10 Đề thi thử THPT QG môn Toán Có lời giải (tập 6)

ĐỀ 51 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MƠN TỐN Thời gian: 90 phút Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy SB = Tính thể tích khối chóp S.ABC a A B a C a 3 D a 12 2a Câu Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f(0) = 1, f'(x) liên tục R Giá trị f(3) ∫ f '( x)dx = A B C 10 D Câu Cho a, b số dương tùy ý, ln (a + ab) A ln a.ln(ab) B Câu 4.Họ nguyên hàm hàm số A +C (2 x + 3) B Câu Bất phương trình f ( x) = 2x + ln a ln(1 + b) D ln a + ln ab C − +C (2 x + 3) − ln x + + C D ln x + + C có tập nghiệm (a; b) Khi giá trị b - a x2 −2 x 1  ÷ 2 A C ln a + ln(1 + b) > B -4 C Câu Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x −1 y − z + d: = = −2 D -2 Phương trình sau phương trình tham số d? A x =  y = 2−t  z = −2 + 3t B x =   y = + 2t  z = + 3t Câu Tìm số phức liên hợp số phức A z = 3+i B C x = 1+ t   y = − 2t  z = −2 + 3t D x =  y = 2+ t  z = − 3t z = i(3i + 1) z = −3 + i C z = 3−i D z = −3 − i Câu Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (0; -1; 2), song song với trục Ox vng góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y - 2z +1 = A (P) : 2y + 2z - = B (P) : y + z - = C (P) : y - z + = D (P) : 2x + z - = Câu Số phức z thỏa mãn z = - 8i có phần ảo www.thuvienhoclieu.com Trang A -8 B C D -8i Câu 10 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + Đồ thị hàm số có điểm cực đại A (2; -2) B (0; -2) C (0; 2) D (2; 2) Câu 11 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = x4 – x2 + B y = – x2 + x - C y = -x3 + 3x + D y = x3 - 3x + Câu 12 Cho điểm A (1; 2; 3) hai mặt phẳng (P) :2x + 2y + z +1 = 0, (Q) : 2x - y + 2z - = Phương trình đường thẳng d qua A song song với (P) (Q) A x −1 y − z − = = 1 −4 B C x −1 y − z − = = −6 x −1 y − z − = = D x −1 y − z − = = −2 −6 Câu 13 Cho cấp số cộng (un) có u1 = -5 d = Mệnh đề sau đúng? A u15 = 45 B u13 = 31 C u10 = 35 D u15 = 34 Câu 14 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(-1; 4; 1) Phương trình mặt cầu đường kính AB A ( x+1)2 + (y - 4)2 + (z - 1)2 = 12 B (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 12 C x2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = D x2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = 12 Câu 15 Số giao điểm đường thẳng y = x + đường cong y = x + A B C D Câu 16 Tính chiều cao h hình trụ biết chiều cao h bán kính đáy thể tích khối trụ 8π A h=2 B C h=2 Câu 17 Phương trình z2 + 2z + 10 = có hai nghiệm z1, z2 Giá trị A B D h = 32 C z1 − z2 h= 34 D 2 Câu 18 Hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) = (x - 1) (x -3) với x Phát biểu sau đúng? A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số khơng có điểm cực trị C Hàm số có hai điểm cực trị D Hàm số có điểm cực trị Câu 19 Giá trị biểu thức A log B Câu 20 Tập xác định hàm số A ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) B C y = log ( x − x ) C [ 0; 2] Trang D 16 ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) D ( 0; ) Câu 21.Cho hàm số 2x + m y = f ( x) = x −1 Tính tổng giá trị tham số m để max f ( x ) − f ( x) = x∈[ 2;3] x∈[ 2;3] A -4 B -2 C -1 D -3 Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, AD = , cạnh bên SA vng góc a với mặt phẳng đáy, góc SD mặt phẳng đáy 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp o A B 8π a Câu 23 Cho đường thẳng C 8π a x −1 y +1 z d1 : = = −1 D 4π a 4π a Viết phương trình đường x−2 y z +3 d2 : = = 2 thẳng ∆ qua A (1; 0; 2), cắt d1 vng góc với d2 A x −1 y z − = = −2 B C x −1 y z − = = −1 −1 D x −1 y z − = = −4 x −1 y z − = = −2 Câu 24 Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O, bán kính R Trên đường trịn điểm A, B cho tam giác OAB vng Biết diện tích tam giác SAB R2 (O) lấy hai , thể tích hình nón cho A V= π R 14 B V= C π R 14 V= D π R 14 12 V= π R 14 Câu 25 Cho mặt phẳng (Q): x - y + 2z - = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M, N cho A (P): x - y + 2z + = B (P): x - y + 2z = C (P): x - y + 2z ± = D (P): x - y + 2z - = MN = 2 Câu 26 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy a, góc mặt phẳng (A'BC ) mặt phẳng ( ABC ) 45o Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' A 3a B C a 3 a B x2 − =5 C − log Câu 28 Cho hàm số f(x) liên tục R x +1 f ( x) dx = 10 B 10 C 20 Trang D − log 45 Tính ∫ A 30 a3 Câu 27 Tích tất nghiệm phương trình A D log I= f (3 x − 1) dx ∫1 D Câu 29 Cho hàm số Với giá trị m hai đường tiệm cận đồ thị hàm số 2x − m y= x+m với hai trục tọa độ tạo thành hình vng B m ≠ A m = -2 C m = D m =  m = −2 Câu 30 Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng vng góc chung ∆ hai đường thẳng x −1 y − z − d1 : = = −1 A  x = −3t  d2 :  y = t  z = −1 − 3t B x−2 y−2 z −4 = = −3 −2 x − y +1 z − = = −1 1 C x −1 y − z − = = −1 D x y z +1 = = Câu 31 Có số phức thỏa mãn z - 2018z = 2019 |z| ? A Vô số Câu 32 Biết B C D với a,b số hữu tỉ Giá trị 9(a + b) e I = ∫ x ln xdx = ae3 + b A B 10 C D Câu 33 Cho đa giác có 20 cạnh Có hình chữ nhật (khơng phải hình vng), có đỉnh đỉnh đa giác cho? A 45 B 35 C 40 D 50 Câu 34.Cho hàm số y = x - 2mx + 3m - (với m tham số) Có giá trị tham số m để điểm cực trị đồ thị hàm số nằm trục tọa độ? A B C D Câu 35 Cho đường thẳng điểm A (1; 2; 1) Tìm bán kính mặt cầu có tâm x −1 y − z − d: = = −2 I nằm d, qua A tiếp xúc với mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + = A R = B R = C R = D R = Câu 36 Cho hình trụ có trục OO' có bán kính đáy Một mặt phẳng song song với trục OO' cách OO' khoảng cắt hình trụ theo thiết diện hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho A B 26 3π Câu 37 Cho đường thẳng điểm A, B cho C 3π x +1 y − z − d: = = −2 16 3π D 32 3π Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; -1) cắt d AB = A (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 25 B (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = Trang C (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = D (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 16 Câu 38 Cho hình vng OABC có cạnh chia thành hai phần đường parabol (P) có đỉnh O Gọi S hình phẳng khơng bị gạch (như hình vẽ) Tính thể tích V khối trịn xoay cho phần S quay quanh trục Ox A C B 128π V= V= 128π V= 256π D 64π V= Câu 39 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân có AB = BC = a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SBA = 60° Gọi M điểm nằm AC cho uuur uuuu r Tính khoảng cách AC = 2CM SM AB A B 6a 7 C a 7 Câu 40 Phương trình log 3a 7 có hai nghiệm a 2x −1 ( x − 1) D a 21 = 3x − 8x + a b (với a,b ∈ N* a b phân số tối giản) Giá trị b A B C D Câu 41 Cho hàm số y = f(x) liên tục R có bảng xét dấu đạo hàm sau: x -∞ f'(x) -1 - + + +∞ - Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g (x) = f (x + m) đồng biến khoảng (0; 2) A B C Câu 42 Cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng  x = − 4t  d :  y = + 2t  z = + t D điểm M thuộc d Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác AMB A B Câu 43 Cho phương trình C 2 D log32 x − log x + m − = Tìm tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 thỏa mãn x2 – 81x1 < A B C Trang D Câu 44 Cho hai số phức z1, z2 khác thỏa mãn z1 + z2 z1 z2 số ảo z1 − z2 = 10 Giá trị lớn A 10 B C D 20 10 10 Câu 45 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Biết (-∞; -3)∪(2; +∞) f'(x) > Số nghiệm nguyên thuộc (-10; 10) bất phương trình [f (x) + x - 1](x - x - 6) > A B 10 C D Câu 46 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABC) điểm nằm đoạn thẳng BC Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) góc 600 mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) góc ϕ thỏa mãn Gọi α góc tạo SA mặt cos ϕ = phẳng (ABC) Tính tanα A B C 3 2 D Câu 47 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), biết tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = đường thẳng y = 3x - Giá trị lim x →0 A B 10 3x f (3 x) − f (4 x) + f (7 x) C 31 D 25 Câu 48 Cho hàm số y = f(x) liên tục R cho 11 max f ( x) = f (2) = Xét hàm số x∈[ 0;10] g ( x) = f ( x + x) − x + x + m A Giá trị tham số m để maxg( x) = x∈[ 0;2] B C -1 Câu 49 Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị x = x = Biết D x + f '( x ) lim =2 x →0 2x ∫ f '( x)dx A B C Trang D Tích phân Câu 50 Cho hàm số f(x) = x5 + 3x3 - 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) có nghiệm thuộc [1; 2]? f ( x) + m = x − m A 15 B 16 C 17 D 18 - HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-B 4-D 5-A 6-C 7-D 8-B 9-A 10.C 11-D 12-D 13-B 14-C 15-C 16-A 17-C 18-D 19-B 20-A 21-A 22-A 23-C 24-B 25-A 26-A 27-C 28-D 29-D 30-A 31-B 32-A 33-C 34-A 35-D 36-D 37-D 38-D 39-D 40-D 41-A 42-C 43.C 44-B 45-C 46-C 47-D 48-D 49-B 50-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương pháp Sử dụng định lý Pytago để tính chiều cao hình chóp Sử dụng cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h V = Cách giải: Vì ( SAB ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAC ) ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA Xét tam giác vuông SAB có SA = SB − AB = 3a − a = a Diện tích tam giác ABC S ABC a2 = Thể tích khối chóp 1 a2 a3 VS ABC = SA.S ABC = a = 3 12 Chọn B Câu Phương pháp Sử dụng cơng thức tích phân b ∫ f '( x)dx = f (b) − f (a) a Cách giải: Trang h.S Ta có: ∫ f '( x)dx = = f (3) − f (0) ⇒ f(3) = + f(0) = + = 10 Chọn C Câu Phương pháp Sử dụng công thức loga(bc) = loga b + loga c (0 < a ≠ 1; b, c > ) Cách giải: Ta có ln( a + ab ) = ln( a (1 + b )) = lna + ln(1 + b ) Chọn B Câu Phương pháp Sử dụng công thức nguyên hàm 1 ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C Cách giải: Ta có: 1 ∫ f ( x)dx =∫ x + 3dx = ln x + + C Chọn D Câu Phương pháp Đưa giải bất phương trình có số < a < : a f ( x ) > b ⇔ f ( x ) < log a b Cách giải: Ta có x2 − x 1 1 > ⇔ x − x < log  ÷ 2 2 ⇔ x − x < ⇔ x − x − < ⇔ −1 < x < Tập nghiệm bất phương trình S = (-1; 3) ⇒ a = -1; b = nên b - a = Chọn A Chú ý : Một số em khơng đổi dấu bất phương trình dẫn đến khơng đáp án Câu Phương pháp Tìm VTCP d điểm qua, từ suy phương trình tham số Cách giải: Đường thẳng x −1 y − z + d: = = −2 qua A(1; 2; -2) nhận r làm VTCP u = (1; −2;3) Trang ⇒ d: x = 1+ t   y = − 2t  z = −2 + 3t Chọn C Câu Phương pháp Số phức liên hợp số phức z = a + bi (a, b ∈ R) z = a − bi Cách giải: Ta có z = i (3i + 1) = 3i + i = −3 + i Số phức liên hợp z z = −3 − i Chọn D Câu Phương pháp (P) // Ox (P) ⊥ (Q) uuur r n( P ) ⊥ i  uuur uuur n( P ) ⊥ n(Q ) Cách giải: Gọi uuur VTPT (P) Do (P) // Ox (P) ⊥ (Q) nên uuur r n( P ) ⊥ i n( P )  uuur uuur n( P ) ⊥ n(Q ) Ox có VTPT r (Q) : x + 2y - 2z + l = có VTPT uuur i = ( 1;0;0 ) n(Q ) = ( 1; 2; −2 ) Có r uuur nên chọn uuu r i, n(Q )  = ( 0; 2; ) n(P) = ( 0;1;1)   (P) qua A(0; -1; 2) nhận uuu làm VTPT nên r n(P) = ( 0;1;1) (P) : 0(x - 0) +1(y +1) +1(z - 2) = ⇔ y + z - = Chọn B Câu Phương pháp Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) có phần thực a phần ảo b Cách giải: Phần ảo số phức z = – 8i -8 Chọn A Câu 10 Phương pháp - Tính y' tìm nghiệm y' = Trang - Lập bảng biến thiên hàm số suy điểm cực đại đồ thị hàm số Cách giải: Ta có : x=0 y ' = x − x = ⇔  x = Bảng biến thiên : x -∞ y' 0 y -∞ +∞ +∞ -2 Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số (0; 2) Chọn C Câu 11 Phương pháp Sử dụng cách đọc đồ thị hàm đa thức bậc ba trùng phương bậc bốn Cách giải: Từ hình dáng đồ thị ta thấy hình vẽ đồ thị hàm đa thức bậc ba nên loại đáp án A, B Lại từ hình vẽ ta thấy lim = −∞; lim = +∞ x →−∞ nên có đáp án D thỏa mãn x→+∞ Chọn D Câu 12 Phương pháp Đường thẳng d song song với (P) (Q) uu r uuur ud ⊥ n( P ) r uuur  uu u  d ⊥ n(Q) Cách giải: (P): 2x + 2y + z + = ⇒ uuur VTPT (P) n( P ) = (2; 2;1) (Q): 2x - y + 2z - = ⇒ uuur VTPTcủa (Q) n(Q) = (2; −1; 2) Gọi uu r VTCP đường thẳng d ud Đường thẳng d song song với (P) (Q) uu r uuur ud ⊥ n( P ) r uuur  uu u  d ⊥ n(Q) Có uuur uuur nên chọn uu r  n( P ) , n(Q )  = ( 5; −2; −6 ) ud = (5; −2; −6)   d qua A (1; 2; 3) nhận uu làm VTCP nên r x −1 y − z − ud = (5; −2; −6) = = −2 −6 Trang 10 Đáp án 1-A 2-C 3-C 4-B 5-A 6-D 7-D 8-D 9-A 10-D 11-D 12-D 13-C 14-C 15-A 16-A 17-A 18-C 19-B 20-D 21-D 22-C 23-C 24-C 25-A 26-D 27-A 28-D 29-A 30-A 31-A 32-A 33-C 34-A 35-A 36-B 37-C 38-D 39-D 40-D 41-A 42-D 43-A 44-D 45-A 46-D 47-B 48-C 49-A 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Dựa vào đồ thị ta có: yCD = −1 xCD = Câu 2: Đáp án C Sử dụng công thức: Mệnh đề đúng: a m a n = a m + n a m a n = a m + n Câu 3: Đáp án C Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính r S = 4π r Câu 4: Đáp án B Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) có điểm biểu diễn số phức mặt phẳng Oxy (a;b) Điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy có tọa độ là: ( 2;5) Câu 5: Đáp án A uuu r uuu r 2 AB = ( 1; −3; −3) ⇒ AB = 12 + ( −3) + ( −3) = 19 Câu 6: Đáp án D Để biểu thức B = log (2 x − 1) xác định 2x −1 > ⇔ x > Câu 7: Đáp án D Thể tích khối nón có bán kính đáy R chiều cao h: V = π R h Câu 8: Đáp án D Sử dụng: đồ thị hàm số d x=− c ax + b y= cx + d nhận đường thẳng làm đường tiệm cận đứng Trang 170 a y= c làm đường tiệm cận ngang đường thẳng Ta có: tiệm cận ngang đồ thị hàm số − 2x lim = −2 ⇒ y = −2 x →+∞ x + Câu 9: Đáp án A Hàm số đồng biến ( −1;0 ) Hàm số nghịch biến ( 1; +∞ ) ( −∞; −1) ( 0;1) Câu 10: Đáp án D Số tập gồm k phần tử tập hợp gồm n phân tử là: Số tập gồm phần tử tập hợp gồm phân tử là: Cnk C73 Câu 11: Đáp án D Hàm số y = ( x + 1) xác định x + > ⇔ x > −1 Câu 12: Đáp án D Nhìn hình vẽ Hình bát diện có đỉnh Câu 13: Đáp án C Sử dụng công thức tính đạo hàm ( ln u ) ′ = u′ u −6 x 6x  ln ( − x ) ′ =   − 3x = 3x − Câu 14: Đáp án C Số phức đối z z = − 4i Câu 15: Đáp án A ∫ f ( x ) dx = 2 1 ∫ g ( x ) dx = ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = Câu 16: Đáp án A ∫ ( x + 3) dx = x3 + x + C Câu 17: Đáp án A Ta có: 1 a3 VSABCD = SA.S ABCD = a.a = 3 Câu 18: Đáp án C Ta có: dx ∫ x + = ln x + + C Câu 19: Đáp án B Trang 171 tập hợp tập hợp Thể tích tứ diện có cạnh đơi vng góc cạnh có độ dài a, b, c V= abc Tứ diện ABCD có AB , AC, AD đơi vng góc ⇒ Thể tích khối tứ diện ABCD là: 1 V = AB AC AD = 4.5.3 = 10 ( cm3 ) 6 Câu 20: Đáp án D Ta có: 22 x − x +5 x =1 = ⇔ x2 − x + = ⇔  x =  Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = 1; x = Câu 21: Đáp án D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy [ −2;3]  M = max f ( x ) = f ( 3) =  m = f ( x ) = f ( −2 ) = −2 ⇒ S = M + m = − = Câu 22: Đáp án C Hàm số Hàm số y = sin x xác định y = 2sin x ¡ xác định ¡ nên tập xác định D = ¡ Câu 23: Đáp án C Sử dụng lý thuyết khối đa diện Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng hình vẽ bên dưới, đó: • mặt phẳng tạo cạnh bên trung điểm cạnh đối diện • mặt phẳng tạo trung điểm cạnh bên Câu 24: Đáp án C Vì đường kính mặt cầu a nên bán kính mặt cầu Trang 172 a r= Diện tích mặt cầu a S = 4π  ÷ = π a 2 Câu 25: Đáp án A Ta có y ' = 3x − x = y′ = ⇔   x = −1 Suy hàm số đạt giá trị cực đại x = 1, x = −1 y′ = x Ta có y′′ ( 1) = 6.1 = > y ( 1) = 13 − 3.1 + = Do điểm cực tiểu đồ thị M ( 1;3) Câu 26: Đáp án D Sử dụng công thức phần: b b b a a a ∫ udv = uv − ∫ vdu ∫ x ln ( x − 1) dx = ∫ ln ( x − 1) d ( x ) = x ln ( x − 1) − ∫ x d ( ln ( x − 1) ) = x ln ( x − 1) − ∫ x = x ln ( x − 1) − 2 1   dx = x ln ( x − 1) − ∫  x + + ÷dx x −1 x −1   x − x − ln x − + C = ( x − 1) ln ( x − 1) − x − x + C 2 Câu 27: Đáp án A Đặt t = 2x Khi Vậy ta có t − mt + = có nghiệm khi: = t1.t2 = x1.2 x2 = x1 + x2 ⇒ x1 + x2 = m >   ∆′ = m − ≥ ⇒ m ≥ (luôn thỏa mãn) m ≥ Câu 28: Đáp án D Giải phương trình lượng giác tìm nghiệm trị k ∈¢ x = α + kπ sau cho nghiệm thuộc (0;2019) tìm số giá suy số nghiệm phương trinh cho cos x + cos x − = ⇔ cos x + cos x − = cos x = ⇔ ⇔ x = k 2π ( k ∈ ¢) cos x = −2 ( ktm ) Phương trình có nghiệm thuộc ( 0; 2019 ) Trang 173 ⇔ < k 2π < 2019 ⇔ < k < 321,33 ⇒ k ∈ { 1; 2; ;321} Câu 29: Đáp án A ( Q ) : x + y + z + c = M ( 0; 0;5 ) ∈ ( P ) ⇒ d ( M , ( P ) ) = ( Q ) : x + y + z − = 10 + c c = −3 ⇔ = ⇔ 3 c = −17 ( Q ) : x + y + z − 17 = Câu 30: Đáp án Số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) Ta có: f ′ ( x ) = ⇔ ( x + 1) ( x − 3) ( x + ) Trong x = 3, x = − số nghiệm bội lẻ phương trình x =  = ⇔ x = −   x = −5  nghiệm bội lẻ x = −5 nghiệm bội chẵn nên hàm số có hai điểm cực trị Câu 31: Đáp án A Đặt x + = t ⇒ x = t − ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: ∫ 4+2 x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 x x +1 dx = ∫ t −1 2tdt + 2t 2 t3 −1   1  =∫ dt = ∫  t − 2t + − ÷dt =  t − t + 3t − ln t + ÷ t+2 t+2 3 1 1  14  7  =  − 12 ln ÷−  − ln ÷ = − 12 ln + ln   3  ⇒ a = 7; b = −12; c = ⇒ T = a + b + c = Câu 32: Đáp án A Gọi M trung điểm SC Chứng minh ( ( SBC ) ; ( SCD ) ) = ( BM ; DM ) Tính cạnh BM, DM ,BD sử dụng định lí cosin tam giác BDM Gọi M trung điểm SC Tam giác SBC cân B f ′ ( x ) = ⇒ BM ⊥ SC Xét tam giác SBD có SO trung tuyến đồng thời đường cao Trang 174 ⇒  ∆SBC cân S ⇒ SB = SD = a ∆SCD có SD = CD = a ⇒ ∆SCD Ta có: ngoại tiếp ⇒ ⇒ DM ⊥ SC ( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC  ( SBC ) ⊃ BM ⊥ SC ⇒ ( ( SBC ) ; ( SCD ) ) = ( BM ; DM )  ( SCD ) ⊃ DM ⊥ SC Xét hình chóp B.SAC ta có Ta có: cân D BC = BS = BA = a ⇒ Hình chiếu B lên (SAC) trùng với tâm đường tròn ∆SAC  BO ⊥ AC ( gt ) ⇒ BO ⊥ ( SAC ) ⇒ O   BO ⊥ SO ( SO ⊥ ( ABCD ) ) ∆SAC tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAC vuông cân S ⇒ AC = SO = 2a AC 2a ⇒ SA = SC = = 3 Xét tam giác vng OAB có: OB = AB − OA2 = a − 2a a 2a = ⇒ BD = 2OB = 3 Xét tam giác vng BCM có: BM = BC − MC = a − a2 a = = DM 3 Áp dụng định lí cos tam giác BDM ta có: 2a 2 a 4a + − BM + DM − BD 3 = ⇒ BMD · · cos BMD = = = 90o 2a BM DM Vậy 2 ((·SBC );( SCD)) = 90o Câu 33: Đáp án C Ta có:  z1 = + 2i ⇒ z1 = + = z2 − 2z + = ⇔   z2 = − 2i ⇒ z2 = + = 3 ⇒ z13 z24 = z1 z2 = ( ) ( ) = ( ) = 27 Câu 34: Đáp án A Hàm số y = f ( x) đồng biến ( a; b ) ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0∀x ∈ ( a; b ) Trang 175 hữu hạn điểm Ta có: Với y ′ = −2 f ′ ( − x ) x = ⇒ y′ ( 1) = −2 f ′ ( −1) > ⇒ Loại đáp án B, C, D Câu 35: Đáp án A I = d ∩ ( P ) ⇒ I ( 1;1;1) AH qua A có Suy Mà Tìm A′ ? x = t uuur uur  u AH = n p = ( 1;1;1) ⇒ AH :  y = −1 + t z = + t  H ( t ; t − 1; t + )  −1  H ∈ ( P ) ⇒ H  ; ; ÷  3 3 Ta có: x −1 y −1 z −1  10  uur  −2  A′  ; ; ÷⇒ IA′ =  ; ; ÷⇒ d ′ : = = −2 3 3  3 3 Câu 36: Đáp án B Lập số tự nhiên có chữ số khác từ tập A = { 0;1; 2;3; 4;5;6} ⇒ n ( Ω ) = A75 − A64 = 2160 Gọi A biến cố: “Số lập chia hết cho chữ số 1, 2, ln có mặt cạnh nhau” Giả sử số có chữ số cần tìm Do số cần tìm chia hết TH1: abcde ( a ≠ ) e ∈ { 0;5} e=0 Buộc số 1,2, 3, coi phần tử Sắp xếp số buộc có 3! = cách Chọn vị trí cho buộc (123) có cách chọn Số cách chọn số lại (khác 0, 1,2, 3) cách ⇒ Có 1.6.2.3 = 36 TH2: số e = Buộc số 1, 2, coi phần tử Sắp xếp số buộc có 3! = cách Nếu buộc (123) đứng vị trí (abc), có cách chọn Nếu buộc (123) đứng vị trí (bcd), có cách chọn Trang 176 d ( d ∈ { 0; 4;6} ) a ( a ∈ { 4;6} ) ⇒ Có1.6 ( + ) = 30 ⇒ n ( A ) = 36 + 30 = 66 Vậy P ( A) = n ( A) 66 11 = = n ( Ω ) 2160 360 Câu 37: Đáp án C Gọi A', B' điểm đối xứng A, B qua CD H trung điểm BB’, ta dễ dàng chứng minh C trung điểm AA′ Gọi V1 thể tích khối nón có chiều cao CD, bán kính đáy AC V2 thể tích khối nón cụt có chiều cao CH, bán kính đáy nhỏ BH, bán kính đáy lớn AC V3 thể tích khối nón có chiều cao CH , bán kính đáy BH Kẻ CK ⊥ AD suy ABCK hình vng ⇒ CK = KD = a Áp dụng định lí Pytago tam giác vng CKD ta có: CD = CK + KD = a + a = a Áp dụng định lí Pytago tam giác vng ABC ta có: AC = AB + BC = a + a = a Tam giác vuông CKD vuông cân K: · · KDC = 45° ⇒ BCH = 45° ⇒ ∆BCH ⇒ BH = CH = vuông cân H BC a = 2 1 2π a ⇒ V1 = π AC CD = π a a = 3 ( )  2π a 1 a  a2 a V2 = π CH ( BH + AC + BH AC ) = π + a + a  ÷= 3 12 2 2  1 a a π 2a V3 = π BH CH = π = 3 2 12 Vậy thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD quanh trục CD là: 2π a 2π a 2π a 2π a + − = 12 12 V = V1 + V2 − V3 = Câu 38: Đáp án D Giải phương trình ( f ( u) )′ = để tìm số cực trị hàm số Hoặc lập luận để có số điểm cực trị hàm số f ( u) y = f ( 1− x) y = f ( x) Trang 177 với số điểm cực trị hàm số Từ hình vẽ ta thấy đồ thị nghiệm cắt trục Ox ba điểm phân biệt hay f ′( x) x = 0, x = f ′ ( x )  x = −2 f ' ( x ) = ⇔  x =  x = đổi dấu từ dương sang âm từ âm sang dương, hàm số có hai điểm cực trị Nhận thấy ( 1 − x = −2 x =  ′ f ( − x ) ) = − f ′ ( − x ) = ⇔ 1 − x = ⇔  x = 1 − x =  x = −1 đổi dấu, hàm số x = 1; x = −1 f ′ ( x ) f ( x) Sau tháng thứ nhất, số tiền lại A1 = 200 ( + r ) − Sau tháng thứ hai số tiền lại là: A2 = A1 ( + r ) − = 200 ( + r ) − ( + r ) − … Sau 12 tháng số tiền lại ( A12 = 200 ( + r ) − + ( + r ) + + ( + r ) = 200 ( + r ) = 165, 269 12 ( 1+ r ) −4 11 ) 12 −1 12 12 = 200 ( + r ) − ( + r ) − 1  + r −1 r triệu đồng) Câu 40: Đáp án D Sử dụng tính chất 3 1 I = ∫ xf ( x ) dx = ∫ tf ( t ) dt = −2 Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt Sử dụng công thức b ∫ a Ta có: t = 4−x b b a a f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx 3 1 I = ∫ xf ( x ) dx = ∫ tf ( t ) dt = −2 Đặt t = − x ⇒ dt = − dx Đổi cận x = ⇒ t =  x = ⇒ t = Trang 178 có hai nghiệm có hai điểm cực trị Câu 39: Đáp án D 12 có f ( x) 3 ⇒ I = − ∫ ( − x ) f ( − x ) dx = ∫ ( − x ) f ( x ) dx = −2 3 1 ⇔ I = ∫ xf ( x ) dx + ∫ ( − x ) f ( x ) dx = −4 3 1 ⇔ ∫ ( − x + x ) f ( x ) dx = −4 ⇔ 4∫ f ( x ) dx = −4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = −1 −1 Câu 41: Đáp án A Hàm số Ta có: Đặt y = f ( x) đồng biến ( a; b ) ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) hữu hạn điểm y′ = f ′ ( x − 1) + x − = ⇔ f ′ ( x − 1) + ( x − 1) = t = x −1 ta có Vẽ đồ thị hàm số y′ = f ′ ( t ) + 2t = ⇔ f ′ ( t ) − ( −2t ) = y = f ′ ( t ) y = −2t mặt phẳng tọa độ ta có: Xét y′ ≥ ⇔ f ′ ( t ) ≥ −2t ⇒ thẳng Xét Xét Xét Xét Đồ thị hàm số y = f ′( t ) nằm đường y = −2t x ∈ ( 1; ) ⇒ t ∈ ( 0;1) ⇒ thỏa mãn x ∈ ( −1;0 ) ⇒ t ∈ ( −2; −1) ⇒ x ∈ ( 0;1) ⇒ t ∈ ( −1;0 ) ⇒ không thỏa mãn không thỏa mãn x ∈ ( −2; −1) ⇒ t ∈ ( −3; −2 ) ⇒ không thỏa mãn Câu 42: Đáp án D Gọi V1,V2,V3,V4 thể tích khối ABC A′B′C ′, C ABEF , C C ′E ′F ′, CC ′EFA′B′ V thể tích khối đa diện EFA'B'E'F' Ta có: 3 V3 = CC ′.E ′F ′2 = 1.22 = 4 V1 = AA′ ( AB ) 3 = 1.12 = 4 1 3 V2 = CH AB AE = = 3 2 12 Trang 179 Vậy V = V3 − V4 = V3 − ( V1 − V2 ) =  3 −  − = ÷ ÷  12  Câu 43: Đáp án A Tính số phần tử khơng gian mẫu Gọi A biến cố “Mỗi hàng, cột có số lẻ” Tính số kết thuận lợi biến cố Điền số vào ô vuông ⇒ A: ( ) “Tồn hàng cột khơng có số lẻ” ( ) A ⇒ P A ⇒ P ( A) = − P A ⇒ n ( Ω ) = 9! Gọi A biến cố “Mỗi hàng, cột có số lẻ” ⇒ A: “Tồn hàng cột khơng có số lẻ” Do có số chẵn nên xảy trường hợp có hàng cột khơng có số lẻ Trường hợp 1: Hàng thứ khơng có số lẻ Chọn số chẵn số chẵn điền vào hàng có A34 = 24 cách số cịn lại điền vào cịn lại có 6! Cách ⇒ có 24.6! cách Tương tự cho hàng cịn lại cột lại ( ) n A = 6.24.6! Vậy ( ) P A = 6.24.6! = ⇒ P ( A) = 9! 7 Câu 44: Đáp án D Ta có: SA = SB = AB = a Gọi H trung điểm AB Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Khi đó: SH = Diện tích đáy nên SH ⊥ ( ABCD ) 3a S ABCD = 3a Vậy thể tích khối chóp 3a VS ABCD = SH S ABCD = Note 96: Phương pháp chung Hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, đường thẳng a nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến b đường thẳng a vng góc với mặt phẳng Trang 180 ( P ) ∩ ( Q ) = b   ⇒ a ⊥ ( P) a ⊂ ( Q ) , a ⊥ b  Thể tích khối chóp có diện thích đáy B, chiều cao h Diện tích hình vng có cạnh a V = B.h S = a2 Câu 45: Đáp án A Do  π 3π  x ∈  ; ÷⇒ cos x ∈ [ −1;0 ) 2  Ta có: cos x − ( 2m + 1) cos x + m + = ( 1) ⇔ cos x − (2m + 1) cos x + m = ⇔ cos x(cos x − m) − (cos x − m) =  cos x = ∉ [ −1;0 )  ⇔ (2 cos x − 1)(cos x − m) = ⇔  cos x = m Để phương trình (1) có nghiệm −1 ≤ m < Note: Phương pháp chung Công thức lượng giác bản: cos 2α = cos α − Điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác dạng cos x = m m ∈ [ −1;1] Câu 46: Đáp án D Số phần tử không gian mẫu Ω = 4.4.4.4 = 256 Gọi A biến cố “Một toa có người, toa có người, hai toa cịn lại khơng có ” Có C43 cách chọn người người cách chọn toa cho nhóm người lên Có cách chọn toa cho người cịn lại lên Số kết thuận lợi biến cố A Vậy xác suất cần tính P ( A) = Ω A = C43 4.3 = 48 48 = 256 16 Note 98: Phương pháp chung Công thức xác suất biến cố: P ( A) = n ( A) n ( Ω) Chọn ngẫu nhiên k phần tử n phần tử ta có số cách chọn Trang 181 Cnk Câu 47: Đáp án B lim x →0 x3 + x + − = lim x →0 x2 ( x3 + x + − ) x3 + x + + = lim x →0 ( x +1 ) x3 + x + + = Note 99: Phương pháp chung Bài tốn tìm giới hạn dạng vơ định Dùng phương pháp nhân liên hợp để khử vô định Một số biểu thức liên hợp nhau: • ( a − b ) ( a + b ) = a − b2 • ( a − b ) ( a + ab + b ) = a − b3 Câu 48: Đáp án C Ta có: f ( x ) = x − (2m − 1) x + (2 − m) x + ⇒ f ′ ( x ) = 3x − 2( 2m − 1) x + − m Để hàm số y= f ( x) có cực trị đồ thị hàm số phải trục tung f ′( x) = y = f ( x) phải có hai điểm cực trị nằm phía bên có hai nghiệm phân biệt dương a = ≠  m < −1 ∨ m >   ∆′ = ( 2m − 1) − ( − m ) >    ⇔  S = ( 2m − 1) > ⇔ m > ⇔