CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ****************************************************************************** TRẦN ĐỨC NGỌC * http://violet.vn/tranducngoctk * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN ***************************************************************************************** (1) TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Chú ý : Ký hiệu P(x) là đa thức biến số x . Nguyên hàm I = .Tìm cách phân chia biểu thức dƣới dấu tích phân thành hai phần : u và dv một cách thích hợp.Ta phải tính du và v (Hai phép toán ngƣợc nhau). Sau đó áp dụng : = uv - . Một số dạng bài tập điển hình : 1. I = ; I = ; I = -Đều đặt u = P(x) ,phần còn lại là dv 2. I = Đặt u = lnx , phần còn lại là dv (Trƣờng hợp này :Kể cả khi P(x) là hằng số) 3. I = .Đặt u = lnx , phần còn lại là dv 4. I = , I = - Đặt u = , phần còn lại là dv Nhiều bài không thuộc dạng điển hình vẫn có thể giải phƣơng pháp tích phân từng phần Ví dụ 1: Chứng minh: .cos6x.dx = .sinx.sin6x.dx và tính J = .cos7x.dx Hƣớng dẫn : Tính VT theo phƣơng pháp tích phân từng phần ( Đặt u = cos 6 x và dv = cos6xdx ) Ta có : VT = .cos6x.dx = .d(sin6x) = + .sinx.sin6x.dx = 0 + .sinx.sin6x.dx = VP Tính : J = .cos7x.dx Có J = .cos7x.dx = cos dx = .cos6x.dx - .sinx.sin6x.dx = 0 (Theo kết quả trên ) Ví dụ 2: Tính I = Bài giải 1: Đặt : thì : Ta có : I = + d(x-1) = + = Bài giải 2: Dùng phƣơng pháp đổi biến số ,( đặt t = x-1).Hoặc làm gộp nhƣ sau để không phải đổi cận .Ta viết : TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ****************************************************************************** TRẦN ĐỨC NGỌC * http://violet.vn/tranducngoctk * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN ***************************************************************************************** (2) I = = = - = - = Lƣu ý : (1- = (x - và (1- = - (x - Bài tập 1: Tính : I = dx Bài giải 1: Tính I = dx .Tích phân từng phần Đặt Thì : áp dụng : = uv - Ta có : I = dx = - = - I 1 (*) Ta tính I 1 = để thay vào (*). Ta có: I 1 = = = Đổi biến số. Đặt = t Thì x = t .Khi x = 0 , t = ; Khi x = , t = 0 và dx = - dt .Do đó : I 1 = = = - = (Đã đổi cận và đổi dấu; - tích phân không phụ thuộc biến số) I 1 = - = - = = - = - = - I 1 Vậy, 2.I 1 = Do đó :I 1 = = . ln2 Thay I 1 = .ln2 vào (*) Ta đƣợc : I = - = TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ****************************************************************************** TRẦN ĐỨC NGỌC * http://violet.vn/tranducngoctk * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN ***************************************************************************************** (3) Ở bài toán trên ta đã vận dụng hai phƣơng pháp :Tích phân từng phần và đổi biến số.Tùy cơ ứng biến trong giải bài tạp .Không có khuôn mẫu cho cách giải mọi bài toán. Có thể giải bài toán trên bằng phƣơng pháp đổi biến số nhƣ sau Bài tập 2: Tính I = dx . Lời Giaỉ : Đặt t = – x. Ta có:dx = - dt Khi x = 0, t = ,khi x = , t = 0 , = ln Do đó : I = dx = dt = dt = .dt = dt = .dt - dt = ln2 - I Suy ra : 2I = ln2 = ln2 . = . Vậy I = ( Đừng nhầm tƣởng rằng:Tích phân có chứa logarit là phải tính theo tích phân từng phần ) Bài tập 3: Tính I n = . (Lập công thức tính truy hồi) Lời Giaỉ : Viết : I n = = Đặt Thì : I n = - cosx.sin n-1 x + (n-1) .co x.dx = - cosx.sin n-1 x + (n-1) (1- si x)dx = - cosx.sin n-1 x + (n-1) .dx – (n-1) .dx . Tức là ta có công thức truy hồi: n.I n = - cosx.sin n-1 x + (n- 1).I n-2 Bài tập 4: Tính I n = . (Lập công thức tính truy hồi) Lời Giaỉ :Viết : I n = = Đặt Thì : I n = sinx.cos n-1 x + (n-1) . x.dx = sinx.cos n-1 x + (n-1) (1- x)dx = sinx.cos n-1 x + (n-1) .dx - (n-1) .dx . TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ****************************************************************************** TRẦN ĐỨC NGỌC * http://violet.vn/tranducngoctk * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN ***************************************************************************************** (4) Tức là ta có công thức truy hồi: n.I n = sinx.cos n-1 x + (n- 1).I n-2 Bài tập 5: Tính I n = . (Lập công thức tính truy hồi) Lời Giaỉ :Viết : I n = = = = - = ta x - Tức là ta có công thức truy hồi: I n = ta x – I n-2 Bài tập 6: Tính : I n = (Lập công thức tính truy hồi) Đặt : Ta có : Dođó: I n = + 2n = + 2n .dx = + 2n - 2n .Tức là có : 2nI n+1 = + (2n-1)I n . Tức là ta có công thức truy hồi: I n+1 = + .I n Bài tập 7: Tính I n = .dx Với n -1 - Đặt : -Thì : Do đó I n = .dx = x. - n .dx Vậy: I n = x. - n.I n-1 Bài tập 8: Tính I n = Với m 1 - Đặt : -Thì : . Vậy ta có : I n = - = - + C Bài tập : 1/Tính tích phân : (Hdẫn:đặt u = , dv = cosxdx) TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ****************************************************************************** TRẦN ĐỨC NGỌC * http://violet.vn/tranducngoctk * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN ***************************************************************************************** (5) 2/Tính tích phân : I= Hdẫn : I = = I 1 +I 2 +I 3 Tính I 2 = 2 : Đặt u = x và dv = sinx.dx - (Tích phân từng phần) 3/ Tính tích phân : I= Hdẫn : I = = = + + - = + + - = I 1 +I 2 +I 3 +I 4 Tính I 2 = : Đặt u = x và dv = - (Tích phân từng phần) 4/ Tính tích phân: I = 5/ Tính tích phân: I = Hdẫn : I = = I = - = + - = I 1 + I 2 - I 3 Đặt t = - x , ta có I 1 = = = = I 3 Do đó : I = I 2 = = = ,( t = 1+sinx) -Đặt : thì : Do đó : I = = (t.lnt – t ) = 2ln2 – 1 6/ Tính tích phân : I = .dx Ta có : I= -Đặt : thì : . TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ****************************************************************************** TRẦN ĐỨC NGỌC * http://violet.vn/tranducngoctk * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN ***************************************************************************************** (6) Do đó : I = - = - J (*) Tính J = = = = = )d(sinx) = )d(sinx) = Thay J = vào (*) Ta có : I = - = … = - ln = - 2ln(2+ 7/ Tính tích phân : I = Hdẫn : I = = + = I 1 + I 2 - Tính I 1 = ( Đặt u = và dv = sinx.dx ) -Tính I 2 = (Đặt u = và dv = ) 8/ Cho : I n = .dx Hãy tính I 0 và tính tổng I n + I n+1 Lời giải : Tính I 0 = = = .Đặt Ta có : I 0 = = dt = = ln = ln Tính I 0 có thể đặt t = , dt = 2 dx nên dx = , Ta có I 0 = = Tính tổng I 1 +I 2 : Vì I n = nên I n+1 = = Ta có : I n + I n+1 = + = = .dx TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ****************************************************************************** TRẦN ĐỨC NGỌC * http://violet.vn/tranducngoctk * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN ***************************************************************************************** (7) = .d(2nx) = = . TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Chú ý : Ký hiệu P(x) là đa thức biến số x . Nguyên hàm I = .Tìm cách phân chia biểu thức dƣới dấu tích phân thành hai phần : u và dv một cách thích hợp.Ta phải tính. ***************************************************************************************** (5) 2 /Tính tích phân : I= Hdẫn : I = = I 1 +I 2 +I 3 Tính I 2 = 2 : Đặt u = x và dv = sinx.dx - (Tích phân từng phần) 3/ Tính tích phân : I= Hdẫn : I = = . = + + - = + + - = I 1 +I 2 +I 3 +I 4 Tính I 2 = : Đặt u = x và dv = - (Tích phân từng phần) 4/ Tính tích phân: I = 5/ Tính tích phân: I = Hdẫn : I = = I = - = + - = I 1