Đại số của tích đan và các dạng tương đương

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) ĐẠI SỐ CỦA TÍCH ĐAN VÀ CÁC DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG Bùi Văn Chiến, Bùi Văn Hiếu Khoa Toán, Trường đại học Khoa học, Đại học Huế Email: bvchien@hueuni.edu.vn Ngày nhận bài: 27/9/2018; ngày hoàn thành phản biện: 8/11/2018; ngày duyệt đăng: 10/12/2018 TĨM TẮT Mục đích báo trình bày dạng tổng qt tích đan (shuffle product) tích stuffle dựa tham số q hoạt động trường mở rộng trường số hữu tỉ Những đại số Hopf từ hình thành tương ứng tích chúng tơi chứng minh chúng đẳng cấu với đại số Hopf tích đan ban đầu Từ khóa: Đại số Hopf; tích đan; đại số quasi-shuffle; đại số từ vựng GIỚI THIỆU Tích đan (shuffle product) lần xuất năm 1953 nghiên cứu Eilenberg MacLane [9] Với bảng chữ (alphabet) A, tích đan hai từ định nghĩa truy hồi công thức1 ∀a, b ∈ A, u, v ∈ A∗ , u ⊔⊔ 1A∗ = 1A∗ ⊔⊔ u = u, au ⊔⊔ bv = a(u ⊔⊔ bv) + b(au ⊔⊔ v) (1) Ngay sau đó, vào năm 1954, Chen [1] sử dụng tích để biểu diễn tích phân lặp Ree [13] chứng minh chuỗi khơng giao hốn hàm mũ đa thức Lie xây dựng dựa trên tiêu chuẩn Friedrichs Chính lẻ mà tích đan đa thức Lie có mối quan hệ chặt chẽ với mở hướng nghiên cứu sâu sau (xem [14]) Hai mươi năm sau, vào năm 1973, Knutson giới thiệu tích khác cơng trình [12], gọi tích stuffle, mang cấu trúc đại số tựa đối xứng (quasi-symmetric) Tích stuffle định nghĩa bảng chữ có số Y = {yk }k∈N≥1 : yk1 , yk2 ∈ Y, u, v ∈ Y ∗ , yk u yk2 v = yk1 (u yk2 v) + yk2 (yk1 u v) + yk1 +k2 (u v) (2) Bài báo trình bày dạng tổng qt hai tích cách tham số hóa, gọi tích q-stuffle, với tham số q hoạt động trường mở rộng trường số hữu tỉ2 [2, 3, 4]: yk1 , yk2 ∈ Y, u, v ∈ Y ∗ , yk u q yk2 v = yk1 (u q yk2 v) + yk2 (yk1 u q v) + qyk1 +k2 (u Từ tích này, cặp đại số Hopf đối ngẫu hình thành (K⟨Y ⟩, q , 1Y ∗ , ∆conc , ε, S q (K⟨Y ⟩, conc, 1Y ∗ , ∆ ) q , ε, Sqconc ) A∗ ký hiệu tập hợp tất từ vựng từ bảng chữ A bao gồm từ rỗng 1A∗ Khi q = hay q = tích trở thành tích đan hay tích stuffle tương ứng q v) Đại số tích đan dạng tương đương Các kết báo phần lớn công bố nghiên cứu [2, 4] chúng tơi trình bày theo hướng khác dựa theo cách dẫn dắt vấn đề luận án [3] (xem thêm [6, 5, 7]) Kết quan trọng báo chứng minh đẳng cấu cấu trúc đại số trường hợp tham số q Chúng chứng minh (xem Định lý 7) ∑ φ(w) = (i1 , , ik )[w] i1 ! ik ! (i1 , ,ik )∈C(|w|) đẳng cấu đại số từ (K⟨Y ⟩, ⊔⊔ ) vào (K⟨Y ⟩, q ) ĐẠI SỐ CỦA TÍCH ĐAN 2.1 Tổ hợp từ vựng Với tập hợp ký tự bất kỳ, A = {ai }i∈I , mà ta gọi bảng chữ (alphabet), dãy hữu hạn chữ xác định từ A∗ ký hiệu tập hợp tất từ tạo nên từ bảng chữ A bao gồm từ rỗng3 , ký hiệu 1A∗ Mỗi chữ từ có độ dài với từ w = ai1 aik , aij ∈ A có độ dài |w| = k Việc đặt liên tiếp hai từ liền để tạo thành từ gọi tích ghép (concatenation product) hai từ Tích ghép viết ∀u, v ∈ A∗ , u.v = uv ∈ A∗ (3) Với bảng chữ cái, ta định nghĩa thứ tự định cho chữ từ vựng hình thành thứ tự từ điển: u ≺ v tồn w, u′ , v ′ ∈ A∗ , , aj ∈ A, ≺ aj cho u = wai u′ , v = waj v ′ (4) Ta ký hiệu K vành giao hốn (có đơn vị) Một đa thức (hình thức) tổ hợp tuyến tính từ A∗ với hệ số K ta ký hiệu K⟨A⟩ tập hợp đa thức Khi ta viết ∑ P ∈ K⟨A⟩ ⇔ P = ⟨P | w⟩w, (5) w∈A∗ ⟨P | w⟩ ký hiệu hệ số từ w đa thức P Khi A∗ với tích ghép phần tử trung hòa 1A∗ lập thành monoid K⟨A⟩ đại số (tự do) không giao hoán A∗ 2.2 Cấu trúc đại số tích đan Từ định nghĩa tích đan cơng thức (1), ta mở rộng tuyến tính tích lên không gian đa thức: ⊔⊔ : K⟨A⟩ ⊗ K⟨A⟩ −→ K⟨A⟩, u ⊗ v −→ u ⊔⊔ v Đối ngẫu4 đối tích [14] xác định ∆⊔⊔ : K⟨A⟩ w −→ K⟨A⟩ ⊗ K⟨A⟩ ∑ −→ ⟨w | u ⊔⊔ v⟩u ⊗ v (6) u,v∈A∗ Cùng với nó, tích ghép, ký hiệu conc, mở rộng tuyến tính tương tự cặp cấu trúc đại số Hopf đối ngẫu [14] hình thành H⊔⊔ := (K⟨A⟩, conc, 1A∗ , ∆⊔⊔ , ε) H⊔∨⊔ := (K⟨A⟩, ⊔⊔ , 1A∗ , ∆conc , ε), (7) ε ánh xạ lấy số tự đa thức, tức ε : K⟨A⟩ −→ K, P −→ ⟨P | 1A∗ ⟩ Từ rỗng dãy khơng có ký tự Hai tích đối ngẫu theo nghĩa: với u, v, w ∈ A∗ , ⟨∆⊔⊔ (w) | u ⊗ v⟩ = ⟨w | u ⊔⊔ v⟩ (8) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) ĐẠI SỐ CỦA TÍCH q-STUFFLE 3.1 Định nghĩa tích q-stuffle Chúng xét bảng chữ gồm vô hạn ký tự Y := {yk | k ≥ 1} với thứ tự từ điển5 y1 ≻ y2 ≻ Với tham số q hoạt động trường mở rộng trường số hữu tỉ, tích q-stuffle xác định công thức truy hồi sau Định nghĩa ([2, 3, 4]) Với yk1 , yk2 ∈ Y u, v ∈ Y ∗ , u yk1 u q 1Y ∗ q yk2 v = 1Y ∗ qu = yk1 (u (9) = u, q yk2 v) + yk2 (yk1 u q v) + qyk1 +k2 (u q v) (10) i) Với y2 y1 , y3 y1 y2 ∈ Y ∗ , ta có Ví dụ y2 y1 q y3 y1 y2 = y2 (y1 q y1 y2 ) + qy5 (y1 q y1 y2 ) y2 y1 y3 y1 y2 + 2y2 y3 y1 y2 + y2 y3 y1 y2 y1 + qy2 y3 y1 y3 + qy2 y3 y22 qy2 y4 y1 y2 + 2y3 y2 y12 y2 + y3 y2 y1 y2 y1 + qy3 y2 y1 y3 + qy3 y23 y3 y1 y2 y1 y2 + 2y3 y1 y22 y1 + qy3 y1 y2 y3 + qy3 y1 y4 y1 + qy32 y1 y2 qy32 y2 y1 + q y32 y3 + 2qy5 y12 y2 + qy5 y1 y2 y1 + q y5 y1 y3 + q y5 y22 = + + + q y3 y1 y2 ) + y3 (y2 y1 Bằng cách dựng bảng ô vuông với cạnh tương ứng với chữ dựng nên hai từ y2 y1 , y3 y1 y2 , đoạn xiên tương ứng với tham số q chữ có số tổng hai số chữ cạnh vng tương ứng, ta quan sát tích cách tìm đường dạng phải-trên-xiên6 từ điểm A đến điểm B Chẳng hạn: •B •B y3 y y 1 qy5 y1 y2 y1 ; y2 y5 y2 • A y3 y1 • A y3 y2 q y33 ; y3 y1 y2 Tích q-stuffle hai từ y2 y1 , y3 y1 y2 tổng tất đường từ A đến B theo cách ii) Khi q = 1, tích stuffle (thường ký hiệu gọn y2 y1 y3 y1 y2 ): = y2 (y1 y3 y1 y2 ) + y3 (y2 y1 y1 y2 ) + y5 (y1 y1 y2 ) = y2 y1 y3 y1 y2 + 2y2 y3 y12 y2 + y2 y3 y1 y2 y1 + y2 y3 y1 y3 + y2 y3 y22 + + y2 y4 y1 y2 + 2y3 y2 y12 y2 + y3 y2 y1 y2 y1 + y3 y2 y1 y3 + y3 y23 y3 y1 y2 y1 y2 + 2y3 y1 y22 y1 + y3 y1 y2 y3 + y3 y1 y4 y1 + y32 y1 y2 + y32 y2 y1 + y32 y3 + 2y5 y12 y2 + y5 y1 y2 y1 + y5 y1 y3 + y5 y22 iii) Khi q = 0, bảng vng khơng cịn đoạn xiên, đường lúc có dạng phải-trên, ta có tích đan: y2 y1 ⊔⊔ y3 y1 y2 = = y2 (y1 ⊔⊔ y3 y1 y2 ) + y3 (y2 y1 ⊔⊔ y1 y2 ) y2 y1 y3 y1 y2 + 2y2 y3 y12 y2 + y2 y3 y1 y2 y1 + 2y3 y2 y12 y2 + y3 y2 y1 y2 y1 + y3 y1 y2 y1 y2 + 2y3 y1 y22 y1 ≻, ≺ ≻lex , ≺lex ký hiệu thứ tự từ điển bảng chữ Đường di chuyển theo hướng sang phải, lên xiên phải Đại số tích đan dạng tương đương 3.2 Cấu trúc đại số tích q-stuffle Để thuận tiện cho việc tính tốn, chúng tơi sử dụng K vành đa thức biến q với hệ số trường Q, i.e K = Q[q] Từ định nghĩa trên, dễ thấy tích q-stuffle có tính giao hốn, kết hợp Điều dẫn đến hệ rằng, ta xem tích q ánh xạ cách mở rộng tuyến tính lên khơng gian đa thức K⟨Y ⟩, q : K⟨Y ⟩ ⊗ K⟨Y ⟩ −→ K⟨Y ⟩, u ⊗ v −→ u q v, ta cấu trúc đại số tích q-stuffle Mệnh đề (K⟨Y ⟩, q , 1Y ∗ ) đại số giao hốn, kết hợp có đơn vị Một cách tương tự việc hình thành cấu trúc đại số đối ngẫu tích đan, ta có cấu trúc đại số Hopf đối ngẫu tích q-stuffle Trước tiên, ta định nghĩa đối đại số, đối ngẫu với tích q-stuffle ∆ q : K⟨Y ⟩ −→ K⟨Y ⟩ ⊗ K⟨Y ⟩ ∑ w −→ ⟨w | u v⟩ u ⊗ v (11) u,v∈Y ∗ Đối tích có tương thích với tích ghép mệnh đề sau Mệnh đề ∆ q đồng cấu đại số kết hợp, có đơn vị tích ghép Tức là7 , ∀u, v ∈ Y ∗ , ∆ q (uv) = ∆ q (u)∆ q (12) (v) Từ đối tích ∆ q định nghĩa tập sinh, biến 1Y ∗ thành 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ xác định chữ công thức ∑ yk1 ⊗ yk2 , ∀yk ∈ Y (13) ∆ q (yk ) = yk ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk + q k1 +k2 =k Proof Gọi δ1 ánh xạ xác định chữ δ1 (yk ) = yk ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk + q ∑ yk1 ⊗ yk2 , ∀yk ∈ Y k1 +k2 =k Ta mở rộng ánh xạ lên tồn khơng gian K⟨Y ⟩, gọi ∆1 , theo sơ đồ phổ dụng Y δ1 K⟨Y ⟩ ⊗ K⟨Y ⟩ proj ∆1 K⟨Y ⟩ Qua định nghĩa này, ta thấy ∆1 phân bậc nên xác định ánh xạ đối ngẫu, µ∆1 : K⟨Y ⟩ ⊗ K⟨Y ⟩ → K⟨Y ⟩, thu hẹp từ ánh xạ đối ngẫu ∆1 xác định từ Hom(K⟨Y ⟩ ⊗ K⟨Y ⟩, K) vào Hom(K⟨Y ⟩, K) Tức là, với u, v, w ∈ Y ∗ , ⟨µ∆1 (u ⊗ v) | w⟩ = ⟨u ⊗ v | ∆1 (w)⟩ Ta chứng minh µ∆1 q Thật vậy, dễ thấy với trường hợp có từ rỗng ∑ µ∆1 (u ⊗ 1Y ∗ ) = ⟨u ⊗ 1Y ∗ | ∆1 (w)⟩ w = u w∈Y ∗ Tích ghép khơng gian K⟨Y ⟩ ⊗ K⟨Y ⟩ xác định với u1 , u2 , v1 , v2 ∈ Y ∗ , (u1 ⊗ v1 )(u2 ⊗ v2 ) = u1 u2 ⊗ v1 v2 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) Ta chứng minh công thức truy hồi với yi , yj ∈ Y u, v ∈ Y ∗ sử dụng giả thiết quy nạp (để gọn hơn, ta ký hiệu thay 1Y ∗ cơng thức đây), ∑ ∑ µ∆1 (yi u ⊗ yj v) = ⟨yi u ⊗ yj v | ∆1 (w)⟩ w = ⟨yi u ⊗ yj v | ⊗ 1⟩ + ⟨yi u ⊗ yj v | ∆1 (w)⟩ w w∈Y ∗ = 0+ ∑ w∈Y ∗ ⟨yi u ⊗ yj v | ∆1 (yk w1 )⟩ yk w1 yk ∈Y, w1 ∈Y ∗ ∑ = yk ∈Y, w1 ∈Y ∗ ∑ = ∑ ⟨yi u ⊗ yj v | (yk ⊗ + ⊗ yk + q yk1 ⊗ yk2 )∆1 (w1 )⟩ yk w1 k1 +k2 =k ⟨yi u ⊗ yj v | (yk ⊗ 1)∆1 (w1 )⟩ yk w1 yk ∈Y, w1 ∈Y ∗ ∑ + ⟨yi u ⊗ yj v | (1 ⊗ yk )∆1 (w1 )⟩ yk w1 yk ∈Y, w1 ∈Y ∗ ∑ + ⟨yi u ⊗ yj v | (q yk ∈Y, w1 ∈Y ∗ ∑ yk1 ⊗ yk2 )∆1 (w1 )⟩ yk w1 k1 +k2 =k = ⟨u ⊗ yj v | ∆1 (w1 )⟩ yi w1 + ⟨yi u ⊗ v | ∆1 (w1 )⟩ yj w1 + q⟨u ⊗ v | ∆1 (w1 )⟩ yi+j w1 = yi µ∆1 (u ⊗ yj v) + yj µ∆1 (yi u ⊗ v) + qyi+j µ∆1 (u ⊗ v) Điều chứng tỏ ∆ q = ∆1 Ví dụ ∆ ∆ (y1 ) = = q (y3 ) q y1 ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ y1 , ∆ q (y2 ) = y2 ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ y2 + qy1 ⊗ y1 , y3 ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ y3 + q(y1 ⊗ y2 + y2 ⊗ y1 ) Như ta thấy (K⟨Y ⟩, ∆conc , ε) đối đại số Hơn nữa, đối tích ∆conc đối đơn vị ε cịn tương thích với tích q-stuffle hay nói khác hơn, chúng đồng cấu tích qua khẳng định sau Mệnh đề Bq := (K⟨Y ⟩, q , 1Y ∗ , ∆conc , ε) song đại số Proof Với u, v ∈ Y ∗ , dễ thấy ε(u q v) = ε(u) q ε(v) nhờ tính bảo tồn bậc tích q-stuffle Tiếp theo, dựa vào tính đối ngẫu, ta chứng minh ∆conc đồng cấu tích q-stuffle, tức ( q ⊗ q ) ◦ τ2,3 ◦ (∆conc ⊗ ∆conc ) = ∆conc ◦ q Thật vậy, với u1 , v1 , u2 , v2 ∈ Y ∗ , ta có ⟨∆conc ◦ q (u1 ⊗ v1 ) | u2 ⊗ v2 ⟩ = ⟨∆conc (u1 q v1 ) | u2 ⊗ v2 ⟩ = ⟨u1 q v1 | conc(u2 ⊗ v2 )⟩ = ⟨u1 ⊗ v1 | (∆ q ◦ conc)(u2 ⊗ v2 )⟩ Vì ∆ q đồng cấu tích ghép (xem Mệnh đề 2), tổng là8 ⟨u1 ⊗ v1 | (conc ⊗ conc) ◦ τ23 ◦ (∆ q ⊗ ∆ q )(u2 ⊗ v2 )⟩ = ⟨( q ⊗ q ) ◦ τ23 ◦ (∆conc ⊗ ∆conc )(u1 ⊗ v1 ) | u2 ⊗ v2 ⟩ Ta có điều cần chứng minh Lưu ý rằng, với định nghĩa trọng từ w = yk1 ykn tổng số tất chữ từ, tức (w) := k1 + + kn , ta thấy tích q-stuffle đối tích ∆conc có tính phân bậc theo trọng từ Điều dẫn đến hệ chúng cấu trúc đại số Hopf [8] Hơn nữa, tính đối ngẫu tích đối tích cho ta cấu trúc đại số Hopf hình thành đồng thời sau τ2,3 ký hiệu ánh xạ tuyến tính biến u ⊗ v thành v ⊗ u với u, v ∈ Y ∗ Đại số tích đan dạng tương đương Mệnh đề (K⟨Y ⟩, conc, 1Y ∗ , ∆ q , ε) song đại số Proof Sử dụng kết Mệnh đề Ta cần chứng minh (K⟨Y ⟩, ∆ q , ε) đối đại số Cũng nhờ mệnh đề này, ta cần chứng minh tính kết hợp đối tích ∆ q chữ Với yk , ta có9 (∆ q ⊗ id)∆ q (yk ) = (id ⊗ ∆ q )∆ q (yk ) (14) Thật vậy, (∆ q ⊗ id)∆ q (yk ) = (∆ ( ⊗ id) yk ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk + q q ∑ yk1 ⊗ yk2 ) k1 +k2 =k = yk ⊗ 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk ⊗ 1Y ∗ ∑ + q yk1 ⊗ yk2 ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ ⊗ yk k1 +k2 =k ∑ + q ( ∑ yk1 ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk1 + q ) yk1,1 ⊗ yk1,2 ⊗ yk2 k1,1 +k1,2 =k1 k1 +k2 =k = yk ⊗ 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ ⊗ yk ∑ + q (yk1 ⊗ yk2 ⊗ 1Y ∗ + yk1 ⊗ 1Y ∗ ⊗ yk2 + 1Y ∗ ⊗ yk1 ⊗ yk2 ) k1 +k2 =k + q ∑ (yk1 ⊗ yk2 ⊗ yk3 ) k1 +k2 +k3 =k Tương tự, ta có (id ⊗ ∆ q )∆ q (yk ) = + yk ⊗ 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ 1Y ∗ ⊗ yk ∑ (yk1 ⊗ yk2 ⊗ 1Y ∗ + yk1 ⊗ 1Y ∗ ⊗ yk2 + 1Y ∗ ⊗ yk1 ⊗ yk2 ) q k1 +k2 =k + q ∑ (yk1 ⊗ yk2 ⊗ yk3 ) k1 +k2 +k3 =k Mặt khác, với chữ yk , (id ⊗ ε) ◦ ∆ q (yk ) = (id ⊗ ε)(yk ⊗ 1Y ∗ + 1Y ∗ ⊗ yk + q ∑ yk1 ⊗ yk2 ) k1 +k2 =k = yk = (ε ⊗ id) ◦ ∆ q (yk ) Hơn nữa, ta biết song đại số (B, µ, 1B , ∆, ε) có tính phân bậc10 , liên thơng (khơng thiết giao hốn), ta tính tốn giải tích lân cận tích chập11 (convolution product), ký hiệu ⋆, theo cách sau Với e = 1B ◦ ε phần tử trung(hịa tích ) ⊕ chập Bằng cách viết IdB = I = e + I + , ta có hai phép chiếu phân tích B = B0 ⊕ B n n≥1 ∑ n 12 Giả sử T (1 + z) = n≥0 an z , ta thiết lập T (I) T (I) = a0 e + ∑ an (I + )⋆n n≥1 id ký⊕ hiệu ánh xạ đồng K⟨Y ⟩ B = n∈N Bn , tất phần tử (µ, 1B , ∆, ε) phân bậc B0 = K.1B 11 Tích chập S, T ∈ Hom(B, B) ∑S ⋆ T = µ ◦ (S ⊗ T ) ◦ ∆ 12 Trên thực tế, với b ∈ B, tổng n≥1 an (I + )⋆n (b) hữu hạn 10 (15) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) Tính tốn rõ ràng tương thích với tích chập với S, T ∈ K[[1∑ + z]], ta có S(I) ⋆ T (I) = ST (I) Điều cho phép ta tính antipode với chuỗi (1 + X)−1 = n≥0 (−1)n X n xa n−1 ∑ X n với chuỗi log(1 + X) = n≥1 (−1)n Đối với việc tồn antipode, biết ∑ S = I ⋆−1 = (e + I + )⋆−1 = (−1)n (I + )⋆n (16) n≥0 Trong trường hợp13 , ta ln có e = S ⋆ I = S ⋆ (e + I + ) = S + S ⋆ I + ⇒ S = e − S ⋆ I + = e − µ ◦ (S ⊗ I + ) ◦ ∆ (17) Để ý rằng, công thức cho ta cách tính truy hồi để tìm antipode ∆+ lũy linh [10] Trong trường hợp khác, việc tính tốn đưa đến antipode mong muốn, chẳng hạn đại số Hopf chứa phần tử kiểu-nhóm (group-like) g ̸= 1, ta có S(g)g = gS(s) = S(g) = g −1 n−1 ◦ (I + )⊗n ◦ Do vậy, giả sử ⋆1 tích chập Hom(Bq , Bq ), (I + )⋆1 n = q n−1 ∆conc , song đại số Bq trở thành đại số Hopf H∨ với antipode S q := (K⟨Y ⟩, q q , 1Y ∗ , ∆conc , ε, S q (18) ), xác định S q (w) := ∑ (−1)k (I + )⋆1 k (w) (19) k≥0 Hơn nữa, antipode S q cịn xác định cơng thức truy hồi [2, 4, 8, 15] : S với từ w, (w) ≥ 1, S q (1Y ∗ ) = 1Y ∗ , S q (w) = − q (S q q (1Y ∗ ) = 1Y ∗ , ⊗ I + )∆conc (w), ∀w ∈ Y ∗ \ {1Y ∗ } (20) Chúng ta trình bày cách tường minh việc xác định công thức Trước hết, với số nguyên dương m, ta gọi J = (i1 , , in ) hợp thành m i1 + .+in = m (với ik ∈ N≥1 ) Mỗi hợp thành tác động lên từ có độ dài m ánh xạ từ KY m → KY n Cụ thể, giả sử w = yk1 ykm , ta định nghĩa J[w] = q m−n yk1 + +ki1 yki1 +1 + +ki2 ykin−1 +1 + +km (21) Ta ký hiệu Cm tập hợp tất hợp thành m Khi antipode xác định công thức Mệnh đề Với w = yk1 ykm ∈ Y ∗ , antipode S q xác định ∑ J[ykm yk1 ] S q (w) = (−1)m (22) J∈Cm Ví dụ Với w = ys1 ys2 ys3 , ta có hợp thành m = tác động tương ứng: J1 J2 = (1, 1, 1) = (2, 1) → J1 [ys1 ys2 ys3 ] = ys1 ys2 ys3 , J3 → J2 [ys1 ys2 ys3 ] = qys1 +s2 ys3 , J4 Do S q (ys1 ys2 ys3 ) = (−1)3 ∑ → J3 [ys1 ys2 ys3 ] = qys1 ys2 +s3 , → J4 [ys1 ys2 ys3 ] = q ys1 +s2 +s3 J[ys1 ys2 ys3 ] = −ys1 ys2 ys3 − q(ys1 +s2 ys3 + ys1 ys2 +s3 ) − q ys1 +s2 +s3 J∈C3 13 = (1, 2) = (3) ∆+ lũy linh địa phương không Đại số tích đan dạng tương đương Proof (Mệnh đề 5) Với từ w = yk1 ykm , khai triển công thức (20), ta S q (w) = − m−1 ∑ S q (yk1 ykj ) q (ykj+1 (23) ykm ) j=0 Từ ta dễ dàng có kết cách sử dụng giả thiết quy nạp (xem [2, 4, 3]) Một cách tương tự, ta xây đựng cấu trúc đại số Hopf (xem [2, 4, 3]) H q := (K⟨Y ⟩, conc, 1Y ∗ , ∆ q , ε, Sqconc ) (24) Trong antipode Sqconc xác định công thức ∑ Sqconc (w) = (−1)k (I + )⋆2 k (w), (25) k≥0 đó, ⋆2 ký hiệu tích chập song đại số (K⟨Y ⟩, conc, 1Y ∗ , ∆ Sqconc (w) = −conc(Sqconc ⊗ I + )∆ q q , ε) Hay rõ (26) (w) Ước lượng công thức này, thu công thức tường minh sau (xem [2, 4, 3]) Mệnh đề Với từ w, ∑ Sqconc (w) = (−1)|v| v, v∈J −1 [w] w = ykm yk1 w = yk1 ykm J −1 [w] := {v | supp(J[v]) = w với J ∈ C|w| } ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC ĐẠI SỐ Cấu trúc đại số Hopf vừa thành lập biến dạng theo tham số q, chúng ln bảo tồn bậc trường hợp Hơn nữa, chúng đẳng cấu với thông qua ánh xạ mà ta xây dựng Xét ánh xạ tuyến tính φ : K⟨Y ⟩ −→ K⟨Y ⟩ với φ(1) = với từ khác rỗng w ∈ Y ∗ , φ(w) = ∑ (i1 , ,ik )∈C(|w|) (i1 , , ik )[w] i1 ! ik ! (27) Ví dụ q q2 φ(ys1 ys2 ys3 ) = ys1 ys2 ys3 + (ys1 +s2 ys3 + ys1 ys2 +s3 ) + ys1 +s2 +s3 Định lý φ thành lập đẳng cấu đại số từ (K⟨Y ⟩, ⊔⊔ ) vào (K⟨Y ⟩, q ) Proof (Xem thêm [11]) Trước hết, ta chứng minh φ đồng cấu, tức với u, v, φ(u ⊔⊔ v) = φ(u) q φ(v) Giả sử u = ys1 ysn , v = yt1 ytm Dễ thấy φ(u ⊔⊔ v) φ(u) q φ(v) đa thức từ có dạng14 [u1 v1 ] [ul vl ], (28) đó, u1 ul = u v1 vl = v với ≤ i ≤ l, có nhiều ui vi từ rỗng Ta thấy rằng, thành phần (28) xuất φ(u) q φ(v) với hệ số (không bao gồm tham số ⊔⊔ v) từ thành phần tích u ⊔⊔ v q) |u1 |!|v1 |! |u Mặt khác, (28) xuất φ(u l |!|vl |! |u1 v1 |! |ul vl |! |u1 |! |ul |!|v1 |! |vl |! 14 sau áp dụng qua ánh xạ φ với hệ số |u1 v1 |! |ul vl |! Với từ w = yk1 ykn , ta ký hiệu [w] = [yk1 ykn ] = q n−1 yk1 + +kn TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) Để chứng minh tính đẳng cấu, ta viết lại φ(w) = ∑ ai1 aik (i1 , , ik )[w], (i1 , ,ik )∈C(|w|) đó, ail = i1l ! , ∀1 ≤ l ≤ k để ý ail hệ số til khai triển Maclaurin hàm số f (t) = exp(t) − Ta chứng minh nghịch đảo φ ψ(w) = ∑ bj1 bjk (j1 , , jk )[w], (j1 , ,jk )∈C(|w|) jl −1 bjl = (−1)jl , ∀1 ≤ l ≤ k, hệ số tjl khai triển Maclaurin f −1 (t) = log(t + 1) miền D = (0, ∞) Thật vậy, với K = (k1 , , kl ) ∈ C(|w|), hệ số K[w] ψφ(w) là15 ∑ bj1 bjl ai1 ai|J| (29) J◦I=K Ta phải chứng minh biểu thức (29) K dãy (1, , 1) cho trường hợp cịn lại Ta thấy điều cách xem biến t1 , t2 , giao hốn (29) hệ số tk11 tkl l khai triển t1 tl = f −1 (f (t1 )) f −1 (f (tl )) Hơn nữa, đồng cấu đại số φ tương thích với đối tích antipode (Xem thêm [11]) để thực đẳng cấu đại số Hopf hai cấu trúc đại số KẾT LUẬN Bằng cách đưa vào tham số q biến dạng, định nghĩa dạng tổng quát tích đan tích stuffle, gọi tắt tích q-stuffle ( q ), có nhiều ý nghĩa tốn học Từ tích này, cặp đại số Hopf đối ngẫu hình thành chúng ln đẳng cấu với trường hợp tham số q Những kết làm tảng cho nghiên cứu sâu chúng tơi sử dụng chúng việc tìm cấu trúc hàm đặc biệt trình bày nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kuo-Tsai Chen Iterated integrals and exponential homomorphisms Proc London Math Soc (3), 4:502 512, 1954 [2] Bui Van Chien Hopf algebras of shuffle and quasi-shuffle & Construction of dual bases Master's thesis, Laboratoire LIPN - Université Paris 13, 2012 [3] Bui Van Chien Développement asymptotique des sommes harmoniques PhD thesis, Laboratoire LIPN - Université Paris 13, 2016 [4] Bui Van Chien, G H E Duchamp, and V Hoang Ngoc Minh Schü enberger's factorization on the (completed) Hopf algebra of q-stuffle product JP J Algebra Number Theory Appl., 30(2):191 215, 2013 [5] Bui Van Chien, G H E Duchamp, and V Hoang Ngoc Minh Structure of polyzetas and explicit representation on transcendence bases of shuffle and stuffle algebras J Symbolic Comput., 83:93 111, 2017 Với J = (j1 , , jl ), I = (i1 , , i|J| ), |J| = j1 + + jl , ta định nghĩa J ◦ I = (i1 + + ij1 , , i|J|−jl +1 + + i|J| ) 15 Đại số tích đan dạng tương đương [6] Bui Van Chien, Gérard H E Duchamp, and Hoang Ngoc Minh Computation tool for the q-deformed quasi-shuffle algebras and representations of structure of MZVs ACM Commun Comput Algebra, 49(4):117 120, 2015 [7] Bui Van Chien, Gérard H E Duchamp, Hoang Ngoc Minh, Ladji Kane, and Cristophe Tollu Dual bases for noncommutative symmetric and quasi-symmetric functions via monoidal factorization J Symbolic Comput., 75:56 73, 2016 [8] Richard Ehrenborg On posets and Hopf algebras Adv Math., 119(1):1 25, 1996 [9] Samuel Eilenberg and Saunders MacLane On the groups H(Π, n) III Ann of Math (2), 60:513 557, 1954 [10] M Hazewinkel Handbook of Algebra Number vol in Handbook of Algebra [11] Michael E Hoffman Quasi-shuffle products J Algebraic Combin., 11(1):49 68, 2000 [12] Donald Knutson λ-rings and the representation theory of the symmetric group Lecture Notes in Mathematics, Vol 308 Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973 [13] Rimhak Ree Lie elements and an algebra associated with shuffles Ann of Math (2), 68:210-220, 1958 [14] Christophe Reutenauer Free Lie algebras, volume of London Mathematical Society Monographs New Series The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993 Oxford Science Publications [15] William R Schmi Antipodes and incidence coalgebras J Combin Theory Ser A, 46(2):264-290, 1987 ALGEBRA OF SHUFFLE PRODUCT AND ITS EQUIVALENCES Bui Van Chien, Bui Van Hieu Faculty of Mathematics, University of Sciences, Hue University Email: bvchien@hueuni.edu.vn ABSTRACT The goal of this paper is to explore a general form of the shuffle and stuffle products by giving a parameter q which belong to a field extension of the field of rational numbers Such a parameter q gives rise to a Hopf algebra which is proved to be isomorphic to the shuffle Hopf algebra Keywords: Hopf algebra; shuffle product; quasi-shuffle product; algebra in words 10 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) Bùi Văn Chiến sinh ngày 14/03/1986 Quảng Nam Năm 2009 ông tốt nghiệp cử nhân khoa học ngành Toán trường Đại học Khoa học – Đại học Huế Năm 2011 ơng hồn thành Master chương trình cao học quốc tế Viện Tốn học Hà Nội tốt nghiệp Master Toán học Học viện Galile – trường Đại học Paris 13 năm 2012 Năm 2016 ông bảo vệ luận án tiến sĩ chuyên ngành Đại số tổ hợp Học viện Galile – trường Đại học Paris 13 Từ 2017 đến nay, ông giảng viên Khoa Toán – trường Đại học Khoa học – Đại học Huế Lĩnh vực nghiên cứu: đại số tổ hợp khoa học máy tính 11 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế 12 Tập 13, Số (2019) ... cấu đại số φ tương thích với đối tích antipode (Xem thêm [11]) để thực đẳng cấu đại số Hopf hai cấu trúc đại số KẾT LUẬN Bằng cách đưa vào tham số q biến dạng, định nghĩa dạng tổng quát tích đan. .. trúc đại số tích q-stuffle Mệnh đề (K⟨Y ⟩, q , 1Y ∗ ) đại số giao hốn, kết hợp có đơn vị Một cách tương tự việc hình thành cấu trúc đại số đối ngẫu tích đan, ta có cấu trúc đại số Hopf đối ngẫu tích. .. sang phải, lên xiên phải Đại số tích đan dạng tương đương 3.2 Cấu trúc đại số tích q-stuffle Để thuận tiện cho việc tính tốn, chúng tơi sử dụng K vành đa thức biến q với hệ số trường Q, i.e K = Q[q]