d Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EF S và ABS và T là trung điểm của KS.. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.[r]
(1)BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN TOÁN NĂM 2013 Dạng toán giải phương trình và hệ phương trình 1.1 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 8x2 − 2x − = ( 2x + 3y = b) 5x − 6y = 12 c) x4 − 2x2 − = 1.2 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: ( 4x + y = −1 a) 2x2 − 3x − = b) c) 4x4 − 13x2 + = 6x − 2y = 1.3 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: ( 5x + 7y = a) 3x2 − 2x − = b) c) x4 + 5x2 − 36 = 5x − 4y = −8 1.4 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: ( 2x − 3y = a) 2x2 − x − = b) c) x4 + x2 − 12 = 3x + 2y = √ d) 3x2 − 2x + = √ d) 2x2 − 2x − = d) 3x2 + 5x + √ − = √ d) x2 − 2x − = Dạng toán vẽ đồ thị và tìm tọa độ giao điểm 2.1 a) Vẽ đồ thị (P ) hàm số y = x2 và đường thẳng (D) : y = x + trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P ) và (D) phép tính 2.2 a) Vẽ đồ thị (P ) hàm số y = − x2 và đường thẳng (D) : y = x − trên cùng hệ 2 trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P ) và (D) phép tính 2.3 a) Vẽ đồ thị (P ) hàm số y = −x2 và đường thẳng (D) : y = −2x − trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P ) và (D) phép tính 2.4 1 a) Vẽ đồ thị (P ) hàm số y = x2 và đường thẳng (D) : y = − x + trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P ) và (D) phép tính (2) Dạng toán bậc hai Rút gọn các biểu thức sau: p p p p √ √ √ √ 3.2 A = p6 − 11 − p6 + 11 3.1 A = p3 + − p3 − √ √ √ √ 3.3 A = + 13 − − 13 3.4 A = +√4 − − p p √ √ 6+2 3.5 A = − − + 3.6 A = √ p p +√ p p √ √ √ 3.8 A = + − − 3.7 A = q16 − − 16 + p p √ √ √ √ √ 3.9 A = +√ 13 + 48 3.10 A = − 5.( 10 − 2).(3 + 5) √ √ √ 3+ 3− 2+ 2− √ + √ 3.11 A = 3.12 A = √ −√ 3− 3+ 2+1 2−1 r q p p p p √ √ √ √ 3.14 A = + 15 − − 15 − − 3.13 A = 13 + 30 + + √ √ √ √ p √ 41 p 3.15 A = p 3.16 A = ( 10 + 2)(6 − 5) + √ √ 45 + 41 + 45 − 41 r !2 r !2 q q p p √ √ √ √ 2+ 3+ 3− 5− 2− 3+ 3+ 5− 3.17 A = + 2 s√ s √ 3−4 3+4 √ √ + 3.18 A = +p 5−2 √ √ p √ √ 3.19 B = (2 − 3) 26 + 15 − (2 + 3) 26 − 15 Dạng toán rút gọn biểu thức có chứa ẩn Rút gọn các biểu thức sau: √ 1 x √ + √ với x > 0, x 6= 4.1 A = − x + x√ x − x√− x a2 + a 2a + a √ 4.2 A = − √ + 1, với a > a− √ a+1 a √ x+2 x+1 x−1 √ 4.3 A = +√ − x, với x ≥ 0, x 6= x + 1√ x−1 a + b − ab √ √ , với a ≥ 0, b ≥ 0, a 6= b :√ 4.4 A = √ a − b a + b √ 2 4.5 A = √ + 1−x : √ + với −1 < x < 1+ √x √ −x x+ x x− x 4.6 A = √ +1 √ − với x ≥ 0, x 6= x + x − √ a 1 √ 4.7 A = √ − : √ + , với a > 0, a 6= 1 a − a −√ a a + a√− √ x x−1 x x+1 3− x √ − √ 4.8 A = : 1− √ , với x > 0, x 6= x− x x+ x √ x+1 1 x 4.9 A = √ − √ + , với x ≥ 0, x 6= x−2 x+2 1−x (3) 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 √ √ √ x+3 x+1 x−9 √ √ , với x ≥ 0, x 6= 4, x 6= −√ + A= x√ − x + √ x − 3 − x x2 − 2x + x−2 x+2 √ A= − , với x ≥ 0, x 6= x − 1√ x +√2 x + 1√ √ √ ( a + b)2 − ab a b + b a √ √ A= − , với a > 0, b > 0, a 6= b √ a − b ab √ √ √ x+3 x−1 x−4 −√ + , với x ≥ 0, x 6= A= √ − x x − x + √ √ x+1 x−1 A= √ − √ −√ , với x ≥ 0, x 6= x−2 x+2 x−1 √ √ ! √ √ √ √ a+ b−1 a− b b b √ √ √ + √ , với a > 0, b > 0, a 6= b + A= a + ab ab a− b a+ b √ ! √ b − ab a b a+b √ A= a+ √ : √ +√ − √ , với a > 0, b > 0, a 6= b a+ b ab + b ab − a ab √ 2 √ √ x x−1 x+1 √ − √ A= −√ , với x > 0, x 6= x −√1 2√ x √ x +1 2(x − x + 1) x x−1 x x+1 √ − √ , với x > 0, x 6= : A= x − 1 √ x +√ x x− x x+2 x x−1 √ √ √ A= , với x > 0, x 6= − + : x − x + √ x + 1 −√ x x √ a+2 a−2 a √ A= − , với a > 0, a 6= :√ a−1 a+ a + a + 2 √ √ − √ A= : √ , với x > 0, x 6= x√ x + x + x √x + x√+ x − x x+1 x x+3 √ A= −√ +√ , với x > 0, x 6= 2, x 6= x − x + x − x−1 √ √ 3x x (x − 1)( x − 1) √ √ − √ +√ , với x > 0, x 6= A= : x+ x+1 x x−1 x−1 x+ x+1 Dạng toán phương trình bậc có chứa tham số ~ Tìm m để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 5.1 A = m2 + 4m − 5.2 B = m2 − 3m + 5.3 C = 4m2 + 4m − 5.4 D = 9m2 + 12m − 5.5 E = 3m2 − 2m − ~ Tìm m để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 5.6 A = −m2 + 2m − 5.7 B = −m2 − 4m + 5.8 C = −4m2 + 4m + 5.9 D = −9m2 − 6m + 5.10 E = −2m2 + 3m − 5.11 Cho phương trình x2 − 2mx + m − = 0, với m là tham số a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m (4) b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ M= x21 −24 + x22 − 6x1 x2 5.12 Cho phương trình x2 − 4x + m + = 0, với m là tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa: x21 + x22 = 10 5.13 Cho phương trình 3x2 − mx + = 0, với m là tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa: 3x1 x2 = 2x1 − 2x2 5.14 Cho phương trình x2 − 4x − m2 − 3m = 0, với m là tham số a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt ∀m b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa: x21 + x22 = 4x1 + 4x2 5.15 Cho phương trình 2x2 + 6x + m = 0, với m là tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa: x x2 + ≥ x2 x1 5.16 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x − − 3m = 0, với m là tham số a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa: x21 + x22 ≥ 10 c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 5.17 Cho phương trình x2 − 2mx + 2m − = 0, với m là tham số a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m b) Tìm m để phương trình có nghiệm là c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa: 2(x21 + x22 ) − 5x1 x2 = 27 5.18 Cho phương trình 2x2 + (2m − 1)x + m − = 0, với m là tham số a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m b) Tìm m để phương trình có nghiệm là −1 c) Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình, tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m 5.19 Cho phương trình x2 − (m − 3)x − 2m = 0, với m là tham số a) Giải phương trình m = −2 b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt ∀m (5) c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc m 5.20 Cho phương trình 2x2 + (2m − 1)x + m − = 0, với m là tham số a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc m 5.21 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 = 0, với m là tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm là −2 c) Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình CMR: (x1 − x2 )2 + 4(x1 + x2 ) + = 5.22 Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = 0, với m là tham số a) Giải phương trình m = −2 b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt ∀m c) Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình CMR: A = x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) không phụ thuộc m 5.23 Cho phương trình x2 − (m − 1)x + = 0, với m là tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Với điều kiện câu a), tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ A = 3x21 +5x1 x2 +3x22 5.24 Cho phương trình x2 − (2m − 3)x + − m = 0, với m là tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Với điều kiện câu a), tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x21 + x22 + 3x1 x2 (x1 + x2 ) 5.25 Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − m + = với m là tham số và x là ẩn số a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 c) Với điều kiện câu b) hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 − x1 − x2 đạt giá trị nhỏ 5.26 Cho phương trình x2 − (3m + 1)x + 2m2 + m − = với m là tham số và x là ẩn số a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình trên Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x21 + x22 − 3x1 x2 (6) Dạng toán hình học 6.1 Cho 4ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự E và F Biết BF cắt CE H và AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEF C nội tiếp và AH ⊥ BC b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC và K là trung điểm BC Tính tỉ số OK BC tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm và HC > HE Tính HC 6.2 Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến M CD không qua tâm O và hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn (O), đây A, B là các tiếp điểm và C nằm M, D a) Chứng minh M A2 = M C.M D b) Gọi I là trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn c) Gọi H là giao điểm AB và M O Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường \ tròn Suy AB là đường phân giác CHD d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến C và D đường tròn (O) Chứng minh A, B, K thẳng hàng 6.3 Cho 4ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có tâm O, bán kính R Gọi H là giao điểm đường cao AD, BE, CF 4ABC Gọi S là diện tích 4ABC a) Chứng minh AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ đường kính AK đường tròn (O) Chứng minh 4ABD và 4AKC đồng dạng với AB.BC.CA Suy AB.AC = 2R.AD và S = 4R c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh tứ giác EF DM nội tiếp đường tròn d) Chứng minh OC vuông góc với DE và (DE + EF + F D).R = 2S 6.4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến (O) A và M cắt E Vẽ M P vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ M Q vuông góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh AEM O là tứ giác nội tiếp đường tròn và AP M Q là hình chữ nhật b) Gọi I là trung điểm P Q Chứng minh O, E, I thẳng hàng c) Gọi K là giao điểm EB và M P Chứng minh 4EAO và 4M P B đồng dạng Suy K là trung điểm M P d) Đặt AP = x Tính M P theo R và x Tìm vị trí M trên (O) để hình chữ nhật AP M Q có diện tích lớn (7) 6.5 Cho đường tròn tâm O có tâm O, đường kính BC Lấy điểm A trên đường tròn tâm O cho AB > AC Từ A vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Từ H vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC) a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) P và Q (E nằm P và F ) Chứng minh AP = AE.AB Suy AP H là tam giác cân c) Gọi D là giao điểm P Q và BC K là giao điểm AD và đường tròn (O) (K khác A) Chứng minh AEF K là tứ giác nội tiếp d) Gọi I là giao điểm KF và BC Chứng minh IH = IC.ID 6.6 Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường thẳng M O cắt đường tròn (O) E và F (M E < M F ) Vẽ cát tuyến M AB và tiếp tuyến M C đường tròn (O) cho C là tiếp điểm, A nằm hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đường thẳng M O a) Chứng minh rằng: M A.M B = M E.M F b) Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm C lên đường thẳng M O Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính M F , nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S là giao điểm hai đường thẳng CO và KF Chứng minh M S ⊥ KC d) Gọi P và Q là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EF S và ABS và T là trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng 6.7 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R C là trung điểm AO Đường thẳng Cx vuông góc với AB C, Cx cắt nửa đường tròn I Cho K là điểm bất kì trên CI (K khác với C và I) Tia AK cắt (O) M và cắt Cx N Tia BM cắt Cx D a) CMR: điểm A, C, M, D cùng nằm trên đường tròn b) CMR: 4M N K cân c) Tính diện tích 4ABD K là trung điểm CI 6.8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A di động trên nửa đường tròn Kẻ AH vuông góc với BC H Đường tròn tâm I đường kính AH cắt nửa đường tròn tâm O điểm thứ hai là G, cắt AB và AC D và E a) CMR: Tứ giác BDEC nội tiếp b) Các tiếp tuyến D và E (I cắt BC M và N CMR: M, N là trung điểm BH, CH c) CMR: DE ⊥ AO Từ đó suy AG, DE, BC đồng quy 6.9 Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C và D Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với A, B là hai tiếp điểm đường tròn (O) Gọi I là trung điểm CD a) CMR: điểm M, I, A, O, B cùng nằm trên đường tròn (8) b) Gọi H là trực tâm 4M AB Tứ giác OAHB là hình gì ? c) Khi M di động trên d CMR: đường thẳng AB luôn qua điểm cố định d) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD E, K CMR: EC = EK 6.10 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AM N với đường tròn (B, C, M, N nằm trên đường tròn và AM < AN ) Gọi E là trung điểm dây M N , I là giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn a) CMR: Bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên đường tròn [ = BIC [ b) CMR: AOC c) CMR: BI//M N d) Xác định vị trí cát tuyến AM N để diện tích 4AIN lớn 6.11 Từ điểm M ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến M A, M B (A, B là các tiếp điểm) Một đường thẳng qua M cắt (O) C và D Gọi I là trung điểm CD Gọi E, F, K là giao điểm AB với M O, M D, IO a) CMR: OE.OM = OI.OK = R2 b) CMR: Tứ giác BOIA nội tiếp \ < CBD \ CMR: DEC \ = 2DAC \ c) Khi CAD √ d) Cho M O = 2R, CD = R Tính diện tích 4M AK 6.12 Từ điểm M ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến M A, M B (A, B là các tiếp diểm) Gọi I là trung điểm M A và K là giao điểm BI với đường tròn (O) Tia M K cắt (O; R) C a) CMR: 4M IK v 4BIM b) CMR: BC//M A c) Gọi H là trực tâm 4M AB CMR : Khoảng cách HA không phụ thuộc vào vị trí M d) Xác định vị trí M để tứ giác AM BC là hình bình hành 6.13 Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) cắt A, B Tiếp tuyến A (O) cắt (O0 ) E, tiếp tuyến A (O0 ) cắt (O) F Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp 4EF A a) CMR: Tứ giác OAO0 I là hình bình hành và OO0 //BI b) CMR: Tứ giác OBIO0 nội tiếp c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB CMR tứ giác AECF nội tiếp 6.14 Cho đường tròn (O; R) và (O0 ; R0 ) cắt hai điểm A; B Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn (tiếp điểm là D và E ) Biết DE cắt tia AB M a) CMR: 4M DB v 4M DA b) CMR: M là trung điểm DE (9) c) Gọi N là điểm đối xứng B qua M CMR: tứ giác ADN E nội tiếp d) Qua D kẻ đường thẳng song song với AE, qua E kẻ đường thẳng song song với AD Hai đường thẳng này cắt S CM: SB ≤ R + R0 6.15 Cho 4ABC nội tiếp đường tròn (O) có AC > AB Gọi D là điểm chính cung nhỏ BC P là giao điểm AB và CD Tiếp tuyến đường tròn C cắt tiếp tuyến D và AD E và Q a) CMR: Tứ giác P ACQ nội tiếp b) CMR: DE//P Q c) Gọi F là giao điểm AD và BC CMR: 1 = + CE CQ CF 6.16 Cho 4ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các tia phân giác [ ACB [ cắt đường tròn E, F các góc ABC, a) CMR: OF ⊥ AB và OE ⊥ AC b) Gọi M là giao điểm OF và AB; N là giao điểm OE và AC CMR: Tứ giác AM ON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác c) Gọi I là giao điểm BE và CF ; D là điểm đối xứng I qua BC CMR: ID ⊥ M N [ = 60◦ d) CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC 6.17 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O0 đường kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O0 I a) Tứ giác ADBE là hình gì ? b) CMR: Tứ giác DM BI nội tiếp c) CMR: B, I, E thẳng hàng và M I = M D d) CMR: M C.DB = M I.DC (10) 6.18 Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E là điểm trên cạnh BC Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE H, đường thẳng này cắt tia DC F a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên đường tròn b) CMR: DE.HE = BE.CE c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E là trung điểm BC \ d) CMR: HC là tia phân giác DHF 6.19 Một hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M di động trên cung ABC, M không trùng với A, B và C, M D cắt AC H a) CMR: M D.M H = M A.M C b) CMR: DE.HE = BE.CE c) 4M DC và 4M AH M vị trí đặc biệt M Xác định điểm M Khi đó M D cắt AC H Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt AC I Chứng minh I là trung điểm H C 6.20 Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến M CD không qua tâm O và hai tiếp tuyến M A và M B đến đường tròn (O), đây A, B là các tiếp điểm và C nằm M, D a) CMR: M A2 = M C.M D b) Gọi I là trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn c) Gọi H là giao điểm AB và M O CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn \ Suy AB là phân giác CHD d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến C và D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng 6.21 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By C và D a) CMR: Tứ giác AOM C nội tiếp \ = 90◦ b) CMR: CD = CA + DB và COD c) CMR: AC.BD = R2 \ = 60◦ Chứng tỏ 4BDM là tam giác và tính diện tích hình quạt tròn d) Khi BAM chắn cung M B nửa đường tròn đã cho theo R 6.22 Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K a) Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: KM ⊥ DB c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB 10 (11) d) Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích tam giác ABM , tam giác DCM CMR: (SABM + 2 SDCM ) không đổi Xác định vị trí M trên BC để SABM + SDCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó theo a 6.23 Cho điểm A ngoài đường tròn (O, R) Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến đường tròn (B và C là hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn E và F (E nằm A và F ) a) CMR: 4AEC v 4ACF Suy AC = AE.AF b) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên đường tròn c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EM IC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác M IF B là hình thang √ d) Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngoài hình tròn (O) 6.24 Cho điểm A ngoài đường tròn (O, R) Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến đường tròn (B và C là hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn E và F (E nằm A và F ) a) CMR: 4AEC v 4ACF Suy AC = AE.AF b) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên đường tròn c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EM IC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác M IF B là hình thang √ d) Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngoài hình tròn (O) 6.25 Cho 4ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có các đường cao BD và CE Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) hai điểm M và N a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp \ = ACB [ b) Chứng minh: DEA c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn (O) \ d) Chứng minh: OA là phân giác góc M AN Chứng tỏ: AM = AE.AB 6.26 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O0 đường kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DB cắt đường tròn tâm O0 I a) Tứ giác ADBE là hình gì ? b) Chứng minh: Tứ giác DM BI nội tiếp c) Chứng minh: M I = M D d) Chứng minh: M C.DB = M I.DC 6.27 Cho 4ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM > M C Dựng đường tròn tâm O đường kính M C; đường tròn này cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D và đường thẳng AD cắt (O) S 11 (12) a) Chứng minh: Tứ giác ADCB nội tiếp \ b) Chứng minh: M E là phân giác AED \ = ASM \ c) Chứng minh: ACD d) Chứng minh: ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 6.28 Cho tam giác ABC có góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD và đường kính AA0 Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA0 a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp b) Chứng minh: DB.A0 A = AD.A0 C c) Chứng minh: DE ⊥ AC d) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh M D = M E = M F 12 (13)