Khoảng cách hausdorff và ứng dụng

Nhiệm vụ nghiên cứuNghiên cứu khoảng cách Hausdorff, mối tương quan giữa các điểm thuộchai tập hợp với khoảng cách Hausdorff giữa hai tập ấy.. Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của khoảng cá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - 2016

Lời cám ơn

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm,thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin bày tỏlòng biết ơn với gia đình và người mẹ kính yêu đã động viên tôi trong suốtquá trình học tập Tôi cũng xin cám ơn các anh chị học viên lớp K18 ToánGiải tích và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu xót Vì vậy tôi mong những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn để luận văn hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Tiến Phát

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoanrằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Tiến Phát

Mục lục

1.1 Không gian metric 1

1.1.1 Các khái niệm 1

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric 4

1.1.3 Tập mở và tập đóng 7

1.1.4 Không gian đủ 9

1.1.5 Không gian compact 11

1.1.6 Ánh xạ liên tục trong không gian metric 12

1.2 Không gian định chuẩn 14

1.2.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn 14

1.2.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn 16

1.2.3 Không gian con 17

1.3 Ánh xạ đa trị 17

2 Khoảng cách Hausdorff 212.1 Các định nghĩa 212.2 Tính chất 252.3 Tính chất tương quan giữa khoảng cách các điểm thuộc hai

tập hợp và khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đó 272.4 Một số ví dụ về tính khoảng cách Hausdorff giữa hai tập

hợp trong Rn 302.5 Khoảng cách Hausdorff một phía 33

l2 không gian các dãy số thực hoặc phức sao cho

chuỗi bình phương các modul hội tụ

C[a,b] tập tất cả các hàm số giá trị thực

liên tục trên đoạn [a, b]

B (a, r) hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, b) hình cầu đóng tâm a bán kính r

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị F từ X vào Y

h (A → B) khoảng cách Hausdorff một phía từ tập A đến tập B

h (A, B) khoảng cách Hausdorff giữa tập A và tập B

E (A) r_bao của tập A

Phần mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm khoảng cách giữa các tập hợp được khởi xướng và nghiêncứu bởi Hausdorff Hiện nay, khoảng cách Hausdorff được sử dụng rộngrãi trong lý thuyết và ứng dụng của nhiều lĩnh vực toán học bao gồm Giảitích không trơn, Lý thuyết tối ưu, Phép tính biến phân Thêm nữa, nhữngbài toán xấp xỉ cũng sử dụng đến khái niệm này một cách thích hợp Một

số khái niệm khác trong lý thuyết tối ưu như tính đều mêtric, phủ và cáctính chất liên quan đến phủ, tính Lipschitz và giả Lipschitz của ánh xạ đatrị Khái niệm khoảng cách Hausdorff còn có mối liên hệ gần gũi với các

lý thuyết về điểm bất động

Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng củakhoảng cách Hausdorff đã được phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên, khoảngcách Hausdorff trên những lớp các tập hợp có đặc trưng riêng sẽ có nhữngtính chất riêng biệt, đây có thể coi là một chủ đề vô tận để nghiên cứu vàứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học Vì vậy, sau khi học được các kiếnthức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức

đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu

“Khoảng cách Hausdorff và ứng dụng”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu khoảng cách Hausdorff, mối tương quan giữa các điểm thuộchai tập hợp với khoảng cách Hausdorff giữa hai tập ấy Áp dụng vào nghiêncứu đặc trưng mới cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều, so sánh một

số khái niệm thông dụng về ánh xạ đa trị Lipschitz và nghiên cứu ổn địnhtrong lý thuyết tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Khoảng cách Hausdorff

Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của khoảng cách Hausdorff trong khônggian metric và áp dụng vào không gian định chuẩn và giải tích đa trị

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận

và nghiên cứu vấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bàibáo mới trong và ngoài nước có liên quan đến vấn đề mà luận văn đề cập

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày những kết quả về tính tương quan giữa khoảng cách các điểmthuộc hai tập hợp và khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đó Trong một số

điều kiện giúp chúng ta có thêm những hiểu biết mới về khoảng cách Ápdụng kết quả tổng quát này để xét đặc trưng của không gian định chuẩnhữu hạn chiều, so sánh một số khái niệm ánh xạ đa trị Lipschitz Một sốkết quả mới đã được thiết lập.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Tiến Phát

1) (∀x, y ∈ X) ρ (x, y) ≥ 0, ρ (x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);2) (∀x, y ∈ X) ρ (x, y) = ρ (x, y), (tiên đề đối xứng);

3) (∀x, y, z ∈ X) ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y), (tiên đề tam giác)

Ánh xạ ρ được gọi là metric trên X, số ρ (x, y) gọi là khoảng cách giữahai phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2),

3) gọi là hệ tiên đề metric.

Không gian metric được ký hiệu là M = (X, ρ)

Định nghĩa 1.1.2 Hai metric ρ1 và ρ2 xác định trên cùng một tập X 6= ∅

được gọi là tương đương nếu tồn tại α, β > 0 sao cho αρ1 ≤ ρ2 ≤ βρ1

Ví dụ 1.1.3 Ta kí hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x ={xn}∞n=1 sao cho chuỗi số dương

nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1) hội tụ

Dễ thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề 1), 2) về metric Với ba dãy

bất kì x = (xn)∞n=1, y = (yn)∞n=1, z = (zn)∞n=1 thuộc l2 và với số nguyêndương tùy ý ta có:

Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề 3) về metric

Vì vậy, hệ thức (1.1) xác định một metric trên l2 Không gian metric tươngứng vẫn kí hiệu là l2

Ví dụ 1.1.4 Ta kí hiệu C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xácđịnh và liên tục trên đoạn [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm sốbất kì x (t) , y (t) ∈ C[a,b] ta đặt:

ρ (x, y) = max

a≤t≤b|x (t) − y (t)| (1.2)

Vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục tục trên [a, b] nên hàm số |x (t) − y (t)|

cũng liên tục tục trên [a, b] Suy ra hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ

tích Descartes C[a,b] × C[a,b] vào tập số thực R Dễ thấy ánh xạ (1.2) thỏamãn các tiên đề về metric Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là

C[a,b]

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M = (X, ρ) Một tập con bất

kỳ X0 6= ∅ của tập X cùng với metric trên tập X lập thành một khônggian metric Không gian metric M0 = (X0, ρ)gọi là không gian metric concủa không gian metric đã cho

Chú ý 1.1.6 Sau này nếu không giải thích gì thêm ta sẽ viết không gianmetric X thay cho (X, ρ)

Trên cùng một tập hợp có thể trang bị nhiều metric khác nhau

tứ giác)

3) (∀x, y, u ∈ X) |ρ (x, y) − ρ (y, u)| ≤ ρ (x, u), (bất đẳng thức tam giác)

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric

Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩakhái niệm giới hạn

Ta nói một dãy điểm x1, x2, x3, của một không gian metric X hội tụtới điểm x của không gian đó nếu lim

n→∞ρ (xn, x) = 0 Ta viết

xn → x hoặc lim xn = x,

và điểm x được gọi là giới hạn của dãy {xn}

Dĩ nhiên, một dãy {xn} hội tụ đến x thì mọi dãy con {xnk} cũng hội tụđến x, đồng thời ta cũng thấy rõ hai tính chất quan trọng sau đây:

I Nếu xn → x và xn → x0 thì x = x0, nghĩa là giới hạn của một dãy điểm,nếu có, là duy nhất

Thật vậy, tiên đề tam giác cho phép viết

0 ≤ ρ (x, x0) ≤ ρ (x, xn) + ρ (xn, x0)

mà ρ (xn, x) → 0, ρ (xn, x0) → 0 cho nên ρ (x, x0) = 0 từ đó theo tiên đề1: x = x0

II.Nếu xn → x và yn → y thì ρ (xn, yn) → ρ (x, y) nghĩa là khoảng cách

ρ (x, y) là một hàm liên tục đối với x và y

Thật vậy, với bất kì điểm x, y, z, u, tiên đề tam giác cho ta

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức tứ giác:

Ngược lại, giả sử dãy hàm số (xn(t)) ⊂ C[a,b] hội tụ đều tới hàm số x (t)

trên đoạn[a, b] Khi đóx (t)liên tục trên đoạn[a, b], nghĩa làx (t) ∈ C[a,b].Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, thì:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] , |xn(t) − x (t)| < ε

Cho không gian metric (X, ρ), tập A ⊂ X, điểm b ∈ X.

Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm

b bao hàm trong tập A

Điểm b gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm

b không chứa điểm nào của tập A

Điểm b gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm b đều

chứa những điểm thuộc tậpA, và những điểm không thuộc tập A Tập tất

cả những điểm biên của tập A kí hiệu là ∂A

Điểm b gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A nếu mọi lân cậncủa điểm b đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác b Tập tất cả cácđiểm giới hạn của tập A gọi là tập dẫn suất và kí hiệu là A0

Điểm b gọi là điểm cô lập của tập A, nếu b ∈ A và b không là điểm giớihạn của tập A

3 Tập mở và tập đóng

Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian metric (X, ρ) và tập A ⊂ X Tập

A gọi là mở trong không gian (X, ρ), nếu mọi điểm thuộc A đều là điểmtrong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một lân cậncủa x bao hàm trong A

Tập A gọi là tập đóng trong không gian (X, ρ), nếu mọi điểm khôngthuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x /∈ A, thìtồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A

Định lý 1.1.11 Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập

mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng

Định lý 1.1.12 Cho không gian metric (X, ρ), tập A ⊂ X và A 6= ∅ Tập

A đóng trong không gian (X, ρ) khi và chỉ khi mọi dãy điểm {xn} ⊂ A hội

tụ tới điểm x thì x ∈ A

Hệ quả 1.1.13 Trong không gian metric bất kì, phần bù của tập mở làtập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở Các tập X, ∅ vừa đóng vừa mở.Định nghĩa 1.1.14 Cho không gian metric (X, ρ) và tập A ⊂ X Hợpcủa tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, kí hiệu là

intA Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và kýhiệu là A¯.

Để làm thí dụ ta sẽ xét tập C[a,b] với các metric

t cố định, dãy số xn(t) là cơ bản trong R, cho nên phải có một giới hạn

x (t)nào đó Mặt khác, với x (t) cho trước, có thể tìm được Nε sao cho vớimọi n, m ≥ Nε và với mọi t, ta có |xn(t) − x (t)| ≤ ε Cho m → ∞ ta sẽđược, với mọi n ≥ Nε tức là dãy xn(t) hội tụ đều tới x (t) Vậy x (t) liêntục và x (t) ∈ C[a,b] đồng thời xn(t) hội tụ tới x (t) trong C[a,b]

Không gian C[a,b], ρ
là không đủ Chẳng hạn cho C[a,b], ρ
và xét dãy

n + 1 − 2nt nếu 1

2 ≤ t ≤ 1

2 +

12n

ˆ

1 2

|xn(t) − xm(t)| dt

Vì |xn(t) − xm(t)| ≤ 1 nên ρ (xn, xm) ≤ 1

2n → 0, do đó {xn(t)} là mộtdãy cơ bản Dễ thấy rằng dãy này không hội tụ Thật vậy, giả sửxn(t) hội

tụ tới một x (t) nào đó trong C[a,b], tức là

1

´

0

|xn(t) − x (t)| dt → 0 Tíchphân này có thể viết

1 2

|xn(t) − x (t)| dt

cho nên ta phải có

1 2

|xn(t) − x (t)| dt → 0

nhưng rõ ràng

1 2



1

2 ≤ t ≤ 1

 Nhưng như thế thì x (t)

không liên tục, và không thuộc C[0,1] Do đó, dãy xn(t) không thể có giớihạn nào cả trong không gian C[0,1]

Định lý 1.1.17 (Nguyên lý Cantor) Trong một không gian metric đủ,mỗi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất

1.1.5 Không gian compact

1 Tập compact

Định nghĩa 1.1.18 Ta nói một tập M trong một không gian metric X

bị chặn nếu nó nằm trong một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểm

a ∈ X và một số C > 0 sao cho ρ (x, a) ≤ C với mọi x ∈ M

Định nghĩa 1.1.19 (Tập compact) Một tập M trong không gian ric X được gọi là compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa một dãy con

met-{xnk} hội tụ tới một điểm thuộc M.

2 Đặc trưng tập compact

Một tập M trong một không gian metric X gọi là hoàn toàn bị chặnnếu với mọi ε > 0 cho trước, tập M có thể phủ được bằng một số hữuhạn hình cầu bán kính ε; tức là, cho trước ε > 0 tùy ý, bao giờ cũngtìm được một số hữu hạn hình cầu S1, S2, , Sk, với bán kính ε, để cho

3 Không gian compact

Một không gian metric X được gọi là không gian compact nếu nó làmột tập compact trong chính nó, nghĩa là mọi dãy {xn} trong X đều cóchứa một dãy con hội tụ

Định lý 1.1.21 Mọi không gian metric compact là không gian đủ

1.1.6 Ánh xạ liên tục trong không gian metric

1 Định nghĩa và tính chất chung

Định nghĩa 1.1.22 Cho hai không gian metric X và Y Một ánh xạ f đi

từ X vào Y gọi là liên tục tại điểm xo ∈ X nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X,

ρX (x, xo) < δ ⇒ ρY (f (x) , f (xo)) < ε

điều này tương đương với f (xn) → f (x0) cho mọi dãy xn → x0.

Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Định lý 1.1.23 Đối với một ánh xạ f từ một không gian metric X vàomột không gian metric Y thì ba mệnh đề sau là tương đương:

1 f liên tục

2 Nghịch ảnh của mọi tập đóng trong Y đều là tập đóng trong X

3 Nghịch ảnh của một tập mở trong Y đều là tập mở trong X

2 Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động

Cho một không gian metric X bất kì Một ánh xạ P : X → X gọi làánh xạ co, nếu có một số θ < 1 sao cho, nếuP x là phần tử ứng vớix trongánh xạ P, thì với mọi x1, x2 ∈ X ta có

ρ (P x1, P x2) ≤ θρ (x1, x2)

Trong một phép ánh xạ từ X vào chính nó có thể có những điểm mà ảnhcủa nó trùng với chính nó, tức là những điểm x sao cho P x = x gọi làđiểm bất động trong ánh xạ

Định lý 1.1.24 (Banach) Mọi ánh xạ co P từ một không gian metric đủvào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là không gian vector trên trường vô hướng

K (các số thực R hoặc các số phức C) Hàm k.k xác định trên X gọi làmột chuẩn trên X nếu k.k thỏa mãn các điều kiện sau:

khi đó ρ là một metric trên X

Nhờ định lý trên, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành khônggian metric với metric (1.3) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trongkhông gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn Dưới đây ta chỉnêu một vài trường hợp

Định nghĩa 1.2.3 Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X gọi làhội tụ đến điểm x ∈ X, nếu lim

Nhờ tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.4) cho mộtchuẩn trên R Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R Dễ thấy R

là không gian Banach

Ví dụ 1.2.7 Cho không gian vector k chiều Rk, trong đó

Rk = {x = (x1, , xk) : xj ∈ R}

Đối với vector x bất kì thuộc Rk ta đặt

kxk =

vuut

Dễ thấy Rk là không gian Banach

1.2.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn

Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm {xn} ⊂ X Ta gọi chuỗi làbiểu thức dạng:

gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.6).

Nếu tồn tại lim

k→∞sk = s trong không gian định chuẩn X, thì chuỗi (1.6)gọi là hội tụ và s là tổng của chuỗi này Khi đó ta viết

1.2.3 Không gian con

Định nghĩa 1.2.8 Tập X0 6= ∅ gọi là không gian định chuẩn con củakhông gian định chuẩnX, nếuX0 là không gian tuyến tính con của khônggianX và chuẩn xác định trên X0 là chuẩn xác định trên X Nếu X0 đồngthời là tập đóng trong không gian X, thì X0 gọi là không gian định chuẩncon đóng của không gian X

Dễ dàng chứng minh được, nếu X là không gian Banach, còn X0 làkhông gian định chuẩn con đóng của không gian X, thì X0 cũng là khônggian Banach

F (x) là một tập hợp con của Y Không loại trừ khả năng là một số phần

Đồ thị (gph F), miền hữu hiệu (dom F)và miền ảnh (rge F) của ánh

xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức

gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,dom F = {x ∈ X : F (x) 6= ∅}

rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X | y ∈ F (x)}

Ánh xạ ngược F−1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được xácđịnh bởi công thức

F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} (y ∈ Y )

Nếu M ⊂ X là một tập con cho trước thì hạn chế của F trên M là ánh

xạ đa trị F|M : M ⇒ Y được xác định bởi công thức

F|M(x) = F (x) ∀x ∈ M

Ví dụ 1.3.2 Xét phương trình đa thức

xn + a1xn−1 + + an−1x + an = 0 (1.7)