Về ánh xạ ad

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ TRÀ MY PHẠM THỊ TRÀ MY VỀ ÁNH XẠ ad VỀ ÁNH XẠ ad LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC KHĨA 25 NGHỆ AN – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ TRÀ MY VỀ ÁNH XẠ ad CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ MÃ SỐ: 8.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2019 LỜI CẢM ƠN Được hướng dẫn thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, luận văn chúng tơi hồn thành vào tháng năm 2019, trường Đại học Vinh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn tận tình, chu đáo cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo Viện Sư phạm tự nhiên, phòng đào tạo sau đại học Đặc biệt thầy cô giáo mơn Hình học Tơpơ trường Đại học Vinh giảng dạy chu đáo, giải đáp vấn đề làm đề tài trình học tập viết luận văn Cũng dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin cảm ơn bạn học viên lớp cao học chuyên ngành Hình học Tơpơ khóa 25, tập thể lớp cao học Tốn khóa 25 Cảm ơn Ban giám hiệu giáo viên tổ Toán - Tin trường THPT Lê Hồng Phong, tất bạn bè, người thân giúp đỡ, tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành khóa học Nghệ An, ngày 01 tháng 07 năm 2019 Tác giả Phạm Thị Trà My MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số thực đại số Lie thực 1.2 Đồng cấu đại số 13 CHƯƠNG PHÉP ĐẠO HÀM VÀ ÁNH XẠ ad 17 2.1 Đạo hàm đại số thực 18 2.2 Ánh xạ ad đại số Lie thực 29 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 DANH MỤC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN A: Đại số thực B: Đại số Lie thực  : F  : B n Tập hợp trường véc tơ khả vi n Tập hợp hàm số khả vi f : n  n D: Đạo hàm đại số thực DerA: Tập hợp phép đạo hàm A ; Der A =  D  D đạo hàm A DerB: Tập hợp đạo hàm B; DerB =  D  D đạo hàm B Da: Đạo hàm theo a DT: Tập hợp đạo hàm u, v, w: Phần tử A, B X, Y, Z: Phần tử B f, g, h:   Phần tử F   n n MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong cơng trình Marius Sophus Lie (1842 - 1899) Felix Klein (1849 - 1925) vào cuối kỷ XIX xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann Sự kết hợp cơng trình mở đầu lý thuyết mới, lý thuyết nhóm Lie đại số Lie Các chuyên ngành Hình học Tơpơ , Giải tích Đại số liên kết đời lý thuyết Do đó, đại số Lie phận tốn học đại cần thiết người sâu vào nghiên cứu Hình học Tơpơ Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie nhà toán học quan tâm nghiên cứu viết thành tài liệu như: Alexander A.Kirillov, Nathan Jacobson Đạo hàm đại số định nghĩa đại số thực ánh xạ ad định nghĩa đại số Lie thực Trên sở , nghiên cứu đại số Lie thực, phép đạo hàm ánh xạ ad Các nội dung nghiên cứu vấn đề trình bày tài liệu tham khảo [1] ,[3], [4],[5] Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát số tính chất đạo hàm đại số thực tính chất ánh xạ ad đại số Lie thực Vì vậy, luận văn mang tên “ Về ánh xạ ad” Mục đích nghiên cứu Khảo sát số tính chất đạo hàm đại số thực ánh xạ ad đại số Lie thực Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn là: Đại số Lie thực, đạo hàm đại số thực ánh xạ ad đại số Lie thực Phương pháp nghiên cứu Bằng việc sử dụng kiến thức hình học vi phân, kiến thức đại số Lie thực, đạo hàm đại số thực ánh xạ ad đại số Lie thực nghiên cứu nội dung luận văn Nhiệm vụ nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu số kiến thức liên quan đến đại số đại số Lie - Trình bày kết đạo hàm đại số thực ánh xạ ad đại số Lie thực - Trình bày số tính chất đạo hàm đạo hàm đại số thực Cấu trúc luận văn Ngoài phần như: Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Phần kiến thức chương nhằm chuẩn bị cho việc trình bày nội dung chương Chương bao gồm hai mục: 1.1 Đại số thực đại số Lie thực 1.2 Đồng cấu đại số Chương Phép đạo hàm ánh xạ ad Chương nội dung luận văn, bao gồm hai mục: 2.1 Đạo hàm đại số thực 2.2 Ánh xạ ad đại số Lie thực Nghệ an , ngày 01 tháng 07 năm 2019 TÁC GIẢ Phạm Thị Trà My CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số thực, đại số Lie thực đồng cấu đại số 1.1 Đại số thực đại số Lie thực 1.1.1 Định nghĩa ([1]).Giả sử A không gian vectơ thực A gọi đại số thực A trang bị thêm phép tốn tích trong: A A → A (u,v) u.v thỏa mãn điều kiện phép tốn tích ánh xạ song tuyến tính, nghĩa là: T1) (u + v).w = u.w + v.w ;  u, v, w A T2) (u).w = (u.w) ;  u, w  A,    T3) u.(v + w) = u.v + u.w ;  u, v, w A u.(v) = (u.v) ;  u, v  A,    T4) 1.1.2 Chú ý - Nếu tích có tính chất giao hốn, tức u.v = v.u ;  u, v  A A gọi đại số giao hốn - Nếu tích có tính chất kết hợp, tức u.(v.w) = (u.v).w ;  u, v, w  A A gọi đại số kết hợp - Nếu u.v = 0;  u, v  A gọi đại số tầm thường - Trong suốt luận văn này, ta giả thiết A đại số kết hợp, có phần tử đơn vị e, ( e.u = u.e = u;  u)  A 1.1.3 Ví dụ a) Ví dụ 1: Giả sử A = F (P1) f  g : n x   = f n khả vi : n   với phép toán sau:   f  g  x   f  x   g  x  n ( P2) kf :  ; k  kf  x   kf  x  x n (P3) f.g : x   f g  x   f  x .g  x  Khi đó, với ba phép toán A đại số thực Thật vậy: * A với phép toán (P1) (P2) không gian vectơ thực *  f, g, h  A  , ta có: +) f.(g + h) (x) = f(x).(g + h)(x) = f(x).(g (x) + h(x)) = f(x).g(x) + f(x).h(x) = (f.g + f.h)(x); x  n  f.(g + h) = f.g + f.h +) ((g).f)(x) = (g)(x).f(x) = ((g(x).f(x)) = ((g.f))(x); x  n  (g).f = (g.f) Tương tự, ta chứng minh : +) (f + g).h = f.h + g.h +) g.(f ) = (f.g) Vậy tích ánh xạ song tuyến tính thực A Do đó, A đại số thực Hơn nữa, A đại số giao hoán, kết hợp A có phần tử đơn vị e = f : x 1; x  n b) Ví dụ 2: A  Mn = Ma trận vuông cấp n với phần tử thực Trên A ta có phép toán sau: (P1) X  Y  (x ij  yij ) ;  X = (xij) ; Y = (yij)  A ; x ij , yij  (P2) kX  (k x ij ) ;  k  n (P3) X.Y  (mij ); với (mij )   x ik ykj k 1 Khi đó, A với ba phép tốn đại số thực Thật Chứng minh:  Với phép tốn (P1), (P2) A khơng gian vectơ thực  Ở đây, ta kiểm tra tính chất song tuyến tính phép tốn (P3) A n   X Y  Z  n  x y  z     Thật vậy:   ij  ik kj kj  k 1   = n n k 1 k 1  xik ykj   xik zkj = X.Y  X.Z; X,Y,Z A X(Y)   x ik   ykj  n  k 1  n  =    x ik ykj   k 1  = (X.Y);  X,Y  A,  Chứng minh tương tự, ta có:  (X  Y).Z  X.Z  Y.Z; X, Y, Z  A  (X).Y  (X.Y);  X,Y  A,  Vậy A với phép tốn (P3) ánh xạ song tuyến tính thực Vì vậy, A đại số thực 22 (P1) (D1 + D2)(u) = D1(u) + D2(u) ;  D1 , D2  DerA ;  u  A (P2) (D)(u) = D(u) ;  D  DerA ;  u  A,   (P3)  D1,D2   D1 D  D D1 ;  D1 , D2  DerA Khi đó,ta có mệnh đề sau: 2.1.5 Mệnh đề ([5]) DerA với ba phép toán đại số Lie thực Chứng minh:  [D1,D2]  DerA (theo mệnh đề 2.1.4)  DerA đại số thực với ba phép toán  Bây giờ, ta chứng tỏ DerA đại số Lie thực + Tính phản xứng  D1 , D2  DerA, ta có: [D1,D2] = D1 D2 – D2 D1 = – (D2 D1 – D1 D2) = – [D2,D1] + Hệ thức Jacobi  D1 , D2 , D3  DerA, ta có: [[D1,D2],D3] + [[D2,D3],D1] + [[D3,D1],D2] = [D1 D2 – D2 D1,D3] + [D2 D3 – D3 D2,D1] + [D3 D1 – D1 D3,D2] = (D1 D2 – D2 D1) D3 – D3 (D1 D2 – D2 D1) + (D2 D3 – D3 D2) D1 – D1 (D2 D3 – D3 D2) + (D3 D1–D1 D3) D2 – D2 (D3 D1– D1 D3) = D1 D2 D3 – D2 D1 D3 – D3 D1 D2 + D3 D2 D1 + D2 D3 D1 – D3 D2 D1 – D1 D2 D3 + D1 D3 D2 + D3 D1 D2 – D1 D3 D2 – D2 D3 D1 + D2 D1 D3 = Do đó, DerA đại số Lie thực Chú ý:  Với D1 , D2 đạo hàm A,  D1,D   D1 D  D D1 gọi tích Lie đạo hàm D1 D2  LD1 D2 = D1 D2  D2 D1 gọi đạo hàm Lie D2 theo D1 23 Giả sử B đại số Lie thực D1 , D hai đạo hàm B Khi ta có mệnh đề 2.1.6 Mệnh đề ([4])  D1,D2   D1 D2  D2 D1 đạo hàm B Chứng minh:   D1,D2  : B  B ánh xạ tuyến tính  Ở đây, ta kiểm tra tính chất đạo hàm  D1,D2  Thật vậy,  D1,D2   u, v    D1 D2  D1 D2  u, v  = D1  D2  u, v   D2  D1  u, v     = D1 D2  u  , v   u,D2  v   D2 D1  u  , v   u,D1  v   = D1 D2  u  , v   D1 u,D2  v   D2 D1  u  , v   D u,D1  v  =  D1  D2  u   ,u   D2  u  ,D1  u   D1  u  ,D2  v   u,D1  D2  v           D2 D1  u  , v   D1  u  ,D2  v   D2  u  ,D1  v   u,D2 D1  v   =  D1 D2  u  , v    u,D1 D2  v   D2 D1  u  , v   u,D2 D1  v  =  D1 D2  u   D2 D1  u  , v   u,D1 D2  v   D2 D1  v  =   D1,D2   u  , v   u, D1,D2   v  Do đó,  D1,D2  đào hàm B Bây giờ, ta xét A = biết, x  x  = f  f đa thức biến hệ số thực Như ta với ba phép tốn thơng thường: cộng đa thức, nhân đa thức với số tích hai đa thức lập thành đại số thực   x  đại số giao hoán, kết hợp có đơn vị f =  f   x  : f  a  a1x   a n x n ;   24 Giả sử D phép đào hàm : A  A Khi 2.1.7 Mệnh đề D(xn) = n.xn-1.D(x) Chứng minh:      Ta có: D x n  D x.x n 1  D  x .x n 1  x.D x n 1  = x n 1.D  x   x.D x.x n   D  x   x D  x.x = x n 1.D  x   x.x.D x n  = x n 1     x.D  x .x  n 2 n 3 = … = n xn-1 D(x) 2.1.8 Nhận xét  D() = ;  D() = D(.1) = .D(1) = .0 = ;     D  f   a1  2a x   n.a n x n 1 D  x  Thật vậy: D(f) = D(a0 + a1 x + …+ an xn) = D(a0) + D(a1x) + …+ D(anxn) = (a1 + 2a2x + …+ nanxn-1).D(x)  Trên  x  có nhiều phép đạo hàm, D(f) phụ thuộc vào D(x)  x    x  hoàn toàn xác định biết D(x)  Đạo hàm D:  D(x) = 1, ta có D(f )  f ' đạo hàm thông thường phổ thông Trong trường hợp A đại số giao hoán D đạo hàm A Với a  A , ta xét mối quan hệ a D thông qua mệnh đề sau: 2.1.9 Mệnh đề ([1]) Giả sử A đại số giao hoán D: A  A đạo hàm A Khi đó, a.D : A  A ;  a  A, đạo hàm A u Chứng minh: a.D(u) 25  a.D ánh xạ tuyến tính Với  u, v A; ,  ta có: a.D(u + v) = a.(D(u + v)) = a.(D(u) + D(v)) = a.D(u) + a.D(v) = a.D(u) + a.D(v) = a.D(u) + a.D(v)  a.D có tính đạo hàm Với  u,v  A, ta có: a.D(u.v) = a.(D(u).v + u.D(v)) = a.D(u).v + a.u.D(v) = a.D(u).v + u.a.D(v), ( A giao hoán ) Vậy a.D đạo hàm A Cũng với giả thiết A đại số thực , ta xét phép đạo hàm đặc biệt mệnh đề sau 2.1.10 Mệnh đề ([1]) a) Cho phép đạo hàm D : A → A Khi đó, D(e) =  b) Cho A đại số khơng giao hốn ánh xạ Da : A → A u Da(u) = a.u – u.a ; a  A Khi đó, Da đạo hàm A Da gọi đạo hàm A theo a Chứng minh: a) Ta có : D(e.e) = D(e).e + e.D(e) = D(e) + D(e) Vậy D(e) =  b)  Da ánh xạ tuyến tính Thật vậy, u, v  A, k  ta có 26 + Da(u + v) = a.(u + v) – (u + v).a = a.u + a.v – u.a – v.a = (a.u – u.a) + (a.v – v.a) = Da(u) + Da(v) + Da(ku) = a.(ku) – (ku).a = k(a.u) – k(u.a) = k(a.u – u.a) = kDa(u)  Da có tính đạo hàm  u, v  A, ta có Da(u.v) = a.(u.v) – (u.v).a = a.u.v + u.a.v – u.v.a – u.a.v = (a.u – u.a).v + u.(a.v – v.a) = Da(u).v + u.Da(v) Vậy, Da đạo hàm A Ta thấy rằng, ánh xạ Da đồng cấu đại số  xét từ A  A Vậy ánh xạ Da đồng cấu  có quan hệ đặc biệt? Ta xét phép hợp thành  Da mệnh đề sau đây: 2.1.11 Mệnh đề Cho A đại số thực Giả sử Da : A  A đạo hàm A theo a,  : A  A đồng cấu đại số Khi đó:  Da = D (a)  Chứng minh: Với ánh xạ đạo hàm A theo a Da : A  A u Da  u   a.u  u.a , ta có  Da (u) = (a.u – u.a) = (a.u) – (u.a) = (a).(u) – (u).(a) = D (a)((u)) 27 = D  a   (u) ;  u  A Do  Da = D  a   Từ kết mệnh đề ta có hệ sau 2.1.12 Hệ Nếu  đẳng cấu đại số: A  A 1 Da   D1 a  Chứng minh Ta có: 1 Da   u   1  a.  u     u .a  = 1  a .u  u.1  a  = D1 a   u  ;  u  A Vậy 1 Da   D1 a  Bây giờ, giả sử Da ,Db đạo hàm A Khi Dab – ba xác định qua Da ,Db ? Ta có mệnh đề sau: 2.1.13 Mệnh đề Giả sử A đại số thực.Da ,Db đạo hàm A Khi đó, Dab - ba = Da Db – Db Da ;  a, b  A Chứng minh: Ta có Dab – ba (u) = (a.b – b.a).u – u.(a.b – b.a) = a.b.u – b.a.u – u.a.b + u.b.a = a.b.u – b.a.u – u.a.b + u.b.a – a.u.b + a.u.b – b.u.a + b.u.a = a.(b.u – u.b) – (b.u – u.b).a – b.(a.u – u.a) + (a.u – u.a).b = a.(Db(u)) – Db(u)).a – b.(Da(u)) + (Da(u)).b = Da(Db(u)) – Db(Da(u)) = Da Db  u   Db D a  u  =  Da D b  D b D a   u  ;  u  A Vậy Dab – ba  Da Db  Db D a 2.1.14 Hệ Ta đặt [u,v] = u.v – v.u Du,  Du Du  D v D u ; u, v  A 28 Bây giờ, giả sử A đại số thực, ta xét tập hợp đạo hàm A; DT  { D a | a  A} Trên DT phép toán xác định sau: ;  Da , Db  DT , a, b  A (P1) Da + Db = Da + b (P2) Da = Da (P3) ;  Da  DT ,  a  A,  Da ,Db   Da Db  Db D a  Da,b ;  Da , Db  DT Khi ta có mệnh đề sau: 2.1.15 Mệnh đề ([4]) DT với phép toán (P1), (P2), (P3) đại số Lie thực Chứng minh:  DT với ba phép toán đại số thực  Ở đây, ta kiểm tra tính phản xứng hệ thức Jacobi tích Lie + Ta có:  Da ,D b   Da D b  D b D a = –  Db Da  Da D b  = –  Db , Da  + Hệ thức Jacobi:  Da ,Db ,Dc    Da Db  Db D a ,Dc  =  Da D b  D b D a  Dc  Dc  Da D b  D b D a  (1)  Db Dc  Dc D b  (2)  Db ,Dc ,Da    Db Dc  Dc D b ,Da  =  D b Dc  Dc D b  Da  Da  Dc ,Da ,Db    Dc Da  Da D c ,Db  =  Dc Da  Da D c  D b  D b  Dc Từ (1), (2) (3) ta có:  Da ,Db ,Dc    Db ,Dc ,Da    Dc ,Da ,Db   Da  Da D c  (3) 29 Bây giờ, ta xét quan hệ DT DerA có đặc biệt Ta có mệnh đề sau 2.1.16 Mệnh đề Giả sử Da đạo hàm theo a D đạo hàm A Ta có, [Da,D] = D-D(a) Chứng minh Ta có:  Da ,D u   (Da D)  u   (D D a )  u  = Da(D(u)) – D(a.u – u.a) = a.D(u) – D(u).a – D(a).u – a.D(u) + D(u).a + u.D(a) = –D(a).u + u.D(a) = D-D(a) (u);  u  A Vậy [Da,D] = D-D(a) Do [Da,D]  DT 2.1.17 Chú ý Từ 2.1.16, ta suy DT iđêan DerA KerDa =  u  A  ua = au ; u  A, u cố định DT DerA Da D Hình 2.1 2.2 Ánh xạ ad đại số Lie thực 2.2.1 Định nghĩa ([5]).Giả sử B đại số Lie thực Với u  B, ánh xạ xác định sau: adu : B  B , v gọi ánh xạ ad theo u adu(v)   u, v  Sau đây, ta có số nhận xét ánh xạ ad 30 2.2.2 Nhận xét ([3]) a) adu + v = adu + adv ;  u,v  B b) adu = adu ;  , u  B c) adu,v = adu adv – adv adu ;  u,v  B Chứng minh: Với  u,v , w  B,  a) adu + v (w) , ta có: = u + v,w = u,w + v,w = adu(w) + adv(w) = (adu + adv)(w) ;  w  B Vậy adu + v = adu + adv b) adu (w) = u,w = u,w = adu(w) = (adu)(w) ;  w  B Vậy adu = adu c) adu,v (w) = [u,v,w = – v,w,u – w,u,v = u,v,w – v,u,w = adu(adv(w)) – adv(adu(w)) = (adu adv – adv adu)(w) ;  w  B Vậy adu,v = adu adv – adv adu Tiếp theo, ta xét tính chất khác ánh xạ ad định lý sau: 2.2.3 Định lý ([4]) adu ánh xạ đạo hàm, u  B Chứng minh: + Ta có, adu(v) = u,v = u,v = adu(v); với  v  B,  31 + adu(v + w) = u,v + w = u.(v + w) – (v + w).u = u.v + u.w – v.u – w.u = u,v + u,v = adu(v) + adu(w) ; u,v,w  B Do đó, ad ánh xạ tuyến tính + aduv,w = u,v,w = – v,w,u Mặt khác: u,v,w + v,w,u + w,u,v = Vì aduv,w = u,v,w + w,u,v = u,v,w – v,w,u = u,v w – v, – u,w = u,v,w + v,u,w = adu(v),w + v,adu(w)] Vậy adu v,w = [adu(v),w + v,adu(w)] ;  v,w  B Kết luận, adu ánh xạ đạo hàm Ta kí hiệu : Bo = {adu u  B} Các phép toán Bo cho : adu+v = adu + adv ; adu = adu ; [adu , adv] = adu adv – adv adu ; u,v  B,  Khi đó,ta có mệnh đề sau: 2.2.4 Mệnh đề ([3]) Với phép tốn Bo đại số Lie thực Chứng minh: + Với ba phép tốn Bo đại số thực + Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện tích Lie  [adu ,adv] = ad[u,v] (do nhận xét 2.2.2.c ) = ad- [v,u] = – [adv ,adu]  [[adu ,adv], adw] = [ad[u,v ,adw] = ad[[u,v, w (1) 32 Một cách tương tự: [[adv ,adw],adu] = ad[[v,w, u (2) [[adw ,adu],adv] = ad[[w,u, v (3) Từ (1), (2) (3) ta có: [[adu ,adv], adw] + [[adv ,adw], adu] + [[adw ,adu],adv] = ad[[u,v, w + ad[[v,w, u + ad[[w,u, v = adu,v, w + [[v,w, u + [[w,u, v = ad0 = Vậy Bo đại số Lie thực Khi đó, Bo gọi đại số liên kết đại số Lie B Bây giờ, ta xét quan hệ Bo DerB thông qua mệnh đề sau 2.2.5 Mệnh đề ([4]) Giả sử B đại số Lie thực Khi đó, Bo = {adu u  B} iđêan DerB Chứng minh  adu , adv  Bo ,ta có adu + adv = adu+v  Bo;  u,v  B  v  B, ta có: [ D ,adu](v) = ( D adu – adu D )(v) ; D  DerB = D [u,v – [u, D v = [ D (u),v] + [u, D v – [u, D v = [ D (u),v] = ad D(u ) (v) ;  u  B Vì [ D ,adu] = ad D(u) Do [ D ,adu]  Bo Vây [DerB, Bo]  Bo Do đó, Bo iđêan DerB Bo DerB adu D Hình 2.2 Ngồi ra, số tính chất khác ánh xạ ad đại số Lie thực nêu mệnh đề đây: 33 2.2.6 Mệnh đề [4] Giả sử B đại số Lie thực Bo đại số liên kết B Ta xét ánh xạ g: B  Bo u adu Khi đó: a) g đồng cấu Lie b) Kerg = T(B) (ký hiệu T(B) tâm B) Chứng minh a) Ta có g(u + v)(w) = ad(u + v)(w) = [u + v,w] = [u,w] + [v,w] = adu(w) + adv(w) = (adu + adv)(w) = (g(u) + g(v))(w) ;  w  B Suy g(u + v) = g(u) + g(v) ;  u,v  B, ,   Vậy g ánh xạ tuyến tính + Bây ta rằng,  u,v  B g[u,v = [g(u), g(v)] Thật vậy: ad[u,v](w) = [[u,v],w] = – [[v,w,u – [[w,u,v = [[w,v,u – [v,u,w = [u,v,w]] – [v,u,w]] = (adu adv)(w) – (adv adu)(w) = (adu adv – adv adu)(w) = [adu,adv](w) ;  w  B Do g[u,v = ad[u,v = [adu,adv] = [g(u),g(v)] ;  u,v B Vậy g đồng cấu Lie b) Ta có u  Kerg  g(u) =  adu =  adu(w) = ;  w  B  [u,w] = ;  w  B 34  u.w = w.u ;  w  B  u  T(B) Vậy Kerg = T(B) 2.2.7 Mệnh đề ([4]) Giả sử B đại số Lie thực Bo đại số liên kết B Xét ánh xạ g: B  Bo u adu Khi đó, ad h  u   h g  u  h 1 ; h: B  B tự đẳng cấu Lie Chứng minh:     Ta xét: h g  u  h 1  v   h ad u h 1  v   = h u,h 1  v    = h  u  ,h h 1  v     =  h  u  , v  = ad h  u   v  ;  v  B Do đó, h g  u  h 1  ad h  u  35 KẾT LUẬN Những nội dung mà luận văn chúng tơi đạt sau: Hệ thống số khái niệm, nêu ví dụ minh họa chứng minh chi tiết số tính chất đại số thực, đại số Lie thực đồng cấu đại số Trình bày định nghĩa ví dụ đạo hàm đại số thực, định nghĩa ánh xạ ad đại số Lie thực Chứng minh chi tiết số tính chất đạo hàm đại số thực ánh xạ ad đại số Lie thực Phát biểu chứng minh Mệnh đề sau Mệnh đề đạo hàm x n đại số thực (Mệnh đề 2.1.7 trang 24) Mệnh đề quan hệ hợp thành đồng cấu  đạo hàm đại số thực.(Mệnh đề 2.1.11 trang 26) Mệnh đề đạo hàm theo phần tử ab  ba đại số thực (Mệnh đề 2.1.13 trang 27) Mệnh đề tích Lie đạo hàm với đạo hàm đại số thưc.( Mệnh đề 2.1.16 trang 29) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO * Tiếng việt: [1] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie – Bài giảng chun đề cao học chun ngành Hình học Tơpơ, Đại học Vinh [2] Nguyễn Hữu Nam (2014), Độ cong độ xoắn đại số, Đại học vinh [3] Dư Hồng Quang (2011), Một số tính chất đại số Lie lũy linh , Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2006), Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang, Ngơ Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, Đại học Quốc gia Hà Nội * Tiếng Anh: [6] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Dover Publications [7] J.P.Serre (1965), Lie Algebras and Lie groups, Springer [8] R.Hartshorne (1977), Algebraic geometry, Springer ... v,u,w = adu(adv(w)) – adv(adu(w)) = (adu adv – adv adu)(w) ;  w  B Vậy ad? ??u,v = adu adv – adv adu Tiếp theo, ta xét tính chất khác ánh xạ ad định lý sau: 2.2.3 Định lý ([4]) adu ánh xạ đạo...  [adu ,adv] = ad[ u,v] (do nhận xét 2.2.2.c ) = ad- [v,u] = – [adv ,adu]  [[adu ,adv], adw] = [ad[ u,v ,adw] = ad[ [u,v, w (1) 32 Một cách tương tự: [[adv ,adw],adu] = ad[ [v,w, u (2) [[adw... ad[ [v,w, u (2) [[adw ,adu],adv] = ad[ [w,u, v (3) Từ (1), (2) (3) ta có: [[adu ,adv], adw] + [[adv ,adw], adu] + [[adw ,adu],adv] = ad[ [u,v, w + ad[ [v,w, u + ad[ [w,u, v = ad? ??u,v, w + [[v,w,