Đang tải... (xem toàn văn)
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.. 2 Tìm m để Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt c[r]
(1)Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y (m 1) x mx (3m 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định nó Tập xác định: D = R y (m 1) x 2mx 3m Câu (1) đồng biến trên R y 0, x m Cho hàm số y x 3x mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0) Câu m 3 Cho hàm số y x 3(2 m 1) x m ( m 1) x có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) Câu y ' x 6(2m 1) x 6m(m 1) có (2m 1)2 4(m2 m ) x m y' Hàm số đồng biến trên các khoảng (; m), (m 1; ) x m Do đó: hàm số đồng biến trên (2; ) m m Cho hàm số y x3 (1 2m) x (2 m) x m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến trên 0; Câu Hàm đồng biến trên (0; ) y x 2(1 2m) x (2 m) với x (0; ) 3x x m với x (0; ) 4x 2(6 x x 3) 1 73 Ta có: f ( x ) 6x2 x x 12 (4 x 1) Lập bảng biến thiên hàm f ( x ) trên (0; ) , từ đó ta đến kết luận: f ( x) 1 73 73 f m m 12 Cho hàm số y x 2mx 3m (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2) Ta có y ' x3 4mx x( x m) Câu + m , y 0, x m thoả mãn + m , y có nghiệm phân biệt: m , 0, Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN m m m -1- Vậy m ;1 Cell phone: 0935228284 (2) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội mx (1) xm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 1 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) Câu Cho hàm số y Tập xác định: D = R \ {–m} y m2 ( x m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định y 2 m Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) thì ta phải có m m 1 Kết hợp (1) và (2) ta được: 2 m 1 (1) (2) KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y x x mx m –2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục hoành PT hoành độ giao điểm (C) và trục hoành: x 1 x x mx m – (1) (2) g( x ) x x m (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục 0x PT (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt khác –1 m m3 g(1) m Câu Cho hàm số y x (2m 1) x (m 3m 2) x (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung Câu y 3x 2(2m 1) x (m 3m 2) (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm hai phía trục tung PT y có nghiệm trái dấu 3(m2 3m 2) m x mx (2m 1) x (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía trục tung Câu Cho hàm số y TXĐ: D = R ; y x – 2mx 2m –1 Đồ thị (Cm) có điểm CĐ, CT nằm cùng phía trục tung y có nghiệm phân biệt m m 2m cùng dấu 2m m Câu 10 Cho hàm số y x x mx (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đường thẳng y x Ta có: y ' 3x x m GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -2- Cell phone: 0935228284 (3) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Hàm số có CĐ, CT y ' x x m có nghiệm phân biệt x1; x2 ' 3m m 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 1 m 1 2m Thực phép chia y cho y ta được: y x y ' 2 x 3 3 3 m m 2m 2m x1 ; y2 y x2 x2 y1 y x1 3 3 m 2m 2 x Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là : y 3 Các điểm cực trị cách đường thẳng y x xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y x 2m m (thỏa mãn) TH2: Trung điểm I AB nằm trên đường thẳng y x y y2 x1 x2 m 2m y I xI 1 x1 x2 x1 x2 2 3 2m 2m m0 3 Vậy các giá trị cần tìm m là: m 0; 2 Câu 11 Cho hàm số y x 3mx 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Ta có: y x 6mx ; y x Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m x 2m uur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) AB (2m; 4m3 ) Trung điểm đoạn AB là I(m; 2m3) AB d A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x 2m3 4m m I d 2m m Câu 12 Cho hàm số y x 3mx 3m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x 8y 74 y 3 x 6mx ; y x x 2m Hàm số có CĐ, CT PT y có nghiệm phân biệt m Khi đó điểm cực trị là: A(0; 3m 1), B(2m; 4m3 3m 1) AB(2m; 4m3 ) Trung điểm I AB có toạ độ: I (m;2m3 3m 1) Đường thẳng d: x 8y 74 có VTCP u (8; 1) m 8(2 m3 3m 1) 74 I d A và B đối xứng với qua d m2 AB d AB.u GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -3- Cell phone: 0935228284 (4) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Câu 13 Cho hàm số y x x mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x –2 y – Ta có y x 3x mx y ' x x m Hàm số có cực đại, cực tiểu y có hai nghiệm phân biệt 3m m 1 2 1 Ta có: y x y m x m 3 3 3 Tại các điểm cực trị thì y , đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: 2 y m 2 x m 3 2 Như đường thẳng qua các điểm cực trị có phương trình y m x m 3 nên có hệ số góc k1 m d: x –2 y – y x d có hệ số góc k2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d 12 k1k2 1 m 1 m 23 Với m = thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm chúng là I(1; –2) Ta thấy I d, đó hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Câu 14 Cho hàm số y x 3(m 1) x x m (1) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: y x y ' x 6(m 1) x Hàm số có CĐ, CT ' 9(m 1)2 3.9 m (; 1 3) (1 3; ) 1 m 1 Ta có y x y 2(m 2m 2) x 4m 3 Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm AB y1 2(m2 2m 2) x1 4m ; y2 2(m2 2m 2) x2 4m x x 2(m 1) và: x1 x2 Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y 2(m2 2m 2) x 4m A, B đối xứng qua (d): y AB d x m 1 I d GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -4- Cell phone: 0935228284 (5) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Câu 15 Cho hàm số y x 3(m 1) x x m , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x Ta có y' x 6( m 1) x + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 PT y' có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 PT x 2( m 1) x có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 m 1 ' (m 1) (1) m 1 + Theo định lý Viet ta có x1 x 2( m 1); x1 x2 Khi đó: x1 x x1 x 2 x1 x2 4m 12 12 (m 1)2 3 m (2) + Từ (1) và (2) suy giá trị m cần tìm là m 1 và m Câu 16 Cho hàm số y x (1 2m ) x (2 m) x m , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 x2 Ta có: y ' x 2(1 2m ) x (2 m ) Hàm số có CĐ, CT y ' có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 x2 ) (*) ' (1 2m)2 3(2 m) 4m2 m m m 1 2(1 2m) x1 x2 Hàm số đạt cực trị các điểm x1, x2 Khi đó ta có: m x x 2 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 29 29 4(1 2m)2 4(2 m ) 16m 12m m m 8 29 Kết hợp (*), ta suy m m 1 x (m 1) x 3(m 2) x , với m là tham số thực 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 x2 Câu 17 Cho hàm số y Ta có: y x 2(m 1) x 3(m 2) Hàm số có cực đại và cực tiểu y có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m 5m (luôn đúng với m) x x 2(m 1) x 2m Khi đó ta có: x2 1 x2 3(m 2) x1x2 3(m 2) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -5- Cell phone: 0935228284 (6) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số 8m 16m m Lưu hành nội 4 34 Câu 18 Cho hàm số y x mx –3 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 4 x2 y 12 x 2mx –3 Ta có: m 36 0, m hàm số luôn có cực trị x1 , x2 x1 4 x2 m Khi đó: x1 x2 x1 x2 Câu hỏi tương tự: m a) y x x mx ; x1 2x2 ĐS: m 105 Câu 19 Cho hàm số y (m 2) x 3x mx , m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương PT y ' 3(m 2) x x m = có nghiệm dương phân biệt a (m 2) ' 3m(m 2) ' m 2m 3 m m P m m 3 m 2 0 3(m 2) m m 2 S 3 m2 Câu 20 Cho hàm số y x –3 x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y x tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) Xét biểu thức g( x , y ) x y ta có: g( x A , y A ) 3x A y A 4 0; g( xB , yB ) xB yB điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y x Do đó MA + MB nhỏ điểm A, M, B thẳng hàng M là giao điểm d và AB Phương trình đường thẳng AB: y 2 x x y 3x 4 2 Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: M ; 5 5 y 2 x y GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -6- Cell phone: 0935228284 (7) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Câu 21 Cho hàm số y x (1– 2m ) x (2 – m) x m (m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ y x 2(1 2m ) x m g( x ) YCBT phương trình y có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 4m2 m g(1) 5m m S 2m y x3 3mx 3( m 1) x m m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Câu 22 Cho hàm số Ta có y 3x 6mx 3(m 1) Hàm số (1) có cực trị thì PT y có nghiệm phân biệt x 2mx m2 có nhiệm phân biệt 0, m Khi đó: điểm cực đại A(m 1;2 2m) và điểm cực tiểu B(m 1; 2 2m) m 3 2 Ta có OA 2OB m 6m m 3 2 Câu 23 Cho hàm số y x 3mx 3(1 m ) x m3 m2 (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y 3x 6mx 3(1 m ) PT y có 0, m Đồ thị hàm số (1) luôn có điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y ta được: Khi đó: 1 m y x y x m m 3 3 y1 x1 m2 m ; y2 x2 m m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là y x m m Câu 24 Cho hàm số y x x mx có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y 4 x Ta có: y ' x x m Hàm số có CĐ, CT y ' 3x x m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ' 3m m 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 1 m 1 2m 2 x Thực phép chia y cho y ta được: y x y ' 3 3 3 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -7- Cell phone: 0935228284 (8) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội m m 2m 2m x1 ; y2 y x2 x2 y1 y x1 3 3 m 2m Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là d: y 2 x 3 Đường thẳng qua các điểm cực trị song song với d: y 4 x 2m 4 m (thỏa mãn) m 3 Câu 25 Cho hàm số y x x mx có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x y –5 góc 450 Ta có: y ' x x m Hàm số có CĐ, CT y ' x x m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ' 3m m 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 1 m 1 2m Thực phép chia y cho y ta được: y x y ' 2 x 3 3 3 m m 2m 2m y1 y x1 x1 ; y2 y x2 x2 3 3 m 2m 2 x Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là : y 3 2m Đường thẳng d: x y –5 có hệ số góc Đặt k 1 39 k k 1 k m k 10 4 Ta có: tan 45 k 1 k k m 1 k 4 Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm là: m Câu 26 Cho hàm số y x x m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 4 · 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho AOB 1200 x 2 y m Ta có: y x x ; y x y m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m + 4) uur uur · OA (0; m), OB (2; m 4) Để AOB 1200 thì cos AOB 4 m m(m 4) m (m 4)2 2m(m 4) 2 3m 24m 44 m2 (m 4)2 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -8- Cell phone: 0935228284 (9) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội 4 m 12 12 m m Câu 27 Cho hàm số y x –3mx 3(m –1) x – m3 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2 2) Chứng minh (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định y x 6mx 3(m2 1) ; y x m x m 1 x 1 t Điểm cực đại M (m –1;2 –3m) chạy trên đường thẳng cố định: y 3t x 1 t Điểm cực tiểu N (m 1; 2 – m) chạy trên đường thẳng cố định: y 2 3t x mx (1) 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Câu 28 Cho hàm số y x y x 2mx x( x m ) y x m Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại PT y có nghiệm m Câu 29 Cho hàm số y f ( x) x 2(m 2) x m2 5m (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị (Cm ) hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân x Ta có f x x3 4(m 2) x x m Hàm số có CĐ, CT PT f ( x ) có nghiệm phân biệt m (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A 0; m2 5m 5 , B m ;1 m , C m ;1 m uur uuur AB m ; m 4m , AC m ; m 4m Do ABC luôn cân A, nên bài toán thoả mãn ABC vuông A AB AC m 3 1 m (thoả (*)) Câu 30 Cho hàm số y x 2( m 2) x m 5m C m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành tam giác x Ta có f x x3 4(m 2) x x m Hàm số có CĐ, CT PT f ( x ) có nghiệm phân biệt m (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A 0; m2 5m 5 , B m ;1 m , C m ;1 m GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -9- Cell phone: 0935228284 (10) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội uur uuur AB m ; m 4m , AC m ; m 4m Do ABC luôn cân A, nên bài toán thoả mãn A 600 cos A AB AC m 3 AB AC Câu hỏi tương tự hàm số: y x 4(m 1) x 2m Câu 31 Cho hàm số y x 2mx m m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có góc 1200 x Ta có y x 4mx ; y x ( x m) x m (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m m), B m ; m , C m ; m uur uuur µ AB ( m ; m ) ; AC ( m ; m ) ABC cân A nên góc 120o chính là A uur uuur µ AB AC m m m A 120o cos A uur uuur 2 m4 m AB AC m (loại ) 4 2m 2m m m 3m m m m4 m Vậy m 3 m m4 Câu 32 Cho hàm số y x 2mx m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp x Ta có y x 4mx x ( x m) x m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị PT y có ba nghiệm phân biệt và y đổi dấu x qua các nghiệm đó m Khi đó ba điểm cực trị đồ thị (Cm) là: A(0; m 1), B m ; m m 1 , C m ; m m 1 y y A xC x B m2 m ; AB AC m m , BC m B m AB AC.BC (m m)2 m R 1 m 2m m 4SV ABC 4m m Câu hỏi tương tự: SV ABC a) y x 2mx GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN ĐS: m 1, m 1 - 10 - Cell phone: 0935228284 (11) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Câu 33 Cho hàm số y x 2mx 2m m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có diện tích x Ta có y ' x3 mx g ( x) x m Hàm số có cực trị y ' có nghiệm phân biệt g m m (*) Với điều kiện (*), phương trình y có nghiệm x1 m ; x2 0; x3 m Hàm số đạt cực trị x1 ; x2 ; x3 Gọi A(0; m m ); B m ; m4 m 2m ; C m ; m m m là điểm cực trị (Cm) Ta có: AB AC m m; BC 4m ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm BC M (0; m m2 2m) AM m m2 Vì ABC cân A nên AM là đường cao, đó: S ABC 1 AM BC m 4m m m5 16 m 16 2 Vậy m 16 Câu hỏi tương tự: a) y x 2m x , S = 32 ĐS: m 2 KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO Câu 34 Cho hàm số y = x + 3x + mx + (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng d: y = cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho các tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B và C vuông góc với PT hoành độ giao điểm (1) và d: x x mx x( x x m) d cắt (1) điểm phân biệt A(0; 1), B, C m , m Khi đó: x B , xC là các nghiệm PT: x x m x B xC 3; x B xC m Hệ số góc tiếp tuyến B là k1 x B2 xB m và C là k2 3xC2 xC m Tiếp tuyến (C) B và C vuông góc với k1.k2 1 4m 9m m 65 65 m 8 Câu 35 Cho hàm số y x –3x có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y mx m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để (d) cắt (C) M(–1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): x –(m 3) x – m –2 x 1 ( y 3) ( x 1)( x – x – m – 2) g( x ) x x m d cắt (1) điểm phân biệt M(–1; 3), N, P m , m GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 11 - Cell phone: 0935228284 (12) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Khi đó: x N , x P là các nghiệm PT: x x m x N xP 1; x N xP m Hệ số góc tiếp tuyến N là k1 x N2 và P là k2 xP2 Tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với k1.k2 1 9m2 18m m 3 2 3 2 m 3 Câu 36 Cho hàm số y x x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) là đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M và N vuông góc với PT đường thẳng (d): y k ( x 2) + PT hoành độ giao điểm (C) và (d): x x k ( x 2) x xA ( x 2)( x x k ) g( x ) x x k + (d) cắt (C) điểm phân biệt A, M, N PT g( x ) có nghiệm phân biệt, khác (*) k 0 f (2) x xN + Theo định lí Viet ta có: M xM x N k + Các tiếp tuyến M và N vuông góc với y ( x M ).y ( x N ) 1 (3 xM2 xM )(3 xN2 xN ) 1 9k 18k k 3 2 (thoả (*)) Câu 37 Cho hàm số y x x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y m( x 1) luôn cắt đồ thị (C) điểm M cố định và xác định các giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với x 1 PT hoành độ giao điểm ( x 1)( x x m) (1) (2) x x m (1) luôn có nghiệm x 1 ( y ) (d) luôn cắt (C) điểm M(–1; 2) m (d) cắt (C) điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt, khác –1 (*) m 3 2 Tiếp tuyến N, P vuông góc y '( xN ) y '( xP ) 1 m (thoả (*)) Câu 38 Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x (m2 1) ( m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Để ĐTHS (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 12 - Cell phone: 0935228284 (13) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số (1) có cực trị y y CÑ CT xCÑ 0, xCT a.y(0) Lưu hành nội (*) Trong đó: + y x 3mx 3(m 1) x (m2 1) y x 6mx 3(m 1) + y m2 m2 0, m x m xCÑ + y x m xCT m m Suy ra: (*) m 1 2 (m 1)(m 3)(m 2m 1) (m 1) x mx x m có đồ thị (Cm ) 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –1 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn 15 Câu 39 Cho hàm số y x mx x m (*) có nghiệm phân biệt thỏa x12 x22 x32 15 3 x Ta có: (*) ( x 1)( x (1 3m) x 3m) g( x ) x (1 3m) x 3m YCBT Do đó: YCBT g( x ) có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác và thỏa x12 x22 14 m 1 Câu hỏi tương tự hàm số: y x3 3mx x 3m Câu 40 Cho hàm số y x x x m , đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m 2) Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Phương trình x 3x x m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình x x2 x m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đường thẳng y m qua điểm uốn đồ thị (C) m 11 m 11 Câu 41 Cho hàm số y x 3mx x có đồ thị (Cm), đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m 2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Hoành độ các giao điểm là nghiệm phương trình: x 3mx x Gọi hoành độ các giao điểm là x1; x2 ; x3 ta có: x1 x2 x3 3m (1) Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 m là nghiệm phương trình (1) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 13 - Cell phone: 0935228284 (14) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội m 1 15 m 9m m 1 15 m 1 15 là giá trị cần tìm Thử lại ta có m Câu 42 Cho hàm số y x 3mx mx có đồ thị (Cm), đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m 2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y x điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Xét phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d: x 3mx mx x g x x 3mx m 1 x Đk cần: Giả sử (C) cắt d điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân Khi đó ta có: g x x x1 x x2 x x3 x1 x2 x3 3m Suy ra: x1 x2 x2 x3 x1 x3 m x x x Vì x1 x3 x22 x23 x2 nên ta có: m 2.3m m Đk đủ: Với m Vậy m 33 1 3 1 , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn 3 1 Câu 43 Cho hàm số y x 2mx (m 3) x có đồ thị là (Cm) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C1) hàm số trên m = 2) Cho đường thẳng (d): y x và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị m để (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d là: x 2mx (m 3) x x x( x 2mx m 2) x ( y 4) g( x ) x 2mx m (1) (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có nghiệm phân biệt khác / m 1 m (*) m m g (0) m m 2 Khi đó: x B xC 2m; x B xC m Mặt khác: d (K , d ) S KBC 1 Do đó: BC.d ( K , d ) BC 16 BC 256 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 14 - Cell phone: 0935228284 (15) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội ( xB xC )2 ( yB yC )2 256 ( xB xC )2 (( xB 4) ( xC 4))2 256 2( xB xC )2 256 ( xB xC )2 x B xC 128 4m 4(m 2) 128 m m 34 m Vậy m 137 (thỏa (*)) 137 Câu 44 Cho hàm số y x x có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi d k là đường thẳng qua điểm A(1; 0) với hệ số góc k (k ¡ ) Tìm k để đường thẳng d k cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C và giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Ta có: d k : y kx k kx y k Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d là: x x kx k ( x 1) ( x 2)2 k x 1 ( x 2)2 k k d k cắt (C) điểm phân biệt k Khi đó các giao điểm là A(1; 0), B k ;3k k k , C k ;3k k k BC k k , d (O, BC ) d (O, dk ) k 1 k2 k SOBC k k k k k k 2 1 k Câu 45 Cho hàm số y x x có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi E là tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng qua E có dạng y k ( x 1) PT hoành độ giao điểm (C) và : ( x 1)( x x k ) cắt (C) điểm phân biệt PT x x k có hai nghiệm phân biệt khác k 3 k 1 SOAB d (O, ) AB k k k k k 1 Vậy có đường thẳng thoả YCBT: y x 1; y 1 ( x 1) Câu 46 Cho hàm số y x mx có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –3 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) với trục hoành: x mx m x ( x 0) x GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 15 - Cell phone: 0935228284 (16) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Xét hàm số: f ( x ) x Lưu hành nội 2 2 x f '( x ) 2 x x x2 x2 Ta có bảng biến thiên: f ( x) f (x) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm m 3 Câu 47 Cho hàm số y x 3(m 1) x 6mx có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm m 1 Câu 48 Cho hàm số y x x x có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Định m để đường thẳng (d ) : y mx 2m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt PT hoành độ giao điểm (C) và (d): x x x mx 2m x ( x 2)( x x m ) g( x ) x x m (d) cắt (C) ba điểm phân biệt PT g( x ) có nghiệm phân biệt khác m 3 Câu 49 Cho hàm số y x –3 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (): y (2m 1) x – 4m –1 cắt đồ thị (C) đúng hai điểm phân biệt Phương trình hoành độ giao (C) và (): x –3 x – (2m –1) x 4m x ( x 2)( x – x – 2m –1) f ( x ) x x 2m (1) 2 x1 x2 () cắt (C) đúng điểm phân biệt (1) phải có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 8m b m 2 2 2a m 8m f (2) 2 m Vậy: m ; m Câu 50 Cho hàm số y x3 3m x m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành đúng hai điểm phân biệt Để (Cm) cắt trục hoành đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có điểm cực trị y có nghiệm phân biệt 3x 3m có nghiệm phân biệt m Khi đó y ' x m GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 16 - Cell phone: 0935228284 (17) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội (Cm) cắt Ox đúng điểm phân biệt yCĐ = yCT = Ta có: + y(m) 2m3 2m m (loại) + y( m) 2 m3 m m m 1 Vậy: m 1 Câu 51 Cho hàm số y x mx m có đồ thị là Cm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m 2) Định m để đồ thị Cm cắt trục trục hoành bốn điểm phân biệt m m Câu 52 Cho hàm số y x m 1 x m có đồ thị là Cm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m 2) Định m để đồ thị Cm cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Xét phương trình hoành độ giao điểm: x m 1 x 2m (1) Đặt t x , t thì (1) trở thành: f (t ) t m 1 t 2m Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt thì f (t ) phải có nghiệm dương phân biệt ' m m S m 1 (*) P 2m m Với (*), gọi t1 t2 là nghiệm f (t ) , đó hoành độ giao điểm (Cm) với Ox là: x1 t2 ; x2 t1 ; x3 t1 ; x4 t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng x2 x1 x3 x2 x4 x3 t2 9t1 m 5m 4m m m m m m m 1 m 5m m 4 Vậy m 4; 9 Câu hỏi tương tự hàm số y x 2(m 2) x 2m ĐS: m 3, m 13 Câu 53 Cho hàm số y x – (3m 2) x 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y 1 : x 1 x – (3m 2) x 3m 1 x – (3m 2) x 3m x 3m (*) Đường thẳng y 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ 3m m 3m m GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 17 - Cell phone: 0935228284 (18) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Câu 54 Cho hàm số y x m 1 x m có đồ thị là (Cm), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Xét phương trình hoành độ giao điểm: x m 1 x 2m (1) Đặt t x , t thì (1) trở thành: f (t ) t m 1 t 2m (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 0 t1 t2 f t có nghiệm phân biệt t1 , t2 cho: 0 t1 t2 ' m2 ' m f 4m f (0) m m m 1 S m S m 1 P 2m Vậy: m m 2 Câu 55 Cho hàm số y x m2 x m4 2m (1), với m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt, với m Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (1) và trục Ox: x m x m m (1) Đặt t x t , (1) trở thành : t 2m2t m4 2m (2) Ta có : ' 2m và S 2m với m Nên (2) có nghiệm dương (1) có ít nghiệm phân biệt đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt 2x 1 có đồ thị là (C) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y x m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ 2x PT hoành độ giao điểm (C) và d: x m x2 x 2 f ( x ) x (4 m) x 2m (1) Câu 56 Cho hàm số y Do (1) có m và f (2) (2)2 (4 m ).(2) 2m 3 0, m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có: y A m x A ; yB m x B nên AB2 ( x B x A )2 ( yB y A )2 2(m2 12) Suy AB ngắn AB2 nhỏ m Khi đó: AB 24 Câu hỏi tương tự hàm số: x2 x 1 a) y ĐS: m = b) y ĐS: m x 1 2x GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 18 - Cell phone: 0935228284 (19) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội x3 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (1;1) và cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN Phương trình đường thẳng d : y k x 1 Câu 57 Cho hàm số y x3 kx k có nghiệm phân biệt khác 1 x 1 f ( x ) kx 2kx k có nghiệm phân biệt khác 1 d cắt (C) điểm phân biệt M, N k 4 k k f (1) Mặt khác: xM xN 2 xI I là trung điểm MN với k Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y kx k với k 2x (C) 1 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm M, N cho MN 10 Phương trình đường thẳng (d ) : y k ( x 1) Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt cho Câu 58 Cho hàm số y x2 x1 y2 y1 90 2x k ( x 1) x 1 y k ( x 1) (a) kx (2k 3) x k (I) Ta có: ( I ) y k ( x 1) (I) có hai nghiệm phân biệt PT kx (2k 3) x k (b) có hai nghiệm phân biệt k 0, k 2 Ta biến đổi (a) trở thành: (1 k ) x2 x1 90 (1 k ) x2 x1 x2 x1 90 (c) 2k k 3 Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 x2 , x1 x2 , vào (c) ta có phương trình: k k 8k 27k 8k (k 3)(8k 3k 1) 3 41 3 41 ;k 16 16 Kết luận: Vậy có giá trị k thoả mãn trên k 3; k 2x (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (d): y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB Câu 59 Cho hàm số y 2x x m x mx m ( x 1) x 1 d cắt (C) điểm phân biệt A, B (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác –1 PT hoành độ giao điểm: m 8m 16 (2) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 19 - (1) Cell phone: 0935228284 (20) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội m x1 x2 Khi đó ta có: Gọi A x1;2 x1 m , B x2 ;2 x2 m x x m 2 AB2 = ( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 m 8m 20 m 10 m 2 Vậy: m 10; m 2 (thoả (2)) x 1 (1) xm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm các giá trị tham số m cho đường thẳng (d): y x cắt đồ thị hàm số (1) hai Câu 60 Cho hàm số y điểm A và B cho AB 2 PT hoành độ giao điểm: x m x 1 x2 xm x (m 1) x 2m (*) d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác m m 6m m m (**) x m m 1 m 1 x x (m 1) Khi đó gọi x1 , x2 là các nghiệm (*), ta có x1 x2 2m Các giao điểm d và đồ thị hàm số (1) là A( x1; x1 2), B( x2 ; x2 2) Suy AB2 2( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 x1 x2 2(m 6m 3) m 1 Theo giả thiết ta 2(m2 6m 3) m 6m m Kết hợp với điều kiện (**) ta m là giá trị cần tìm 2x (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O Câu 61 Cho hàm số y Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d: x (m 3) x m 0, x (*) (*) có m 2m 0, m R và (*) không có nghiệm x = x x m (*) luôn có nghiệm phân biệt là x A , x B Theo định lí Viét: A B x A x B m Khi đó: A x A ; x A m , B x B ; xB m uur uur OAB vuông O thì OA.OB x A x B x A m x B m x A x B m x A x B m m 2 Vậy: m = –2 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 20 - Cell phone: 0935228284 (21) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội x2 x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm hai nhánh (C) x yA m và thỏa A xB yB m Câu 62 Cho hàm số: y x yA m y xA m Ta có: A A A, B (d ) : y x m xB yB m yB xB m A, B là giao điểm (C) và (d) Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): x 2 xm f ( x ) x (m 3) x (2m 2) ( x 2) (*) x 2 (*) có m 2m 17 0, m (d) luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Và f (2) 4 x A x B x B x A (đpcm) KSHS 04: TIẾP TUYẾN Câu 63 Cho hàm số y x (1 2m ) x ( m ) x m (1) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x y góc , biết cos 26 r Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT n1 (k; 1) r Đường thẳng d có VTPT n2 (1;1) r r k n1.n2 k 1 Ta có cos r r 12k 26k 12 n1 n2 26 k 2 k 1 YCBT thoả mãn ít hai phương trình sau có nghiệm: 3x 2(1 m) x m y / 8m 2m / 4m m 3x 2(1 m) x m y 3 1 m ; m 1 m m m ; m Câu 64 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = Giả sử A(a; a3 3a2 1), B(b; b3 3b2 1) thuộc (C), với a b Vì tiếp tuyến (C) A và B song song với nên: y (a) y (b) 3a2 6a 3b2 6b a2 b2 2(a b) (a b)(a b 2) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 21 - Cell phone: 0935228284 (22) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội a b b a Vì a b nên a a a Ta có: AB (b a)2 (b3 3b a3 3a 1)2 (b a)2 (b3 a3 3(b2 a ))2 (b a)2 (b a)3 3ab(b a) 3(b a)(b a) (b a )2 (b a)2 (b a)2 3ab 3.2 2 (b a )2 (b a)2 (b a )2 ab (b a )2 (b a )2 (2 ab)2 AB (b a )2 1 (2 ab)2 (2 2a)2 1 (a 2a 2)2 2 4(a 1)2 1 (a 1)2 3 4(a 1)2 (a 1)4 6(a 1)2 10 4(a 1)6 24(a 1)4 40(a 1)2 Mà AB nên 4(a 1)6 24(a 1)4 40(a 1)2 32 (a 1)6 6(a 1)4 10(a 1)2 (*) Đặt t (a 1)2 , t Khi đó (*) trở thành: a b 1 t 6t 10t (t 4)(t2 2t 2) t (a 1)2 a 1 b Vậy điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(1; 3) y 3x x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên đường thẳng (d): y x các điểm mà từ đó kẻ đúng tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2) Câu 65 Cho hàm số Câu 66 Cho hàm số y x 3x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = các điểm mà từ đó kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Gọi M ( m;2) ( d ) PT đường thẳng qua điểm M và có hệ số góc k có dạng : y k ( x m ) x 3x k ( x m) (1) là tiếp tuyến (C) hệ PT sau có nghiệm 3x x k (2) (*) Thay (2) và (1) ta được: x 3(m 1) x 6mx ( x 2) 2 x (3m 1) x x2 f ( x ) x (3m 1) x (3) Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) hệ (*) có nghiệm x phân biệt m 1 hoÆc m (3) có hai nghiệm phân biệt khác f (2) m m 1 hoÆc m Vậy từ các điểm M(m; 2) (d): y = với có thể kẻ tiếp tuyến đến (C) m GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 22 - Cell phone: 0935228284 (23) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội mx (m 1) x (4 3m) x có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm các giá trị m cho trên đồ thị (Cm) tồn điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): x y Câu 67 Cho hàm số y f ( x ) (d) có hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc k Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: f '( x ) mx 2(m 1) x (4 3m) mx 2(m 1) x 3m YCBT (1) có đúng nghiệm âm + Nếu m thì (1) 2 x 2 x (loại) 3m + Nếu m thì dễ thấy phương trình (1) có nghiệm là x hay x= m m 3m Do đó để (1) có nghiệm âm thì 0 m m Vậy m hay m Câu 68 Cho hàm số y x 1 x 1 (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Ta có y x x Phương trình đường thẳng d qua A(a;0) và có hệ số góc k : y k ( x a) x x k ( x a) d là tiếp tuyến (C) hệ phương trình sau có nghiệm: (I ) x3 x k x ( x 1) k k Ta có: (I ) ( A) (B ) f ( x ) x 4ax (1) x 1 + Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến là d1 : y + Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có nghiệm phân biệt ( x; k ) với x 1 , tức là phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khác 1 3 a 1 a hoÆc a 2 f (1) Câu 69 Cho hàm số y f ( x ) x x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ là a và b Tìm điều kiện a và b để hai tiếp tuyến (C) A và B song song với Ta có: f '( x ) x x Hệ số góc tiếp tuyến (C) A và B là k A f '(a) 4a3 4a, kB f '(b) 4b3 4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y f (a)( x a) f (a) y f (a) x f (a) af (a) y f (b)( x b) f (b) y f (b) x f (b) bf (b) Hai tiếp tuyến (C) A và B song song trùng và khi: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 23 - Cell phone: 0935228284 (24) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội k A kB 4a 4a = 4b 4b (a b)(a2 ab b 1) (1) Vì A và B phân biệt nên a b , đó (1) a ab b (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A và B trùng và khi: a2 ab b a2 ab b2 (a b) 4 3a 2a 3b 2b f (a) af (a) f (b) bf (b) Giải hệ này ta nghiệm là (a; b) (1;1) (a; b) (1; 1) , hai nghiệm này tương ứng với cùng cặp điểm trên đồ thị là (1; 1) và (1; 1) Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến (C) A và B song song với là: a2 ab b2 a 1; a b 2x (C) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hoành độ a 2 thuộc (C) có phương trình: 2a y ( x a) x (a 2)2 y 2a a (a 2) Câu 70 Cho hàm số y Tâm đối xứng (C) là I 2; Ta có: d (I , d ) a2 16 (a 2)4 a2 2.4.(a 2)2 a2 2 a2 2 a d ( I , d ) lớn (a 2)2 a 4 Từ đó suy có hai tiếp tuyến y x và y x x2 (1) 2x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc tọa độ O 1 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ tiếp điểm y ( x0 ) 0 (2 x0 3)2 Câu 71 Cho hàm số y OAB cân O nên tiếp tuyến song song với đường thẳng y x (vì tiếp tuyến có hệ số góc x0 1 y0 1 (2 x0 3)2 x0 2 y0 + Với x0 1; y0 : y ( x 1) y x (loại) âm) Nghĩa là: y ( x0 ) 1 + Với x0 2; y0 : y ( x 2) y x (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 2x x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB Câu 72 Cho hàm số y = GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 24 - Cell phone: 0935228284 (25) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA 4OB OB 1 Hệ số góc d OA 4 x 1 ( y ) 1 0 Hệ số góc d là y ( x0 ) ( x0 1)2 ( x0 1)2 x (y 5) y ( x 1) y x Khi đó có tiếp tuyến thoả mãn là: y ( x 3) y x 13 4 Do OAB vuông O nên tan A 2x có đồ thị (C) x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn 1 Lấy điểm M m; C Ta có: y (m ) m2 (m 2)2 Câu 73 Cho hàm số y Tiếp tuyến (d) M có phương trình: y ( x m) (m 2) Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A 2; m2 Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: B(2m –2;2) m2 m Ta có: AB2 (m 2)2 Dấu “=” xảy m (m 2) Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) M(1;1) 2x x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu 74 Cho hàm số y 2x 1 Giả sử M x0 ; , x0 , y '( x0 ) x0 x0 Phương trình tiếp tuyến () với ( C) M: y 1 x0 ( x x0 ) x0 x0 2x Toạ độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: A 2; ; B x0 2;2 x x xB x y y 2x Ta thấy A x0 x M , A B yM suy M là trung điểm AB 2 x0 Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 25 - Cell phone: 0935228284 (26) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội x0 S = IM ( x0 2) 2 ( x0 2)2 x 2 ( x0 2)2 x 1 Dấu “=” xảy ( x0 2)2 ( x 2) x0 Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) M(3; 3) 2x 1 có đồ thị (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Câu 75 Cho hàm số y (C) Giao điểm tiệm cận là I(1;2) Gọi M x ;2 x 3 ( x x0 ) + PTTT M có dạng: y x0 ( x 1) + Toạ độ các giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A 1; + Ta có: SIAB , B (2 x 1; 2) x 1 IA.IB x0 2.3 (đvdt) 2 x0 + IAB vuông có diện tích không đổi chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB x x0 x0 x Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 1 3; , M2 1 3; Khi đó chu vi AIB = Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a b a b2 nhỏ và a = b Thật vậy: P = a b a b2 ab 2ab (2 2) ab (2 2) S Dấu "=" xảy a = b x2 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành Phương trình đường thẳng d qua A(0; a) và có hệ số góc k: y kx a Câu 76 Cho hàm số: y x2 x kx a d là tiếp tuyến (C) Hệ PT có nghiệm 3 k ( x 1)2 PT: (1 a) x 2(a 2) x (a 2) (1) có nghiệm x Để qua A có tiếp tuyến thì (1) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 26 - Cell phone: 0935228284 (27) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội a a (*) a 2 3a 2(a 2) a2 3 Khi đó ta có: x1 x2 ; x1 x2 và y1 ; y2 a 1 a 1 x1 x2 Để tiếp điểm nằm phía trục hoành thì y1.y2 x1.x2 2( x1 x2 ) 1 3a a 1 0 x1.x2 ( x1 x2 ) x1 x2 Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a a x 3 Câu 77 Cho hàm số y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các tiệm cận (C) các điểm A và B Chứng minh M o là trung điểm đoạn thẳng AB Mo ( xo ; yo ) (C) y0 x0 Phương trình tiếp tuyến (d) M0 : y y0 ( x0 1)2 ( x x0 ) Giao điểm (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 1;1), B(1; y0 1) x A xB x0 ; y A yB y0 M0 là trung điểm AB x2 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không đổi a2 Giả sử M a; (C) a 1 Câu 78 Cho hàm số : y PTTT (d) (C) M: y y (a).( x a) a2 3 a2 a y x a 1 (a 1)2 (a 1) a5 Các giao điểm (d) với các tiệm cận là: A 1; , B(2a 1;1) a 1 6 IA ; IB (2a 2;0) IB a IA 0; a 1 a 1 Diện tích IAB : S IAB = IA.IB = (đvdt) ĐPCM 2x Câu hỏi tương tự hàm số y ĐS: S = 12 x 1 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 27 - Cell phone: 0935228284 (28) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội x2 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I là giao điểm đường tiệm cận, là tiếp tuyến đồ thị (C) d là khoảng cách từ I đến Tìm giá trị lớn d Câu 79 Cho hàm số y = x 2 Giao điểm hai đường tiệm cận là I(–1; 1) Giả sử M x0 ; (C ) x0 ( x 1) Phương trình tiếp tuyến với đồ thi hàm số M là: x 2 1 y ( x x0 ) x x0 1 y x0 x0 1 x0 x0 x0 1 y 1 Khoảng cách từ I đến là d = x0 1 x0 1 Vậy GTLN d = x0 1 x0 1 2 x x0 2 2x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Câu 80 Cho hàm số y 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến Tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) (C ) có phương trình: y f '( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) x ( x0 1)2 y x02 x0 (*) Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) x0 x 2 x0 ( x0 1)4 Các tiếp tuyến cần tìm : x y và x y x 1 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên Oy tất các điểm từ đó kẻ tiếp tuyến tới (C) Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y kx yo (d) Câu 81 Cho hàm số y x 1 ( y 1) x 2( y 1) x y (1) x kx yo o o o (d) là tiếp tuyến (C) (*) 2 k k x 1; 2 ( x 1) ( x 1) YCBT hệ (*) có 1nghiệm (1) có nghiệm khác yo yo x ; yo k 2 ' ( yo 1) ( yo 1)( yo 1) x x 0; yo 1 k 2 Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 28 - Cell phone: 0935228284 (29) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội 2x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm B(4; 2) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 1 ) Câu 82 Cho hàm số y PTTT (d) là y ( x0 1) ( x x0 ) A(2; 4), x0 x ( x0 1)2 y x02 x0 x0 Ta có: d ( A, d ) d ( B, d ) 4( x0 1)2 x02 x0 4 2( x0 1)2 x02 x0 x x x 2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y x ; y x 1; y x 4 2x 1 1 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P và Q Chứng tỏ A là trung điểm PQ và tính diện tích tam giác IPQ 2a 2a I (1; 2), A a; ( x a) PT tiếp tuyến d A: y (1 a) 1 a 1 a 2a Giao điểm tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: P 1; 1 a Giao điểm tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: Q(2a –1; 2) Câu 83 Cho hàm số y Ta có: x P xQ 2a x A Vậy A là trung điểm PQ IP = SIPQ = 2a 2 ; IQ = 2( a 1) 1 a 1 a IP.IQ = (đvdt) 2x (C) x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm · cận ngang A, B cho côsin góc ABI , với I là giao tiệm cận 17 Câu 84 Cho hàm số y 2x I(2; 2) Gọi M x0 ; (C ) , x x0 Phương trình tiếp tuyến M: y ( x0 2)2 ( x x0 ) x0 x0 2x Giao điểm với các tiệm cận: A 2; , B(2 x0 2; 2) x0 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 29 - Cell phone: 0935228284 (30) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội · · x IA Do cos ABI nên tan ABI IB 16.IA2 ( x0 2)4 16 IB 17 x0 3 Kết luận: Tại M 0; phương trình tiếp tuyến: y x 2 5 Tại M 4; phương trình tiếp tuyến: y x 3 KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu 85 Cho hàm số y x 3x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình x x m3 3m2 có ba nghiệm phân biệt PT x x m3 3m2 x x m3 3m Đặt k m3 3m Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y k Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt k m (1;3) \ {0;2} Câu 86 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình | x 5x | log m có nghiệm Dựa vào đồ thị ta có PT có nghiệm log12 m 9 m 12 144 12 Câu 87 Cho hàm số: y x x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x x log2 m x x log2 m x x log2 m (m > 0) (*) + Số nghiệm (*) là số giao điểm đồ thị y x x và y log2 m + Từ đồ thị suy ra: 0m 2 nghiệm nghiệm m m 1 nghiệm m 1 m 1 nghiệm vô nghiệm Câu 88 Cho hàm số y f ( x ) x x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình: 8cos4 x cos2 x m với x [0; ] Xét phương trình: 8cos4 x cos2 x m với x [0; ] (1) Đặt t cos x , phương trình (1) trở thành: 8t 9t m (2) Vì x [0; ] nên t [1;1] , x và t có tương ứng đối một, đó số nghiệm phương trình (1) và (2) Ta có: (2) 8t 9t m (3) Gọi (C1): y 8t 9t với t [1;1] và (d): y m Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm (C1) và (d) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 30 - Cell phone: 0935228284 (31) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Chú ý (C1) giống đồ thị (C) miền 1 x Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 81 m0 m0 m 1 1 m 32 vô nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm Lưu hành nội 81 32 nghiệm m 81 32 vô nghiệm m 3x (C) x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Câu 89 Cho hàm số y 2 2) Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn 0; : sin x cos6 x m (sin x cos4 x ) Xét phương trình: sin x cos6 x m (sin x cos4 x ) (*) sin2 x m sin2 x 3sin2 x 2m(2 sin2 x ) (1) 2 Đặt t sin 2 x Với x 0; thì t 0;1 Khi đó (1) trở thành: 3t 2m với t 0;1 t 2 sin x t Nhận xét : với t 0;1 ta có : sin x t sin x t 2 3 Để (*) có nghiệm thuộc đoạn 0; thì t ;1 t ;1 4 3 7 Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1) 2m y 2m m 4 10 x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số x 1 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình m x 1 Câu 90 Cho hàm số y x 1 x 1 m số giao điểm đồ thị (C): y và y m x 1 x 1 Dựa vào đồ thị ta suy được: m 1; m m 1 1 m nghiệm nghiệm vô nghiệm Số nghiệm KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Câu 91 Cho hàm số y x3 x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) Gọi A x0 ; y0 , B là điểm đối xứng với A qua điểm M(1;3) B 2 x0 ;6 y0 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 31 - Cell phone: 0935228284 (32) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội y x 3x 0 A, B (C ) 6 y0 (2 x0 ) 3(2 x0 ) x03 3x0 2 x0 2 x0 x02 12 x0 x0 1 y0 Vậy điểm cần tìm là: 1; và 1; Câu 92 Cho hàm số y x3 x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: x – y Gọi M x1 ; y1 ; N x2 ; y2 thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d x x y y I là trung điểm AB nên I ; , ta có I d 3 y1 y2 x1 x1 x2 x2 x x Có: 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x1 x2 x2 Lại có: MN d x2 x1 y2 y1 x2 x1 x2 x1 x12 x1 x2 x22 x12 x1 x2 x22 7 ; x2 2 x12 x1 x2 x22 x1 x22 vô nghiệm - Xét 7 x1 x1 x2 x2 x x 7 7 Vậy điểm cần tìm là: ;2 ; ; 2 2 - Xét x1 x2 x1 x3 11 x 3x 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung x x1 Hai điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) (C ) đối xứng qua Oy y1 y2 x2 x1 x1 x1 3 x3 x 11 11 x2 3 x2 x12 3x1 x23 x 3 3 16 16 Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M 3; , N 3; 3 3 Câu 93 Cho hàm số y GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 32 - Cell phone: 0935228284 (33) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội 2x 1 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc –9 Giao điểm tiệm cận là I (1;2) Câu 94 Cho hàm số y yM yI 3 Gọi M x0 ;2 (C ) kIM x0 x M xI ( x 1)2 + Hệ số góc tiếp tuyến M: k M y ( x0 ) x0 1 x + YCBT k M k IM Vậy có điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5) x 2 2x 1 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ 2x 1 Gọi M ( x0 ; y0 ) (C), ( x0 1 ) thì y0 2 x0 x0 Gọi A, B là hình chiếu M trên TCĐ và TCN thì: MA x0 , MB y0 x0 Câu 95 Cho hàm số y Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB MA.MB x 1 2 x0 x x0 x0 2 Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3) Câu hỏi tương tự: 2x 1 a) y ĐS: x0 1 x 1 MA + MB nhỏ x0 3x (C) x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm các điểm thuộc (C) cách tiệm cận Gọi M ( x; y) (C) và cách tiệm cận x = và y = Câu 96 Cho hàm số y 3x x x x 2 x 2 ( x 2) x 2 x2 x 2 x Vậy có điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) Ta có: x y x 2x x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1) Câu 97 Cho hàm số y GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 33 - Cell phone: 0935228284 (34) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Lưu hành nội uuur MN (2; 1) Phương trình MN: x y Phương trình đường thẳng (d) MN có dạng: y x m Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): 2x x m x mx m ( x 1) x 1 (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B m –8m –32 (2) Khi đó A( x1; x1 m), B( x2 ;2 x2 m) với x1 , x2 là các nghiệm (1) x x m m Trung điểm AB là I ; x1 x2 m I ; (theo định lý Vi-et) 2 A, B đối xứng qua MN I MN m 4 x Suy (1) x x A(0; –4), B(2; 0) x Câu 98 Cho hàm số y 2x x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0) 2 Ta có (C ) : y Gọi B b; , C c; với b c x 1 b 1 c 1 Gọi H, K là hình chiếu B, C lên trục Ox · · · · · · · Ta có: AB AC; BAC 900 CAK BAH 90 CAK ACK BAH ACK · · AH CK và: BHA CKA 900 ABH CAK C HB AK 2 b c b 1 Hay: c3 2 c2 b 1 Vậy B(1;1), C (3;3) B H A K 2x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tọa độ điểm M (C) cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) M là lớn Câu 99 Cho hàm số y (C ) PTTT (C) M là: Giả sử M x0 ; x0 3 y2 ( x x0 ) 3( x x0 ) ( x0 1) ( y 2) 3( x0 1) x0 ( x0 1) Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến là: 3(1 x0 ) 3( x0 1) x0 d 4 9 ( x0 1) x0 1 ( x0 1) ( x0 1)2 Theo BĐT Cô–si: ( x0 1)2 d ( x0 1)2 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 34 - Cell phone: 0935228284 (35) Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Khảo sát hàm số Khoảng cách d lớn Lưu hành nội ( x0 1)2 x0 1 x0 1 ( x0 1) Vậy có hai điểm cần tìm là: M ;2 M ;2 x2 2x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm trên đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) và B(0; 2) PT đường trung trực đọan AB: y x Những điểm thuộc đồ thị cách A và B có hoành độ là nghiệm PT: 1 x x2 x x2 x 1 2x 1 1 x Câu 100 Cho hàm số y 1 1 1 1 Hai điểm cần tìm là: , , ; 2 x 3 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A và B cho AB ngắn Tập xác định D = R \ { 1} Tiệm cận đứng x 1 Câu 101 Cho hàm số y 4 4 Giả sử A 1 a;1 , B 1 b;1 (với a 0, b ) là điểm thuộc nhánh (C) a b 1 1 16 16 64 AB (a b) 16 (a b)2 1 4ab 1 4ab 32 2 2 ab a b a b a b 2 a b a b AB nhỏ AB ab44 16 a 4ab ab Khi đó: A 1 4;1 64 , B 1 4;1 64 Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hành động kiên trì ! Bí ẩn thành công là kiên định mục đích! Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG học tập! Biên soạn và chỉnh lý: GV - Th.s Huỳnh Phúc Hải Email: uocmoxanh_284@yahoo.com ; uocmoxanh284@gmail.com ĐT: 0935.228284 – 0905.228284 – 096.4455112 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 35 - Cell phone: 0935228284 (36)