CÁC DẠNG TOÁN HÌNH lớp 8

Phương pháp giải Hình học TỨ GIÁC Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA, bất bì đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng Tứ giác lồi :Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Chú ý: Khi nói đến tứ giác, ta hiểu tứ giác lồi, tứ giác lồi tổng góc 3600, tổng góc ngồi 3600 Dạng Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc PP: Sử dụng tính chất tổng góc tứ giác, ttrong tam giác, góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng song song… ̂ = 90 Tính góc A góc ngồi đỉnh A Bài Cho tứ giác ABCD có 𝐵̂ = 120; 𝐶̂ = 60; 𝐷 HD: ̂ = 3600 nên 𝐴̂ = 900 góc ngồi đỉnh A la: 1800 − 900 = 900 𝐴̂ + 𝐵̂ + 𝐶̂ + 𝐷 Bài Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, 𝐶̂ = 60 ; 𝐴̂ = 100 ̂ b) Tính 𝐵̂, 𝐷 a) Chứng minh AC đường trung trực BD HD: a) ∆ABD ∆CBD cân nên AC trung trực BD ̂ = 𝐴𝐷𝐵 ̂ = 400; ∆CBD cân mà 𝐶̂ = 600 => 𝐶𝐵𝐷 ̂ = 𝐶𝐷𝐵 ̂ = 600 b) ∆ABD cân mà 𝐴̂ = 1000 => 𝐴𝐵𝐷 ̂ = 1000 => 𝐵̂ = 𝐷 Bài Cho tứ giác ABCD có phân giác góc A góc B cắt E, phân giác ngồi góc ̂= A góc B cắt F Chứng minh: 𝐴𝐸𝐵 ̂ 𝐶̂ +𝐷 ̂= 𝐴𝐹𝐵 𝐴̂+𝐵̂ HD: ̂ 𝐴̂ + 𝐵̂ 𝐶̂ + 𝐷 = 2 0 ̂ ̂ ̂ ̂ Vì tứ giác BFAE có 𝐴 = 𝐵 = 90 nên 𝐹 + 𝐸 = 180 hay ̂ = 1800 − (𝐸𝐴𝐵 ̂ + 𝐸𝐵𝐴 ̂ ) = 1800 − 𝐴𝐸𝐵 ̂ ̂ = 1800 − 𝐴𝐸𝐵 ̂ = 1800 − 𝐶 +𝐷̂ = 𝐴𝐹𝐵 𝐴̂+𝐵̂ ̂ = 180 CB=CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = Bài Cho tứ giác ABCD có 𝐵̂ + 𝐷 AB Chứng minh: a) Các tam giác ABC EDC b) AC phân giác góc A HD: ̂ = 𝐶𝐷𝐸 ̂ ( bù với góc 𝐴𝐷𝐶 ̂ ) nên ∆ABC=∆EDC (c.g.c) a, Ta có: 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 𝐶𝐸𝐴 ̂ mà 𝐶𝐸𝐴 ̂ = 𝐶𝐴𝐵 ̂ (hai góc tương ứng ) nên b, Theo a AC=CE nên ∆ACE cân , suy 𝐶𝐴𝐸 GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học ̂ = 𝐶𝐴𝐸 ̂ Vậy AC phân giác góc A 𝐶𝐴𝐵 ̂ tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 10 Bài Cho tứ giác ABCD biết số đo góc 𝐴̂, 𝐵̂, 𝐶̂ , 𝐷 a) Tính số đo góc tứ giác ABCD b) Kéo dài hai cạnh AB DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD BC cắt F Hai tia phân giác góc AED góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt cạnh CD AB M N Chứng minh O trung điểm đoạn MN HD: a, Ta có: 𝐴̂ = 𝐵̂ = 𝐶̂ 13 = ̂ 𝐷 10 = ̂ 𝐴̂+𝐵̂+ 𝐶̂ + 𝐷 5+8+13+10 ̂ = 3600 = 36 100 Vậy: 𝐴̂ = 500 ; 𝐵̂ = 80 ; 𝐶̂ = 130 ; 𝐷 = 100 ̂ = 500 ; suy 𝑀𝐹𝐷 ̂ = 250 => 𝐹𝑀𝐷 ̂ = 750 = 𝑁𝑀𝐸 ̂; b, Xét ∆AFB có: 𝐴̂ = 500; 𝐵̂ = 800 nên 𝐴𝐹𝐵 ̂ = 1050 nên 𝑀𝑁𝐸 ̂ = 750 Vậy ∆NEM cân E mà EO phân giác nên O trung điểm MN 𝐴𝑁𝐹 ̂ = 180, AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD Bài Cho tứ giác ABCD có 𝐵̂ + 𝐷 HD: Kẻ CH vng góc AD, CP vng góc AB CH=CP( t/c phân giác) ̂ ( bù với góc 𝐵̂ ) nên 𝐻𝐶𝐷 ̂ = 𝑃𝐶𝐵 ̂ => ∆𝐻𝐶𝐷 = ∆𝑃𝐶𝐵 (cgv-gnk) nên DC=BC ̂ = 𝐶𝐵𝑃 𝐷 Bài Cho tứ giác ABCD có 𝐴̂ = 𝑎, 𝐶̂ = 𝑏 Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường thẳng ̂ AB DC cắt F Các tia phân giác hai góc AEB AFD cắt I Tính góc 𝐸𝐼𝐹 theo a,b HD: Goi AB giao IE O, CB giao IF H, Ta có: ̂ ̂ ) = 1800 − (𝑎 − ̂ = 1800 − (𝐹 + 𝐼𝑂𝐵 𝐸𝐼𝐹 ̂ ̂ = 1800 − (𝐸 + 𝐼𝐻𝐸 ̂ ) = 1800 − (𝑏 − 𝐸𝐼𝐹 𝐸̂ 𝐹̂ 𝐹̂ + ) (1) 𝐸̂ + ) (2) ̂ = 3600 − (𝑎 + 𝑏 ) nên 𝐸𝐼𝐹 ̂ = Lấy (1)+(2) theo vế ta được: 2𝐸𝐼𝐹 3600 −(𝑎+𝑏 ) Dạng Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh: a) ABAB+BC+CD+DA (1) Ta có: OA+OB+OC+OD=AC+DB < AB+BC+CD+DA (2) Đã chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh b, Khi O điểm tam giác: Ta có: OA+OB>AB; OC+OD>DC hay OA+OB+OC+OD>AB+DC Tương tự ta có: OA+OB+OC+OD>BC+AD nên OA+OB+OC+OD> (AB+BC+CD+DA):2 Xét bất đẳng thức : OA+OB+OC+ODAB; OC+OD>DC Cộng theo vế bất đẳng thức suy ra: OA+OB+OC+OD>AB+DC hay AC+DB>AB+DC Chứng minh tương tự ta được: AC+BD>AD+BC b, AC+DB=OA+OC+OD+OB>(AB+BC+CD+DA):2 Theo HÌNH THANG – HÌNH THANG VNG GROUP SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học Định nghĩa:  Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song  Hình thang vng hình thang có góc vng Tính chất:  Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy  Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song Dạng Tính chất góc hình thang PP: Sử dụng tính chất góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng song song: Hai góc sole nhau, phía bù nhau… ̂ = 200 , 𝐵̂ = 2𝐶̂ Tính góc hình thang Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có 𝐴̂ − 𝐷 HD: ̂ = 1800 ( hai góc phía) mà 𝐴̂ − 𝐷 ̂ = 200 nên 𝐴̂ = 1000 ; 𝐷 ̂= Vì AB//CD nên 𝐴̂ + 𝐷 800 Tương tự: 𝐵̂ + 𝐶̂ = 1800 mà 𝐵̂ = 2𝐶̂ nên 2𝐶̂ + 𝐶̂ = 1800 𝐵̂ = 1200 => 3𝐶̂ = 1800 nên 𝐶̂ = 600 ̂ = 300 Tính góc Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, 𝐵𝐷𝐶 hình thang HD: ̂ = 𝐵𝐷𝐶 ̂ = 300 (sole); 𝐷𝐵𝐴 ̂ = 𝐴𝐷𝐵 ̂ = 300 (∆𝐴𝐷𝐵 𝑐â𝑛) Suy 𝐴̂ = 1200 𝐷 ̂ = 600 𝐷𝐵𝐴 ̂=𝐷 ̂ = 600 ( đồng vị) mà CB=BE nên ∆BCE đếu Từ B kẻ BE // AD Suy BE=AD 𝐶𝐸𝐵 𝐶̂ = 600 ; 𝐵̂ = 1200 ̂ Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD Chứng minh rằng: 𝐴̂ + 𝐵̂ > 𝐶̂ + 𝐷 HD: ̂ ; 𝐴̂ + 𝐵̂ = 𝐴̂ + 𝐷 ̂= 𝐷 ̂ ;𝐷 ̂ = 𝐸𝐵𝐴 ̂ + 𝐸𝐵𝐶 ̂+ Trên DC lấy E cho AB=DE Suy : 𝐴̂ = 𝐷𝐸𝐵 ̂> 𝐷 ̂ + 𝐸𝐵𝐶 ̂ + 𝐶̂ 𝐷𝐸𝐵 Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường phân giác góc A B cắt điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD + BC = DC HD: ∆ADK cân D, ∆CBK cân C ( có hai góc đáy nhau) nên AD=DK; KC=CB GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) a) Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy b) Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC HD: Trên AD lấy K cho AK=AB ̂ = 𝐴𝐹𝐵 ̂ ∆AKF= ∆ABF (c.g.c) nên 𝐴𝐹𝐾 ̂ + 𝐹𝐷𝐾 ̂ = 1800 nên 𝐹𝐴𝐾 ̂ = 900 Vì 𝐴̂ = 𝐷 ̂ nên 𝐾𝐹𝐷 ̂ + 𝐾𝐹𝐷 ̂ + 𝐷𝐹𝐶 ̂ = 900 mà 𝐴𝐹𝐾 ̂ = Â𝐹𝐵 ̂ suy ∆KFD= ∆CFD ̂ = 900 ; 𝐴𝐹𝐵 ̂ = 𝐶𝐹𝐷 Ta có: 𝐴𝐹𝐾 (g.c.g) nên KD=DC AD=AK+KD=AB+CD đpcm 𝐴𝐷 Bài Cho hình thang ABCD có 𝐴̂ = 𝐵̂ = 90 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx  MA, Mx cắt CD N Chứng minh tam giác AMN vng cân HD: Tính : 𝐶̂ = 1350 , Trên AB lấy K cho BM=BK suy AK=MC, ̂ = 1350, mặt khác: 𝐴𝐾𝑀 ̂ = 𝑁𝑀𝐶 ̂ ( bù với góc 𝐴𝑀𝐵 ̂ ) Vì ∆KBM vng cân nên 𝐴𝐾𝑀 suy ∆𝐴𝐾𝑀= ∆𝑀𝐶𝑁 (g.c.g) nên AM=MN Dạng Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vng Bài Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang HD: ̂ = 𝐵𝐶𝐴 ̂ mà 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 𝐶𝐴𝐷 ̂ nên 𝐶𝐴𝐷 ̂ = 𝐵𝐶𝐴 ̂ suy BC//AD hay ABCD hình ∆ABC cân nên 𝐵𝐴𝐶 thang Bài Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho AM = BC , N trung điểm cạnh AB Chứng minh: a) Tam giác AMB cân b) Tứ giác MNAC hình thang vng HD: a, Vì AM=AB:2 nên AM đường trung tuyến suy AM=MB=MC, hay ∆AMB cân M GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học b, Vì ∆AMB cân M, N trung điểm AB nên MN vng góc AB suy ANMC hình thang vng Bài Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Từ H kẻ HD  AC, HE  AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN hình thang vng HD: ̂ = 𝑀𝐷𝐸 ̂ ; 𝑀𝐵𝐸 ̂ = 𝑀𝐸𝐷 ̂ nên 𝑀𝐸𝐷 ̂ = 𝑀𝐻𝐸 ̂ = 𝑀𝐴𝐸 ̂ = 𝑀𝐶𝐷 ̂ = 𝑀𝐴𝐷 ̂ = 𝐷𝑀𝐶 ̂ = 𝐸𝐷𝑁 ̂ = 𝑀𝐸𝐻 900 suy MEDN hình thang vng HÌNH THANG CÂN Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất: Trong hình thang cân:  Hai cạnh bên  Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết:  Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân  Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Dạng Sử dụng tính chất hình thang cân để tính tốn chứng minh Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang Chứng minh DE = CF HD: ∆ADE=∆BCF (ch-gn) nên DE=CF Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) ̂ = 𝐵𝐷𝐶 ̂ a) Chứng minh: 𝐴𝐶𝐷 b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: EA  EB HD: ̂ = 𝐵𝐷𝐶 ̂ a, ∆ACD=∆BDC (c.c.c) nên 𝐴𝐶𝐷 ̂ = 𝐵𝐷𝐶 ̂ ; 𝐵𝐴𝐸 ̂ = 𝐴𝐶𝐷 ̂ nên 𝐴𝐵𝐸 ̂ = 𝐵𝐴𝐸 ̂ suy ∆AEB cân E nên EA=EB b, 𝐴𝐵𝐸 ̂ ) Đường chéo Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD  a , 𝐴̂ + 𝐵̂ = (𝐶̂ + 𝐷 AC vng góc với cạnh bên BC a) Tính góc hình thang ̂ b) Chứng minh AC phân giác góc 𝐷𝐴𝐵 c) Tính diện tích hình thang GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học HD: a, Ta có: ̂ = 360 mà 𝐶̂ + 𝐷 ̂ = 2(𝐴̂ + 𝐵̂) nên 𝐴̂ + 𝐵̂ =120 Vì ABCD hình thang cân nên 𝐴̂ = 𝐴̂ + 𝐵̂ + 𝐶̂ + 𝐷 ̂ =120 𝐵̂ = 60; 𝐶̂ + 𝐷 ̂ = 𝐷𝐴𝐶 ̂ = 30 nên AC phân giác 𝐷𝐴𝐵 ̂ b, 𝐶𝐴𝐵 ̂ = 30 ; CB= a nên AB=2a ( cạnh đối diện góc 300 nửa cạnh huyền) c, ∆CAB vuông C mà 𝐶𝐴𝐵 Suy AC= a√3 (Pytago cho tam giác ABC) Từ C kẻ CH vng góc AB suy ra: CH.AB=AC.CB => CH= 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = (𝐴𝐵+𝐷𝐶)𝐶𝐻 = 𝑎√3 3𝑎 √3 ̂ = 45 Gọi O giao điểm AC BD Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có 𝐵𝐷𝐶 a) Chứng minh tam giác DOC vng cân b) Tính diện tích hình thang ABCD, biết BD = (cm) HD: ̂ = 𝐴𝐶𝐷 ̂ = 45 a, 𝐵𝐷𝐶 b, 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 + 𝑆𝐷𝐴𝐶 = 𝐷𝑂.𝐴𝐶 + 𝑂𝐵.𝐴𝐶 = AC.BD:2=6.6:2=18cm2 Dạng Chứng minh tứ giác hình thang cân Bài Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE (D  AC, E  AB) Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên HD: Vì ∆ABC ∆AED cân A nên ED//BC, mà 𝐵̂ = 𝐶̂ nên EDCB hình thang cân ̂ ( sole trong) mà 𝐷𝐵𝐶 ̂ = 𝐷𝐵𝐸 ̂ = 𝐷𝐵𝐶 ̂ (gt) nên 𝐸𝐷𝐵 ̂ = 𝐵𝐷𝐸 ̂ hay ∆EDB cân Vì ED//BC nên 𝐵𝐷𝐸 E suy ED=EB=DC đpcm ̂ = BDC ̂ Chứng minh ABCD hình thang cân Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ACD HD: ̂ = 𝑂𝐵𝐴 ̂ (sole trong) ; 𝑂𝐴𝐵 ̂ = 𝑂𝐶𝐷 ̂ (sole trong) mà Gọi giao điểm DB AC O, ta có: 𝑂𝐷𝐶 ̂ = 𝑂𝐷𝐶 ̂ (gt) nên ∆ODC ∆OAB tam giác cân O, suy OA=OB; OC=OD hay 𝑂𝐶𝐷 AC=BD Vậy ABCD hình thang cân Bài Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = AE a) Chứng minh BDEC hình thang cân b) Tính góc hình thang cân đó, biết 𝐴̂ = 50 GROUP SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học HD: ̂ = 𝐵𝐷𝐸 ̂ = 115 b) 𝐵̂ = 𝐶̂ = 65, 𝐶𝐸𝐷 Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Chứng minh: a) Tam giác BDE tam giác cân b) Các tam giác ACD BDC HD: a, ∆BCE=∆CBA (g.c.g) nên BE=AC mà AC=BD nên ∆DBE cân B b, Vì AC=BD nên ABCD hình thang cân, suy AD=BC suy ∆ACD=∆BDC (c.c.c) Bài Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, đường thẳng song song với AC cắt BC E, đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh: a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF hình thang cân b) Chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác ABC ̂ = 𝐷𝑀𝐹 ̂ = 𝐸𝑀𝐹 ̂ c) 𝐷𝑀𝐸 HD: ̂ = 𝐷𝑀𝐹 ̂ = 𝐸𝑀𝐹 ̂ = 120 c) 𝐷𝑀𝐸 Bài Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, ̂ = CAD ̂ D ̂ = 600 BAC a) Chứng minh ABCD hình thang cân b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang 20 cm HD: ̂ = 300 hay 𝐴̂ = 600 Vậy ABCD hình thang cân ̂ = 600 nên 𝐶𝐴𝐷 a, Vì 𝐷 ̂ = 300 nên AD=2DC, ta có: 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 𝐶𝐴𝐵 ̂ = 𝐶𝐴𝐷 ̂ nên ∆ACB cân B, suy AB=BC=CD, b, Vì 𝐶𝐴𝐷 Chu vi ABCD=5CD=20 nên CD=4cm, AD  8(cm) ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Đường trung bình tam giác:  Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác  Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba  Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang GROUP SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học  Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang  Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai  Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Gọi I giao điểm AM với CD Chứng minh: AI = IM HD: ∆BDC có EM đường trung bình nên EM//DC hay EM//DI ∆AEM có DI//EM D trung điểm AE nên I trung điểm AM Bài Cho tam giác ABC hai đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi M, N trung điểm BG, CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song HD: MN//=2 ∆ABC có DE đường trung bình nên DE//= BC (1) ∆GBC có NM đường trung bình nên BC (2) Từ (1)(2) suy DE//= MN 1 Tương tự: DN//= AG; EM//=2 AG nên DN//=EM Bài Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh rằng: DI  DE HD: Từ B kẻ song song AI cắt ED H Suy I trung điểm HD (1) Vì HB//IC B trung điểm EC nên H trung điểm EI (2) Từ (1)(2) suy 3DI=DE ̂ = 80, AD = BC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB Bài Cho tứ giác ABCD có góc 𝐶̂ = 40, 𝐷 CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với đường thẳng AD BC HD: Gọi EF cắt AD BC M N, AD cắt BC O Gọi I trung điểm BD, Suy IE đường trung bình ∆DBA FI đường trung bình ∆DBC Mà AD=BC nên IE=IF hay ∆IEF cân I ̂ = 𝐹𝑁𝐶 ̂ = 𝑁𝐹𝐼 ̂ ( hai góc sole trong) 𝑂𝑁𝑀 GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ Phương pháp giải Hình học ̂ = 𝐼𝐸𝐹 ̂ = 120 nên 𝑂𝑁𝑀 ̂ ̂ ( hai góc đồng vị) mà 𝑁𝐹𝐼 ̂ = 𝐼𝐸𝐹 ̂ nên ∆OMN cân O mà 𝑁𝑂𝑀 𝑂𝑀𝑁 ̂ = 30 = 𝑂𝑀𝑁 Bài Cho A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d (AB > BC) Trên nửa mặt phẳng bờ d, vẽ tam giác AMB BNC Gọi P, Q, R, S trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh: a) PQRS hình thang cân b) SQ  MN HD: a, PQ đường trung bình ∆MBC nên PQ//BC SR đường trung bình ∆NAB nên SR//AB Suy SR//PQ nên PQRS hình thang Gọi H I trung điểm AB BC Ta có: SH đường trung bình ∆ABN nên SH//BN, mà BN//AM ( hai góc đồng vị nhau) nên SH//AM (1) PH đường trung bình ∆MAB nên PH//AM (2) ̂ = 600 Chứng minh tương tự Q,R,I thẳng hàng Từ (1)(2) suy P,S,H thẳng hàng PS//AM nên 𝑃𝑆𝑅 ̂ = 600 nên PQRS hình thang cân 𝑄𝑅𝑆 b, SQ=PR= MN Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM, D giao điểm BI AC a) Chứng minh: AD  DC b) So sánh độ dài BD ID HD: Kẻ MO //BD suy O trung điểm CD (1) MO//ID Vì MO//ID mà I trung điểm AM nên D trung điểm AO (2) Từ (1)(2) suy đpcm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC, BD a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng b) Tính MN, PQ, biết cạnh đáy hình thang AB=a; CD=b (b>a) c) Chứng minh MQ = PQ = PN b=2a HD: a, MN đường trung bình hình thang nên MN//DC (1) MQ đường trung bình tam giác DAB nên MQ//AB (2) GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 10 Phương pháp giải Hình học CR D Chứng minh PB OB RA AD QC EC  đpcm  ,  ,  PC EC RB OB QA AD Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng PB QC RA  (định lí Menelaus) PC QA RB HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p Ta có: PB n QC p RA m  đpcm  ,  ,  PC p QA m RB n Bài 20: Cho ∆DEG vuông D có DE=6cm, DG=8cm, đường cao DH a Chứng minh ∆GED∽ ∆DEH DE2=EH.EG b Tính EG, DH c Phân giác góc DEG cắt DG K, tính EK HD: a, ∆GED∽ ∆DEH (g.g) nên 𝐸𝐻 𝐷𝐸 = 𝐷𝐸 𝐸𝐺 b, Dùng Pytago cho tam giác DEG tính EG=10cm, Theo a) suy : c, 𝐷𝐾 𝐾𝐺 𝐷𝐸 𝐸𝐺 𝐷𝐸 = 𝐷𝐺 𝐷𝐻 từ tính DH=4,8cm = 𝐸𝐺 = 𝑚à 𝐸𝐷 + 𝐸𝐺 = 8𝑐𝑚 𝑛ê𝑛 𝐸𝐷 = 3𝑐𝑚, 𝐸𝐺 = 5𝑐𝑚 Dùng Pytago cho tam giác DEK tính EK=√45𝑐𝑚 Bài 21: Cho hình bình hành MNPQ có E trung điểm PQ, G trọng tâm ∆MPQ, F thuộc cạnh MQ cho FG//NM a Tính tỉ số 𝑄𝐸 𝐹𝐺 b Chứng minh ∆QGE ∽ ∆NGM tìm tỉ số đồng dạng HD: 𝑄𝐸 𝑀𝐸 a, FG//QE nên 𝐹𝐺 = 𝑀𝐺 = (tính chất trọng tâm) 𝑄𝐸 𝑄𝐸 b, ∆QGE ∽ ∆NGM (g.g) tỉ số đồng dạng k=𝑁𝑀 = 𝑄𝑃 = Bài 22: Cho hình bình hành ABCD, F thuộc BC Tia AF cắt BD DC E G CMR: a ∆BEF ∽ ∆DEA ∆DGE ∽ ∆BAE b AE2=EF.EG c BF.DG không thay đổi HD: a, ∆BEF ∽ ∆DEA (g.g) ∆DGE ∽ ∆BAE(g.g) 𝐺𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐸 𝐸𝐹 b, Theo a) 𝐸𝐴 = 𝐵𝐸 𝐷𝐸 = 𝐸𝐴 suy 𝐺𝐸 = 𝐸𝐴 GROUP SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 58 Phương pháp giải Hình học 𝐵𝐹 𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐴 𝐵𝐹 𝐵𝐴 c, ∆BEF ∽ ∆DEA nên 𝐷𝐴 = 𝐷𝐸; ∆DGE ∽ ∆BAE nên 𝐷𝐸 = 𝐷𝐺 suy 𝐷𝐴 = 𝐷𝐺 hay BF.DG=AD.AB (khơng đổi) Bài 23: Cho ∆ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF cắt H a Chứng minh AB.AF=AC.AE b Chứng minh ∆AEF ∽ ∆ABC ̂ ̂ = 𝐵𝐶𝐹 c Chứng minh 𝐵𝐸𝐹 ̂ ( hai cách) d Chứng minh EH phân giác 𝐷𝐸𝐹 e Chứng minh BH.BE+CH.CF=BC2 f Cho AE=3cm, AB=6cm, AH=5cm: Chứng minh dt(∆ABC)=4.dt(∆AEF); Tính dt(∆BEC); kẻ HM//AC Tính HM 𝐴𝐹 𝐵𝐷 𝐶𝐸 g Chứng minh : 𝐹𝐵 𝐷𝐶 𝐸𝐴 = HD: 𝐴𝐵 𝐴𝐸 a, ∆ABE ∽ ∆ACF (g g) nên 𝐴𝐶 = 𝐴𝐹 ; b, Xét ∆AEF ∆ABC có 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 góc A chung nên ∆AEF ∽ ∆ABC (c.g.c) ̂ = 𝐴𝐵𝐶 ̂ 𝑚à 𝐴𝐸𝐹 ̂ + 𝐵𝐸𝐹 ̂ + 𝐴𝐵𝐶 ̂ 𝑛ê𝑛 𝐵𝐸𝐹 ̂ ̂ = 𝐹𝐶𝐵 ̂ = 𝐵𝐶𝐹 c, Vì ∆AEF ∽ ∆ABC nên 𝐴𝐸𝐹 ̂ = 𝐵̂; Chứng minh tương tự câu b) suy ra: ∆CED ∽ ∆CBA d, Theo câu b) suy ra: 𝐴𝐸𝐹 ̂ => 𝐶𝐸𝐷 ̂ = 𝐴𝐸𝐹 ̂ mà 𝐶𝐸𝐷 ̂ + 𝐷𝐸𝐻 ̂ = 900 nên 𝐷𝐸𝐻 ̂ = 𝐻𝐸𝐹 ̂ + 𝐴𝐸𝐹 ̂ = 𝐻𝐸𝐹 ̂ nên 𝐵̂ = 𝐶𝐸𝐷 e, ∆BHD ∽ ∆BCE (g.g) nên BH.BE=BD.BC.(1) ; ∆CHD ∽ ∆CBF nên CH.CF=BC.CD (2) cộng vế (1) (2) ta được: BH.BE+CH.CF=BC(CD+DB)=BC2 f, Vì ∆AEF ∽ ∆ABC(g.g) theo tỉ số đồng dạng 𝑘 = 𝐴𝐸 𝐴𝐵 1 = = 𝑛ê𝑛 𝑆∆𝐴𝐸𝐹 = 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 - Dùng Pytago cho ∆AEB ∆EAH tính EB=√27 ; EH=4cm Suy 𝑆∆𝐴𝐸𝐵 = 𝐴𝐸 𝐸𝐵: = √27 𝐴𝐸 27 27 Vì ∆ABE ∽ ∆HCE theo tỉ số k=𝐻𝐸 = 𝑛ê𝑛 𝑆∆𝐸𝐻𝐶 = 32 √27 suy EC=2 𝑆∆𝐸𝐻𝐶 :EB=16 Từ tính 𝑆∆𝐶𝐸𝐵 𝐴𝐹 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐴 𝐵𝐶 g, 𝐹𝐵 𝐷𝐶 𝐸𝐴 = 𝐸𝐴 𝐹𝐵 𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 = Bài 24: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH, AB=5cm, AC=12cm, Gọi D, E hình chiếu H AB,AC a Tính BC,DE b Chứng minh ∆ACB ∽ ∆ADE c Đường vng góc với DE D E cắt BC M N, Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH d Chứng minh BN2-CN2=AB2 HD: a, Pytago cho ∆ABC: AB2+AC2=BC2 Thay số BC=13cm 60 Ta có: EHDA hình chữ nhật nên AH=ED, mà AH.CB=AB.AC => AH=13 𝑐𝑚 GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 59 Phương pháp giải Hình học ̂ = 𝐻𝐴𝐷 ̂ ; 𝐻𝐴𝐷 ̂ + 𝐵̂ = 𝐶̂ + 𝐵̂ 𝑛ê𝑛 𝐻𝐴𝐷 ̂ = 𝐶̂ => 𝐸𝐴𝐷 ̂ = 𝐶̂ => ∆ACB ∽ ∆ADE (g.g) b, 𝐸𝐷𝐴 ̂ 𝑚à 𝐸𝐻𝐴 ̂ = 𝐻𝐸𝐷 ̂ + 𝐻𝐸𝐷 ̂ = 𝑁𝐻𝐸 ̂ + 𝐸𝐻𝐴 ̂ 𝑛ê𝑛 𝑁𝐸𝐻 ̂ = 𝑁𝐻𝐸 ̂ => 𝐻𝑁 = 𝑁𝐸(1) c, 𝑁𝐸𝐻 ̂ = 𝑁𝐸𝐻 ̂ 𝑚à 𝑁𝐸𝐻 ̂ => 𝑁𝐸 = 𝑁𝐶 (2) ̂ + 𝑁𝐸𝐶 ̂ = 𝑁𝐻𝐸 ̂ 𝑛ê𝑛 𝐶̂ = 𝑁𝐸𝐶 𝐶̂ + 𝐶𝐻𝐸 Từ (1)(2) suy N trung điểm HC Chứng minh tương tự M trung điểm HB d, BN2-CN2=(BN+CN)(BN-CN)=BC.BH (3) 𝐴𝐵 𝐵𝐶 mà ∆ABC ∽ ∆HBA(g.g) nên 𝐻𝐵 = 𝐵𝐴 => 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶 𝐻𝐵(4) Từ (3)(4) suy BN2-CN2=AB2 đpcm Bài 25: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH, a Chứng minh ∆AHB ∽ ∆CAB b Phân giác BD cắt AH E, cho AB=12cm, BC=16cm, Tính tỉ số diện tích ∆EBH/∆DBA c Chứng minh EA.DA=EH.DC d Giả sử ∆ABC vuông cân A, lấy M trung điểm AC, đường thẳng qua A vuông góc BM cắt BC F, chứng minh BF=2FC HD: ̂ + 𝐵̂ = 900 𝑛ê𝑛 𝐶̂ =𝐻𝐴𝐵 ̂ => ∆AHB ∽ ∆CAB(g.g) a, 𝐶̂ + 𝐵̂ = 𝐻𝐴𝐵 b, Dùng Pytago cho ∆ABC : AB2+AC2=BC2 => AC=4√7𝑐𝑚 Có AH.BC=AB.AC => AH=3√7𝑐𝑚, mà AH2+HB2=AB2 nên HB= 9cm ̂ (phân giác DB) nên ∆EBH ∽ ∆DBA(g.g) theo tỉ số k=𝐵𝐻 = = ̂ = 𝐷𝐵𝐴 Xét ∆EBH ∆DBA có 𝐸𝐵𝐻 𝐵𝐴 12 𝑆∆𝐸𝐵𝐻 𝑆∆𝐷𝐵𝐴 nên c, 𝐷𝐴 𝐷𝐶 𝐵𝐴 = 16 = 𝐵𝐶 ; 𝐸𝐻 𝐸𝐴 = 𝐻𝐵 (𝑡í𝑛ℎ 𝐴𝐵 𝑐ℎấ𝑡 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐) 𝑚à 𝐻𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 𝑛ê𝑛 𝐴𝐷 𝐷𝐶 = 𝐸𝐻 𝐸𝐴 ℎ𝑎𝑦 𝐸𝐴 𝐷𝐴 = 𝐸𝐻 𝐷𝐶 d, Bài 26: Cho ∆ABC trung tuyến AD, AB=4cm, AC=8cm qua B dựng đường thẳng cắt AC F cho ̂ = 𝐴𝐶𝐵 ̂ 𝐴𝐵𝐹 a Chứng minh: ∆ABF ∽ ∆ACB b Chứng minh : 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐷𝐶 c Gọi O giao BF AD, CO cắt AB E, Từ A,C dựng đường thẳng song song với 𝐷𝐵 𝐹𝐶 𝐸𝐴 BF cắt CO J cắt AD I Chứng minh FC.JA=CI.FA 𝐷𝐶 𝐹𝐴 𝐸𝐵 = HD: ̂ = 𝐴𝐶𝐵 ̂ a, ∆ABF ∽ ∆ACB(g.g) 𝐴̂ chung, 𝐴𝐵𝐹  𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 => AF=2cm nên FC=6cm, b, Vì 2DC=BC nên 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐷𝐶 c, Vì OF//IC nên 𝐹𝐶 𝐹𝐴 = 𝐼𝑂 𝑂𝐴 𝑚à 𝐼𝑂 𝑂𝐴 = 𝐶𝐼 ( 𝐴𝐽 𝑉ì 𝐴𝐽 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝐼𝐶) 𝑛ê𝑛 𝐹𝐶 𝐹𝐴 = 𝐶𝐼 𝐴𝐽 Dùng tính chất đường đồng quy: GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 60 Phương pháp giải Hình học Bài 27: Cho hình chữ nhật ABCD kẻ AH vuông BD a Chứng minh ∆AHD ∽ ∆BDC BC2=DH.DB b Gọi S trung điểm BH, R trung điểm AH Chứng minh: SH.BD=SR.DC c Gọi T trung điểm DC chứng minh DRST hình bình hành ̂ d Tính 𝐴𝑆𝑇 HD: Bài 28: Cho ∆ABC vng A có góc B=2C, đường cao AD a Chứng minh: ∆ADB ∽ ∆ABC b Kẻ phân giác góc B cắt AD F cắt AC E CMR: AB2=AE.AC c Chứng minh: 𝐷𝐹 𝐹𝐴 = 𝐴𝐸 𝐸𝐶 d Cho AB=2BD, Chứng minh : 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐵𝐹𝐶 HD: Bài 29: Cho ∆ABC nhọn , M N trung điểm BC AC Đường trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đường thẳng // với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt H Gọi G trọng tâm ∆ABC a ∆ABH đồng dạng với tam giác nào? b Chứng minh ∆HAG ∽ ∆OMG c Chứng minh H,G,O thẳng hàng HD: Bài 30: Cho ∆ABC vuông B, đường cao BK a Chứng minh ∆AKB ∽ ∆ABC b Chứng minh AK.BC=AB.BK c Cho AB=15cm, BK=12cm, - Tính AK,KC,BC - Kẻ KM vng AB M, KN vuông BC N, gọi O giao điểm BK MN, trung tuyến BQ tam giác ABC cắt MN I Tính diện tích ∆BOI HD: Bài 31: Cho ∆ABC nhọn, hai đường cao AK BH cắt O a Chứng minh ∆AKC ∽ ∆BHC từ suy ra: CH.CA=CK.CB b Chứng minh ∆CHK ∽ ∆CBA ̂ = 1200 𝑣à 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 200𝑐𝑚2 , 𝑇í𝑛ℎ 𝑆∆𝐶𝐻𝐾 c Cho 𝐴𝑂𝐵 GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 61 Phương pháp giải Hình học ̂ = 600 nên HK=1/2AC( cạnh đối diện với góc 300) mà ∆CHK ∽ ∆CBA theo k=𝐻𝐾 = Nên HD: c, 𝐴𝑂𝐻 𝐴𝐶 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆∆𝐶𝐻𝐾 => 𝑆∆𝐶𝐻𝐾 = 50𝑐𝑚2 Bài 32: Chu vi tam giác ABC cân A 80cm, phân giác góc A góc B cắt I, AI cắt BC D 𝐴𝐼 Cho 𝐼𝐷 = Tính cạnh ∆ABC HD: Bài 33: Cho ∆ABC, lấy D BC cho DC=2DB Qua D kẻ đường thẳng //AC cắt AB F, qua D kẻ đường thẳng //AB cắt AC E, gọi M trung điểm AC 𝐵𝐹 a So sánh 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐶 b Chứng minh EF//BM 𝐵𝐷 c Giả sử: 𝐷𝐶 = 𝑘, Tìm k để EF//DC HD: Bài 34: Cho ∆ABC điểm D cạnh AB, đường thẳng qua D song song BC cắt AC E cắt đường thẳng qua C song song với AB G, BG cắt AC H, qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt BC I a CMR: DA.EG=DB.DE b HC2=HE.HA c 𝐼𝐻 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐺 HD: 𝐷𝐸 𝐷𝐴 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 nên DE.DB=DA.EG 𝐺𝐶 𝐻𝐶 𝐼𝐶 𝐻𝐺 𝐸𝐻 b, 𝐻𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐵𝐻 = 𝐻𝐶 nên HC2=HA.HE 𝐺𝐶 𝐻𝐺 𝐺𝐶 𝐴𝐵 𝐺𝐶+𝐴𝐵 𝐺𝐶+𝐴𝐵 𝐴𝐵.𝐵𝐺 c, 𝐴𝐵 = 𝐻𝐵 => 𝐻𝐺 = 𝐻𝐵 = 𝐻𝐺+𝐻𝐵 = 𝐵𝐺 nên 𝐺𝐶 + 𝐴𝐵 = 𝐻𝐵 1 𝐴𝐵.𝐵𝐺 𝐵𝐺 a 𝐴𝐵 + 𝐶𝐺 = 𝐻𝐵.𝐴𝐵.𝐶𝐺 mà BG.IH=HB.GC nên 𝐻𝐵.𝐶𝐺 = 𝐼𝐻 a, 𝐸𝐺 = chia vế cho CG.AB ta được: Vậy 𝐼𝐻 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐺 đpcm Bài 35: Cho hình vng ABCD điểm E BC Kẻ Ax vng AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AI G a Chứng minh AE=AF b Tứ giác EGFK hình thoi c ∆FIK đồng dạng ∆FCE d 𝐸𝐾 = 𝐵𝐸 + 𝐷𝐾 chu vi tam giác ECK không đổi E chuyển BC HD: ̂ + 𝐷𝐴𝐸 ̂ = 900 ; 𝐷𝐴𝐸 ̂ + 𝐸𝐴𝐵 ̂ = 900 => 𝐹𝐴𝐷 ̂ = 𝐸𝐴𝐵 ̂ => ∆FAD=∆EAB(ch-gn) nên AE=AF a, 𝐹𝐴𝐷 GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 62 Phương pháp giải Hình học ̂ ( 𝑠𝑜𝑙𝑒)=> ∆IEG=∆IFK nên GI=IK mà ̂ = 𝐼𝐸𝐺 b, ∆AEF cân nên AI trung trực FE, Vì GE//FK nên 𝐼𝐹𝐾 GK vng góc FE nên EGFK hình thoi c, Xét ∆FIK ∆FCE Có: 𝐹̂ 𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔; 𝐼̂ = 𝐶̂ = 900 ; ∆FIK đồng dạng ∆FCE (g.g) d, Theo b) ta có: EK=KF=DK+DF=DK+BE( theo câu a DF=BE) Ta có: EC+CK+KE=EC+CK+(BE+DK)=DC+BC=2BC không đổi Bài 36: Cho ∆ABC vuông A, AB=8cm, AC=6cm, phân giác AD, a Tính CD BD b Từ D kẻ DE DF vng góc với AB AC Tính chu vi diện tích AEDF HD: a, Dùng Pytago: BC2=AB2+AC2 nên BC=10cm, Vì AD phân giác nên : 𝐶𝐷+𝐷𝐵 6+8 = 10 14 nên CD= 30 cm; DB= 𝐶𝐷 𝐴𝐶 = 𝐷𝐵 𝐴𝐵 => 𝐶𝐷 = 𝐷𝐵 = 40 cm b, ∆CFD∽ ∆CAB nên FD=AB.CD/CB=24/7 cm ∆BED∽ ∆BAC nên DE=CA.DB/BC=24/7 cm Chu vi : 96/7 cm, diện tích: 576/47 cm2 Bài 37: Cho ∆ABC có AC>AB, phân giác AD, Qua C kẻ Cx cho tia CB nằm hai tia CA ̂ = 𝐵𝐴𝐷 ̂ , AD giao Cx E Cx 𝐵𝐶𝑥 a ∆DCE ∽ ∆DAB b ∆EBC cân c ∆ABD ∽ ∆AEC từ suy ra: AB.AC=AD2+ BD.DC HD: ̂ = 𝐵𝐴𝐷 ̂ (gt) 𝐸𝐷𝐶 ̂ = 𝐵𝐷𝐴 ̂ (đối đỉnh) nên ∆DCE ∽ ∆DAB(g.g) a, Xét ∆DCE ∆DAB có: 𝐷𝐶𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐴 ̂ (đối đỉnh) nên ∆DEB ∽ ∆DCA Suy ̂ = 𝐶𝐷𝐴 b, Xét ∆DEB ∆DCA có: 𝐸𝐷 = 𝐷𝐶 (theo câu a) 𝐸𝐷𝐵 ̂ mà 𝐷𝐶𝐸 ̂ = 𝐵𝐴𝐷 ̂ AD phân giác nên 𝐸𝐵𝐷 ̂ Vậy ∆EBC cân ̂ = 𝐷𝐴𝐶 ̂ = 𝐸𝐶𝐷 ra: 𝐸𝐵𝐷 ̂ = 𝐷𝐵𝐴 ̂ nên ∆ABD ∽ ∆AEC(g.g) c, Vì ∆DCE ∽ ∆DAB nên 𝐷𝐸𝐶 Có: 𝐴𝐵 𝐴𝐸 = 𝐴𝐷 𝐴𝐶 nên AB.AC=AD.AE=AD(AD+DE)=AD2+AD.DE mà AD.DE=DB.DC suy ra: AB.AC=AD2+BD.DC Bài 38: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, kẻ BH, CM, CN, DI vng góc với AC, AB, AD, AC a Chứng minh AH=CI b Chứng minh : AB.CM=CN.AD c Tứ giác BIDH hình gì? d AD.AN+AB.AM=AC2 HD: ̂ = 𝐷𝐶𝐼 ̂ (𝑠𝑜𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔) nên ∆AHB = ∆CID(ch-gn) a, Xét ∆AHB ∆CID có AB=CD 𝐵𝐴𝐻 => AH=CI GROUP SHARE TÀI LIỆU TOÁN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 63 Phương pháp giải Hình học b, 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆∆𝐴𝐷𝐶 nên 𝐴𝐵.𝐶𝑀 = 𝐴𝐷.𝐶𝑁 hay AB.CM=AD.CN (đpcm) c, Theo câu a, BH=ID BH//ID ( vng góc AC) nên BIDH hình bình hành d, ∆𝐴𝐼𝐷 ∽ ∆ANC nên AD.AN=AC.AI (1) ∆𝐴𝐵𝐻 ∽ ∆ACM nên AB.AM=AC.AH mà AH=IC nên AB.AM=AC.IC (2) Lấy (1)+(2) theo vế ta được: AD.AN+AB.AM=AC.AI+AC.IC=AC(AI+IC)=AC2 (đpcm) Bài 39: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài 9, gọi D E hình chiếu H lên AB, AC a Tính AB, AC, DE b Các đường vng góc với DE D E cắt BC M N, Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH c Tính diện tích DEMN HD: a, ∆𝐴𝐻𝐶 ∽ ∆BAC nên AC2=CH.CB=4.13=52 nên AC=√52cm, Tương tự: AB2=HB.BC=9.13=117 nên AB=√117cm Ta có AH=DE( AEHD hình chữ nhật) mà AH2=AC2-CH2 (pytago) nên AH=6cm hay DE=6cm ̂ 𝐴𝐻𝐷 ̂ = 𝐻𝐵𝐷 ̂ = 𝐻𝐷𝐸 ̂ (cùng phụ 𝐻𝐷𝑀 ̂ ) mà 𝐻𝐷𝐸 ̂ = 𝐴𝐻𝐷 ̂ (cùng phụ 𝐷𝐻𝐵 ̂ ) nên 𝑀𝐷𝐵 ̂ = 𝑀𝐵𝐷 ̂ b, 𝑀𝐷𝐵 suy DM đường trung tuyến ∆DHB nên M trung điểm BH Chứng minh tương tự: N trung điểm HC c, DEMN hình thang vng nên: 𝑆𝐷𝐸𝑀𝑁 = (𝐸𝑁+𝐷𝑀).𝐸𝐷 với EN=CH:2=2cm, DM=HB:2=4,5cm DE=6cm Suy 𝑆𝐷𝐸𝑀𝑁 =19,5cm2 Bài 40: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH, gọi E, F hình chiếu H lên AB AC a Chứng minh AEFH hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB=AF.AC c Đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC I, Chứng minh I trung điểm BC d Chứng minh rằng: Nếu diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật tam giác ABC tam giác vuông cân HD: Bài 41: Cho ∆ABC đường cao BK CI cắt H, đường thẳng kẻ từ B vng góc với AB đường thẳng kẻ từ C vng góc với AC cắt D a Chứng minh BHCD hình bình hành b Chứng minh : AI.AB=AK.AC c Chứng minh ∆AIK ∽ ∆ACB d ∆ABC có thêm điều kiện để đường thẳng DH qua A? Khi tứ giác BHCD hình gì? HD: GROUP SHARE TÀI LIỆU TỐN THCS HTTP://facebook.com/groups/574811636247339/ 64 Phương pháp giải Hình học Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB//CD, góc A D vng, AB=2cm, AD=CD=8cm, a Tính BC b Gọi O trung điểm AD, chứng minh ∆BOC vuông c Chứng minh ∆AOB ∽ ∆DOC; ∆ABO ∽ ∆OBC HD: Bài 43: Cho ∆ABC đều, gọi O trung điểm BC Tại O dựng góc xOy=600, Ox cắt AB M, Oy cắt AC N a ∆BOM ∽ ∆CNO b BC2=4BM.CN c ∆BOM ∽ ∆ONM OM phân giác góc BMN d Chứng minh ON2=CN.MN HD: Bài 44: Cho ∆ABC vuông C( AC