Ứng dụng phần mềm mathematica cho lời giải của bài toán truyền nhiệt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Sinh viên thực hiện: Hoàng Thị Lý Giáo viên hướng dẫn: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng, 06/2014 Mục lục MỞ ĐẦU Bài 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 tốn truyền nhiệt Phương trình khuếch tán Bài toán điều kiện đầu cho phương trình truyền nhiệt Giá trị max nghiệm phương trình Định lý nghiệm toán đầu Nghiệm tổng quát toán truyền nhiệt Tích phân Fourier Nghiệm tốn đầu cho phương trình truyền nhiệt Cơng thức Poisson 5 10 13 18 Phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt 2.1 Nghiệm phương trình truyền nhiệt R1 2.2 Nghiệm phương trình truyền nhiệt R2 23 23 34 KẾT LUẬN 41 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Bài toán truyền nhiệt đối tượng nghiên cứu Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đối với nhiều tốn việc tìm nghiệm địi hỏi lượng tính tốn đồ sộ, cồng kềnh, phức tạp dễ bị nhầm lẫn Vì vậy, việc sử dụng phần mềm toán học để xác định nghiệm tốn địi hỏi tự nhiên mang tính thời nhằm đáp ứng nhu cầu tính tốn việc cơng nghệ thơng tin hóa học tập nghiên cứu Cùng với tính phổ cập, đặc thù chuyên môn dựa mức độ hiểu biết thân nên tác giả lựa chọn việc sử dụng phần mềm Mathematica việc tìm lời giải cho tốn truyền nhiệt làm mục đích lý cho khóa luận tốt nghiệp Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu thân gợi ý hướng dẫn thầy giáo - TS Lê Hải Trung nên mạnh dạn lựa chọn đề tài: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải toán truyền nhiệt cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu giải tốn truyền nhiệt Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phần mềm Mathematica Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tiến hành xem xét toán truyền nhiệt sau đây: ∂u 2∂ u −a = f (x, t), ∂t ∂x2 điều kiện đầu: u|t=0 = u0 (x) - Nghiên cứu cách giải toán truyền nhiệt trường hợp tổng quát với việc nghiệm tốn truyền nhiệt mơ tả cơng thức Poisson, sau sử dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm trường hợp n = 1, Phương pháp nghiên cứu - Trong cấu trúc luận văn tác giả sử dụng phương pháp Fourier tìm nghiệm dạng tách biến phương trình truyền nhiệt - Luận văn khai thác kiến thức từ lĩnh vực sau đây: Giải tích, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương Chương Bài toán truyền nhiệt Trong chương ta tiến hành xây dựng phương trình truyền nhiệt, phát biểu tốn với điều kiện đầu cho phương trình truyền nhiệt, xây dựng nghiệm phương trình truyền nhiệt dạng công thức Poisson Chương Phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt Trong chương ta tiến hành xây dựng hàm thực nhằm tính tốn vị nhiệt bề mặt vị nhiệt thể tích, thành phần cấu thành công thức Poisson, tổng chúng nghiệm tốn truyền nhiệt Cuối cùng, sử dụng hàm kiểm tra thực vẽ đồ thị nghiệm thu phần mềm Mathematica Quá trình thực hiện, xử lý kiểm tra kết thực phần mềm Mathematica 4.2 máy tính HP, hệ điều hành Window Ultimate, tốc độ xử lý 2,2 Ghz, Ram 2,0 GB Chương Bài toán truyền nhiệt 1.1 Phương trình khuếch tán Các trình phân bổ nhiệt khuếch tán hạt môi trường mô tả phương trình khuếch tán sau đây: ρ ∂u = div(ρgrad(u)) − qu + F (x, t), ∂t (1.1) toán tử div grad(u) xác định bởi: n div(ρgrad(u)) = i=1 ∂u ∂ (ρ ) ∂xi ∂xi Ta cần xây dựng phương trình truyền nhiệt Ký hiệu u(x, t) nhiệt độ môi trường thời điểm x vào thời điểm t(x thời điểm không gian với số chiều hữu hạn tùy ý) Ta mặc định môi trường cho đẳng hướng ký hiệu ρ(x), c(x) k(x) mật độ, nhiệt rung riêng hệ số dẫn nhiệt thời điểm x vào thời điểm t Ta coi lượng nhiệt cân thể tích V n hướng truyền nhiệt S Theo định luật Fourier qua mặt S vào V có lượng nhiệt truyền vào: ∂u Q1 = k dS∆t = (kgrad(u), n)dS∆t (1.2) S ∂n S Q1 = div(grad(u))dx∆t S (1.3) Khi lượng nhiệt sinh V là: Q2 = F (x, t)dx∆t, (1.4) V nhiệt độ V sau khoảng thời gian (t, t + ∆t) là: ∂u ∆t u(x, t + ∆t) − u(x, t) ∼ = ∂x Nhiệt độ V thay đổi là: Q3 = cρ V ∂u dx∆t ∂t (1.5) Nhưng Q3 = Q2 + Q1 , thế: [div(kgrad(u)) + F − cρ V ∂u ]dx∆t = ∂t Do V lấy tùy ý nên ta nhận phương trình truyền nhiệt: cρ ∂u = div(kgrad(u)) + F (x, t) ∂t (1.6) môi trường c, ρ, k số Khi (1.6) viết dạng: ∂u = a2 ∆u + f, (1.7) ∂t k F ∂2 Khi đó, phương trình (1.7) gọi với a2 = cρ , f = cρ , ∆u = ∂x2i phương trình truyền nhiệt 1.2 Bài tốn điều kiện đầu cho phương trình truyền nhiệt Bài tốn điều kiện đầu (hay cịn gọi tốn Cauchy với điều kiện đầu) cho phương trình truyền nhiệt nằm việc xác định hàm u(x, t) ∈ C ((−∞, +∞) × (0, +∞)), thỏa mãn phương trình: ∂u ∂ 2u − a2 = f (x, t), ∂t ∂x (1.8) u |t=0 = u0 (x) (1.9) điều kiện đầu: 1.3 Giá trị max nghiệm phương trình Định lý 1.1 Nếu hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt ∂u ∂ 2u − a2 = (1.10) ∂t ∂x ¯ l,T = (−l, l)×[0, T ], miền Gl,T = (−l, l)×(0, T ) liên tục G nhận giá trị lớn nhỏ phần biên Sl,T , cấu thành từ đoạn [−l, l] trục Ox {x = −l, ≤ t ≤ T } ∪ {x = l, ≤ t ≤ T } Chứng minh Ký hiệu M giá trị lớn u(x, t) Gl,T m giá trị nhỏ u(x, t) Sl,T (các giá trị hoàn toàn tồn mà u(x, t) liên tục Gl,T ) Nếu bất đẳng thức M > m xảy ra, tồn điểm (x0 , t0 ) cho u(x0 , t0 ) = M với x0 ∈ (−l, l) (0 < t0 < T ) Ta đưa vào hàm sau đây: v(x, t) = u(x, t) + M −m (x − x0 )2 , 24l tiến hành xem xét giá trị v(x, t) Sl,T : v |Sl,T ≤ m + M − m 5m = < M 6 Mặt khác v(x0 , t0 ) = u(x0 , t0 ) = M , hàm v(x, t) khơng nhận giá ¯ l,T Sl,T Giả sử giá trị lớn hàm v(x, t) trị lớn G đạt điểm (x1 , t1 ) với x1 ∈ (−l, l), < t1 < T Điểm (x1 , t1 ) với t1 < T điểm cực đại địa phương hàm v(x, t) vậy: ∂v ∂ 2v ≤ 0; = ∂x2 ∂t Ngay khi: ∂ 2v ∂v ≤ 0; ≥ 0, ∂x2 ∂t điểm ∂v 2∂ v −a ∂t ∂x2 ≥ (x1 ,t1 ) đồng thời: ∂v ∂u = , ∂x ∂x ∂ 2u M − m ∂ 2v = 2+ ∂x2 ∂x 12l2 Bởi thế: ∂u 2∂ u −a ∂t ∂x2 = (x1 ,t1 ) ∂u 2∂ v −a ∂t ∂x2 (x1 ,t1 ) Như phương trình (1.10) điểm (x1 , t1 ) không thỏa mãn Điều phi lý chứng tỏ M = m Tương tự ta chứng minh giá trị nhỏ hàm u(x, t) nhận Sl,T 1.4 Định lý nghiệm toán đầu Định lý 1.2 Nghiệm toán đầu lớp hàm hữu hạn với −∞ < x < +∞ t > Chứng minh Ta giả sử điều ngược lại: giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) hai nghiệm hữu hạn khác toán (1.8) - (1.9) Khi |u1 (x, t)| ≤ M ; |u2 (x, t)| ≤ M với −∞ < x < +∞, t > Xét hàm u(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t), ta có: |u(x, t)| = |u1 (x, t) − u2 (x, t)| ≤ |u1 (x, t)| + |u2 (x, t)| ≤ 2M Chứng tỏ u(x, t) hữu hạn −∞ < x < +∞; t > thỏa mãn phương trình (1.10) (Do u1 (x, t)|t=0 = u0 (x), u2 (x, t)|t=0 = u0 (x) ⇒ u(x, t) = 0) Tiếp theo ta sử dụng định lý giá trị lớn nhỏ cho nghiệm toán truyền nhiệt miền hữu hạn Gl,T : |x| ≤ l ≤ t ≤ T , l > T > 0.Trong Gl,T ta đưa vào hàm: 4M v(x, t) = l x2 + a2 t (1.11) Chứng tỏ v(x, t) nghiệm toán truyền nhiệt Thật vậy: ∂v 4M ∂ v 4M = a; 2= ; ∂t l ∂x l ∂v 4M 4M 2∂ v −a = a2 − a2 = ∂t ∂x l l Mặt khác: v(x, t)|t=0 4M l2 v(x, t)|x=±l;t≥0 = 4M x2 = ≥ 0; l l2 4M l2 + a2 t ≥ = 2M, l v(x, 0) ≥ u(x, 0) v(±l, t) ≥ 2M ≥ u(±l, t) Áp dụng định lý giá trị lớn nhỏ cho hiệu hàm v(x, t) ±u(x, t) miền Gl,T , ta nhận được: v(x, 0) ≥ |u(x, 0)|, |v(±l, t)| ≥ |u(±l, t)| Khi Gl,T : 4M u(x, t) ≥ v(x, t) = l x2 + a2 t Bây ta cố định x = x0 , t = t0 > chọn (1.11) l đủ lớn, ta nhận |u(x0 , t0 )| ≥ ε với ε > Điều chứng tỏ u(x0 , t0 ) = Do cách chọn x0 ∈ (−∞, +∞) t0 > tùy ý nên ta suy u(x, t) = hay u1 (x, t) = u2 (x, t), t > 1.5 Nghiệm tổng quát toán truyền nhiệt Xét phương trình sau đây: ∂u ∂ 2u − a2 = ∂t ∂x (1.12) Trước tiên ta tìm nghiệm phương trình cho dạng: u(x, t) = X(x)T (t) (1.13) Đặt (1.13) vào (1.12) tiến hành tách biến, ta nhận được: T (t)) X (t) = = const := −λ2 , a T (t) X(x) T (t) + a2 λ2 T (t) = 0, (1.14) X (x) + λ2 X(x) = (1.15) 2 Phương trình (1.14) cho ta: T (t) = Ce−λ a t Bây ta xem xét phương trình (1.15): X (x) + λ2 X(x) = Phương trình đặc trưng (1.15):µ2 + λ2 = có nghiệm µ = ±iλ Như ta tìm nghiệm X(x) dạng X(x) = A(λ) cos λx + 2 B(λ) sin λx đó:u(x, t) = (A(λ) cos λx + B(λ) sin λx)e−a λ t nghiệm phương trình (1.12) với λ tùy ý Do tính tuyến tính phương trình truyền nhiệt (1.12) nên tổng biểu diễn tuyến tính Cλ uλ nghiệm phương trình truyền nhiệt +∞ uλ dλ nghiệm phương Như vậy, ta giả sử −∞ trình truyền nhiệt Do ta xác định sau: u(x, t) = 2 (A(λ) cos λx + B(λ) sin λx)e−a λ t dλ (1.16) Nếu tích phân (1.16) hội tụ thực phép tính vi phân dấu tích phân lần theo t hai lần theo x (1.16) nghiệm phương trình (1.12) Hệ thức (1.16)chuyển đến cho ta mối quan tâm đến tích phân Fourier 1.6 Tích phân Fourier Cho trước hàm f (x) với −∞ < x < +∞, xét hàm cho đoạn [−l, l] viết dạng chuỗi Fourier tương ứng: f (x) = a0 + (ak cos 10 nπ nπ x + bk sin x) l l Out[50]:=es−t Sin[x] In[51]:=woi[a214,f214] Out[51]:= 12 ie−s−ix (−1 + e2ix )(s − t) Cũng sử dụng (cho vị nhiệt thể tích) hàm thực uio uoi: In[52]:=uio[a214,f214] Out[52]:=(−1 + e−t + t)Sin[x] In[53]:=uoi[a214,f214] Out[53]:= 12 ie−t−ix (−1 + e2ix )(1 + et (−1 + t)) Ví dụ cho thấy việc tính tốn hàm uio(wio) tỏ thích hợp chỗ khơng phải thực phép tốn bổ sung việc rút gọn hàm số In[54]:=v1214[x_, t_]=uio[a214,f214] Out[54]:=(−1 + e−t + t)Sin[x] In[55]:=u214[x_, t_]=v0214[x, t]+v1214[x, t] Out[55]:=ex Cos[2t + x] + (−1 + e−t + t)Sin[x] Thực lệnh kiểm tra: In[56]:=l[a214,f214[x1, t],u0214[x1],u214[x1, t]] Out[56]:={0,0} Đồ thị nghiệm tốn có dạng (chọn x ∈ (−2π, 2π), t ∈ (−15, 15)): Hình 2.4: Đồ thị hàm số u(x, t) = ex cos(2t + x) + (−1 + e−t + t) sin x 29 Ví dụ 2.5 Tìm nghiệm vẽ đồ thị hàm số sau (n=1): ∂u ∂ u x − = (e−t + e−2t )ex cos x; u|t=0 = 11e− x sin ∂t ∂x Trong Mathematica nhập hàm thực hiện: In[57]:=f215[x_, t_](Exp[-t]*Exp[-2t])*Exp[x]*Cos[x]; In[58]:=u0215[x_]=11*Exp[- 81 x ^2]*Sin[x/8]; In[59]:=a215= √12 ; Để tìm vị nhiệt bề mặt ta sử dụng hai hàm thực vo vi: In[60]:=vo[ √12 ,u0215] (t−8ix)2 Out[60] := 2 +8tx2 32t(4+t) 11ie− t −32x 16t(4+t) (e √ −e (t+8ix)2 32t(4+t) ) 4+t In[61]:=vi[ √12 ,u0215] 11e− t+16x(i+x) 32(4+t) ix √ ] + Erf i[ 1−2ix √ ]) (−2i(−1 + e 4it ) − iErf [ −1−2x 2+ 8t 2+ 8t √ Out[61] := 4+t Như trường hợp ta lựa chọn hàm thực thứ vo không chứa hàm đặc thù Erf Erfi Tiếp theo ta tiến hành rút gọn vo: In[62]:="vo[ √12 ,u0215]" → PowerExpand[Simplify[ComplexExpand[ vo[ √12 ,u0215]],t > 0]] 22e Out[62]:=vo[ √ , u0215] → 2 −32x2 +8tx2 ) −31t2 +960x2 −256tx2 − 15(t 16(4t+t 2) 32t(4+t) √ x Sin[ 8+2t ] 4+t Tiến hành giản ước biểu thức mũ hàm e: 2 −256tx2 15(t2 −32x2 +8tx2 ) − 16(4t+t2 ) , t > 0, x ∈ Reals] In[63]:=FullSimplify[− 31t +960x 32t(4+t) t + 16x2 Out[63] := − 32(4 + t) Cuối ta nhận vị nhiệt bề mặt có dạng: t+16x2 x 22e− 32(4+t) sin[ 8+2t ] √ In[64]:=v0214[x_, t_] = 4+t 30 Để tìm vị nhiệt thể tích ta tiến hành tính tốn hai hàm thực woi wio: In[65]:=woi[ √12 ,f215] Out[65] := e(1+i)(s−(1+i)t+x) (es + et )(1 + e2i(s+x) ) In[66]:=wio[ √12 ,f215] Out[66] := e−2s−i(s+t+(1+i)x) (1 + es )(e2is + e2i(t+x) ) Ta chọn tiến hành biến đổi phần thực phần ảo hàm woi: In[67]:=wio → PowerExpand[ComplexExpand[woi[ √12 ,f215]]] Out[67]:=wio → e−2s+x Cos[2s]Cos[s + t + x]+ −s+x e Cos[2s]Cos[s + t + x] + −2s+x e Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x] + −s+x e Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x] + −2s+x e Sin[2s]Sin[s + t + x] + −s+x e Sin[2s]Sin[s + t + x] + −2s+x e Sin[2(t + x)]Sin[s + t + x] + −s+x e Sin[2s]Sin[s + t + x] + i( e−2s+x Cos[s + t + x]Sin[2s] + −s+x e Cos[s + t + x]Sin[2s] + −2s+x e Cos[s + t + x]Sin[2(t + x)] + −s+x e Cos[s + t + x]Sin[2(t + x)] − −2s+x e Cos[2s]Sin[s + t + x] − 31 −s+x e Cos[2s]Sin[s + t + x] − −2s+x e Cos[2(t + x)]Sin[s + t + x] − −s+x e Cos[2(t + x)]Sin[s + t + x] Phần ảo biểu thức nhận có giá trị 0, thật vậy: In[68]:=Im[wio]→ FullSimplify[ 21 e−2s+x Cos[s + t + x]Cos[2s]+ −s+x e Cos[s + t + x]Sin[2s] + −2s+x e Cos[s + t + x]Sin[2(t + x)] + −s+x e Cos[s + t + x]Sin[2(t + x)] − −2s+x e Cos[2s]Sin[s + t + x] − −s+x e Cos[2s]Sin[s + t + x] − −2s+x e Cos[2(t + x)]Sin[s + t + x] − −s+x e Cos[2(t + x)]Sin[s + t + x], t > 0, x ∈ Reals] Out[68]:=Im[woi] → Ta tìm phần thực Re[woi] biểu thức trên: In[69]:=Re[woi]→ Collect[ 12 e−2s+x Cos[2s]Cos[s + t + x]+ −s+x e Cos[2s]Cos[s + t + x] + −2s+x e Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x] + −s+x e Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x] + −2s+x e Sin[2s]Sin[s + t + x] + −s+x e Sin[2s]Sin[s + t + x] + 32 −2s+x e Sin[2(t + x)]Sin[s + t + x] + −s+x e Sin[2s]Sin[s + t + x], {e−2s+x , e−s+x }] Out[69]:=Re[woi] → e−2s+x ( 21 Cos[2s]Cos[s + t + x]+ 1 Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x] + Sin[2s]Sin[s + t + x]+ 2 Sin[2(t + x)]Sin[s + t + x])+ 1 e−s+x ( Cos[2s]Cos[s + t + x] + Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x]+ 2 1 Sin[2s]Sin[s + t + x] + Sin[2s]Sin[s + t + x]) 2 Như ta nhận biểu thức cho woi cách: In[70]:=woi[x_, s_, t_]= e−2s+x *FullSimplify[ 12 Cos[2s]Cos[s + t + x] + 12 Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x] + 21 Sin[2s]Sin[s + t + x] + 12 Sin[2(t + x)]Sin[s + t + x],Trig]+ e−s+x *FullSimplify[ 12 Cos[2s]Cos[s + t + x] + 12 Cos[2(t + x)]Cos[s + t + x] + 1 Sin[2s]Sin[s + t + x] + Sin[2s]Sin[s + t + x],Trig] Out[70]:=e−2s+x Cos[s − t − s] + e−s+x Cos[s − t − x] Từ ta suy cơng thức vị nhiệt thể tích: In[71]:=v1215[x_, t_]=ints[woi[x,s,t]] −2t+x Out[71]:= 10 e (−(4 + 5et )Cos[x] + 9e2t et+x − 2Sin[x] − 5et Sin[x] + 7e2t Sin[t + x]) Cuối nghiệm tốn tìm dạng: In[72]:=u215[x_, t_]=v0215[x,t]+v1215[x,t] t+16x2 x 22e− 32(4+t) Sin[ 8+2t ] −2t+x √ Out[72] := + e (−(4+5et )Cos[x]+9e2t et+x −2Sin[x]− 10 4+t 5et Sin[x] + 7e2t Sin[t + x]) 33 Đồ thị nghiệm tốn có dạng (chọn x ∈ (−2π, 2π), t ∈ (−0, 20)): Hình 2.5: Đồ thị hàm số u(x, t) = x − t+16x sin 8+2t 32(4+t) 22e √ 4+t −2t+x + 10 e (−(4+5et ) cos x+ 9e2t et+x − sin x − 5et sin x + 7e2t sin(t + x) 2.2 Nghiệm phương trình truyền nhiệt R2 Trong Mathematica ta nhập hàm thực G cú pháp: √ G=(1/(2∗#1 π ∗ #3))∗Exp [#22 /(-4#12 #3)] &; Thực tổ hợp phím Shift + Enter ta nhận được: √ In[1]:=G=(1/(2*#1 π ∗ #3))*Exp [#22 /(-4#12 #3)] &; Nhập G[a, x, t] thực tổ hợp phím Shift + Enter ta nhận được: In[2]:=G[a, x, t] − x Out[2]:= 2ae √4aπ√t t voo[a_, u_]:=Simplify[Intergrate[G[a, x1 − y1, t] ∗ G[a, x2 − y2, t] ∗ u[y1, y2], {y1, −∞, ∞}], t > 0] voi[a_, u_]:=Simplify[Intergrate[G[a,x1-y1,t]*G[a,y2,t]* u[y1,x2-y2],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],t > vio[a_, u_]:=Simplify[Intergrate[G[a,y1,t]*G[a,x2-y2,t]* u[x1-y1,y2],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],t > 0] 34 vii[a_, u_]:=Simplify[Intergrate[G[a,y1,t]*G[a,y2,t]* u[x1-y1,x2-y2],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],t > 0] wooo[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,x1-y1,t-s]*G[a,x2-y2,t-s]* f[y1,y2,s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] wooi[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,x1-y1,s]*G[a,x2-y2,s]* f[y1,y2,t-s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] woio[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,x1-y1,t-s]*G[a,y2,t-s]* f[y1,x2-y2,s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] woii[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,x1-y1,s]*G[a,y2,s]* f[y1,x2-y2,t-s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] wioo[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,y1,t-s]*G[a,x2-y2,t-s]* f[x1-y1,y2,s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] wioi[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,y1,s]*G[a,x2-y2,s]* f[x1-y1,y2,t-s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] wiio[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,y1,t-s]*G[a,y2,t-s]* f[x1-y1,x2-y2,s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] wiii[a_, f _]:=Simplify[Intergrate[G[a,y1,s]*G[a,y2,s]* f[x1-y1,x2-y2,t-s],{y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}],0 < s < t] ints[w_]:=Simplify[Intergrate[w,{s,0,t}]t>0] Cho chương trình chạy để xác định thử vài hàm thực hiện: voo[a,f] ∞ ∞ e− (x1 −y1 )2 +(x2 −y2 )2 4a2 t f [y1, y2]dy2dy1 −∞ −∞ 4a2 πt vii[a,u] ∞ ∞ − e +y y1 4a2 t u[x1 − y1, x2 − y2]dy2dy2 −∞ −∞ 4a2 πt wiio[a,u] 35 ∞ ∞ e +y y1 4a2 (s−t) u[x1 − y1, x2 − y2]dy2dy2 −∞ −∞ 4a2 π(s − t) ints[wiio[a,f]] ∞ ∞ e t y +y − 2 f [x1−y1,x2−y2,−s+t]dy2dy1 4a s −∞ −∞ s ds 4a2 π Ta sử dụng ký hiệu sau đây: uooo[a_, f _]:=ints[wooo[a,f]]; uooi[a_, f _]:=ints[wooi[a,f]]; uoio[a_, f _]:=ints[woio[a,f]]; uoii[a_, f _]:=ints[woii[a,f]]; uioo[a_, f _]:=ints[wioo[a,f]]; uioi[a_, f _]:=ints[wioi[a,f]]; uiio[a_, f _]:=ints[wiio[a,f]]; uiii[a_, f _]:=ints[wiii[a,f]]; Để kiểm tra nghiệm thu được, ta đưa vào hàm sau đây: l1:=(D[#4, t]-#1 ^2*(D[#4,x1, x1]+D[#4,x2, x2]+D[#4,x3, x3])-#2) & l0:=(Limit[#4,t → 0,Direction → −1]-#3) & l:=Simplify[{l1[#1,#2,#3,#4],l0[#1,#2,#3,#4]}] & Ví dụ 2.6 Tìm nghiệm tốn sau (n = 2): ∂u ∂ 2u ∂ 2u − 4( + ) = (x + y)et ; u|t→0+ = cos x sin y ∂t ∂x ∂y Ta có: f221[x1_, x2_, t_]:=(x1+x2)*Exp[t]; u0221[x1_, x2_]:=Cos[x1]*Sin[x2]; a221=2; Để tính vị nhiệt bề mặt ta sử dụng hàm thực voo, voi, vio, vii voo[a221,u0221] 36 − ie−8t−i(x1+x2) (1 + e2ix1 )(−1 + e2ix2 ) voi[a221,u0221] −8t−ix1 e (1 + e2ix1 )Sin[x2] vio[a221,u0221] − ie−8t−ix2 (1 + e2ix2 )Cos[x1] vii[a221,u0221] e−8t Cos[x1]Sin[x2] Ta chọn vị nhiệt bề mặt vii tiến hành rút gọn thêm nữa, đó: v0221[x1_, x2_, t_]=e−8t Cos[x1]Sin[x2] Để xác định vị nhiệt thể tích ta sử dụng hàm uooo uiii, trường hợp ta thu kết quả: uooo[a221,f221] (−1 + et )(x1 + x2) uiii[a221,f221] (−1 + et )(x1 + x2) Do vị nhiệt thể tích tốn cho tìm dạng: v1221[x1_, x2_, t_]=(−1 + et )(x1 + x2) Vậy nghiệm toán cho là: u221[x1_, x2_, t_]=(v0221[x1,x2,t]+v1221[x1,x2,t]) / {x1 → x, x2 → y} (−1 + et )(x1 + x2) + e−8t Cos[x1]Sin[x2] Kiểm tra: l[a221,f221[x1,x2,t],u0221[x1,x2],u221[x1,x2,t]] {0,0} Đồ thị nghiệm tốn có dạng (chọn x ∈ (−π, π), y ∈ (−20, 20)), chọn t = 1: 37 Hình 2.6: Đồ thị hàm số u(t, x, y) = (−1 + et )(x + y) + e−8t cos x sin y(t = 1) Ví dụ 2.7 Tìm nghiệm tốn sau (n = 2): ∂u ∂ 2u ∂ 2u − 4( + ) = tet ; u|t→0+ = xyey ∂t ∂x ∂y Ta đưa vào Mathematica hàm sau đây: f222[x1_, x2_, t_]:=t*Exp[t]; u0222[x1_, x2_]:=x1*x2*Cos[x2]; a222=2; Với hàm thực voo, vio vii ta nhận kết cho vị nhiệt bề mặt: voo[a222,u0222] e4t+x2 x1(8t + x2) voi[a222,u0222] e4t+x2 x1(8t + x2) Như vị nhiệt bề mặt toán cho là: v0222[x1_, x2_, t_]=e4t+x2 x1(8t + x2) Để xác định vị nhiệt thể tích ta đưa vào hàm thực hiện: uooo[a222,f222] + et (−1 + t) Ta nhận kết tương tự thực hiện: uiii[a222,f222] + et (−1 + t) Như vị nhiệt thể tích tìm là: v1222[x1_, x2_, t_]=1 + et (−1 + t) 38 Cuối nghiệm tốn tìm được: u222[x_, y_, t_]=(v0222[x1,x2,t]+v1222[x1,x2,t])/.{x1 → x, x2 → y} + et (−1 + t) + e4t+x2 x1(8t + x2) Thử lại: l[a222,f222[x1,x2,t],u0222[x1,x2],u222[x1,x2,t]] {0,0} Đồ thị nghiệm tốn có dạng (chọn x ∈ (−π, π), y ∈ (−20, 20)), chọn t = 3): Hình 2.7: Đồ thị hàm số u(t, x, y) = + et (−1 + t) + e4t+x x(8t + y)(t = 3) Ví dụ 2.8 Tìm nghiệm tốn sau: ∂u ∂ 2u ∂ 2u x y − ( + ) = − et− + (7x − 5y)t; u|t→0+ = (x − y)2 ∂t ∂x ∂y Với tốn cho ta có kiện sau đây: *Exp[t-x1/2-x2/4]*(7*x1-5*x2)*t; f223[x1_, x2_, t_]=− 10 u0223[x1_, x2_]=(x1-x2) ^2; √ a223=1/ 8; Sử dụng hàm thực voo vii ta nhận kết cho vị nhiệt bề mặt: voo[a223,u0223] t 2 + (x1 − x2) vii[a223,u0223] t 2 + (x1 − x2) 39 Do vị nhiệt bề mặt tốn cho tìm dạng: v0223[x1_, x2_, t_]= 2t + (x1 − x2)2 Để xác định vị nhiệt thể tích ta tiến hành tính tốn hàm wiii wiii[x1_, x2_, s_, t_]=wiii[a223,f223] // Timing 123 x2 − 128 s+t− x1 − (s − t)(9s − 112x1 + 80x2)} e {0.998Second, − 160 Từ ta nhận vị nhiệt thể tích cơng thức: v1223[x1_, x2_, t_]=First[ints[Reset[wiii[x1,x2,s,t]]]] 5t − 3101445 (64e (−2x1−x2) (−8e 128 (768+369t−4592x1+3280x2))+et (123t(−24+ 287x1 − 205x2) + 128(48 − 287x1 + 205x2))) Như nghiệm tốn cho tìm dạng: u223[x_, y_, t_]=(v0223[x1,x2,t]+v1223[x1,x2,t]) / {x1 → x, x2 → y} 5t t (−2x−y) (−8e 128 (768 + 369t − 4592x + 3280y)) + + (x − y) + − 3101445 (64e et (123t(−24 + 287x − 205y) + 128(48 − 287x + 205y))) Kiểm tra: l[a223,f223[x1,x2,t],u0223[x1,x2]+u223[x1,x2,t]] {0,0} Đồ thị nghiệm tốn có dạng (chọn x ∈ (−2π, 2π), y ∈ (−20, 20)), chọn t = ): Hình 2.8: Đồ thị hàm số u(t, x, y) 5t = t + (x − y)2 + − 3101445 (64e (−2x−y) (−8e 128 (768 + 369t − 4592x + 3280y)) + et (123t(−24 + 287x − 205y) + 128(48 − 287x + 205y)))(t = 1) 40 KẾT LUẬN Như sau thời gian tiếp cận, nghiên cứu làm việc nghiêm túc, luận văn thực số vấn đề sau đây: Hệ thống lại kiến thức liên quan đến toán truyền nhiệt Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Xây dựng hàm thực phần mềm Mathematica 4.2 để tính tốn vị nhiệt thể tích vị nhiệt bề mặt để từ xác định nghiệm tốn truyền nhiệt sở cơng thức Poisson Xem xét toán truyền nhiệt trường hợp n=1, n=2 thơng qua ví dụ trực tiếp Các kết ví dụ thực Mathematica thông qua phần mềm ta nhận dáng điệu chúng cách trực quan chân thực Toàn luận văn thực phần mềm Mathematica 4.2 máy tính HP, hệ điều hành Window Ultimate, tốc độ xử lý 2.2 Ghz, Ram 2GB Mặc dù cố gắng, nỗ lực thực nghiêm túc đề tài khóa luận tốt nghiệp, kiến thức có hạn, trình độ thân hạn chế nên chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp động viên thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn - TS Lê Hải Trung có gợi ý đóng góp quý báu cho đề tài 41 Tài liệu tham khảo [1] Lê Ngọc Bích Tự học Mathematica hình ảnh NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh 2011 [2] Nguyễn Minh Chương Phương trình đạo hàm riêng NXB Giáo dục 2001 [3] Vũ Đình Hịa, Nguyễn Hữu Điển Giới thiệu Mathematica số khả mở rộng Tuyển tập báo cáo hội thảo: "Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng toán học" Hà Nội, 1999 [4] Nguyễn Thừa Hợp Giáo trình phương trình đạo hàm riêng Hà Nội Đại học Quốc gia, 2001 [5] Nguyễn Mạnh Hùng Phương trình đạo hàm riêng Nhà xuất Đại học Sư phạm 2009 [6] Lê Hải Trung, Lê Văn Dũng, Huỳnh Thị Thúy Phượng Về tốn truyền nhiệt Mathematica Tạp chí khoa học công nghệ - ĐH Đà Nẵng Số 6(47), Quyển 2011 [7] Lê Hải Trung, Nguyễn Văn Hiệu, Huỳnh Thị Thúy Phượng Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải tốn truyền nhiệt khơng gian hai chiều Tạp chí khoa học cơng nghệ - ĐH Đà Nẵng Số 6(47), Quyển 2011 [8] Đề tài cấp ĐHĐN: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt Chủ nhiệm: TS Lê Hải Trung Thành viên: ThS Lê Văn Dũng Mã số: Đ2011-03-07 Năm: 2011 42 [9] Nguyễn Mạnh Hùng Phương trình đạo hàm riêng Nhà xuất Đại học Sư phạm 2009 [10] Kevorkian, J Partial Differential Equations: Analytical Solution Techniques New York: Springer-Verlag 2000 [11] Evans L C Partial Differential Equations American Mathematical Society 2010 43 ... tài: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải tốn truyền nhiệt cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu giải toán truyền nhiệt Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phần mềm Mathematica. .. trình truyền nhiệt, phát biểu toán với điều kiện đầu cho phương trình truyền nhiệt, xây dựng nghiệm phương trình truyền nhiệt dạng cơng thức Poisson Chương Phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt. .. truyền nhiệt Mathematica Tạp chí khoa học cơng nghệ - ĐH Đà Nẵng Số 6(47), Quyển 2011 [7] Lê Hải Trung, Nguyễn Văn Hiệu, Huỳnh Thị Thúy Phượng Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải tốn truyền