vai meo nho tinh tp tung phan le anh dung

www.vedich.net VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân công thức tích phân phần ta chọn u, v cách khéo léo thành phần  vdu  udv  uv   vdu , đơn giản việc tính tích phân đơn giản hơn. Bài viết trao đổi với bạn số kĩ tính tích phân phương pháp tích phân phần. 1. Tách tích phân thành phần, phần phần cho phần lại khử vdu Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I =  e x (x  4x  1)dx Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + phải tích phân phần lần; để tránh điều này, ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần lại.  du  2xdx u  x   ; nên  vdu=  xe x dx khử hết xe2x ta thêm vào u :   2x x    v  e dv  e dx   + 3x để phần lại xe2x. Lời giải. I =  e x (x  4x  1)dx   e x (x  3x)dx   e x (x  1)dx   u  x  3x  Đặt  , chọn 2x  dv  e dx   Khi đó: I = =  du  (2x  3)dx      v  e2x    e x (x  3x)   e x (x  3x)   e x (2x  3)dx   e x (x  3)dx e x dx  e x (x  3x)  e x  C Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau I   e x (x  4x  1)dx   u  x3  Tương tự ví dụ  x  dv  e dx  du  3x dx ; nên  vdu=  3x e x dx khử hết 3x2ex  v  e x ta thêm vào u : x2 để phần lại lại 3x2    u  x3  x  du  (3x  2x)dx   ; nên vdu=(3x +2x)e x dx khử hết 2xex ta lại  x x   dv  e dx v  e   thêm vào u: -2x để phần lại 2x. Lời giải. I   e x (x  x  2x)dx   e x (3x  2x  1)dx www.vedich.net www.vedich.net   u  x  x  2x  Đặt:  , chọn x   dv  e dx   du  (3x  2x  2)dx   x   v  e I  e x (x  x  2x)   e x (3x  2x  2)dx   e x (3x  2x  1)dx  e x (x  x  2x)   e x dx  e x (x  x  2x  1)  C Trên sở đó, ta sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho toán tính tích phân phần hàm số eax  b (a n x n  a n 1 x n 1  .  a1  a )dx  an hệ số đa thức an-1 an-2 _ _ n/a (n-2)/a (n-1)/a x x bn - 1=an hệ số đa thức u a1 bn - bn - b n 1  a n   k2 b b k  a k 1  a k 1  (Nhân lên, lấy hệ số đa thức trừ hạ xuống) Thí dụ 3: Tính I = e 2x (x  4x  x  1)dx Ta lập sơ đồ sau nháp để tính u hệ số đa thức n=5, a =2 -4 _ 1 x hệ số đa thức u - www.vedich.net - www.vedich.net Trình bày: I=   5  5  3 e  x  x  x  x  x  dx   e 2x  x  5x  x  x  1 dx    2  2 2x  5  u  x  x  x  x  x Đặt  2 ,  x dv  e dx   du  5x 10x  3x  3x     2x v  e  5  3 5  5 I  e 2x  x  x  x  x  x    e 2x  x  5x  x  x   dx 2 2 0 2 4  2 3 5    e 2x  x  5x  x  x  1 dx 2 2  5    e 2x  x  x  x  x  x    e 2x dx 2 2 0  5 1 1   e 2x  x  x  x  x  x    e  2 2 40 8   x ln x  2x   dx  x  Thí dụ 4: Tính tích phân I =  ln x  e Chú ý: (x  1) '  2x; (ln x)' = 4. ln x , ta tách I thành tích phân để khử vdu x  e e e x 1  x   Lời giải. I =   x ln x + ln x dx =  x ln xdx +  2 ln x dx  1    x x    ln x  dx du  u  ln x  x Đặt  chọn   dv  xdx  v  (x  1)  x  1 ln x e  Suy I =  1 e  2  x2 1 x x  1 ln x e e       e x 1 ln x dx   2 ln x dx  x    2. Thêm số cho v www.vedich.net www.vedich.net Trong toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số. Thí dụ 5: Tính tích phân I =  (2x  1) ln(x  1)dx  3x du  3x dx  x3 1 (x  1)(x  x  1)   v  x  x  u  ln(x  1) Lời giải. Đặt  , chọn dv  (2x 1)dx Bình thường ta lấy v = x2 – x, ta chọn C = + mục đích khử bớt mẫu số vdu. Khi đó: I = (x  x  1)ln(x +1)   3x x 1 dx  x2      x  ln x     2ln  dx ln = ln  3 x       x  1    /4 Thí dụ 6: Tính tích phân  ln(sin x  cos x) dx cos x cos x  sin x dx sin x  cos x sin x  cos x v= dx chọn v  tan x +  cos x cos x Bình thường ta hay lấy v = tanx ta thêm C = để khử mẫu  /4 cos x  sin x  /4 Khi đó: I = (tan x  1) ln(sin x  cos x )   dx cos x Đặt u = ln(sin x  cos x)  du =  /4 = ln  ( x  ln cos x )    ln 3. Cách chọn thành phần dv Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm dv. Trong trường hợp dv bảng nguyên hàm bản, ta phải tách tích để lấy nguyên hàm dv theo biến số . π Thí dụ 7: Tính tích phân x2  (x sin x  cos x) dx Để giảm bậc mẫu phải nằm thành phần dv; để tìm (x sin x  cos x) nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx www.vedich.net www.vedich.net π π Lời giải. x  (x sin x  cos x) x cos x dx   (x sin x  cos x) . x cos x dx  x  x sin x  cos x   u du  dx  cos x   cos x  Đặt  chọn    x cos x d(x sin x cos x)    dv  dx  v   2   (x sin x  cos x) (x sin x  cos x) x sin x  cos x   π π Khi I =  x  cos x(x sin x  cos x) 2π 4 π  tan x 04  π4 4π π dx cos x  Thí dụ 8: Tính tích phân x dx  (x  1) Để giảm bậc lớn mẫu, ta dùng tích phân phần. Để khử bậc mẫu phải nằm dv. Nhưng để lấy nguyên hàm theo x4 ta cần (x4)’ = 4x3. ( x  1) u  x du  5x dx   Đặt  x dx d(x  1) , chọn  1  v   dv  (x  1)  (x  1) x 1  =  x dx  (x Vậy I =  1)  x 4(x  1)  x x4 1 dx     1 dx   1    dx  dx   1  2     x 1 x 2(x 1) 2(x 1)    0 x4    1 x   1 1 Ta có  1    ln  dx   x  ln   2(x 1)   x   1 Đặt x = tant. Ta tính Tính  2(x Vậy I =  1) dx  π 12 1 π  ln   12 Cuối xin đưa số tập để bạn tự luyện tập Tính tích phân sau: www.vedich.net www.vedich.net ln(1  x) 1)  x2 2) dx.  x  2x  3x  e2 x dx  e 3)  ln 4)  esin x (1 x cos x)dx xdx  5)   sin x (1  cos x)e x dx 6)  (x  1)3 dx _ HẾT_ www.vedich.net . 1 VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân bằng công thức