Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải của bài toán truyền nhiệt

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH THỊ THÚY PHƯỢNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Phản biện 1: TS LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 12 năm 2012 Có thể tìm luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán truyền nhiệt phận cấu thành nên Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, mô hình diễn tả trình truyền nhiệt tiêu tán nhiệt không gian (mà ta lựa chọn đẳng hướng) Với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin việc ứng dụng phần mềm toán học cho toán truyền nhiệt công việc ý nghĩa tự nhiên Với mong muốn mang lại thú vị công cụ phương thức lựa chọn cho thân đối tượng có quan tâm đến toán truyền nhiệt nên tác giả lựa chọn đề tài "ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT" cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng phần mềm Mathematica để tìm lời giải cho toán truyền nhiệt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng phần mềm Mathematica để tìm lời giải cho toán truyền nhiệt Đối tượng nghiên cứu: Phương trình truyền nhiệt, phần mềm Mathematica Phạm vi nghiên cứu: Xem xét tìm lời giải phương trình truyền nhiệt không gian chiều, hai chiều ba chiều lớp hàm hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Mô tả nghiệm toán truyền nhiệt công thức Poisson Footer Page of 126 Header Page of 126 dạng tổng vị nhiệt thể tích vị nhiệt bề mặt, từ ta nhận nghiệm toán Các kiến thức sử dụng luận văn thuộc lĩnh vực: Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Giải tích, Phương trình vi phân, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng đề tài tài liệu tham khảo sinh viên ngành Toán đối tượng quan tâm đến toán truyền nhiệt Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương Trình bày số khái niệm, định nghĩa, định lý chứng minh tồn nghiệm phương trình truyền nhiệt đồng thời giới thiệu phương pháp tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt công thức Poisson Chương Giới thiệu tổng quan phần mềm Mathematica tính cụ thể sử dụng phổ biến chương Chương Ứng dụng phần mềm Mathematica việc tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt cách lập câu lệnh hàm thực cho công thức Poisson Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 1.1 Phương trình khuếch tán Các trình phân bổ nhiệt độ khuếch tán hạt môi trường mô tả phương trình khuếch tán sau đây: ∂u = div(pgradu) − qu + F (x, t), (1.1) ρ ∂t toán tử div gradu xác định bởi: n div(pgradu) = i=1 ∂ ∂u (p ) ∂xi ∂xi Ta cần xây dựng phương trình truyền nhiệt Kí hiệu u(x, t) nhiệt độ môi trường điểm x vào thời điểm t (x điểm không gian với số chiều hữu hạn tùy ý).Ta mặc định môi trường cho đẳng hướng kí hiệu ρ(x), c(x) k(x) mật độ, nhiệt dung riêng, hệ số dẫn nhiệt điểm x F (x, t) cường độ nguồn nhiệt điểm x vào thời điểm t Ta coi lượng nhiệt cân thể tích V sau khoảng thời gian (t, t + t) Kí hiệu S biên V n hướng truyền nhiệt S Theo định luật Furier qua mặt S vào V có lượng nhiệt truyền vào: ∂u Q1 = k dS∆t = (kgradu, n)dS∆t (1.2) ∂n S S theo công thức Gauss-Ostragradxki: Q1 = div(kgradu)dx∆t V Footer Page of 126 (1.3) Header Page of 126 Khi lượng nhiệt sinh V là: Q2 = F (x, t)dx∆t (1.4) V Khi nhiệt độ V sau khoảng thời gian (t, t + ∆t) là: ∂u ∆t ∂t u(x, t + ∆t) − u(x, t) Khi nhiệt độ cần thiết vật V thay đổi nhiệt độ là: Q3 = cρ V ∂u dx∆t ∂t (1.5) Nhưng Q3 = Q1 + Q2 , thế: [div(kgradu) + F − cρ V ∂u dx∆t] = ∂t Do V lấy tùy ý nên ta nhận phương trình truyền nhiệt: cρ ∂u = div(kgradu) + F (x, t) ∂t (1.6) môi trường c, ρ, k số Khi (1.6) viết dạng: ∂u = a2 ∆u + f, (1.7) ∂t n ∂ 2u k F với a = , f = , ∆u = Khi phương trình (1.7) gọi cρ cρ i=1 ∂xi phương trình truyền nhiệt 1.2 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt nằm việc xác định hàm u(t) ∈ C ((−∞, +∞) ⊗ (0, ∞)), thỏa mãn phương trình: ∂u 2∂ u −a = f (x, t), ∂t ∂x2 (1.8) u |t=0 = u0 (x) (1.9) với điều kiện đầu: Footer Page of 126 Header Page of 126 1.3 Giá trị max nghiệm phương trình Định lý 1.1 Nếu hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt ∂u 2∂ u = 0, (1.10) −a ∂t ∂x2 miền Gl,T = (−l, l) ⊗ (0, T ) liên tục Gl,T = [−l, l] ⊗ [0, T ], nhận giá trị lớn nhỏ phần biên Sl,T cấu thành từ đoạn [−l, l] trục Ox đoạn {x = −l, ≤ t ≤ T } ∪ {x = l, ≤ t ≤ T } 1.4 Định lý nghiệm cho phương trình Định lý 1.2 Nghiệm toán đầu lớp hàm hữu hạn với −∞ < x < ∞ t > 1.5 Công thức Poisson Nghiệm toán truyền nhiệt sau đây: ∂u 2∂ u −a = f (x, t), ∂t ∂x2 (1.11) u(x, t) |t=0 = u0 (x) (1.12) với điều kiện tìm công thức Poisson sau: ∞ t u(x, t) = [ 2a π(t − τ ) f (y, τ )e −∞ − 4a(x−y) (t−τ ) ∞ dy]dτ + √ 2a πt e − (x−y) 4a2 t u0 (y)dy −∞ (1.13) Ta đưa vào kí hiệu sau đây: G(a, x, t) = Footer Page of 126 x2 √ e− 4a2 t , 2a πt Header Page of 126 công thức (1.13) trường hợp (không gian) chiều viết dạng: t ∞ ∞ G(a, x − y, t − s)f (y, s)dyds + u(x, t) = −∞ G(a, x − y, t)u0 (y)dy −∞ (1.14) Công thức (1.14) dùng trường hợp n chiều (không gian n chiều) có dạng: u(x1 , x2 , , xn , t) = ∞ t ∞ = ∞ −∞ −∞ ∞ ∞ + −∞ −∞ Gn (a, x − y, t − s)f (y1 , y2 , , yn , s)dy1 dy2 dyn ds+ −∞ ∞ Gn (a, x − y, t − s)u0 (y1 , y2 , , yn , s)dy1 dy2 dyn , −∞ đó, Gn (a, x−y, t−s) = Gn (a, x1 −y1 , t−s)Gn (a, x2 −y2 , t−s) Gn (a, xn −yn , t−s) Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG MỘT VÀI NÉT SƠ BỘ VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 2.1 Giới thiệu sơ Mathematica Mathematica ngôn ngữ tích hợp đầy đủ tính toán kĩ thuật Là dạng ngôn ngữ dựa nguyên lý xử lý liệu đặc trưng Nhờ khả mô hình hóa mô phỏng, Mathematica không ứng dụng lĩnh vực vật lý, kỹ thuật toán mà mở rộng ứng dụng lĩnh vực phức tạp khác Phiên 8.0 phiên 2.2 Giao diện tương tác Mathematica Mathematica đưa giao diện thân thiện với người sử dụng đặt tên ghi (notebook - thường gọi tắt nb) 2.3 Các tính Mathematica Khả tính toán số Khả tính toán với biến tượng trưng Khả đồ họa hai chiều ba chiều Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 2.4 Một số hàm thông dụng Mathematica Trong Mathematica Sqrt[x] Log[x] Sin[x] Cos[x] T an[x] Log[a, b] Arcsin[x] Exp[x] F actoria[n], n! M od[n, m] Biểu thức toán √ x ln(x) sin(x) cos(x) tan(x) loga b arcsin(x) ex n! n Số dư m F actorInteger Phân tích thừa số nguyên tố n Abs[x] Giá trị tuyệt đối x y x xy √ n x1/n x x ∗ y xy x nhân y Sinh[x] Hàm Hype sin Cosh[x] Hàm Hype cos T anh[x] Hàm Hype tang Pi số π Limit[f (x), x → x0 ] Tính giới hạn Sum[biểu thức, {i, imin , imax }] Tính tổng D[f (x), x] Tính đạo hàm Intergrate[f (x), x] Tính nguyên hàm Intergrate[f (x), {x, a, b}] Tính tích phân xác định Solve[f (x) == 0, x] Giải phương trình Solve[{f1 == 0, f2 == 0}, {x, y}] Giải hệ phương trình Simplif y[f (x), x] Đơn giản biểu thức P lot[f (x), {x, a, b}] Vẽ đồ thị Ngoài Mathematica có tính khai báo hàm số Footer Page 10 of 126 10 Header Page 12 of 126 && x ∈ Reals] ∞ V2a’[a− , f− ] := Simplify[ G[a, y, s]∗f [x−y, t−s] dy, < s < t −∞ && x ∈ Reals] ∞ G[a, x − y, s] ∗ f [y, t − s] dy, < s < t V2b[a− , f− ] := Simplify[ −∞ && x ∈ Reals] ∞ V2c[a− , f− ] := Simplify[ G[a, y, t − s] ∗ f [x − y, s] dy, < s < t −∞ && x ∈ Reals] • Lệnh gán để tìm vị nhiệt thể tích t V dS, t > && x ∈ Reals] Inp1[V− ] := Simplify[ V3a[a− , f− ] := Inp1[V2a[a, f ]] V3c[a− , f− ] := Inp1[V2c[a, f ]] V3b[a− , f− ] := Inp1[V2b[a, f ]] V3a’[a− , f− ] := Inp1[V2a’[a, f ]] • Hàm kiểm tra tính xác nghiệm tìm k1 := Simplify[(D[#4, t] − #12 ∗ (D[#4, x1, x1] + D[#4, x2, x2]+ +D[#4, x3, x3]) − #2), x1 ∈ Reals; x2 ∈ Reals; x3 ∈ Reals]& k0 := Simplify[(Limit, #4, t → 0, Direction → −1] − #3), x1 ∈ Reals; ; x2 ∈ Reals]; x3 ∈ Reals]& k := {k1[#1, #2, #3, #4], k0[#1, #2, #3, #4]}&; Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 3.1.2 Áp dụng để giải toán Cauchy R1 Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm toán sau đây: ∂u ∂ 2u − 2 = e−t cos x; u |t=0 = cos x ∂t ∂x Nhập giá trị ban đầu f11, u11, a11: f11[x− , t− ] := exp[−t] ∗ cos x; u11[x− ] := cos x; a11 := 1; Tính vị nhiệt bề mặt cách gán giá trị a11, u11 cho hàm V1a’: V11[x− , t− ] := V1a’[a11, u11] e−4t cos x Tính vị nhiệt thể tích cách gán giá trị a11, f11 cho hàm V3c: V11’[x− , t− ] := V3c[a11, f11] −4t e (−1 + e3t ) cos x Tổng vị nhiệt bề mặt vị nhiệt thể tích nghiệm toán: e−4t cos x + e−4t (−1 + e3t ) cos x Kiểm tra tính xác nghiệm toán: k[a11,f11[x1, t], a11[x1], V[x1, t] ] {0, 0} Hình 3.1: Đồ thị hàm e−4t cos x + e−4t (−1 + e3t ) cos x Footer Page 13 of 126 12 Header Page 14 of 126 Nghiệm phương trình truyền nhiệt R2 3.2 3.2.1 Thiết lập hàm câu lệnh R2 • Định nghĩa hàm G G[a, x, t] − 4ax t e √ √ 2a π t • Các hàm tính vị nhiệt bề mặt V11a[a− , u− ] := Simplify[Integrate[ G[a, x1−y1, t]∗G[a, x2−y2, t]∗ ∗u[y1, y2], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], t > 0] V11b[a− , u− ] := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t] ∗ G[a, y2, t]∗ ∗u[y1, x2 − y2], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], t > 0] V11c[a− , u− ] := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t] ∗ G[a, x2 − y2, t]∗ ∗u[x1 − y1, y2], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], t > 0] V11d[a− , u− ] := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t] ∗ G[a, y2, t]∗ ∗u[x1 − y1, x2 − y2], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], t > 0] • Các hàm tính vị nhiệt thể tích V22a[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, t − s]∗ ∗f [y1, y2, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] V22b[a− , f− ] := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, s] ∗ G[a, x2 − y2, s]∗ ∗f [y1, y2, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 V22c[a− , f− ] := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, y2, t − s]∗ ∗f [y1, x2 − y2, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] V22d[a− , f− ] := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, s] ∗ G[a, y2, s]∗ ∗f [y1, x2 − y2, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] V22e[a− , f− ] := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, s]∗ ∗f [x1 − y1, y2, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] V22f[a− , f− ] := Simplify[Integrate[ G[a, y1, s] ∗ G[a, x2 − y2, s]∗ ∗f [x1 − y1, y2, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] V22g[a− , f− ] := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, y2, t − s]∗ ∗f [x1 − y1, x2 − y2, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] V22h[a− , f− ] := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, y2, s]∗ ∗f [x1 − y1, x2 − y2, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}], < s < t] • Lệnh gán để tìm vị nhiệt thể tích Inp2[V− ] := Simplify[Integrate[V, {s, 0, t}], t > 0] V33a[a− , f− ] := Inp2[V22a[a, f ]]; V33e[a− , f− ] := Inp2[V22e[a, f ]]; V33b[a− , f− ] := Inp2[V22b[a, f ]]; V33f[a− , f− ] := Inp2[V22f[a, f ]]; V33c[a− , f− ] := Inp2[V22c[a, f ]]; V33g[a− , f− ] := Inp2[V22g[a, f ]]; V33d[a− , f− ] := Inp2[V22d[a, f ]]; V33h[a− , f− ] := Inp2[V22h[a, f ]]; • Hàm kiểm tra tính xác nghiệm tìm k1 := Simplify[(D[#4, t] − #12 ∗ (D[#4, x1, x1] + D[#4, x2, x2]+ +D[#4, x3, x3]) − #2), x1 ∈ Reals; x2 ∈ Reals; x3 ∈ Reals]&; Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 k0 := Simplify[(Limit, #4, t → 0, Direction → −1] − #3), x1 ∈ Reals; ; x2 ∈ Reals]; x3 ∈ Reals]&; k := {k1[#1, #2, #3, #4], k0[#1, #2, #3, #4]}&; Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm toán sau ∂u ∂ 2u ∂ 2u − 4( + ) = e−t ; ∂t ∂x ∂y u |t=0 = cos x sin y Nhập giá trị ban đầu f21, u21, a21: f21[x1− , x2− , t− ] := Exp[−t]; u21[x1− , x2− ] := Cos[x1] ∗ Sin[x2]; a21 := 2; Tính vị nhiệt bề mặt cách gán giá trị a21, u21, f21 cho hàm V11a, V11b,V11c, V11d: V11a[a21, u21] − ie−8t−i(x1+x2) (1 + e2ix1 )(−1 + e2ix2 ) V11b[a21, u21] −8t−ix1 ie (1 + e2ix1 )Sin[x2] V11c[a21, u21] − ie−8t−ix2 (−1 + e2ix2 )Cos[x1] V11d[a21, u21] e−8t Cos[x1]Sin[x2] Ta chọn vị nhiệt bề mặt V11d kết gọn nhất, đó: Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 V21’[x1− , x2− , t− ] := e−8t Cos[x1]Sin[x2]; Tính vị nhiệt thể tích cách gán giá trị f21, u21, f21 cho hai hàm V33a V33h ta nhận kết quả: V33a[a21, f21] − e−t V33h[a21, f21] − e−t Ta có kết vị nhiệt thể tích: V21”[x1− , x2− , t− ] := − e−t Tổng vị nhiệt bề mặt vị nhiệt thể tích nghiệm toán: V21[x1− , x2− , t− ] := (V21’[x1, x2, t] + V21”[x1, x2, t])/.{x1 → x, x2 → y} − e−t + e−8t Cos[x1]Sin[x2] Kiểm tra tính xác nghiệm toán: k[a21,f21[x1, x2, t], u21[x1, x2], V21[x1, x2, t] ] {0, 0} Hình 3.2: Đồ thị hàm − e−t + e−8t Cos[x1]Sin[x2] Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 Nghiệm phương trình truyền nhiệt R3 3.3 3.3.1 Thiết lập hàm câu lệnh R3 • Định nghĩa hàm G G[a, x, t] − 4ax t e √ √ 2a π t • Các hàm tính vị nhiệt bề mặt V111a[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t] ∗ G[a, x2 − y2, t] ∗ G[a, x3 − y3, t]∗ ∗u[y1, y2, y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, {y3, −∞, ∞}], t > 0] V111b[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t] ∗ G[a, x2 − y2, t] ∗ G[a, y3, t]∗ ∗u[y1, y2, x3 − y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, {y3, −∞, ∞}], t > 0] V111c[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t] ∗ G[a, y2, t] ∗ G[a, x3 − y3, t]∗ ∗u[y1, x2 − y2, y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, {y3, −∞, ∞}], t > 0] V111d[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t] ∗ G[a, y2, t] ∗ G[a, y3, t]∗ ∗u[y1, x2 − y2, x3 − y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, {y3, −∞, ∞}], , t > 0] Footer Page 18 of 126 17 Header Page 19 of 126 V111e[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t] ∗ G[a, x2 − y2, t] ∗ G[a, x3 − y3, t]∗ ∗u[x1 − y1, y2, y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, {y3, −∞, ∞}], t > 0] V111f[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t] ∗ G[a, x2 − y2, t] ∗ G[a, y3, t]∗ ∗u[x1 − y1, y2, x3 − y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, {y3, −∞, ∞}], , t > 0] V111g[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t] ∗ G[a, y2, t] ∗ G[a, x3 − y3, t]∗ ∗u[x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], t > 0] V111h[a− , u− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1, t] ∗ G[a, y2, t] ∗ G[a, y3, t]∗ ∗u[x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], t > 0] • Các hàm tính vị nhiệt thể tích V222a[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, t − s]∗ ∗G[a, x3 − y3, t − s] ∗ f [y1, y2, y3, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 V222b[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, s]∗ ∗G[a, x3 − y3, s] ∗ f [y1, y2, y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222c[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, t − s]∗ ∗G[a, y3, t − s] ∗ f [y1, y2, x3 − y3, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222d[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, s] ∗ G[a, x2 − y2, s]∗ ∗G[a, y3, t − s] ∗ f [y1, y2, x3 − y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222e[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, y2, t − s]∗ ∗G[a, x3 − y3, t − s] ∗ f [y1, x2 − y2, y3, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222f[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, s] ∗ G[a, y2, s]∗ ∗G[a, x3 − y3, s] ∗ f [y1, x2 − y2, y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] Footer Page 20 of 126 19 Header Page 21 of 126 V222g[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, y2, t − s]∗ ∗G[a, y3, t − s] ∗ f [y1, x2 − y2, y3, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222h[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, x1 − y1, t − s] ∗ G[a, y2, t − s]∗ ∗G[a, y3, t − s] ∗ f [y1, x2 − y2, x3 − y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222i[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, t − s]∗ ∗G[a, x3 − y3, t − s] ∗ f [x1 − y1, y2, y3, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222j[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, t − s]∗ ∗G[a, x3 − y3, t − s] ∗ f [x1 − y1, y2, y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222k[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, x2 − y2, t − s]∗ ∗G[a, y3, t − s] ∗ f [x1 − y1, y2, x3 − y3, s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222l[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, s] ∗ G[a, x2 − y2, s]∗ ∗G[a, y3, s] ∗ f [x1 − y1, y2, x3 − y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222m[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, y2, t − s]∗ ∗G[a, x3 − y3, t − s] ∗ f [x1 − y1, x2 − y2, y3, s], {y1, −∞, ∞}, , {y2, −∞, ∞}, {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222n[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, s] ∗ G[a, y2, s] ∗ G[a, x3 − y3, s]∗ ∗f [x1 − y1, x2 − y2, y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222o[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, t − s] ∗ G[a, xy2, t − s] ∗ G[a, y3, s]∗ ∗f [x1 − y1, x1 − y2, x3 − y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] V222p[a− , f− ] := := Simplify[Integrate[ G[a, y1, s] ∗ G[a, y2, s] ∗ G[a, y3, s]∗ ∗f [x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3, t − s], {y1, −∞, ∞}, {y2, −∞, ∞}, , {y3, −∞, ∞}], < s < t] Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 • Lệnh gán để tìm vị nhiệt thể tích Inp3[V− ] := Simplify[Integrate[V, {s, 0, t}], t > 0] V333a[a− , f− ] := Inp3[V222a[a, f ]]; V333i[a− , f− ] := Inp3[V222i[a, f ]]; V333b[a− , f− ] := Inp3[V222b[a, f ]]; V333j[a− , f− ] := Inp3[V222j[a, f ]]; V333c[a− , f− ] := Inp3[V222c[a, f ]]; V333k[a− , f− ] := Inp3[V222k[a, f ]]; V333d[a− , f− ] := Inp3[V222d[a, f ]]; V333l[a− , f− ] := Inp3[V222l[a, f ]]; V333e[a− , f− ] := Inp3[V222e[a, f ]]; V333m[a− , f− ] := Inp3[V222m[a, f ]]; V333f[a− , f− ] := Inp3[V222f[a, f ]]; V333n[a− , f− ] := Inp3[V222n[a, f ]]; V333g[a− , f− ] := Inp3[V222g[a, f ]]; V333o[a− , f− ] := Inp3[V222o[a, f ]]; V333h[a− , f− ] := Inp3[V222h[a, f ]]; V333p[a− , f− ] := Inp3[V222p[a, f ]]; • Hàm kiểm tra tính xác nghiệm tìm k1 := Simplify[(D[#4, t] − #12 ∗ (D[#4, x1, x1] + D[#4, x2, x2]+ +D[#4, x3, x3]) − #2), x1 ∈ Reals; x2 ∈ Reals; x3 ∈ Reals]&; k0 := FullSimplify[(Limit, #4, t → 0, Direction → −1] − #3), , x1 ∈ Reals; x2 ∈ Reals]; x3 ∈ Reals]&; k := {k1[#1, #2, #3, #4], k0[#1, #2, #3, #4]}&; 3.3.2 Áp dụng để giải toán Cauchy R3 Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm toán sau ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u − ( + + ) = e−t cos(x − y); ∂t ∂x ∂y ∂z u |t=0 = e−(x+2z) Nhập giá trị ban đầu f31, u31, a31: f31[x1− , x2− , x3− , t− ] := Exp[−t] ∗ Cos[x1 − x2]; Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 u31[x1− , x2− , x3− ] := Exp[(−x1 + ∗ x3)]2 ; a31 := 1; Tính vị nhiệt bề mặt cách gán giá trị a31, u31, f31 cho hàm tính vị nhiệt bề mặt: V111a[a31, u31] − (x1+2x3) 1+20t e √ + 20t V111f[a31, u31] − (x1+2x3) 1+20t e √ + 20t V111g[a31, u31] − (x1+2x3) 1+20t e √ + 20t Do kết giống nên vị nhiệt bề mặt: (x1+2x3)2 e− 1+20t V31’[x1− , x2− , x3− , t− ] := √ ; + 20t Tính vị nhiệt thể tích cách gán giá trị f31, u31, f31 cho hàm tính vi nhiệt thể tích: V333a[a31, f31] −2t−i(x1+x2) e (−1 + et )(e2ix1 + e2ix2 ) V333h[a31, f31] −2t−i(x1+x2) e (−1 + et )(e2ix1 + e2ix2 ) Ta chọn kết vị nhiệt thể tích: V31”[x1− , x2− , t− ] := e−2t−i(x1+x2) (−1 + et )(e2ix1 + e2ix2 ) Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 Tổng vị nhiệt bề mặt vị nhiệt thể tích nghiệm toán: V31[x1− , x2− , x3− , t− ] := (V31’[x1, x2, x3, t] + V31”[x1, x2, x3, t])/ {x1 → x, x2 → y, x3 → z} − (x+2y) 1+20t −2t−i(x+y) e e (−1 + et )(e2ix + e2iy ) + √ + 20t Kiểm tra tính xác nghiệm toán: k[a31,f31[x1, x2, x3, t], u31[x1, x2, x3], V31[x1, x2, x3, t] ] {0, 0} (x+2y)2 e− 1+20t Hình 3.3: Đồ thị hàm e−2t−i(x+y) (−1 + et )(e2ix + e2iy ) + √ + 20t Footer Page 25 of 126 24 Header Page 26 of 126 KẾT LUẬN Trong luận văn, tác giả tập trung nghiên cứu nhận số kết sau đây: Hệ thống lại số kiến thức phương trình truyền nhiệt Chứng minh số định lý cách xúc tích, dễ hiểu Thiết lập hàm thực phần mềm Mathematica để tìm nghiệm toán truyền nhiệt thông qua công thức Poisson trường hợp n = 1, n = 2, n = Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa cho toán truyền nhiệt Mathematica Sử dụng phần mềm Mathematica để mô tả dáng điệu đồ thị nghiệm nhận ví dụ Công bố 02 báo có liên quan trực tiếp đến nội dung luận văn Tap chí Khoa học công nghệ (xem [4], [5] mục Tài liệu tham khảo) Footer Page 26 of 126 ... tài "ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT" cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng phần mềm Mathematica để tìm lời giải cho toán truyền nhiệt. .. sử dụng phần mềm Mathematica để tìm lời giải cho toán truyền nhiệt Đối tượng nghiên cứu: Phương trình truyền nhiệt, phần mềm Mathematica Phạm vi nghiên cứu: Xem xét tìm lời giải phương trình truyền. .. việc ứng dụng phần mềm toán học cho toán truyền nhiệt công việc ý nghĩa tự nhiên Với mong muốn mang lại thú vị công cụ phương thức lựa chọn cho thân đối tượng có quan tâm đến toán truyền nhiệt