Các nhóm cấp pq với p q là hai số nguyên tố

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC NHĨM CẤP pq, VỚI p, q LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Sinh viên thực : LƯU THỊ SƯƠNG Lớp : 16ST Đà Nẵng- 2020 MỞ ĐẦU Bài tốn tổng qt nhóm hữu hạn xác định tất nhóm khơng đẳng cấu với có cấp n, với n số nguyên dương cho trước, A Caley đặt vào năm 1878 chưa có lời giải đầy đủ Với hai nhóm P 𝑄 cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng nhóm thứ ba, chẳng hạn cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện hai nhóm đó,… Mỗi cách có ứng dụng hữu ích lý thuyết nhóm, đặc biệt tốn phân loại nhóm hữu hạn Mục đích khóa luận vận dụng tích nửa trực tiếp hai nhóm để phân loại đẳng cấu nhóm có cấp pq, với p, q hai số nguyên tố Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận chia thành chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số khái niệm, kết cấu trúc nhóm, nhằm làm sở cho chương sau Chương CÁC NHÓM CÓ CẤP 𝒑𝒒 VỚI 𝒑, 𝒒 LÀ HAI SỐ NGUN TỐ Chương trình bày nội dung luận văn, phân loại đẳng cấu nhóm có cấp 𝑝𝑞 với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số khái niệm, kết cấu trúc nhóm, nhằm làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [1], [2], [3] 1.1 Một số khái niệm kết cấu trúc nhóm 1.1.1 Định nghĩa [1] Một nhóm 𝐺 gọi nhóm cyclic chứa phần tử 𝑎 cho phần tử 𝐺 lũy thừa nguyên 𝑎 Phần tử 𝑎 có tính chất gọi phần tử sinh nhóm cyclic 𝐺 1.1.2 Mệnh đề [3] (i) Mọi nhóm cyclic nhóm giao hốn (ii) Với số ngun dương 𝑛 có nhóm cyclic cấp n (iii) Hai nhóm cyclic có bậc đẳng cấu với 1.1.3 Mệnh đề [3] Giả sử 𝐺 nhóm cyclic hữu hạn 𝑚 ước nguyên dương |𝐺| Khi tồn nhóm 𝐻 𝐺 cho |𝐻| = 𝑚 1.1.4 Mệnh đề [2] Cho 𝐶𝑛 𝐶𝑚 hai nhóm cyclic cấp 𝑛 cấp 𝑚 Khi 𝐶𝑛 × 𝐶𝑚 ≅ 𝐶𝑛𝑚 ⇔ (𝑛, 𝑚) = 1.1.5 Định lý [2] Tập hợp gồm tất tự đẳng cấu nhóm nhóm 𝐺 với phép tốn hợp thành hai ánh xạ xác định nhóm Nhóm gọi nhóm tự đẳng cấu nhóm 𝐺 kí hiệu 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 1.1.6 Mệnh đề [5] (i) Nếu 𝐺 nhóm cyclic, nhóm 𝐴𝑢𝑡(𝐺) nhóm aben (ii) Nếu 𝐺 nhóm cyclic cấp 𝑝 ngun tố, 𝐴𝑢𝑡(𝐺) nhóm cyclic cấp 𝑝 − 1.1.7 Định lý [1] Cho 𝐶𝑛 nhóm cyclic cấp 𝑛 sinh phần tử 𝑎 Khi đó, nhóm tự đẳng cấu 𝐶𝑛 là: 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑛 ) = {𝜑 | 𝜑: 𝐶𝑛 → 𝐶𝑛 đồng cấu 𝜑(𝑎) = 𝑎𝑘 , 𝑘 ∈ ℕ, (𝑘, 𝑛) = 1} 1.1.8 Hệ Giả sử 𝐶𝑝 = 〈𝑎〉 nhóm cyclic sinh phần tử 𝑎, có cấp 𝑝 số nguyên tố Khi đó: 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑝 ) = { 𝜑𝑖 : 𝐶𝑝 ⟶ 𝐶𝑝 / 𝜑𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑝 − } 1.1.9 Định nghĩa [1] Giả sử p số nguyên tố (i) Nhóm 𝐻 gọi 𝑝- nhóm cấp lũy thừa 𝑝 (ii) Nhóm 𝐻 gọi 𝑝 - nhóm 𝐺 𝐻 vừa nhóm 𝐺 vừa 𝑝- nhóm (iii) Nhóm 𝐻 gọi 𝑝 - nhóm Sylow nhóm hữu hạn 𝐺 𝐻 𝑝 - nhóm 𝐺 |𝐻| = 𝑝𝑛 lũy thừa cao 𝑝 chia hết |𝐺| 1.1.10 Định lý Sylow thứ nhất: Giả sử 𝐺 nhóm hữu hạn 𝑝 số nguyên tố chia hết |𝐺 | Khi tồn 𝑝 − nhóm Sylow 𝐺 1.1.11 Định lý Sylow thứ hai: Giả sử 𝐺 nhóm hữu hạn Khi đó, 𝑝 - nhóm 𝐺 chứa 𝑝 − nhóm Sylow 𝐺 1.1.12 Định lý Sylow thứ ba: (i) Mọi 𝑝 − nhóm Sylow nhóm hữu hạn 𝐺 liên hợp với (ii) Gọi 𝑠𝑝 số 𝑝 − nhóm Sylow phân biệt nhóm hữu hạn 𝐺 Khi 𝑠𝑝 ≡ 𝑚𝑜𝑑 (𝑝) hay 𝑠𝑝 = + 𝑘𝑝, 𝑘 ∈ ℕ (iii) 𝑠𝑝 chia hết cấp 𝐺 1.1.13 Mệnh đề [3] Một 𝑝 − nhóm Sylow 𝑃 nhóm 𝐺 chuẩn tắc 𝑃 𝑝 − nhóm Sylow 𝐺 1.1.14 Định nghĩa [1] Xét đa giác 𝑛 cạnh 𝑃𝑛 với 𝑛 > Gọi 𝑎 phép quay mặt phẳng xung quanh tâm 𝑃𝑛 góc (có hướng) 2𝜋 𝑛 , 𝑏 phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm 𝑃𝑛 đỉnh Khi đó, tất phép đối xứng 𝑃𝑛 (tức biến đổi đẳng cự mặt phẳng biến 𝑃𝑛 thành nó) liệt kê sau: 𝑒, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎𝑛−1, 𝑏, 𝑎𝑏, … , 𝑎𝑛−1 𝑏 chúng lập thành nhóm khơng giao hốn cấp 2𝑛, kí hiệu 𝐷𝑛 , gọi nhóm nhị diện Nhóm 𝐷𝑛 biểu thị qua phần tử sinh quan hệ sau: 𝐷𝑛 = 〈𝑎, 𝑏 | 𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑏2 = 𝑒, (𝑎𝑏)2 = 𝑒 〉 1.1.15 Mệnh đề [3] Cho nhóm 𝐺, kí hiệu: 𝑍(𝐺 ) = {𝑎 𝜖 𝐺 ∶ 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎 ∀ 𝑥 𝜖 𝐺 } ⊂ 𝐺 Khi 𝑍 (𝐺 ) nhóm giao hốn chuẩn tắc 𝐺 Nhóm 𝑍(𝐺 ) gọi nhóm tâm 𝐺 1.1.16 Định lí [1] Giả sử 𝐺 𝑝 − nhóm 𝐺 ≠ {𝑒} nhóm tâm 𝑍(𝐺) ≠ {𝑒} 1.1.17 Định lí Lagrange [2] Cấp nhóm 𝑋 hữu hạn bội cấp nhóm 1.1.18 Hệ [2] Mọi nhóm có cấp nguyên tố cyclic sinh phần tử bất kì, khác phần tử trung lập nhóm 1.1.19 Mệnh đề Giả sử 𝐺 𝐻 hai nhóm hữu hạn có cấp 𝑛 𝑚, 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐻 đồng cấu nhóm Khi đó, ∀𝑥 ∈ 𝐺, 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) ước chung 𝑛 𝑚 Hơn 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) ước chung 𝑜𝑟𝑑 (𝑥) 𝑚 Chứng minh: Với 𝑥 ∈ 𝐺, giả sử 𝑜𝑟𝑑 (𝑥 ) = 𝑘 Theo Định lí Lagrange 𝑘|𝑛 𝑓 (𝑒𝐺 ) = 𝑓 (𝑥 𝑘 ) = [𝑓(𝑥)]𝑘 = 𝑒𝐻 ⇒ 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥)|𝑘 Cũng theo Định lí Lagrange, 𝑜𝑟𝑑 𝑓 (𝑥 ) | 𝑚 Do 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) ước chung 𝑜𝑟𝑑 (𝑥) 𝑚 Vậy 𝑜𝑟𝑑 𝑓(𝑥) ước chung 𝑛 𝑚 1.1.20 Định nghĩa [1] Cho 𝐺 nhóm x ∈ 𝐺 Khi đó, tập hợp 𝐶𝐺 (𝑥) = { 𝑔 ∈ 𝐺 | 𝑔𝑥 = 𝑥𝑔} nhóm 𝐺, gọi nhóm tâm hóa phần tử 𝑥 1.1.21 Định lí [2] Giả sử 𝑝 số nguyên tố, nhóm có cấp 𝑝2 nhóm Abel Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm có cấp 𝑝2, với 𝑝 số nguyên tố Ta chứng minh 𝑍 (𝐺 ) = 𝐺 Theo Định lí 1.1.19, ta có |𝑍(𝐺)| > Do đó, theo Định lí Lagrange |𝑍(𝐺)| = 𝑝 𝑝2 Nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝 tồn 𝑥 ∈ 𝐺 cho 𝑥 ∉ 𝑍(𝐺 ) Khi 𝑍(𝐺 ) < 𝐶𝐺 (𝑥 ) ≤ 𝐺 𝑝 < |𝐶(𝑥)| ≤ 𝑝2 Do 𝐶𝐺 (𝑥 ) = 𝐺, tức 𝑥 ∈ 𝑍 (𝐺 ), điều mâu thuẫn với cách chọn 𝑥 Vậy |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 hay 𝐺 = 𝑍(𝐺) 𝐺 nhóm Abel 1.1.22 Định lí [1] Mỗi 𝑝 − nhóm abel hữu hạn đẳng cấu với tích 𝑝 − nhóm cyclic Hai phân tích khác thứ tự nhân tử 1.2 Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm 1.2.1 Mệnh đề [3] Cho hai nhóm 𝑄 𝑃 Tập hợp tích Descartes 𝑄 × 𝑃 = { ( 𝑥 , 𝑦 ) / 𝑥 ∈ 𝑄, 𝑦 ∈ 𝑃 } với phép nhân xác định ( 𝑥, 𝑦 )( 𝑥’, 𝑦’) = ( 𝑥𝑥’, 𝑦𝑦’ ), ∀( 𝑥, 𝑦) , ( 𝑥’, 𝑦’) ∈ 𝑄 × 𝑃 nhóm 1.2.2 Định nghĩa [3] Nhóm 𝑄 × P xác định mệnh đề gọi tích trực tiếp hai nhóm 𝑄 P 1.2.3 Định lí [3] Cho 𝐺 = 𝑄 × P tích trực tiếp hai nhóm 𝑄 P Đặt 𝑄̂ = { ( x , 1𝑃 ) / x ∈ 𝑄 , 1𝑃 phần tử đơn vị 𝑃 } 𝑃̂ = { ( 1𝑄 , y ) / y ∈ P , 1𝑄 phần tử đơn vị 𝑄 } Khi i) 𝑃̂ 𝑄̂ nhóm 𝐺 𝑃̂ ≅ 𝑃 , 𝑄̂ ≅ 𝑄 ii) 𝐺 = 𝑃̂ 𝑄̂ 𝑃̂ ∩ 𝑄̂ = { 1𝐺 } iii) 𝐺 = 𝑃̂𝑄̂ 𝑃̂ ∩ 𝑄̂ = { 1𝐺 } iv) Mỗi phần tử g ∈ 𝐺 có biểu diễn dạng g = 𝑎̂𝑏̂ với 𝑎̂ ∈ 𝑄̂ , 𝑏̂ ∈ 𝑃̂ v) 𝑃̂ ⊲ 𝐺 𝑄̂ ⊲ 𝐺 1.2.4 Định lý [3] Cho 𝐺 nhóm P 𝑄 hai nhóm 𝐺 cho P ∩ 𝑄 = {1}, xy = yx, ∀x ∈ 𝑄 , y ∈ 𝑃 𝑄 P = 𝐺 Khi 𝐺 ≅ 𝑄 × 𝑃 1.2.5 Hệ [3] Cho 𝐺 nhóm P 𝑄 hai nhóm chuẩn tắc 𝐺 thỏa mãn điều kiện 𝑄𝑃 = 𝐺 P ∩ 𝑄 = {1} Khi 𝐺 ≅ 𝑄 × P 1.2.6 Định lý [3] Cho 𝐺 nhóm hữu hạn 𝑃, 𝑄 hai nhóm chuẩn tắc 𝐺 cho | 𝑃 | | 𝑄 | = | 𝐺 | Nếu i) P ∩ 𝑄 = {1}, ii) 𝑄𝑃 = 𝐺 𝐺 ≅ 𝑄 × P 1.2.7 Định nghĩa [3] Cho 𝐺 nhóm với hai nhóm P 𝑄 thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 với x ∈ 𝑄 𝑦 ∈ 𝑃 (ii) Mọi 𝑔 ∈ 𝐺 , g có biểu diễn dạng 𝑔 = 𝑝𝑞 , 𝑥 ∈ 𝑄 𝑦 ∈𝑃 Khi 𝐺 gọi tích trực tiếp hai nhóm 𝑄 𝑃, kí hiệu 𝐺 ≅ 𝑄 ⊕ 𝑃 1.2.8 Định lý [3] Nếu 𝐺 tích trực tiếp hai nhóm 𝑄 P 𝐺 ≅ 𝑄 × 𝑃 1.2.9 Mệnh đề [6] Cho hai nhóm P, 𝑄 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄) đồng cấu nhóm Khi đó, tập hợp {(𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝑄, 𝑦 ∈ 𝑃 )} với phép toán xác định bởi: (𝑥, 𝑦)(𝑥’, 𝑦’) = (𝑥𝜃(𝑦)(𝑥’), 𝑦𝑦’) nhóm, kí hiệu 𝑄 ⋊𝜃 P Chứng minh: ∀(x, y) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 P, (𝑥1 , 𝑦1 ) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 P, (𝑥2 , 𝑦2 ) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 P, ta có: ((x, y)(𝑥1 , 𝑦1 ))(𝑥2 , 𝑦2 ) = (x𝜃(y)𝑥1 , y𝑦1 ) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (x𝜃(y)𝑥1 𝜃(y𝑦1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2) (x, y)((𝑥1 , 𝑦1 )(𝑥2 , 𝑦2 )) = (x, y) (𝑥1 𝜃(𝑦1 )𝑥2 , 𝑦1 𝑦2 ) = (x𝜃(y) 𝑥1 𝜃(𝑦1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2 ) = (x𝜃(y) 𝑥1 𝜃 (𝑦)𝜃(𝑥1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2 ) = (x𝜃(y) 𝑥1 𝜃 (𝑦𝑦1 )𝑥2 , y𝑦1 𝑦2 ) Do đó: ((x, y)(𝑥1 , 𝑦1 ))(𝑥2 , 𝑦2 ) = (x, y)((𝑥1 , 𝑦1 )(𝑥, 𝑦2 )) Vì 𝜃(1) = θ(y)(1) = nên (1, 1)(𝑥, 𝑦) = (1𝜃(1)x, y = (x, y) (x, y)(1, 1) = (x𝜃(y)1, y) = (x, y) Suy (x, y)(1, 1) = (1, 1)(x, y) = (x, y) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 𝑄, (1, 1) phần tử đơn vị nhóm 𝑄 ⋊𝜃 P Ta có: (x, y)(𝜃(𝑦 −1)𝑥 −1, 𝑦 −1) = (x𝜃 (𝑦)𝜃(𝑦 −1) 𝑥 −1, 𝑦𝑦 −1) = (𝑥𝜃 (1)𝑥 −1, 𝑦𝑦 −1) = (1, 1) Tương tự (𝜃 (𝑦 −1)( 𝑥 −1), 𝑦 −1 )(𝑥, 𝑦) = (1, 1) (𝜃 (𝑦 −1)( 𝑥 −1 ), 𝑦 −1) phần tử nghịch đảo phần tử (𝑥, 𝑦) Mệnh đề chứng minh 1.2.10 Định nghĩa [6] Cho 𝑃 𝑄 hai nhóm 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) đồng cấu nhóm Nhóm 𝑄 ⋊𝜃 P xác định mệnh đề gọi tích nửa trực tiếp nhóm 𝑄 với nhóm P 1.2.11 Mệnh đề [6] Cho 𝑃 𝑄 hai nhóm 𝑄 ⋊𝜃 P tích nửa trực tiếp 𝑄 với P Khi hai ánh xạ sau: 𝑄 → 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 q ↦ ( 𝑞, 1) , 𝑃 → 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 p ↦ ( 1, 𝑝) hai đơn cấu nhóm Hai đơn cấu cho phép đồng 𝑞 với ( 𝑞, 1) , đồng 𝑝 với ( 1, 𝑝) , xem 𝑃, 𝑄 hai nhóm 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 1.2.12 Nhận xét: a) Nếu 𝜃 đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp 𝑄 ⋊𝜃 P tích trực tiếp 𝑄 × P b) Nếu P 𝑄 hai nhóm hữu hạn | 𝑄 ⋊𝜃 P| = | 𝑄 | × |𝑃| Thí dụ: Xét 𝑄 = 𝐶4 = 〈𝑥 ⁄𝑥 = 1〉 = {1, 𝑥, 𝑥 , 𝑥 } 𝑃 = 𝐶2 = 〈𝑦⁄𝑦 = 1〉 = {1, 𝑦} Theo Định lí 1.1.7, 𝐴𝑢𝑡(𝑄) = {1𝑄 , 𝛼} với 𝛼 xác định 𝛼 (𝑥 ) = 𝑥 Rõ ràng ánh xạ 𝜃: 𝑃 ⟶ 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ), với 𝜃(𝑦) = 𝛼, đồng cấu nhóm Xét nhóm 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃, (𝑥, 1𝑃 ) ∈ 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 (𝑥, 1𝑃 )2 = ( 𝑥, 1𝑃 )(𝑥, 1𝑃 ) = (𝑥 𝜃(1)(𝑥 ), 1𝑃 ) 10 (𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃1(1𝑃 )𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎 1𝐶𝑞 (𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎2 , 1𝑃 ) Bằng quy nạp ta có với 𝑛 ∈ ℕ∗, (𝑎, 1𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 1𝑃 ) Suy (𝑎, 1𝑃 )7 = (𝑎7 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃 ) có cấp (1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃1 (𝑏)( 1𝑄 ),𝑏 ) = (1𝑄 , 𝑏2 ) (1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 ) = (1𝑄 𝜃1(𝑏) (1𝑄 ), 𝑏3) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝑄⋊𝜃1 𝑃 Vậy phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) −1 = (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃1(𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏2 ) = (1𝑄 𝛼2(𝑎) , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2 ) = (𝑎2 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 2) = (𝑎2 𝜃1(𝑏)(1𝑄 ), 𝑏3 ) = (𝑎2 , 𝑏3 ) = (𝑎2 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )2 Đồng 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 có biểu diễn 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎7 = 1, 𝑏3 = 1, 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎2 〉 Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃, ta có (𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃2(1𝑃 )(𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎 1𝐶𝑞 (𝑎) , 1𝑃 ) = (𝑎2 , 1𝑃 ) Bằng quy nạp ta có với 𝑛 ∈ ℕ∗, (𝑎, 1𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 1𝑃 ) Suy (𝑎, 1𝑃 )7 = (𝑎7 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃 ) có cấp (1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃2 (𝑏)( 1𝑄 ), 𝑏2 ) = (1𝑄 , 𝑏2 ) 18 (1𝑄 , 𝑏)3 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 ) = (1𝑄 𝜃2(𝑏) (1𝑄 ), 𝑏3) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝑄⋊𝜃2 𝑃 Vậy phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) −1 = (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃2 (𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏2 ) = (1𝑄 𝛼22(𝑎) , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2 ) = (𝑎4 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 2) = (𝑎4 𝜃2 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏3 ) = (𝑎4 , 𝑏3 ) = (𝑎4 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )4 Đồng 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏), nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 có biểu diễn sau 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎7 = 1, 𝑏3 = 1, 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎4 〉 nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 , ta có 𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎4 ⇔ 𝑏2 𝑎𝑏 −2 = 𝑏𝑎4 𝑏−1 = (𝑏𝑎𝑏−1 )4 = 𝑎16 = 𝑎2 Trong nhóm 𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏 , ta có 𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑐 〉 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎2 Do nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 biểu diễn sau 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐 / 𝑎7 = 1, 𝑐 = 1, 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎2 〉 Vậy 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 ≅ 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ≅ 𝐻 Nhóm H khơng giao hốn nên khơng đẳng cấu với nhóm 𝐶21 Định lí chứng minh 19 Với 𝑞 số nguyên tố lớn 𝑞 − chia hết cho 3, ta có kết sau: 2.6 Định lí: Mọi nhóm có cấp 3q, với q số nguyên tố lớn 3, 𝑞 − chia hết cho 3, đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 3q, nhóm 𝐻 có biểu diễn sau: 𝐻 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎𝑞 = 1, 𝑏3 = , 𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎𝑖0 〉, < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 𝑖03 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑞) Chứng minh Giả sử 𝐺 nhóm cấp 3𝑞, với 𝑞 số nguyên tố lớn 3, 𝑞 − chia hết cho Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) đồng cấu nhóm 𝑄 = 𝐶𝑞 , 𝑃 = 𝐶3 Gọi 𝑃 = 𝐶3 = 〈𝑏/ 𝑏3 = 1〉 = {1, 𝑏, 𝑏2 } 𝑄 = 𝐶𝑞 = 〈𝑎/ 𝑎𝑞 = 1〉 = {1, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎𝑞−1} Vì 𝑄 = 𝐶𝑞 nên theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) = 𝐶𝑞−1 Theo Hệ 1.1.8, ánh xạ 𝛼𝑖 : 𝑄 → 𝑄, với 𝛼𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 1≤ 𝑖 ≤ 𝑞 − 1, tự đẳng cấu nhóm 𝑄 Vì 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) = 𝐶𝑞−1, theo Mệnh đề 1.1.3, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) có nhóm 𝑃′ có cấp Gọi 𝛼𝑖0 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑄 ), phần tử có 𝑜𝑟𝑑(𝛼𝑖0 ) = Ta có: 𝛼𝑖20 (𝑎) = 𝛼𝑖0 (𝛼𝑖0 (𝑎) = 𝛼𝑖0 (𝑎𝑖0 ) = (𝑎 𝑖0 )𝑖0 = 𝑎𝑖0 20 2 𝛼𝑖30 (𝑎) = 𝛼𝑖0 ( 𝛼𝑖20 (𝑎)) = 𝛼𝑖0 (𝑎𝑖0 ) = (𝑎 𝑖0 )𝑖0 = 𝑎𝑖0.𝑖0 = 𝑎𝑖0 𝑜𝑟𝑑(𝛼𝑖0 ) = ⇔ 𝛼𝑖30 = 𝑒𝐴𝑢𝑡(𝑄) = 1𝑄 ⇔ 𝛼𝑖30 (𝑎) = 1𝑄 (𝑎) ⇔ 𝑎𝑖30 = 𝑎 ⇔ 𝑎 𝑖0 −1 = 𝑒𝑄 ⇔ 𝑖03 − ⋮ 𝑞 ⇔ 𝑖03 = ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ), < 𝑖0 ≤ 𝑞 − Vậy 𝑃′ = { 𝑖𝑑𝑄 , 𝛼𝑖0 , 𝛼𝑖20 } ≤ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), với 𝑖03 ≡ ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ), < 𝑖0 ≤ 𝑞 − Vì 𝑃 có cấp 3, nên có ba đồng cấu từ 𝑃 đến 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) đồng cấu tầm thường 𝜃0 𝑗 hai đồng cấu 𝜃𝑗 : 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), với 𝜃𝑗 (𝑏) = 𝛼𝑖0 , 𝑗 = 1; Theo Nhận xét 1.2.12, 𝑄 ⋊𝜃0 𝑃 = 𝑄 × 𝑃 ≅ 𝐶𝑞 × 𝐶3 ≅ 𝐶3𝑞 Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃, ta có (𝑎, 𝑒𝑃 )2 = (𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎𝜃1(𝑒𝑃 )𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎 𝑖𝑑𝑄 (𝑎 ), 𝑒𝑃 ) = (𝑎2 , 𝑒𝑃 ) Bằng quy nạp theo 𝑛 ∈ ℕ∗ , ta có (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 𝑒𝑃 ) Suy (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑞 = (𝑎𝑞 , 𝑒𝑃 ) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 𝑒𝑃 ) có cấp q (𝑒𝑄 , 𝑏)2 = (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 𝜃1(𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏2 ) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 ) (𝑒𝑄 , 𝑏)3 = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 𝜃1(𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏3 ) = (𝑒𝑄 , 𝑏3 ) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝑄⋊𝜃1 𝑃 Vậy phần tử (𝑒𝑄 , 𝑏) có cấp (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏)−1 = (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏2) = (𝑒𝑄 𝜃1 (𝑏)(𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 ) = (𝑒𝑄 𝛼𝑖0 (𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 ) 21 = (𝑎𝑖0 , 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 ) = (𝑎𝑖0 𝜃𝑖0 (𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏3 ) = (𝑎𝑖0 , 𝑏 3) = (𝑎𝑖0 , 𝑒𝑃 ) = (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑖0 Đồng 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) nhóm 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 có biểu diễn 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏/ 𝑎𝑞 = 1𝐺 , 𝑏3 = 1𝐺 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 〉, với 𝑖0 ≡ ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ) < 𝑖0 ≤ 𝑞 − Xét nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃, ta có (𝑎, 𝑒𝑃 )2 = (𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎𝜃2(𝑒𝑃 )𝑎, 𝑒𝑃 ) = (𝑎 𝑖𝑑𝑄 (𝑎), 𝑒𝑃 ) = (𝑎2 , 𝑒𝑃 ) Bằng quy nạp theo 𝑛 ∈ ℕ∗ , ta có (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 𝑒𝑃 ) Suy (𝑎, 𝑒𝑃 )𝑞 = (𝑎𝑞 , 𝑒𝑃 ) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 𝑒𝑃 ) có cấp q (𝑒𝑄 , 𝑏)2 = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = (𝑒𝑄 𝜃2(𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏2 ) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 ) (𝑒𝑄 , 𝑏)3 = (𝑒𝑄 , 𝑏)2(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 , 𝑏2 )(𝑒𝑄 , 𝑏) = (𝑒𝑄 𝜃2 (𝑏)(𝑒𝑄 ), 𝑏 ) = (𝑒𝑄 , 𝑏3) = (𝑒𝑄 , 𝑒𝑃 ) = 𝑒𝑄⋊𝜃2 𝑃 Vậy phần tử (𝑒𝑄 , 𝑏) có cấp (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏)−1 = (𝑒𝑄 , 𝑏)(𝑎, 𝑒𝑃 )(𝑒𝑄 , 𝑏)2 = (𝑒𝑄 𝜃2(𝑏)(𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2 ) = (𝑒𝑄 𝛼𝑖20 (𝑎), 𝑏)(𝑒𝑄 , 𝑏2) 2 = (𝑎𝑖0 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏2) = (𝑎𝑖0 𝜃2(𝑏)(1𝑄 ), 𝑏3 ) 2 = (𝑎𝑖0 , 𝑏3 ) = (𝑎𝑖0 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )𝑖0 Đồng 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 có biểu diễn sau 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏/ 𝑎𝑞 = 1𝐺 , 𝑏3 = 1𝐺 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 〉, với 𝑖0 ≡ ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ), < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 22 Trong nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ta có 2 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 ⇔ 𝑏2 𝑎𝑏−2 = 𝑏𝑎𝑖0 𝑏−1 = (𝑏𝑎𝑏 −1)𝑖0 = 𝑎𝑖0 = 𝑎𝑖0 Trong nhóm 𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏2 , ta có 𝑃 = 𝐶3 = 〈 𝑐 〉 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎𝑖0 Do nhóm 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 cịn biểu diễn sau: 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐/ 𝑎𝑞 = 1, 𝑐 = 1, 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎 𝑖0 〉, với 𝑖0 ≡ ( 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ), < 𝑖0 ≤ 𝑞 − Vậy 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 ≅ 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ≅ 𝐻 Nhóm 𝐻 khơng giao hốn , nên khơng đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 3𝑞 Định lí chứng minh 2.7 Định lí: Mọi nhóm có cấp 55 đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 55, nhóm 𝐻 biểu diễn sau: 𝐻 = 〈 𝑎, 𝑏/ 𝑎11 = 1, 𝑏5 = , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎3 〉 Chứng minh Giả sử 𝐺 nhóm cấp 55 = 5.11 Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) đồng cấu nhóm, 𝑄 = 𝐶11 , 𝑃 = 𝐶5 Gọi 𝑃 = 𝐶5 = 〈𝑏/ 𝑏5 = 1〉 = {1, 𝑏, 𝑏2 , 𝑏3, 𝑏4 } 𝑄 = 𝐶11 = 〈𝑎/ 𝑎11 = 1〉 = {1, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎10 } Vì 𝑄 = 𝐶11 nên theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 𝐶10 23 Theo Hệ 1.1.8, ánh xạ 𝛼𝑖 : 𝑄 → 𝑄, với 𝛼𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 1≤ 𝑖 ≤ 10, tự đẳng cấu 𝑄 Vì 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) ≅ 10, theo Mệnh đề 1.1.3, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) có nhóm 𝑃′ có cấp Ta có: 𝛼32(𝑎) = 𝛼3(𝛼3 (𝑎)) = 𝛼3 (𝑎3 ) = (𝑎3 )3 = 𝑎9 2 3 𝛼33 (𝑎) = 𝛼3 (𝛼32(𝑎)) = 𝛼3(𝑎 ) = (𝑎3 ) = 𝑎3 3 3 𝛼34(𝑎) = 𝛼3 (𝛼33 (𝑎)) = 𝛼3 (𝑎 ) = (𝑎3 ) = 𝑎3 4 𝛼35(𝑎) = 𝛼3 (𝛼34(𝑎)) = 𝛼3(𝑎3 ) = (𝑎3 ) = 𝑎3 Suy 𝛼35 = 𝑖𝑑𝑄 = 𝑒𝐴𝑢𝑡(𝑄) ⇒ Vậy = 𝑎 = 𝑎5 = 𝑎3 = 𝑎4 = 𝑎3 = 𝑎 = 𝑖𝑑𝑄 (𝑎) 𝑜𝑟𝑑(𝛼3) = 𝑃′ = { 𝑖𝑑𝑄 , 𝛼3 , 𝛼32 , 𝛼33 , 𝛼34 } ≤ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) Vì 𝑃 có cấp 5, nên có năm đồng cấu từ 𝑃 đến 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) đồng cấu tầm thường 𝜃0 𝑗 bốn đồng cấu 𝜃𝑗 : 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), với 𝜃𝑗 (𝑏) = 𝛼3 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅ 1; Theo Nhận xét 1.2.12, 𝑄 ⋊𝜃0 𝑃 = 𝑄 × 𝑃 ≅ 𝐶11 × 𝐶5 ≅ 𝐶55 Xét nhóm 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃, 𝑗 = ̅̅̅̅̅ 1; , ta có (𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃𝑗 (1𝑃 )𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎 𝑖𝑑𝑄 (𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎2 , 1𝑃 ) Bằng quy nạp ta có : Với 𝑛 ∈ ℕ∗ , (𝑎, 1𝑃 )𝑛 = (𝑎𝑛 , 1𝑃 ) Suy (𝑎, 1𝑃 )11 = (𝑎11 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃 ) có cấp 11 nhóm 𝐺𝑗 (1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃𝑗 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏2 ) = (1𝑄 , 𝑏2 ) 24 Bằng quy nạp ta có : Với 𝑛 ∈ ℕ∗ , (1𝑄 , 𝑏) 𝑛 = (1𝑄 , 𝑏𝑛 ) Suy (1𝑄 , 𝑏5) = (1𝑄 , 𝑏5 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 Vậy phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp nhóm 𝐺𝑗 (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) −1 = (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃𝑗 (𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏4 ) 𝑗 = (1𝑄 𝛼3 (𝑎), 𝑏)(1𝑄 , 𝑏4 ) 𝑗 𝑗 = (𝑎 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏4 ) = (𝑎3 𝜃𝑗 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏5 ) 𝑗 𝑗 𝑗 = (𝑎 , 𝑏5 ) = (𝑎3 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )3 Đồng 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) nhóm 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃 có biểu diễn 𝑗 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 /𝑎11 = 1𝐺 , 𝑏 = 1𝐺 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎3 〉, 𝑗 = ̅̅̅̅̅ 1, Rõ ràng 𝐺1 = 𝑄 ⋊𝜃1 𝑃 ≅ 𝐻 Xét nhóm 𝐺2 = 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 ta có 2 𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎3 ⇔ 𝑏2 𝑎𝑏−2 = 𝑏𝑎3 𝑏 −1 = (𝑏𝑎𝑏−1)3 = 𝑎3 = 𝑎81 = 𝑎4 𝑏3 𝑎𝑏 −3 = 𝑏𝑎4 𝑏 −1 = (𝑏𝑎𝑏−1)4 = 𝑎 = 𝑎36 = 𝑎3 Trong nhóm 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏 , ta có 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑐 〉 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎3 Do nhóm 𝐺2 = 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 cịn biểu diễn sau: 𝐺2 = 𝑄 ⋊𝜃2 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐/ 𝑎11 = 1𝐺 , 𝑐 = 1𝐺 , 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎3 〉 Vậy 𝐺2 ≅ 𝐻 25 Xét nhóm 𝐺3 = 𝑄 ⋊𝜃3 𝑃, ta có 𝑏𝑎𝑏 −1 = 𝑎3 = 𝑎5 ⇔ 𝑏2 𝑎𝑏 −2 = 𝑏𝑎5 𝑏−1 = (𝑏𝑎𝑏 −1)5 = 𝑎25 = 𝑎3 Trong nhóm 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏 , ta có 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑐 〉 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎3 Do nhóm 𝐺3 = 𝑄 ⋊𝜃3 𝑃 biểu diễn sau: 𝐺3 = 𝑄 ⋊𝜃3 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐 / 𝑎 11 = 1𝐺 , 𝑐 = 1𝐺 , 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎3 〉 Vậy 𝐺3 ≅ 𝐻 Xét nhóm 𝐺4 = 𝑄 ⋊𝜃4 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐/ 𝑎11 = 1𝐺 , 𝑐 = 1𝐺 , 𝑐 𝑎𝑐 −1 = 𝑎 〉 Tương tự trên, nhóm 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑏 〉 , đặt 𝑐 = 𝑏4 , ta có 𝑃 = 𝐶5 = 〈 𝑐 〉 𝑐𝑎𝑐 −1 = 𝑎3 Khi nhóm 𝐺4 = 𝑄 ⋊𝜃4 𝑃 biểu diễn sau: 𝐺4 = 𝑄 ⋊𝜃4 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑐/ 𝑎11 = 1𝐺 , 𝑐 = 1𝐺 , 𝑐 𝑎𝑐 −1 = 𝑎3 〉 Vậy 𝐺4 ≅ 𝐻 Nhóm 𝐻 khơng giao hốn nên khơng đẳng cấu với nhóm 𝐶55 Định lí chứng minh 2.8 Định lí: Mọi nhóm có cấp pq, với p, q hai số nguyên tố lẻ , 𝑝 < 𝑞 đẳng cấu với nhóm cyclic cấp pq, nhóm 𝐺𝑗 xác định sau: 𝑗 𝐺𝑗 = 〈 𝑎, 𝑏/ 𝑎𝑞 = 1, 𝑏𝑝 = , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 〉, 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑝 − 𝑝 với 𝑖0 ∈ ℕ, < 𝑖0 ≤ 𝑞 − , 𝑖0 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑞) Chứng minh 26 Giả sử 𝐺 nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố lẻ 𝑝 < 𝑞 Theo Mệnh đề 2.2, 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 , với 𝜃 ∶ 𝑃 → 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) đồng cấu nhóm 𝑄 = 𝐶𝑞 = { 𝑎/ 𝑎𝑞 = 𝑒 } , 𝑃 = 𝐶𝑝 = { 𝑏 / 𝑏𝑝 = 𝑒 } * Nếu 𝑝 ∤ 𝑞 − 𝜃 ∶ 𝐶𝑝 = 〈 𝑏 〉 ⟶ 𝐶𝑞−1 = 𝐴𝑢𝑡(𝐶𝑞 ) 𝑏 ⟼ 𝜃 (𝑏) Vì 𝑝 ∤ 𝑞 − nên theo Mệnh đề 1.1.19 , ord [𝜃 (𝑏)] = Suy 𝜃(𝑏) = 𝑒𝐴𝑢𝑡 (𝐶𝑞 ) , nghĩa 𝜃 đồng cấu tầm thường Theo Nhận xét 1.2.12 Mệnh đề 1.1.4, ta có : 𝐺 = 𝑄 ⋊𝜃 𝑃 = 𝐶𝑞 × 𝐶𝑝 ≅ 𝐶𝑝𝑞 Vậy 𝑝 ∤ 𝑞 − có nhóm cấp 𝑝𝑞 nhóm cyclic * Nếu 𝑝 | 𝑞 − Gọi 𝑃 = 𝐶𝑝 = 〈𝑏/ 𝑏𝑝 = 1〉 = { 𝑒𝑃 , 𝑏, 𝑏2 , … , 𝑏 𝑝−1 } 𝑄 = 𝐶𝑞 = 〈𝑎/ 𝑎𝑞 = 1〉 = { 𝑒𝑄 , 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎𝑞−1} Vì 𝑄 = 𝐶𝑞 nên theo Mệnh đề 1.1.6, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) = 𝐶𝑞−1 Theo Hệ 1.1.8 ánh xạ 𝛼𝑖 : 𝑄 → 𝑄, với 𝛼𝑖 (𝑎) = 𝑎𝑖 , 1≤ 𝑖 ≤ 𝑞 − 1, tự đẳng cấu 𝑄 Vì 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) = 𝐶𝑞−1, theo Mệnh đề 1.1.3, 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) có nhóm cyclic 𝑃′ có cấp p Giả sử 𝑃′ = 〈 𝛼𝑖0 〉, với 𝛼𝑖0 ∈ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), 𝑜𝑟𝑑 (𝛼𝑖0 ) = 𝑝, < 𝑖0 ≤ 𝑞 − Ta có 𝛼𝑖0 (𝑎) = 𝑎𝑖0 Bằng quy nạp theo 𝑛 ta được: 27 𝑛 𝑛 𝑛 ∈ ℕ∗ , (𝛼𝑖0 ) (𝑎) = 𝑎𝑖0 𝑝 𝑜𝑟𝑑 (𝛼𝑖0 ) = 𝑝 ⇔ (𝛼𝑖0 ) = 𝑒𝐴𝑢𝑡(𝑄) = 𝑖𝑑𝑄 𝑝 ⇔ 𝛼𝑖0 (𝑎) = 𝑖𝑑𝑄 (𝑎) 𝑝 𝑝 ⇔ 𝑎𝑖0 = 𝑎 hay 𝑎𝑖0 −1 = 𝑒𝑄 𝑝 ⇔ 𝑖0 − chia hết cho 𝑞 𝑝 ⇔ 𝑖0 = (𝑚𝑜𝑑 𝑞) 𝑝−1 Vậy 𝑃′ = { 𝑒𝐴𝑢𝑡(𝑄) = 𝑖𝑑𝑄 , 𝛼𝑖0 , 𝛼𝑖20 , … , 𝛼𝑖0 } ≤ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ), với < 𝑖0 ≤ 𝑞 − 𝑝 𝑖0 = (𝑚𝑜𝑑 𝑞) Vì 𝑃 có cấp p, nên theo Định lí 1.1.19 có p đồng cấu từ 𝑃 đến 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) sau 𝜃𝑗 : 𝑃 ⟶ 𝐴𝑢𝑡 (𝑄 ) 𝑗 b ⟼ 𝜃𝑗 (𝑏) = 𝛼𝑖0 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 0, 𝑝 − với 𝜃0 đồng cấu tầm thường Theo Nhận xét 1.2.12, 𝑄 ⋊𝜃0 𝑃 = 𝑄 × 𝑃 ≅ 𝐶𝑞 × 𝐶𝑝 ≅ 𝐶𝑝𝑞 Xét nhóm 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃, 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑝 − , ta có : (𝑎, 1𝑃 )2 = (𝑎, 1𝑃 )(𝑎, 1𝑃 ) = (𝑎𝜃𝑗 (1𝑃 )(𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎 𝑖𝑑𝑄 (𝑎), 1𝑃 ) = (𝑎2 , 1𝑃 ) Bằng quy nạp ta có: (𝑎, 1𝑃 )𝑞 = (𝑎𝑞 , 1𝑃 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 Vậy phần tử (𝑎, 1𝑃 ) có cấp q (1𝑄 , 𝑏)2 = (1𝑄 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 𝜃𝑗 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏2 ) = (1𝑄 , 𝑏2 ) 28 Bằng quy nạp ta có: 𝑝 (1𝑄 , 𝑏) = (1𝑄 , 𝑏𝑝 ) = (1𝑄 , 1𝑃 ) = 1𝐺 Vậy phần tử (1𝑄 , 𝑏) có cấp 𝑝 (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) −1 = (1𝑄 , 𝑏)(𝑎, 1𝑃 )(1𝑄 , 𝑏) 𝑝−1 = (1𝑄 𝜃𝑗 (𝑏)(𝑎), 𝑏)( 1𝑄 , 𝑏 𝑝−1) 𝑗 = (1𝑄 𝛼𝑖0 (𝑎), 𝑏)(1𝑄 , 𝑏𝑝−1 ) 𝑗 𝑗 = (𝑎 𝑖0 , 𝑏)(1𝑄 , 𝑏 𝑝−1) = (𝑎 𝑖0 𝜃𝑗 (𝑏)(1𝑄 ), 𝑏𝑝 ) 𝑗 𝑗 𝑗 = (𝑎 𝑖0 , 𝑏𝑝 ) = (𝑎𝑖0 , 1𝑃 ) = (𝑎, 1𝑃 )𝑖0 Đồng 𝑎 ≡ (𝑎, 1𝑃 ) 𝑏 ≡ (1𝑄 , 𝑏) nhóm 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃 có biểu diễn 𝑗 𝐺𝑗 = 𝑄 ⋊𝜃𝑗 𝑃 = 〈 𝑎, 𝑏 / 𝑎𝑞 = 1𝐺 , 𝑏𝑝 = 1𝐺 , 𝑏𝑎𝑏−1 = 𝑎𝑖0 〉, 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑝 − Định lí chứng minh 29 KẾT LUẬN Khóa luận “Các nhóm cấp pq, với p, q hai số nguyên tố” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể khóa luận thực vấn đề sau: 1) Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 𝑝 ước 𝑞 − 2) Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp 2𝑞, với 𝑞 số nguyên tố lẻ 3) Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp 21, nhóm có cấp 55 4) Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp 3q, với q số nguyên tố lớn 3, 𝑞 − chia hết cho 5) Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp pq, với p, q hai số nguyên tố lẻ 𝑝 chia hết 𝑞 − 1)…… 19 2.7 Định lí (Phân loại nhóm cấp 55)………………………………… 22 2.8 Định lí (Phân loại nhóm cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố lẻ)….25 KẾT LUẬN……………………………………………………………………….29 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………….30 32 ...