TỐI ƯU HÓA BÀI TOÁN ĐÓNG GÓI HÌNH CHỮ NHẬT MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN HOÀN CHỈNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG _*** _ BÁO CÁO BÀI ĐỌC CHUN ĐỀ MƠN TRÍ TUỆ NHÂN TẠO BÀI ĐỌC: TỐI ƯU HĨA BÀI TỐN ĐĨNG GĨI HÌNH CHỮ NHẬT MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN HOÀN CHỈNH Sinh viên thực Trần Bá Tùng Đặng Vũ Hạnh Nguyễn Huy Triển Phan Việt Phong Nguyễn Anh Tuấn Phùng Ngọc Duy Nhóm Hà Nội, 7/2013 20083041 20080899 20082751 20083429 20102772 20101256 Mục Lục 1.Giới thiệu 1.1 Tổng quan Các tiêu chuẩn Kỹ thuật giải 3.1 Chiến lược tìm kiếm tổng thể 3.2 Bài toán tối thiểu “khung giới hạn” 3.4 Bài toán ngăn chặn 3.5 Gán khoảng x tọa độ x 3.5.1 Những cắt tỉa 3.5.2 Cắt tỉa với trạng thái lấn át 3.5.3 Sắp xếp biến 3.5.4 Xác định kích thước khoảng 3.6 Biến đổi đóng gói hồn tồn 3.7 Gán trục Y 3.7.1 Mơ hình góc trống 3.7.2 Bản hình chữ nhật Kết thực nghiệm Sự xếp tương đối trường hợp có độ xác cao 5.1 Cơng việc trước 5.2 Chiến lược chung 10 5.3 Vấn đề tối thiểu “khung giới hạn” 10 5.3.1 Tính tốn trước tổng tập 10 5.3.2 Cắt tỉa kết hợp chiều rộng chiều cao 10 5.4 Vấn đề ngăn chặn 10 5.4.1 Gán tọa độ x 10 5.4.2 Hoàn thiện việc chuyển đổi đóng gói 10 5.4.3 Gán tọa độ y 11 5.4.4 Xử lý trường hợp không định hướng 11 5.5 Kết thực nghiệm 11 5.6 Tóm tắt hình chữ nhật xác cao 11 Ứng dụng toán đóng gói hình chữ nhật 12 Kết luận 12 Ý tưởng: Xem xét vấn đề: tìm kiếm tất hình chữ nhật bao quanh có diện tích nhỏ mà chứa tập hình chữ nhật cho trước với điều kiện chúng không chồng lên Vấn đề chuyển thành tốn đóng gói hồn hảo, khơng có khoảng trống cách thêm hình chữ nhật bổ sung Nói chung, thuật toán đưa đại diện cho trạng thái toán, tốt thuật tốn khác quy mơ tốn, việc đánh giá dựa tiêu chuẩn 1.Giới thiệu Chúng ta đề cập đến hình chữ nhật bao quanh gọi “khung giới hạn” Bài toán tối ưu dạng NP-hard Tiêu chuẩn hình vng liên tiếp: tập đơn giản tiêu chuẩn ngày khó cho vấn đề này, u cầu tìm “khung giới hạn” có diện tích nhỏ chứa tập hình vng có kích thước 1x1, 2x2, … , NxN (Korf-2003) Tiêu chuẩn sử dụng để giải thích nhiều ý tưởng báo này, kỹ thuật khơng giới hạn với hình vng, mà cịn áp dụng cho tất hình chữ nhật Đóng gói hình chữ nhật có nhiều ứng dụng thực tế, có mơ hình số vấn đề lập lịch mà cơng việc địi hỏi nguồn lực phân bổ khối liền kề 1.1 Tổng quan - Phần 2: Giới thiệu u tiêu chuẩn - Phần 3: Xem em xét hình thức th đóng gói kỹ thuậật họ - Phần 4: Thu thập p d liệu so sánh công việc củaa với v cách làm trướcc tiêu chuẩn chu tương ứng - Phần 5: Trình rình bày tiêu chuẩn chu hình chữ nhật có kích thướ ớc xác cao, giải pháp kỹ thuậtt m để giải vấn đề kết quảả thực nghiệm So sánh phương pháp để đ cho thấy phương pháp tiếp cận n m tốt - Các phần lại: đưa hướng hư khác cho công việc vi tương lai, kết thúc viết ng việc vi tóm tắt tất đóng góp kếtt qu Các tiêu chuẩn Các tiêu chuẩn mô tả trường hợp với tham số N, giải pháp tối ưu dễ dàng xác nhận định rõ vô hạn trường hợp mà sau khó trước • Tiêu chuẩn hình vng liên tiếp: đề cập mục • Tiêu chuẩn hình chữ nhật liên tiếp khơng định hướng: trường hợp tập hình chữ nhật có kích thước 1x2, 2x3, … , đến Nx(N+1) hình chữ nhật xoay 900 • Tiêu chuẩn tìm kiếm giải pháp tối ưu Simonis O’Sullivan sử dụng kết hợp với tiêu chuẩn hình chữ nhật liên tiếp khơng định hướng, quan tâm đến thời điểm tìm giải pháp tối ưu • Hình chữ nhật với chu vi nhau: - Một hình chữ nhật có kích thước 1xN, 2x(N-1), …, Nx1 có chu vi (2+2N) hình chữ nhật khơng xoay - Hai hình chữ nhật có kích thước 1x(2N-1), 2x(2N-2),…, (N1)x(N+1), NxN có chu vi 4N hình chữ nhật xoay Kỹ thuật giải - Sử dụng kỹ thuật tìm kiếm sâu dần - Sử dụng kỹ thuật tìm kiếm nhánh biên Các phương pháp cũ cố gắng đóng gói hình chữ nhật vào “khung giới hạn” cho trước phương pháp tìm cách tối thiểu kích thước “khung giới hạn” chứa hình chữ nhật Bài tốn chia thành hai loại: toán ngăn chặn toán tối thiểu “khung giới hạn” 3.1 Chiến lược tìm kiếm tổng thể Thực thuật toán thời gian quay lui với trật tự biến động Thuật toán hoạt động giai đoạn trình bày 3.2 Bài toán tối thiểu “khung giới hạn” Một cách giải tìm diện tích tối thiểu tối đa mơ tả tập đối tượng có khả tối ưu “khung giới hạn” Một cách khác cho chiều rộng “khung giới hạn” tìm kích thước cịn lại 3.4 Bài tốn ngăn chặn Chúng cải thiện điềều cách thăm dò vớii giá trị tr tung độ y khác nhau, mơ hình bố trí vị trí biến, hình chữ nhậtt giá trị tr (Huang & Korf, 2009), làm cho đóng gói c a nhanh so với v Simonis O'Sullivan 3.5 Gán khoảng ng x tọa t độ x Đối với trục x, chúng húng ta đưa nh hạn chế sử dụng ng hàm heuristic tỉa t bớt khơng gian lãng phí củaa Korf, sử s dụng biến động để thay thếế xếp lại hàm để tối ưu giá trị gán cho biến bi khoảng x 3.5.1 Những ng th cắt tỉa Thông thường, để đặt đượ ợc tập hợp hình chữ nhậtt R vào khối kh hộp chiều cao H phải thỏa mãn : ∀݄, ෍ ௥ ∈ோ,௛ೝ ஹ௛ ு ‫ݓ‬௥ ݄௥ ൑ ෍ ‫ݒ‬௜ ௜ୀ௛ wr x hr kích thước củaa hình chữ ch nhật r Với hình chữ nhậật chiều cao h khoảng khơng gian trống ng cịn lại l phải có chiều cao h lớn n 3.5.2 Cắt tỉa với ng trạng tr thái lấn át Ở cần hiều u khái niệm ni vị trí đặt khốii đư coi lấn át chừa khoảng ng trống tr mà tất hình chữ nhậtt cịn lại l khơng thể đặt vừa khít theo cách 3.5.3 Sắp xếp biến Có cách: - Sắp xếp khoảng ng X trục tr X theo diện tích Sắp xếp tồn hình chữ ch nhật theo yếu tố phân nhánh Yếu tố phân nhánh đượcc tính theo công thức th : ܾ= ‫ܤ‬௪ − ‫ݎ‬௪ ‫ܤ‬௪ 1 = − ‫ݎܥ‬௪ ‫ݎ ܥ‬௪ ‫ܥ‬ Với Bw chiều rộng khối hộp, rw chiều rộng hình chữ nhật C số chọn chuyên gia Bw – rw vị trí đặt hình chữ nhật cho vừa với khối hộp Crw khoảng vị trí mà ta đặt hình chữ nhật Đối với tiêu chuẩn chu vi vô hướng, thử tất giá trị cho khoảng x cụ thể, sau xoay hình chữ nhật 90 độ thử tập hợp khoảng x khác Trong trường hợp yếu tố nhánh : ܾ= ‫ܤ‬௪ − ‫ݎ‬௪ ‫ܤ‬௪ − ‫ݎ‬௛ ‫ܤ‬௪ ൤ + ൨− + = ‫ݎܥ‬௪ ‫ݎܥ‬௛ ‫ݎ ܥ‬௪ ‫ݎ‬௛ ‫ܥ‬ Ở sau loại bỏ vecto vô hướng số ta thu : 1 ‫ݎ‬௪ + ‫ݎ‬௛ + = ‫ݎ‬௪ ‫ݎ‬௛ ‫ݎ‬௪ ‫ݎ‬௛ Vì theo tiêu chuẩn vô hướng, ta đặt chúng theo thứ tự diện tích giảm dần 3.5.4 Xác định kích thước khoảng Với tiêu chuẩn hình vng liên tục, dùng kích thước khoảng 0.35 lần chiều rộng hình chữ nhật Ta thấy kích thước lớn cải thiện hiệu suất thực với tiêu chuẩn chu vi đồng Vì lấy C=0.55 Ảnh hưởng việc gán khoảng trạng thái lấn át: Với trường hợp hình vng liên tục, hầu hết hình vng có vài vị trí lấn át Do việc phân nhánh gán khoảng x=[0,0] trước thực gán để khoảng không nằm trường hợp bị lấn át 3.6 Biến đổi đóng gói hồn tồn Với giải pháp hoàn chỉnh trục x, chuyển vấn đề sang việc biến đổi đóng gói hồn tồn trước làm việc trục y Một gói hồn chỉnh tốn đóng gói mà k có khoảng trống thừa Sự biến đổi kết thúc 3.7 Gán trục Y Coi hình chữ nhật biến vị trí đặt giá trị, ngược lại so với trước coi vị trí biến cịn hình giá trị Với trục y ta tìm kiếm mẫu gần Sử dụng mơ hình 2D để kiểm ki tra chồng chéo quay lại điểm m không bị b chồng chéo giống luật cắt tỉaa không gian c Korf.ởi việc thêm tập p hình vng 1x1 lấp đầy khoảng trống ng lại l 3.7.1 Mơ hình góc trống Với giảii pháp đóng gói hồn chỉnh ch góc dướii bên trái phải ph lấp đầy Trong trường hợp p này, m góc ta có biến Trong giảii pháp cuối cu cùng, để hình chữ nhậtt vào m góc trống, số lượng biến n góc trống tr với số lượng hình chữ nhậật trường hợp đóng gói hồn chỉnh nh Tập giá trị tập hợp hình chữ ữ nhật chưa đặt vào 3.7.2 Bản hình chữ nhật nh Do thêm hình chữ nhậtt 1x1 từ t việc chuyển đổi đóng gói hồn chỉỉnh, chúng tơi đưa thêm phương án dự phịng vào tốn Một M cách đơn giản n để đ xử lý vấn đề sau Đối vớii m góc trống đặc biệt, t, chúng tơi khơng gi đặt hình chữ nhật n c hình mà thử vị trí Kết thực nghiệm Mơ hình thử nghiệm nghi m HDH Linux 2GHz, 2GB RAM Gói KMP10 (Korf 2010) thử nghiệm m m máy tính tương tự Gói SS08 c Simonis Sullivans 2008 đượcc công bố b vớii máy Windows 3GHz RAM 3.25 GB Thời gian chạy y thuật thu toán với tiêu chuẩn n khác (Vớii N số s lượng hình vng liên tiếp) Sự xếp tương đốii trường trư hợp có độ xác cao Chúng tơi giới thiệu “tiêu chuẩn chu hình chữ nhậtt xác cao không định đ hướng”, nơi mà yêu cầu tìm tấtt c “khung giới hạn” có diện n tích nhỏ nh chứa tập hữu hạn n hình chữ ch nhật khơng định hướng ng có kích thước thư ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ × , × … đến × ଵ ଶ ଶ ଷ ଵ ே ேାଵ b sung thay thay tiêu chuẩn xác thấp Tiêu chuẩn củaa bổ tại, mà n gi bị bỏ qua trường hợp p xác cao Phần cịn lại mụcc đư tổ chức sau Đầu u tiên xem xét m số công việc trước đề xuất giải pháp kỹ thuật khơng bị b ảnh hưởng xác củaa kích thước thư hình chữ nhật t Sau mô tả t chuyển thể khác kỹ ỹ thuật xác thấp củaa chúng tơi sang trường trư hợp xác cao, vớii m số kỹ thuật phát triển n đặc đ biệt cho trường hợp hình chữ nhậật xác cao, cuốii theo dõi kết k thực nghiệm 5.1 Cơng việc trước Cách tiếp cận vị trí tương đối đ củaa Moffitt Pollack (2006) cho việc vi đóng gói hình chữ nhật, loạii tương tự t khơng gian tìm kiếm sử s dụng kế hoạch hạn chế tài nguyên (Weglagz, 1999), hứa h hẹn đượcc miễn mi dịch với vấn đề trường hợp p hình chữ ch nhật có độ xác cao Tuy nhiên, kể k từ có nhiều kỹ thuậtt mà đ mô tả mục trướcc th mở rộng cho cơng việcc đóng gói khơng gian tìm t kiếm m vị v trí tương đối, chúng tơi định nh khn khổ kh vị trí tuyệt đối cố ố gắng giảm thiểu vấn đề đưa bởii số s xác cao Một ví dụ phương pháp s xếp với vị trí hình chữ nhật hầu u hết h nằm phía trái, bên 5.2 Chiến lược chung Đưa ví dụ cho tiêu chuẩn xác cao mô tả số hữu tỉ, nhân tất giá trị với bội chung nhỏ mẫu số để có trường hợp với kích thước ngun Sau áp dụng giải pháp kỹ thuật vị trí tuyệt đối, với cải tiến giải thích sau, để tìm giải pháp tối ưu Mỗi lần tìm thấy, chia tất tọa độ x- y- mô tả giải pháp tối ưu cho số tỉ lệ ban đầu để có giải pháp tối ưu cho vấn đề ban đầu Lưu ý lập đồ giải pháp đến nơi mà tất hình chữ nhật trượt phía trái hay phía nhiều tốt (Chazelle, 1983) 5.3 Vấn đề tối thiểu “khung giới hạn” 5.3.1 Tính tốn trước tổng tập Chúng ta tính tập tất tổng tập trước tìm kiếm Để định hướng hình chữ nhật mà khơng thể ln chuyển chúng, tính hai tập: dựa chiều cao hình chữ nhật đại diện tọa độ y tương ứng, dựa chiều rộng hình chữ nhật đại diện tọa độ x tương ứng Điều khác biệt tạo tổng tập nhỏ so với tập tổng tập tạo từ chiều rộng chiều cao 5.3.2 Cắt tỉa kết hợp chiều rộng chiều cao Nhớ lại thuật toán để giải vấn đề tối thiểu “khung giới hạn” liên tục gọi thuật toán giải vấn đề ngăn chặn Các “khung giới hạn” kiểm tra theo thứ tự không giảm trường hợp với giải pháp tìm thấy 5.4 Vấn đề ngăn chặn 5.4.1 Gán tọa độ x Với hình chữ nhật định hướng, chọn tọa độ x từ tập tổng tập hình chữ nhật Thay tính tốn trước tập hợp làm vấn đề tối thiểu “khung giới hạn”, tạo tự động nốt suốt việc tìm kiếm trước phân nhánh giá trị tọa độ x khác gán 5.4.2 Hoàn thiện việc chuyển đổi đóng gói Sau gán tọa độ x, tạo số hình chữ nhật 1x1 để lấp đầy cho không gian trống trường hợp ban đầu Việc chuyển đổi dẫn đến trường hợp mới, khơng có khơng gian trống, bao gồm hinh chữ nhật 10 ban đầu cộng với hình chữ nhật 1x1 Sau đưa góc trống giải pháp phần, u cầu có hình chữ nhật chưa đặt ban đầu phù hợp đó, hình chữ nhật 1x1, mơ hình góc trống biến hình chữ nhật giá trị Có giải pháp: mở rộng hình chữ nhật có, hai chuyển khơng gian trống vào hình chữ nhật lớn 5.4.3 Gán tọa độ y Sau hồn thiện việc chuyển đổi đóng gói, gán tọa độ y cách yêu cầu hình chữ nhật đặt vào góc có khuynh hướng rỗng Như trước đó, thực thi ràng buộc mà tọa độ y hình chữ nhật phải tổng tập chiều cao hình chữ nhật Lưu ý hình chữ nhật tạo thơng qua hồn thiện việc chuyển đổi đóng gói khơng bao gồm việc tính tốn tổng tập con, chúng đại diện khơng gian rỗng 5.4.4 Xử lý trường hợp không định hướng Với trường hợp khơng định hướng, tính toán chiều cao chiều rộng “khung giới hạn” ban đầu, sinh tập tổng tập đơn sử dụng chiều cao chiều rộng tất hình chữ nhật trường hợp thay giữ chiều rộng tách khỏi chiều cao Tương tự vậy, tạo tập tọa độ x y tương ứng, phải thêm bước thứ tư với danh sách liệt kê mục 5.4.1 thêm chiều cao hình chữ nhật chưa đặt vào phần tử tập tổng tập con, điều thể khả quay hình chữ nhật 5.5 Kết thực nghiệm Chúng ta đưa hai bảng liệu khác nhau, liên quan đến cải tiến vấn đề tối thiểu “khung giới hạn” đo số lượng “khung giới hạn” kiểm tra, khác tổng thời gian CPU để giải vấn đề đóng gói hình chữ nhật 5.6 Tóm tắt hình chữ nhật xác cao Trong phần này, đề xuất tiêu chuẩn bao gồm trường hợp với hình chữ nhật kích thước xác cao kỹ thuật cho việc sử dụng tổng tập đến giới hạn số vị trí phải xem xét, quy tắc để lọc tổng tập cho vấn đề tối thiểu “khung giới hạn” sách ngăn chặn, giải pháp học hỏi từ không khả thi, cách để giảm số lượng hình chữ nhật tạo hồn thiện việc chuyển đổi đóng gói Các kỹ thuật khai thác khơng có tính chất đặc biệt tiêu chuẩn, hữu ích cho hình chữ nhật kích thước xác cao 11 Ứng dụng tốn đóng gói hình chữ nhật Một ứng dụng tốn đóng gói hình chữ nhật lập lịch Vấn đề đóng gói hình chữ nhật khái niệm trừu tượng vấn đề lập lịch nơi mà yêu cầu khác có lượng thời gian khác nhau, tất yêu cầu số lượng khác nguồn chiều phải phân bố liên tiếp nhau, chẳng hạn nhớ máy tính Chiều rộng hộp ranh giới trở thành tổng thời gian, chiều cao tổng nguồn lực sẵn có, cơng việc trở thành hình chữ nhật với chiều rộng tương đương với khoảng thời gian chiều cao tương đương với số lượng tài nguyên cần thiết Đó phần lớn thời gian nhà đóng gói hình chữ nhật sử dụng để gán tọa độ x hình chữ nhật, tùy thuộc vào tích lũy ràng buộc, mà với tọa độ x hộp ranh giới, tổng chiều cao hình chữ nhật chồng lên tọa độ x không vượt chiều cao hộp ranh giới Đây phần nhỏ quan trọng vấn đề đóng gói hình chữ nhật mơ hình lên vấn đề chung biết đến vấn đề lập lịch ràng buộc tài nguyên Điều tương tự vấn đề lập lịch mô tả trên, ràng buộc tài nguyên phân bố liên tiếp Ví dụ, lập lịch yêu cầu xe thăm dò hành tinh với ngân sách lượng hạn chế, tổng nhu cầu lượng tất nhiệm vụ hoạt động thời gian định vượt ngân sách lượng cỗ xe Như vậy, phần nhỏ đóng gói hình chữ nhật sử dụng để giải vấn đề lập lịch tổng quát Kết luận Vấn đề đóng gói hình chữ nhật đơn giản, hiểu chơi trò chơi trẻ Tuy nhiên, nghiên cứu thập kỷ qua mô tả cho thấy thuật toán hiệu phức tạp Nếu thuật toán tốt cho vấn đề đơn giản phức tạp, có khả thuật toán tốt cho vấn đề phức tạp cịn phức tạp nữa, phần khơng khích lệ Phần khích lệ lịch sử nghiên cứu ý tưởng dẫn đến thứ tự cường độ cải thiện so với trạng thái trước vấn đề lớn, cho thấy cịn tiến trình quan trọng cần thực vấn đề này, phần mở rộng khác Tài liệu tham khảo: E Huang and R E Korf (2013) "Optimal Rectangle Packing: An Absolute Placement Approach", Volume 46, pages 47-87 12