Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh

Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp học sinh có được hệ thống kiến thức cơ bản nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu, lĩnh hội tri thức một cách chủ động, sáng tạo, làm công cụ giải quyết các bài toán liên quan đến chứng minh hình học. Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. Thông qua đó, các em sẽ tìm ra phương án giải các bài toán tiếp theo. Giúp học sinh giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán chứng minh hình học.

MỤC LỤC Trang Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu, Phạm vi đề tài Phương pháp nghiên cứu Dự kiến kết đề tài 2 3 Nội dung I Cơ sở lý luận đề tài II Thực trạng dạy học Toán trường THCS III Biện pháp rèn kỹ chứng minh hình học lớp cho học sinh Định hướng chung Các nhóm biện pháp 2.1 Giảng lý thuyết 2.2 Dạy tập tự luận 2.2.1 Chứng minh yếu tố 2.2.2 Chứng minh đường thẳng song song, vng góc 2.2.3 Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy 2.2.4 Chứng minh hình Kết 4 6 8 11 11 15 19 22 26 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 1/ 29 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Toán học khoa học cổ loài người Nhưng chưa toán học phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng sâu sắc ngày Trong tốn học, phân mơn hình học đời sớm, từ cần thiết đo đạc ruộng đất ln gắn bó với nhu cầu ngày người Mơn hình học cung cấp cho học sinh kiến thức cấn thiết sống, giúp phát triển tư logic, phát triển trí tưởng tượng khơng gian óc thẩm mỹ Bài tập hình học có vai trị tập tốn nói chung, tức áp dụng lý thuyết vào thực hành đảm bảo việc hiểu lý thuyết: có q trình áp dụng lý thuyết tổng qt trừu tượng vào ví dụ cụ thể tốn nhiều loại hiểu lý thuyết cách đầy đủ Chứng minh hình học lạ, khó lứa tuổi 12-14 tuổi, chập chững bước ban đầu trình học hình học Vì vậy, giáo viên cần coi trọng khâu giải tốn hình học Về mặt tổ chức (xây dựng nếp làm lớp, nhà, cách sử dụng tập, nháp, soạn, sử dụng thước compa…) mặt dạy học sinh giải toán (dạy học sinh giải tốn khơng phải giải tốn cho học sinh) Thế dạy học sinh giải tốn hình học? Với vai trị quan trọng tốn hình học, với quan điểm dạy học nhằm phát huy tính tích cực độc lập nhận thức học sinh, rõ ràng dạy học sinh giải tốn hình học khơng phải cung cấp lời giải cho học sinh tìm cách làm cho học sinh hiểu nhớ lời giải mẫu Nhiệm vụ chủ yếu giáo viên dạy học sinh giải tốn hình học tổ chức hành động trí tuệ bên đầu óc học sinh để tự em khám phá lời giải: hướng dẫn, gợi ý, nêu vấn đề kích thích học sinh biết suy nghĩ hướng trước tốn hình học cụ thể, biết vận dụng cách hợp lý tri thức hình học để độc lập tìm tịi mối liên hệ giả thiết kết luận toán từ tìm cách giải Chỉ có qua q trình hoạt động trí tuệ chủ động sáng tạo chuyển hóa trí nhớ tạm thời thu nhận thông tin học thành trí nhớ lâu dài, giữ lại thơng tin cần thiết thời gian lâu dài nắm vững tri thức, kỹ hình học Vì vậy, để giúp học sinh, tơi nghiên cứu viết đề tài “ Biện pháp rèn kỹ chứng minh hình học cho học sinh” Mục đích nghiên cứu: Đề xuất “Biện pháp rèn kỹ chứng minh hình học cho học sinh” nhằm: - Giúp học sinh có hệ thống kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn, giúp em tiếp thu, lĩnh hội tri thức cách chủ động, sáng tạo, làm công cụ giải tốn liên quan đến chứng minh hình học - Gây hứng thú cho học sinh làm tập sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập Thông qua đó, em tìm phương 2/ 29 án giải toán - Giúp học sinh giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải tốn chứng minh hình học - Thơng qua phương pháp giải tốn chứng minh hình học, giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập hình học, đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu thực trạng giải pháp cụ thể “Biện pháp rèn kỹ chứng minh hình học cho học sinh” Phương pháp nghiên cứu: - Khảo sát, thu thập tài liệu - Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phương pháp điều tra - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm Dự kiến kết đề tài: Khi chưa thực đề tài, học sinh giải số toán chứng minh đơn giản, hay mắc sai lầm, thường xuyên gặp khó khăn, định hướng giải chưa đúng, lúng túng rối việc trình bày lời giải Khi thực đề tài, gây hứng thú học tập, học sinh tích cực tìm hiểu có kĩ tốt giải tốn chứng minh hình học Các em tự giải nhiều tập, hạn chế sai lầm hay mắc phải 3/ 29 NỘI DUNG I Cơ sở lý luận đề tài: Việc dạy học định hướng phát triển lực chất cần coi trọng thực mục tiêu dạy học mức độ cao hơn, thông qua việc yêu cầu HS ”vận dụng kiến thức, kĩ cách tự tin, hiệu thích hợp hồn cảnh phức hợp có biến đổi, học tập nhà trường nhà trường, đời sống thực tiễn” Việc dạy học thay dừng hướng tới mục tiêu dạy học hình thành kiến thức, kĩ thái độ tích cực HS cịn hướng tới mục tiêu xa sở kiến thức, kĩ hình thành, phát triển khả thực hành động có ý nghĩa người học Nói cách khác việc dạy học định hướng lực chất không thay mà mở rộng hoạt động dạy học hướng nội dung cách tạo môi trường, bối cảnh cụ thể để HS thực hoạt động vận dụng kiến thức, sử dụng kĩ thể thái độ Như việc dạy học định hướng lực thể thành tố trình dạy học sau: - Về mục tiêu dạy học: Mục tiêu kiến thức: yêu cầu mức độ nhận biết, tái kiến thức cần có mức độ cao vận dụng kiến thức tình huống, nhiệm vụ gắn với thực tế Với mục tiêu kĩ cần yêu cầu HS đạt mức độ phát triển kĩ thực hoạt động đa dạng Các mục tiêu đạt thông qua hoạt động nhà trường - Về phương pháp dạy học: Ngồi cách dạy học thuyết trình cung cấp kiến thức cần tổ chức hoạt động dạy học thông qua trải nghiệm, giải nhiệm vụ thực tiễn Như thông thường, qua hoạt động học tập, HS hình thành phát triển khơng phải loại lực mà hình thành đồng thời nhiều lực nhiều lực thành tố mà ta không cần (và không thể) tách biệt thành tố trình dạy học - Về nội dung dạy học: Cần xây dựng hoạt động, chủ đề, nhiệm vụ đa dạng gắn với thực tiễn - Về kiểm tra đánh giá: Về chất đánh giá lực phải thông qua đánh giá khả vận dụng kiến thức kĩ thực nhiệm vụ HS loại tình phức tạp khác nhau.Trên sở này, nhà nghiên cứu nhiều quốc gia khác đề chuẩn lực giáo dục có khác hình thức, tương đồng nội hàm Trong chuẩn lực có nhóm lực chung Nhóm lực chung xây dựng dựa yêu cầu kinh tế xã hội nước Trên sở lực chung, nhà lí luận dạy học mơn cụ thể hóa thành lực chuyên biệt Tuy nhiên không dừng lực chuyên biệt, tác giả cụ thể hóa thành lực thành phần, lực thành phần cụ thể hóa thành thành tố liên quan đến kiến thức, kĩ năng… để định hướng trình dạy học, kiểm tra đánh giá GV 4/ 29 II Thực trạng dạy học toán trường THCS Về phía giáo viên - Thiên cung cấp lời giải cho học sinh tiếp thu cách thụ động: chưa trọng dạy học sinh giải toán hình học - Thường lịng kết thúc cơng việc giải tốn hình học tìm cách giải đó, chưa ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tịi cách giải khác, cách giải hay khai thác thêm toán vừa giải để phát huy tư linh hoạt sáng tạo học sinh; thường ý số lượng chất lượng giải - Đôi lúc trọng mặt đề cao coi nhẹ mặt bảo đảm theo yêu cầu chương trình theo chuẩn KTKN; thích cho học sinh giải tốn khó, tốn lạ cịn nhiều học sinh lúng túng với toán Về phía học sinh - Rất lúng túng trước đầu tốn hình học: khơng biết làm gì, đâu, theo hướng nào, liên hệ điều nói đề với kiến thức học, không phân biệt điều cho điều cần tìm, chí khơng nắm kiến thức hình học, nên khơng biết cách làm - Suy luận hình học kém, chưa hiểu chứng minh, lý luận thiếu cứ, khơng xác, khơng chặt chẽ, lấy điều phải chứng minh làm giả thiết; suy nghĩ hời hợt, máy móc Khơng rút kinh nghiệm để làm tương tự - Trình bày giải hình học khơng tốt, hình vẽ khơng xác, khơng rõ ràng; ngơn ngữ ký hiệu tùy tiện; câu văn lủng củng, không ngắn gọn, sáng sủa, lập luận thiếu khoa học, khơng logic Kĩ vẽ đường phụ cịn thấp Những khuyết điểm học sinh chủ yếu chưa quan tâm đầy đủ đến việc uốn nắn, rèn luyện nhỏ, bắt đầu quan trọng, bước ban đầu học hình học giải tồn hình học (đặc biệt năm lớp 7) Cho nên học sinh thường mắc sai lầm thực thao tác đơn giản Bảng kết khảo sát ý kiến học sinh dạng chứng minh hình học chưa thực đề tài: Lớp Rất khó khăn Khó khăn Khơng khó 7A1 30% 50% 20% 7A2 29% 46% 25% 7A3 70% 30% 7A4 82% 28% 7A5 68% 32% 5/ 29 III Biện pháp rèn kỹ chứng minh hình học lớp cho học sinh Định hướng chung 1.1 Về phía giáo viên: Yêu cầu 1: Làm cho học sinh, kể học sinh yếu, giải tốn hình học qua làm cho học sinh nắm vững tri thức hình học hiểu rõ thêm chứng minh hình học Ở lớp 6, yêu cầu chủ yếu vẽ hình, đo đạc, luyện tập sử dụng dụng cụ vẽ đo, quan sát hình mơ tả hình, rút số tính chất hình Ở lớp 7, bước đầu làm quen với định lý, nắm hai phần định lý, thấy cần thiết phải chứng minh định lý, bước đầu làm quen với tốn chứng minh hình học Vì năm học quan trọng cần chuẩn bị kỹ càng, giúp học sinh nắm trình tự tốn chứng minh hình học, có tạo cho học sinh tâm lý tự tin môn học sở cho năm học sau Hiện dạy học hình học có tình trạng nhiều học sinh khơng giải tốn hình học, học sinh khơng khơng có điều kiện để hiểu rõ thêm tri thức hình học (kể phép chứng minh) mà dễ bi quan, thiếu tự tin, hứng thú học tập Cho nên dạy giải tốn hình học, trước hết phải làm cho học sinh giải toán, học sinh yếu, cho khả giải ngày tăng lên Muốn cần ý biện pháp sau: - Mỗi tiết học thiết dành thời gian làm số tập lớp, tập phải lựa chọn cho có tác dụng gợi ý giúp học sinh giải tập cho nhà - Tập cho học sinh thói quen chuẩn bị tốt trước chứng minh, phần chuẩn bị khơng ngồi điểm sau : + Đọc kỹ đề, phải hiểu rõ nghĩa tất từ bài, nhằm hoàn toàn hiểu ý tập + Phân biệt giả thiết kết luận tập, dựa vào điều cho giả thiết để vẽ hình Hình vẽ cần phải xác, rõ ràng + Ghi giả thiết kết luận toán; biết thay từ toán học ký hiệu, làm cho toán trở nên đơn giản dễ hiễu Yêu cầu 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh óc tìm tịi cách giải tốn Một phương pháp tốn học quan trọng nhất, có tác dụng rõ rệt việc rèn luyện học sinh óc tìm tịi cách giải tốn hình học phương pháp phân tích, đặt biệt phương pháp phân tích lên Phương pháp thường kết luận Tìm điều kiện cần phải có để dẫn tới kết luận đó; nghiên cứu điều kiện, xét xem điều kiện đứng vững được, ngồi cần có điều kiện Cứ suy ngược bước, lúc điều kiện phù hợp với giả thiết 6/ 29 u cầu 3: Dạy học sinh tìm tịi cách giải khác tốn hình học biết lựa chọn cách giải tốt Việc dạy học sinh tìm tịi nhiều cách giải khác hồn tồn thực vì: - Khả giải toán nhiều cách phụ thuộc vào vốn kiến thức hình học học sinh, vốn kiến thức tích lũy dần qua lớp học - Có thêm kiến thức mới, tìm cách giải tốt làm cho học sinh động hơn, u thích mơn học tất có kết học tập ngày tốt Để giúp học sinh có khả tìm tịi cách giải khác nhau, giáo viên cần: + Giúp đỡ học sinh tích lũy, hệ thống hóa nắm vững cách chứng minh khác tương quan hình học (bằng nhau, song song, thẳng hàng, nằm đường tròn …) + Tập cho học sinh biết phân tích đề bài, biết vào giả thiết (tức tình cụ thể) mà lựa chọn số cơng cụ thích hợp loại cơng cụ có liên quan đến luận điểm Như số đường vừa xuất hiện, học sinh loại trừ đường khơng thích hợp giữ lại số đường thích hợp Đối với nhiều học sinh, lúc đầu phải thử với đường cịn lại đó, thất bại nhiều lần xác định đường Nhưng cơng việc mị mẫm ban đầu lại cần thiết q trình nghiên cứu khoa học + Ln ln khuyến khích việc tìm nhiều cách giải khác nhau, học lý thuyết giải tốn, có hình thức động viên khác đối tượng học sinh khác Chúng ta khơng nên địi hỏi học sinh tìm cách giải độc đáo Tất nhiên quý Trong trường hợp, cố gắng tìm tịi độc lập học sinh điều có giá trị, cần trân trọng xem xét khai thác để nâng cao tính giáo dục Rõ ràng giáo viên thành công việc làm cho học sinh có hứng thú tìm kiếm cách giải khác toán hay cách chứng minh khác định lý điều làm cho học sinh nắm vững thêm kiến thức hình học học, biết vận dụng chúng cách linh hoạt sáng tạo mà giúp phát triển lực nghiên cứu học sinh Yêu cầu 4: Dạy học sinh biết khai thác toán Nếu biết khai thác nhiều khía cạnh tốn giúp phát triển cao lực nhận thức học sinh Giáo viên nắm kĩ biết tổ chức khai thác tốn, nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo học sinh, giúp học sinh “học biết mười” Đối với toán khác có cách khai thác khác Sau số hướng khai thác cần thiết : + Thay đổi phần giả thiết, ví dụ xét trường hợp đặc biệt trường hợp rộng …, kết thay đổi nào, thay đổi giả thiết cách giải kết không thay đổi 7/ 29 + Có thể giải thêm vấn đề mới, ví dụ xét mệnh đề đảo, dựa vào tốn giải tốn tương tự khác đặt toán khác Yêu cầu 5: Nâng cao kỹ giải tốn hình học cho học sinh tiếp tục dạy cho học sinh trình bày tốt giải Việc xây dựng cho học sinh nếp tốt việc giải tốn hình học quan trọng cần trọng từ giai đoạn đầu học hình học Kỹ giải tốn hình học nâng cao dần sở hình thành hồn thiện thói quen, nếp làm tập Sau thói quen, nếp quan trọng, nêu dạng quy tắc : - Đọc kỹ đầu bài, vẽ hình rõ đúng, hiểu rõ ghi giả thiết, kết luận toán theo ngơn ngữ ký hiệu hình học - Nhớ huy động công cụ liên quan đến kết luận toán, vào nội dung giả thiết mà lựa chọn cơng cụ thích hợp - Sử dụng hết điều giả thiết cho Trong nhiều trường hợp, khơng tìm cách giải cịn có điều giả thiết chưa sử dụng đến - Mỗi điều khẳng định phải có - Từng bước, phần phải kiểm tra để kịp thời phát sửa sai lầm có - Khi giải xong, nhìn lại đường vừa đi: coi giai đoạn nhận thức tư tưởng, giai đoạn tích lũy kinh nghiệm 1.2 Về phía học sinh: - Thực tốt nhiệm vụ hướng dẫn tự học giáo viên giao - Đọc sách tham khảo, làm nhiều tập, tìm đáp án - Tích cực học tập lớp - Rèn kỹ vẽ hình Các nhóm biện pháp 2.1 Ging lý thuyt: a) Sau giảng kiến thức, giáo viên h-ớng dẫn học sinh biết công dụng kiến thức dùng để chứng minh gì? Khi chứng minh phải dấu hiệu giả thiết cần có để đến kết luận * Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Dạy dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song - Công dụng: chứng minh hai đường thẳng song song 8/ 29 c Mơ hình suy luận:GT KL c cắt d d’   A3  B B  A 1 A d    1800 A4  B d // d’ B d' Hình Ví dụ 2: Dạy tính chất hai đường thẳng song song - Cơng dụng: tính số đo góc - Mơ hình suy luận: c GT d // d’; c cắt d d’  ; KL  A3  B A   ; A1  B   A  B  1800 d B d' 1 Hình Ví dụ 3: Dạy tam giác trường hợp hai tam giác - Công dụng: Chứng minh cặp góc tương ứng nhau, cặp cạnh tương ứng - Mơ hình để suy luận (hình 4): A A' GT  ABC =  A’B’C’  B '; C  C ' KL A A '; B AB = A’B’; AC = A’C’ BC = B’C’ B C B' Hình - Mơ hình để chứng minh hai tam giác (hình 4): + Trường hợp cạnh- cạnh – cạnh (c-c-c) GT  ABC ;  A’B’C’ AB = A’B’ AC = A’C’ BC = B’C’ KL  ABC =  A’B’C’ 9/ 29 C' + Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c) GT  ABC ;  A’B’C’ AB = A’B’ B ' B BC = B’C’ KL  ABC =  A’B’C’ + Trường hợp góc- cạnh – góc (g-c-g) GT  ABC ;  A’B’C’ B ' B BC = B’C’ KL  C ' C  ABC =  A’B’C’ - §Ĩ chøng minh hai gãc hay cặp đoạn thẳng ph-ơng pháp tam giác bng ta làm theo b-ớc : B­íc 1: XÐt hai tam gi¸c cã chøa hai góc hay cặp đoạn thẳng Bước 2: Chứng minh hai tam giác bng Bước 3: Suy cặp góc, cặp cạnh t-ơng ứng b»ng  = 900,  A’B’C’ cã  - NÕu  ABC cã A A ' = 900 (h×nh 5) Thì việc chứng minh hai tam giác bng đơn giản theo hai tr-ờng hợp TH1: Cạnh huyền- góc nhọn: GT ΔABC ( A  900 ) '  900 ) ΔA’B’C’ ( A B B' BC = B’C’ KL B ' B  ABC =  A’B’C’ C A Hình TH2: Cạnh huyền – cạnh góc vng GT ΔABC ( A  900 ) '  900 ) ΔA’B’C’ ( A BC = B’C’ AB = A’B’ KL  ABC =  A’B’C’ Ví dụ 4: Dạy định lý Pytago - Cơng dụng: tính độ dài cạnh tam giác vuông 10/ 29 A' C' A GT KL  C   ABC, B B ; C  C  B 2 OH  AC, OK  AB a)  BCD =  CBE b) OB = OC c) OH = OK D K E H O 1 2 B C  B  C  C  ABC   ACB  B a) Vì  2 Xét  BCD =  CBE có:   EBC  (gt) DCB BC cạnh chung B  (cmt) C 2 =>  BCD =  CBE (g-c-g)   CDO  (hai góc tương ứng) b) Từ (a) suy BE = CD (hai cạnh tương ứng) BEO Xét  OBE  OCD có:  C  (cmt) B 1 BE = CD (cmt)   CDO  BEO (cmt) =>  OBE =  OCD (g-c-g) => OB = OC (hai cạnh tương ứng) c) Xét  OHB  OKC có:   OKC   900 OHB OB = OC (cmt)  C  (cmt) B 1  OHB =  OKC (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OK (hai cạnh tương ứng) * Bài tập đề nghị Cho đường thẳng d ba điểm A, B, C theo thứ tự thuộc d Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, ta vẽ hai tam giác ABD, BEC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AE, CD a) Chứng minh: AE = DC b) Chứng minh tam giác MBN tam giác 2.2.2 Chứng minh đường thẳng song song, chứng minh đường thẳng vng góc a) Chứng minh hai đường thẳng song song * Ta sử dụng cách sau để chứng minh hai đường thẳng song song: (1) Chứng minh chúng tạo với đường thẳng thứ ba góc so le (hoặc đồng vị) hai góc phía bù (2) Sử dụng tiên đề Euclide, thường chứng minh phản chứng 15/ 29 (3) Chứng minh chúng song song với đường thẳng (4) Chứng minh chúng vuông góc với đường thẳng * Bài tập minh hoạ: Bài tập Cho hình vẽ sau Hãy chứng tỏ đường thẳng xy // Am cách m x B 1 A y Bài giải: B   1080 (hai góc kề bù) => B   1200 Cách 1: Ta có B 2  A1  1200 Do B Mà hai góc vị trí đồng vị  xy // Am (hai góc đồng vị nhau)   600 => xy // Am (hai góc SLT nhau) Cách 2: Tính  A2  600 =>  A2  B   1200 ,    1800 => xy // Am (hai góc TCP bù nhau) A2  600 =>  A2  B Cách 3: Tính B 2 Bài tập Tìm hình vẽ bên cặp đường thẳng song song: A a 700 1100 b B C c 1100 b   ABb  1800 => a // b (hai góc TCP bù nhau) Bài giải: aA   1100 => b // c (hai góc đồng vị nhau) Tính BCc    1800 => a // c (hai góc TCP bù nhau) a aA B  BCc Bài tập Cho hình vẽ bên: b a) Chứng tỏ a // b b) Chứng tỏ: a // c c Bài giải: d A 500 500 B 16/ 29 e a  d   a / / b (cùng vng góc với d) b  d   500 Mà hai góc vị trí so le b) A  B a) => b // c (hai góc SLT nhau) c) Vì a // b, b // c nên a // c (cùng song song với b) *) Bài tập đề nghị: Cho hình vẽ: a) Hai đường thẳng Mz Ny có t n M song song với hay khơng? 300 z Vì sao? 1500 b) Hai đường thẳng Ny Ox có y N song song với hay khơng? Vì sao? 1200 b) Chứng minh hai đường thẳng vng góc : O x *) Để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta sử dụng cách sau: (1) Chứng minh hai đường phân giác hai góc kề bù (2) Chứng minh hai đường cắt góc tạo thành có góc 900 (3) Chứng minh đường thẳng thứ vuông góc với đường thẳng khác mà song song với đường thẳng thứ hai (4) Sử dụng tính chất ba đường cao tam giác (5) Chứng minh đường thẳng thứ đường trung trực đoạn thẳng nằm đường thẳng (6) Sử dụng tính chất đường cao tam giác cân (7) Chứng tỏ chúng hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vng tam giác vng, thường kết hợp với việc tính tổng hai góc sử dụng định lý Pytago *) Các tập minh họa: Bài tập 1: Cho hai đường thẳng song song xx’ yy’ Vẽ đường thẳng a cắt xx’ A, cắt yy’ B Tia phân giác góc xAB ABy cắt C; tia phân giác góc BAx’ ABy’ cắt D Chứng minh rằng: a) CA  DA; CB  DB b) AC  CB; AD  BD Bài giải: 17/ 29 GT xx’ // yy’ A   CAB  ; BAD   DAx ' xAC  ;  ' yBC  CBA ABD  DBy KL x' x D C a) CA  DA; CB  DB b) AC  CB; AD  BD B y y' a) AC tia phân giác góc xAB (gt) AD tia phân giác góc BAx’ (gt) Mà hai góc xAB BAx’ kề bù  CA  DA Chứng minh tương tự có: CB  DB  b) Vì xx’ // yy’ => xAB ABy  1800 (kề bù)   CBA   1800 :  900 => CAB =>  CAB vuông C => AC  CB Chứng minh tương tự có  DAB vng D => AD  BD Bài tập 2: Cho góc xOy, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy cho OA = OB Gọi K giao điểm AB tia phân giác góc xOy Chứng minh rằng:OK  AB Bài giải: GT góc xOy A  Ox, B  Oy; OA = OB A   KOB  KOA KL K OK  AB O B Vì OA = OB (gt) =>  AOB cân O Mà OK đường phân giác xuất phát từ đỉnh O (gt) => OK đồng thời đường cao xuất phát từ đỉnh O (t/c tam giác cân) => OK  AB Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn có AC > AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Chứng minh: AD  BE Bài giải: 18/ 29 A GT  ABC nhọn, AC > AB AE = AB   CAD  BAD KL E AD  BE B C D Xét  ABD  AED có: AB = AE (gt)   CAD  (gt) BAD AD cạnh chung =>  ABD =  AED (c-g-c) => DB = DE (hai cạnh tương ứng) Mà AB = AE (gt) => AD đường trung trực đoạn thẳng BE (tính chất trung trực) Do đó: AD  BE * Bài tập đề nghị: Cho tam giác ABC vuông C Kẻ đường cao CH Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = BC; CN = CH Chứng minh: MN  AC 2.2.3 Chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy a) Chứng minh điểm thẳng hàng * Các cách thường dùng để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: (1) Chứng minh AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB BA + AC = BC) (2) Chứng minh  ABC  1800 (3) Sử dụng tiên đề Euclide, chứng minh hai ba đường thẳng AB, AC, BC song song với đường thẳng khác (4) Sử dụng tính chất đường tam giác (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực) Chứng minh A, B, C thuộc đường *Bài tập minh hoạ: Bài tập 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng Bài giải: N E GT  ABC KL D thuộc tia đối AB: AD = AB E thuộc tia đối AC: AE = AC CM = EN M, A, N thẳng hàng D A B 19/ 29 M C Xét ΔABC ΔADE có: AB = AD (gt)   DAE  (đối đỉnh) BAC AC = AE (gt) => ΔABC = ΔADE (c-g-c)  => DEA ACB (hai góc tương ứng) Xét ΔAEN ΔACM có: AC = AE (gt)  DEA ACB (cmt) CM = EN (gt) => ΔAEN = ΔACM (c-g-c)   CAM  (hai góc tư) => EAN   NAC   1800 (kề bù) => CAM  Mà EAN NAC  1800   1800 => Ba điểm M, A, N thẳng hàng Hay NAM Bài tập 2: Cho  ABC, D trung điểm AC, E trung điểm AB Trên tia đối tia DB lấy điểm M cho DM = DB, tia đối tia EC lấy điểm N cho EN = EC Chứng minh rằng: ba điểm M, A, N thẳng hàng Bài giải: A GT KL ABC DA = DC; EA = EB M thuộc tia đối DB: DM = DB N thuộc tia đối EC: EN = EC M, A, N thẳng hàng N M D E B C Xét  ADM  CDB có: DA = DC (gt)   (đối đỉnh) ADM  CDB DM = DB (gt) =>  ADM =  CDB (c-g-c)   A3   ACB (hai góc tương ứng)  AM // BC (hai góc so le nhau)(1) Chứng minh tươn tự có  AEN =  BEC (c-g-c)  (hai góc tương ứng)   A1  ABC  AN // BC (hai góc so le nhau) (2) Từ (1) (2) suy qua điểm A có hai đường thẳng song song với BC (trái với tiên đề Ơclit) Do đó: AN trùng với AN hay ba điểm M, A, N thẳng hàng 20/ 29 *Bài tập đề nghị: Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I giao điểm BE CD, M trung điểm BC Chứng minh: ba điểm A, M, I thẳng hàng b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy * Các phương pháp thường dùng để chứng minh ba đường thẳng đồng quy: (1) Chứng minh đưòng thẳng thứ ba qua giao điểm hai đường (2) Sử dụng tính chất đường thẳng đồng quy tam giác (3) Đưa việc chứng minh ba điểm thẳng hàng * Bài tập minh hoạ Bài tập 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM Trên BM lấy hai điểm G K cho BG  2 BM G trung điểm BK Trên CG lấy điểm I cho CI = CG Chứng 3 minh ba đường thẳng AG, BC, KI đồng quy Bài giải: A GT  ABC, MA = MC K BM ; GB = GK CI = CG M BG  G I B KL AG, BC, KI đồng quy  ABC có BM đường trung tuyến ứng với cạnh AC H C Mà: BG  BM => G trọng tâm tam giác ABC (tính chất trọng tâm)  AG đường trung tuyến ứng với cạnh BC (tính chất ba đường trung tuyến)  AG cắt BC điểm H trung điểm BC (1) Để chứng minh AG, BC, KI đồng quy ta chứng minh KI qua H Thật vậy, BCK có GB = GK nên CG đường trung tuyến ứng với cạnh BK Mà CI = CG => I trọng tâm tam giác BCK (tính chất trọng tâm)  KI đường trung tuyến ứng với cạnh BC tam giác BCK  KI qua trung điểm H BC (2) Từ (1) (2) => AG, BC, KI đồng quy H Bài tập 2: Chứng minh tam giác, tia phân giác góc hai tia phân giác hai góc ngồi khơng kề với qua điểm Bài giải: 21/ 29 A GT KL  ABC Phân giác góc ngồi B C cắt G G thuộc tia phân giác góc BAC B F C E D G Kẻ GD  AB; GE  AC; GF  BC Vì G nằm tia phân giác góc DBC nên GD = GF (tính chất phân giác) (1) Vì G nằm tia phân giác góc ECB nên GE = GF (tính chất phân giác) (2) Từ (1) (2) suy ra: GD = GE  G nằm tia phân giác góc BAC  Đường phân giác góc ngồi B C, đường phân giác góc A qua G (đpcm) *Bài tập đề nghị: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC, có chứa B, vẽ tia Ax’ // BC lấy Ax’ điểm D cho AD = CB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC, không chứa B, vẽ tia Ax // BC lấy Ax điểm E cho AE = CB Hai tia DB EC cắt F Chứng minh ba đường thẳng AF, BE, CD đồng quy 2.2.4 Chứng minh hình a) Chứng minh tam giác cân *Các cách sử dụng để chứng minh: (1) Chứng minh tam giác có hai góc (2) Chứng minh tam giác có cạnh (3) Chứng minh tam giác có hai đường sau đồng quy: đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực (4) Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến nhau, hai đường cao hai đường trung tuyến *Các tập minh hoạ Bài tập 1: Cho tam giác ABC vng A có K trung điểm cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABK , ACK cân b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AK cắt AB E Chứng minh tam giác BEC cân Bài giải: 22/ 29 B GT KL   900 ΔABC, A KB = KC CE // AK a) ΔABK, ΔACK cân b) ΔBCE cân K C A E a) Vì K trung điểm BC nên AK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => AK = BC (tính chất tam giác vng) => BK = KB = KC =>  ABK, ΔACK cân K (tam giác có hai cạnh nhau) b) Vì CE // AK (gt)   BAK  (đồng vị) => E   KBA  (tam giác ABK cân K) Mà BAK   KBA  => ΔBCE cân C (tam giác có hai góc nhau) => E Bài tập 2: Cho góc xOy, có Ot tia phân giác Lấy điểm M khác O tia Ot Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với Ot cắt Ox, Oy thứ tự A B Chứng minh rằng: a)  OBA cân b) Trên tia Ot lấy điểm N khác O M Chứng minh ΔNAB cân Bài giải: y GT B Góc xOy  xOt yOt M, N  Ot AB  Ot M t N M KL x a) ΔOAB cân O A b) ΔNAB cân  AOM a) Xét ΔOAB có: AM  AB; BOM => AM đường cao đồng thời phân giác xuất phát từ đỉnh O ΔOAB => ΔOAB cân O b) Xét ΔNBO ΔNAO có: AO = OB (ΔOAB cân O)  BOM AOM (gt) AN cạnh chung => Δ ΔNAB cân N * Bài tập đề nghị: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AC lấy điểm D cho BD = BC Qua C kẻ 23/ 29 đường thẳng d song song với cạnh AB Lấy điểm E đường thẳng d cho CE = AD (E A nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BC) Chứng minh: tam giác ABE cân b) Chứng minh tam giác đều: *Các cách chứng minh tam giác đều: (1) Chứng minh tam giác có ba cạnh (2) Chứng minh tam giác có ba góc (3) Chứng minh tam giác cân có góc 600 * Bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho ΔABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự điểm D, E, F cho AD = BE = CF CMR: ΔDEF Bài giải: A GT KL ΔABC, AB = AC = BC AD = BE = CF ΔDEF D F B E C Có AB = AC = BC (gt) => AD + DB = À + FC = BE + EC Mà AD = BE = CF => BD = CE = AF Xét ΔADF ΔBED có: AD = BE (gt)  B  (tam giác ABC đều) A AF = BD (cmt) => ΔADF = ΔBED (c-g-c) => DF = DE (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự: ΔBED = ΔCFE => DE = EF (hai cạnh tương ứng) Do đó: DE = DF = EF => ΔDEF   600 Tia phân giác BD góc B cắt tia phân giác CE Bài tập 2: Cho ΔABC có A góc C O Tia phân giác góc BOC cắt BC F Chứng minh rằng: ΔDEF Bài giải: 24/ 29 B GT   600 ΔABC, A KL Tia phân giác BD góc B cắt tia phân giác CE góc C O Tia phân giác góc BOC cắt BC F ΔDEF F E O 60° A D C ABC   ACB  1800 (đl tổng ba góc tam giác) Xét ΔABC có: A     ABC   ACB  1200   OBC   600 (BD, CE phân giác)  OCB   1200 => BOF  C    600 OF  EOA  BOC Xét ΔOEB ΔOFB có:   FOB   600 EOB OB chung   FOB  (gt) EBO  ΔOEB = ΔOFB (g-c-g)  OE = OF (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự: OD = OF Do đó: OD = OE = OF Xét ΔEOF ΔDOF có: OE = OD (cmt) D  EOF OF  1200 OF chung  ΔEOF = ΔDOF (c-g-c) => EF = FD Chứng minh tương tự: FD = DE  EF = DE = DF => ΔDEF *Bài tập đề nghị: Cho ΔABC Trên tia đối tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự điểm D, E, F cho AD = BE = CF CMR: ΔDEF c) Chứng minh tam giác vuông *Các cách chứng minh tam giác vuông: (1) Sử dụng định lý Pytago đảo (2) Chứng minh tam giác có hai cạnh vng góc với cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc (3) Chứng minh tam giác có tổng hai góc 900 (4) Chứng minh tam giác có trung tuyến nửa cạnh tương ứng * Bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho ΔABC có AB = 12cm; AC = 16cm; BC = 20cm Chứng minh tam giác 25/ 29 ABC tam giác vuông Bài giải: 2 2 Có: AB + AC = 12 + 16 = 400 BC2 = 202 = 400  AB2 + AC2 = BC2  ΔABC vuông A (định lý Pytago đảo)   900 , kẻ AH  BC.Tia phân giác góc BAH góc C cắt Bài tập 2: Cho ΔABC có A K Chứng minh: ΔAKC vuông Bài giải: B   900 ΔABC, A AH  BC GT Tia phân giác góc BAH góc C cắt K ΔAKC vuông KL K H A C   900 (tính chất tam giác vng) ΔACH vuông H =>  A3  BCA    900 Mà BAH A3  BAC   BCA  (cùng phụ với  BAH A3 )  C  =>  A  A C 2   KCA A  A  KAC A3  C A3   A1  900 2 AKC  900 Theo định lý tổng ba góc tam giác cho tam giác KAC tính được:   ΔAKC vuông K * Bài tập đề nghị: Cho xÔy = 900 Vẽ tia phân giác Oz góc xOy , lấy điểm C Qua C kẻ đường thẳng vng góc với Oz cắt Ox A, cắt Oy B Gọi D E theo thứ tự trung điểm OA OB Chứng minh tam giác CED vuông Kết quả: Tôi áp dụng đề tài học sinh lớp 7A3, 7A4, 7A5 thu kết tốt Trước áp dụng đề tài này, thấy nhiều học sinh cịn lúng túng, khó xác định dạng toán, nhầm lẫn việc xác định kiện cho u cầu đề nên khơng tìm cách giải Sau áp dụng đề tài, giúp học sinh khắc phục khó khăn sau: thiếu phương pháp chứng minh, hình thành kỹ chậm, tư thiếu linh hoạt, sử dụng ngôn ngữ toán học lúng túng, ….Học sinh tự tin, làm có chất lượng hơn, học sinh hứng thú học tập tích cực Học sinh loại bỏ tâm lí lo sợ, ức chế đồng thời tạo hứng thú, kích thích niềm ham mê tìm hiểu sâu em mảng kiến thức hình học 26/ 29 Dưới kết làm kiểm tra dng toỏn trờn Kết thực nghiệm (bảng thống kê kết kiểm tra dạng toán trên) p dng Giỏi ti Ch-a áp 45% dụng ĐÃ áp dụng 60% Kt qu kim tra Khá T.Bình Yếu 15% 35% 5% 27% 27/ 29 13% 0% KÐm 0% 0% KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu thực nghiệm trường mình, tơi nhận thấy đề tài phù hợp với q trình dạy tốn cho học sinh khối lớp 7, giúp em tổng hợp lại kiến thức học hào hứng tiết học mơn hình học Qua viết tơi có suy nghĩ trăn trở làm để nâng cao chất lượng học tập học sinh, đặc biệt chất lượng học tập mơn tốn Tơi nhận thấy: Trước hết, người giáo viên phải soạn chu đáo, lên lớp, thiết phải có giáo án giấy, sử dụng máy chiếu Projector Khi giảng bài, giáo viên phải làm rõ trọng tâm mối quan hệ lơgíc nội mạch kiến thức học, xếp hợp lý hoạt động giáo viên học sinh; chuẩn bị hệ thống câu hỏi phát huy trí lực phù hợp với khả tiếp thu học sinh, (nhất dài, khó, nhiều kiến thức mới) Bồi dưỡng kỹ vận dụng sáng tạo kiến thức, hạn chế ghi nhớ máy móc, thay việc sửa lỗi cách hướng dẫn học sinh tự trả lời câu hỏi: dâu dẫn đến kết sai? Thứ hai: Giáo viên phải người làm chủ lớp học, thiết lập bầu khơng khí thân thiện tích cực, chủ động giải tình bảo đảm yêu cầu sư phạm Thứ ba: Sử dụng hợp lý sách giáo khoa (không đọc chép, hướng dẫn học sinh ghi theo diễn đạt giáo viên, không để học sinh đọc theo sách giáo khoa để trả lời câu hỏi) sử dụng có hiệu thiết bị dạy học, phương tiện trực quan, phương tiện nghe nhìn; ứng dụng hợp lý cơng nghệ thơng tin, thực đầy đủ thí nghiệm, thực hành Ở số phải làm rõ mối liên hệ dọc theo mạch kiến thức môn học mối quan hệ môn với môn học khác để khắc sâu kiến thức Thứ tư: Cần phải tích luỹ, khai thác sử dụng hồ sơ chuyên môn, liên hệ thực tế sinh động để làm sâu sắc thêm giảng, giao tập, chủ đề nguyên cứu, sưu tầm nhà để rèn luyện kỷ tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Thứ năm: Giáo viên nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải quyết, dẫn dắt học sinh tự đưa kết luận cần thiết Dạy phải sát đối tượng, coi trọng bồi dưỡng học sinh giỏi kiên trì giúp đỡ học sinh học lực yếu Trên số kết luận tích lũy kiểm nghiệm thông qua 12 năm giảng dạy thân tơi Đó chưa thể gọi tổng quát không tránh khỏi khiếm khuyết Tôi mong góp ý, chia sẻ của thầy cô giáo đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! 28/ 29 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Ơn tập hình học 7- Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thụy – NXB Giáo dục 2014 Toán nâng cao chuyên đề hình học Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm - NXB Giáo dục 2015 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán – Bùi Văn Tuyên – NXB Giáo dục 2015 Nâng cao phát triển toán tập 1, – Vũ Hữu Bình-– NXB Giáo dục 2015 Các chun đề chọn lọc tốn – Tơn Thân (chủ biên) - – NXB Giáo dục 2015 Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số toán hình học – Nguyễn Đức Tấn – NXB Giáo dục 2015 Phương pháp giải toán theo chủ đề phần hình học – Phan Dỗn Thoại – NXB Giáo dục 2015 29/ 29 ... thức, kỹ hình học Vì vậy, để giúp học sinh, tơi nghiên cứu viết đề tài “ Biện pháp rèn kỹ chứng minh hình học cho học sinh? ?? Mục đích nghiên cứu: Đề xuất ? ?Biện pháp rèn kỹ chứng minh hình học cho học. .. kiến học sinh dạng chứng minh hình học chưa thực đề tài: Lớp Rất khó khăn Khó khăn Khơng khó 7A1 30% 50% 20% 7A2 29% 46% 25% 7A3 70 % 30% 7A4 82% 28% 7A5 68% 32% 5/ 29 III Biện pháp rèn kỹ chứng minh. .. chứng minh hình học lớp cho học sinh Định hướng chung 1.1 Về phía giáo viên: Yêu cầu 1: Làm cho học sinh, kể học sinh yếu, giải tốn hình học qua làm cho học sinh nắm vững tri thức hình học hiểu