Tài liệu Phần 2: Xác suất pdf

1 ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ (Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007) BÀI GIẢI PHẦN II: XÁC SUẤT Bài 1: Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác suất để a) có 1 khẩu bắn trúng. b) có 2 khẩu bắn trúng. c) có 3 khẩu bắn trúng. d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng. e) khẩu thứ ba bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng. Lời giải. Tóm tắt: Khẩu súng I IIù III Xác suất trúng 0,7 0,8 0,5 Gọi A j (j = 1, 2, 3) là biến cố khẩu thứ j bắn trúng. Khi đó A 1 , A 2 , A 3 độc lập và giả thiết cho ta: 11 22 33 P(A ) 0, 7; P(A ) 0, 3; P(A ) 0,8;P(A ) 0,2; P(A ) 0,5; P(A ) 0,5. == == == a) Gọi A là biến cố có 1 khẩu trúng. Ta có 123 123 123 A AAA AAA AAA=++ Vì các biến cố 123 123 123 AAA,AAA,AAA xung khắc từng đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có 123 123 123 123 123 123 P(A) P(A A A A A A A A A ) P(A A A ) P(A A A ) P(A A A ) =++ =++ Vì các biến cố A 1 , A 2 , A 3 độc lập nên theo công thức Nhân xác suất ta có 2 123 1 2 3 123 1 2 3 123 1 233 P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,7.0, 2.0,5 0,07; P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,3.0, 8.0,5 0,12; P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,3.0, 2.0,5 0,03. === === === Suy ra P(A) = 0,22. b) Gọi B là biến cố có 2 khẩu trúng. Ta có 123 123 123 B AAA AAA AAA=++ Tính toán tương tự câu a) ta được P(B) = 0,47. c) Gọi C là biến cố có 3 khẩu trúng. Ta có 123 CAAA.= Tính toán tương tự câu a) ta được P(C) = 0,28. d) Gọi D là biến cố có ít nhất 1 khẩu trúng. Ta có DABC. = ++ Chú ý rằng do A, B, C xung khắc từng đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có: P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97. e) Gỉa sử có 2 khẩu trúng. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó xác suất để khẩu thứ 2 trúng trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A 2 /B). Theo công thức Nhân xác suất ta có: P(A 2 B) = P(B)P(A 2 /B) Suy ra 2 2 P(A B) P(A /B) . P(B) = Mà 2123123 AB AAA AAA=+ nên lý luận tương tự như trên ta được P(A 2 B)=0,4 Suy ra P(A 2 /B) =0,851. Bài 2: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi. a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ. 3 b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm xác suất để bi trắng có được của hộp I. Lời giải Gọi A i , B i (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi đỏ và (2 - i) bi trắng có trong 2 bi được chọn ra từ hộp I, hộp II. Khi đó - A 0 , A 1 , A 2 xung khắc từng đôi và ta có: 0 11 91 1 2 10 20 91 2 2 10 P(A ) 0; 9 P(A ) ; 45 36 P(A ) . 45 CC C CC C = == == - B 0 , B 1 , B 2 xung khắc từng đôi và ta có: 02 64 0 2 10 11 64 1 2 10 20 64 2 2 10 6 P(B ) ; 45 24 P(B ) ; 45 15 P(B ) . 45 CC C CC C CC C == == == - A i và B j độc lập. - Tổng số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố A i và B j theo bảng sau: B 0 B 1 B 2 A 0 0 1 2 A 1 1 2 3 A 2 2 3 4 a) Gọi A là biến cố chọn được 4 bi đỏ. Ta có: A = A 2 B 2 . Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: 4 22 P(A) P(A )P(B ) 36 15 . 45 45 0, 2667. = = = b) Gọi B là biến cố chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. Ta có: B = A 0 B 2 + A 1 B 1 + A 2 B 0 Do tính xung khắc từng đôi của các biến cố A 0 B 2 , A 1 B 1 , A 2 B 0 , công thức Cộng xác suất cho ta: P(B) = P(A 0 B 2 + A 1 B 1 + A 2 B 0 ) = P(A 0 B 2 ) + P(A 1 B 1 ) + P(A 2 B 0 ) Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: P(B) = P(A 0 )P(B 2 ) + P(A 1 )P(B 1 ) + P(A 2 )P(B 0 ) = 0,2133. c) Gọi C là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Ta có: C = A 1 B 2 + A 2 B 1 . Lý luận tương tự như trên ta được P(C) = P(A 1 )P(B 2 ) + P(A 2 )P(B 1 ) = 0,4933. d) Giả sử đã chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Khi đó biến cố C đã xảy ra. Do đó xác suất để bi trắng có được thuộc hộp I trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A 1 /C). Theo Công thức nhân xác suất , ta có 11 P(A C) P(C)P(A /C) = . Suy ra 1 1 P(A C) P(A /C) P(C) = . Mà A 1 C = A 1 B 2 nên 5 11212 915 P(A C) P(A B ) P(A )P(B ) . 0,0667. 45 45 == == Do đó xác suất cần tìm là: P(A 1 /C) = 0,1352. Bài 3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại. a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3. b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. b) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu. Lời giải Gọi T i , X i lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt, xấu ở lần kiểm tra thứ i. a) Gọi A là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3. Ta có: A = T 1 T 2 T 3 . Suy ra P(A) = P(T 1 T 2 T 3 ) = P(T 1 ) P(T 2 /T 1 ) P(T 3 / T 1 T 2 ) = (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667. b) Gọi B là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Ta có: B = X 1 T 2 T 3 T 4 + T 1 X 2 T 3 T 4 + T 1 T 2 X 3 T 4 . Suy ra P(B) = P(X 1 T 2 T 3 T 4 ) + P(T 1 X 2 T 3 T 4 ) + P(T 1 T 2 X 3 T 4 ) = P(X 1 ) P(T 2 /X 1 ) P(T 3 /X 1 T 2 ) P(T 4 /X 1 T 2 T 3 ) + P(T 1 ) P(X 2 /T 1 ) P(T 3 /T 1 X 2 ) P(T 4 /T 1 X 2 T 3 ) + P(T 1 ) P(T 2 /T 1 ) P(X 3 / T 1 T 2 ) P(T 4 / T 1 T 2 X 3 ) = (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857. c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(X 3 /B). Theo Công thức nhân xác suất , ta có 33 P(X B) P(B)P(X /B) = . Suy ra 6 3 3 P(X B) P(X /B) P(B) = . Mà X 3 B = T 1 T 2 X 3 T 4 nên P(X 3 B) = P(T 1 T 2 X 3 T 4 ) = P(T 1 ) P(T 2 /T 1 ) P(X 3 / T 1 T 2 ) P(T 4 / T 1 T 2 X 3 ) = (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952. Suy ra P(X 3 /B) = 0,3333. Bài 4: Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ. Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ. b) không có bi trắng nào được rút ra. Lời giải. Gọi D i , T i , X i lần lượt là các biến cố chọn được bi đỏ, bi trắng, bi xanh ở lần rút thứ i. a) Gọi A là biến cố rút được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ. Ta có: A xảy ra ⇔ Rút được TTXD TXTD X TTD − −− ⎡ ⎢ − −− ⎢ ⎢ − −− ⎣ Suy ra A = T 1 T 2 X 3 D 4 + T 1 X 2 T 3 D 4 + X 1 T 2 T 3 D 4 Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có: P(A) = P(T 1 T 2 X 3 D 4 )+ P(T 1 X 2 T 3 D 4 ) + P(X 1 T 2 T 3 D 4 ) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có P(T 1 T 2 X 3 D 4 ) = P(T 1 )P(T 2 /T 1 )P(X 3 /T 1 T 2 )P(D 4 /T 1 T 2 X 3 ) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(T 1 X 2 T 3 D 4 ) = P(T 1 )P(X 2 /T 1 )P(T 3 /T 1 X 2 )P(D 4 /T 1 X 2 T 3 ) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(X 1 T 2 T 3 D 4 ) = P(X 1 )P(T 2 /X 1 )P(T 3 /X 1 T 2 )P(D 4 /X 1 T 2 T 3 ) = (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66. 7 Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455. b) Gọi B là biến cố không có bi trắng nào được rút ra. Ta có: B xảy ra ⇔ Rút được D XD XXD X XXD ⎡ ⎢ − ⎢ ⎢ −− ⎢ − −− ⎣ Suy ra B = D 1 + X 1 D 2 + X 1 X 2 D 3 + X 1 X 2 X 3 D 4 Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có: P(B) = P(D 1 )+ P(X 1 D 2 ) + P(X 1 X 2 D 3 ) + P(X 1 X 2 X 3 D 4 ) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có P(B) = P(D 1 ) + P(X 1 )P(D 2 /X 1 ) + P(X 1 )P(X 2 /X 1 )P(D 3 /X 1 X 2 ) + P(X 1 )P(X 2 /X 1 )P(X 3 /X 1 X 2 )P(D 4 /X 1 X 2 X 3 ) = 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)= 5/9 Bài 5: Sản phẩm X bán ra ở thò trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân xưởng III chiếm 25%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là 70%, 50% và 90%. a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất. b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thò trường. Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thò trường. 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A. 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A. Lời giải Tóm tắt: Phân xưởng I II III Tỉ lệ sản lượng 30% 45% 25% Tỉ lệ loại A 70% 50% 90% 8 a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất ta chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm ở thò trường. Khi đó tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất để sản phẩm đó thuộc loại A. Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A. A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là các biến cố sản phẩm do phân xưởng I, II, III sản xuất. Khi đó A 1 , A 2 , A 3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và P(A 1 ) = 30% = 0,3; P(A 2 ) = 45% = 0,45; P(A 3 ) = 25% = 0,25. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A 1 )P(B/A 1 ) + P(A 2 )P(B/ A 2 )+ P(A 3 )P(B/A 3 ) Theo giả thiết, P(B/A 1 ) = 70% = 0,7; P(B/A 2 ) = 50% = 0,5; P(B/A 3 = 90% = 0,9. Suy ra P(B) = 0,66 = 66%. Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất là 66%. b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thò trường. Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất? Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó, để biết sản phẩm loại A đó có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A 1 /B), P(A 2 /B) và P(A 3 /B). Nếu P(A i /B) là lớn nhất thì sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng thứ i sản xuất ra là nhiều nhất. Theo công thức Bayes ta có: 11 1 22 2 33 3 P(A )P(B/A ) 0, 3.0,7 21 P(A /B) ; P(B) 0, 66 66 P(A)P(B/A) 0,45.0,5 22,5 P(A /B) ; P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 25.0, 9 22,5 P(A /B) . P(B) 0, 66 66 === === === Vì P(A 2 /B) = P(A 3 /B)> P(A 1 /B) nên sản phẩm loại A ấy có khả năng do phân xưởng II hoặc III sản xuất ra là nhiều nhất. 9 c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thò trường. 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A. 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A. p dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có: 1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A là 80 80 41 80 80 41 121 121 121 P (80) C p q C (0,66) (0,34) 0, 076.== = 2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A là 85 85 85 k k 121k k k 121k 121 121 121 k80 k80 k80 P (k) C p q C (0, 66) (0, 34) 0,3925. −− == = == = ∑∑ ∑ Bài 6: Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A. b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất? Lời giải Tóm tắt: Cửa hàng I II III Tỉ lệ loại A 70% 75% 50% Chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm. a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A. Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A. A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là các biến cố chọn cửa hàng I, II, III. Khi đó A 1 , A 2 , A 3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và P(A 1 ) = P(A 2 ) = P(A 3 ) = 1/3. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A 1 )P(B/A 1 ) + P(A 2 )P(B/ A 2 )+ P(A 3 )P(B/A 3 ) Theo giả thiết, 10 P(B/A 1 ) = 70% = 0,7; P(B/A 2 ) = 75% = 0,75; P(B/A 3 = 50% = 0,5. Suy ra P(B) = 0,65 = 65%. Vậy xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là 65%. b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất? Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó, để biết sản phẩm loại A đó có khả năng khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A 1 /B), P(A 2 /B) và P(A 3 /B). Nếu P(A i /B) là lớn nhất thì cửa hàng thứ i có nhiều khả năng được chọn nhất. Theo công thức Bayes ta có: 11 1 22 2 33 3 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0,7 70 P(A /B) ; P(B) 0, 65 195 P(A)P(B/A) (1/3).0,75 75 P(A /B) ; P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0,5 50 P(A /B) . P(B) 0, 65 195 === === === Vì P(A 2 /B) > P(A 1 /B) > P(A 3 /B) nên cửa hàng II có nhiều khả năng được chọn nhất. Bài 7: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 12 bi, trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi rồi bỏ sang hộp II; sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi. a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong ba bi lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng. Lời giải Gọi A là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. A i (i = 0, 1, 2, 3) là biến cố có i bi đỏ và (3-i) bi trắng có trong 3 bi chọn ra từ hộp I. Khi đó A 0 , A 1 , A 2 , A 3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: [...]... ra với xác suất p không đổi và không xảy ra với xác suất q = 1-p Dùng tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần 3) Công thức Cộng và Nhân xác suất: • Công thức Cộng xác suất: - Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có: 35 • - P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) Công thức Nhân xác suất: ... kiện C Xácsuất hỏng của ba linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125% và 0,005% Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1 Các linh kiện hỏng độc lập với nhau a) Tính xácsuất để có ít nhất 1 linh kiện B bò hỏng b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động c) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Giải Tóm tắt: Loại linh kiện Số lượng/1máy Xác suất. .. viên trúng thì mục tiêu bò diệt vơiù xác suất 80% Nếu có 1 viên trúng thì mục tiêu bò diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bò diệt b) Giả sử mục tiêu đã bò diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Giải Tóm tắt: - Số viên bắn ra: 10 viên Xác suất trúng của mỗi viên: 0,8 Số viên trúng 1 2-9 10 Xác suất mục tiêu bò diệt 20% 80% 100% a) Gọi A là biến cố mục tiêu bò diệt A0, A1, A2, A3 lần lượt... các điều kiện đó để xây dựng một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi 5) Xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi Để tính xác suất có điều kiện P(A/B) thường có 2 cách: Cách 1: Dùng công thức Nhân xác suất P(AB) = P(B)P(A/B), suy ra P(AB) P(A/B) = P(B) Trong trường... các công thứ cộng và nhân xác suất ta tính được: P(A1) = 0,2320 ; P(A2) = 0,5135 ; P(A3) = 0,2208 Từ đó suy ra xác suất cần tìm là P(C) = 0,5687 Bài 16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu Xác suất để 1 viên đạn bắn ra trúng mục tiêu là 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc 20 chắn bò diệt Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bò diệt vơiù xác suất 80% Nếu có 1 viên trúng... Tính xác suất để lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3) Cũng theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C 0 3 1 5 10 4 = 15 3 1 6 1 4 9 = 180 ; 1365 = 280 ; 1365 = 392 1365 15 3 2 1 7 8 4 15 3 3 8 1 4 15 7 100 ; 1365 Suy ra xác suất. .. lập, các công thức cộng và nhân xác suất cho ta: P(C) = P(A0)P(B0)+ P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2) = 0,3293 22 b) Gọi D là biến cố có 2 sản phẩm loại A trong 5 sản phẩm có được Giả sử trong 5 sản phẩm trên có 2 sản phẩm loại A Khi đó biến cố D đã xảy ra Do đó, xác suất để 2 sản phẩm loại A đó đều do máy sản xuất chính là xác suất có điều kiện P(A2/D) Theo công thức Nhân xác suất ta có: P(A 2 /D) = P(A 2D)... P(A2D) = 0,012 Suy ra xác suất cần tìm là P(A2/D) = 0,0508 Bài 18: Nước giải khát được chở từ Sài Gòn đi Vũng Tàu Mỗi xe chở 1000 chai bia Sài Gòn, 2000 chai coca và 800 chai nước trái cây Xác suất để 1 chai mỗi loại bò bể trên đường đi tương ứng là 0,2%; 0,11% và 0,3% Nếu không quá 1 chai bò bể thì lái xe được thưởng a) Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn bò bể b) Tính xác suất để lái xe được... II Tìm xác suất để trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II Khi đó biến cố A đã xảy ra Do dó xác suất để trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A2/A) p dụng công thức Bayes, ta có: P(A 2 /A) = 112 280 P(A 2 )P(A/A 2 ) 220 1365 = = 0, 5030 P(A) 0, 2076 Vậy xác suất cần... mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó Kiểm tra 144 kiện (trong rất nhiều kiện) a) Tính xác suất để có 53 kiện được nhận b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận 30 c) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện được nhận không nhỏ hơn 95%? Lời giải Trước hết ta tìm xác suất p để một kiện được nhận ( p = ?) Gọi C là biến cố kiện hàng được nhận Ta cần tìm p = P(C) . nhiên từ mỗi hộp 2 bi. a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ. 3 b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng xảy ra. Do đó xác suất để bi trắng có được thuộc hộp I trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A 1 /C). Theo Công thức nhân xác suất , ta có