C/m: các tứ giác APBE và AQCE là hình bình hành c C/m: tứ giác BPQC là hình chữ nhật d Tam giác cân ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác BPQC là hình vuông 9 Cho tam giác ABC cân ở A,[r]
(1)Hình học (Chương I) 2010 1) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, D, E là trung điểm cạnh BC, AB, AC a) C/m: ADMC là hình thang b) C/m: ADME là hình chữ nhật c) Gọi I là trung điểm MD C/m: điểm B, I ,E thẳng hang d) F là điểm đối xứng với M qua D Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác ACMF là hình thoi ? 2) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC ( E ∈ AB , F ∈ AC¿ Gọi I là trung điểm BC a) C/m: EF = AH b) C/m: AI vuông góc EF c) Gọi M là trung điểm HB., N là trung điểm HC C/m tứ giác EMNF là hình thang vuông d) Gọi D là trung điểm MN C/m tam giác EDF cân e) Tính độ dài đường trung bình hình thang EMNF biết AB = 6cm, AC = 8cm 3) Cho tam giác ABC vuông A có AC = 20cm, BC = 25cm và AH là đường cao Gọi I là trung điểm AB và K là điểm đối xứng với H qua I a) Tính diện tích tam giác ABC b) C/m: AHBK là hình chữ nhật c) Gọi D là điểm đối xứng B qua H C/m: AKHD là hình bình hành d) Vẽ DE vuông góc AC E Gọi M là trung điểm DC C/m: tam giác HEM vuông 4) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC, AH là đường cao, AM là trung tuyến Trên tia đối tia MA lấy D cho MD = MA a) C/m: ACDB là hình chữ nhật b) Gọi E là điểm đối xứng A qua đường thẳng BC C/m: A, H, E thẳng hàng và tam giác AED vuông, tam giác CEB vuông c) Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AMEB là hình thoi 5) Cho tam giác vuông A Gọi D, E là trung điểm AB và BC Trên tia đối tia DE lấy điểm F cho DF = DE a) C/m: tứ giác ACEF là hình bình hành b) C/m: tứ giác AEBF là hình thoi c) CF cắt AE và AB M và K, tia DM cắt AC N C/m: ADEN là hình chữ nhật d) C/m: KB = 4KD 6) Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AD và BE cắt H Gọi I là trung điểm BC, K là điểm đối xứng H qua I a) C/m: tứ giác BHCK là hình bình hành b) Tính góc ABK c) Gọi O là trung điểm AK C/m: OA = OB = OC AH = 2OI d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC C/m: điểm H, G, O thẳng hàng e) Đường thẳng d qua trung điểm M CH và trung điểm N AB C/m: D và E đối xứng qua d 7) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC) có AH là đường cao và AM là trung tuyến Vẽ tia Mx//AB cắt AC N Trên tia Mx lấy K cho MN = NK a) C/m: Tứ giác AKMB là hình bình hành và AH vuông góc AK b) C/m: Tứ giác AKCM là hình thoi c) Từ C vẽ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng AM Q C/m: tứ giác ACQB là hình chữ nhật (2) d) Tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AKCQ là hình thang cân 8) Cho tam giác ABC cân A, vẽ trung tuyến AM, trên tia AM lấy điểm E cho AM = EM a) C/m: Tứ giác ABEC là hình thoi b) Từ B và C, vẽ các đường vuông góc với BC cắt CA, BA P và Q C/m: các tứ giác APBE và AQCE là hình bình hành c) C/m: tứ giác BPQC là hình chữ nhật d) Tam giác cân ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác BPQC là hình vuông 9) Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BM và CN cắt I, D là điểm đối xứng với I qua M, E là điểm đối xứng với I qua N a) C/m: MNBC là hình thang cân, AEBI là hình bình hành b) C/m: EDCB là hình chữ nhật, AEID là hình thoi c) F là điểm đối xứng với E qua BD Tứ giác DBFC là hình gì? Vì sao? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác AEBI là hình thoi ∘ ^ ^ 10) Cho tứ giác ABCD có C=40 , D=80∘ , AD = BC Gọi E, F ,H ,K là trung điểm AB, CD, DB, AC a) Tính số đo góc HFK b) C/m: HFKE là hình thoi Tính góc EFC 11) Cho tam giác ABC vuông A có AB = 6cm, BC = 12cm Trung tuyến AM, kẻ ME vuông góc AB; MF vuông góc AC a) C/m: AEMF là hình chữ nhật? Tính EF b) Kẻ AH vuông góc BC C/m góc EHF = 90∘ c) Gọi N là điểm đối xứng M qua AC C/m tứ giác AMCN là hình thoi d) C/m: ABCN là hình thang cân tính chu vi nó 12) Cho tam giác ABC có AB < AC, AI là đường cao và điểm D, E ,F theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AB, AC, CB a) C/m: Tứ giác BDEF là hình bình hành b) Điểm J là điểm đối xứng I qua E, tứ giác AICJ là hình gì? Vì sao?0 c) C/m: tứ giác DEFI là hình thang cân d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác BDEF là hình thoi, hình vuông? e) Hai đường thẳng EB và FD cắt K C/m: tứ giác ADKE và KECF co diện tích f) Giả sử DF vuông góc IE C/m: DE + IF = AI g) Gọi H là trung điểm BI, G là trung điểm IC C/m: HE = DG 13) Cho tam giác ABC cân A ( AB > BC) có M, N là trung điểm AB, AC a) C/m: MN//BC; tứ giác BMNC là hình thang cân b) BN cắt CM O Trên tia CM lấy điểm D cho O là trung điểm CD Trên tia BN lấy điểm E cho O la trung điểm BE C/m: OB = OC; tứ giác BDEC là hình chữ nhật c) C/m: tứ giác AEOD là hình thoi d) Gọi H là trung điểm BC, K là hình chiếu H lên OC C/m: đường trung tuyến OI tam giác OHK ( I thuộc HK) vuông góc với BK 14) Cho tam giác ABC vuông C Gọi M, N là trung điểm các cạnh BC và AB Gọi K là điểm đối xứng M qua điểm N a) C/m: MBKA là hình bình hành b) C/m: KACM là hình chữ nhật c) Đường thẳng CN cắt KB Q C/m: BQ = 2KQ d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật KACM là hình vuông? 15) Cho tam giác ABC cân A Gọi CM và BK là trung tuyến Cho BC = 28cm a) Tính MK b) C/m: BMKC là hình thang cân c) Gọi BK cắt CM G Gọi D và Q là trung điểm GB và GC.C/m: DMKQ là hình bình hành d) Gọi AG cắt BC O, gọi E đối xứng với A qua O C/m: ABEC là hình thoi (3) e) Vẽ Kx và My cùng song song với AE cắt BE và CE H và I Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác MKHI là hình vuông 16) Cho tam giác MNK cân M Gọi A, B, C là trung điểm MN, MK, NK Lấy điểm D đối xứng C qua B.C/m: a) NABK là hình thang cân b) MNCD là hình bình hành c) MACB là hình thoi d) MCKD là hình chữ nhật 17) Cho tam giác ABC cân A; D là điểm đối xứng A qua BC a) Gọi F là giao điểm AD và BC Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao? b) Gọi E là điểm đối xứng C qua A C/m: EB vuông góc BC c) Tứ giác ADBE là hình gì? Vì sao? d) Đường thẳng EF cắt AB G C/m: GA= GB e) Đường thẳng CG cắt AF I C/m: IA = IF 18) Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm đường chéo AC và BD Trên đoạn OB lấy điểm I a) Dựng điểm E đối xứng với A qua I Trình bày cách dựng điểm E b) C/m: Tứ giác OIBC là hình thang c) Gọi J là trung điểm CE C/m OIJC là hình bình hành d) Đường thẳng IJ cắt BC F và cắt DC H C/m: tam giác JCH cân FCHE là hình chữ nhật 19) Cho tam giác cân A ( BC < AB); M, N là trung điểm AB, CA a) C/m: Tứ giác MNCB là hình thang cân ∘ ^ b) Cho B=45 Tính các góc còn lại hình thang MNCB c) Gọi P ,Q là trung điểm MN, NC Tìm độ dài đoạn PQ, biết BC = 4cm d) Trong tam giác ABC dựng đường cao CI, gọi H là trung điểm BC C/m: tứ giác MNHI là hình thang cân 20) Cho tam giác cân A, gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AC Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng MN D a) C/m: Tứ giác ABMD là hình bình hành b) C/m: Tứ giác AMCD là hình chữ nhật c) BN cắt CD K Giả sử AK vuông góc AB C/m: tam giác ABC d) Tìm điều kiện tam giác ABC để AMCD là hình vuông 21) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm đường chéo Trên tia AD lấy điểm E cho DE = AB Gọi I là giao điểm BE và CD a) C/m: tứ giác BCED là hình bình hành b) OI//AE và OI= AE c) Từ B dựng đường thẳng vuông góc với BE cắt DC F Gọi M là trung điểm EF C/m: MB = MD Từ đó suy điểm A, C, M thẳng hàng d) C/m: BM vuông góc EF 22) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF Gọi a) C/m: tam giác DEF vuông cân b) Gọi I là trung điểm EF C/m: BI = DI c) Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD C/m: điểm O, I, C thẳng hàng d) Gọi M là điểm đối xứng với D qua I: Tứ giác MEDF là hình gì? C/m Tứ giác MBAI là hình gì? C/m (4) 23) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E thuộc đường chéo BD Trên tia CE lấy điểm F cho EF = EC, kẻ FG vuông góc AB và FH vuông góc AD Đường thẳng FG cắt BD K a) C/m: Tứ giác AGFH là hình chữ nhật b) C/m: FB = KC c) C/m: AF//BD d) C/m: điểm H, G, E thẳng hàng 24) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC) và trung tuyến AM Trên đường thẳng AM lấy điểm D cho M là trung điểm AD C/m: a) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật b) Gọi E là điểm đối xứng A qua BC C/m: AE vuông góc DE c) C/m: Tứ giác BCDE là hình thang cân d) Nếu đoạn AB= BC thì tứ giác ABEM là hình thoi 25) Cho hình thang cân ABCD ( AB < CD; AB//CD ), có các đường cao AH và BK a) C/m: DH = KC b) C/m: AK = BH c) Gọi E là điểm đối xứng với D qua H C/m: ABCE là hình bình hành d) Gọi F là điểm đối xứng với A qua H C/m: ADFE là hình thoi e) C/m: BF qua trung điểm DC 26) Cho tam giác ABC vuông A có I, M, N là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi D là điểm đối xứng với M qua N a) C/m: MN//AB; AB = 2MN; Tứ giác ABMD là hình bình hành b) C/m: Tứ giác AMCD là hình thoi c) AM cắt BD O C/m: các đường thẳng: AM, BD, IN đồng qui O BC d) Tính tỉ số: AM 2+ BN2 +CI2 27) Cho tam giác ABC ( ^ A=90∘ , AB < AC) trung tuyến AM Vẽ tia Mx song song với AB cắt AC H,trên tia Mx lấy điểm K cho MK = AB a) C/m: Tứ giác AKMB là hình bình hành b) C/m: Tứ giác AKCM là hình thoi c) Từ điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng AM Q C/m: tứ giác ACQB là hình chữ nhật d) Tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AKCQ là hình thang cân 28) Cho tam giac ABC vuông cân A ( AB < AC) đường cao AH Từ điểm M bất kì trên cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, cắt AB D và cắt AC E AM cắt ED O a) C/m: AM = DE b) Tính số đo góc DHE c) Giả sử góc BAH góc MAC C/m: DE là đường trung bình tam giác ABC ^ D=2 A H ^D d) C/m: A O e) C/m: AE.EC + AD.DB = CM.MB f) Tìm vị trí điểm M cho tứ giác DEMB là hình bình hành 29) Cho tam giác ABC vuông A M là trung điểm BC, N là trung điểm AC a) C/m: MN vuông góc với AC b) Gọi E là điểm đối xứng với A qua M C/m: ABEC là hình chữ nhật c) Gọi F là điểm đối xứng với B qua N C/m: C là trung điểm EF d) Qua C kẻ Cx//AE cắt tia MN I C/m: AMCI là hình thoi I là trung điểm AF e) Tìm số đo góc ABC để AMCI là hình vuông 30) Cho tam giác ABC vuông A, M là trung điểm BC Từ M vẽ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với AC (5) a) C/m: AHMK là hình chữ nhật b) Gọi E là trung điểm HM C/m: B, E, K thẳng hàng c) Kẻ tia Ax// BC cắt MK D C/m: AD = AM d) C/m: AMCD là hình thoi e) Tìm điều kiện tam giác ABC để AMCD là hình vuông 31) Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, ^ D=70∘ Vẽ BH vuông góc AD ( H thuộc AD) Nối H với trung điểm M DC Kẻ ME vuông góc BH, ME cắt AB N a) Tứ giác MANC, tứ giác MNBC là hình gì? Vì sao? b) C/m: tam giác HMB cân, tam giác HNM cân c) Tính góc HMC 32) Cho hình vuông ABCD, E là điểm đối xứng A qua D a) C/m: tam giác ACE vuông cân b) Từ A kẻ AH vuông góc BE Gọi M, N thứ tự là trung điểm AH, HE C/m: BMNC là hình bình hành c) C/m: góc ANC là góc vuông 33) Dựng phía ngoài tam giác ABC hình vuông ABDE và ACFG ( D và F là đỉnh đối diện với A) Kéo dài trung tuyến AM tam giác ABC đoạn MA’ = AM a) C/m: tam giác ABA’ tam giác AGE b) AM cắt EG N C/m: NA vuông góc GE c) Từ G và E kẻ đường thẳng song song với AE và AG, chúng cắt I C/m: I thuộc đường cao tam giác ABC d) C/m: CI = BF và CI vuông góc với BF; CD = BI và CD vuông góc BI e) C/m: CD, BF, AH đồng quy 34) Cho tam giác ABC vuông A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH, O là trung điểm BC a) Tính BC, AO? b) Gọi O là điểm đối xứng với A qua O C/m: tứ giác ABDC là hình chữ nhật c) Gọi E là trung điểm HC, F là trung điểm AH, M là trung điểm BD C/m: BMEF là hình bình hành d) Tính số đo góc MEA? 35) Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD Gọi E, F là trung điểm AB, DC Gọi G là điểm đối xứng D qua A, H là trung điểm GB, K là chân đường cao kẻ từ B tam giác EBC a) Các tứ giác AGBC; AEFD là hình gì? C/m b) C/m GC và HF cắt E c) C/m BK//ED và BK= ED d) Tìm điều kiện hình bình hành ABCD để Tứ giác AGBC là hình chữ nhật Tứ giác DGBC là hình thang cân 36) Cho tam giác ABC cân A Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB Trên tia đối tia FC lấy điểm H cho F là trung điểm CH Các đường thẳng DE và AH cắt I a) Các tứ giác: DFAI, BFEC, BCAH, DCEF, AFDE, BDIA, BDIH, DCIA là các tứ giác đặc biệt nào? C/m b) Chứng minh F là trọng tâm tam giác HDE c) Tam giác ABC phải có thêm đặc điểm gì để DFAI là hình thang cân? d) Tam giác ABC phải có thêm đặc điểm gì để ADCI là hình vuông? 37) Cho hình bình hành ABCD có AC = AB, hai đường chéo cắt O Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC E, AE cắt BD G; CG cắt AB H a) C/m: AE vuông góc với AD và H là trung điểm AB b) Các tứ giác BCOH; AOEH là hình gì? C/m c) EH và AD cắt I; ACEI; AEBI là hình gì? C/m d) C/m: DE = IC e) C/m: O là trọng tâm tam giác DEH (6) f) Nếu AOEB là hình thang cân thì ABCD có thêm đặc điểm gì? C/m 38) Cho hình bình hành ABCD; O là giao điểm đường chéo Gọi E; F; H là trung điểm AB, BC, OE a) C/m: AF cắt OE H b) DF, DE cắt AC K, L; C/m: AL = LK = KC c) BK cắt DC M C/m: BMDE là hình bình hành d) BL cắt AD N C/m: KL, NF, ME đồng quy e) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì tứ giác MLEK là hình chữ nhật? Hình thoi? Hình vuông? 39) Cho tam giác nhọn ABC, AM, BN, CP là các đường trung tuyến Qua N kẻ đường thẳng song song với PC cắt BC F Các đường thẳng kẻ qua F song song với BN và kẻ qua B song song với CP cắt D a) Các tứ giác CPNF, BDFN là hình gì? Vì sao? b) C/m: Tứ giác PNCD là hình thang c) C/m: AM= DN d) Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì thì tứ giác PNCD là hình thang cân? 40) Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH vuông góc BD H Gọi M, N, P là trung điểm AH, BH, CD a) C/m: DMNP là hình bình hành và MP//CN b) C/m: MN vuông góc AD, DM vuông góc AN Tính góc ANP? c) Gọi E là điểm đối xứng D qua M C/m: điểm E, N, C thẳng hàng d) PE cắt MN và BD I và K C/m: 4EI = 3EK 41) Cho hình vuông ABCD, gọi E, Ftheo thứ tự là trung điểm AB, BC CE cắt DF I a) C/m: CE = DF và CE vuông góc DF b) Kẻ AH vuông góc DF, AH cắt CD K C/m: KD = KC c) Gọi G là trung điểm AD, BG cắt AH M và cắt CE N C/m: MNIH là hình vuông d) C/m: AI = AB 42) Cho hình bình hành ABCD ( AB > AD) Hai tia phân giác góc A và D gặp Q a) C/m: tam giác AQD vuông b) Hai tia phân giác góc B và C gặp N Gọi P là giao điểm AQ và BN Gọi M là giao điểm DQ và CN C/m: MNPQ là hình chữ nhật c) Tia DQ cắt AB R C/m: tam giác ADR cân d) C/m: BRQN là hình bình hành e) C/m: MP = AB – AD 43) Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, AD lấy điểm E và F cho AE= DF Đường thẳng qua E và song song với AD cắt BD K C/m: a) AEKF là hình chữ nhật b) DE = CF; DE vuông góc CF và EF = CK và EF vuông góc CK c) Ba đường CK, BF và DE đồng qui 44) Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC ), kẻ đường cao AH Gọi M là trung điểm AC, trên tia đối tia MH lấy điểm D cho MD = MH a) C/m: tứ giác ADCH là hình chữ nhật b) Gọi E là điểm đối xứng C qua H C/m: ADHE là hình bình hành c) Vẽ EK vuông góc AB K Gọi I là trung điểm AK C/m: KE//HI d) Gọi N là trung điểm BE C/m: HK vuông góc với KN (7)