Khảo sát sự tương tác của soliton trong sợi quang

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Cao xuân Phú Khảo sát sự tơng tác của soliton trong sợi quang Chuyên ngành: Quang học Mã số: 60.44.11 Luận văn thạc sĩ vật lí. Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Đinh Xuân Khoa 2 Vinh, tháng 10 năm 2006 Lời cảm ơn Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn và xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Đinh Xuân Khoa, đã giúp tôi định hớng đề tài, chỉ dẫn tận tình, chu đáo và dành nhiều công sức cũng nh cả những sự u ái cho tôi trong quá trình làm luận văn. Tôi xin cảm ơn các thầy giáo: PGS.TS Hồ Quang Quý, TS Vũ Ngọc Sáu, PGS.TS Nguyễn Huy Công đã góp ý chỉ dẫn cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí, Ban chủ nhiệm khoa đào tạo Sau Đại Học đã tạo điệu kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại cơ sở đào tạo. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Vinh tháng 10 năm 2006 Tác giả Cao Xuân Phú 3 Mục lục Mở đầu .3 Chơng 1. Bản chất điện từ của ánh sáng 5 1.1. Lí thuyết điện từ của ánh sáng .5 1.1.1. Hệ phơng trình Maxwell .5 1.1.2. Sóng điện từ phẳng đơn sắc 7 1.1.3. Sóng cầu 9 1.1.4. Chùm tia Gauss .10 1.2. Lan truyền ánh sáng trong môi trờng tán sắc tuyến tính .12 1.2.1. Các thông số của xung vào .13 1.2.2. Sự lan truyền của xung trong môi trờng tán sắc tuyến tính 14 1.2.3. Sự nén xung và giãn xung trong quá trình lan truyền .17 1.2.4. Phơng trình lan truyền xung trong môi trờng tán sắc .18 1.3. Kết luận chơng 1 21 Chơng 2: Phơng trình Schrửdinger phi tuyến, soliton không gian và soliton thời gian .22 2.1. Phơng trình Schrửdinger phi tuyến 22 2.2. Phơng trình lan truyền soliton không gian và thời gian .25 2.2.1. Cơ sở của soliton không gian và soliton thời gian 26 2.2.2. Phơng trình lan truyền soliton không gian và soliton thời gian 31 2.3. Nghiệm soliton của phơng trình Schrửdinger phi tuyến 32 2.4. Tìm nghiệm soliton của phơng trình Schrửdinger phi tuyến bằng ph- ơng pháp Hirota 33 2.5. Kết luận chơng 2 37 4 Chơng 3: Khảo sát tơng tác của soliton trong sợi quang .38 3.1. Lí thuyết tơng tác của hai soliton 38 3.2. Khảo sát tơng tác của hai soliton cùng biên độ và cùng pha ban đầu 39 3.3. Khảo sát sự tơng tác hai soliton khác biên độ và cùng pha ban đầu . .45 3.4. Khảo sát sự tơng tác của hai soliton cùng biên độ và khác pha ban đầu .50 3.5. Kết luận chơng 3 52 Kết luận chung .53 Tài liệu tham khảo .54 5 Mở đầu Kể từ khi laser ra đời năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triển vợt bậc và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ, đặc biệt là trong truyền tải và xử lí thông tin. Nhu cầu truyền tải thông tin ngày càng lớn dẫn đến những hệ thống thông tin thông thờng không đáp ứng kịp. Một công nghệ mới có tính cách mạng "thông tin bằng sóng ánh sáng" (thông tin quang) đã ra đời và cải tạo mạng lới thông tin trên toàn thế giới. Nhờ đó, một khối lợng thông tin khổng lồ các tín hiệu hình, tín hiệu âm thanh và tín hiệu số có thể truyền đi một cách nhanh chóng và hiệu quả. Nh vậy tại sao thông tin bằng sóng ánh sáng lại u việt hơn so với hệ thống thông tin thông thờng ? Sở dĩ nh vậy là vì tốc độ thông tin truyền đi phụ thuộc trực tiếp vào tần số của tín hiệu. Ta biết rằng ánh sáng có tần số nằm trong khoảng từ 10 14 -10 15 Hz trong khi đó tần số sóng vô tuyến vào khoảng 10 6 Hz còn tần số vi ba là 10 8 - 10 10 Hz. Vì thế, một hệ thống truyền tin thực hiện với tần số sóng ánh sáng về lí thuyết có thể truyền đợc một lợng thông tin lớn hơn khi thực hiện đối với tần số vô tuyến hay tần số vi ba. Ngoài ra thông tin quang học còn có một u việt lớn nữa là tổn hao năng lợng thấp và dễ khuyếch đại tín hiệu trong quá trình truyền dẫn. Năm 1965 thuật ngữ soliton đợc đề xuất để mô tả tính chất hạt của xung trong môi trờng phi tuyến. Dới các điều kiện xác định, xung không những không bị méo dạng trên đờng truyền mà còn có thể va chạm với nhau nh các hạt. Sự tồn tại của soliton trong sợi quang và sử dụng chúng trong thông tin quang đang là vấn đề rất đợc quan tâm cho các hệ thống thông tin bằng sóng ánh sáng. Trong các hệ thống thông tin quang ngời ta truyền nhiều xung trong cùng một sợi quang và rất muốn các xung càng gần nhau càng tốt để tăng tốc độ bit. Nhng khi gần nhau thì các xung trong các rãnh bit lân cận sẽ ảnh hởng lẫn 6 nhau, gọi là tơng tác soliton. Sự tơng tác này sẽ làm giảm khả năng truyền dẫn thông tin. Nội dung của luận văn này chúng tôi khảo sát sự tơng tác của hai soliton trong sợi quang theo độ phân tách giữa hai soliton lân cận trong chuỗi bit thông tin, từ đó tìm ra phơng pháp làm giảm ảnh hởng của sự tơng tác của các xung. Nội dung của luận văn đợc trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, ba chơng nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Ch ơng I: Bản chất điện từ của ánh sáng. Chơng 1, trình bày một cách tổng quát về lí thuyết điện từ của ánh sáng. Khảo sát sự nén và giãn xung trong quá trình lan truyền trong môi trờng tán sắc tuyến tính. Ch ơng II: Phơng trình Schrửdinger phi tuyến, Soliton không gian và soliton thời gian. Chơng 2, trình bày quá trình truyền sóng trong môi trờng phi tuyến đợc mô tả qua phơng trình Schrửdinger phi tuyến . Từ phơng trình này và các hiệu ứng phi tuyến, tìm điều kiện để thu đợc soliton không gian và soliton thời gian. Từ đó thiết lập phơng trình lan truyền soliton không gian và soliton thời gian, đồng thời tìm lời giải phơng trình lan truyền soliton theo phơng pháp Hirota. Ch ơng III: Khảo sát sự tơng tác của soliton trong sợi quang. Chơng 3, khảo sát quá trình tơng tác của hai soliton trong sợi quang theo độ phân tách, biên độ, pha ban đầu khác nhau giữa hai soliton lân cận truyền trong sợi quang, từ đó tìm ra phơng pháp để làm giảm sự tơng tác của các soliton . Chơng I 7 Bản chất điện từ của ánh sáng 1.1 Lí thuyết điện từ của ánh sáng. Từ hàng ngàn năm nay con ngời đã đặt ra câu hỏi: Bản chất ánh sáng là gì? Sự phát triển của khoa học đã làm sáng tỏ dần bản chất của ánh sáng. Tuy nhiên phải tới nửa cuối thế kỷ XIX, Maxwell với hệ phơng trình tổng quát của mình đã làm sáng rõ bản chất của ánh sáng. 1.1.1.Hệ phơng trình Maxwell. Trờng điện từ tại mỗi điểm trong không gian đợc đặc trng bởi bốn vectơ. Vectơ cờng độ điện trờng E , véctơ cảm ứng điện D , vectơ cờng độ từ trờng H và vectơ cảm ứng từ B . Các đại lợng này nói chung là hàm của toạ độ và thời gian, tuy vậy chúng không biến thiên tuỳ ý mà tuân theo những quy luật xác định, các quy luật này đợc Maxwell tổng quát hoá qua hệ phơng trình mang tên ông: ( ) ( ) t trB trE =ì , , (1.1) ( ) ( ) ( ) t trD trjtrH +=ì , ,, (1.2) ( ) ( ) trtrD ,, = (1.3) ( ) 0, = trB (1.4) Và các phơng trình vật chất: ( ) ( ) == == HHtrB EEtrD r r ààà 0 0 , , (1.5) ở đây ( ) ( ) trtrj ,,, lần lợt là véc tơ mật độ dòng điện và véc tơ mật độ điện tích, các đại lợng 0 à và 0 là hệ số từ thẩm và điện thẩm của chân không. Xét về mặt trị số thì: ( ) ( ) m H m F 7 0 9 0 10.4,10 36 1 == à 8 Bây giờ chúng ta tìm hiểu ý nghĩa của các phơng trình Maxwell. Hai ph- ơng trình (1.1) và (1.2) là hai phơng trình cơ bản nhất của trờng điện từ, chúng đợc xây dựng dựa trên định luật dòng toàn phần và định luật cảm ứng từ của Faraday. Phơng trình (1.1) cho thấy nguồn gốc sinh ra điện trờng là do sự biến thiên của từ trờng nhng điện trờng này là điện trờng xoáy. Phơng trình (1.2) nêu lên nguồn gốc sinh ra từ trờng là do dòng điện dẫn và sự biến thiên của điện trờng. Hai phơng trình còn lại đợc xây dựng từ định luật Gauss cho điện trờng và cho từ trờng. Phơng trình (1.3) cho thấy nguồn gốc sinh ra điện trờng là các điện tích và trờng này là trờng thế, có nghĩa là công của lực điện không phụ thuộc vào dạng đờng đi mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối. Phơng trình (1.4) chứng tỏ từ trờng là một trờng xoáy, tức là các đờng sức của từ trờng là những đờng cong kín. Các phơng trình vật chất (1.5) thể hiện sự phản ứng của môi trờng khi có điện từ trờng ngoài tác dụng. Các đặc trng cơ bản của môi trờng vật chất đợc thể hiện rõ qua các tham số điện từ của nó. Dựa vào các tham số điện từ ngời ta phân loại môi trờng theo các dạng sau. Nếu các tham số điện từ , và là hằng số thì môi trờng đợc gọi là đồng nhất và đẳng hớng. Trong môi trờng này các véctơ trờng từng cặp song song với nhau E // D , HB // . Môi trờng đợc gọi là tuyến tính nếu các tham số điện từ , và không phụ thuộc vào cờng độ trờng. Lúc này các phơng trình vật chất (1.5) là các phơng trình tuyến tính. Trong trờng hợp các tham số điện từ của môi trờng phụ thuộc vào cờng độ trờng thì môi trờng đợc gọi là môi trờng phi tuyến . Khi đó các tham số điện từ , và đợc khai triển thành chuỗi Taylor, ví dụ: ( ) ( ) E E n E n n n += = 1 ! 1 0 Nếu nh các tham số điện từ , và theo các hớng khác nhau có giá trị khác nhau thì môi trờng đó gọi là môi trờng không đẳng hớng. Trong môi trờng 9 không đẳng hớng các tham số điện từ , có dạng tenxơ, ví dụ đối với tham số điện: ++= ++= ++= zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx EEED EEED EEED (1.7) Mỗi hình chiếu của vectơ D phụ thuộc vào ba hình chiếu của vectơ E . Trong trờng hợp này hai vectơ D và E không song song với nhau. Phơng trình (1.7) thờng đợc viết dới dạng: ED = trong đó =x, y, z. Đại lợng: = zzzyzx yzyyuy yzxyxx (1.8) đợc gọi là tenxơ điện thẩm của môi trờng không đẳng hớng. Hoàn toàn t- ơng tự, đợc gọi là tenxơ từ thẩm. 1.1.2.Sóng điện từ phẳng đơn sắc. Sóng điện từ phẳng đơn sắc là sóng có mặt đồng pha là mặt phẳng, sóng phẳng chỉ là trờng hợp lí tởng của sóng điện từ. Song việc nghiên cứu sóng phẳng có ý nghĩa quan trọng. Bởi vì về mặt toán học nghiên cứu sóng phẳng dễ dàng hơn do cấu trúc của nó đơn giản, nhng kết quả nghiên cứu nó về mặt định tính có thể đặc trng cho các loại sóng khác. Về mặt vật lí, ở những khoảng cách rất xa nguồn hay là một phần nhỏ của mặt sóng đều có thể coi là sóng phẳng. Đối với sóng điện từ phẳng đơn sắc, biểu thức của các véctơ trờng phụ thuộc vào toạ độ có dạng: ( ) ( ) rkiErE = exp 0 (1.9) 10 ( ) ( ) rkiHrH .exp 0 = (1.10) ở đây 0 knk = là véctơ sóng còn n là chiết suất của môi trờng. Thay thế các phơng trình (1.9) và (1.10) vào phơng trình (1.1) và (1.2) ta thu đợc: 00 EHk =ì (1.11) HEk 0 à =ì (1.12) Từ phơng trình (1.11) ta suy ra vectơ E trực giao đồng thời với k và H . Tơng tự, từ phơng trình (1.12) ta có vectơ H trực giao đồng thời với các véctơ E và k . Từ đó, ba vectơ HE , và k lập thành một tam diện thuận, có nghĩa là hai véc tơ E và H luôn luôn nằm trong cùng một mặt phẳng lan truyền. Hình 1.1: Mặt sóng của sóng điện từ phẳng đơn sắc. Mặt khác từ phơng trình (1.11) ta có độ lớn của các vectơ 0 H và 0 E có liên hệ với nhau thông qua biểu thức 00 E k H = . Hoàn toàn tơng tự, từ phơng trình (1.12) ta có 0 0 0 E k H à = vì vậy: à à ==== 0 0 0 0 0 0 1 nn c k H E (1.13) ở đây đợc gọi là trở kháng của môi trờng, đối với trờng hợp chân không thì ( ) == 377 0 0 0 à .Vectơ Poynting phức * 2 1 HE ì= có cùng phơng chiều