Nguyên lý biến phân ekeland trên một số không gian kiểu meertric và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỌ NHÂN NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỌ NHÂN NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN ĐỨC THÀNH NGHỆ AN, 2018 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương1 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian mêtric riêng 1.1 1.2 Không gian mêtric riêng Nguyên lý biến phân Ekeland không gian mêtric riêng ứng dụng 12 Chương2 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian b-mêtric 19 2.1 Không gian b-mêtric 19 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian b-mêtric ứng dụng 21 Chương3 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric 27 3.1 Không gian kiểu mêtric 27 3.2 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric ứng dụng 32 34 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo Lời cảm ơn Luận văn thực Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Trần Đức Thành Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS Trần Đức Thành, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tơi q trình học tập thực luận văn Nhân dịp xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo Sau Đại học trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo tổ Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Đại học Vinh, giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ, anh chị em, người thân bạn bè giúp đỡ, động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nguyên lý biến phân Ekeland tảng giải tích biến phân đại, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học lý thuyết tối ưu hay lý thuyết điểm bất động Chẳng hạn, nguyên lý biến phân Ekeland dẫn đến việc tìm nghiệm xấp xỉ toán tối ưu cho hàm nửa liên tục dưới, bị chặn không gian mêtric đầy đủ Hơn nữa, ngun lý biến phân Ekeland cịn cơng cụ hữu ích để chứng minh mở rộng số định lý toán học số lĩnh vực khác Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Nó có nhiều ứng dụng lĩnh vưc khác như: vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế nhiều lĩnh vực khác toán học Một hướng nghiên cứu nhà tốn học tìm cách mở rộng định lý điểm bất động biết lên lớp không gian mêtric suy rộng như: không gian mêtric nón, khơng gian mêtric riêng, khơng gian b-mêtric, khơng gian mêtric chữ nhật, không gian kiểu mêtric Năm 1994, S G Mathew [11] đưa khái niệm không gian mêtric riêng Năm 1989, I A Bakhtin [4] đề xuất khái niệm không gian b-mêtric chứng minh số định lý điểm bất động lớp không gian Gần đây, năm 2012, A Harandi [8] đề xuất khái niệm không gian kiểu mêtric Khái niệm không gian kiểu mêtric mở rộng khái niệm không gian mêtric riêng Để tập duyệt với nghiên cứu khoa học với tìm hiểu nguyên lý biến phân Ekeland cấu trúc, tính chất số lớp không gian mêtric suy rộng lớp không gian mêtric riêng, lớp không gian b-mêtric, lớp không gian kiểu mêtric , đồng thời tìm hiểu ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh số định lý điểm bất động biết chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Nguyên lý biến phân Ekeland số không gian kiểu mêtric ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu nguyên lý biến phân Ekeland, khái niệm, tính chất lớp khơng gian mêtric riêng, khơng gian b-mêtric, khơng gian kiểu mêtric với tìm hiểu ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh số định lý điểm bất động Từ đó, trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết kết vấn đề nói Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu nguyên lý biến phân Ekeland số lớp không gian mêtric suy rộng lớp không gian mêtric riêng, lớp không gian b-mêtric, lớp không gian kiểu mêtric Những đóng góp đề tài 1) Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian mêtric riêng phép chứng minh chi tiết nguyên lý biến phân Ekeland lớp không gian mêtric riêng với ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh tồn điểm bất động số ánh xạ co có tài liệu [3] 2) Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian b-mêtric phép chứng minh chi tiết nguyên lý biến phân Ekeland lớp không gian b-mêtric với ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh tồn điểm bất động số ánh xạ co có tài liệu [5] 3) Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian kiểu mêtric phép chứng minh chi tiết nguyên lý biến phân Ekeland lớp không gian kiểu mêtric với ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh tồn điểm bất động số ánh xạ co có tài liệu [9] Nhiệm vụ nghiên cứu - Đọc hiểu số tài liệu liên quan đến nguyên lý biến phân Ekeland, khái niệm, tính chất lớp khơng gian mêtric riêng, lớp không gian b-mêtric, lớp không gian kiểu mêtric đồng thời tìm hiểu ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh tồn điểm bất động - Trình bày cách có hệ thống kết vấn đề nói - Chứng minh chi tiết mệnh đề, tính chất định lý trình bày luận văn mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết dựa vào tài liệu để giải vấn đề đặt Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương Nguyên lý biến phân Ekeland không gian mêtric riêng Chương trình bày số khái niệm, tính chất khơng gian mêtric riêng, ngun lý biến phân Ekeland không gian metric riêng ứng dụng việc chứng minh tồn điểm bất động cho ánh xạ Caristi Clarke Chương Nguyên lý biến phân Ekeland không gian b-mêtric Chương trình bày số khái niệm, tính chất không gian b-mêtric, nguyên lý biến phân Ekeland khơng gian b-mêtric ứng dụng việc chứng minh tồn điểm bất động cho ánh xạ Caristi Chương Nguyên lý biến phân Ekeland khơng gian kiểu mêtric Chương trình bày số khái niệm, tính chất khơng gian kiểu mêtric, nguyên lý biến phân Ekeland không gian b-mêtric ứng dụng việc chứng minh tồn điểm bất động cho ánh xạ Caristi Nghệ An,tháng năm 2018 Tác giả Lê Thọ Nhân Chương Nguyên lý biến phân Ekeland khơng gian mêtric riêng Chương trình bày số khái niệm, tính chất khơng gian mêtric riêng, ngun lý biến phân Ekeland không gian metric riêng ứng dụng việc chứng minh tồn điểm bất động cho ánh xạ Caristi Clarke 1.1 Khơng gian mêtric riêng Mục trình bày số khái niệm, tính chất khơng gian mêtric riêng 1.1.1 Định nghĩa ([11]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ gọi mêtric riêng (partial metric) X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn (P1) x = y p(x, x) = p(y, y) = p(x, y); (P2) p(x, x) ≤ p(x, y); (P3) p(x, y) = p(y, x); (P4) p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Tập X với mêtric riêng p gọi không gian mêtric riêng (partial metric space) ký hiệu (X, p) Tiếp theo, chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland không gian b-mêtric 2.2.2 Định lí ([5]) Cho (X, d) khơng gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s > Giả sử d hàm liên tục đồng thời f : X → [−∞, +∞] hàm bị chặn nửa liên tục Khi đó, với x0 ∈ X ε > thỏa mãn f (x0 ) ≤ infx∈X f (x) + ε, tồn dãy {xn } ⊂ X xε ∈ X thỏa mãn (i) xn → xε n → ∞ (2.1) (ii) d(xn , xε ) ≤ ε , 2n với n ∈ N (2.2) (iii) ∞ f (xε ) + n=0 d(xn , xε ) ≤ f (x0 ) ≤ infx∈X f (x) + ε sn (2.3) (iv) ∞ f (x) + n=0 ∞ 1 d(x, x ) > f (x ) + d(xn , xε ) với x = xε n ε n sn s n=0 (2.4) Chứng minh: Với x0 ∈ X ta xét tập T (x0 ) = {x ∈ X : f (x) + d(x, x0 ) ≤ f (x0 )} (2.5) Vì f hàm nửa liên tục x0 ∈ T (x0 ) nên suy T (x0 ) tập đóng khác rỗng khơng gian (X, d) với y ∈ T (x0 ) ta có d(y, x0 ) ≤ f (x0 ) − f (y) ≤ f (x0 ) − infx∈X f (x) ≤ ε 22 (2.6) Ta chọn x1 ∈ T (x0 ) cho f (x1 ) + d(x1 , x0 ) ≤ infx∈T (x0 ) {f (x) + d(x, x0 )} + ε , 2s đặt T (x1 ) = x ∈ T (x0 ) : f (x) + i=0 d(x, xi ) ≤ f (x1 ) + d(x0 , x1 ) si Tương tự, phép quy nạp, giả sử chọn xn−1 ∈ T (xn−2 ) cho ta có n−1 T (xn−1 ) = x ∈ T (xn−2 ) : f (x) + i=0 n−2 ≤ f (xn−1 ) + i=0 d(x, xi ) ≤ si d(xn−1 , xi ) si (2.7) Bây giờ, ta chọn xn ∈ T (xn−1 ) cho n−1 f (xn ) + i=0 d(xn , xi ) ≤ si n−1 ≤ infx∈T (xn−1 ) f (x) + i=0 ε d(x, x ) + i si 2n si (2.8) đặt n T (xn ) = x ∈ T (xn−1 ) : f (x) + i=0 n−1 ≤ f (xn ) + i=0 d(xn , xi ) si d(x, xi ) ≤ si (2.9) Vì T (xn ) tập đóng khác rỗng nên với y ∈ T (xn ) từ (2.8) (2.9) ta có 23 d(y, xn ) ≤ f (xn ) + sn n−1 i=0 n−1 ≤ f (xn ) + i=0 d(xn , xi ) − f (y) + si n−1 i=0 d(y, xi ) si d(xn , xi ) − infx∈T (xn−1 ) f (x) + si n−1 i=0 d(x, xi ) si ε ≤ n n s Do đó, với y ∈ T (xn ) ta có d(y, xn ) ≤ ε 2n (2.10) Vì d(y, xn ) → n → ∞ Do đó, diamT (xn ) → Vì (X, d) khơng ∞ n=0 T (xn ) = {xε } Từ (2.6) (2.10) ta suy xε ∈ X thỏa mãn (2.2) Vì vậy, xn → xε n → ∞ Hơn nữa, với x = xε ta có x ∈ / ∞ n=0 T (xn ), tồn m ∈ N cho gian b-mêtric đầy đủ nên từ Bổ đề 2.2.1 ta có m f (x) + i=0 d(x, xi ) > f (xm ) + si m−1 i=0 d(xm , xi ) si Từ (2.5),(2.7) (2.8) với q ≥ m ta có m−1 f (x0 ) ≥ f (xm ) + i=0 d(xm , xi ) ≥ f (xi ) + si q ≥ f (xq ) + i=0 q−1 i=0 d(xq , xi ) si d(xε , xi ) si Điều chứng tỏ (2.3) (2.4) thỏa mãn Từ Định lý 2.2.2 ta suy hệ sau: 2.2.3 Hệ Cho (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s > Giả sử d hàm liên tục đồng thời f : X → [−∞, +∞] hàm bị chặn nửa liên tục Khi đó, với ε > tồn dãy {xn } ⊂ X x∗ ∈ X thỏa mãn 24 (i) xn → xε n → ∞ (ii) ∞ f (xε ) + n=0 d(xn , xε ) ≤ f (x0 ) ≤ infx∈X f (x) + ε sn (iii) ∞ f (x) + n=0 ∞ 1 d(x, x ) ≥ f (x ) + d(xn , xε ) với x ∈ X n ε n sn s n=0 2.2.4 Định lí ([5]) Cho (X, d) khơng gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s > d hàm liên tục Giả sử T : X → X hàm cho tồn f : X → [−∞, +∞] nửa liên tục thỏa mãn d(u, v) + sd(u, T (u)) ≥ d((T u), v); s2 d(u, T (u)) ≤ f (u) − f (T (u)), s−1 với u, v ∈ X (2.11) (2.12) Khi đó, T có điểm bất động Chứng minh: Giả sử với x ∈ X ta có T (x) = x Từ Hệ 2.2.3 ta suy vói ε > tồn dãy {xn } ⊂ X cho xn → xε ∈ X n → ∞ với x ∈ X ta có ∞ f (x) + n=0 ∞ 1 d(x, xn ) ≥ f (xε ) + d(xn , xε ) n n s s n=0 Trong bất đẳng thức trên, ta cho x = T (xε ) từ T (xε ) = xε ta có ∞ f (xε ) − f (T (xε )) < n=0 ∞ 1 d(T (x ), x ) − d(xε , xn ) ε n n sn s n=0 25 Cho u = xε v = xn sử dụng (2.11) ta có ∞ s d(T (xε ), xε ) sn (2.13) s2 d(T (xε ), xε ) ≤ f (xε ) − f (T (xε )) s−1 (2.14) f (xε ) − f (T (xε )) < n=0 Cho u = xε (2.12) ta có Hơn nữa, từ (2.13) ta có s2 f (xε ) − f (T (xε )) < d(T (xε ), xε ) s−1 Từ (2.14) (2.15) ta suy s2 s2 d(T (xε ), xε ) < f (xε ) − f (T (xε )) < d(T (xε ), xε ) s−1 s−1 Ta gặp mâu thuẫn Vậy, tồn x∗ ∈ X cho x∗ = T (x∗ ) 26 (2.15) Chương Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric Chương trình bày số khái niệm, tính chất không gian kiểu mêtric, nguyên lý biến phân Ekeland khơng gian kiểu mêtric ứng dụng việc chứng minh tồn điểm bất động cho ánh xạ Caristi 3.1 Không gian kiểu mêtric Mục trình bày số khái niệm, tính chất không gian kiểu mêtric 3.1.1 Định nghĩa ([9]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ σ : X × X → [0, +∞) gọi kiểu mêtric với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: σ(x, y) = ⇒ x = y ; σ(x, y) = σ(y, x); σ(x, y) ≤ σ(x, z) + σ(z, y) Khi đó, (X, σ) gọi không gian kiểu mêtric 27 3.1.2 Định nghĩa ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric, {xn } dãy điểm X x ∈ X Dãy {xn } gọi hội tụ (X, σ) x ∈ X lim σ(xn , x) = n→∞ σ(x, x) Dãy {xn } gọi dãy Cauchy (X, σ) lim σ(xn , xm ) tồn n,m→∞ hữu hạn (X, σ) gọi không gian b-mêtric đầy đủ dãy Cauchy X tồn x ∈ X cho σ(x, x) = lim σ(xn , x) = lim σ(xn , xm ) n→∞ n,m→∞ Nếu lim σ(xn , xm ) = {xn } gọi dãy 0σ -Cauchy n,m→∞ Nếu dãy 0σ -Cauchy X hội tụ tới x ∈ X thỏa mãn σ(x, x) = (X, σ) gọi 0σ -đầy đủ 3.1.3 Ví dụ ([9]) 1) Cho tập hợp X = [0, +∞) Khi đó, hàm σ : X × X → R+ xác định σ(x, y) = x = y = trường hợp lại, kiểu mêtric X không mêtric hay mêtric riêng 2) Cho tập hợp X = [0, +∞) Khi đó, hàm σ : X × X → R+ xác định σ(x, y) = x + y kiểu mêtric X không mêtric hay mêtric riêng Hơn nữa, không gian (X, σ) không gian kiểu mêtric đầy đủ 3) Cho tập hợp X = [0, +∞) ∩ Q Khi đó, hàm σ : X × X → R+ xác định σ(x, y) = x + y 28 kiểu mêtric X Hơn nữa, không gian (X, σ) không gian 0σ -kiểu mêtric đầy đủ không không gian kiểu mêtric đầy đủ Cho (X, σ) không gian 0σ -kiểu mêtric đầy đủ hàm d : X × X → R+ xác định d(x, y) = σ(x, y) x = y x = y 3.1.4 Mệnh đề ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric hàm d : X×X → R+ xác định Khi đó, (X, d) khơng gian mêtric Hơn nữa, (X, d) không gian mêtric đầy đủ (X, σ) không gian 0σ -kiểu mêtric đầy đủ Chứng minh: Rõ ràng d(x, y) = d(y, x) d(x, y) = x = y Hơn nữa, với x, y, z ∈ X ta có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (3.1) x = y x = y z = x z = y Mặt khác, x, y, z điểm phân biệt từ σ(x, y) ≤ σ(x, z) + σ(z, y) (3.2) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (3.3) ta có Do đó, bất đẳng thức tam giác chứng minh Vì vậy, (X, d) khơng gian mêtric Chú ý rằng, {xn } ⊂ X xn = xm với n = m lim σ(xn , xm ) = lim d(xn , xm ) = n,m→∞ n,m→∞ Bây giờ, giả sử (X, σ) là không gian 0σ kiểu mêtric đầy đủ {xn } dãy Cauchy (X, d) Nếu xn = xm với n ≥ m dãy {xn } hội tụ tới x = xm ∈ X Do đó, ta giả sử xn = xm với n = m Từ nhận xét ta suy {xn } dãy 0σ -Cauchy không gian 0σ -kiểu mêtric đầy 29 đủ (X, σ) , tồn z ∈ X cho lim σ(xn , z) = σ(z, z) = , tức n→∞ lim d(xn , z) = Vậy, (X, d) không gian mêtric đầy đủ n→∞ Ngược lại, giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ {xn } dãy 0σ -Cauchy không gian (X, σ) Không tính tổng quát, giả sử xn = xm với n = m Khi đó, ta có lim d(xn , xm ) = lim σ(xn , xm ) = n,m→∞ n,m→∞ Do đó, {xn } dãy Cauchy khơng gian (X, d) Vì (X, d) nên tồn z ∈ X cho lim σ(xn , z) = = σ(z, z) (X, σ) không gian 0σ -kiểu mêtric n→∞ đầy đủ Đặt X0 = {x ∈ X : σ(x, x) = 0} ta có mệnh đề sau: 3.1.5 Mệnh đề ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric hàm d : X×X → R+ xác định Mệnh đề 3.1.4 Giả sử {xn } ⊂ X x ∈ X cho lim d(xn , x) = Nếu xn = x với vô hạn giá trị n x ∈ X0 Hơn nữa, n→∞ X0 tập đóng (X, d) Chứng minh: Vì σ(xn , x) = d(xn , x) với n ∈ N thỏa mãn xn = x nên tồn dãy {xnk } {xn } cho lim σ(xnk , x) = Điều kéo theo k→∞ σ(x, x) = σ(x, x) ≤ 2σ(xnk , x) → k → +∞ x ∈ X0 Khi đó, với dãy {xn } ⊂ X0 ta có σ(xn , x) = d(xn , x), chứng tỏ X0 tập đóng (X, d) 3.1.6 Định nghĩa ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric ánh xạ T : X → X T goi 0σ -liên tục với x ∈ X0 dãy {xn } ⊂ X thỏa mãn xn → x n → ∞ ta có σ(T xn , T x) → 3.1.7 Nhận xét Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric ánh xạ T : X → X Nếu T 0σ -liên tục T (X0 ) ⊆ X0 Thật vậy, x ∈ X0 {xn } ⊂ X thỏa mãn xn → x n → ∞ σ(T xn , T x) → σ(T x, T x) = 30 3.1.8 Mệnh đề ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric hàm d : X×X → R+ xác định Mệnh đề 3.1.4 Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn T (X0 ) ⊂ X0 Khi đó, T liên tục (X, d) T 0σ -liên tục (X, σ) Chứng minh: Đầu tiên ta giả sử T 0σ -liên tục (X, σ) {xn } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X (X, d) Rõ ràng, T xn = T x lim d(Tn , T x) = với n→∞ n ≥ m ∈ N Khơng tính tổng quát, ta giả sử T xn = T x với n ∈ N Điều kéo theo xn = x với n ∈ N σ(xn , x) = d(xn , x) → Từ Mệnh đề 3.1.5 ta suy x ∈ X0 Vì vậy, d(T xn , T x) = σ(T xn , T x) → hay T liên tục (X, d) Ngược lại, giả sử T liên tục (X, d) x ∈ X cho trước cho {xn } ⊂ X hội tụ tới x Không tính tổng quát, ta giả sử T xn = T x với n = m Vì d(T xn , T x) = σ(T xn , T x) → n → ∞ nên T 0σ -liên tục (X, σ) 3.1.9 Định nghĩa ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric hàm d : X × X → R+ xác định Mệnh đề 3.1.4 Giả sử X0 = ∅ Hàm φ : X → [0, +∞) gọi 0σ -nửa liên tục với x ∈ X0 với dãy {xn } ⊂ X thỏa mãn lim σ(xn , x) = ta có n→∞ φ(x) ≤ lim inf φ(xn ) n→∞ (3.4) 3.1.10 Mệnh đề ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric, X0 = ∅ hàm d : X × X → R+ xác định Mệnh đề 3.1.4 Khi đó, hàm φ : X → [0, +∞) nửa liên tục (X, d) φ 0σ -nửa liên tục (X, σ) Chứng minh: Đầu tiên, giả sử φ 0σ -nửa liên tục (X, σ) {xn } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X (X, d) Nếu xn = xm với n ∈ N thỏa mãn n ≥ m (3.4) x = xm Do ta giả sử xn = xm với n = m x = xn với n ∈ N Điều kéo theo σ(xn , x) = d(xn , x) → n → ∞ (3.4) φ 0σ -nửa liên tục (X, σ) Do 31 vậy, φ nửa liên tục (X, d) Ngược lại, giả sử φ nửa liên tục (X, d) {xn } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X0 (X, σ) Điều kéo theo σ(xn , x) = d(xn , x) → n → ∞ (3.4) Vì φ nửa liên tục (X, d) nên φ 0σ -nửa liên tục (X, σ) 3.2 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric ứng dụng Trong mục này, chúng tơi trình bày ngun lý biến phân Ekeland lớp không gian kiểu mêtric ứng dụng chúng việc chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ Caristi 3.2.1 Định lí ([9]) Cho (X, σ) khơng gian 0σ -kiểu mêtric đầy đủ, X0 = ∅ hàm φ : X → (−∞, +∞] 0σ -nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, không đồng +∞ Lấy ε cho trước x ∈ X cho φ(x) ≤ inft∈X φ(t) + ε Khi đó, tồn y ∈ X cho (i) φ(y) ≤ φ(x); (ii) σ(x, y) ≤ max{1, σ(x, x)} (iii) Với w, y ∈ X thỏa mãn w = y ta có φ(w) > φ(y) − εσ(y, w) Chứng minh: Lấy hàm d : X × X → R+ xác định Mệnh đề 3.1.4 Khi đó, theo Mệnh đề 3.1.4 (X, d) không gian mêtric đầy đủ Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.1.10 ta suy φ hàm nửa liên tục (X, d) Do đó, theo nguyên lý biến phân Ekeland không gian mêtric tồn y ∈ X cho (j) φ(y) ≤ φ(x); (jj) d(x, y) ≤ (jjj) Với w, y ∈ X thỏa mãn w = y ta có φ(w) > φ(y) − εd(y, w) Điều chứng tỏ (i)-(iii) thỏa mãn Thật vậy, (i) suy từ (j) Tiếp 32 theo, y = x σ(x, y) = d(x, y) ≤ (ii) thỏa mãn Cuối cùng, w = y kéo theo σ(w, y) = d(w, y) nên (iii) thỏa mãn 3.2.2 Định nghĩa ([9]) Cho (X, σ) không gian kiểu mêtric hàm φ : X → [0, +∞) 0σ -nửa liên tục Với x ∈ X , ánh xạ f thỏa mãn điều kiện σ(x, f x) ≤ φ(x) − φ(f x) (3.5) gọi ánh xạ Caristi (X, σ) 3.2.3 Định lí ([9]) Cho (X, σ) không gian 0σ -kiểu mêtric đầy đủ Khi đó, ánh xạ Caristi khơng gian (X, σ) có điểm bất động Chứng minh: Áp dụng Định lý 3.2.1 với ε = ta suy tồn y ∈ X cho với t ∈ X hàm φ thỏa mãn (3.5) ta có φ(t) ≥ φ(y) − σ(y, t) (3.6) Bất đẳng thức (3.6) với t = f y , tức φ(y) − φ(f y) ≤ σ(y, f y) (3.7) Cho x = y (3.5) ta nhận σ(y, f y) ≤ φ(y) − φ(f y) (3.8) Kết hợp (3.6), (3.7) (3.8) ta thu σ(y, f y) ≤ σ(y, f y) (3.9) Điều xảy σ(y, f y) = tức y = f y Vậy y điểm bất động f 33 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian mêtric riêng phép chứng minh chi tiết nguyên lý biến phân Ekeland lớp không gian mêtric riêng với ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh tồn điểm bất động số ánh xạ co có tài liệu [3] Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian b-mêtric phép chứng minh chi tiết nguyên lý biến phân Ekeland lớp không gian b-mêtric với ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh tồn điểm bất động số ánh xạ co có tài liệu [5] Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian kiểu mêtric phép chứng minh chi tiết nguyên lý biến phân Ekeland lớp không gian kiểu mêtric với ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland việc chứng minh tồn điểm bất động số ánh xạ co có tài liệu [9] 34 Tài liệu tham khảo [1] M Abbas and G Jungck (2008), Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity on cone metric spaces, J Math Anal Appl., 341, 416-420 [2] M A Alghamdi, N Hussain and P Salim (2013), Fixed point and coupled fixed point theorems on b-metric-like spaces, Journal of Inequalities and Applications, 25 pages [3] H Aydi, E Karapinar and C Vetro (2015), On Ekeland’s variational principle in partial metric spaces, Appl Math Inf Sci., 09, 257-262 [4] H Bakhtin (1989), The contractions mapping principle in almost metric spaces, Fuct Anal., 30, 26-35 [5] M Bota, A Molnar and C Varga (2011), On Ekeland’s variational principle in b-metric spaces, Fixed Point Theory, 12, 21-28 [6] C Chen, H Xue and C Zhu (2017) , Common fixed point theorems concerning F-contraction in b-metric-like spaces,Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 3075-3086 [7] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav., 1, 5-11 [8] A Harandi (2012), Metric-like spaces, partial metric spaces and fixed point, Fixed point theory and Applications, Article ID 204 35 [9] M Jleli, B Samet, C Vetro and F Vetro (2013), From Caristi’s Theorem to Ekeland’s variational principle in 0σ -complete metric like spaces, Abstract and Applied Analysis, Vol 2014, Article ID 319619, pages [10] S K Malhotra, S Radenovic and S Shukla (2014), Some fixed point results without monotone property in partially ordered metric like spaces, J Egyptian Math Soc., 22, 83-89 [11] S G Mathews (1994), Partial metric topology, In Proc 8th Summer conference on general topology and applications, Ann New York Acad Sci., Vol 728, 183-197 [12] H Piri and P Kumam (2014), Some fixed point theorems concerning Fcontraction in complete metric spaces, Fixed point theory and Applications, 11 pages [13] D Wardowski (2012), Fixed point of a new type of contractive mappings in complete metric spaces, Fixed point theory and Applications, pages 36 ... Chương Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric Chương trình bày số khái niệm, tính chất không gian kiểu mêtric, nguyên lý biến phân Ekeland khơng gian kiểu mêtric ứng dụng việc chứng... Chương Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric Chương trình bày số khái niệm, tính chất không gian kiểu mêtric, nguyên lý biến phân Ekeland khơng gian b-mêtric ứng dụng việc chứng minh... 21 Chương3 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric 27 3.1 Không gian kiểu mêtric 27 3.2 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian kiểu mêtric ứng dụng