Môđun ADS cốt yếu

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài MƠĐUN ADS CỐT YẾU SVTH: Nguyễn Thị Hương Đà Nẵng - Tháng 6/2014 LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình làm khóa luận tốt nghiệp với lời biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến thầy giáo TS Trương Công Quỳnh lời cảm ơn chân thành giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy giúp em hồn thành tốt khóa luận Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy cô giáo Khoa Tốn giảng dạy tận tình quan tâm, động viên em suốt trình học tập trường Đặc biệt em xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo chủ nhiệm, thầy Tôn Thất Tú giúp đỡ, dìu dắt chúng em năm học tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận Một phần khơng thể qn suốt năm đại học tình cảm chân thành, tình đồn kết bạn sinh viên lớp 10CTT1 động viên, giúp đỡ em vượt qua nhiều khó khăn học tập sống Xin gửi đến bạn lời cảm ơn sâu sắc từ trái tim Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến người thân, gia đình người bên cạnh em, cổ vũ tình thần lớn lao ủng hộ em suốt thời gian qua Mặc dù cố gắng khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy giáo bạn sinh viên đánh giá góp ý để khóa luận hồn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 19 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Hương Mục lục LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun đồng cấu môđun 1.2 Môđun nội xạ môđun cốt yếu Môđun nội xạ cốt yếu 11 2.1 Định nghĩa ví dụ 11 2.2 Một số kết 11 Môđun ADS cốt yếu 22 3.1 Định nghĩa 22 3.2 Môđun ADS cốt yếu 22 3.3 Vành ADS cốt yếu 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Cùng với phát triển tốn học đại nói chung, lý thuyết mơđun nhà toán học nghiên cứu đạt nhiều kết xuất sắc Trong lý thuyết mơđun, hai lớp mơđun nhà tốn học quan tâm nghiên cứu lớp môđun nội xạ lớp môđun xạ ảnh Dựa yếu tố nội xạ, người ta mở rộng nhiều lớp môđun như: giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, lớp CS-môđun Bên cạnh đó, lớp mơđun nội xạ cốt yếu có số kết nghiên cứu song cịn nhiều tính chất chưa tìm Vì việc nghiên cứu môđun nội xạ cốt yếu dựa yếu tố nội xạ cốt yếu để xây dựng nên lớp mơđun vấn đề có ý nghĩa cần thiết Đó lí chọn đề tài: "Môđun ADS cốt yếu" để thực Mục đích nghiên cứu đề tài: Trước hết đề tài thực với mục đích tìm hiểu sâu tính chất mơđun giả nội xạ cốt yếu (xem [11]) Từ tìm thấy liên quan tính chất việc nghiên cứu tính chất mơđun nội xạ cốt yếu chứng minh giả thiết đặt Hơn nữa, chúng tơi cịn nghiên cứu thử đặt giả thiết để tìm tính chất MỤC LỤC MỤC LỤC mơđun nội xạ cốt yếu Những tính chất chúng tơi trình bày cách cụ thể chương Dựa tính chất có mơđun ADS (xem [12]), kết hợp với tính nội xạ cốt yếu, xây dựng nên khái niệm mơđun ADS cốt yếu dựa yếu tố phần bù, mơđun cốt yếu để từ xây dựng nên tính chất loại mơđun Mục đích cuối đề tài tìm tính chất hồn tồn mơđun nội xạ cốt yếu môđun ADS cốt yếu, sau trình bày phần chứng minh cách rõ ràng Giới hạn việc giải đề tài: Đề tài giới hạn việc tìm tính chất môđun nội xạ cốt yếu, môđun ADS cốt yếu, từ xây dựng nhìn tổng qt môđun ADS với điều kiện cốt yếu Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu đề tài này, chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu phương pháp phân tích, so sánh, chứng minh tổng hợp Các phương pháp cụ thể: sử dụng tài liệu giảng viên hướng dẫn, tài liệu tham khảo khác thông tin, tư liệu internet, báo chí, liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu, từ chắt lọc thông tin, tư liệu cần thiết, sử dụng phương pháp phân tích, so sánh, chứng minh cuối tổng hợp lại để hoàn thành đề tài Cấu trúc nghiên cứu: Ngoài phần Mở đầu Kết luận, nội dung đề tài gồm chương: MỤC LỤC MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị Các khái niệm đề cập chủ yếu chương môđun, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp môđun, môđun nội xạ, môđun cốt yếu, bao nội xạ phần bù môđun Chương Môđun nội xạ cốt yếu Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tìm kết môđun nội xạ cốt yếu Tiêu biểu như: Định lý 2.2.2, chứng minh môđun M N -nội xạ cốt yếu tồn đồng cấu h : N −→ M cho f = hg, f đồng cấu từ A vào M cho Kerf ≤e A g đơn cấu cốt yếu từ A vào N ; Định lý 2.2.3, môđun M N -nội xạ cốt yếu α(N ) ≤ M với đồng cấu α : E(N ) −→ E(M ) với Kerα ≤e E(N ) Chương Môđun ADS cốt yếu Dựa yếu tố nội xạ cốt yếu, tìm tính chất hồn tồn mơđun ADS cốt yếu Tiêu biểu Định lí 3.2.3, tơi tìm tương đương điều kiện sau: M môđun ADS cốt yếu, α(M ) ≤ M với α2 = α ∈ End(E(M )) cho M = M ∩ (1 − α)(E(M )) diễn E(M ) = E1 M = (E1 ∩ M ) B M ∩ α(E(M )) ∩ B ≤e B cuối biểu E2 với M = (E1 ∩ M ) (E2 ∩ M ) B M ∩ E2 ∩ B ≤e B Một số ký hiệu đề tài N ≤M N môđun M N ≤e M N môđun cốt yếu M N N tổng trực tiếp với M M Hom(M, N ) = {f |f : M −→ N đồng cấu } End(M ) Tự đồng cấu M E(M ) Bao nội xạ M N N đẳng cấu với M M Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn đề tài xét đến R vành có đơn vị = 0, khơng thiết giao hốn 1.1 Mơđun đồng cấu mơđun Định nghĩa 1.1.1 Cho nhóm aben (M, +) M gọi R-mơđun phải M người ta trang bị phép nhân (ngồi) · : M × R −→ M (m, r) −→ mr thỏa mãn tính chất sau: • (mr)r = m(rr ) • m(r + r ) = mr + mr • (m + m )r = mr + m r • 1m = m ∀m, m ∈ M, ∀r, r ∈ R 1.2 MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CỐT YẾU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ký hiệu: MR Hồn tồn tương tự ta có khái niệm R-môđun trái Ký hiệu: R M Trong tồn đề tài chúng tơi xét trường hợp M R-môđun phải Định nghĩa 1.1.2 Cho A B hai R-môđun phải Đồng cấu α từ A vào B ánh xạ thỏa: α(a1 + a2 ) = α(a1 ) + α(a2 ) α(ar) = α(a)r với a1 , a2 ∈ A r ∈ R Cho đồng cấu f : M −→ N, Kerf = {x ∈ M/f (x) = 0N } hạt nhân đồng cấu f Khi f đơn cấu Kerf = Imf = {f (x)/x ∈ M } = f (M ) ảnh đồng cấu f Khi f tồn cấu Imf = f (M ) = N 1.2 Môđun nội xạ môđun cốt yếu Định nghĩa 1.2.1 Cho U mơđun Nếu M mơđun U gọi nội xạ theo M (U M -nội xạ) trường hợp với đơn cấu f : K −→ M đồng cấu v : K −→ U tồn R-đồng cấu v¯ : M −→ U cho v¯f = v Môđun U gọi môđun nội xạ U M -nội xạ với R-môđun phải M Định lý 1.2.2 (Tiêu chuẩn Baer) Cho iđêan phải I R đồng cấu f : I −→ Q tồn đồng cấu f¯ : RR −→ Q cho f¯i = f với i : I −→ RR đơn cấu tắc Định nghĩa 1.2.3 Cho A ≤ M , A gọi cốt yếu M với 2.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CHƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU (iv) Giả sử A, B môđun nội xạ cốt yếu lẫn Xét đẳng cấu g : E(A) −→ E(B) Suy g(A) ≤ B g −1 (B) ≤ A (theo Định lí 3.2.3) Do g|A : A −→ B đẳng cấu Vì A mơđun B-nội xạ cốt yếu A đẳng cấu với B nên A môđun A-nội xạ cốt yếu (theo (ii)), A mơđun nội xạ cốt yếu Tương tự B môđun nội xạ cốt yếu Cho M môđun, M gọi nửa đơn với A ≤ M A hạng tử trực tiếp M Định lý 2.2.8 Cho M, N môđun Giả sử N = A B, M = C D tồn đồng cấu α : B −→ D cho Kerα ≤e B Khi M N -nội xạ cốt yếu C A-nội xạ cốt yếu Chứng minh Giả sử N = A B, M = C D tồn đồng cấu α : B −→ D cho Kerα ≤e B Cho H ≤ A, xét đồng cấu f : H −→ C cho Kerf ≤e H Đặt f B −→ M α:H a + b −→ f (a) + α(b) Ta có Kerf Ker(f Kerα ≤e H α) ≤e H B (vì Kerf ≤e H Kerα ≤e B) Do B Vì M mơđun N -nội xạ cốt yếu nên tồn đồng cấu g : N −→ M cho g|H B α Đặt f¯ = πgiA với iA : A −→ N =f π : M −→ C Khi f¯|H = f Vậy C môđun A-nội xạ cốt yếu 21 Chương Môđun ADS cốt yếu 3.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1.1 M gọi ADS cốt yếu biểu diễn M = S T phần bù T S cho T ∩ T ≤e T M = S 3.2 T Mơđun ADS cốt yếu Bổ đề 3.2.1 Cho M R-mơđun Khi M ADS cốt yếu với biểu diễn M = A B, A B môđun nội xạ cốt yếu lẫn Chứng minh Theo Định lí 2.2.5 Mệnh đề 3.2.2 Mọi hạng tử trực tiếp môđun ADS cốt yếu ADS cốt yếu Chứng minh Cho M = N N môđun ADS cốt yếu Chúng ta N ADS cốt yếu Thật vậy, giả sử N = K1 M = (K1 K2 ) K2 Khi N Vì M ADS cốt yếu nên K1 K2 -nội xạ cốt yếu 22 3.2 MÔĐUN ADS CỐT YẾU CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU K2 K1 -nội xạ cốt yếu Do N ADS cốt yếu Định lý 3.2.3 Cho M mơđun Khi điều kiện sau tương đương: (i) M ADS cốt yếu (ii) α(M ) ≤ M với α2 = α ∈ End(E(M )) cho M = (M ∩ (1 − α)(E(M ))) B M ∩ α(E(M )) ∩ B ≤e B (iii) Mọi biểu diễn E(M ) = E1 B ≤e B M = (E1 ∩ M ) E2 với M = (E1 ∩ M ) B M ∩ E2 ∩ (E2 ∩ M ) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử M ADS cốt yếu Đặt A1 = M ∩ (1 − α)E(M ), A2 = M ∩ α(E(M )) M = A1 B Theo giả thiết ta có A2 ∩ B ≤e B A1 ∩ A2 = Gọi H phần bù A1 chứa A2 , với K ≤ B cho H ∩ B ∩ K = ta A2 ∩ B ∩ K = 0, kéo theo K = Điều chứng tỏ H ∩ B ≤e B Vì M ADS cốt yếu nên M = H π : A1 A1 Gọi H −→ H phép chiếu tự nhiên Ta M ∩(α−π)(M ) = Với x, y ∈ M , ta có: (α − π)(x) = y α(x) = π(x) + y ∈ M Suy α(x) ∈ M ∩ α(E(M )) = A2 Ngoài (1 − α)(x) = x − α(x) ∈ M ∩ (1 − α)(E(M )) = A1 Do = π((1 − α)(x)) = π(x) − α(x) = y, suy (α − π)(M ) = Vậy α(M ) ≤ M (ii) ⇒ (iii) Giả sử E(M ) = E1 E2 với M = (E1 ∩ M ) B M ∩ E2 ∩ B ≤e B Khi tồn α = α2 ∈ End(E(M )) cho E1 = (1−α)(E(M )) E2 = α(E(M )) Theo giả thiết E1 ∩ M = (1 − α)(E(M )) ∩ M hạng tử trực tiếp M M ∩ α(E(M )) ∩ B ≤e B nên theo (ii) ta α(M ) ≤ M Mặt khác với m ∈ M ta có (1 − α)(m) = m − α(m) ∈ M Nó kéo theo α(m) ∈ M ∩ E2 (1 − α)(m) ∈ M ∩ E1 Do m ∈ (E1 ∩ M ) (E2 ∩ M ) Vậy M = (E1 ∩ M ) 23 (E2 ∩ M ) 3.2 MÔĐUN ADS CỐT YẾU (iii) ⇒ (i) Cho M = A CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU B C phần bù A cho C ∩ B ≤e B Ta cần chứng minh M = A E(M ) = E(A) C Thật vậy, A C ≤e M nên E(C) Vì A C đóng M nên ta có E(A)∩M = A, E(C) ∩ M = C Vì A hạng tử trực tiếp M nên E(A) ∩ M hạng tử trực tiếp M C ∩ B ≤e B nên E(C) ∩ M ∩ B ≤e B Theo giả thiết ta có M = (E(A) ∩ M ) (E(C) ∩ M ) = A C Định lý 3.2.4 Cho M mơđun, điều kiện sau tương đương: (i) M ADS cốt yếu (ii) Mọi biểu diễn M = A B với f ∈ Hom(E(B), E(A)) cho Kerf ≤e E(B) M = A X, X = {b + f (b)|b ∈ B, f (b) ∈ A} Chứng minh (i) ⇒ (ii) Chúng ta X = {b + f (b)|b ∈ B, f (b) ∈ A} phần bù A M Chú ý A ∩ X = X ∩ B ≤e B Gọi L môđun M cho L ∩ A = X ≤ L, gọi πA , πB phép chiếu tự nhiên M lên A, B Ta chứng minh πA (x) = f πB (x) với x ∈ L Thật vậy, giả sử tồn (πA − f πB )(x) = Vì A ≤e E(A) nên tồn r ∈ R cho = (πA − f πB )(xr) ∈ A Mà πA (xr) − f πB (xr) = xr − (πB (xr) + f πB (xr)) ∈ A ∩ L = (mâu thuẫn) Do πA (x) = f πB (x) với x ∈ L Với x ∈ L, ta có: x = πA (x) + πB (x) = f (πB (x)) + πB (x) ∈ X Điều chứng tỏ L ⊂ X (ii) ⇒ (i) Với biểu diễn M = A⊕B với f ∈ Hom(E(B), E(A)) 24 3.2 MÔĐUN ADS CỐT YẾU CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU cho Ker(f ) ≤e E(B), ta có M = A ⊕ X X = {b + f (b)| b ∈ B, f (b) ∈ A} Điều chứng tỏ f (B) ≤ A Vậy A B-nội xạ cốt yếu (theo Định lí 2.2.3.) Bổ đề 3.2.5 Cho (Mi )i∈I A, B môđun R-môđun phải Mi = A⊕B Nếu với i, j ∈ I, HomR (Mi , Mj ) = 0, M cho M = i∈I n với i ∈ I, Mi = (A ∩ Mi ) ⊕ (B ∩ Mi ) A = n B= (A ∩ Mi ) i=1 (B ∩ Mi ) i=1 Ta nhắc lại, môđun N M gọi bất biến hoàn toàn với f ∈ End(M ) f (N ) ≤ N n Mệnh đề 3.2.6 Cho M = Mi tổng trực tiếp mơđun bất biến i=1 hồn tồn Mi Khi M ADS cốt yếu Mi ADS cốt n yếu Mi Mj -nội xạ cốt yếu với i = 1, 2, , n j=i Chứng minh Cho M = A⊕B Vì Mi bất biến hồn tồn, nên có Mi = (A ∩ Mi ) ⊕ (B ∩ Mi ) với i = 1, 2, , n Theo Bổ đề 3.2.5, n ta có A = n (A ∩ Mi ) B = i=1 (B ∩ Mi ) Vì Mi ADS cốt yếu, A ∩ Mi i=1 (B ∩ Mi )-nội xạ cốt yếu với i = 1, 2, , n Theo giả thiết, A ∩ Mi (B ∩ Mj )-nội xạ cốt yếu với i, j = 1, 2, , n i = j Nó kéo theo A ∩ Mi B-nội xạ cốt yếu với i = 1, 2, , n Vậy A B-nội xạ cốt yếu Chiều ngược lại theo Bổ đề 3.2.2 n Câu hỏi 3.2.7 Cho M = n cốt yếu Mi Mi Mi tổng trực tiếp môđun ADS i=1 Mj -nội xạ cốt yếu với i = 1, 2, , n Khi j=i M có ADS cốt yếu khơng? 25 3.2 MƠĐUN ADS CỐT YẾU CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU n Mi , với {E(Mi )}i họ môđun bất biến Bổ đề 3.2.8 Cho M = i=1 hoàn toàn E(M ) Khi M ADS cốt yếu Mi ADS cốt yếu với i = 1, 2, , n Chứng minh Cho M = A ⊕ B Giả sử với i ∈ {1, 2, n}, môđun Mi ADS cốt yếu, cần M ADS cốt yếu Theo Bổ n đề 3.2.5, Mj = (A∩Mj )⊕(B ∩Mj ) với j = 1, 2, , n, A = n B = (A∩Mi ) i=1 (B ∩ Mi ) Khi i=1 n n E(B ∩ Mi ) E(A ∩ Mi ), E(B) = E(A) = i=1 i=1 Gọi ϕ : E(B) → E(A) đồng cấu với Ker(ϕ) ≤e E(B) Với i = 1, 2, , n, đặt ϕi = ϕιi : E(B ∩ Mi ) → E(A) với ιi : E(B ∩ Mi ) → E(B) ánh xạ nhúng Nó kéo theo Ker(ϕi ) ≤e E(B ∩ Mi ) Cho j = i πj : E(A) → E(A ∩ Mj ) phép chiếu tự nhiên Khi πj ϕi : E(B ∩ Mi ) → E(A ∩ Mj ) suy πj ϕi = (theo giả thiết) Do ϕi (E(B ∩ Mi )) ≤ E(A ∩ Mi ) Vì Mi ADS cốt yếu, A ∩ Mi B ∩ Mi -nội xạ cốt yếu Định lí 2.2.3 ϕi (B ∩ Mi ) ≤ A ∩ Mi Do ϕ(B) ≤ A Nó có nghĩa A B-nội xạ cốt yếu (theo Định lí 2.2.3) Theo Bổ đề 3.2.2 M ADS cốt yếu Từ mệnh đề trên, ta có kết sau đây: Mệnh đề 3.2.9 Cho e1 , e2 , , en tập đầy đủ lũy đẳng trực giao đơi vành R Khi R-mơđun phải M ADS cốt yếu M ei ADS cốt yếu với i = 1, 2, , n n Chứng minh Theo Bổ đề 3.2.8, cần M = M ei i=1 26 3.2 MÔĐUN ADS CỐT YẾU CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU E(M ei ) mơđun bất biến hồn tồn E(M ) với i = n 1, 2, , n Vì = e1 + e2 + · · · + en nên M = n j = 1, 2, , n m ∈ M ej ∩ ( M ei Mặt khác, với i=1 M ei ), có m = mej Nó kéo i=j n n theo m = (mej )ej ∈ ( M ei )ej = Do M ei hạng tử trực tiếp i=1 i=j Chú ý M ei ≤e E(M )ei E(M )ei nội xạ với i = 1, 2, , n Vì E(M )ei bao nội xạ M ei với i = 1, 2, , n Điều chứng tỏ E(M ei ) mơđun bất biến hoàn toàn E(M ) với i = 1, 2, , n n Mi tổng trực Định lý 3.2.10 Cho M môđun tự sinh với M = i=1 tiếp môđun bất biến hồn tồn Mi Khi M ADS cốt yếu Mi ADS cốt yếu với i = 1, 2, , n Chứng minh Cho M = A ⊕ B Ta chứng minh A B-nội xạ cốt yếu Vì Mi bất biến hồn tồn, nên Mi = (A ∩ Mi ) ⊕ (B ∩ Mi ) với n n (A ∩ Mi ) B = i = 1, 2, , n, A = i=1 (B ∩ Mi ) theo Bổ đề 3.2.5 Khi i=1 n n E(A ∩ Mi ) E(B) = E(A) = i=1 E(B ∩ Mi ) i=1 Gọi ϕ : E(B) → E(A) đồng cấu Ker(ϕ) ≤e E(B) Với i = 1, 2, , n, đặt ϕi = ϕιi : E(B ∩ Mi ) → E(A) với ιi : E(B ∩ Mi ) → E(B) phép nhúng Khi Ker(ϕi ) ≤e E(B ∩ Mi ) Cho j = i πj : E(A) → E(A ∩ Mj ) phép chiếu tự nhiên Vì M mơđun tự sinh, nên πj ϕi (B ∩ Mi ) = Mặt khác, ta có Mi ADS cốt yếu πi ϕi : E(B ∩ Mi ) → E(A ∩ Mi ), πi ϕi (B ∩ Mi ) ≤ A ∩ Mi Nó kéo theo ϕ(B) ≤ A Nghĩa A B-nội xạ cốt yếu Vậy M ADS cốt yếu 27 3.3 VÀNH ADS CỐT YẾU 3.3 CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU Vành ADS cốt yếu Vành R gọi vành ADS cốt yếu RR môđun ADS cốt yếu Chúng ta bắt đầu chương với vành mở rộng sau  Định lý 3.3.1 Cho M S − R-song môđun Giả sử T =  S M R   ADS cốt yếu phải Khi (i) R ADS cốt yếu phải (ii) MR ADS cốt yếu Chứng minh (i) Cho RR = A ⊕ B,  I ≤ A và f :I  → B R-đồng  cấu  0 0 0 ¯ =    I¯ =  , B với Ker(f ) ≤e I Cho A¯ =  I B A ¯ hạng tử trực tiếp TT Chúng ta định nghĩa Dễ thấy A¯ ⊕ B     0 0 ¯ với θ(  Khi θ T -đồng cấu ) =  θ : I¯ → B f (r) r   0 ¯ Theo giả thiết, tồn  Ta Ker(θ) ≤e I Ker(θ) =  Ker(f ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ T -đồng cấuφ : A  → B J ≤e I cho φ(j) = θ(j) với 0 ¯ với J¯ =  ¯j ∈ J,  Rõ ràng φ R–đồng cấu Cho ι : A → A¯ với J     0 0 ¯ → B với π(  π : B ) = b Khi ι π ι(a) =  a b R-đồng cấu Vì J¯ ≤e I¯ nên J ≤e I, f¯ := πφι Vì       0 0 0 ) = πθ( ) = π( ) = f (j) f¯(j) = πφι(j) = πφ( j j f (j) 28 3.3 VÀNH ADS CỐT YẾU CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU với j ∈ J (ii) Giả sử MR = M1 ⊕ M cấu    M2 R-đồng 2 , N ≤M1 f: N → N M2 S M1 ¯ = ¯2 =  ¯1 =    N , M Ker(f ) ≤e N Đặt M 0 R 0   n ¯1 ⊕ M ¯ Ta định nghĩa θ : N ¯ → M ¯ với θ( ) = Dễ thấy TT = M 0   f (n) ¯ Theo giả thiết, tồn   Khi θ T -đồng cấu Ker(θ) ≤e N 0 ¯1 → M ¯ J¯ ≤e N ¯ cho φ(¯j) = θ(¯j) với T -đồng cấu φ : M   m ¯ Khi φ R-đồng cấu Cho ι : M1 → M ¯ với ι(m) =  ¯j ∈ J  0   m ¯ → M2 với π( ) = m Khi ι π R-đồng cấu Vì π:M r ¯ nên J ≤e N Do f¯ := πφι hay f¯(j) = f (j) J¯ ≤e N Bổ đề 3.3.2 Cho M R-môđun phải, L môđun M Giả sử R = ReR với e2 = e ∈ R S = eRe Khi đó: (i) L cốt yếu M Le cốt yếu (M e)S ; (ii) L phần bù M Le phần bù (M e)S ; (iii) L hạng tử trực tiếp M Le hạng tử trực tiếp (M e)S Chứng minh (:⇒) Giả sử L cốt yếu M Cho = me ∈ M e Tồn r R cho = mer = mere + mer(1 − e) ∈ L Trường hợp (i): = mere = (me)ere ∈ Le, điều cần chứng minh Trường hợp (ii): = mere Khi = mer(1 − e) ∈ L Vì R = ReR, 29 3.3 VÀNH ADS CỐT YẾU nên 1−e = i ebi CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU Tồn j cho = meraj ebj Khi = meraj e = (me)eraj e ∈ Le Theo trường hợp (i) (ii), Le cốt yếu (M e)S (⇐:) Giả sử Le cốt yếu (M e)S Cho = m = me + m(1 − e) ∈ M Trường hợp(iii): = me Tồn exe ∈ S cho (me)exe ∈ Le ⊆ L, suy điều phải chứng minh Trường hợp (iv): = me Khi m = m(1 − e) = m i ebi Do = maj e ∈ M e với j Tồn eye ∈ S cho = (maj e)eye ∈ Le ⊆ L Theo trường hợp (iii) (iv), L cốt yếu M Mệnh đề 3.3.3 Cho M R-mơđun phải, R = ReR với e2 = e ∈ R S = eRe Khi đó: (i) (M e)S mơđun ADS MR môđun ADS cốt yếu (ii) (Re)S ADS cốt yếu RR ADS cốt yếu (iii) SS ADS cốt yếu eRR ADS cốt yếu Chứng minh (i) Giả sử (M e)S môđun ADS cốt yếu Cho MR = X ⊕ Y C phần bù X cho C ∩ Y ≤e Y Khi M e = Xe ⊕ Y e Ce ∩ Y e ≤e Y e (theo Bổ đề 3.3.2) Vì (M e)S ADS cốt yếu mơđun, M e = Xe ⊕ Ce Theo Bổ đề 3.3.2 ta có MR = X ⊕ C Do MR ADS cốt yếu Bằng cách tương tự, ta chứng minh chiều ngược lại Mệnh đề (ii) (iii) suy từ (i) Định lý 3.3.4 Mn (R) ADS cốt yếu (⊕ni=1 Ri )R ADS cốt yếu, với Ri = R 30 3.3 VÀNH ADS CỐT YẾU CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU Chứng minh Dễ thấy Mn (R) = Mn (R)eMn (R), với e ma trận đơn vị vị trí (1, 1) vị trí cịn lại Điều cần chứng minh suy từ Mệnh đề 3.3.3 31 KẾT LUẬN Đề tài bao gồm phần: Mở đầu, Nội dung Kết luận Phần Nội dung đề tài trình bày chương Trong Chương 1, nêu khái niệm môđun, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp môđun, môđun nội xạ, môđun cốt yếu, bao nội xạ phần bù môđun nội dung sử dụng chương sau Kết đề tài nằm Chương Chương Trong Chương 2, qua việc khảo sát, nghiên cứu, chúng tơi tìm chứng minh tính chất môđun M N -nội xạ cốt yếu Chúng nghiên cứu sâu liên quan tính chất nội xạ cốt yếu tính chất bất biến hồn tồn mơđun Đặc biệt chứng minh tương đương M môđun N -nội xạ cốt yếu α(N ) ≤ M với đồng cấu α : E(N ) −→ E(M ) với Kerα ≤e E(N ) Tiếp theo, từ tính chất mơđun nội xạ cốt yếu môđun ADS, phát triển xây dựng nên tính chất mơđun ADS cốt yếu trình bày Chương Cụ thể, Định lí 3.2.3, chúng tơi tìm tương đương điều kiện sau: M môđun ADS cốt yếu, α(M ) ≤ M với α2 = α ∈ End(E(M )) cho M = M ∩ (1 − α)(E(M )) B M ∩ α(E(M )) ∩ B ≤e B cuối biểu diễn E(M ) = E1 E2 với M = (E1 ∩M ) 32 B M ∩E2 ∩B ≤e B 3.3 VÀNH ADS CỐT YẾU M = (E1 ∩ M ) CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU (E2 ∩ M ) Tuy nhiên khả nghiên cứu cịn hạn chế nên chúng tơi tìm phần nhỏ so với tính chất khác chưa tìm mơđun nội xạ cốt yếu môđun ADS cốt yếu 33 Tài liệu tham khảo [1] Alahmadi, A., Er, N and Jain, S.K (2005) Modules which are invariant under monomorphisms of their injective hulls J Aust Math Soc 79(3) : 349 − 360 [2] Alahmadi, A., Jain, S.K., Leroy, A (2012) ADS modules J Algebra 352, 215-222 [3] Anderson, F W., Fuller, K R (1974) Rings and Categories of Modules New York: Springer-Verlag [4] Dung, N V , Huynh, D V , Smith, P F., Wisbauer, R (1994) Extending modules, Pitman Research Notes in Math 313, Longman, Harlow, New York [5] Fuchs, L (1970) Infinite Abelian Groups, vol I, Pure Appl Math., Ser Monogr Textb., vol 36, Academic Press, New York, San Francisco, London [6] Goodearl, K R (1972) Singular torsion and the splitting properties, Memories Amer Math Soc 124 [7] Keskin, D.T., Saad, H M and Orhan, N.E, Mixed injective modules Glasgow Math J., 52A(2010),111-120 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [8] Koike, K (1995) Dual rings and cogenerator rings Math J Okayama Univ 37, 99-103 [9] Mohammed, S H., Mă uller, B J (1990) Continous and Discrete Modules London Math Soc LN 147: Cambridge Univ Press [10] Nicholson, W.K., Yousif, M F (2003) Quasi-Frobenius Rings Cambridge Univ Press [11] Quynh, T C and Hai, P T., Mutually essentially pseudo injective modules, preprint [12] Quynh, T C and Kosan, M T., On ADS modules and rings, preprint [13] Rizvi, S.T and Yousif, M.F (1989) On continuous and singular modules, Non-commutative Ring Theory, Proceedings, Athens, OH, Lecture Notes in Mathematics 1448, Springer-Verlag, Heidelberg, pp 116124 [14] Thuyet, L V , Wisbauer, R (1997) Extending property for finitely generated submodules, Vietnam J Math 25(1), 65-73 [15] Wisbauer, R (1991) Foundations of Module and Ring Theory Gordon and Breach Reading 35 ... tiếp môđun ADS cốt yếu ADS cốt yếu Chứng minh Cho M = N N môđun ADS cốt yếu Chúng ta N ADS cốt yếu Thật vậy, giả sử N = K1 M = (K1 K2 ) K2 Khi N Vì M ADS cốt yếu nên K1 K2 -nội xạ cốt yếu 22... L cốt yếu M Mệnh đề 3.3.3 Cho M R-mơđun phải, R = ReR với e2 = e ∈ R S = eRe Khi đó: (i) (M e)S môđun ADS MR môđun ADS cốt yếu (ii) (Re)S ADS cốt yếu RR ADS cốt yếu (iii) SS ADS cốt yếu eRR ADS. .. -nội xạ cốt yếu 22 3.2 MÔĐUN ADS CỐT YẾU CHƯƠNG MÔĐUN ADS CỐT YẾU K2 K1 -nội xạ cốt yếu Do N ADS cốt yếu Định lý 3.2.3 Cho M môđun Khi điều kiện sau tương đương: (i) M ADS cốt yếu (ii) α(M ) ≤ M