Giả giử trên viên gạch thứ nhất người ta đặt lên đó một hạt đậu, trên viên thứ hai người ta đặt lên đó 7 hạt đậu, trên viên thứ 3 người ta đặt lên đó 49 hạt đậu, trên viên thứ 4 người ta[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ TOÁN SỐ HỌC I)Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn các số dư nâng lên luỹ thừa: Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư phép chia a, a 2, a3, a4 cho m lặp lại cách tuần hoàn (có thể không đầu) Chứng minh Ta lấy m + luỹ thừa đầu tiên: a, a2, a3, a4 , am, am+1 và xét các số dư chúng chia cho m Vì chia cho m có thể có các số dư {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + số, nên các số trên phải có hai số có cùng số dư chia cho m Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, đó l > Khi đó: ak ak + l (mod m) (1) Với n k nhân hai vế phép đồng dư (1) với an - k được: an an + l (mod m) Điều này chứng tỏ vị trí tương ứng với a k các số dư lặp lại tuần hoàn Số l gọi là chu kỳ tuần hoàn các số dư chia luỹ thừa a cho m Sau đây ta xét số dạng bài tập sử dụng định lí trên: Bài toán 1: Xét các luỹ thừa liên tiếp số 2: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, Tìm xem chia các luỹ thừa này cho nhận các loại số dư nào ? Giải: Ta có: 21 = 2, 22 = 4, 23 = (mod 5), 24 = 16 (mod 5) (1) Để tìm số dư chia cho ta nhân hai vế phép đồng dư (1) với được: 25 = 24.2 1.2 (mod 5) 26 = 25.2 2.2 (mod 5) 27 = 26.2 4.2 (mod 5) Ta viết kết vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng ghi số dư tương ứng chia các luỹ thừa này cho 5: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 1) (2 1) (2 hàng thứ hai cho ta thấy các số dư lặp lại cách tuần hoàn: sau số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên Bài toán 2: Tìm số dư chia 22005 cho Giải: * Áp dụng kết trên: ta có 2005 (mod 4) số dư chia 22005 cho là Bài toán 3: Tìm chữ số cuối cùng số: Giải: - Xét các luỹ thừa chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa 2, ta thực theo quy trình sau qua Máy 570MS SHIFT STO A ANPHA : ANPHA A ANPHA A ANPHA = Nếu 570ES thì SHIFT STO A ANPHA ANPHA A A + = = ) (2) : ANPHA ANPHA = ANPHA + CALC ANPHA A A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 6) (2 6) (2 = = … ta kết sau: hàng thứ hai cho ta thấy các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ số (2, 4, 8, 6) ta có 34 = 81 (mod 4) số dư chia cho 10 là Vậy chữ số cuối cùng số là 4 Bài toán 4: Tìm hai chữ số cuối cùng số: A = 21999 + 22000 + 22001 Giải: Xét các luỹ thừa chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa 2, thực theo quy trình bài 14), ta kết sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 (4 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 16 các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số đến số 52) Ta có: 1999 19 (mod 20) số dư chia 21999 cho 100 là 88 2000 (mod 20) số dư chia 22000 cho 100 là 76 2001 (mod 20) số dư chia 22001 cho 100 là 52 88 + 76 + 52 = 216 16 (mod 100) số dư A = 21999 + 22000 + 22001 chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng số A là 16 2004 14 Bài toán 5: Chứng minh +10 chia hết cho 11 2004 2004 14 Giải: - Ta có: 14 (mod 11) (mod 11) Do 38 = 6561 (mod 11), nên = 65612004 52004 2004 (mod 11) Xét tuần hoàn các số dư chia luỹ thừa cho 11: 51 52 53 54 55 56 57 58 (5 1) (5 1) 52004 = (54)501 1501 (mod 11) (mod 11) (1) Mặt khác: 10 10 (mod 11) (2) Cộng vế với vế phép đồng dư (1) và (2) có: 148 +10 11 (mod 11) (mod 11) 148 +10 chia hết cho 11 2004 2004 Bài toán 6: Chứng minh số 222555 + 555222 chia hết cho Giải: 1) Trước hết tìm số dư phép chia 222555 cho 7: - Vì 222 = x 31 + 5, nên 222 (mod 7) 222555 5555 (mod 7) - Xét tuần hoàn các số dư chia luỹ thừa cho 7: (3) 51 52 53 54 55 56 57 58 (5 1) (5 5555 = 56.92 + = (56)92.53 53 (mod 7) Vậy số dư chia 222555 cho là (1) 2) Tương tự, tìm số dư phép chia 555222 cho 7: - Vì 555 = x 79 + 2, nên 555 (mod 7) 555222 2222 (mod 7) - Xét tuần hoàn các số dư chia luỹ thừa cho 7: 21 22 23 24 25 26 27 28 (2 4) (2 2222 = 23.74 = (23)74 174 (mod 7) (2) 222 Vậy số dư chia 555 cho là Cộng vế với vế các phép đồng dư (1) và (2), ta được: 222555 + 555222 + (mod 7) Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho II Số nguyên tố: Định lí (Định lí số nguyên tố): Mọi số nguyên dương n, n > 1, có thể viết cách (không tính đến việc xếp các nhân tử) dạng: n p1e1 p2e2 pkek , với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn: < p1 < p2 < < pk Khi đó, dạng phân tích trên gọi là dạng phân tích chính tắc số n Bài toán 7: Tìm các ước nguyên tố nhỏ và lớn số: A = 2152 + 3142 H Dẫn: - Tính trên máy, ta có: A = 144821 - Đưa giá trị số A vào ô nhớ A : 144821 SHIFT STO A - Lấy giá trị ô nhớ A chia cho các số nguyên tố từ số 2: ANPHA A = (72410,5) ANPHA A = (48273,66667) tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta nhận A không chia hết cho các số đó Lấy A chia cho 97, ta được: ANPHA A 97 = (1493) Vậy: 144821 = 97 x 1493 Nhận xét: Nếu số n là hợp số thì nó phải có ước số nguyên tố nhỏ n để kiểm tra xem 1493 có là hợp số hay không ta cần kiểm tra xem 1493 có chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ 1493 40 hay không - Thực trên máy ta có kết 1493 không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ 40 1493 là số nguyên tố Vậy A = 2152 + 3142 có ước số nguyên tố nhỏ là 97, lớn là 1493 (4) Bài toán 8: Tìm các ước nguyên tố nhỏ và lớn số: A = 10001 Đáp số: A có ước số nguyên tố nhỏ là 73, lớn là 137 Bài toán 9: Số N = 27.35.53 có bao nhiêu ước số ? Giải: - Số các ước số N chứa thừa số: là 7, là 5, là - Số các ước số N chứa hai thừa số nguyên tố: và là: 7x5 = 35; và là: 7x3 = 21; và là: 5x3 = 15 - Số các ước số N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, là 7x5x3 = 105 Như số các ước số N là: + + + 35 + 21 + 15 + 105 + = 192 Định lí (Xác định số ước số số tự nhiên n): Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử phân tích n thừa số nguyên tố ta được: n p1e1 p2e2 pkek , với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn: < p1 < p2 < < pk Khi đó số ước số n tính theo công thức: (n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1) Bài toán 10: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003- 2004) Hãy tìm số các ước dương số A = 6227020800 Giải: - Phân tích A thừa số nguyên tố, ta được: A = 210 35 52 7 11 13 Áp dụng định lí trên ta có số các ước dương A là: (A) = 11 6 3 2 2 2 = 1584 Bài toán 11: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004): Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của: N = 1890 1930 1945 1954 1969 1975 2004 Giải: - Phân tích N thừa số nguyên tố, ta được: N = 25 34 55 11 79 167 179 193 389 977 Áp dụng định lí 2, ta có số các ước dương N là: (N) = = 46080 III) Tìm số tự nhiên theo các điều kiện cho trước: Bài toán 12: Tìm tất các số N có dạng N 1235679 x y chia hết cho 24 Giải: Vì N 24 N 3 ; N 8 37 x y 3 x y 3 x y 3k 18 (1) y 0; 2; 4; 6;8 Với k Z k 6 và x y8 với (2) Từ (1) và (2) thử trên máy tìm các số N chia hết cho 24 là: N 1235679240;1235679144;1235679840;1235679048;1235679774;1235679648 (5) Bài toán 13: Tìm các số bình phương số tận cùng là ba chữ số Có hay không bình phương tận cùng bốn chữ số Giải: Gọi số tự nhiên là x đó x có chữ số tận cùng là thì chữ số tận cùng x là Tính trên máy bình phương x x 02;12; 22;32; 42;52;62;72;82;92;08;18; 28;38; 48;58; 68;78;88;98 tận cùng hai chữ số Tính trên máy: x a12; a62; a38; a88 x 12;62;38;88 có với a 9 x 462;962;038;538 bình phương có tận cùng ba chữ số Ta Vậy x 500k 38 có ba chữ số tận cùng là Thử trên máy với x để x kết thúc bốn chữ số x a 462; a962; a 038; a 0538 với a 9 không có giá trị nào Bài toán 14: Tìm tất các số có chữ số thoả mãn: a) Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị b) Là số chính phương Giải: Gọi số cần tìm có dạng: n a1a2a3a4 a5a6 Đặt x a1a2 a3 đó a4 a5a6 x nên 2 n 1000 x x 1001x Mặt khác, n y 1001x y y 1001x y 1 y 1 7 1113 x x y 1 y 1 1113 (*) 100 x 999 ;317 y 999 y 77k1 y 77k1 5 k1 12 4 k2 10 y 91k2 y 91k2 3 k 6 Từ (*) suy y 143k3 y 143k3 Với k1; k2 ; k3 N i) k1 12 Thử trên máy tìm y 846 ; x 715 nên n 715716 ii) k2 10 Thử trên máy tìm y 727 ; x 528 nên n 528529 iii) k3 6 Thử trên máy tìm y 428 ; x 183 nên n 183184 y 573 ; x 328 nên n 328329 Vậy các số cần tìm: n 715716;183184;528529;328329 Bài toán 15 a)Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n là số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối Tức là n 111 1111 b) Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n là số có bốn chữ số đầu và bốn chữ số cuối Tức là n 1111 1111 Giải: 3 n3 a1 Để n có tận cùng là 11 thì n có đuôi là nên a 7 thì n3 357911 3 n3 a 71 Để n có tận cùng là 111 thì n3 4733 104487111 a 9 Thử trên máy ta có a 9 Thử trên máy ta có a 4 thì (6) 3 n3 a 471 Để n có tận cùng là 1111 thì n có đuôi là nên a 9 thì n3 a 471 a 103 471 a 109 3a 471106 3a 4712 103 4713 3 Với a 8 thì n 8471 8471 8471 717578418471 607860671111 Giả sử m là chữ số đứng số đầu111 và số cuối 1111 Nếu m 3k k 0 thì 111103k 4 n3 112 103k 4 10,35398805 10k 1 1110 10k 1 n 1120 10k 1 10,3849882 10k 1 Do đó k 1 Nếu k 1 thì 103 nghĩa là 103 8471 Số nhỏ các số đó là 1038471 Khi m 3k k 0 thì các số này quá 1038471 Vậy số nhỏ là n 1038471 n3 10384713 10384712 1038471 Tính trên máy 1038471 ? 2 Năm chữ số cuối 1038471 là 38471 17841 10384712 1078422017841 Vậy n3 10384713 10384712 1038471 10784220178411038471 =1119 909 991 289 361111 ( Cách nhân số tràn màn hình) 3 b) Tương tự trên tìm chữ số cuối n 8471 Tìm bốn chữ số đầu n3 1111 Tính 11111111 223,1443159 Tính thử 22384713 11216 3 10 Thử tiếp 2231 111044 ; 2232 1111943117 10 Số khá lớn; Tính 111101111 480,737 Chọn 480 là ba chữ số đầu n3 48084713 1111 1111 thoả mãn đề bài Bài toán 16: Tìm tất các số tự nhiên n thoả: a) 1010 n 2010 và an 20203 21n là số tự nhiên b) 4501 n 47238 và an 4789655 27 n là số tự nhiên Giải: a) Với 1010 n 2010 ta có 203,5 20203 211010 20203 21n 20203 212010 249,8 Vậy n an2 20203 21 204 an 249 Khi 1010 n 2010 Thử 204 an 249 theo công thức 209;1118 ; 211;1158 ; 218;1301 ; 223;1406 ; 230;1557 ; 232;1601 ; 239;1758 ; an ; n 244;1873 b) 4501 n 47238 ta có 150 4789655 27 47238 4789655 27n 4789655 27 4501 167,1 Vậy 150 an 167 Khi 4501 n 47238 Thử 150 an 167 theo công thức 4789655 an3 n an ; n 158;31309 ; 167; 4896 27 ; Bài toán 17 Tìm số nguyên dương abc ( a, b, c là các chữ số khác nhau) biết abc n abc ( với n nguyên dương) abc Giải: Ta có abc c dùng máy thử 0, 1, 5, thoả mà c = suy abc 000 loại vì a b c c = suy abc 001 loại vì a b c c (7) 2 2 c = thử trên máy 05 , 15 , 25 , , 95 thì có 25 625 hai số cuối là 25 2 2 Thử trên máy 025 , 125 , 225 , , 925 thì có 625 390625 ba chữ số cuối là 625 2 2 c = Thử tiếp trên máy 076 , 176 , 276 , , 976 thì có 376 141376 ba số cuối 376 Vậy có hai số thoả mãn đề bài: 625 và 376 1, 03n n 1, 03n 1 n Bài toán 18 Tìm n nguyên dương nhỏ biết 100 200 150 180 Thử trên máy 1, 03 19, 21 ;1,03 396,355 ; 1, 03 84, 252 ; 1, 03 204,50 1, 03175 176, 40 ;1, 03174 171, 268 Vậy n = 174 x Dùng phím lệnh SOLVE để kiểm tra phương trình 1, 03 x từ đó suy nghiệm hệ trên Bài toán 19 Tìm cặp số tự nhiên (x;y) với x nhỏ có ba chữ số thỏa mãn phương trình x y xy x x x Ta có y xy x 0 Tính Ta có ( x nguyên dương) Viết biểu thức lặp vào máy 570MS : 99 SHIFT STO X ( y ) x x3 y (Vì x có ba chữ số nên dò từ 99 trở đi) ALPHA X ALPHA ALPHA X ALPHA : ( ALPHA X ALPHA X ( ALPHA X ) ) : ALPHA : ( ALPHA X ALPHA X ( ALPHA X ) ) : Bấm liên tiếp dấu = theo phép đếm x từ 99 đến 110 ta y = 1100 Vậy (x;y) = (110 ; 1100) Bài toán 20 Tìm chữ số tận cùng số: A = 21999 + 22000 + 22001 H.Dẫn: - Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + + 22) = 29 210 21980 = 29 210 (220)99 - Ta có (dùng máy): 29 = 512 210 = 1024 ; 220 = 1048576 Nhận xét: số có chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc có chữ số tận cùng là 76 Vậy (220)99 có số tận cùng là 76 21999 + 22000 + 22001 = 512 1024 ( 76) = .16 Vậy chữ số cuối cùng A là 16 Bài toán 21: Tìm số dư chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317) Giải: - Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì: A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762 = 2000t + 1376; với a, b t N A.B chia 2000 có số dư là 1376 Với k > chia 13376k cho 2000 (thực (k - 1) lần phép nhân số có tận cùng là 376 chia cho 2000) thì dư là 1376 Đề bài ứng với k = 2005! (8) Bài toán 22: Tìm bốn chữ số tận cùng 51994 Giải: Ta có: 54 = 625 Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc có tận cùng là 625 Do đó: 51994 = 54k + = 25.(54)k = 25.(625)k = 25( 625) = 5625.Vậy bốn chữ số tận cùng số 51994 là 5625 Bài toán 23: Tìm số lớn nhất, số nhỏ các số tự nhiên dạng: 1x y3 z chia hết cho Giải: - Số lớn dạng 1x y3z chia hết cho phải có dạng: 19293 z với z {0, 1, 2, ,8, 9} thử với z = 9; 8; 7; 6; đến z = 5, ta có: 1929354 = (275622) Vậy số lớn dạng 1x y3z chia hết cho là 1929354, thương là 275622 - Số nhỏ dạng 1x y3z chia hết cho phải có dạng: 10203 z với z {0, 1, 2, ,8, 9} thử với z = 0; 1; 2; đến z = 3, ta có: 1020334 = (145762) Vậy số nhỏ dạng 1x y3z chia hết cho là 1020334, thương là 145762 Bài toán 24: Tìm số lớn nhất, số nhỏ các số tự nhiên dạng: 1x y3 z chia hết cho 13 Đáp số: - Số lớn dạng 1x y3 z chia hết cho 13 là 1929304 - Số nhỏ dạng 1x y3z chia hết cho 13 là 1020344 Bài toán 25: Tìm tất các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và chia x cho 393 655 có số dư là 210 H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 x -210 chia hết cho 655 x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210 - Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 k < Tính trên máy: Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 Bài toán 26: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, và Giải: - Vì các số 5, 7, đôi nguyên tố cùng nên ta phải tìm các chữ số x, y, z cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315 (9) Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 30 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội 315 khoảng (30 ; 1029): - Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285 - Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600 - Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915 Vậy ta có đáp số sau: x; y; z 2;8;5 ; 6;0;0 ; 9;1;5 Bài toán 27: (Thi Quốc tế IMO 1962): Tìm số nguyên dương nhỏ có tính chất sau: 1) Viết dạng thập phân a có tận cùng là số 2) Nếu bỏ chữ số cuối cùng và đặt chữ số lên trước các chữ số còn lại số gấp lần chữ số ban đầu Giải: - Giả sử số cần tìm có n + chữ số - Từ điều kiện 1) số đó dạng: a1a2 an - Từ điều kiện 2), ta có: 6a1a2 an = a1a2 an (*) - Đặt a a1a2 an , thì: a1a2 an = 10a + 6a1a2 an = 6.10n + a - Khi đó (*) trở thành: 6.10n + a = 4.(10a + 6) 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13 Vì (2 ; 13) = nên: 10 n - chia hết cho 13 Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ để (10n - 4) chia hết cho 13, đó tìm số a và số cần tìm có dạng: 10a + Thử trên máy các giá trị n = 1; 2; thì (10n - 4) là: 6, 96, 996, 9996, 99996, và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996 Khi đó a = 15384 Số cần tìm là: 153846 Bài toán 28: Tìm số tự nhiên n cho: a) 2n + chia hết cho n + b) n + chia hết cho - n H.Dẫn: a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử n = 0, 1, 2, ta n = và n = thì 2n + chia hết cho n + Chứng minh với n 5, ta có 2n + không chia hết cho n + 1, thật vậy: (2n + 7) (n + 1) [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) (n + 1) n Vậy số n cần tìm là b) Tương tự ta có: n = n = IV Thuật toán tìm số chữ số luỹ thừa; 22425 Ví dụ: Tìm xem có bao nhiêu chữ số: 22425 Ta có 22425log(2) = 6750,597653 6751 nên có 6751 chữ số Trong đó log(2) là logarit số 10 V Số có đuôi bất biến với luỹ thừa: 1) Luỹ thừa bậc bất kì các số có chữ số tận cùng ; ; (và số ấy) có chữ số tận cùng ; ; (có đuôi bất biến) (10) 2) Luỹ thừa bậc bất kì các số có chữ số tận cùng 25 76 (và số ấy) có chữ số tận cùng 25 76 (có đuôi bất biến) 3) Luỹ thừa bậc bất kì các số có chữ số tận cùng 376 625 (và số ấy) có chữ số tận cùng 376 625 (có đuôi bất biến) 4) Luỹ thừa bậc bất kì các số có chữ số tận cùng 9376 0625 (và số ấy) có chữ số tận cùng 9376 0625 (có đuôi bất biến) Tìm n chữ số tận cùng luỹ thừa: Để tìm n chữ số tận cùng luỹ thừa, ta tìm dư luỹ thừa đó với 10n n VI Tìm chữ số tận cùng a n -Nếu a có chữ số tận cùng là 0, 1, thì a có các chữ số tận cùng là 0,1,5 -Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3, thì ta có nhận xét sau với k thược số tự 24 k 6 mod10 34 k 1 mod10 k 1 mod10 nhiên khác ; , , n Do đó để tìm chữ số tận cùng a với a có số tận cùng là 2, 3, ta lấy n chia cho r 0,1, 2,3 Giả sử n 4k r với Nếu a 2 mod10 Nếu a 3 mod10 r n k r 6.2 mod10 thì a 2 2 thì a n a k r a r mod10 6.2r mod10 n VII Tìm hai chữ số tận cùng a : 220 76 mod100 320 1 mod100 ; , n 76 76 mod100 với n 1 và Mà Suy kết sau với k N * a 20 k 00 mod100 a 20 k 65 76 mod100 25 mod100 n 25 mod100 a 0 mod10 ; với n 2 a 20 k 01 mod100 ; a 5 mod10 a 20 k 01 mod100 76 mod100 a 1;3; 7;9 mod10 ; a 2; 4; 6;8 mod10 ; ; n Vậy để tìm hai chữ số tận cùng a ta lấy số mũ n chia cho 20 n VIII Tìm ba chữ số tận cùng a : a100 k 000 mod1000 a 0 mod10 Ta có a 1;3; 7;9 mod10 100 k a a100 k 001 mod1000 ; 625 mod1000 a 2; 4; 6;8 mod10 ; a 5 mod10 ; a100 k 376 mod1000 ; Tóm lại tìm ba chữ số tận cùng luỹ thừa, ta tìm hai chữ số tận cùng số mũ IX Khai triển nhị thức Newton và bài toán chia hết: n a b a n Cn1a n 1b Cn2 a n 2b2 Cnn 1abn b n -Ta có khai triển: a n na n 1b n(n 1) n 2 n(n 1)(n 2) n 3 n(n 1) n a b a b a b nab n b n 1.2 1.2.3 1.2 - Khi chứng minh tính chia hết các luỹ thừa, cần nhớ số kết sau: 1) an - bn chia hết cho a - b (a b) 2) a2n + + b2n + chia hết cho a + b (a -b) (11) 3) (a + b)n = BS a + bn Đặc biệt: (a + 1)n = (a - 1)2n = (a - 1)2n + = (BS a: bội số a) BS a + BS a + BS a - Bài toán 29: Tìm số dư chia 2100 cho: a) b) c) 125 Giải: a) Luỹ thừa sát với bội là 23 = = (9 - 1) - Ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS - 1) = BS - = BS + Vậy số dư chia 2100 cho là b) Luỹ thừa sát với bội 25 là 210 = 1024 = (BS 25 - 1) - Ta có: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + Vậy số dư chia 2100 cho 25 là 50.49 50 2100 1 550 50.549 50.5 c) Dùng công thức Newton: Để ý 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 125, hai số hạng chia hết cho125, số hạng cuối là Vậy 2100 = BS 125 + Số dư 2100 chia cho 125 là Tổng quát: Nếu số tự nhiên n không chia hết cho thì chia n100 cho 125 ta số dư là Bài toán 30: Tìm ba chữ số tận cùng 2100 H.Dẫn: - Ta tìm dư phép chia 2100 cho 1000 - Trước hết tìm số dư phép chia 100 cho 125 Theo bài 34: 2100 = BS 125 + 1, mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng nó có thể là (dùng máy tính để thử): 126, 376, 626 876 100 - Hiển nhiên chia hết cho nên ba chữ số tận cùng nó phải chia hết cho Bốn số trên có 376 thoả mãn điều kiện này Vậy ba chữ số tận cùng 100 là 376 Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên chẵn không chia hết cho thì ba chữ số tận cùng n là 376 100 Bài toán 31: Tìm ba chữ số tận cùng 3100 50 Giải: - Ta phân tích sau: 3100 10 1 1050 50.49 10 50.10 = BS 1000 + 500 - 500 + = BS 1000 + Vậy n 100 100 tận cùng là 001 Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên lẻ không chia hết cho thì ba chữ số tận cùng là 001 Bài toán 32: Thay các dấu * các chữ số thích hợp: 896 = 496 * * 290 961 H.Dẫn:- Ta có: (896 - 1) (89 - 1) (896 - 1) 11 (896 - 1) (893 + 1) (896 - 1) (89 + 1) (896 - 1) - Đặt A = (896 - 1) = 496 x y 290 960 Ta có A chia hết cho và 11 (12) Ta có tổng các chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) A bằng: 36 + y ; tổng các chữ số hàng chẵn A bằng: 18 + x A chia hết cho nên: 54 + x + y x + y {0 ; ; 18} A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] 11 x - y {-4 ; 7} + Nếu x + y = thì x = y = (loại) + Nếu x + y = 18 thì x = y = (loại) + Nếu x + y = : chú ý (x + y) và (x - y) cùng chẵn cùng lẻ nên: x - y = x = ; y = Vậy 896 = 496 981 290 961 a)Tìm hai chữ số cuối cùng 812008 Bài toán 33: b)Tìm chữ số hàng nghìn 812008 Giải: a) Ta có: 81 1 mod100 812008 813.812005 813 815 2008 81 81 813 mod100 41 mod100 Vậy hai chữ số cuối là 41 b) Ta có: 200 401 815 4401 mod10000 ;8180 401 mod10000 1000 6001 mod10000 ;81 2000 1 mod10000 81 ; ; 1 mod10000 812008 812000.815.813 1.4401.1441 mod1000 1841 mod10000 2008 nghìn 81 Vậy chữ số hàng là X Dãy số viết theo quy luật: 1 S 1.2.3.4 2.3.4.5 102.103.104.105 Bài toán 34: Tính tổng Giải: 1 1 1 1 S 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 102.103.104 103.104.105 Ta có: 1 1 1.2.3 103.104.105 Tính trên máy: ab /c ( a b / c ( 3 ) ab / c ( 103 104 105 ) : KQ: S 0,055555259 Bài toán 35: a) Đặt S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) Tính S(100) và S(2013) b) Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n+2).Tính P(100) và P(2013) Giải: n(n 1)(n 2) 100.101.102 S 100 343400 3 a) Ta có nên 2013.2014.2015 S 2013 2723058910 S n k (k 1)(k 2) (k (k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k (k 1)(k 2)) b) Có (13) P 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 n( n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)( n 2) Nên = 1 n( n 1)( n 2)(n 3) 2013.2014.2015.2016 P(100)=26527650; P(2013) = Tính trên máy: ( 2013 2014 2015 2016 ) : 12 4.117265072 10 Tính tiếp: 4.11 10 x 12 4117265071920 Vậy S 2013 4117265071920 2013.2014.2015.2016 Hoặc = 2013.2014.2015.504 2045337840.2013 Ta lấy 337840 2013 680071920 viết 071920 giấy và tính tiếp: 680 2045 2013 4117265 nên S 2013 4117265071920 Vậy S 2013 4117265071920 1 1 1 A 1.6 6.11 11.16 2001.2006 2006.2011 2011.2016 Bài toán 36: Tính tổng 1 5n 5n 5n 5n 1 Tổng quát: 1 1 1 1 ; Nhận xét: 1.6 11 6.11 ;…; 2001 2006 2001.2006 ; 2006 2011 2006.2011 1 2011.2016 2011 2016 Do đó 1 1 1 1 2015 1 1 1 A 2001 2006 2006 2011 2011 2016 2016 2016 6 11 11 16 2015 403 A 5.2016 2016 1 1 B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2013.2014.2015 2014.2015.2016 Bài toán 36 Tính tổng Giải: 1 n n 1 n n n 1 n 1 n Tổng quát 1 1 1 Ta có 1.2.3 1.2 2.3 ; 2.3.4 2.3 3.4 ; 3.4.5 3.4 4.5 ;….; 1 1 2013.2014.2015 2013.2014 2014.2015 ; 2014.2015.2016 2014.2015 2015.2016 2 2 2B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2013.2014.2015 2014.2015.2016 Nên 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 2013.2014 2014.2015 2014.2015 2015.2016 1 4062238 2031119 B 0, 02500086159 1.2 2015.2016 2.2015.2016 4062240 Bài toán 36 2012 2013 2014 a) Cho A 1 và B 2 Tính A B 2015 (14) N 32014 26 Tính M N 2013 b) Cho M 1 và Giải: 2013 2014 a)Ta có A 2 Nên A 2 A A 2 22 23 24 22013 22014 22 23 22012 2013 2 2014 A B 2015 22014 22014 2015 2013 2013 2014 b) M 1 3M 3 2M 3M M 3 32 33 32013 32014 (1 32 33 32013 ) 32014 2014 M 1 M N 26 32014 32014 2 26 1 2 26 67108864 Do đó Bài toán 36: Tính tổng 2 2 a) A 1 2013 2015 Hãy xây dựng công thức tổng quát với n = 2015 Tính số đúng A 2 2 b) M 2 2014 2016 Hãy xây dựng công thức tổng quát với n = 2016 Tính số đúng M 2 2 c) C 1 2014 2015 Hãy xây dựng công thức tổng quát với n = 2015 Tính số đúng C d) N 1.2014 2.2013 3.2012 2012.3 2013.2 2014.1 Hãy xây dựng công thức tổng quát với n = 2014 Tính số đúng N Giải: a) Từ bài toán nên ta có A 1.2 2.3 3.4 n 1 n n 1 n n 1 thì B 3 A n 1 n n 1 (*) B 3 A 3 1.2 2.3 3.4 4.5 2014.2015 2015.2016 3 0.1 1.2 2.3 3.4 4.5 2012.2013 2013.2014 2014.2015 2015.2016 3 1 2013 2012 2014 2015 2014 2016 3 1.1.2 3.3.2 5.5.2 2013.2013.2 2015.2015.2 6 12 32 52 20132 20152 Mà B 2015.2016.2017 nên A 12 32 52 20132 20152 12 32 52 2n 1 2015.2016.2017 1365589680 2n 1 2n 2n 3 Tổng quát : Thử lại với n 2015 ta có A 2015 12 32 52 20152 với n N 2015 2016 2017 1365589680 b) Theo bài toán (*) ta có A 1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 2014.2015 2015.2016 2016.2017 B 3 A 2016.2017.2018 mà B 3 A 3 1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 2014.2015 2015.2016 2016.2017 3 3 2014 2013 2015 2016 2015 2017 3 2.2.2 4.4.2 2014.2014.2 2016.2016.2 6 22 42 62 20142 20162 2016.2017.2018 1367622816 Suy M 2 2008 2010 = 2 2 (15) 22 42 62 2n 2n 2n 1 2n Tổng quát: Theo công thức trên với n 2016 ta có: M 2016 2 42 62 20162 2016 2017 2018 1367622816 2 2 c) C 1 2014 2015 1 1 1 1 2014 2015 1 2015 2016 1 1.2 2.3 3.4 2014.2015 2015.2016 2014 2015 2015.2016.2017 2015.2016 2729148240 n n 1 2n 1 12 22 32 52 n Tổng quát: Với bài toán trên với n = 2015 ta có: 2015.2016.4031 2729148240 d) N 1.2014 2.2013 3.2012 2012.3 2013.2 2014.1 1.2014 2014 1 2014 2012 2014 2011 2013 2014 2012 2014 2014 2013 C 2015 12 22 32 20142 20152 1.2014 2.2014 3.2014 2012.2014 2013.2014 2014.2014 1.2 2.3 2012.2013 2013.2014 2014 2014 A 2014 2014.2015 2013.2014.2015 2014.2015.2016 1363558560 Tổng quát: 1.n n 1 n n n 1 n.1 N 2014 n n 1 n 2014.2016.2016 1363558560 Với n = 2014 ta có Bài toán 36: Cho A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010 và B 4 A Tính A và B Từ đó lập công thức tổng quát tính Giải: Tương tự công thức (*) ta có: A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n B 4 A 4 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010 1.2.3.4 2.3.4.4 3.4.5.4 2007.2008.2009.4 2008.2009.2010.4 1.2.3 2.3.4 1 3.4.5 2007.2008.2009 2010 2006 2008.2009.2010 2011 2007 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2007.2008.2009.2010 2008.2009.2010.2011 1.2.3.4 2.3.4.5 2006.2007.2008.2009 2007.2008.2009.2010 2008.2009.2010.2011 Vậy A B 2008.2009.2010.2011 4 1.2.3 2.3.4 n n 1 n Tổng quát: Cách giải 2: Chứng minh : n n 1 n n 3 (16) k k 1 k k 3 k 1 k k 1 k 4k k 1 k từ đó tính tổng A 1.2.3 2.3.4 n n 1 n Chứng minh : Biến đổi vế trái ta được: k k 1 k (k 3) (k 1) 4k k 1 k k (k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k (k 1)(k 2) 4 Rút : = 1.2.3.4 0.1.2.3 áp dụng : 1.2.3 = 2.3.4.5 1.2.3.4 2.3.4 = k k 1 k … n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) 4 n(n+1) (n+2) = Cộng vế với vế ta A n(n 1)(n 2)(n 3) hay A 1.2.3 2.3.4 n n 1 n n n 1 n n 3 1 1 2015 2014 2013 B 2016 ; 2014 2015 Bài toán 36: Cho A A Tính số đúng B Giải: 2015 Lấy tách thành 2015 số thì B viết dạng 2014 2013 2016 B 1 1 1 1 2014 2015 2016 2014 2013 2016 1 1 1 1 2014 2015 2016 = 4 1 1 A 2016 2016 A 2014 2015 2016 2 = Nên B 2016 2016 Ta có 20164 20163 2016 Tính trên máy 2016 ^ 8193540096 Lấy chữ số cuối 8193540096 nhân với 2016 ta được: 1083432576 ta chữ A số cuối là 432576 Tính tiếp 1083 8193 2016 16518171 Vậy B 1 16518171432576 2016 1 1 A 2.3.4 2008 2007 2008 Bài toán 36: Cho Chứng minh A chia hết cho 2009 Giải: Từ đến 2008 có 1004 cặp các phân số cách đầu và cuối ghép lại ta (17) 1 2009 2009 2009 1 1004.1005 Gọi các thừa phụ 2008 2007 1004 1005 1.2008 2.2007 là k1; k2 ; ; k1004 thì A= 2009 k1 k2 k1004 2.3.4 2007.2008 .2.3.4 2007.2008 2009 k1 k2 k1004 Nên A2009 Bài toán 36:: Tìm số tự nhiên x biết rằng: 1 2013 10 x x 1 2015 Giải: Biến đổi vế trái 1 1 2 2 1 1 1 1 2 10 x x 1 2.3 3.4 4.5 x x 1 x x 1 2 3 4 2013 x 2013 1 1 2 2 2015 x 1 2013 x 1 x 2015 x hay x 2015 2015x 2013x 2015 2013 x 2014 Vậy x 2014 Bài toán 37 : Cho S n S 2016 13+23 + + n3 Tính giá trị đúng n n 1 S n Ta có nên 2016.2017 12 S 2016 1 2016 4.133641994 10 Ấn tiếp 3 4.13 10 x 4133641994496 Vậy S(2016) = 4133641994496 Bài toán 38 : Cho S n 15 + 25 + + n5 Tính giá trị đúng Giải : Tương tự ta có công thức tổng quát : S n n n 1 2n S 2016 2n 12 20162 2017 8132543 S 2016 1 2015 2016 12 Do đó 4068289 338688 8132543 1377880664832 8132543 11205673755614727776 5 5 Bài toán 39: Tính các tích sau: 15 9999 A 16 10000 a) B 1 1 21 28 36 1326 b) C 1 1 1.3 2.4 3.5 2013.2015 c) Giải: 15 9999 1.3.2.4.3.5 99.101 1.2.3 99 3.4.5 101 101 101 A 16 10000 2.2.3.3.4.4 100.100 2.3.4 100 2.3.4 100 100 200 a) B 1 1 1 1 21 28 36 1326 6.7 7.8 8.9 51.52 b) (18) 5.8 6.9 7.10 50.53 5.6.7 50 8.9.10 53 53 265 6.7 7.8 8.9 51.52 6.7.8 51 7.8.9 52 51 357 2 20142 C 1 1 1.3 2.4 3.5 2013.2015 1.3 2.4 3.5 2013.2015 c) 2.3.4 2014 2.3.4.5 2014 2014 4028 2013 1 1.2.3.4.5 2013 3.4.5 2015 2015 2015 2015 Bài toán 40 : Với n là số tự nhiên, kí hiệu an là số tự nhiên gần S2016 a1 a2 a3 a2016 n Tính Giải : Trên máy tính để tìm quy luật dãy an : MOED MOED MOED MOED Hay Fix 9 bấm số ALPHA A ALPHA ALPHA B CALC và cho các giá trị n 1, 2,3, 2016 ta tính có dạng nguyên:1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,4,4,4,4,4,4,4 Số xuất lần, số xuất lần, số xuất lần, số xuất lần số k xuất 2k lần, Do đó S2016 2.1 4.2 6.3 2k k 2.44.44 36.45 2(1 22 32 442 ) 36.45 2 44(44 1)(2.44 1) 1620 60360 1 1 4000 3999 3998 3997 3999 Bài toán 41: TínhM= 3999 3998 3997 A 3999 Giải : Xét 3998 3997 3996 4000 4000 4000 4000 1 1 1 1 3999 4000 3999 3998 1 4000 M 4000 1 1 4000 4000 4000 4000 Vậy 2 2 3k + 3k + Bài toán 42: Cho các số a1 , a2 , a3 , a2016 Biết ak = k + k với k = , , 3, …., 2015, 2016 Tính S = a1 + a2 + a3 + + a2016 Giải: 3 k 1 k 3k 3k k 3k 3k k ak 3 3 k k k 1 k k 1 k 1 k2 k Ta có: 1 1 1 - - 3 2016 2017 Do đó: S = a1 + a2 + a3 + + a2016 = 8205738912 8205738912 S 8205738913 2017 8205738913 Vậy Bài toán 43: 1 Tìm tổng các chữ số tất các số dãy:1234567…9998999910000 (19) Giải : Xét dãy số 0,1,2,3 …,9999: Nhân số dãy với 10- không làm thay đổi tổng các chữ số Ta 10000 số gồm chữ số thập phân: 0,0000 ; 0,0001 ; 0,0002 ; … ; 0,9999 Mỗi chữ số 10 chữ số ; 1; 2; ; ; cùng xuất số lần là 10000/10 = 1000 lần vị trí Do đó chữ số xuất tất 1000 = 4000 lần Tổng tất các chữ số đó bằng: 4000(0 + + 2+ … + 9) = 4000.45 = 180000 Do đó tổng các chữ số dãy 1234…9998999910000 là 180001 Bài toán 44: Tính tổng gồm 2016 số hạng Giải: 3 3 3 33 40333 20163 3 3 3 20173 20163 S= 1 3 2 n 1 n3 3n 1 3n 3n an 3n 3n 3n n 1 n3 Ta có Cho n = 1, 2, 3, …, 2016 được: S 4 10 6049 3 2016 1 11 3 2016 2016 2016 Suy S 3.2016 2016 1 2016 3.1008.2017 2016 6101424 Bài toán 45: ( Đề thi khu vực năm học 2010- 2011) Tính giá trị biểu thức sau 1 1 2011.2012.2013.2014 Câu 1: A = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 Giải: 1 1 1 1 S 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 2011.2012.2013 2012.2013.2014 1 1 0, 05555555551 1.2.3 2012.2013.2014 Bài toán 46: ( Đề thi khu vực năm học 2010- 2011) Một số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số đó và viết thêm chữ số vào bên phải chữ số này thì số có chữ số đồng thời số này gấp 34 lần số ban đầu Hãy tìm số đó (Trình bày tóm tắt cách giải) Giải: C1: Gọi số cần tìm là x có chữ số (x N và 1000 x 9999) Ta có : 10x + 100008 = 34x 24x = 100008 x = 4167 C2 : Gọi số cần tìm là : abcd = a.10 b.10 c.10 d (a,b,c,d N và nhỏ 10) Số là : 1abcd8 1.10 10.abcd 10.abcd 100008 1abcd8 34.abcd 10.abcd 100008 34.abcd 24.abcd 100008 abcd 4167 Ta có : Bài toán 47 : ( Đề thi khu vực năm học 2010- 2011) Vậy số cần tìm là 4167 (20) Một mảnh sân hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tương ứng là 7,6m và 11,2m lát kín các viên gạch hình vuông có cạnh 20cm (Cho diện tích các phần tiếp giáp các viên gạch là không đáng kể) Người ta đánh số các viên gạch đã lát từ hết Giả giử trên viên gạch thứ người ta đặt lên đó hạt đậu, trên viên thứ hai người ta đặt lên đó hạt đậu, trên viên thứ người ta đặt lên đó 49 hạt đậu, trên viên thứ người ta đặt lên đó 343 hạt đậu,…và đặt các hạt đậu theo cách đó viên gạch cuối cùng trên sân này Gọi S là tổng số các hạt đậu đã đặt lên các viên gạch sân đó Tìm ba chữ số tận cùng 6S + (Trình bày tóm tắt cách giải) Giải : Số gạch lát trên mảnh sân hình chữ nhật : (7,6 11,2) : ( 0,2)2 = 2128 viên Theo đề ta có : 2126 2127 Cách : S = 2126 2127 2127 2128 đó 7S = 7(1 ) = 2127 2128 = 1+ – = S – + 72128 6S + = 72128 + Cách 2 2126 2127 S = 7+7 (7 1)(1 73 2126 2127 ) 7 = = 2128 2128 2128 S S 6 5 6 = 72128 + Giả sử abc là số tận cùng 72128 , 72128 = k.1000 + abc, nên ta phải tìm 72128 abc (mod 1000) Ta có : 710 249 ( mod 1000) ; 720 2492 001 ( mod 1000) 72120 = (720)106 001( mod 1000) ; ta lại có 78 = 5764801 801 ( mod 1000) 72128 = 72120 78 001 801 801 (mod 1000) 6S + = 72128 + có ba chữ số tận cùng bên phải là ; ; Bài toán 48: ( Đề thi khu vực năm học 2009- 2010) Tìm số dư ( trình bày cách giải) các phép chia sau: 20092010 : 2011 Giải : Ta có 2009 ≡ 4(mod 20 ) 200930 ≡ 415 ≡ 550 (mod 2011) 20092010 ≡ 55067 (mod 2011) Ta có : 5502 ≡ 850 (mod 2011) 5506 ≡ 8503 ≡ 1798 (mod 2011) 55018 ≡ 17983 ≡ 1269 (mod 2011) 55054 ≡ 12693 ≡ 74 (mod 2011) Mà 55012 ≡ 17982 ≡ 1127 (mod 2011) Nên 55067 ≡ 74.1127.550 ≡ (mod 2011) Do đó 20092010 ≡ (mod 2011) Vậy số dư phép chia 20092010 : 2011 là Bài tập nhà: 3411 Bài 1: Cho biết ba chữ số cuối cùng bên phải số 236 Bài 2: Cho biết bốn chữ số cuối cùng bên phải số Bài 3: ag Tìm hai số tự nhiên nhỏ thoả abcdefg (21)