mẹo nhỏ tính tích phân từng phần

cách tính tích phân từng phần hay

1 VÀI MO NH KHI TÍNH TÍCH PHÂN BNG PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG PHN LÊ ANH DNG (Gv THPT Chuyên Hunh Mn t, Rch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân bng công thc tích phân tng phn udv uv vdu    , nu ta chn u, v mt cách khéo léo thì thành phn vdu  s đn gin và vic tính tích phân s đn gin hn. Bài vit này trao đi vi các bn mt s k nng khi tính tích phân bng phng pháp tích phân tng phn. 1. Tách tích phân thành 2 phn, tng phn 1 phn sao cho phn còn li kh vdu Thí d 1: Tìm nguyên hàm I = 2x 2 e (x 4x 1)dx   Bình thng ta đt u = x 2 + 4x + 1 thì phi tích phân tng phn 2 ln; đ tránh điu này, ta thêm bt, đ thành phn vdu kh ht phn còn li. 2 2x 2x 2x du 2xdx u x ; nên vdu= xe dx 1 v e dv e dx 2                       s kh ht xe 2x do đó ta thêm vào u : + 3x đ phn còn li ch còn xe 2x . Li gii. I = 2x 2 2x 2 2x e (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx         t 2 2x u x 3x dv e dx           , chn 2x du (2x 3)dx 1 v e 2             Khi đó: I = 2x 2 2x 2x 1 1 e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx 2 2        = 2x 2 2x 2x 2 2x 1 3 1 3 e (x 3x) e dx e (x 3x) e C 2 2 2 4        Thí d 2: Tìm nguyên hàm sau x 3 2 I e (x 4x 1)dx    Tng t ví d trên 3 2 2 x x x u x du 3x dx ; nên vdu= 3x e dx dv e dx v e                     s kh ht 3x 2 e x do đó ta thêm vào u : x 2 đ phn còn li còn li 3x 2 3 2 2 2 x x x u x x du (3x 2x)dx ; nên vdu=(3x +2x)e dx dv e dx v e                     s kh ht 2xe x do đó ta li thêm vào u: -2x đ phn còn li ch còn 2x. Li gii. x 3 2 x 2 I e (x x 2x)dx e (3x 2x 1)dx        www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 t: 3 2 x u x x 2x dv e dx            , chn 2 x du (3x 2x 2)dx v e            x 3 2 x 2 x 2 I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx           x 3 2 x x 3 2 e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C          Trên c s đó, ta có th s dng s đ sau đ tìm thành phn u cho bài toán tính tích phân tng phn ca hàm s ax b n n 1 n n 1 1 0 e (a x a x . a a )dx         (n-2)/a n/a (n-1)/a _ x _ x b n - 3 b n - 2 b n - 1 =a n h s ca đa thc ca u h s ca đa thc a 1 a n-2 a n-1 a n n n 1 k k 1 k 1 b a k 2 b a b a             (Nhân lên, ly h s ca đa thc tr ri h xung) Thí d 3: Tính I = 1 2x 5 3 0 e (x 4x x 1)dx    Ta lp s đ sau ngoài nháp đ tính u 5 2 - 3 2 1 - 5 2 x _ 1 1 2 1 3 2 2 5 2 n=5, a =2 1 0 h s ca đa thc ca u h s ca đa thc -4 0 1 www.MATHVN .com www.mathvn.com 3 Trình bày: I = 1 1 2x 5 4 3 2 2x 4 3 2 0 0 5 3 5 5 3 3 e x x x x x dx e x 5x x x 1 dx 2 2 2 2 2 2                                t 2x 5 4 3 2 u x dv e dx 5 3 5 x x x x 2 2 2                , 4 3 2 2x du 5x v 5 10x 3x 3x 2 1 e 2                    1 1 2x 5 4 3 2 2x 4 3 2 0 0 1 2x 4 3 2 0 1 5 3 5 5 3 3 5 I e x x x x x e x 5x x x dx 2 2 2 2 2 2 2 4 5 3 3 e x 5x x x 1 dx 2 2 2                                    1 1 2x 5 4 3 2 2x 0 0 1 2x 5 4 3 2 2 0 1 5 3 5 1 e x x x x x e dx 2 2 2 2 4 1 5 3 5 1 1 1 e x x x x x e 2 2 2 2 4 8 8                            Thí d 4: Tính tích phân I = 2 2 e 3 1 x ln x 2x 2 ln x dx x                Chú ý: 2 4 3 1 (x 1) ' 2x; (ln x)' = 4. ln x x   , ta tách I thành 2 tích phân đ kh vdu Li gii. I = 2 2 e e e 4 3 4 3 1 1 1 x 1 x 1 x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx x x                              t 4 u ln x dv xdx          chn 2 3 4ln x du dx x 1 v (x 1) 2                 Suy ra I =   2 4 2 2 e e 1 1 x 1 ln x x 1 x 1 e 2 ln x dx 2 ln x dx 1 2 x x                                  2 4 2 x 1 ln x e 1 e 1 2 2     2. Thêm hng s cho v www.MATHVN .com www.mathvn.com 4 Trong các bài toán du có cha mu s, thng ta chn cho v mt hng s C thích hp đ thành phn vdu kh bt phân s. Thí d 5: Tính tích phân I = 1 3 0 (2x 1) ln(x )dx1   Li gii. t 3 u ln(x ) dv (2x 1)dx 1           , chn 3 2 2 2 2 3x 3x du x (x 1)(x ) v x dx 1 x 1 x                     1 Bình thng ta ly v = x 2 – x, nhng  đây ta chn C = + 1 mc đích là kh bt mu s trong vdu. Khi đó: I = 1 1 3 0 0 2 2 3x (x x 1)ln(x ) dx x 1 +1     = 1 1 0 0 2 1 ln 2 3 x 1 dx ln 2 ln x 1 x 3 3 x x 1 2ln 2 2 2                                  Thí d 6: Tính tích phân /4 2 0 ln(sin cos ) cos x x dx x    t u = ln(sin cos )x x  du = cos sin sin cos x x dx x x   v = 2 1 cos dx x chn sin cos tan cos x x x x v + 1    Bình thng ta hay ly v = tanx nhng  đây ta thêm C = 1 đ kh mu Khi đó: I = /4 /4 0 0 cos sin (tan 1) ln(sin cos ) cos x x x x x dx x        = /4 0 3 2ln 2 ( ln cos ) ln 2 4 2 x x       3. Cách chn thành phn dv  tìm v, ta phi tìm nguyên hàm ca dv. Trong trng hp dv không có trong bng nguyên hàm c bn, ta phi tách tích đ ly đc nguyên hàm ca dv theo bin s mi . Thí d 7: Tính tích phân  4 2 2 0 x dx (x sin x cos x)   gim bc mu thì 2 1 (x sin x cos x) phi nm trong thành phn dv; đ tìm đc nguyên hàm theo bin xsinx + cosx ta cn có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx www.MATHVN .com www.mathvn.com 5 Li gii.   4 4 2 2 2 0 0 x x cos x x dx dx cos x (x sin x cos x) (x sin x cos x) .        t 2 2 x u cos x x cos x d(x sin x cos x) dv dx (x sin x cos x) (x sin x cos x)                     chn 2 x sin x cos x du dx cos x 1 v x sin x cos x                  Khi đó I =   4 4 2 0 0  4 0 x dx tan x cos x(x sin x cos x) cos x 2  4   4 4           Thí d 8: Tính tích phân 8 4 2 0 1 3 ( 1) x dx x    gim bc ln  di mu, ta có th dùng tích phân tng phn.  kh bc 2 di mu thì 4 2 1 ( 1)x  phi nm  dv. Nhng đ ly đc nguyên hàm theo x 4 thì ta cn (x 4 )’ = 4x 3 . t 5 3 4 4 2 4 2 u x x dx 1 d(x 1) dv 4 (x 1) (x 1)            , chn 4 4 du 5x dx 1 1 v 4 x 1          Vy I = 1 1 1 3 3 8 5 4 3 4 2 4 4 0 0 0 x dx x 5 x dx 4 (x 1) 4(x 1) x 1         = 1 1 1 3 3 3 4 4 4 2 2 0 0 0 x 1 1 1 dx 1 dx 1 dx x 1 x 1 2(x 1) 2(x 1)                                  Ta có 1 1 3 3 2 0 0 1 1 x 1 1 1 3 1 1 dx x ln ln 4 x 1 4 2(x 1) 3 3 1                                 t x = tant. Ta tính đc Tính 1 3 2 0 1 dx 2(x 1)  12    Vy I = 1 1 3 1 ln 4 3 3 1  12     Cui cùng chúng tôi xin đa ra mt s bài tp đ các bn t luyn tp Tính các tích phân sau: www.MATHVN .com www.mathvn.com 6 1) 2 2 1 ln(1 x) dx. x   2) 1 3 2 2x 0 x 2x 3x 1 dx e     3) e 3 1 ln xdx  4) sin x e ( x cos x)dx    2 0 1 5) 2 x 0 1 sin x dx (1 cos x)e     6) 1 0 2 3 1 dx (x )1  _ HT_ www.MATHVN .com www.mathvn.com . đ tính u 5 2 - 3 2 1 - 5 2 x _ 1 1 2 1 3 2 2 5 2 n=5, a =2 1 0 h s ca đa thc ca u h s ca đa thc -4 0 1 www. MATHVN .com www. mathvn. com 3 Trình. )dx         (n-2)/a n/a (n-1)/a _ x _ x b n - 3 b n - 2 b n - 1 =a n h s ca đa thc ca u h s ca đa thc a 1 a n-2 a n-1 a n n n 1 k k 1 k