b  11b M b, Ta có : ab  ba  (10a  b)  (10b  a)  9a  9b M c, Ta có : abcabc  abc.1001  abc.7.11.13M7,11,13 Bài 2: Chứng minh rằng: a, (n  10)( n  15) M2 b, n(n  1)( n  2) M2,3 HD: a, Ta có:Nếu n số lẻ n  15M2 c, n  n  không M4,2,5  n  10   n  15 M2 Nếu n số chẵn n  10M2 , Như với n số tự nhiên : n  n  1  n   b, Ta có:Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2,1 số chia hết cho n ( n  1)  c, Ta có : số lẻ nên khơng Mcho 4,2 có chữ số tận khác Bài 3: Chứng minh rằng: a, (n  3)(n  6) M2 b, n  n  không M5 HD: a, Ta có:Nếu n số chẵn n  6M2 c, aaabbbM37  n  3  n   M2 Nếu n lẻ n  3M2 , Như với n số tự nhiên b, Ta có : n  n   n  n  1  : 0, 2, 6, Do : , Vì n  n  1  n  n  1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận có tận 6, 8, nên khơng M5 c, Ta có : aaabbb  aaa 000  bbb  a.11100  b.111  a.300.37  b.3.37 chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: a, aaa Ma ,37 HD: b, ab(a  b)M2 99 c, abc  cbaM a, Ta có : aaa  a.111  a.3.37 chia hết cho a chia hết cho 37 b, Ta có:Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ=> (a+b) số chẵn nhưu a+b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho abc  cba  100a  10b  c   100c  10b  a   99a  99c  99  a  c  M99 c, Ta có: Bài 5: CMR : ab  8.ba M9 HD: ab  8.ba  10a  b   10b  a   18a  18b  18  a  b  M9 Ta có: Bài 6: Chứng minh rằng: ab  a  b  M2, a, b �N Bài 7: Chứng minh số có dạng : abcabc chia hết cho 11 HD : abcabc  a.105  b.104  c.103  b.10  c  a.102  103  1  b.10  103  1  c  103  1 Ta có :   103  1  a.102  b.10  c   1001  a.10  b.10  c   11.91.abc M 11 A   n  5  n  6 M6n Bài 8: Tìm n số tự nhiên để: HD: A  12n  n n  1  30 AM6n  n n  1  30M6n Ta có: , Để n n  1 Mn  30Mn  n�U  30   1;2;3;5;6;10;15;30 Ta có: n n  1 M6  n n  1 M3  n� 1;3;6;10;15;30 Và n� 1;3;10;30 Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu M M Bài 9: CMR : 2x+y 5x+7y HD: x  y M9   x  y  M9  14 x  y M9  x  x  y M9  x  y M9 Ta có : Bài 10: Chứng minh rằng: 11 abcd M 11 a, Nếu ab  cd M b, Cho abc  deg M7 cmr abc deg M7 HD: 11 hay (a+c) – (b+d) M11 a, Ta có: ab  cd  a.10  b  10c  d  (a  c)10  b  d  (a  c )(b  d ) M 11 có (a+c) - ( b+d) M11 Khi abcd M b, Ta có: Ta có abc deg  1000abc  deg  1001abc  (abc  deg) mà abc  deg M7 nên abc deg M7 Bài 11: Chứng minh rằng: a, CMR: ab  2.cd � abcd M67 HD: b, Cho abcM27 cmr bcaM27 a, Ta có:Ta có abcd  100ab  cd  200cd  cd  201cd M67 b, Ta có :Ta có abc M27  abc 0M27  1000a  bc0M27  999a  a  bc 0M27  27.37a  bca M27 Nên bcaM27 Bài 12: Chứng minh rằng: a, abc deg M23, 29 abc  2.deg 11 abc deg M 11 b, Cmr (ab  cd  eg )M HD: a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  1000.2deg  deg  2001deg  deg.23.29.3 11 b, Ta có : abc deg  10000.ab  100cd  eg  9999ab  99cd  (ab  cd  eg ) M Bài 13: Chứng minh rằng: 37 cmr abc deg M 37 a, Cho abc  deg M 99 ab  cd M99 b, Nếu abcd M HD: a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  999abc  (abc  deg)M37 �  99.ab  ab  cd M99  ab  cd M9 abcd  100.ab  cd b, Ta có :   101 ab  cd M 101 Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu abcdM HD : abcd M 101  100.ab  cd  101.ab  ab  cd  101.ab  ab  cd M 101 ab  cd M 101 Ta có : => Bài 15: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b+6c M17 a-11b+3c M17 (a,b,c �Z) b, 3a+2b M17 � 10a+b M17 (a,b �Z) HD:   a, Ta có:a-11b+3c M17 17a-34b +51c M17 nên 18a-45b+54c M17 => 9(2a-5b+6c) M17 b, Ta có: 3a+2b M17 17a - 34b M17 nên 20a – 32b M17 10a – 16b M17 10a +17b – 16b M17 10a+b M17 Bài 16: Chứng minh rằng: a, abcd M29 � a  3b  9c  27 d M29 b, abc M21 � a  2b  4c M21 HD: a, Ta có : abcd  1000a  100b  10c  d M29 => 2000a+200b+20c+2d M29 => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d M29 => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) M29 => (a+3b+9c+27d) M29 b, Ta có: abc  100a  10b  c M21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c M21 => 16a - 32b +64c M21 => 16(a- 2b +4c) M21 Bài 17: Chứng minh rằng: 16 � d  2c  4b  8a M 16 (c chẵn) a, abcd M4 � d  2c M4 b, abcd M HD: a, Ta có:Vì e, abcd M4 � cd M4 � 10c  d M4 � 2c  d M4 16  1000a  100b  10c  d M 16  992a  8a  96b  4b  8c  2c  d M16 b, Ta có:Vì abcd M => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) M16, mà c chẵn nên 8c M16 => (8a+4b+2c+d) M16 Bài 18: Chứng minh rằng: a, Cho a - b M7 cmr 4a+3b M7 (a,b �Z) b, Cmr m +4n M13 � 10m+n M13 HD: a, Ta có:a – b M7 nên 4(a –b) M7 => 4a – 4b +7b M7 => 4a +3b M7 b, Ta có:m+4n M13 => 10(m+4n) M13 => 10m +40n – 39n M13 =>10m+ n M13 Bài 19: Cho a,b số nguyên, CMR 6a+11b M31 a+7b M31, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có :6a +11b M31 => 6( a+7b) - 31b M31 => a+7b M31 Bài 20: Cho a,b số nguyên, CMR 5a+2b M17 9a+7b M17 HD: Ta có :5a +2b M17 => 5a – 68a +2b -51b M17 => - 63a – 49b M17 => -7( 9a +7b) M17 => 9a+7b M17 Bài 21: Cho a,b số nguyên, CMR 2a+3b M7 8a + 5b M7 HD: Ta có:2a+3b M7 => 4(2a+3b) M7 =>8a +12b M7=> 8a+12b -7b M7=>8a+5b M7 Bài 22: Cho a,b số nguyên, CMR a - 2b M7 a-9b M7, điều ngược lại có khơng? HD: Ta có:a – 2b M7 => a- 2b -7b M7=> a - 9b M7, Điều ngược lại Bài 23: Cho a,b số nguyên 5a+8b M3 cmr a, - a +2b M3 b, 10a +b M(-3) c, a +16b M3 HD: a, Ta có:5a +8b M3=> 5a- 6a+8b-6b M3=> -a+2b M3 b, Ta có:5a +8b M3 => 2(5a+8b) M3=>10a+16b M3=>10a+16b-15b M3 c, Ta có:5a +8b M3=> 5(a+16b) – 72b M3 =>a+16b M3 Bài 24: Cho biết a-b M6, CMR biểu thức sau chia hết cho a, a +5b b, a +17b c, a - 13b HD: a, Ta có:a-b M6 => a-b+6b M6=> a+5b M6 b, Ta có:a-b M6 => a-b +18b M6=> a+17b M6 c, Ta có:a - b M6 => a-b-12b M6=> a-13b M6 ngược lại Bài 25: CMR : x  2M5 3x  y M Bài 26: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư: CMR: (ab-1) M3 HD: Ta có:a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r �Z, r=1,2) � r   r   0M3 � r   r   3M3 ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r2-1 � Bài 27: Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 HD: Ta có :Gọi số tự nhiên có chữ số ab theo ta có abbaM 11 abba  1001a  110b  7.11.13a  11.10b Bài 28: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a,a+1,a+2 xét tổng Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta 4 a   a  1   a     a  3  4a  M Bài 29: Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, cịn tổng số lẻ liên tiếp khơng chia hết cho 10 HD: Gọi số chẵn liên tiếp a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được: a   a     a     a     a    5a  20M 10 Vì a số chẵn Tương tự với số lẻ liên tiếp : 2a  1, 2a  1, 2a  3, 2a  5, 2a  7, xét tổng ta :  10  2a  1   2a  1   2a  3   2a  5   2a    10a  15 M Bài 30: Khi chi 135 cho số tự nhiên ta thương dư, Tìm số chia thương HD: 135  x  r   r  x  Gọi số chia x số dư r, Khi => r  135  x   135  x  x 135  x   x  135  x  22 Từ 135 135  x  x  x   x  19 7 , Vậy x  20, 21, 22 Từ Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 , sau bạn Thắng đem chia số cho đươc dư , chia cho 12 dư a, CMR bạn Thắng làm sai phép chia b, Nếu phép chia thứ đúng, phép chia cho 12 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cần tìm n= ab a, n chia dư =>n chẵn n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn b, Vì a+b=14 nên ab M3 dư ab chia 12 dư Nếu phép chia thứ ab chia dư 4=> ab M4 => ab M12 => n chia 12 dư Bài 32: Chứng minh abc chia hết cho 37 bca cab chia hết cho 37 Bài 33: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 34: Tìm số tự nhiên biết chia cho 17 số dư hai lần bình phương số thương Bài 35: Chứng minh tồn số tự nhiên chia cho 21 dư chia cho 84 lại dư Bài 36: Cho số nguyên dương khác thỏa mãn : tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ cảu tổng bốn số Bài 37: Tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 27, biết hai số 97 HD: Gọi số cần tìm a97b a97b M5 nên b = b = => trường hợp TH1: Với b   a970M27  a     a  16M9  a  , Khi số cần tìm 2970 thỏa mãn chia hết cho 27  a  , Khi số cần tìm 6975 khơng TH2: Với b   a975M27  a     a  21M chia hết cho 27 Bài 38: Tìm số có hai chữ số biết số chia hết cho tích chữ số HD: Gọi số cần tìm ab abMa.b  10a  b Mab  10a  b Ma  b Ma  b  k a  k �N  => ab  10a  b Mà Và 10a  bMb  10a Mb , mà b chia hết cho a=> 10a  b.q  10a  z.k q  10  k q Do k số có chữ số nên k= 1;2;5 Với k=1=> a=b, ta có số 11,22,33, 99, có số 11 thỏa mãn Với k=2=>b=2a, ta có số 12, 24, 36, 48, có số 12, 24, 36 thỏa mãn Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn Vậy số cần tìm 11, 12, 24, 36, 15 Bài 39: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số nó, cmr b Ma HD: Ta có: ab =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b Ma =>b Ma Bài 40: Tìm a, b, c biết: 2009abcM315 HD: (5;7;9)   2009abc MBCNN  5;7;9  Ta có: 315  5.7.9 , Mà Ta có: 2009abc  2009000  abc  315.6377  245  abc     245  abc M315  315 �U 245  abc Mà  100 �abc �999  345 �245  abc �1244  245  abc � 630;945  abc � 385;700 Bài 41: Tìm a,b biết: a-b=3 (14a3  35b2)M HD: Ta có:Để : 14a3  35b 2M9    a     b   a  b  18M9  a  b M9 mà a b số chó chữ số nên a  b  0, a  b  9, a  b  18 kết hợp với a - b =3 để tìm a b a - b=4 Bài 42: Tìm a,b biết:c, 5a6b 2M HD: Để 5a 6b 2M3   a   b   a  b  13M3  a  b  1M3 Do a, b hai số tự nhiên có chữu số nên: a  b  2, a  b  5, a  b  8, a  b  11, a  b  14, a  b  17, , Kết hợp với a  b  để tìm a,b    1999  1a M29 Bài 43: Tìm a,b biết rằng: 1999  19a8 M 1997 Bài 44: Tìm a biết rằng:  Bài 45: Cho a/ 22x  y HD: x  y   x, y �Z  , CMR biểu thức sau chia hết cho c/ 11x  10 y b/ x  20 y a, Ta có: x  y   x  y M7  x  y  21x M7  22 x  y M7 b, Ta có: x  y    x  y    x  21y  M7  x  20 y M7 c, Ta có: x  y M7  11x  11 y M7  11x  11 y  21 y M7  11x  10 y M7 Bài 46: Cho A  111 Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 không? HD: 111  111 1M3 chia hết cho 37 Ta có: 111  3.37 , nên để 111 1M Ta có: 111 ( 20 số ) có tổng chữ số 1+1+1+ +1=20  111 không chia hết 111 1M Bài 47: CMR: 7x+4y M29 9x+y M29 HD: Ta có: x  y M9  36 x  29 x  y M9  36 x  y M9   x  y  M9  x  y M9 Bài 48: CMR abcd M29 a+3b+9c+27d chia hết cho 29 HD: Ta có: abcd M29  1000a  100b  10c  d M29  200a  200b  20c  2d M29   2001a  1   203b  3b    29c  9c    29d  2d  M29   2001a  203b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  M29   69.29a  7.29b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  M29 Khi đó: a  3b  9c  27 d M29 Bài 49: Chứng minh x,y số nguyên cho ngược lại HD:  x  y  M13  x  y  chia hết cho 13 5x  yM 13   x  y  M 13  20 x  16 y M 13  x  y M 13 Ta có: Từ ta ngược lại Bài 50: Cho A  n  n  , CMR A không chia hết cho 15 với số tự nhiên n HD: n  n   n  n  1  0, 2, 6, Do : , Vì n  n  1  n  n  1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận : có tận 2, 4, nên không M5, A không chia hết cho 35 Bài 51: Cho a,b hai số phương lẻ liên tiếp, CMR : HD: Ta có: Vì a, b số lẻ nên  a  1  b  1 M4 a   2k  1 , b   2k  1   a  1  4k  k  1 ,  b  1  4k  k  1 Đặt  a  1  b  1 M192 a  1  b  1  16k  k  1  k  1 k  k  1  k   M3  Khi : , Mà k  k  1 , k  k  1 Và chia hết cho 2 k  k  1  k  1 M 12   a  1  b  1  16k  k  1  k  1 M 192 Nên , Khi a, b số phương lẻ liên tiếp Bài 52: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 12n+1 HD: 2n  7Mn   x   5Mn    n  1  5Mn   n  �U   Ta có : Tương tự : 2n  M 12n    2n   M 12n   12n  42 M 12n   12n   41M 12n   12 n  �U  41 Bài 53: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y (y+1) chia hết cho x HD: Ta có : Vì vai trị x, y bình đẳng nên giả sử : x �y y 1 � x   x   2My  �   x; y    1;1 ,  1;  y  � Nếu �x  1My x �2  �x �y  �   x  1  y  1   xy  x  y  1 Mxy   x  y  1 Mxy �y  1Mx Nếu x  y 1 1     xy x y xy số nguyên dương Mà �x �y    1 1 1 1   �       1 x y xy 2 4 x y xy (1) 1 1 1   �     x �5  x  x y xy x x x x , Thay vào (1) ta có : 1     y  y 2y Vậy cặp số (x ; y) phải tìm : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2) Bài 54: Tìm số có ba chữ số biết số chia cho 11 thương tổng chữ số số HD : Ta có : Gọi số cần tìm : abc abc  11 a  b  c   100a  10b  c  11a  11b  11c Theo ta có :  89a  b  10c  89a  cb , Vì cb số có hai chữ số nên < a< => a = 1, Khi ta có : 89  cb  bc  98  abc  198  n : 6   n  1  n  1 M24 Bài 55: Chứng minh : HD :  2, n M   n  2k  1, n  3k  1, n  3k   n;6   n M Vì n  2k   A   2k   1  2k   1  4k  k  1 M8 Với: n  3k   A  3k  3k   M3  AM24 TH1 : n  3k   A   3k  1  3k  3 M3  AM24 TH2: n4 n Bài 56: CMR: a  a M30, với n số nguyên dương Bài 57: Chứng minh 2x+3y chia hết cho 17 9x+5y chia hết cho 17 HD: Ta có : 2x  yM 17   x  y  M 17  18 x  27 y M 17  18 x  10 y M 17   x  y  M 17 17 , Chứng minh tương tự điều ngược lại Khi : x  y M Bài 58: CMR: nguyên HD: M   a  b  a  c  a  d   b  c  b  d   c  d  chia hết cho 12, Với a, b, c, d số M   a  b  a  c  a  d   b  c  b  d   c  d  Ta có : Trong số a,b,c,d chắn có hai số chia cho có số dư, Nên hiệu chúng chia hết cho 3, Như M chia hết cho Lại có số nguyên a,b,c,d có số chẵn có số lẻ, Giả sử a,b số chẵn, c,d số lẻ Khi  a  b  ,  c  d  M2   a  b   c  d  M4  M M4 Hoặc khơng phải số tồn số chia có số dư nên hiệu chúng chia hết cho 4, Khi M M4 Như M chia hết cho nên M chia hết cho 12 Bài 59: Một số chia cho dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? HD: Gọi số cho A, theo ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) a+39 đồng thời chia hết cho 7,17,23 Mà 7,17,23 đôi nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, A chia 27737 dư 2698 20 Bài 60: CMR: A   , chia hết cho 17 HD: 88  220  224  220  220  24  1  17 M 17 Ta có:A = Bài 61: Khi chia số tự nhiên gồm chữ số giống cho số tự nhiên gồm chữ số giống ta thương cịn dư, Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số bị chia thương phép chia số dư giảm trước 100, Tìm số chia số bị chi lúc đầu? HD: Gọi số bị chia lúc đầu aaa số chia lúc đầu bbb , số dư lúc đầu r 20 Ta có: aaa  2.bbb  r aa  2.bb  r  100 nên aaa  aa  bbb  bb  100  a 00  2.b00  100  a  2b    Do a, b chữ số nên ta có bảng: Bài 62: Cho D=1-2+3-4+ +99-100 a, D có chia hết cho khơng, cho 3, cho khơng? sao? b, D có ước số tự nhiên, ước số nguyên? HD: a, Ta tính D= - 50, nên D có chia hết cho 2, khơng chia hết cho b, D=-50  2.5 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, có 12 ước nguyên 2011 Bài 63: CMR : 10  chia hết cho 72 HD: 102011   1000 008 43 2010 Có tổng chữ số nên chia hết cho 9, có chữ số tận 008 nên chia hết cho 8, Như chia hết cho 8.9 = 72 1999 1997 Bài 64: Cho A  999993  555557 , CMR A chia hết cho HD: A   999993 1996   555557  1996 1  9999931996.9999933  5555571996.555557 Ta có : A  .1 .7   0M5  AM5  cho 5, chia cho số dư khác nhau, Bài 65: Cho số tự nhiên liên tiếp M CMR: tổng chúng M5 * n , cmr a  150 chia hết cho 25 Bài 66: Cho a , n �N , biết a M HD: 2 Ta có: a M5 mà số nguyên tố  a M5  a M25  a  150M25 Bài 67: Chứng minh a không bội a  chia hết cho 10 Bài 68: Chứng minh a  a M Bài 69: CMR : p  n  3n  , không chia hết cho 121 với số tự nhiên n 2 13 169 abM Bài 70: Cho a,b hai số nguyên, CMR : Nếu 3a  11ab  4b M 10 Dạng : CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀ ĐỒNG DƯ THỨC A Lý thuyết: + Một số có chữ số tận : 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa n �0 số có chữ số tận (0; 1; 5; 6) + Số có chữ số tận 2; 4; nâng lên lũy thừa số có chữ số tận + Số có chữ số tận 3; 7; nâng lên lũy thừa số có chữ số tận Chú ý 1: + số tự nhiên nâng lên lũy thừa 4k+1 chữ số tận khơng thay đổi + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n  số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n  số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n  số có chữ số tận + Số có tận nâng lên lũy thừa 4n  số có chữ số tận + Còn lại chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, nâng lên lũy thừa 4n  tận + Nếu a b có số dư chia cho m a gọi đồng dư với b theo modum m KH: a �b  mod m  �1 mod  �11 mod  18 �0  mod  Ví dụ: + Một số tính chất đồng dư: � �a �b  mod m   a �c  mod m  � b � c mod m   + Nếu: � � a �b  mod m  �  a  c �b  d  mod m  � c �d  mod m  � + Nếu: � a �b  mod m  �  a.c �b.d  mod m  � c �d  mod m  � + Nếu: a �b  mod m   a n �bn  mod m  + Nếu: + Nếu a �b  mod m  a : d �b : d  mod m  d UC(a; b) thỏa mãn: ( d; m) = a b� m� d �UC  a; b; d   � � mod � a �b  mod m  , d �Z , d d� d� + Nếu thỏa mãn : Chú ý : Không chia vế dồng dư thức : �12  mod10   �6  mod10  Ví dụ : , điều sai B Bài tập áp dụng : 2004 Bài 1:Tìm số dư phép chia 2004 chia cho 11 HD: Dấu hiệu chia hết cho 11 hiệu chữ số hàng lẻ với chữ số hàng chẵn tính từ bên trái chia hết cho 11 2002M 11  2004 �2  mod11  2004 2004 �2 2004  mod11 Ta có: 210 �1  mod11  20042004  4.2 2000 �24  210  Mà 2004 Vậy 2004 chi cho 11 dư 2005 Bài 2: Tìm số dư chia A  1944 cho HD: 200  mod11 �24  mod11 �5  mod11  13 Ta có: 1944 �2  mod   19442005 � 2   2  Mà Vậy �1 mod   19442004 � 23  2005 668  mod   mod  � 1  mod  �1  mod  668 19442005 �1  2   mod  hay A chia cho dư  1, B  61001  bội số Bài 3: Chứng minh rằng: A  HD: � 1  mod   61000 �1  mod   A �0  mod   AM7 Ta có: Chứng minh tương tự với B Bài 4: Tìm số dư phép chia: 1532  chia cho HD: 1532 �2  mod   15325 �25  mod  �5  mod  15325  �4  mod  Ta có: , Nên 2n n 19 Bài 5: Chứng minh rằng: A  7.5  12.6 M HD: n n 25n �6n  mod19   7.25n �7.6n  mod19  Ta có: A  7.25  12.6 ,Vì  A  7.6n  12.6n  mod19   6n.19  mod19  �0  mod19   AM 19 1000 2003 Bài 6: Tìm dư phép chia: chia cho 13 HD: 33 �1 mod 13   33  667 Ta có: 2002 Bài 7: Chứng minh :  4M31 HD : 32 �32  mod13 25  32 �1  mod 31   25  , Vậy số dư 22 �4  mod  31  A  22002  �0  mod 31 Ta có : 5555 2222 Bài 8: Chứng minh : 2222  5555 M7 HD : 5555 2222 � 4   mod   22225555 � 4   mod  Ta có : 5555 �4  mod   55552222 �42222  mod  Và , Khi : 5555 2222 A � 4    mod   4  Mà : 5555   4  3333 400 2222  A �4 2222  33333  1  mod   43333  1 , có 43 �1 mod   43333 �1  mod   43333  �0  mod  , hay AM7 Xét 70 50 Bài 9: Tìm dư phép chia :  khichia cho 12 HD: 52 �1  mod  12  570 �1  mod  12 Ta có: �1 mod  12  750 �1  mod12  Và , Khi số dư 776 777 778 A  776  777  778 Bài 10: Tìm số dư , chia cho chi cho HD : 776 � 1  mod 3  776776 �1  mod 3 Ta có : 777 �0  mod 3  777777 �0  mod 3 778 �1 mod 3  778778 �1 mod 3 Mặt khác : 776 �1  mod 5  776 776 , Khi A chia có dư �1  mod 5 14 777 �3  mod 5  777777 � 3 777  mod 5 778 �3  mod 5  778778 �3778  mod 5 Khi A �1  3777  3778  mod 5 �1  3.3777  3777  mod    3777   1  mod  �1  2.3777  mod  33 �1 mod 5  3777 � 32  Mà Vậy 388  mod 5 �3  mod 5 A �1  2.3  mod 5 �2  mod 5 hay A chia dư 2005 2005 Bài 11: Tìm số dư A   chia A cho 11 chia cho 13 HD: Ta có: Và 35 �1  mod11   35  45 �1 mod11   45  401 401 �1  mod11 �1  mod11 33 �1  mod13    668 Mặt khác: 43 �1  mod13   43  , Khi A chia cho 11 dư �3  mod13 �4  mod13 Và , Khi A chia cho13 dư Bài 12: Tìm chữ số tận số sau: 20002008 ;11112019 ;20072017 ;13582018 ;234567 ;5235 ;204402 ;20133102 ;10201040 Bài 13: Tìm chữ số tận của: 99 a, HD: 668 67 b, 4k  � � 4k  a, Ta có: số lẻ có TH � k 1  94 k.9  1.9  TH1 : k 3  94 k 93  1.93  TH2 : 4k  � � 67 4k  b, Ta thấy : số lẻ nên chia có TH : � 2008 2008 2008 Bài 14 : Cho A  17  11  , Tìm chữ số tận A HD : Ta có : A       25 21 10 Bài 15 : Cho M  17  24  13 , Chứng minh rằng: M M HD: 10 Ta có: M      M M C   3M2  n  N , n 1 n Bài 16: Chứng minh rằng: HD: n 1 2n 2.2n 1  812   C    M2 Ta có: C   102 102 10 Bài 17: Chứng minh rằng: A   M 2003 2024 2005 Bài 18: Tìm chữ số tận số sau: 2222 ;2018 ;2005 Bài 19: Chứng minh rằng: n1 n1 4n  3M  1M 10 a, b, c,  1M n  1M Bài 20: Chứng minh rằng: n A  24   n  N , n 1 Bài 21: Chứng minh số có dạng: có chữ số tận 15 HD: 4n  41n 1  4.4 n 1  A    24.4    16  n 1 n Ta có: 4n 1   B  32  4M5  n  N , n 2 Bài 22: Chứng minh số có dạng: HD: n n 1 n  n 2  4.2n 1  B  32   34.2     5M5 Ta có:  n C  34  1M 10  n  N , n 1 n Bài 23: Chứng minh số có dạng HD: 4n  41n 1  4.4n 1  C  34    34  n Ta có: 4n 1    81 Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của: 1111 1111 5555 a, 6666  1111  66 10n  555n  666n ,  n  N , n 1 b, 99992 n  9992 n 1  10n ,  n �N *  c, 20184 n  2019 n  20074 n ,  n �N *  d, Bài 25: Tìm chữ số tận số sau: a, A= 24n - (n > 0, n �N) b, B= 24n+2 + (n �N) HD:       0M 10 c, C= 74n – (n �N ) 24 n    24    16     .1 n a, Ta có :A= 4n 1 b, Ta có : B  4n n   24 n.4   6.4   .5 c, Ta có : C      Bài 26: Tìm chữ số tận số sau: 4n n n a, D=  HD: b, E=  n n n 2 4.2  (24 )  a, Ta có :2 =2 =2 =4.2 =>  n 1 n 1 n 1 4n 4.4n1 4n1   4.4    (2 )  b, Ta có : n 2+n-2 n-2 n-2 Bài 27: Chứng minh rằng: 22 4n 10 a, A =  1M5 b, B=  4M HD: 22 a, Ta có :     15M5 n 10 c, C=  1M n b, Ta có : Ta có có tận n n 1 n1 n 1 n 1  2.2 n1  92   92.2   (92 )     0M 10 c, Ta có :  Bài 28: Chứng minh rằng: n1 n1 4n 10 a, E=  3M5 b, F=  1M c, H=  1M HD: n 1   24 n.2   6.2   a, Ta có : 2 n 1 2n b, Ta có :   9   1.9   4n c, Ta có :     Bài 29: Chứng minh rằng: 16 n n b, K=  4M5( n �2) n  1M a, I= 10(n �1) c, M=  1M HD: 4n2   24 n.22   6.4   a, Ta có : n n 2 n 2 n   22.2n 2  4.2n   32   34.2     b, Ta có :  n 1 n n 1 n 1  4.4n 1  34   34.4     c, Ta có :  Bài 30: Chứng minh rằng: n1 2n a, D=  2M5 b, G=  1Mcả HD: n 1 4n a, Ta có :   3   1.3   5M5 2n b, Ta có :     Bài 31: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 n 1 n 1  2(n �N ) a,  1(n �N ) b, HD: n 1 4n a, Ta có :   3   1.3   4 n 1   24 n.2   6.2   b, Ta có : Bài 32: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 n n a,  4(n  N, n 2) b,  6(n  N , n 1) HD: n n 2 n 2 n 2  22.2 n  4.2n   2   24.2     a, Ta có :  n n 1 n 1 n 1  4.4n 1  94   4.4     b, Ta có :  Bài 33: Chứng minh rằng: a, 94260 - 35137 M5 b, 995 – 984 +973 – 962 M2 HD:  942  a, Ta có : 15   351 37   .1  .5M5 4 b, Ta có : 99  98  97  96  99 99  98  97  96  1.99     .0 Hiển nhiên chia hết cho Bài 34: Chứng minh rằng: 25 21 10 a, 17  24  13 M HD: 102 102 10 b,  M 25 21 24 20 a, Ta có: 17  24  13  17 17  24  13 13  1.17   1.13  chia hết cho 10 102 102 100 100 b, Ta có:   8  2  6.64  6.4  .4   nên chia hết cho 10 Bài 35: Chứng minh rằng: 36 10 28 a, 36  M45 b, 10  8M72 HD: 36 10 a, Ta có: 36    9   .1.81    36 10 Chia hết cho 5, ta thấy 36M9  36 M9,9 M9  đpcm b, Ta có : 10   10 00   1000 008M8 có tổng chữ số nên chia hết cho Khi chia hết cho 72 Bài 36: Chứng minh rằng: 20 15 17 a,  M b, 16  M33 HD: 28 88  220   23   20  224  220  220  24  1  20.17 M 17 a, Ta có: 17 165  215   24   215  220  215  215  25  1  215.33M33 b, Ta có: Bài 37: Chứng minh rằng: 59 a, 10  M HD: 13 b, 81  27  M45 106  57   2.5   57  26.56  57  56  26  5  56.59M59 a, Ta có: 817  279  913   34    33    32   328  327  326  326  32   1  326.5  324.45M45 b, Ta có: Bài 38: CMR: 100 99 a, 2008  2008 M2009 HD: a, Ta có: b, 12345 13 678  12345677 M 12344 2008100  200899  200899  2008  1  200899.2009M2009 12345678  12345677  12345677  12345  1  12345677.12344M 12344 b, Ta có: Bài 39: Cho n số tự nhiên, CMR : A=17n+111 (n chữ số 1) M9 HD: Ta có : A  18n  n  111 Số 1111 có tổng chữ số 1+1+1+1+ +1 có n số nên n Khi A  18n  n  1111 có 18nM9 nên cần 1111 1-n chia hết cho mà 1111 - n có tổng chữ số nên chia hết cho Vậy A chia hết cho Bài 40: Tìm chữ số tận tổng sau: S     2004 HD: Ta thấy lũy thừa S có số mũ chia cho dư Nên tổng S có chữ số tận là:     2004  9009  S có chữ số tận 11 8011 Bài 41: Tìm chữ số tận của: T      2004 HD: Ta thấy lũy thừa T có dạng chia dư 3, Nên tổng T có chữ số tận :           199           +     9019 Vậy chữ số tận T Bài 42 : Tìm số dư : 8005 a, A      2003 chia cho 11 8007 b, B      2003 chia cho Bài 43: Tìm chữ số tận : 10 8010 a, C      2004 12 16 8016 b, D      2004 Bài 44: Chứng minh chữ số tận số sau giống nhau: 8013 11 8015 a, A      2005 B      2005 Bài 45: Tìm chữ số tận của: 13 4013 4017 a, A  10  12  14   2014  2016 13 4021 4025 b, B   11   2015  2017 11 15 4027 4031 c, C      2015  2017 13 3997 4001 d, D  21  23  25   2017  2019 43 47 51 203 207 e, E  20  22  24   98  100 12 16 8016 f, F      2004 8009 18 Bài 46: Tìm chữ số tận của: n A  19  7,  n �2  a, 2017  2016  n �2  n b, n n n C  1999  19972  19964  2017  n �2  Bài 47: Tìm chữ số tận của: 10 10 Bài 48: Tìm số tự nhiên n để n  1M HD: n10    n  n  1M 10   n  n 2 Ta có: 10=4.2+2, nên 1999 1997 Bài 49: CMR: 999993  55557 M phải có tận 9=> n=3 n=7 19 Chú ý: Đối với tìm chữ số tận cùng: + Với chữ số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa bao nhiên (Khác 0) có chữ số tận n + Các số 26 ln có tận 76 (n>1) 10 20 + Các số: , có tận 76 01 + Cịn lại đưa lên lũy thừa 2,4,5 trở 76 01 100 100 Bài 1: Tìm chữ số tận của: ,3 HD:  2100   210   76 10 Ta có:  10  76 Và 666 101 101 Bài 2: Tìm chữ số tận : 51 , 99 ,6 ;14 16 HD: 51  25 Ta có:  5151   512  51  01   9999   992  99  01 49 49   3100   320   01  01 99 25 51  51 99  99 6666   65133.6   76.6  56 14101.16101  224101   2242  224  76.224  24 50 99 2k k 1 2n n 1 99 5n 5n 1 66 Bài 3: Tìm chữ số tận của: 51 ,51 ,99 ,99 ,99 ,6 ,6 ,6 HD: 99 9999 99 9999  2n   99 99  992 n 1  n �N , n  1 99 ; 99 Ta thấy: thấy số lẻ nên  992 n1  99  992   99 01  99 n 2003 2003 2004 2005 2004 Bài :Tìm số tận : , ,74 ,18 68 , 74 Bài : Tìm chữ số : a, b, 492 n ;492 n 1  n �N  24 n.38n  n �N  3n n 23n 3.3n 1  n �N  c, 742 n ,74 n 1  n �N  d, HD : 24 n.38 n  n  32  4n   18  4n b, Bài : Chứng minh : 2n 10  n �N , n  1 M a, A  26  26M B  242 n 1  76M 100  n �N  b, 2000 2000 2000 c, M  51 74 99 HD: c, Có chữ số tận 76 2008 Bài 7: Chứng minh rằng: A  10  125M45 HD: A có chữ số tận nên A M5 Mặt khác A có tổng chữ số :1+1+2+5=9 M9 nên AM9 20 Chú ý : Để đơn giản tìm chữ số tận số a, ta có TH : n + a chẵn => Tìm n nhỏ cho a  1M25 n 100 + a lẻ => Tìm n nhỏ cho a  1M 2003 Bài 8: Tìm dư chia cho 100 HD: 10 Ta có: tận 76 99 Bài : Tìm số dư chia cho 100 HD : n 100  n  Ta có : số lẻ=> cần tìm  1M Khi : có tận 01 517 Bài 10 : Tìm số dư : chia cho 25 HD : 517 517 Tìm chữ số tận 43=> chia cho 25 dư 18 2002 2002 A    32002   2004 2002 Bài 11 : Tìm chữ số tận : HD : a �N ,  a;5   a 20  1M25 Dựa vào tính chất : 100 Thấy a chẵn => a M4, a lẻ=> a  1M4  a M5  a M25  A  12002  22  2002  1   20042  2004 2002  1  2  32   2004 2 chữ số tận A chữ số tận của tổng n  n  1  2n  1 B  12  22  32   20042  với n= 2004 21 Dạng : NHÓM HỢP LÝ Bài 1: Chứng minh rằng: n n2 n n 10 a,    M HD : a, Ta có: n2 n4 n n b,    M30 VT  3n.9  2n.4  3n  2n  3n   1  2n 1.8  2n 1.2  3n.10  2n1.10M 10 VT  3n.9  2n.16  3n  2n  3n   1  2n  16  1  3n.10  n.15M30 b, Ta có: Bài 2: Chứng minh rằng: n n1 10 a, 8.2  M HD: n3 n3 n 1 n b,    M6 8.2n  2n1  8.2n  2n.2  2n     10.2 n M 10 a, Ta có: n n n n n n b, Ta có: VT  27  3    30  12M6 n 1 n 2 Bài 3: Chứng minh rằng:  M7 HD : n A  3.32 n  4.22 n      4.2n  M  7.2n M7 Ta có : Bài 4: Chứng minh rằng: n n 81 a, 10  18n  1M27 b, D = 10  72n  1M HD: a, Ta có: VT   10n  1  18n  999  18n VT  9.1111  9.2n   111  2n  M9 ( có n chữ số 9)  1111  n   3n mặt khác: 111  2n ( có n chữ số 1) = Xét: 111  n có tổng chữ số 1+1+1+ +1-n=0 nên chia hết cho 111 1+2n chia hết cho 3=> VT chia hết cho 27 b, Ta có: D  10n   72n  9.111  n  81n  9(111  n)  81n Xét 111 - n chia hết cho => D chia hết cho 81 n 1 n2 n 3 Bài 5: CMR :   chia hết cho 13 với n HD: 3n 1  3n   3n 3  3n.3  3n.9  3n.27  3n.3      3n1.13M 13 Ta có: x 1 x 2 x 3 x 100 b, Chứng minh :     chia hết cho 120 Bài 6: Chứng minh rằng: a,   M7 11 b,   M c, 10  10  10 M222 M555 59 d, 10  M HD:  53  52   1  52.21M7 a, Ta có:  74    1  4.55M 11 b, Ta có:  107  102  10  1  107.111M222 c, Ta có : M555   2.5  56 26   56.59M59 d, Ta có :   22 13 Bài : Chứng minh : 81  27  M45 HD :   34    33    32  Ta có : 13  328  327  326  326  32   1  326.5M 9.5  45 2004 Bài : Chứng minh : A      M3;7;15 Bài : Chứng minh : 10 a,   M55 45 15 30 b, 45 15 M75 54 24 10 63 c, 24 54 M72 10 40 20 d, 45  M25 10k  1M 19  k  1 , CMR :102 k  1M 19 Bài 10: Cho HD: 102 k   102 k  10k  10k   10k  10k  1   10k  1 Ta có: k 19 Nhận thấy: 10  1M 4 Bài 11: Chứng minh rằng: n  n  M HD: n  n   n  n  1  n  n  1 Ta có: , àm tích số tự nhiên liên tiếp nên chẵn Mà VP +1 nên số lẻ không chia hết cho 5 Bài 12: Chứng minh rằng: n �N , n  n  M HD: Vì Vì n  n   n  n  1  n  n  1 , tích số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận 0; 2; n  n  1  Khi đó: có tận 6;8;2 nên không chia hết cho 15 không chia hết cho 30 Bài 13: Chứng minh rằng: Với n 60n  45M  với số tự nhiên n Bài 14: Chứng minh rằng: n  n  M HD: n  n   n  n  1 Ta có: số lẻ nên khơng chia hết cho Tương tự chứng minh có chữ số tận khác nên không chia hết cho Bài 15: Chứng minh rằng: 11 a,      M4 b,     M30 HD: a, Ta có: A    32  33   310  311    3  32      310   1 A   32.4  34.4   310.4M4 b, Ta có: B   52  53  54   58    52    53  54     57  58  B  30  52.30   56.30 Bài 16: Chứng minh rằng: 60 15 a,     M HD: 119 13 b,      M a, Ta có: C   22  23   260    22  23  24    25   28     257   260  b, Ta có: D                C        25        257      17 18 19 =>  C  15   25   257  23 D  13  33.13   317.13  13   33   317  M 13 Bài 17: Chứng minh rằng: 60 a,     M3, 7,15 HD: a, Ta có: 1991 13, 41 b,      M A    22    23  24     259  260  A      23      259     AM3 lại có: A    22  23    24  25  26     258  259  260  A     22   24    22    258    2  M7 Lại có: A    22  23  24    25  26  27  28     257  258  259  260  A  2.15  25.15   257.15M 15 b, Ta có: B     32    33  34  35     31989  31990  31991  B  13  33.13   31989.13M 13 Lại có: B    32  34  36     33  35  37     31984  31986  31988  31990    31985  31987  31989  31991   820     31984  31095  M41 Bài 18: Chứng minh rằng: 100 a,     M31 HD: a, Ta có: 1998 12,39 b,     M A    22  23  24  25    26  27  28  29  210     296  297  298  299  2100  A  2.31  26.31   296.31M 31 b, Ta có: S    32    33  34     31997  31998  S  12  32.12   31996.12M 12 mặt khác: S    32  33    34  35  36     31996  31997  31998  S  39  33.39   31995.39M 39 Bài 19: Chứng minh rằng: 1000 120 12 a,     M b, 11  11  11   11 M HD: a, Ta thấy tổng B chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng B chia hết cho 40 B    32  33  34     3997  3998  3999  31000      32  33    31997    32  33  M40 Như A M120 b, Ta có: C   11  112    113  114     117  118  C  11  11  113   11   117  11  11 C  11.12  113.12   117.12M 12 Bài 20: Chứng minh rằng: 210 404 31 a,     M210 b,      M HD: a, Tổng A hiển nhiên chia hết cho (1) Nên ta cần chứng minh tổng A chia hết cho 105=5.21 24 A    42    43  44     4209  4210  A      43      4209     4.5  43.5  4209.5 M A              4 208 4 209 4 210 (2)  A     16   4    16    4208    16  M21 (3) Từ (1), (2) (3) ta thấy: A M210 B    52  53  54  55   5402  403  5404 b, Ta có : B  31  53   52   5402   52 M31        Bài 21: Chứng minh rằng: 100 a,      M HD:    21 22 23 29 13 b,     M a, Ta có : A    22    23  24     299  2100  b, Ta có : B 3 3 3 A      23      299     2.3  23.3   299.3 M 21 22 B  321    32   324  3 3 3  3 1    1   23 24 25 26 27 27 3 3 28 29  B  321.13  324.13  327.13M 13 A  75.(42004  42003     1)  25M 100 2: CMR Bài HD: 2004 2003 Đặt B       , Tính B thay vào A ta : A  75  42005  1 :  25  25  42005  1  25  25  42005   1  25.42005 Bài 23: CMR: M  2012  2012  2012   2012 HD: 2010 M100 M 2013 M   2012  20122    20123  20124     20122009  20121010  M  2012   2012   20123   2012    20122009   2012  M  2012.2013  20123.2013   2012 2009.2013M2013 2008 Bài 24: Cho A      , Tìm dư A chia cho HD: A     22  23     25  26  27     22006  2007  2008  A   22    22   25    22    22006    22  A   22.7  25.7  2006.7 , Nhận thấy A chia dư n 3  25 n   25 n1 chia hết cho 31 n số nguyên dương Bài 25: CMR : A      HD: A     22  23  24    25  26  27  28  29     25 n 5  25 n 4  25 n3  25 n 2  25 n 1  A  31  25    2  23  24    25n 5    2  23  24  A  31  25.31   25 n 5.31M 31 Bài 26: Cho n số nguyên dương, CMR :  , bội 10  bội 10 HD: n n n Nếu  , Là bội 10  có tận số 0=> có tận n4 n 10 (đpcm) Mà   3   .9.81     M n n 25 2012 Bài 27: CMR : N      bội 30 HD: N    52    53  54     52011  52012  N  30  52   52    52010   52   30  52.30   52010.30M30 2004 2004 Bài 28: Cho S      , CMR S chia hết cho 10 3S+4 chia hết cho HD: S    42    43  44     42003  42004  S      43      42003     4.5  43.5   2003.5  S M5, S M2  S M 10 2005 Mặt khác: 4S       S  S  3S  42005   3S   42005 M42004 Bài 29: Cho HD: N N  0,7  2007 2009  20131999  , CMR: N số nguyên  2007 2009  20131999  10 , Để Chứng minh N alf số nguyên N chia hết cho 10 hay: 2007 2009  20131999  2007 2008.2007  20131996.20133  1.2007     0M 10 Vậy N chia hết cho 10, Khi N số nguyên Bài 30: CMR: a  a M6 2008 2007 2006 Bài 31: Chứng minh : B    M31 HD : B  52006  52   1  31.52006 M31 Ta có : 20 17 Bài 32: Chứng minh :  M HD : C   23   220  224  220  220  24  1  220.17M 17 Ta có: Bài 33: Chứng minh rằng: D  313 299  313 36M7 HD: D  3135  299  313.36   3135  1567  M7 Ta có: n 1  74 n M 400 Bài 34: Chứng minh rằng: A      HD: Ta có: 400     , nhóm số hàng tổng A Bài 35: Chứng minh rằng: 3 3 a, A     M2 n 1 b, B       M30 A     2  23   22008  2002  Bài 36: Tìm số dư A chia A cho biết: HD: Nhóm số hạng Bài 37: Chứng minh rằng: 18 13 99 28 14 a,  M b, 81  27  M405 c, 10  M9 d, 10  8M72 39 40 41 e,   M28 HD:  218  23  1 a, c, Tổng chữ số Bài 38: Chứng minh rằng: 26 a,     M 16 b,     M 2008 c, 2000  2000  2000   2000 M2001 1991 13 M41 Bài 39: Chứng minh rằng: A      M HD: Nhóm nhóm Bài 40: Chứng minh rằng: a, A      M30 29 b, B       M273 HD: b, Nhóm 3 120 Bài 41: Chứng minh rằng: A       M217 HD: Ta có: 217=7.31 101 100 Bài 42:Cho C       , CMR: A M40 HD: Nhóm x1 x x x100 Bài 43: Chứng minh rằng:     chia hết cho 120 với x số tự nhiên HD : 3x1  3x2  3x3   3x100  3x1  3x  3x3  3x  3x  3x  3x  3x8   3x 97  3x 98  3x99  3x100        3      3       3    x x 4 x 96   3x.120  3x 4.120   3x96.120  120 3x  3x   3x 96 M 120   648 Bài 44: Cho biểu thức : B    , Tìm số dư chia B cho 91 27 ... 51 99  99 66 66   65 133 .6   76. 6  56 141 01. 161 01  2 241 01   2 242  2 24  76. 2 24  24 50 99 2k k 1 2n n 1 99 5n 5n 1 66 Bài 3: Tìm chữ số tận của: 51 ,51 ,99 ,99 ,99 ,6 ,6 ,6 HD: 99 9999... 2  6. 64  6 .4  .4   nên chia hết cho 10 Bài 35: Chứng minh rằng: 36 10 28 a, 36  M45 b, 10  8M72 HD: 36 10 a, Ta có: 36    9   .1.81    36 10 Chia hết cho 5, ta thấy 36M9  36 M9,9... Bài 23: Chứng minh số có dạng HD: 4n  41 n 1  4. 4n 1  C  34    34  n Ta có: 4n 1    81 Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của: 1111 1111 5555 a, 66 66  1111  66 10n  555n  66 6n ,