Về khoảng cách từ một điểm tới siêu phẳng trong không gian định chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ TÚ ANH VỀ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ TÚ ANH VỀ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KIỀU PHƯƠNG CHI Nghệ An - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại Học Vinh hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Tác giả đến Thầy Nhân dịp này, Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo mơn Giải tích, Viện Sư phạm tự nhiên, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn Gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học K24- Toán Giải tích học Trường Đại Học Vinh cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy giáo, Cơ giáo bạn bè để luận văn hồn thiện Tác giả xin cam đoan luận văn tác giả thực hướng dẫn PGS TS Kiều Phương Chi Các kết trích dẫn luận văn trung thực Nghệ An, tháng năm 2018 Lê Thị Tú Anh MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Các siêu phẳng không gian định chuẩn 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Siêu phẳng không gian định chuẩn 11 Khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn 14 2.1 Hình chiếu điểm tới siêu phẳng không gian Hilbert 14 2.2 Khoảng cách điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn 19 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Các siêu phẳng đóng khơng gian định chuẩn E lớp khơng gian đặc biệt, ker (hạt nhân) phiếm hàm tuyến tính liên tục E Những ví dụ thơng thường siêu phẳng đường thẳng (đi qua gốc) mặt phẳng R2 , mặt phẳng không gian R3 Các vấn đề xác định khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng xác định hình chiếu trực giao điểm siêu phẳng khơng gian hữu hạn chiều quen thuộc, đặc biệt không gian R2 , R3 tốn chương trình tốn phổ thơng Tuy nhiên, vấn đề xét không gian vô hạn chiều trở nên phức tạp, đặc biệt tồn cách xác định hình chiếu điểm siêu phẳng khơng gian định chuẩn vơ hạn chiều tốn khó ([4]) Với mục đích nghiên cứu cách có hệ thống khoảng cách điểm tới siêu phẳng, đặc biệt vận dụng để nhìn nhận thấu đáo kết tương tự tốn phổ thơng lựa chọn đề tài: Về khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu có hệ thống siêu phẳng không gian định chuẩn, không gian Hilbert; khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn, khơng gian Hilbert; nhìn nhận lại kết quen thuộc chương trình tốn phổ thơng từ kết Nội dung nghiên cứu Khái niệm, ví dụ tính chất siêu phẳng không gian định chuẩn; công thức khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn, không gian Hilbert; ứng dụng kết để thiết lập lại kết quen thuộc chương trình tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết dựa vào tài liệu để giải vấn đề đặt Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày theo bố cục sau: Mở đầu Giới thiệu tổng quan vấn đề kết nghiên cứu siêu phẳng không gian định chuẩn khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng Chương Các siêu phẳng không gian định chuẩn Chương nhằm mục đích trình bày kết không gian định chuẩn, không gian Hilbert siêu phẳng không gian định chuẩn Mục thứ trình bày kiến thức sở giải tích cổ điển, giải tích hàm Mục nghiên cứu khái niệm, ví dụ tính chất siêu phẳng khơng gian định chuẩn Chương Khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn Chương nghiên cứu khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian Hilbert không gian định chuẩn Mục 2.1 trình bày số kết hình chiếu điểm siêu phẳng khơng gian Hilbert thác triển phiếm hàm tuyến tính liên tục qua siêu phẳng khơng gian Hilbert Mục 2.2 nghiên cứu khoảng cách điểm siêu phẳng không gian định chuẩn Các kết trình bày luận văn trình bày rãi rác tài liệu dạng tập Chúng tơi trình bày theo lơgic vấn đề, chứng minh chi tiết hầu hết kết chương mà tài liệu bỏ qua chứng minh hay chứng minh vắn tắt Đặc biệt, liên hệ với kết quen thuộc chương trình tốn phổ thơng, cách tiếp cận cho phép có cách nhìn sâu sắc tốn phổ thơng Đây đóng góp luận văn CHƯƠNG CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Chương nhằm mục đích trình bày kết không gian định chuẩn, không gian Banach siêu phẳng không gian định chuẩn Nó viết thành mục 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục nhắc lại số kết không gian định chuẩn, không gian Banach cần dùng sau Các kết tìm thấy [1] 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho E khơng gian tuyến tính trường K Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ K với x ∈ E ; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với metric sinh chuẩn Với tôpô sinh mêtric sinh chuẩn phép tốn cộng nhân vơ hướng E liên tục Sau số lớp không gian định chuẩn quen thuộc 1.1.2 Ví dụ Giả sử K trường số thực số phức Khơng gian tuyến tính n-chiều quen thuộc Kn = x = (x1 , , xn ) : xk ∈ K, k = 1, 2, , n Khi đó, Kn khơng gian Banach với chuẩn xác định n x 2 |xk | = 1/2 , ∀x ∈ Kn (1.1) k=1 1.1.3 Ví dụ Giả sử K trường số thực số phức Ký hiệu l∞ = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy bị chặn ; C = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy hội tụ ; C0 = x = (xn ) ⊂ K : lim xn = ; n→∞ ∞ |xn |p < ∞ , p lp = x = (xn ) ⊂ K : n=1 Với phép toán cộng dãy nhân số với dãy thơng thường ta có l∞ khơng gian tuyến tính C , C0 lp không gian l∞ Hơn lp ⊂ C0 ⊂ C ⊂ l∞ Ta biết l∞ không gian Banach với chuẩn xác định x = sup |xn |, ∀x ∈ l∞ (1.2) n Đặc biệt C0 , C khơng gian đóng l∞ , chúng không gian Banach với chuẩn Tuy nhiên lp khơng đóng l∞ Đối với lp , người ta xét chuẩn xác định công thức ∞ x p |xn |p = 1/p , ∀x ∈ lp n=1 Khi đó, lp không gian Banach (1.3) 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) không gian mêtric ánh xạ f : X → Y 1) ánh xạ f gọi liên tục với dãy {xn } ⊂ X xn → x f (xn ) → f (x) 2) ánh xạ f gọi liên tục với ε > tồn δ = δ(ε) cho: ρ(f x, f y) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ 1.1.5 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric a ∈ X , A, B ⊂ X 1) Khoảng cách từ a tới A d(a, A) = inf x∈A d(a, x) 2) Khoảng cách A B d(A, B) = inf x∈A,y∈B d(x, y) 1.1.6 Định lý Cho E, F không gian định chuẩn trường K f : E → F ánh xạ tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau tương đương: 1) f liên tục 2) f liên tục 3) f liên tục 4) f bị chặn, tức tồn k > cho f (x) k x với x ∈ E Cho E, F không gian định chuẩn Ký hiệu L(E, F ) tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta biết L(E, F ) không gian định chuẩn với chuẩn f = inf { f (x) k>0 k x } = sup f (x) , ∀f ∈ L(E, F ) x =1 Nếu F khơng gian Banach L(E, F ) khơng gian Banach Đặc biệt, L(E, K) := E ∗ không gian liên hợp thứ E khơng gian Banach Mỗi f ∈ E ∗ cịn gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục Kết sau hệ trực tiếp định lý Hahn-Banach thác triển phiếm hàm tuyến tính liên tục 17 2.1.4 Mệnh đề ([3]) Nếu H = {x ∈ E : x|a = 0} siêu phẳng đóng khơng gian Hilbert E hình chiếu trực giao y ∈ E H PH (y) = y − Chứng minh Vì E = H y|a a a Ka nên y = PH (y) + λa Suy PH (y) = y − λa Từ PH (y)|a = suy λ= Thê Suy PH (y) = y − y|a a y|a a a Ví dụ kết quen thuộc chương trình tốn phổ thơng 2.1.5 Ví dụ Giả sử P mặt phẳng R3 có phương trình Ax+By+ Cz = Khi đó, phương trình P viết lại thành f (X) = X|a = 0, a = (A, B, C) X = (x, y, z) Giả sử M = (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 Khi đó, hình chiếu M P ( (x0 , y0 , z0 )|(A, B, C) (A, B, C) A2 + B + C B(Ax0 + By0 + Cz0 ) A(Ax0 + By0 + Cz0 ) = x0 − , y − , A2 + B + C A2 + B + C C(Ax0 + By0 + Cz0 ) z0 − A2 + B + C PH (M ) = (x0 , y0 , z0 ) − Trong không gian Hilbert việc ánh xạ thác triển Hahn-Banach từ khơng gian mô tả qua phép chiếu trực giao lên khơng gian Đặc biệt, việc thác triển qua siêu phẳng cịn cho tính tốn tường minh 2.1.6 Định lý ([3]) Cho E không gian Hilbert, F khơng gian đóng E f ∈ F ∗ Khi đó, thác triển Hahn-Banach f˜ f xác định f˜(x) = f (PF (x)) 18 với x ∈ E Chứng minh Vì F khơng gian đóng E nên E = F F ⊥ Do đó, với x ∈ E , x = y + z , PF (x) = y ∈ F PF ⊥ (x) = z ∈ F ⊥ Từ suy ra, f˜ : E → K xác định f˜(x) = f (PF (x)) với x ∈ E f˜|F = f f˜ thác triển f Vấn đề lại để chứng minh f˜ thác triển Hahn-Banach f chứng minh f˜ = f Từ f˜|F = f suy f˜ f Mặt khác, từ y ⊥ z suy x Do x + y+z = y + z y y Ta có f˜(x) = f (y) với x ∈ E Suy f˜ f y f x f Vì vậy, f˜ = f Cuối ta cần thác triển Giả sử tồn thác triển Hahn-Banach g f , tức g|F = f g = f Khi đó, theo tính chất phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert tồn a ∈ E cho g(x) = x|a với x ∈ E g = a Viết a = b + c, b ∈ F c ∈ F ⊥ Thế b = PF (a) c = PF ⊥ (a) Với y ∈ F ta có f (y) = g(y) = y|a = y|b Suy f = b Vì f = g nên b = a = b + c Suy c = a = b Ta nhận g(x) = x|a = y|b = f (y) = f (PF (x)) = f˜(x) Vậy g thác triển f 19 2.1.7 Định lý ([3]) Giả sử E không gian Hilbert, a ∈ E, a = siêu phẳng H = {x ∈ E : x|a = 0} Nếu phiếm hàm f ∈ H ∗ xác định f (x) = x|b , b ∈ H với x ∈ H phiếm hàm thác triển Hahn-Banach f˜ f xác định a|b f˜(x) = x|b − x|a a Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có pF (x) = x − x|a a a với x ∈ E Vì f˜(x) = f (PF (x)) = P (x)|a nên ta nhận a|b f˜(x) = x|b − x|a a với x ∈ E 2.2 Khoảng cách điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn Mục nghiên cứu cơng thức tính tốn khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng không gian định chuẩn theo phương trình chúng 2.2.1 Định lý (([1]) Nếu H siêu phẳng đóng khơng gian định chuẩn E với phương trình f (x) = 0, f ∈ E ∗ d(a, H) = |f (a)| f với a ∈ E Chứng minh Với x ∈ H ta có f (x) = Khi |f (a)| = |f (a − x)| f a−x 20 Suy |f (a)| f a−x với x ∈ H |f (a)| f inf a − x = d(a, H) (2.1) x∈H x =1 |f (x)| Tiếp theo, với < ε < f , từ f = sup suy tồn x0 ∈ E, x0 = cho < f < |f (x0 )| + ε Suy f − ε < |f (x0 )| Đặt y = x0 − f x0 f (a) a Thế f (y) = hay y ∈ H Do f (x0 ) |f (a)| f −ε f (a) f (a) x0 = a + y f (x0 ) f (x0 ) d(a, H) Cho ε → ta nhận |f (a)| f Từ (2.1) (2.2) ta nhận d(a, H) (2.2) |f (a)| = d(a, H) f 2.2.2 Hệ ([3]) Nếu E không gian tiền Hilbert H siêu phẳng đóng E d(a, H) = | a|b | b với b ∈ E Chứng minh Giả sử H có phương trình f (x) = Theo Định lý đặc trưng phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert tồn 21 b ∈ E(b = 0) cho f (x) = x|b với x ∈ E f = b Thế thì, sử dụng Định lý 2.2.1 ta nhận d(a, H) = |f (a)| | a|b | = f b (2.3) Ta nhận hệ sau kết quen thuộc chương trình tốn phổ thơng 2.2.3 Hệ Nếu ∆ đường thẳng R2 có phương trình Ax + By = (A2 + B = 0) với (x0 , y0 ) ∈ R2 ta có |Ax0 + By0 | d((x0 , y0 ), ∆) = √ A2 + B Chứng minh Ta biết R2 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (x1 , y1 )|(x2 , y2 ) = x1 y1 + x2 y2 Thế Ax + By = (x, y)|(A, B) Vì thế, áp dụng (2.3) a = (x0 , y0 ) b = (A, B) ta nhận |Ax0 + By0 | d((x0 , y0 ), ∆) = √ A2 + B 2.2.4 Hệ Nếu P mặt phẳng R3 có phương trình f (x, y, z) = Ax + By + Cz = (A2 + B + C = 0) với (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 ta có |Ax0 + By0 + Cz0 | d((x0 , y0 , z0 ), P ) = √ A2 + B + C Chứng minh Ta biết R3 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (x1 , y1 , z1 )|(x2 , y2 , z2 ) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Thế f (x, y, z) = Ax + By + Cz = (x, y, z)|(A, B, C) 22 Vì thế, áp dụng (2.3) a = (x0 , y0 , z0 ) b = (A, B, C) ta nhận |Ax0 + By0 + Cz0 | d((x0 , y0 , z0 ), P ) = √ A2 + B + C Trong không gian tiền Hilbert biết mục trước tồn hình chiếu (trực giao) điểm siêu phẳng đóng nó, tức với a ∈ E tồn b ∈ H cho d(a, H) = d(a, b) = a − b (2.4) Tuy nhiên, không gian định chuẩn khẳng định nói chung khơng 2.2.5 Mệnh đề Giả sử H siêu phẳng đóng khơng gian định chuẩn E có phương trình f (x) = Khi tồn x0 ∈ / H y0 ∈ H cho d(x0 , H) = x0 − y0 f đạt chuẩn hình cầu đơn vị, tức tồn z0 ∈ E, z0 = cho f = |f (z0 )| Chứng minh Giả sử tồn x0 ∈ / H y0 ∈ H cho d(x0 , H) = x0 − y0 Thế |f (0)| = x − y0 f x0 − y0 Khi z0 = f = |f (z0 )| x0 − y0 Ngược lại, có z0 = cho f = |f (z0 )| chọn z0 = x0 , y0 = Đặt z0 = Khi d(x0 , H) = |f (x0 )| = = z0 = x0 − y0 f 23 ∞ n=1 an 2.2.6 Ví dụ Xét khơng gian C0 dãy (an ) với < Khi đó, < +∞ ∞ H = {x = (xn ) ∈ C0 : an xn = 0} n=1 siêu phẳng đóng C0 Điều kiện cần đủ để tồn x0 ∈ / H y0 ∈ H cho d(x0 , H) = x0 − y0 tồn N cho an = với n > N Thật vậy, xét phiếm hàm f (x) = ∞ n=1 an xn với x = (xn ) ∈ C0 Dễ kiểm tra f tuyến tính Hơn ∞ |f (x)| = | ∞ an xn | ∞ |an | |an | sup |xn | = n=1 n=1 n x n=1 ∞ n=1 |an | với x = (xn ) ∈ C0 Suy f liên tục f Với N = 1, 2, ta xét x0 = (signa1 , signa2 , , signaN ; 0, 0, , 0, ) Khi đó, x0 ∈ C0 x0 = Do N f = sup |f (x)| Cho N → ∞ ta nhận f Vì k=1 ∞ n=1 |an | ∞ |an | d(x, H) = f = |ak | f (x ) = x =1 Vì f = | n=1 ∞ n=1 |an | ∞ n=1 | ∞ |a | n n=1 Tiếp theo, theo Mệnh đề 2.2.5 điều kiện cần đủ để tồn x0 ∈ /H y0 ∈ H cho d(x0 , H) = x0 − y0 f đạt hình cầu đơn vị, tức tồn z = (z1 , , zn , ) ∈ C0 cho z = ∞ ∞ |an | = |f (z)| = | f = n=1 an zn | n=1 24 Ta có, từ z ∈ C0 |z| = supn |zn | = nên |zn | |zn | < với n N Ta có ∞ | ∞ an zn | n=1 với n Hơn nữa, ∞ |an | |an ||zn | = n=1 n=1 Dấu xẩy |an ||zn | = |an | với n Suy ra, an = |zn | = Tuy nhiên, từ |zn | < với n N suy an = với n N Ngược lại, an = với n N chọn z = (signa1 , signa2 , , signaN ; 0, 0, , 0, ) Khi z = N |an = |f (z)| f = n=1 Xét a = ( ) Khi 2n ∞ H = {x = (xn ) ∈ C0 : n=1 xn = 0} 2n = với n nên theo ta có với 2n a∈ / H không tồn b ∈ H để siêu phẳng C0 Vì d(a, H) = a − b Một số trường hợp không gian định chuẩn vô hạn chiều (không phải không gian tiền Hilbert) xẩy đẳng thức (2.4) Tuy nhiên, khơng cho siêu phẳng Ví dụ sau minh họa cho nhận xét 2.2.7 Ví dụ Xét khơng gian định chuẩn l1 Phiếm hàm ∞ f (x) = n=1 xn n 25 tuyến tính liên tục chuẩn đạt hình cầu đóng đơn vị Thật vậy, ∞ |f (x)| = | n=1 ∞ xn | n n=1 ∞ |xn | n |xn | = x n=1 với x = (xn ) ∈ l1 Thế f liên tục f Lấy e1 = (1, 0, 0, , 0, ) Khi e1 ∈ l1 e1 = Suy f = sup |f (x)| |f (e1 )| = |x|=1 Vì f = |f (e1 )| = Phiếm hàm ∞ f (x) = n=1 (1 − )xn n tuyến tính liên tục chuẩn khơng đạt hình cầu đóng đơn vị Thật vậy, ∞ |f (x)| = | n=1 xn | n ∞ n=1 ∞ (1 − )|xn | n |xn | = x n=1 với x = (xn ) ∈ l1 Thế f liên tục f Bây giờ, với N = 1, 2, ta lấy eN = (0, 0, , 1, 0, 0, , ) Khi eN ∈ l1 eN = Suy f = sup |f (x)| |f (eN )| = (1 − |x|=1 Cho N → ∞ ta nhận f ) N Suy f = Bây giờ, giả sử f đạt chuẩn hình cầu đóng đơn vị l1 Thế thì, tồn x = (xn ) ∈ l1 cho x = ∞ f = = |f (x)| = | n=1 (1 − )xn | n ∞ n=1 |xn | ∞ n=1 = (1 − )|xn | n ∞ |xn | = n=1 26 Dấu xẩy Mâu thuẫn với ∞ n=1 |xn | ∞ n=1 |xn | = 0, hay xn = với n n = 2.2.8 Mệnh đề ([3]) Giả sử E không gian định chuẩn f ∈ E ∗ , f = 0, x ∈ E Với c ∈ K đặt Hc = {x ∈ E : f (x) = c} Khi d(x, Hc ) = |f (x) − c| f cx f (x) Khi f (a) = c a ∈ Hc Hơn nữa, ta có Hc = a + H , Chứng minh Vì f = nên tồn x ∈ E cho f (x) = Đặt a = H = f −1 (0) siêu phẳng Thật vậy, với y ∈ a + H y = a + h, h ∈ H f (y) = f (a + h) = f (a) = c Do y ∈ Hc , tức a + H ⊂ Hc Ngược lại, giả sử x ∈ Hc Khi f (x − a) = f (x) − f (a) = c − c = Thế x − a ∈ H , hay x ∈ a + H Vì vậy, Hc ⊂ a + H Tiếp theo, sử dụng Định lý 2.2.1 ta có d(x, Hc ) = inf y∈Hc x−y = inf x − a − h h∈H = d(x − a, H) |f (x − a)| = f |f (x) − c| = f 2.2.9 Hệ ([3]) Nếu E không gian Hilbert, f ∈ E ∗ , f = Hc = {x ∈ E : f (x) = c} với c ∈ K tồn b ∈ E cho d(a, Hc ) = với a ∈ E | a|b − c| b 27 Chứng minh Theo định lý đặc trưng phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert tồn b ∈ E(b = 0) cho f (x) = x|b với x ∈ E f = b Thế thì, sử dụng Mệnh đề 2.2.8 ta nhận d(a, Hc ) = |f (a) − c| | a|b − c| = f b (2.5) Các hệ sau kết quen thuộc chương trình tốn phổ thông 2.2.10 Hệ Nếu ∆ đường thẳng R2 có phương trình Ax + By + C = 0(A2 + B = 0) với (x0 , y0 ) ∈ R2 ta có d((x0 , y0 ), ∆) = |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B Chứng minh Ta biết R2 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (x1 , y1 )|(x2 , y2 ) = x1 y1 + x2 y2 Thế Ax + By = (x, y)|(A, B) Vì thế, áp dụng (2.5) a = (x0 , y0 ), b = (A, B) c = −C ta nhận d((x0 , y0 ), ∆) = |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B 2.2.11 Hệ Nếu P mặt phẳng R3 có phương trình Ax + By + Cy + D = 0(A2 + B + C = 0) với (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 ta có d((x0 , y0 , z0 ), P ) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C Chứng minh Ta biết R3 không gian Hilbert với tích vơ hướng (x1 , y1 , z1 )|(x2 , y2 , z2 ) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Thế Ax + By + Cz = (x, y, z)|(A, B, C) 28 Vì thế, áp dụng (2.5) a = (x0 , y0 , z0 ), b = (A, B, C) c = −D ta nhận |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C d((x0 , y0 , z0 ), P ) = 2.2.12 Định lý ([3]) Giả sử E không gian định chuẩn f ∈ E ∗ , f = Giả sử c1 , c2 ∈ K Hci = {x ∈ E : f (x) = ci }, i = 1, Khi d(Hc1 , Hc2 ) = |c1 − c2 | f (2.6) Chứng minh Từ chứng minh Hệ 2.2.9 suy tồn a1 , a2 ∈ E cho f (a1 ) = c1 , f (a2 ) = c2 Hc1 = a1 + H, Hc2 = a2 + H với H = f −1 (0) Vì vậy, ta có d(Hc1 , Hc2 ) = = inf x∈H1 ,y∈H2 inf h1 ,h2 ∈H x−y a1 + h1 − a2 − h2 = inf a1 − a2 − h h∈H = d(a1 − a2 , H) |f (a1 ) − f (a2 )| = f |c1 − c2 | = f Công thức định lý gọi khoảng cách hai siêu phẳng song song Các kết quen thuộc trường phổ thông 2.2.13 Hệ Nếu ∆1 , ∆2 đường thẳng R2 có phương trình Ax + By + C1 = Ax + By + C2 = 0(A2 + B = 0) |C1 − C2 | d(∆1 , ∆2 ) = √ A2 + B 29 Chứng minh Ta biết R2 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (x1 , y1 )|(x2 , y2 ) = x1 y1 + x2 y2 Thế Ax + By = (x, y)|(A, B) xác định siêu phẳng (thuần nhất) R2 Vì thế, áp dụng (2.6) c1 = −C1 , c2 = −C2 ta nhận |C1 − C2 | d(∆1 , ∆2 ) = √ A2 + B 2.2.14 Hệ Nếu P1 , P2 mặt phẳng R3 có phương trình Ax + By + Cz + D1 = Ax + By + Cz + D2 = 0(A2 + B + C = 0) d(P1 , P2 ) = √ |D1 − D2 | A2 + B + C Chứng minh Ta biết R3 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (x1 , y1 , z1 )|(x2 , y2 , z2 ) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Thế Ax + By + Cz = (x, y, z)|(A, B, C) xác định siêu phẳng R3 Vì thế, áp dụng (2.6) c1 = −D1 , c2 = −D2 ta nhận d(P1 , P2 ) = √ |D1 − D2 | A2 + B + C 30 Kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày khái niệm, ví dụ tính chất siêu phẳng không gian định chuẩn Trình bày số kết hình chiếu trực giao điểm siêu phẳng khơng gian Hilbert thác triển phiếm hàm tuyến tính liên tục qua siêu phẳng (Mục 2.1) Trình bày số cơng thức tính tốn khoảng cách điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn qua phương trình siêu phẳng Chứng minh hầu hết kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt, bỏ qua chứng minh Đưa ví dụ minh họa, đặc biệt hệ thống ví dụ liên hệ với chương trình tốn phổ thơng để nhìn nhận có sâu sắc có hệ thống kết 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Kh Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập I, NXB Đại học Sư phạm [3] Meise R and Vogt D (1997), Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York [4] Franchetti C (1983), "Projections onto hyperplanes in Banach spaces",J Approx Theory 38, no 4, 319-333 [5] XianFa L and JianYong W (2013),"The representation and continuity of a generalized metric projection onto a closed hyperplane in Banach spaces", Abstr Appl Anal., Art ID 504076, pp ... CHƯƠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Chương nghiên cứu khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn Cụ thể, mục thứ trình bày hình chiếu điểm siêu. .. cứu siêu phẳng không gian định chuẩn khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng Chương Các siêu phẳng không gian định chuẩn Chương nhằm mục đích trình bày kết không gian định chuẩn, không gian Hilbert siêu. .. điểm tới siêu phẳng không gian định chuẩn Chương nghiên cứu khoảng cách từ điểm tới siêu phẳng không gian Hilbert khơng gian định chuẩn Mục 2.1 trình bày số kết hình chiếu điểm siêu phẳng không gian