Phương trình sóng tuyến tính mô tả dao động của thanh đàn hồi nhớt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM NGUYỄN QUANG TRÀ PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TUYẾN TÍNH MÔ TẢ DAO ĐỘNG CỦA THANH ĐÀN HỒI NHỚT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 Thành phố HCM 2010 Chương PHẦN TỔNG QUAN Sự tồn nghiệm nhiều tốn phương trình sóng tuyến tính đề tài quan tâm nhiều tác giả, chẳng hạn [1,2, – 12] tài liệu tham khảo Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát phương trình sóng tuyến tính mô tả dao động đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên hỗn hợp sau Tìm hàm cặp hàm (u, P ) thoả phương trình sóng tuyến tính với điều kiện biên hỗn hợp có dạng utt − μ(t )uxx + Ku + λut = f (x , t ), < x < 1, < t < T , (1.1) với điều kiện biên u(1, t ) = 0, μ(t )ux (0, t ) = P(t ), (1.2) điều kiện đầu u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ), (1.3) P(t ) chưa biết giá trị biên u(0, t ) ut (0, t ) liên hệ t P(t ) = g(t ) + K (t )u(0, t ) + λ1 (t )ut (0, t ) − ∫ k (t − s )u(0, s )ds, (1.4) K > 0, λ > số cho trước; μ, f , u0 , u1 g, K 1, λ1, k hàm cho trước thoả điều kiện đặt sau Bài toán (1.1) – (1.4) dạng tương tự với điều kiện biên khác quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả (xem [1,2, – 12]) tài liệu tham khảo Trong trường hợp μ(t ) ≡ 1, tác giả Nguyễn Thúc An Nguyễn Đình Triều [1] xét toán (1.1), (1.3), với (1.5) f (x , t ) = 0, u0 = u1 = 0, điều kiện biên (1.2) thay ux (0, t ) = P (t ), u(1, t ) = , (1.6) với K1 số không âm λ1(t ) ≡ Trong trường hợp này, toán (1.1), (1.3), (1.5), (1.6) mô tả dao động vật rắn đàn hồi nhớt tựa cứng Trong [2], Bergounioux, Long, Đinh nghiên cứu toán (1.1) – (1.4), với (1.7) μ(t ) ≡ 1, điều kiện biên (1.2) thay ⎧ ⎪ ux (0, t ) = P (t ), ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ −u (1, t ) = λ1ut (1, t ) + K1u(1, t ), ⎪ ⎪ ⎩ x (1.8) với số cho trước λ1 > 0, K1 ≥ Trong [5], Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út Nguyễn Thị Thảo Trúc nghiên cứu tồn nghiệm tính quy, tính ổn định khai triển tiệm cận nghiệm theo hai tham số bé K , λ toán utt − μ(t )uxx + Ku + λut = f (x , t ), < x < 1, < t < T , (1.9) với điều kiện biên ⎧ ⎪ u(0, t ) = ⎪ ⎪ t ⎪ ⎨ ⎪ −μ(t )ux (1, t ) = K 1(t )u(1, t ) + λ1(t )ut (1, t ) − g(t ) − ∫ k (t − s )u(1, s )ds, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (1.10) điều kiện đầu u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ), (1.11) K , λ số, μ, f , K 1, λ1, g, k, u 0, u1 hàm cho trước Nội dung luận văn bao gồm chương sau: Chương Nêu tổng quan toán khảo sát luận văn điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương Trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng liên tục phép nhúng compact không gian hàm Chương Bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, phương pháp compact yếu phương pháp tốn tử đơn điệu, chúng tơi chứng minh toán (1.1) – (1.4) tồn nghiệm yếu Chương Với giả thiết tăng thêm chúng tơi khảo sát tính trơn nghiệm yếu toán (1.1) – (1.4), nghĩa kiện đầu vào tăng lên nghiệm yếu thu tăng tính trơn lên Chương Chúng tơi khảo sát tính ổn định nghiệm yếu phụ thuộc vào kiện đầu vào tốn, tức chúng tơi phụ thuộc liên tục nghiệm yếu vào kiện đầu vào toán Chương Trong chương nghiên cứu toán nhiễu theo ba tham số bé (K , λ, K ) ⎧ ⎪ utt − μ(t )uxx = −Ku − λut + f (x , t ), < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u(1, t ) = 0, μ(t )ux (0, t ) = P (t ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P (t ) = g(t ) + Ku(0, t ) + λ (t )u ′(0, t ) − t k (t − s )u(0, s )ds ⎪ ∫0 ⎪ ⎩ (Qε ) tham số (u0 , u1, μ, λ1, f , g, k ) cho trước Chúng thu kết sau: a/ Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu (u ε , Pε ) toán (Qε ) (K , λ, K ) → (0+, 0+, 0+ ) b/ Khai triển tiệm cận nghiệm yếu (u ε , Pε ) toán (Qε ) theo ba tham số bé K , λ, K có nghĩa xấp xỉ nghiệm (u ε , Pε ) đa thức theo ba biến K , λ, K1 uε ≈ ∑uε, γ |γ | ≤N γ Pε ≈ ∑ Pε , γ |γ | ≤N γ theo nghĩa cần phải hàm ( u γ , Pγ ) thiết lập đánh giá || u − ∑u ε |γ | ≤N γ γ ||* + || u ′(0, ⋅) − + || P − ∑ u ′ (0, ⋅)ε γ |γ | ≤N ∑Pε |γ | ≤N γ γ γ ||* ||* ≤ CN* ||ε||N +1, theo chuẩn thích hợp || ⋅ ||* , với tham số dương (K , λ, K1 ) ∈ \ 3+ đủ bé số CN* độc lập tham số bé Chương Chúng tơi xét ví dụ cụ thể minh họa phương pháp tìm nghiệm tiệm cận trình bày phần chương Kế đến Phần kết luận, nhằm tóm tắt kết thực luận văn cuối danh mục tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 2.1 Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt ký hiệu Ω = (0,1), QT = Ω× (0,T ), T > Ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng như: C m (Ω), Lp (Ω) = Lp , H m (Ω) = H m , W m ,p (Ω) = W m ,p Ta xem sách [1, 2] Ta định nghĩa H = L2 (Ω) không gian Hilbert tích vơ hướng 〈u, v 〉 = ∫ u, v ∈ L2 (Ω) u(x )v(x )dx , (2.1) Ký hiệu ⋅ chuẩn sinh tích vơ hướng này, nghĩa 1/2 ⎛ ⎞ u = 〈u, u 〉 = ⎜⎜⎜ ∫ u (x )dx ⎟⎟⎟ , u ∈ L2 (Ω) ⎝ ⎠ (2.2) Ta định nghĩa H = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 }, (2.3) u, v H1 = u, v + ux , vx (2.4) H khơng gian Hilbert tích vơ hướng (2.4) Ta ký hiệu v H1 = 〈v, v 〉H chuẩn H Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1 Phép nhúng H ↪ C (Ω) compact v C ( Ω) ≤ v H1 , ∀v ∈ H (2.5) Chứng minh bổ đề 2.1 tìm [2] Bổ đề 2.2 Đồng H với H / (đối ngẫu H ) Khi ta có H ↪ H ≡ H / ↪ (H )/ , với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chú thích 1.1 Từ bổ đề 2.2 ta dùng ký hiệu tích vơ hướng 〈⋅, ⋅〉 L2 để cặp tích đối ngẫu H (H )/ Ta ký hiệu ⋅ X để chuẩn không gian Banach X gọi X ′ không gian đối ngẫu X 2.2 Không gian hàm Lp (0,T ; X ), ≤ p ≤ ∞ Ký hiệu Lp (0,T ; X ), ≤ p ≤ ∞, để không gian Banach hàm thực u : (0,T ) → X đo được, cho ||u||L (0,T ;X ) < +∞ với p ||u||L (0,T ;X ) p ⎧ ⎪ T p ⎪ ⎛ ⎞ p ⎪⎪⎜⎜ ∫ ||u(t )||Xdt ⎠⎟⎟ , = ⎨⎪⎝ ⎪ ⎪ ⎪⎪ess sup||u(t )||X , ⎪ 0 0, λ0 (6.58) DT = + ||μ ′||L∞ (0,T ) μ0 + || k ||2L2 (0,T ) βμ02 + 2||k||L∞ (0,T ) μ0 + T || k ′ ||L22 (0,T ) μ02 (6.59) Dùng bổ đề Gronwall cho (6.58) ta thu σ(t ) ≤ 2(TC12N + C22N ) exp(2DNT )||ε||2N +2 λ0 (6.60) Do ||v ′||L∞ (0,T ;L2 ) + ||v||L∞ (0,T ;V ) + ||v ′(0,.)||L2 (0,T ) ≤ DN* ||ε||N +1 , đây, DT* = 2(TC12N + C22N ) exp(DTT ) λ0 55 (6.61) Hay || u − ∑u ε γ γ |γ | ≤N ||W (T ) + || u ′(0, ⋅) − ∑ u ′ (0, ⋅)ε γ |γ | ≤N γ ||L2 (0,T )≤ DN* ||ε||N +1 , (6.62) với (K , λ, K1 ) ∈ \ 3+ thỏa ≤ K ≤ K *, ≤ λ ≤ λ*, ≤ K1 ≤ K1* Mặt khác, từ (6.39) (6.50) ta lại suy ||R||L2 (0,T ) ≤ ||EN ||L2 (0,T ) + K 1* ||v||L∞ (0,T ;V ) + ||λ1||L∞ (0,T )||v ′(0,.)||L2 (0,T ) ⎛ + ⎜⎜⎜ μ1 ⎝ ∫ T 1/2 ⎞ k (θ)ds ⎟⎟⎟ ⎠ ≤ DT**||ε||N +1 1/2 ⎛ t ⎞ ⎜⎜ ∫ σ(s )ds ⎟⎟ ⎝⎜ ⎠⎟ (6.63) Do || P − ∑Pε |γ | ≤N γ γ ||L2 (0,T )≤ CN* ||ε||N +1 (6.64) Vậy, ta hoàn tất chứng minh Định lý 6.2 56 Chương VÍ DỤ MINH HỌA CÁCH TÌM NGHIỆM TIỆM CẬN Trong chương này, xem xét trường hợp đặc biệt toán nhiễu theo ba tham số bé (Qε ) nêu chương để minh họa phương pháp tìm nghiệm tiệm cận theo ba tham số đến cấp cấp Bài toán cụ thể phát biểu sau ⎧Au ≡ u ′′ − Δu = −Ku − λu ′, < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u(1, t ) = 0, ∇u(0, t ) = P (t ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨u(x , 0) = u (x ), u (x , 0) = u (x ) ⎪ t ⎪ ⎪ ⎪ t ⎪ ⎪ ⎪ P (t ) = g(t ) + K 1u(0, t ) + λ1(t )u ′(0, t ) − ∫ sin(t − s )u(0, s )ds, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ đó, tham số nhiễu (K , λ, K1 ) ∈ \ 3+ (Qε ) thỏa ≤ K ≤ K *, ≤ λ ≤ λ*, ≤ K1 ≤ K1*, f (x , t ) ≡ 0, μ(t ) ≡ , u0 , u1, g, λ1 , k (t ) = sin t hàm cho trước thỏa giả thiết (H1) – (H3) tương ứng Giả sử (u , P0 ) nghiệm yếu toán ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = 0, < x < 1, < t < T , 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ) 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪u (x , 0) = u0 (x ), u 0′ (x , 0) = u1(x ) ⎪⎪ t ⎨⎪ ⎪⎪P (t ) = g(t ) + λ (t )u ′ (0, t ) − sin(t − s )u (0, s )ds, 0 ∫ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u 0′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u 0′′∈ L∞ (0,T ; L2 ), ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩u 0′ (0,.), P0 ∈ H (0,T ) Khi nghiệm yếu u100, u 010, u 001 xác định hai toán 44 (Q0 ) ⎧ ′′ − Δu100 = −u , < x < 1, < t < T , ⎪ Au100 ≡ u100 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u100 (1, t ) = 0, ∇u100 (0, t ) = P100 (t ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ (x , 0) = 0, u100 (x , 0) = 0, u100 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ t ⎪ ⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u100 (0, s )ds, P100 (t ) = λ1(t )u100 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u100 ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u100 ∈ L∞ (0,T ;V ), u100 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ′ (0,.), P100 ∈ H 1(0,T ) ⎪ ⎪ ⎩ 100 (Q100 ) ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = −u ′, < x < 1, < t < T , 010 010 ⎪⎪ 010 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 010 010 ⎪⎪ 010 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 010 (x , 0) = 0, u 010 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u 010 (0, s )ds, ⎪⎪P010 (t ) = λ1(t )u 010 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 010 010 ⎪⎪ 010 ⎪⎪ ⎪⎪u 010 ′ (0,.), P010 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎩ (Q010 ) ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = 0, < x < 1, < t < T , 001 001 ⎪⎪ 001 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 001 001 ⎪⎪ 001 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 001(x , 0) = 0, u 001 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ = + − P ( t ) u (0, t ) λ ( t ) u (0, t ) ⎪⎪ 001 ∫0 sin(t − s )u001(0, s )ds, 001 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 001 001 ⎪⎪ 001 ⎪⎪ ⎪⎪u 001 ′ (0,.), P001 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎩ (Q001 ) Khi đó, nghiệm tốn (Qε ) xấp xỉ đa thức cấp theo ba biến K , λ, K sau 45 ⎧⎪u (x , t ) ≈ u (x , t ) + u (x , t )K + u (x , t )λ + u (x , t )K , 100 010 001 ⎪⎪ ε ⎨ ⎪⎪P (t ) ≈ P (t ) + P (t )K + P (t )λ + P (t )K , 100 010 001 ⎪⎩ ε với đánh giá tiệm cận đến cấp hai sau ||u ε′ − ∑ u γ′ ε γ ||L∞ (0,T ;L2 ) + ||u ε − ∑ u γ ε γ ||L∞ (0,T ;V ) |γ | ≤1 |γ | ≤1 + || P − ∑ Pγ ε γ ||L2 (0,T ) ≤ D1(K + λ + K 12 ) ≤ C1*||ε||2, |γ | ≤1 đó, D1 hồn tồn độc lập với ba tham số bé K , λ, K Ta lại tìm nghiệm yếu u γ , |γ| ≤ xác định toán ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = −u − u ′ , < x < 1, < t < T , 110 110 010 100 ⎪⎪ 110 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 110 110 ⎪⎪ 110 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u110 (x , 0) = 0, u110 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u110 (0, s )ds, ⎪⎪P110 (t ) = λ1(t )u110 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 110 110 ⎪⎪ 110 ⎪⎪ ′ (0,.), P110 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎪u110 ⎪⎩ (Q110 ) ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = −u , < x < 1, < t < T , 101 101 001 ⎪⎪ 101 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 101 101 ⎪⎪ 101 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u101(x , 0) = 0, u101 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u101(0, s )ds, ⎪⎪P101(t ) = u100 (0, t ) + λ1(t )u101 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 101 101 ⎪⎪ 101 ⎪⎪ ′ (0,.), P101 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎪u101 ⎪⎩ (Q101 ) 46 ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = −u ′ , < x < 1, < t < T , 011 011 001 ⎪⎪ 011 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 011 011 ⎪⎪ 011 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 011(x , 0) = 0, u 011 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u 011(0, s )ds, ⎪⎪P011(t ) = u 011(0, t ) + λ1(t )u 011 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 011 011 ⎪⎪ 011 ⎪⎪ ⎪⎪u 011 ′ (0,.), P011 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎩ (Q011 ) ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = −u , < x < 1, < t < T , 200 200 100 ⎪⎪ 200 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 200 200 ⎪⎪ 200 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u200 (x , 0) = 0, u200 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u200 (0, s )ds, ⎪⎪P200 (t ) = λ1(t )u200 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 200 200 ⎪⎪ 200 ⎪⎪ ′ (0,.), P200 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎪u200 ⎪⎩ (Q200 ) ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = −u ′ , < x < 1, < t < T , 020 020 010 ⎪⎪ 020 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 020 020 ⎪⎪ 020 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 020 (x , 0) = 0, u 020 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u 020 (0, s )ds, ⎪⎪P020 (t ) = λ1(t )u 020 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 020 020 ⎪⎪ 020 ⎪⎪ ′ (0,.), P020 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎪u 020 ⎪⎩ (Q020 ) 47 ⎧⎪Au ≡ u ′′ − Δu = 0, < x < 1, < t < T , 002 002 ⎪⎪ 002 ⎪⎪ ⎪⎪u (1, t ) = 0, ∇u (0, t ) = P (t ), 002 002 ⎪⎪ 002 ⎪⎪ ′ (x , 0) = 0, ⎪⎪u 002 (x , 0) = 0, u 002 ⎪ ⎨ t ⎪⎪ ′ (0, t ) − ∫ sin(t − s )u 002 (0, s )ds, ⎪⎪P002 (t ) = u 001(0, t ) + λ1(t )u 002 ⎪⎪ ⎪⎪u ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′ ∈ L∞ (0,T ;V ), u ′′ ∈ L∞ (0,T ; L2 ), 002 002 ⎪⎪ 002 ⎪⎪ ′ (0,.), P002 ∈ H 1(0,T ) ⎪⎪u 002 ⎪⎩ (Q002 ) Khi đó, nghiệm tốn (Qε ) xấp xỉ đa thức cấp hai theo ba biến K , λ, K sau ⎧⎪u (x , t ) ≈ u (x , t ) + u (x , t )K + u (x , t )λ + u (x , t )K 100 010 001 ⎪⎪ ε ⎪⎪ ⎪⎪ + u110 (x , t )K λ + u101(x , t )KK + u 011(x , t )λK ⎪⎪ ⎪⎪ + u200 (x , t )K + u 020 (x , t )λ + u 002 (x , t )K 12, ⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪P (t ) ≈ P (t ) + P (t )K + P (t )λ + P (t )K 100 010 001 ⎪⎪ ε ⎪⎪ ⎪⎪ + P110 (t )K λ + P101(t )KK + P011(t )λK ⎪⎪ ⎪⎪ + P200 (t )K + P020 (t )λ + P002 (t )K 12, ⎪⎪ ⎩ với đánh giá tiệm cận đến cấp ba sau ||u ε′ − ∑ u γ′ ε γ ||L∞ (0,T ;L2 ) + ||u ε − ∑ u γ ε γ ||L∞ (0,T ;V ) |γ | ≤2 |γ | ≤2 + || P − ∑ Pγ ε ||L2 (0,T ) ≤ D2 (K + λ + K 12 )3/2 = D2||ε||3, γ |γ | ≤2 đó, D2 hồn tồn độc lập với ba tham số bé K , λ, K 48 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyen Thuc An, Nguyen Dinh Trieu (1991), Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR Vietnam, 13 (2) (1991) – [2] M Bergounioux, Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh (2001), Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43 (2001) 547 – 561 [3] Haïm Brezis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Paris, 1983 [4] J.L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969 [5] Nguyen Thanh Long, Le Van Ut, Nguyen Thi Thao Truc (2005), On a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 63 (2) (2005) 198 – 224 [6] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2003), Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demonstratio Math 36 (3) (2003) 683 – 695 [7] Nguyen Thanh Long, Nguyen Cong Tam, Nguyen Thi Thao Truc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2) (2005), 365 – 386 [8] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2005), On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (3) 337–358 [9] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2007), On a nonlinear KirchhoffCarrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365 – 392 50 [10] Nguyen Thanh ( Long (2002), On the nonlinear wave equation ) utt − B t,|| ux ||2 uxx = f (x , t, u, ux , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 274 (1) (2002) 102 – 123 [11] Nguyen Thanh Long (2005), Nonlinear Kirchhoff - Carrier wave equation in a unit membrane with mixed homogeneous boundary conditions, Electron J Differential Equations, 2005, No 138, 18 pp [12] Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long (2009), Highorder iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2) (2009) 467 – 484 51 ... tốn phương trình sóng tuyến tính đề tài quan tâm nhiều tác giả, chẳng hạn [1,2, – 12] tài liệu tham khảo Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát phương trình sóng tuyến tính mơ tả dao động đàn hồi. .. với K1 số không âm λ1(t ) ≡ Trong trường hợp này, toán (1.1), (1.3), (1.5), (1.6) mô tả dao động vật rắn đàn hồi nhớt tựa cứng Trong [2], Bergounioux, Long, Đinh nghiên cứu toán (1.1) – (1.4),... phương trình sóng tuyến tính mơ tả dao động đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên hỗn hợp sau Tìm hàm cặp hàm (u, P ) thoả phương trình sóng tuyến tính với điều kiện biên hỗn hợp có dạng utt − μ(t