Dạng chính tắc của dạng song tuyến tính phản đối xứng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN **** BÁO CÁO KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG SONG TUYẾN TÍNH PHẢN ĐỐI XỨNG GVHD SVTH Lớp : ThS NGUYỄN VIẾT ĐỨC : NGUYỄN THỊ XUÂN HIẾU : 11CTUD2 Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LỜI CẢM ƠN Em xin gửi đến quý thầy cô trường đại học sư phạm Đà Nẵng, q thầy khoa Tốn lời cảm ơn chân thành Thầy cô trang bị cho em tri thức vững vàng, giúp em biết cách tự học, tự nghiên cứu, giúp em tự tin bước vào đời… Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Viết Đức Trong trình làm luận văn em nhận hướng dẫn, bảo tận tình thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng phản biện, hội đồng bảo vệ giúp đỡ đóng góp ý kiến thiết thực, bổ ích Em xin cảm ơn gia đình em ủng hộ em tinh thần lẫn vật chất để em hồn thành khóa học Em xin cảm ơn đến tất bạn sinh viên lớp 11CTUD2 giúp đỡ em nhiều trình học tập công tác lớp Do luận văn hoàn thành thời gian ngắn lực than có hạn nên dù cố gắng song có lẽ khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Em mong nhận góp ý chân thành thầy giáo để đề tài hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Đà nẵng, tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Xuân Hiếu GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN Ma trận: a Định nghĩa: b Các loại ma trận dặc biệt: Ma trận chuyển vị: a Định nghĩa: b Ví dụ: c Tính chất: Ma trận đối: Các phép toán ma trận: a Phép cộng: b Phép nhân: CHƯƠNG II: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 11 VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 11 PHẦN 1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 11 Các khái niệm: 11 a Ánh xạ song tuyến: 11 b Dạng song tuyến tính: 11 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Ma trận dạng song tuyến: 12 PHẦN 2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 14 Các khái niệm: 14 a Ánh xạ toàn phương: 14 b Dạng toàn phương: 14 Ma trận dạng toàn phương: 14 Các phương pháp biến đổi dạng toàn phương: 15 a Đưa dạng tắc: 15 b Đưa dạng chuẩn tắc: 15 CHƯƠNG III: DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG SONG 16 TUYẾN TÍNH PHẢN ĐỐI XỨNG 16 Dạng song tuyến tính phản đối xứng: 16 Dạng tắc dạng song tuyến tính: 17 Dạng tắc dạng song tuyến tính phản đối xứng: 18 Định lý: 18 Ví dụ: 20 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong phần đại số tuyến tính hai dạng song tuyến tính tồn phương có nhiều ứng dụng Nhưng thực tế, biến đổi chút hay thêm điều kiện phản đối xứng vào lúc chúng trở thành “dạng song tuyến tính phản đối xứng” “dạng tồn phương phản đối xứng” Cùng với xuất thêm dạng tốn “dạng tắc dạng song tuyến tính phản đối xứng”.Và từ phương pháp chứng minh định lý đưa mà ta biết ma trận dạng tắc dạng song tuyếntính phản đối xứng Mục đích nghiên cứu: Hệ thống lại kiến thức sở ma trận, dạng song tuyến tính dạng tồn phương Tìm hiểu,mở rộng thêm kiến thức dạng song tuyến tính dạng tồn phương dạng tắc phản đối xứng hai dạng nói Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận: Trước tiên đọc tài liệu liên quan đến nội dung đề tài Hệ thống hóa kiến thức sở liên quan đến dạng song tuyến tính dạng tồn phương trương E để áp dụng tìm hiểu dạng tắc dạng song tuyến tínhphản đối xứng Hỏi, trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn nghiên cứu dạng tắc dạng song tuyến tính phản đối xứng GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đưa định lý chứng minh rõ ràng dạng tắc dạng song tuyếntính phản đối xứng Cấu trúc luận văn: Luận văn trình bày gồm chương: Chương I: Phần mở đầu-Các lý thuyết Nội dung chương trình bày khái niệm ma trận ví dụ minh họa liên quan đến định nghĩa Chương II: Phần kiến thức chuẩn bị-Dạng song tuyến tính dạng tồn phương Chương trình bày rõ làm cho đề tài nghiên cứu định nghĩa dạng song tuyến tính, dạng tồn phương ví dụ liên quan Chương III: Phần nội dung chính-Dạng tắc dạng song tuyến tính phản đối xứng Đây phần luận văn, chương nghiên cứu vấn đề là: dạng song tuyến tính phản đối xứng, dạng tắc dạng song tuyếntính dạng tắc dạng song tuyến tính phản đối xứng Mặc dù luận văn hoàn thành thời hạn quy định điều kiện thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để tạo điều kiện cho luận văn em hoàn thiện Đà nẵng, tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Xuân Hiếu GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN Ma trận: a Định nghĩa: - Cho m, n ∈ ∗ Ta gọi ma trận cấp m x n bảng gồm m x n số thực viết thành m hàng n cột sau: ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎛ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎞ =⎜ ⎟ ⋯ ⋯ ⎜ ⎟ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎝ ⎠ - Trong ∈ , gọi phần tử ma trận hàng thứ i, cột thứ j - Thông thường ta kí hiệu ma trận bởi: = ( ) - Ví dụ: = b Các loại ma trận dặc biệt: - Ma trận hàng: ma trận có hàng (cấp x n) Ví dụ: (2 6) - Ma trận cột: ma trận có cột (cấp n x 1) Ví dụ: - Ma trận vng: ma trận có số hàng số cột (cấp n x n) Ví dụ: GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức 4 , SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - Ma trận đường chéo: ma trận vng (cấp n x n) có phần tử nằm ngồi đường chéo Ví dụ: = 0 0 0 - Ma trận đơn vị: ma trận đường chéo có phần tử ∀ = 1, kí hiệu = 0 Ví dụ: = 1, hay 0 Ma trận chuyển vị: a Định nghĩa: - Cho ma trận ⎛ ⋯ =⎜ ⎜ ⋯ ⎝ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎞ ⎟ ⎟ ⋯ ⎠ Ma trận chuyển vị A ma trận có từ A cách chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng theo thứ tự - Kí hiệu: b Ví dụ: Ma trận ma trận chuyển vị ⋯ ⋯ ⎛ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ =⎜ ⋯ ⎜ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎝ = = GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⎞ ⎟ ⎟ ⋯ ⎠ có ma trận chuyển vị SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM c Tính chất: - Cho ma trận A, ta có ( ) = Ma trận đối: - Ma trận đối ma trận A ma trận cỡ với ma trận A có dạng = với =− , ∀ = 1, ; ∀ = 1, B=-A − − ⎛ ⋯ = − = ⎜− ⎜ ⋯ ⎝− − − ⋯ − ⋯ − ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ - Kí hiệu: − − ⋯ − ⋯ − ⋯ − ⋯ − ⋯ ⋯ ⋯ − ⋯ ⋯ ⋯ − ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ - Nếu AT=A A gọi ma trận đối xứng - Nếu AT=-A A gọi ma trận phản đối xứng Các phép toán ma trận: a Phép cộng: = - Cho hai ma trận cấp m x n: = Tổng hai ma trận A B ma trận C= = cấp m x n cho: + , ∀ = 1, ; ∀ = 1, - Kí hiệu: C = A + B - Ví dụ: = + 2 = 2+4 = 8+5 3+2 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức , = 4+1 1+1 7+7 + 6+2 2+0 1+1 1 = 13 2 14 SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu 2 Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - Tính chất: Giả sử A, B, O (O ma trận không) ma trận cỡ, ta có: i A+B=B+A ii A + O =O + A iii A + (B + C) = (A + B) + C b Phép nhân: i Nhân số thực vơi ma trận: =( ) , ma trận C= ( ) với - Cho ∈ = = ( - Kí hiệu: C = , tích số với ma trận A , , ∀ = 1, ; ∀ = 1, ) - Ví dụ: 2 2.2 = 8.2 3.2 - Tính chất:∀ , +  ( + ) = +  )=( ( 6.2 2.2 1.2 = 16 14 12 ∈ ; ∀ A,B hai ma trận cỡ thì: ( + )=  4.2 1.2 7.2 )  (-1).A = -A ii Nhân ma trận với ma trận: - Cho =( ) cấp m x n ma trận q Tích A với B ma trận =∑ = + =( + =( ) ) cấp n x cấp m x q, với + ⋯+ , ∀ = 1, ; ∀ = 1, - Kí hiệu: C = A.B hay C = AB - Chú ý: Để ma trận A nhân với ma trận B số cột ma trận A phải với số hàng ma trận B GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Ma trận dạng song tuyến: - Giả sử E F hai không gian vectơ hữu hạn chiều với hệ { ; ;…; } sở E hệ { ; ;…; } sở F Cho : E x F → R dạng song tuyến tính Khi đó, với = = + + + ⋯+ + ⋯+ ta có: ( , )= ( - Đặt ⟹ = ; ; )= ( ; ) , ∀ = 1, ; ∀ = 1, ( ; )= = det [ … ⟹Ma trận cấp m x n: A= ⋮ ] ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ … ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ … ⋯ ⋮ ⋮ gọi ma trận dạng song tuyến tính theo hai hệ sở { ; E { ; ;…; GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức ⋮ ;…; } } F SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 12 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 13 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẦN 2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG Các khái niệm: a Ánh xạ tồn phương: - Cho E, G khơng gian vectơ trường E Một ánh xạ : ( ; ) → ↦ ( ; ) gọi ánh xạ toàn phương nếu: i ( ii ( ; )= ∀ , )= ( ) ( )+ ( )+ ( , ) ∈ ; ∈ b Dạng toàn phương: - Một ánh xạ : E → gọi dạng toàn phương E tồn dạng song tuyến tính ( ; ) , ∀ ∈ Khi đó, ( )= E cho gọi dạng song tuyến tính sinh dạng tồn phương Ma trận dạng toàn phương: - Nếu xứng dạng tồn phương dạng song tuyến tính phản đối ma trận đốivới hệ sở { ; ;…; gọi ma trận dạng toàn phương } E sở - Như vậy, = với hệ sở { ; ma trận dạng toàn phương ;…; }và A có tính chất = đối A gọi ma trận đối xứng, đó: ( )=∑ GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức +2∑ ∑ SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 14 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM =− - Và A có tính chất A gọi ma trận phản đối xứng, đó: ( )= − Các phương pháp biến đổi dạng toàn phương: a Đưa dạng tắc: - Giả sử dạng tồn phương không gian vectơ E Nếu hệ sở { ; ;…; } tọa độ x ( ta có hệ sở { ′ ; ′ ; … ; ′ } x=( … … ) với tọa độ ) Khi đó, dạng tắc dạng tồn phương có dạng: ( )= + =∑ + ⋯+ hệ sở { ; ;…; không gian vectơ E Nếu tồn tai } của E cho nhận giá trị -1, 0, ( )=∑ dạng chuẩn tắc dạng toàn phương GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức ∈ ( )sẽ có dạng đường Bên cạnh ma trận dạng toàn phương chéo b Đưa dạng chuẩn tắc: - Cho dạng toàn phương , ∀ ( )=∑ gọi SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 15 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHƯƠNG III: DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG SONG TUYẾNTÍNH PHẢN ĐỐI XỨNG Dạng song tuyến tính phản đối xứng: a Định nghĩa: - Trong không gian vectơ n_ chiều, ánh xạ : → ( ; ) ↦ ( ; ) gọi dạng song tuyến tính phản đối xứng thỏa: i ( ii φ(λx; y) = λφ(x; y) iii φ(x; y + y ) = φ(x; y ) + φ(x; y ) iv φ(x; λy) = λφ(x; y) v ( ; )=− ( ; ) ; )= ( ; )+ ( ; ) + ∀ , , ∈ ; , - Ví dụ: = − , ∈ ; ∈ + − + − - Nhận xét:Mọi dạng song tuyến tính E biểu diễn thành tổng dạng song tuyến tính đối xứng dạng song tuyến tính phản đối xứng + Ta dễ dàng chứng minh rằng: ∀ , ∈ ( ; ) = [ ( ; ) + ( ; )] + Đặt ( ; ) = [ ( ; ) − ( ; )] ⇒ ( ; )= ( ; )+ ( ; ) = [ ( ; ) + ( ; )]+ [ ( ; ) − ( ; )] = [ ( ; )+ [ ( ; )= ( ; ) GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 16 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM b Ma trận dạng song tuyến tính phản đối xứng: - Cho E T- không gian vectơ hữu hạn chiều, dạng song tuyến tính : ( ; ) → ↦ ( ; ) gọi dạng song tuyến tính phản đối xứng nếu: ∈ : ( ; ) = − ( ; ) ∀ , - Trong hệ sở { ; = Lúc : ;…; ; } E, giả sử =− = Do ma trận ; = ( ; ) =− =− dạng song tuyến tínhphản đối xứng ma trận phản đối xứng − - Ví dụ: = +2 −2 +5 −5 dạng song tuyến tính phản đối xứng nên ma trận ma trận phản đối xứng có dạng: = −1 0 −2 0 −5 0 Dạng tắc dạng song tuyến tính: Định nghĩa: - Cho ánh xạ : ta nói → ↦ ( ) dạng tắc dạng song tuyến tính - Trong khơng gian vectơ n_chiều với hệ { ; E Khi với = + ;…; } sở + ⋯+ + Ta có: GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xn Hiếu Trang 17 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ( ; )= ( ; )= ( )= ( ; )= ⇒ Mặt khác, ( ) dạng tắc ứng với dạng song tuyến tínhphản đối xứng =0 =− nên Vì vậy, ( ) = − + + − + ⋯+ − − ; ; Dạng tắc dạng song tuyếntính phản đối xứng: Định lý: - Với dạng song tuyếntính phản đối xứng: ( ) = − + + − + ⋯+ − − ; ; - Ta đưa dạng tắc sau: ( )= = ∑ ( +⋯+ − − −⋯− ) Và lúc có ma trận dạng: GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 18 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ⎛−1 ⎜0 ⋮ ⎝0 0 ⋮ 0 0 ⋮ … … … … … 0⎞ 0⎟ 0⎠ Chứng minh định lý: - Khi r=1 ( ) = = - Đặt = − ( )= ⇒ − ⇒ Mệnh đề r=1 - Giả sử mệnh đề đến r=k , tức là: ( ) = ( − ) - Ta chứng minh mệnh đề đến r=k+1 , hay CMR: ( ) = ( = ∑ ( ( ( − ) ( ) + − + ⋯+ − ; = +⋯+ ( ) ) ) − − GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức ( − + Ta có: ( ) = ∑ ⇔ ) ) − + ; − − ⋯− SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 19 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ⇔ KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM − + − +⋯+ ( ⇔ ( ) + ; − ; − ; = + + ⋯+ + − − − ⋯− − ⇔ ω( x ) + = − + − ; − = ; )+ ( ; − − ) ⇒ Mệnh đề đến k+1 ⇒Mệnh đề với r Vậy định lý ln - Ví dụ: i ( )= − + − + − Ta có: ω(x ) = α α − α α + 2α α − 2α α + α α − α α = Đặt ( ′ = ′ = +2 ′ = GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức +2 ⇒ )+ −( +2 ) − = ′ = ′ −2 ′ = ′ SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 20 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ( ) ⇒ ′ +( ′ −2 ′ ) ′ − ′ = ′ ′ − ′ ( ′ −2 ′ ) = ′ ′ + ′ ′ −2 = ′ ′ + ′ =( − ( )= " ⇒ +2 − ′ ′ − ) ( = −1 ( )= + (2 = + − + − −2 + − +2 − ( )=2 có: " 0 0 − + " − " ( ) có dạng: Khi đó, ma trận Ta ′ − ) − − " = ′ − ′ " = ′ Đặt ii − − − + + − (2 )+2 + +2 + ) + −2 −2 − ′ = ′ =2 + Đặt ′ = ⎨ ⎩ ′ = ⎧ ( )= ′ ⇒ + ′ +( ) + ′ ′ − ( − − GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức ⎧ ⇒ ⎨ ⎩ − − − )− ′ = ′ = ′ − − ′ = ′ = ′ ( ) − +( − − − )− ′ SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 21 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP = ′ KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ′ + ′ = ′ ′ − − + − − − + + ′ + ′ ′ + − = ′ + + − + − + − − + ( + )+ −( + ) ′ + − − − ′ ′ ⇒ ⎨ ′ = ⎩ ′ " = ′ " = ′ Đặt + ⎨ " = ⎩ " = ′ ⎧ ⎧ = = " = " " − " " ( ) ⇒ = " " +( " − " ) " − " = " " + " − " " − " ( " − " ) " + " " + " " − α" − " " − " " + " " − " " − " " " − " + α" " = " " + " = ( " − " ) " − " ( " − " )+ " ⎧ Đặt ⎨ ⎩ ⇒ ′′′ = ′′′ ′′′ ′′′ " = = = " − " " " − " " = ′′′ − ′′′ ⎧ " " = ′′′ ⇒ " " = ′′′ ⎨ ⎩ " " = ′′′ ( ) = ′′′ ⇒ma trận " − " ′′′ + ′′′ ′′′ − − ′′′ ′′′ ( ) có dạng: = GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức −1 0 0 0 0 −1 0 SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 22 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ( )= iii − + − + − + − + − + − + − + − + − + − ( )= − + − + − + − + − + − + − + − + − + − Ta có: = KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ( + + )+ + + + + −( − − − + + + + ) + − Đặt ⎧ ⎪ ′ = ⎨ ⎪ ⎩ ⇒ ′ + ′ ′ ′ = + + ⇒ = = = ( )= = ′ = ′ − − = ′ = ′ = ′ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ +( − − − +( − − − ) +( − − − ) + − ( − + − − ) − ( − − − ) − ( − − − )− + − − ) − − = + ′ ′ + ′ + − − − − − GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức ′ + ′ ′ + + − SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu − Trang 23 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ( + = + −( − − " " " = ′ Đặt ⎨ " ⎪ ⎩ " = = + = = ( )= " )+ + − ⎧ ⎪ ⇒ KHOA TOÁN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM + + + ) + − ′ ′ = ⎧ ′ ′ = ⎪ ′ + ′ ⇒ ′ = " − ⎨ ′ ′ = ⎪ ′ ⎩ ′ = " + " " " " − " " " " +( " − " − " ) " + ( " − " − " ) " + " " − " " − " " − " ( " − " − " )− " ( " − " − " )− " = " " + " " + " − " = " " − " Đặt ⎨ ⎪ ⎩ = = = = " = − =( − + ) + +( ′ = − ′ = ′ = − Đặt ⎨ ′ = ⎪ ⎩ ′ = − ⎧ ⎪ ⇒ ( )= ′ " " − " " " − = ) − − − − ) − + = " = = = +( + " − " " − " " −( " + " ) " − " + ( " − " " " ⎧ " " ⎪ " " ⇒ ⎨ + " ⎪ " = " ⎩ " ( )= ⇒ " + " " + " ( " + " )+ " " + " − " ⎧ ⎪ " + " " ) ⎧ ⎪ ⇒ ′ + ′ GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức − ⎨ ⎪ ⎩ ′ − − = ′ = = ′ = = − ( − − )− − ( − ) − ′ ′ − ′ ′ ′ − ′ ′ SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 24 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ⇒ Ma trận ( ) có dạng sau: −1 ⎛ =⎜ 0 ⎝0 0 0 0 −1 0 0 0⎞ 0⎟ 0⎠ KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu hướng dẫn thầy Nguyễn Viết Đức, em hoàn thành đề tài Kết đạt được: + Tổng hợp kiến thức sở dạng song tuyếntính dạng tồn phương + Trình bày định nghĩa dạng phản đối xứng dạng song tuyến tínhvà dạng tồn phương, đặc biệt dạng tắc dạng song tuyếntínhphản đối xứng Do thời gian thực khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc! GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 25 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số đại cương Hồng Xn Sính (1998) Đại số đại cương Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999) Đại số tuyến tính Đặng Ngọc Dục –Nguyễn Viết Đức (2001) Đại số tuyến tính hình học giải tích Nguyễn Văn Mậu (2004) Đại số tuyến tính Hình học giải tích Trần trọng Huệ (2007) GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức SVTH: Nguyễn Thị Xuân Hiếu Trang 26 ... dạng song tuyến tính phản đối xứng Đây phần luận văn, chương nghiên cứu vấn đề là: dạng song tuyến tính phản đối xứng, dạng tắc dạng song tuyếntính dạng tắc dạng song tuyến tính phản đối xứng. .. dạng song tuyến tínhphản đối xứng ma trận phản đối xứng − - Ví dụ: = +2 −2 +5 −5 dạng song tuyến tính phản đối xứng nên ma trận ma trận phản đối xứng có dạng: = −1 0 −2 0 −5 0 Dạng tắc dạng song. .. ( ) dạng tắc ứng với dạng song tuyến tínhphản đối xứng =0 =− nên Vì vậy, ( ) = − + + − + ⋯+ − − ; ; Dạng tắc dạng song tuyếntính phản đối xứng: Định lý: - Với dạng song tuyếntính phản đối xứng: