Các cấu trúc tương thích và không gian con lagrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU THỊ NHƯ Ý CÁC CẤU TRÚC TƯƠNG THÍCH VÀ KHƠNG GIAN CON LAGRANGE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU THỊ NHƯ Ý CÁC CẤU TRÚC TƯƠNG THÍCH VÀ KHƠNG GIAN CON LAGRANGE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 60.46.01.05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN – 2019 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành vào tháng 8/2019 trường Đại học Vinh Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang người đặt toán hướng dẫn tác giả nghiên cứu đề tài Xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo chuyên nghành Hình học – Topo viện sư phạm Tự Nhiên khoa sau đại học - Trường Đại học Vinh giảng dạy cho nhiều lời khuyên giúp tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc trình học Cao học Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ sau đại học, phịng Kế hoạch - Tài trường Đại học Vinh Cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Lê Lợi, thành phố Vinh, toàn thể anh chị em đồng nghiệp, bạn bè, người thân, gia đình động viên, quan tâm, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Thành phố Vinh, tháng năm 2019 Tác giả Lưu Thị Như Ý MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH PHẢN XỨNG 1.1 Dạng tuyến tính 1.2 Dạng song tuyến tính thực 11 CHƯƠNG II: CÁC CẤU TRÚC TƯƠNG THÍCH TRÊN KHƠNG GIAN SYMPLECTIC 20 2.1 Không gian vector symplectic 20 2.2 Không gian Lagrange 24 2.3 Các cấu trúc tương thích khơng gian Symplectic 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Từ hai kỷ trước, hình học symplectic giới thiệu với thuật ngữ học cổ điển Hamilton Trong khoảng 50 năm trở lại đây, phát triển mạnh mẽ trở thành lĩnh vực độc lập nghành quan trọng hình học đại Vào năm 1960 cơng thức mang tính đốn A’mold đặt móng cho phát triển hình học symplectic Ngồi ra, đến năm 1970, 1980 hình học symplectic Weistein, Gromov trình bày đối tượng cơng cụ đường cong nửa chỉnh hình Gromov người đặt móng cho lĩnh vực hình học symplectic toàn cục ( global symplectic geometry) Và phải thừa nhận kết quan trọng từ địi hỏi hình học Kahler phức phạm trù symplectic tổng quát có ý nghĩa lớn năm 1990 cơng đầu phải kể đến Gromov Những năm gần đây, nhà Toán học Việt Nam nghiên cứu viết hình học Symplectic cho giảng chuyên đề Cao học như: Nguyễn Hữu Quang, Ngơ Đình Quốc Trong khơng gian Euclide tính chất hình học mơ tả dạng song tuyến tính khơng suy biến, đối xứng khơng gian symplectic tính chất mơ tả dạng song tuyến tính khơng suy biến, phản xứng thực Và tính chất hình học khơng gian symplectic có nhiều ứng dụng lý thuyết hệ động lực, vật lý, toán học… Trong luận văn tốn đặt là: Khảo sát số tính chất không gian vector symplectic, cấu trúc tương thích khơng gian Lagrange Do đó, luận văn mang tên “Các cấu trúc tương thích không gian Lagrange” Mục đich nghiên cứu Mục đích luận văn khảo sát số tính chất khơng gian vector symplectic, khơng gian Lagrange, cấu trúc tương thích khơng gian vector symplectic Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu không gian symplectic cấu trúc phức không gian symplectic Nhiệm vụ nghiên cứu - Đọc hiểu tài liệu tham khảo liên quan đến số tính chất khơng gian vector symplectic, khơng gian Lagrange, cấu trúc tương thích khơng gian vector symplectic - Trình bày cách hệ thống định nghĩa số tính chất khơng gian symplectic Phương pháp nghiên cứu - Luận văn sử dụng công cụ sau để khảo sát khơng gian vector symplectic - Các tính chất khơng gian vector thực - Các tính chất dạng song tuyến tính phản xứng thực Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia thành hai chương Chương Dạng song tuyến tính phản xứng Chương phần kiến thức chuẩn bị để thuận lợi cho việc trình bày chương II Chương Các cấu trúc tương thích khơng gian Symplectic Chương II nội dung luận văn Trong chương chúng tơi khảo sát tính chất khơng gian symplectic bổ sung thêm số tính chất Thành phố Vinh, tháng năm 2019 Tác giả Lưu Thị Như Ý CHƯƠNG I: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH PHẢN XỨNG Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất dạng tuyến tính dạng song tuyến tính phản xứng thực 1.1 Dạng tuyến tính Trong mục này, ta ln kí hiệu V không gian vector thực n-chiều Giả sử e1 , , en  sở V , vector x  V ln có biểu diễn x=x1e1   xnen Bộ  xi  gọi tọa độ x sở ei  viết x( xi ) 1.1.1 Định nghĩa:  2 Một dạng tuyến tính V ánh xạ tuyến tính từ V  Nghĩa là: + f  x  y   f  x   f  y  ; với x, y V + f   x    f  x  ;   R 1.1.2 Ví dụ: n 1, Cho số  a1 , , an  ánh xạ f : V  , f  x    xi ; với x( xi ) Khi f i 1 dạng tuyến tính Thật vậy: + x  y  ( x1  y1, x2  y2 , , xn  yn ) ; x ( xi ), y ( yi )  f ( x  y)  a1 ( x1  y1 )  a2 ( x2  y2 )   an ( xn  yn )  (a1x1  a2 x2   an xn )  (a1 y1  a2 y2   an yn )  f ( x )  f ( y ) +  x  ( x1,  x2 , ,  xn );   R f ( x)  a1 ( x1 )   an ( xn )   (a1x1   an xn )   f ( x ) Vậy f dạng tuyến tính 2, Giả sử V không gian vector Euclide x  V Ta xét ánh xạ f : V  , f ( x)  x0 x ; với x0 x tích vơ hướng x0 x Khi f dạng tuyến tính Thật vậy: + f ( x  y)  x0 ( x  y)  x0 x  x0 y  f ( x )  f ( y ) + f ( x )  x0 ( x );   R   ( x0 x )   f ( x ) 3, Giả sử V  F ( R n )   f f kh/ vi : R n  R n   p  Tp R n Ta xét  :V  R f  p  f  Khi  dạng tuyến tính Thật vậy: +  ( f  g )   p  f  g    p  f    p  g    ( f )  f ( g ) ; f , g  V +  ( f )   p  f   . p  f ;   R  . ( f ) Ta ký hiệu: V *   f tuyến tính: V  R V * trang bị phép toán: + f g:x + f :x f ( x )  g ( x ); x V  f ( x );   R ;   R Ta có mệnh đề sau: 1.1.3 Mệnh đề : 3 V * với phép tốn lập thành khơng gian vector thực n-chiều Chứng minh:  Hai phép toán trang bị V * thỏa mãn tiêu đề khơng gian vector Do V * không gian vector thực  Ở đây, ta chứng minh dimV *  n Thật vậy: Ta xét fi : V  R ; x fi ( x )  xi , i  1, n + fi  V * +  f1, , fn  hệ độc lập tuyến tính  n  Giả sử  i fi     i fi  (e j )  0.(e j ) i 1  i 1  n n   i fi (e j )  i 1   j  ; j  1,2, , n +  f1, , fn  hệ sinh V * n Giả sử f  V * ; x V  f ( x )  f   xi ei   i 1  n   xi f (ei ) i 1 n   f (ei ) f i ( x ) i 1 n  f   f (ei ) f i i 1 Vậy  f1 , , f n  sở V * Do dimV *  n 1.1.4 Chú ý: + Không gian V * gọi không gian đối ngẫu V * * + Giả sử x V ta xét ánh xạ x : V  R; x  f   f ( x ) ; với f V Khi x ánh xạ tuyến tính Thật vậy: 21 Thật : Giả sử x V1  V1 Do x V1 nên x  1a1  2b1 Hơn nữa, x V2 nên x  a1 x  b1 Suy ra:     2   1a1  2b1 , a1  0, 1   1a1  2b1 , b1  Do đó: x  Giả sử: y V   y, a1    ,   y, b1    Ta có :     y   a1   b1  y   a1   b1 Ta đặt: a   a1   b1 , b  y   a1   b1 , a V1 Ta chứng minh b  V1 ; nghĩa b  a1 b  b1 thật vậy, ta có :          b , a1   y   a1   b1 , a1      0,  b , b1   y   a1   b1 , b1      Do b  a1 b  b1 Như vậy, với y V , ta có y  a  b ; với a  V1 , b  V1 Do V  V1  V1 Bằng việc sử dụng bổ đề (2.1.2) bổ đề (2.1.3), ta có mệnh đề sau: 2.1.4 Mệnh đề:  7 Trong không gian symplectic tồn sở dạng a , , a , b , , b  , cho: k k 1,   , a j     bi , b j   ; với i, j  1, , k 2,   , b j    ij ;  ij  i  j;  ij  i  j; với i, j  1, , k Chứng minh: Từ Bổ đề (2.1.3) ta có a1 , b1  Từ Bổ đề (2.1.4) ta có: V  V1  V1 Ta lấy a2 , b2  V1 giống lấy a1 , b1  V Ta đặt V2  a2 , b2 Khi V1  V2  V2 Tiếp tục trình này, ta có V  V1  V2   Vl  Vl  Do V khơng gian hữu hạn chiều nên q trình hữu hạn bước Vậy ta có sở gồm (2k ) vector a1 , , ak , b1 , , bk  thỏa mãn 1) 2) 2.1.5 Chú ý: 1, Nếu V khơng gian vector symplectic thì: 22 dim V   2k Như vậy, không gian vector symplectic ln có số chiều chẵn 2, Cơ sở a1 , , ak , b1 , , bk  không gian vector symplectic gọi sở tiêu chuẩn V dạng symplectic  3, Đối với sở tiêu chuẩn, ma trận  có dạng:  A  Ik Ik   0 2.1.6 Ví dụ: 1, Giả sử V  R4 Với x  x1 , x2 , x3 , x4  , y  y1 , y2 , y3 , y4   V , ta đặt:  ( x, y)  3x1 y2  3x2 y1  4x3 y4  4x4 y3  Khi : (V , ) khơng gian symplectic; (vì  song tuyến tính, phản xứng, khơng suy biến)  Cơ sở tiêu chuẩn V xác định sau: Trước hết ta lấy a1 (1,0,0,0) , b1 (0, ,0,0) Suy  (a1 , b1 )  Kí hiệu W  a1, b1 Ta tìm W  Nếu x ( x1 , x2 , x3 , x4 )  W   (a1, x)   (b1 , x )  , ta suy x1  x2  Do đó: W   x (0,0, x3 , x4 )   (0,0,1,0),  (0,0,0,1)   Chọn a   , b2   , ta có  (a2 , b2 )  Vậy a1 , a2 , b1 , b2 sở tiêu chuẩn 2, Giả sử V  R4 Với x  x1 , x2 , x3 , x4  , y  y1 , y2 , y3 , y4   V , sở e1 , e2 , e3 , e4  :  ( x, y)  2x1 y3  2x3 y1  3x2 y4  3x4 y2 23 1 Khi a1  e1 , a2  e2 , b1  e3 , b2  e4  sở tiêu chuẩn  không   gian symplectic (R4 , ) Hơn nữa, ma trận A  sở tiêu chuẩn a1, a2 , a3 , a4  : 0  0 A  1   1 0 0  1 0  0 2.1.7 Định nghĩa:  6 1, Cho (V , ), (U , ) hai không gian symplectic ánh xạ f : V  U Khi f gọi đẳng cấu sympletic f đẳng cấu tuyến tính f bảo tồn dạng symplectic; nghĩa  ( x, y)   ( f ( x), f ( y)); với x, y V 2, Nếu có đẳng cấu symplectic f : V  U ta nói V đẳng cấu symplectic với U , kí hiệu V U 2.1.8 Mệnh đề:  4 Giả sử f : (V , )  (U , ) đẳng cấu symplectic Khi f 1 : (U , )  (V , ) đẳng cấu symplectic f Chứng minh:  V U f ( x )  x x f 1 U V x' f 1 ( x)  x  f đẳng cấu tuyến tính, nên f 1 đẳng cấu tuyến tính  ( x, y)   ( f ( x ), f ( y))   ( x , y ) ; ( f ( y )  y; y V )   ( f 1 ( x '), f 1 ( y))  f 1 bảo tồn dạng symplectic Vậy f 1 đẳng cấu symplectic 24 2.1.9 Mệnh đề:  6 1, Tập tất tự đẳng cấu symplectic V lập thành nhóm, kí hiệu S p  2k  , với phép toán phép hợp thành ánh xạ 2, Quan hệ "đẳng cấu symplectic" tập gồm tất không gian symplectic quan hệ tương đương Ở ta chứng minh  V V , có ánh xạ đẳng cấu symplectic id : V  V ; x x  V U  Tồn đẳng cấu symplectic: U  V ,  Tồn f 1 đẳng cấu symplectic: V  U , U V  V U  tồn f đẳng cấu symplectic: V  U , U W  tồn g đẳng cấu symplectic: U  W,  g f đẳng cấu sympletic: V  W 2.2 Không gian Lagrange Trong mục ta giả thiết V ,   không gian vector symplectic 2k-chiều (k>0) với sở tiêu chuẩn a1 , , ak , b1 , , bk  Giả sử W không gian vector V , ta kí hiệu: W  {x V | x  y; y  W} Khi W  gọi khơng gian trực giao với W 2.2.1 Ví dụ: 1, Ta xét V  R2 , với sở tiêu chuẩn a1 , b1 Cho W  a  2,3 Khi đó, y  y1 , y2   W  : 2    y1  3       1  y2  25  3 y1  y2  Vậy y  (2t ,3t ) ; t  R Do W   (2,3)  A 2, Giả sử V  R4 , với sở tiêu chuẩn a1 , a2 , b1 , b2  Cho W  a 1, 2,3,  Khi đó, y  y1 , y2 , y3 , y4   W  : 0  0 1   1   1 0 0   y1      y2  0   y3     y4   3 y1  y2  y3 + y4   W   { y  y1 , y2 , y3 , y4   V |  y1  y2  y3  y4  0} Trong ví dụ ta thấy W  a  W ; (vì a(1, 2,3, 4) thỏa mãn pt W  ) 2.2.2 Nhận xét: 1, W  không gian vector V Thật vậy:  x , y  W  , đó:  ( x  y, z )   ( x, z )   ( y, z ) ; z  W 0  x  y  W   ( x, z )  . ( x, z )  ;   R   x  W 2, Giả sử B không gian vector V W  B B   W  Thật vậy: x  B    ( x, z )  0; z  B;   ( x , z )  ; z  W ,(vì W  B ),  x  W  B  W 2.2.3 Mệnh đề: 3 Giả sử W không gian vector V ,   Khi dim  W   dim  W    dim V  26 Chứng minh: Giả sử W có sở e1 , e2 , , em  x  x1 , , x2 k   W Ta có hệ:   x *A  e1    (*)    x *A  e   m  Ở đây, A ma trận  sở tiêu chuẩn Do e1 , e2 , , em  độc lập tuyến tính A  nên  A  e1  , , A em  độc lập tuyến tính Hệ (*) gồm 2k ẩn với m phương trình độc lập nên sở hệ nghiệm (*) gồm 2k − m vector Vậy dim  W    2k  m Do dim  W   dim  W    m  2k  m  2k  dim V  Ta ý rằng, không gian W  gọi không gian trực giao W 2.2.4 Mệnh đề:  7 Giả sử W khơng gian vector symplectic Khi đó: a, (W  )  W ; với W không gian V b, (W1  W2 )   W1  W2 ; với W1, W2 không gian V c, W1  W2   (W1  W2 )  Chứng minh: a, Với x  W x  y ; với y  W  , nên x  (W ) Do W  (W  ) Mặt khác, dimW  dim W   dimV dimW   dim(W  )  dimV , nên dimW  dim(W  ) Vậy W  (W  ) b, Vì W1  W2  W1 (W1  W2 )  W2 nên W1  (W1  W2 )  W2  (W1  W2 )  (W1  W2 )   W1  W2 Hơn nữa, x  W1  W2 x  a  b ; với a  W1 , b  W2 Khi ta có a  W1 b  W2 nên a  b  W1  W2 Suy x  a  b  (W1  W2 ) 27 c, Vì (W1 +W2 )  W1 (W1 +W2 )  W2 nên W1  (W1  W2 )  W2  (W1  W2 )  Ta suy ra: (W1  W2 )   W1  W2 Mặt khác, x  W1  W2 x  W1 , x  W2 Khi ta có x  W1 x  W2 nên x  (W1  W2 ) Do x  (W1  W2 )  2.2.5 Định nghĩa:  4 Giả sử W không gian vector V W gọi không gian symplectic  |W : W  W  R không suy biến Chú ý: 1, Nếu W khơng gian sympletic W khơng gian symplectic Do W có số chiều chẵn 2, Có khơng gian vector V không gian symplectic, chẳng hạn: V không gian vector symplectic, với sở tiêu chuẩn a1, a2 , a3 , a4  Ta lấy W1  a1 , a2 , W1 không gian vector V khơng gian symplectic Ví dụ: Giả sử W2  a1, b1 không gian symplectic V Thật vậy, ta chứng minh  W2 không suy biến Ta xét: K    x  W2 | x  y , y  A1 Do x, y  W2 nên x  1a1   2b1 y  1a1  2b1   ( x, y)  12  2 1 Vì x  y; với y  W2 , nên 12  2 1  ; với 1, 2 Do 1  2  Vậy K   hay  W2 không suy biến 2.2.6 Nhận xét: Giả sử W không gian sympletic V Khi đó: V  W  W Chứng minh: Do W không gian symplectic nên: K    x  W | x  y; y  W  x  W |  ( x, y)  0, y  W  28 Suy ra: W  W  Mặt khác, theo mệnh đề (2.2.3), ta có: dimW  dimW   dimV Vậy: V  W  W  2.2.7 Chú ý: Giả sử W không gian vector V 1, W gọi không gian đẳng hướng W  W  Chẳng hạn: W  a , a  V ; Khi đó, W   a ; (Vì  (a, a )   a  a  a  W  ) Vậy, W  W  Do W  a không gian đẳng hướng 2, Nếu W đẳng hướng dim W  k (Vì W đẳng hướng)  W  W  dimW  dimW  ,  dim W  k  dim V 3, W gọi không gian đối đẳng hướng W   W Chẳng hạn: Giả sử V  R với sở tiêu chuẩn a , a , b , b  2 Cho W  a1 , a2 , b1  W  a2 Khi W   W nên W đối đẳng hướng 4, Nếu W đối đẳng hướng dimW   k 2.2.8 Định nghĩa:  7 Giả sử W không gian vector V W gọi không gian Lagrange W  W  Nhận xét: W khơng gian Lagrange dimW =dimW  k Ví dụ: Giả sử V khơng gian symplectic, với sở a1 , , ak , b1 , , bk  a, Ta xét W1  a1 , , ak  Khi   a1 ,   0; i  1, , k   W1  Mặt khác: dim W   k  W1  a1 , , ak 29 =W1 b, Tương tự, ta xét W2  b 1, , bk W2 khơng gian Lagrange 2.2.9 Nhận xét: Giả sử W khơng gian Lagrange V Khi đó: 1, dimW  dimV  k Chứng minh: Vì dimW  dim W   dimV W  W  nên dim W  dim V  k 2, W đồng thời không gian đẳng hướng đối đẳng hướng Chứng minh: Vì W  W  nên W  W  W   W nên W đẳng hướng đối đẳng hướng, 3,  W  Chứng minh: Vì W  W  nên  ( x , y )  ; với x, y  A Do  A  2.3 Các cấu trúc tương thích khơng gian Symplectic Trong mục này, ta giả thiết V ,   không gian vector symplectic 2k-chiều với sở tiêu chuẩn a1 , , ak , b1 , , bk  2.3.1 Định nghĩa: 5 Một cấu trúc phức V đẳng cấu tuyến tính J : V  V ; cho J   id 2.3.2 Ví dụ: 1, Giả sử V  R2 , J : V  V xác định x  x1 , x2    x2 , x1  Khi J cấu trúc phức R Thật vậy: J ( x )  J ( J ( x ))  J ( x2 , x1 )  ( x1 , x2 )   x  J  id 2, Giả sử V  R4 , J : V  V xác định x  x1 , x2 , x3 , x4    x3 ,  x4 , x1 , x2  Khi J cấu trúc phức R Thật vậy, J ( x )  J ( J ( x ))  J ( x3 , x4 , x1 , x2 )  ( x1 ,  x2 ,  x3 ,  x4 )  J   id 30 2.3.3 Định nghĩa:  6 Cho J cấu trúc phức V Khi  J gọi tương thích, viết  , J  tương thích; x y   ( x, J ( y)); với x, y V , tích vơ hướng V 2.3.4 Ví dụ: Giả sử V  R2   ( x, y)  x1 y2  x2 y1 ; x  x1 , x2  y( y1, y2 )  J ( x)  ( x2 , x1 ) Khi ( , J ) tương thích Thật vậy: x.y   ( x, J ( y))  x1 y1  x2 y2 Rõ ràng x, y tích vơ hướng x y; x, y V 2.3.5 Nhận xét : 1, Nếu ( , J ) tương thích (V , ) không gian vector Euclide 2, Cho trước (V , ), tồn cấu trúc phức J cho ( , J ) tương thích Thật : xét sở tiêu chuẩn a1 , , ak , b1 , , bk  V Ta xét J : V  V cho J    bi J  bi   ai ; i  1, , k Giả sử x y có tọa độ sở a , , a , b , , b  k  x1 , , xk , x1, , xk   y1 , , yk , y1, , yk  Ta có: k k  k  k  x y     xi   xibi , J   y j a j   y j b j    i 1  i 1 j 1  j 1   k k k  k      xi   xibi ,  y j b j   y j a j  i 1 j 1 j 1  i 1  k k i 1 i 1   xi yi   xi yi k 31 2.3.6 Mệnh đề:  7 Giả sử J cấu trúc phức V Khi  , J  tương   J  x  , J  y      x , y  ; x , y V    x , J  x    0; x V , x  thích  Chứng minh: Giả sử  , J  tương thích Khi ta có tích vơ hướng: x y   ( x, J ( y)) V ; với x, y V Suy ra:  ( J ( x), J ( y))  J ( x) y  y.J ( x)   ( y, J ( J ( x)))   ( y,  x )   ( x, y) Hơn :   x, J  x    x.x  0, x    J  x  , J  y      x , y  ; x , y V    x , J  x    0; x V , x  Ta giả sử  Khi ta xét : x y   ( x, J ( y)) Vậy ánh xạ: V V  R, cho ( x, y)  x.y ánh xạ song tuyến tính thực Mặt khác: y.x   ( y, J ( x ))   ( J ( x ), y )   ( J ( x ),  y )   ( J ( x ), J ( J ( y )))   ( x , J ( y ))  x y Hơn nữa: x.x   ( x, J ( x ))  0; x  0, đồng thời x.x   ( x, J ( x ))   x  Vậy x y tích vơ hướng x , y Bây ta cho W không gian 2m-chiều; J cấu trúc phức W x y tích vơ hướng x, y W cho J ( x).J ( y)  x y Đặt  ( x, y)  J ( x) y; với x, y W Ta có mệnh đề sau: 2.3.7 Mệnh đề:  6 1, W ,  không gian vector symplectic 2,  , J  tương thích 32 Chứng minh: 1, Ta thấy  ánh xạ song tuyến tính Mặt khác,  khơng suy biến Thật vậy: K   x  W   x , y   0; y  W   x  W J  x ) y   0; y  W   x  W J  x   0; y  W  (do  đẳng cấu tuyến tính) Hơn nữa, vì:  ( x, y)  J ( x) y  J ( J ( x)).J ( y)  ( x ).J ( y)  J ( y).( x)   ( J ( y).x)   ( y), x) Nên  phản xứng Vậy W ,  khơng gian vector symplectic 2, Mặt khác ta có x y  J ( x).J ( y)   ( x, J ( y)) Do  , J  tương thích 2.3.8 Mệnh đề: Giả sử V ,   không gian vector symplectic J cấu trúc phức V tương thích với  Cho W không gian Lagrange V Khi J (W) khơng gian Lagrange V Chứng minh: Vì A khơng gian Lagrange nên dim W  dim V Ta suy dim( J  W )  dim W  dim V ; (Vì J đẳng cấu tuyến tính) Hơn ta thấy: J (W)  ( J (W)) Thật vậy, W không gian Lagrange nên  ( a , x)  0; với a, x  A Mặt khác ( , J ) tương thích nên   (a, x ) 2.3.9 Mệnh đề: Giả sử φ1,φ2 hai dạng symplectic tương thích với cấu trúc phức J V Ta đặt φt = t.φ1 +(1−t).φ2, ≤ t ≤ Khi φt tương thích với J Chứng minh: Ta xét: 33    t x,J y   t.1  1  t  2  x, J y     t.1 x, J y  1  t  2 x, J y  t.x y  1  t  x y  x y;  x, y V   34 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kiện sau đây: Chứng minh chi tiết số tính chất của: dạng song tuyến tính phản xứng ( mệnh đề 1.1.3; mệnh đề 1.1.5); dạng song tuyến tính phản xứng thực (mệnh đề 1.2.4; mệnh đề 1.2.9; mệnh đề 1.2.10) Chỉ số ví dụ nhận xét về: dạng tuyến tính (ví dụ 1.1.2); dạng song tuyến tính thực (ví dụ 1.2.2; nhận xét 1.2.8) Phát biểu chứng minh tính chất khơng suy biến dạng song tuyến tính  , (mệnh đề 1.2.6) Chứng minh chi tiết số tính chất của: khơng gian vector Symplectic ( mệnh đề 2.1.4; mệnh đề 2.1.8; mệnh đề 2.1.9); không gian Lagrange (mệnh đề 2.2.3; mệnh đề 2.2.4); cấu trúc tương thích khơng gian Symplectic (mệnh đề 2.3.6; mệnh đề 2.3.7) Chỉ số ví dụ nhận xét khơng gian Lagrange (ví dụ 2.2.1; nhận xét 2.2.2; nhận xét 2.2.6; nhận xét 2.2.9 ); cấu trúc tương thích khơng gian Symplectic (ví dụ 2.3.2; ví dụ 2.3.4; nhận xét 2.3.5) Phát biểu chứng minh tính chất bảo tồn qua cấu trúc J không gian Lagrange (mệnh đề 2.3.8) tính chất tương thích họ t  ;0  t  1, (mệnh đề 2.3.9) 35 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT [1] Dự Thị Phương Hảo (2009), Nhập mơn hình học Symplectic Luận văn thạc sỹ chuyên ngành hình học – topo Trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh [2] Ngơ Thúc Lanh (1979), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng sở hình học đại, Đại học Vinh [4] Ngơ Đình Quốc (2010), Bài giảng Hình học symplectic, Đại học Vinh [5] Đỗ Đức Thái (2013), Giáo trình Đại số tuyến tính hình học tuyến tính, Nhà xuất Đại học Cần Thơ TIẾNG ANH [6] Fomenko A T (1995), Symplectic geometry, Nauk Pb Moscow [7] Silva C (2001), Lectures on symplectic geometry, Springer Verlag ... II: CÁC CẤU TRÚC TƯƠNG THÍCH TRÊN KHƠNG GIAN SYMPLECTIC 20 2.1 Không gian vector symplectic 20 2.2 Không gian Lagrange 24 2.3 Các cấu trúc tương thích khơng gian. .. tên ? ?Các cấu trúc tương thích khơng gian Lagrange? ?? Mục đich nghiên cứu Mục đích luận văn khảo sát số tính chất không gian vector symplectic, không gian Lagrange, cấu trúc tương thích khơng gian. .. không gian symplectic cấu trúc phức không gian symplectic Nhiệm vụ nghiên cứu - Đọc hiểu tài liệu tham khảo liên quan đến số tính chất không gian vector symplectic, không gian Lagrange, cấu trúc