Nhóm cộng các số hữu tỉ q và một số nhóm con của nó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG NHÓM CỘNG CÁC SỐ HỮU TỈ VÀ MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NÓ Chủ nhiệm đề tài: PHẠM MỸ HẠNH An Giang, tháng 07 năm 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG NHÓM CỘNG CÁC SỐ HỮU TỈ VÀ MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NÓ BAN GIÁM HIỆU LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI PHẠM MỸ HẠNH An Giang, tháng 07 năm 2013 BẢNG KÝ HIỆU o( x) Cấp phần tử x (a , b) Ước chung lớn a b n! n giai thừa a, b  Bội chung nhỏ a b Tập số tự nhiên Tập số nguyên ¤ Tập số hữu tỉ ¡ Tập số thực P Tập số nguyên tố p p Tập số hữu tỉ có dạng a với a Ỵ  , n ẻ Ơ v p ẻ P pn Tập số hữu tỉ có dạng a với (b, p ) = v p ẻ P b  (p¥ , + ) Nhóm p - Pruffer Jp Hom ( ( p Ơ ),  ( p Ơ )) SF Tập hữu tỉ có dạng Hom( A, B) Tập đồng cấu từ nhóm A vào nhóm B t ( A) tA Thành phần xoắn nhóm A U ( A) Nhóm Ulm nhóm A H H nhóm chuẩn tắc nhóm A A a với b số khơng phương b H £ G H nhóm nhóm G AÍ B A tập B G = A ÅB Nhóm G tổng trực tiếp nhóm A B L(A ) Dàn nhóm nhóm A   Ai iI Tích Descartes nhóm  Ai iI Tâm nhóm G (G ) ¢ (G ) = {1} ¢ n (G ) = {x | x - 1y - 1xy ẻ  n - 1(G ), " y Ỵ G }, n Î ¥ H (G)  B | B G, B  1 Đề tài “Nhóm cộng số hữu tỉ số nhóm nó” cung cấp số kiến thức lý thuyết nhóm Các kết đề tài phần làm rõ tính phong phú đa dạng lớp nhóm cộng Abel vơ hạn qua ví dụ nhóm cộng số hữu t v hai nhúm ca nú l Ô p v Ô p cựng nhúm thng p - Pruffer v nhóm J p Từ tính chất nhóm cộng số hữu tỉ hai nhóm cho ta xác định tính đóng nhóm xyclic địa phương, nhóm khơng xoắn, nhóm hopf – nhóm cohopf, nhóm chia v/v… lớp nhóm nhóm thương chúng Đề tài giới thiệu tính chất chung lớp nhóm nhóm cộng số hữu tỉ thơng qua hai định lý 2.3.1 định lý 2.3.2 Ngoài đề tài trình bày số tính chất hai nhóm đóng vai trị ( p  ) nhóm quan trọng lý thuyết nhóm nhóm p - Pruffer J p  Hom( ( p  ), ( p  )) Tuy nhiên thời gian có hạn nên đề tài chưa trình bày ứng dụng nhóm cộng số hữu tỉ nhóm ứng dụng nhóm p - Pruffer ( p  ) nhóm J p  Hom( ( p  ), ( p  )) tốn học nói chung lý thuyết nhóm nói riêng Mặc dù q trình thực đề tài thân có nhiều cố gắng đề tài khơng tránh thiếu sót hạn chế định, tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô em sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện hơn./ MỤC LỤC Nội dung Trang Bảng ký hiệu Tóm tắt Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bổ đề Zorn định lý đẳng cấu 1.2 Dàn nhóm – Dàn phân phối 1.3 Tổng trực tiếp nhóm 1.4 Nhóm khơng phân tích 1.5 Nhóm xoắn nhóm khơng xoắn 10 1.6 p - nhóm 12 1.7 Nhóm chia – Nhóm rút gọn 13 1.8 Nhóm túy – Nhóm đơn túy 19 1.9 Nhóm xyclic nhóm xyclic địa phương 20 1.10 Nhóm thặng dư hữu hạn 21 1.11 Nhóm hopf nhóm cohopf 25 1.12 Nhóm Fratinni nhóm bất khả quy trực tiếp 26 1.13 Tính nội xạ nhóm Abel 27 1.14 Sự độc lập tuyến tính – Hạng nhóm Abel 28 Chương Nhóm cộng số hữu tỉ số nhóm 30 2.1 Nhóm cộng số hữu tỉ 30 2.2 Một số nhóm nhóm cộng số hữu tỉ 41 2.3 Tính chất nhóm nhóm cộng số hữu tỉ 56 Chương Nhóm p - Pruffer nhóm J p 60 3.1 Nhóm p - Pruffer 60 3.2 Nhóm J p 68 Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo 76 Lý thuyết nhóm số nhánh phát triển mạnh đại số có nhiều ứng dụng topo học, lý thuyết hàm, mật mã học, học lượng tử nhiều ngành khoa học khác Bài toán lý thuyết nhóm miêu tả tất hệ thống nhóm sai khác đẳng cấu nghiên cứu phép biến đổi nhóm Trong q trình học, sinh viên chun ngành tốn tiếp cận với số nội dung lý thuyết nhóm có lớp nhóm Abel vơ hạn Do đó, nhằm giới thiệu hệ thống lại tính chất phong phú lớp nhóm Abel vơ hạn, đề tài “Nhóm cộng số hữu tỉ số nhóm nó” thực Bố cục đề tài chia làm chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Nhóm cộng số hữu tỉ số nhóm ca nú Chng Nhúm  ( p Ơ ) nhóm J p = Hom ( ¢ ( p ¥ ), ¢ ( p ¥ )) Đối tượng nghiên cứu: - Nhóm cộng số hữu tỉ - Hai nhóm nhóm cộng số hữu tỉ: Nhúm Ô p v nhúm Ô p , vi p số ngun tố cho trước - Nhóm ¢ ( p ¥ ) nhóm J p = Hom (  ( p Ơ ),  ( p Ơ )) Mục tiêu đề tài: - Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết nhóm, đặc biệt tính chất lớp nhóm Abel vơ hạn - Hệ thống tính chất nhóm cộng số hữu tỉ - Cung cấp tính chất số nhóm nhóm cộng số hữu tỉ mối quan hệ nhóm - Xác định tính đóng nhóm (như nhóm xyclic địa phương; nhóm xoắn; nhóm khơng xoắn v/v…) lớp nhóm nhóm thương chúng Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp nghiên cứu sách tài liệu - Phương pháp tham khảo ý kiến chuyên gia Trong trình thực đề tài, nhận hướng dẫn tận tình Thầy Bùi Xn Hải, mơn Đại số, trường đại học Khoa học Tự nhiên qua hội đồng môn, đề tài nhận nhiều nhận xét, góp ý q báu q thầy mơn Tốn trường đại học An Giang Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu nhóm cộng cỏc s hu t Ô v mt s nhúm dựa số kiến thức lý thuyết nhóm Ngồi ra, đề tài giới thiệu thêm số tính chất nhóm ¢ ( p ¥ ) nhóm J p = Hom ( ¢ ( p ¥ ), ¢ ( p ¥ )) Lịch sử vấn đề nghiên cứu: Theo Wikipedia khoảng kỉ, nhiều nhà toán học gặp khó khăn nghiên cứu tốn đại số trước lí thuyết nhóm đời Bắt đầu Joseph Louis Lagrange sử dụng nhóm hốn vị để tìm nghiệm đa thức (1771) Sau báo, nghiên cứu phương trình đại số Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel (1824) Evariste Galois (1830), thuật ngữ lí thuyết nhóm xuất Ngồi ra, lí thuyết nhóm hình thành từ hình học vào khoảng kỉ 19 từ lí thuyết số Vào khoảng cuối kỉ 19 lí thuyết nhóm hình thành nhánh độc lập đại số (những người có cơng lĩnh vực phải kể đến Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu ) Nhiều khái niệm đại số xây dựng lại từ khái niệm nhóm có nhiều kết đóng góp cho phát triển ngành quan trọng tốn học Hiện lí thuyết nhóm phần phát triển đại số có nhiều ứng dụng topo học, lí thuyết hàm, mật mã học, học lượng tử nhiều ngành khoa học khác Trên thực tế, việc viết hết hệ thống nhóm khơng thể, mà lí thuyết nhóm cịn tiếp tục nghiên cứu Vì lý thuyết nhóm số nhánh phát triển mạnh toán học nên có nhiều tác giả nghiên cứu vấn đề Trong tài liệu Examples of groups tác giả Michael Weinstein trình bày nhiều ví dụ nhóm hữu hạn nhóm vơ hạn có đề cập đến lớp nhóm Abel vơ hạn ví dụ điển hình lớp nhóm nhóm cng cỏc s hu t Ô v mt s nhúm con, nhóm thương Tuy nhiên, số tính chất nhóm tác giả giới thiệu với độc giả cách sơ lược Ngoài ra, tác giả J Rotman với tài liệu A course in the theory of group với số tài liệu lý thuyết nhóm khác trình bày nhiều kiến thức hệ thống lý thuyết nhóm lớp nhóm hopf – cohopf, nhóm thặng dư hữu hạn, nhóm bất khả quy trực tiếp con, với số tính chất lớp nhóm Abel vơ hạn Trong tài liệu Đại số đại, tác giả Bùi Xuân Hải trình bày kiến thức tảng đại số chủ yếu đề cập đến lớp nhóm hữu hạn Bên cạnh đó, viết “Tính chất nhóm nhóm cộng số hữu tỉ” tác giả Ross A.Beaumont H.S Zuckerman trình bày chi tiết tính chất chung nhóm ca nhúm cng cỏc s hu t Ô Ngồi ra, số nội dung trình bày luận văn thạc sĩ nhóm p - Pruffer tác giả Phan Việt Chương, đại học Cần Thơ với tài liệu nguồn tư liệu quý báu làm sở để thực đề tài này./ CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần trình bày tóm tắt số khái niệm, tính chất cần thiết cho nội dung trọng tâm đề tài nhóm cộng số hữu tỉ, số nhóm đặc biệt nó, nhóm p - Pruffer nhóm J p = Hom ( ¢ ( p ¥ ), ¢ ( p ¥ )) 1.1 Bổ đề Zorn định lý đẳng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho S tập khác rỗng £ quan hệ S Khi ta nói (S , £ ) tập thứ tự phận quan hệ £ thỏa mãn tính chất sau: a) x £ x, " x Ỵ S b) x £ y y £ x kéo theo x = y, " x, y Ỵ S c) x £ y y £ z kéo theo x £ z, " x, y, z Ỵ S Ví dụ 1.1.1 1) Tập hợp số thực ¡ với quan hệ thứ tự thông thường tập thứ tự phận 2) Cho G nhóm khơng tầm thường tập hợp gồm tất nhóm nhóm G với quan hệ nhóm £ tập thứ tự phận Định nghĩa 1.1.2 Cho tập thứ tự phận (S , £ ) C tập S Khi ta nói C xích (subchain) (S , £ ) với x , y C ta ln có x £ y y £ x Định nghĩa 1.1.3 Cho tập thứ tự phận (S , £ ) x Î S , x phần tử tối đại (maximal element) (S , £ ) x £ y với y Ỵ S x = y Bổ đề 1.1.4 (Bổ đề Zorn): Nếu (S , £ ) tập thứ tự phận cho xích có chặn S có phần tử tối đại Định lý 1.1.5 (Định lý đẳng cấu thứ nhất) Giả sử f : G ® G đồng cấu nhóm ta có G / ker f @ Im f Chứng minh: Giả sử (G ,.) nhóm với phần tử đơn vị Đặt H = ker f H nhóm chuẩn tắc G Xét ánh xạ j :G H ® G xH a f (x ) Khi với a, b Ỵ G aH = bH Û b- 1a Ỵ H Û f (b- 1a ) = Û f (b) = f (a ) Suy j xác định đồng thời đơn ánh Mặt khác, với a, b Ỵ G ta có j (aHbH ) = j (abH ) = f (ab) = f (a) f (b) = j (aH )j (bH ) Suy j đồng cấu nhóm Hơn Im j = Im f Vậy j đẳng cấu từ G / H vào Im f Định lý 1.1.6 (Định lý đẳng cấu thứ hai) Cho H , K nhóm nhóm G cho H nhóm chuẩn tắc G , H Ç K nhóm chuẩn tắc K K / (H Ç K ) @ HK / H Chứng minh: Do H nhóm chuẩn tắc G nên HK £ G H nhóm chuẩn tắc HK Xét ánh xạ j : K ® HK H x a xH Khi j đồng cấu nhóm Mặt khác, với xH Ỵ HK H tồn h Ỵ H , k Ỵ K cho x = hk, suy xH = hkH = k (k - 1hk )H = kH = j (k ) Do j tồn cấu Từ định lý 1.1.5 suy HK H ; K ker j Với x Ỵ K , x Ỵ ker j Û j (x ) = H Û xH = H Û x Ỵ H Û x Ỵ H I K Vậy ker j = H Ç K K / (H Ç K ) @ HK / H Định lý 1.1.7 (Định lý đẳng cấu thứ ba) Giả sử H , K nhóm chuẩn tắc G K £ H , ta có H / K nhóm chuẩn tắc G / K G ) ( ( H ) @ K (H K ) G Chứng minh: Xét ánh xạ f :G K ® G H aK a aH Kiểm tra f xác định toàn cấu với ker f = H K , theo định lý đẳng cấu ta suy điều cần chứng minh 1.2 Dàn nhóm – Dàn phân phối Định nghĩa 1.2.1 Cho (S , £ ) tập thứ tự phận A Í S x cận A x Ỵ S , x £ a, " a Ỵ A x cận tập thứ tự phận A Í S x Ỵ S x ³ a, " a Ỵ A Cho (S , £ ) tập thứ tự phận A Í S x cận bé A x cận A x £ y với y cận A Cho (S , £ ) tập thứ tự phận A Í S x cận lớn A x cận A x ³ y với y cận A Định lý 1.2.2 Cho (S , £ ) tập thứ tự phận A Í S Giả sử x x * hai cận bé A w , w * hai cận lớn A Khi x = x * w = w * Chứng minh: Do x cận bé A x * cận A, nên x £ x *, theo định nghĩa cận bé Tương tự x * £ x Vậy x = x *, điều cho tập thứ tự phận Chứng minh tương tự cho trường hợp w Định nghĩa 1.2.3 Cho (S , £ ) dàn (lattice) (S , £ ) tập thứ tự phận cặp phần tử (x, y ) Ỵ S {x , y } có cận bé cận lớn Ký hiệu: x Ú y cận bé {x , y } x Ü y cận lớn {x , y } Quy ƣớc: x Ú y = x y £ x x Ú y = y x £ y x Ü y = x x £ y x Ü y = y y £ x Định nghĩa 1.2.4 Cho G nhóm, L(G ) = {H | H nhóm G } gọi dàn nhóm (subgroups lattice) nhóm G Định lý 1.2.5 Cho G nhóm (L (G ), £ ) dàn nhóm G Cận lớn cận bé dàn H Ü K = H Ç K , H Ú K = H È K H , K nhóm nhóm G Nếu G nhóm Abel H Ú K = H + K Chứng minh: Nhận thấy (L (G ), £ ) tập thứ tự phận Cho H , K Ỵ L(G ), H Ç K nhóm G H Ç K Ỵ L(G ) Ta có H Ç K £ H H Ç K £ K Giả sử Y cận {H , K } Khi Y £ H Y £ K , Y £ H Ç K Vậy H Ç K cận lớn {H , K } Tương tự H , K Ỵ L(G ), H È K nhóm G thuộc vào L(G ) Do H £ H È K K £ H È K suy H È K cận {H , K } Tính chất 12 Nhóm ¢ ( p ¥ ) có tính chất sau: a) Nếu H l nhúm thc s ca  ( p Ơ ) thỡ  (pƠ ) ;  ( p Ơ ) H b) Nhúm  ( p Ơ ) khụng nhóm hopf Chứng minh: a) Nếu H nhóm thc s ca nhúm  ( p Ơ ), thỡ H =  ( p Ơ )[p n ] Suy  ( p Ơ ) / H ; pn  ( p Ơ ) Tuy nhiờn, pn  ( p Ơ ) =  ( p Ơ ) vỡ  ( p Ơ ) l nhúm chia c Khi ú  ( p Ơ ) / H @ ¢ ( p ¥ ) b) Theo mục a) ta nhn thy nhúm  ( p Ơ ) luụn cú nhóm thương thực đẳng cấu với Do ú nhúm  ( p Ơ ) khụng l nhúm hopf Tớnh cht 13 Nhúm  ( p Ơ ) nhóm cohopf Chứng minh: Theo tính chất 3, nhúm thc s ca nhúm  ( p Ơ ) hữu hạn Mặt khác, thân nhóm ¢ ( p ¥ ) vơ hạn Do nhóm ¢ ( p ¥ ) khơng đẳng cấu với nhóm thực Vậy nhóm ¢ ( p ¥ ) nhóm cohopf Tính chất 14 Nhóm ¢ ( p ¥ ) nhóm xyclic địa phương Chứng minh: Ta cần chứng minh nhóm hữu hạn sinh ca nhúm  ( p Ơ ) u l nhóm xyclic Đặt H = x 1, x 2, , x k nhóm hữu hạn sinh nhóm ¢ ( p ¥ ) với x i = ¢ + (ai / pm (i ) ) với £ i £ k Đặt m số lớn m (i ) Khi x i = ¢ + (ai pm - m (i ) / pm ) = pm - m (i ) (¢ + (1 / pm )) Do x i Ỵ ¢ + (1 / p m ) với £ i £ k chứng tỏ H nhóm nhóm ¢ + (1 / p m ) Suy H l nhúm xyclic Vy  ( p Ơ ) nhóm xyclic địa phương Tính chất 15 Cho p số nguyên tố nhóm G hợp dãy tăng nhóm C £ C £ C (hay G = UC i ) C i nhóm xyclic cấp p i Khi ú G ;  pƠ ( ) Chứng minh: 64 Giả sử C i = ci pci + = ci với i Do G = UC i nên x Ỵ G tồn C i cho x Ỵ C i Xét tương ứng sau q : G đ  (pƠ ) m q(mci ) a i + ¢ p Khi q đẳng cấu Thật mcr = ncs (với r ³ s ) ta cần chứng minh m n + ¢ = r + ¢ r p p Do r ³ s, nên pr - scr = cs Þ mcr = npr - scr Þ (m - npr - s )cr = Do cấp cr p r nên m - npr - s = kpr (k ẻ  ) Khi m = np r - s + kp r Û m n m n = s + k Suy r + ¢ = s + ¢ r p p p p Với g, h Î G , tồn nhóm C r chứa đồng thời g h Do g = scr , h = tcr với s, t số nguyên Khi q(g + h ) = q((s + t )cr ) = s+t s t + ¢ = r + ¢ + r + ¢ = q(g) + q(h ) r p p p Suy q đồng cấu Ngồi íï ü ï s ker q = {g | q(g) = ¢ } = ïì sci | q(sci ) = i + ¢ = ¢ ùý ùợù ùỵ p ù ỹ ùớù ù s = ỡ sci | i ẻ  ùý = sci | s = kp i = ùợù ùỵ p ù { } Suy q đơn ánh Theo định nghĩa q, ta suy q toàn ánh Vậy q đẳng cấu nên G ; ¢ (p ¥ ) Tính chất 16 Mọi đồng cấu khơng tm thng g :  ( p Ơ ) đ ¢ ( p ¥ ) tồn cấu Chứng minh: Giả sử có đồng cấu khơng tầm thường g :  ( p Ơ ) đ  ( p ¥ ) Khi Im g ker g cỏc nhúm ca  ( p Ơ ) Ơ Theo định lý đẳng cấu thứ ¢ ( p ) ker g ; Im g Í ¢ ( p ¥ ) 65 Mặt khác g khơng tầm thường nên ker g nhóm khơng tầm thường ca  ( p Ơ ) theo tớnh cht 12 thỡ  ( p Ơ ) ;  ( p ¥ ) / ker g suy Im g ; ¢ ( p ¥ ) nên g tồn cấu Vậy đồng cấu khơng tầm thường g : ¢ ( p Ơ ) đ  ( p Ơ ) tồn cấu Tính chất 17 Với số nguyờn t p cho trc, nhúm  ( p Ơ ) nhúng vào p - nhóm Abel chia không tầm thường Chứng minh: Giả sử H p - nhóm Abel chia khơng tầm thường Chọn hi Ỵ H mà cấp hi p Do H chia nên tồn H phần tử h1, h2, , hi , cho ph2 = h1, ph3 = h2, , phi + = hi Nhận thấy cấp hi l pi vi mi i t g : Ô p ® H cho g(t / pn ) = thn Kiểm tra g đồng cấu nhóm ker g = ¢ Thật Xét hai phn t t s v m Ô p (với n ³ m ) Khi n p p ỉt + p n - m s ỉt s ữ ỗỗ ữ ữ g ỗỗ n + m ÷ = g = t + p n - m s hn = thn + p n - m shn ữ ữ n ỗ ữ ữ ỗố p ỗố p p ứ ứ ổt ổ s ửữ ỗỗ ữ ữ = thn + shm = g ỗỗ n ữ + g ữ ữ ỗố p ứữ ốỗ p m ø÷ ( ỉt ïí t ÷ ker g = ùỡ n ẻ Ô p | g ỗỗ n ữ = ữ ữ ùù p ỗố p ứ ợ Ta cú  ( p Ơ ) = ùỹ 0ùý = ùù ỵ ) ớù t ỹ ùù p ùỡ ẻ Ô | th = ý= n ùợù p n ùỵ ù ớù t ỹ p n ùù ùỡ ẻ Ô | t M p ý =  ùợù p n ùỵ ù Ôp Ôp = ; Im g Í H Vậy nhúng ¢ ( p ¥ ) vào H ¢ ker g Tính chất 18 Cho H p - nhóm Abel khơng tầm thường, chia khơng phân tích Khi ú ta cú  (p Ơ ) ; H Chứng minh: Theo tính chất 17, ta nhúng ¢ ( p ¥ ) vào H nên H tồn p - nhóm chia A đẳng cu vi  ( p Ơ ) Gi s A nhóm thực H Vì A chia nên A phải hạng tử trực tiếp H Tồn H nhóm B không tầm thường cho H = A Å B Điều mâu thuẫn với tính khơng phân tích H Vậy H = A ; ¢ (p ¥ ) 66 Tính chất 19 Với p số ngun tố cho trước, ta có ¢ (p Ơ ) ; Ô Ô p Chng minh: Theo chng ta cú Ô p + Ô Khi ú ¤ p / (¤ p Ç ¤ p ) ; (Ô = Ô v Ô p ầ Ô p p + Ô p )/ Ô p p =  suy Ô p /  ; Ô / Ô p Vy  ( p Ơ ) ; Ô / ¤ p Tính chất 20 Cho H p - nhóm khơng bị chặn cho dàn nhóm L(H ) xích, ¢ ( p ¥ ) ; H Chứng minh: Cần kiểm tra H nhóm p - Abel khơng tầm thường, chia khơng phân tích Ta có H p - nhóm khơng tầm thường Gọi x, y ẻ H (x y 1) khụng mt tính tổng quát giả sử x £ y (do dàn nhóm H xích) Vì H p - nhóm nên x = y n Þ xy = y n y = yy n = yx Do H nhóm p - Abel khơng tầm thường Mặt khác, H nhóm p - Abel khơng tầm thường nhóm p - chia Thật vậy, lấy phần tử x khác đơn vị H giả sử x có cấp p r với r ³ Do H khơng bị chặn nên ln có phần tử y khác đơn vị cho cấp p s với r pr ( ) s s ³ r Suy x p = e = y p = y p s- r Þ x ; yp s- r Í y Do x £ y Ta có x = y n , với n số nguyên dương r r Mặt khác, e = x p = y np Suy n = mp s - r Þ x = y n = y mp s- r ( = y mp s- r - p ) Vậy H nhóm p - chia Giả sử H = A + B L(H ) xích nên A Í B B Í A nên A ầ B ặ Do ú, H l nhúm khụng phân tích Vậy H p - nhóm Abel khơng tầm thường, chia khơng phân tích được, nên theo tính chất 18 H ; ¢ ( p Ơ ) Túm li, nhúm  ( p Ơ ) có nhiều tính chất phong phú lớp nhóm Abel vơ hạn ngồi ra, tính chất 18, 19, 20 cho thấy nhóm đẳng cấu với nhóm ¢ ( p ¥ ) Qua tính chất nhóm p - Pruffer ta rút nhận xét sau: Mc dự nhúm Ô p ch l nhúm p - chia nhóm thương nó, nhóm ¢ ( p ¥ ), lại nhóm chia - 67 - Nhúm Ô p va l nhúm cú thng d hữu hạn, nhóm hopf nhóm rút gọn nhóm thương khơng Do tính chất nhóm hopf, nhóm chia được, nhóm thặng dư hữu hạn khơng đóng lớp nhóm thương - Ngồi cú th chng minh c nhúm Ô p khụng l nhúm cohopf, nhng nhúm  ( p Ơ ), l nhúm cohopf T nhúm  ( p Ơ ), ta xây dựng nhóm tự đồng cấu nhóm p - Pruffer nhóm J p = Hom ( ¢ ( p Ơ ),  ( p Ơ )) 3.2 NHểM J p = Hom (  ( p Ơ ),  ( p Ơ )) (The p-adic integer) Cho p số nguyên tố, J p = Hom (  ( p Ơ ),  ( p ¥ )) tập hợp đồng cấu từ nhúm  ( p Ơ ) vo chớnh nú Ta có tập J p với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm với phần tử đơn vị đồng cấu đồng Ngồi ra, nhóm J p = Hom (  ( p Ơ ),  ( p ¥ )) cịn có nhiều tính chất phong phú đồng thời nhóm có vai trị quan trọng lý thuyết nhóm Bổ đề 3.2.1 Nếu A B nhóm Abel thỏa A nhóm chia Hom (A, B ) nhóm khơng xoắn Chứng minh: Giả sử f Ỵ Hom (A, B ) mà cấp f n nf = Ta chứng minh f (a) = " a Ỵ A Với a Ỵ A, tồn a * Ỵ A thỏa a = na * tính chia A Khi (nf )(a * ) = 0(a * ) = Vậy = nf (a * ) = f (na * ) = f (a ) Tính chất Nhóm J p nhóm khơng xoắn Chứng minh: Vì nhóm ¢ ( p ¥ ) chia nên J p nhóm không xoắn (theo bổ đề 3.2.1) Bổ đề 3.2.2 Giả sử A B nhóm Abel p số nguyên tố Nếu B p - nhóm Hom (A, B ) nhóm q - chia với số nguyên tố q ¹ p Chứng minh: Giả sử f Ỵ Hom (A, B ) , ta cần tìm h Ỵ Hom (A, B ) cho f = qh Với a Ỵ A, f (a) Ỵ B Do đó, tồn y thỏa qy = f (a) Đặt h ánh xạ cho h(a ) = y Khi qh = f , ta cần chứng minh h đồng cấu 68 Giả sử a, a * Ỵ A mà f (a ) = qy, f (a * ) = qy * f (a + a * ) = qy ** với y, y *, y ** thuộc A Ta có q(y + y * ) = qy + qy * = f (a ) + f (a * ) = f (a + a * ) = qy ** Khi y + y * = y ** (do tính y, y *, y ** ) Do đó, h(a ) + h(a * ) = y + y * = h(a + a * ) hay h đồng cấu Vậy Hom (A, B ) q - chia với số nguyên tố q ¹ p Tính chất Nhóm J p q - chia với số nguyên tố q ¹ p Chng minh: Do  ( p Ơ ) l mt p - nhóm áp dụng bổ đề 3.2.2 suy nhóm J p q - chia với số ngun tố q ¹ p Tính chất Với số tự nhiên n J p / p nJ p @ ¢ ( p n ) Chng minh: t d : J p đ  ( p n ) thỏa d( f ) = t f (¢ + (1 / pn )) = ¢ + (t / pn ) Khi d đồng cấu Giả sử d( f ) = t d( f ) = w ¢ + t w (t - w ) = Â+ n ị ẻ  ị p n | (t - w ) n n p p p Điều tương đương với t º w mod p n t w biểu diễn phần tử ¢ ( pn ) hay d ánh xạ Ngoài d( f ) = t , d(g) = s ỉ ỉ ỉ ỉ1 ÷ ưư ưư÷ ưư÷ ÷ ỗỗ + ổ ỗỗ + ổ ỗỗ ữ ỗỗ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ = f + g ữ ữ ữ n ữ n ữ ỗỗ ỗỗ ç ç ÷ø ÷ ÷ø÷ ÷ ÷ ÷ p p è nø è ø è ø è ø è é ổ t ửự ộ ổ ửự ỳ+ ờ + ỗỗ s ữ ỳ=  + ((t + s ) / p n ) ữ ữ = ờờ + ỗỗỗ n ữ ữ ữ n ỳ ỗ ố p ứữỷ è p ø÷ú ú ëê ú ëê û (f + g )ỗỗỗỗ + ỗỗỗp ố Khi ú d( f + g) = t + s = d( f ) + d(g), hay d đồng cấu Nhận thấy ker d = p nJ p Đặt g = p n f Ỵ p nJ p , ta có n ưư ỉ ỉ ỉ ỉ ưư ỉ1 ÷ ưư ỉ0 ữ ữ ữ ỗỗ + ổ n ỗ ỗỗ p ữ ỗỗ ữữ ỗỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ g ỗỗỗ + ỗỗỗ n ữ = p f ç ¢ + = f = f ( ¢ ) = =  + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ n n n ỗ ỗỗ p ữữ ữứ ữứ ữ ữ ữ ỗố ỗố ốp ứ ốỗ p ứ ốỗ p ứ ố ứữ ốỗ ứ Do đó, d(g) = suy g Ỵ ker d ổ ổ ửử ổ ữ=  + ỗ ÷ Ngược lại giả sử g Ỵ ker d Khi ú d(g) = v g ỗỗ + ỗỗ n ữ ữ ữ ỗ ữ ữữ ữ = çè p ø çè ÷ èç p n ø ø 69 ỉ ỉa ưư ỉ ỉ a ưư ÷ ÷ ữ ữ ữ ữ = g ỗỗỗ + ỗỗ n + i ữ t h :  (p Ơ ) đ  (p Ơ )xỏc nh bi h ỗỗỗ + çç i ÷ h ÷ ÷ ÷ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố p ứứ ố p ứứ ốỗ ốỗ ng cu a c = ¢ + k Ta có i p p Thật giả sử ¢ + ỉ ỉ ỉa ổc aử (a - c ) k ỗỗ + c ữ ỗỗ ữ ỗỗ ữ ữ ữ ữ ữ nờn p i = o ỗỗỗ + i ữ = o = p  + =  + ị ẻ Â, ữ ữ ữ ữ k i i ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ p ø p ø pi è è èp ø èp ø suy a - c = pie, e ẻ  Do ú ộ ổ ửự ờ + ỗỗ a ữ ỳữ ữ ữỳ ỗố p n + i ứ ờở ỳ ỷ é ỉ ứ ỉ ỉ p ie e ỗỗ + ữ ờ + ỗỗ c ữ ỳ=  + ỗỗa - c ữ ữ ữ ữ = ¢ + = ¢ + = e ÷ ÷ n+i n n ữ ữỳ ữ ữ ỗ pn + i ứ ỗ p p p ốỗ p n + i ø è è ø êë ú û ææ æ ửử ữ ỗỗ + ữ ữ ữ ÷ = eg = e = Mặt khác g ỗỗỗe ỗỗỗ + n ữ ữ ữ ữ ỗố ữứ ữ ữ ỗố ố p ứ pn ứ ổ ổ a c ữ ữ Vy g ỗỗ + n + i ÷ hay h ánh x = g ỗỗ + n + i ữ ữ ữ ữ ữ ỗố p ứ p ứ ốỗ Ngoi giả sử x = ¢ + a c y =  + k thuc vo  p Ơ i p p ( ) Khơng tính tổng qt giả sử i £ k ỉe ÷ Đặt e = ap k - i ta có x =  + ỗỗ k ữ ữ ỗố p ữ ø ỉ(e + c )÷ ỉ (e + c )ửữữ ỗ ỗỗ ữ v h ( x + y ) = g  + , ữ ữ ỗỗ ữ ÷ k ÷ ÷ pn + k ø ÷ ÷ çè p ø çè Suy x + y =  + ỗỗ ỗ ổ ổ e ửử ữ ữ ÷ Mặt khác h(x ) + h(y ) = g ỗỗỗ + ỗỗ n + k ữ ữ+ ữ ữ ç è p ø÷ èç ø ỉ ỉ ỉ c ư÷ ỉc + e ưư ÷ ÷ ÷ ÷ ữ g ỗỗỗ + ỗỗ n + k ữ = g ỗỗỗ + ỗỗ n + k ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố p ứứ ốp ứứ ốỗ ốỗ Ta cú h ẻ J p Với ¢ + ỉ ỉ ổa ổa a ữ ữ Ơ n ç n ç ÷ çç ÷ çç ÷ ÷ ÷ ữ ẻ  p , p h ỗ  + = p g ỗ  + ữ ữ ữ ữ çç çç çè p i ø ÷÷ ÷÷ pi èç p n + i ø è ø è ø ( ) ỉ ỉap ỉ ÷÷ ÷ ÷ = g ỗỗ + i ữ v g ỗỗỗ + ççç n + i ÷ ÷ ÷ ÷ çè ÷ p ữ ứ ốỗ p ữ ứữ ốỗ ứ n Vậy g = p n h Ỵ p nJ p Do đó, ker d = p nJ p Áp dụng định lý đồng cấu thứ ta có J p / p nJ p ; Im d Gi s t ẻ  (pn ), t k :  (p Ơ ) đ  (p Ơ )tha k (x ) = tx 70 Kiểm tra k đồng cấu, hay k Ỵ J p ỉ ỉ ưư ỉt ÷ ÷ ÷ ÷ =  + ỗỗỗ n ữ Do ú, d(k ) = t Ngoi k ỗỗỗ + ỗỗ n ữ ữ ữ ữ ữ ỗố p ữ ữ çè øø èp ø Vậy J p / p nJ p @ ¢ ( p n ) Tính chất I {pnJ p | n ẻ Ơ } = {0} Chứng minh: Đặt g Ỵ I {p nJ p | n ẻ Ơ } chng minh g = cần chứng minh g(x ) = " x Ỵ ¢ ( p ¥ ) Nếu tồn x mà o(x ) = pn , với giá trị n đó, ta có g Ỵ p nJ p nên g = pn f g(x ) = pn f (x ) = f ( pn x ) = f (0) = Vậy I {pnJ p | n Ỵ ¥ } = {0} Tính chất a) Nhóm J p nhóm thặng dư hữu hạn b) Nhóm J p nhóm rút gọn Chứng minh: a) Đặt  = {p nJ p | n ẻ Ơ } Theo tính chất I  nhóm tầm thường theo tính chất nhóm J p / p nJ p hữu hạn Do đó, J p nhóm thặng dư hữu hạn b) Nhóm J p nhóm rút gọn J p thặng dư hữu hạn (theo định lý 1.10.9) Bổ đề 3.2.3 Hạng tử trực tiếp nhóm Abel nhóm túy Chứng minh: Giả sử A nhóm Abel mà A = B Å C với B hạng tử trực tiếp A Gọi n số nguyên dương, ta cần chứng minh nA Ç B nB Vi x ẻ nA ầ B x Ỵ B x = na với giá trị a Ỵ A Vì a Ỵ A nên a = b + c với b Ỵ B , c Ỵ C Do x = nb + nc ị nc = x - nb ẻ B Ç C Vậy nc = hay x = nb Ỵ nB Bổ đề 3.2.4 Nếu A nhóm Abel n số nguyên dương, A[n ]và nA nhóm bất biến hoàn toàn A A / A[n ] ; nA Chứng minh: Đặt d : A ® A xác định d(x ) = nx 71 Khi d(x + y ) = n (x + y ) = nx + ny = d(x ) + d(y ) Suy d đồng cấu Theo định lý đẳng cấu thứ A ker d ; Im d Mặt khác x Ỵ ker d Û d(x ) = Û nx = Þ ker d = A[n ] Ta có x Ỵ Im d Û x = d(y ) Û x = ny với y giá trị thuộc vào A Suy Im d = nA Vậy A[n ]và nA hai nhóm A A / A[n ] ; nA Ngoài A[n ] nhóm bất biến hồn tồn x Ỵ A[n ] v f : A đ A nx = ị nf (x ) = f (nx ) = f (0) Suy f (x ) Ỵ A[n ] Thật giả sử đồng cấu Khi Gọi x Î nA f : A ® A đồng cấu Khi x = ny , với giá trị y đó, suy f (x ) = f (ny ) = nf (y ) Ỵ nA Vậy A[n ] nA nhóm bất biến hoàn toàn A Bổ đề 3.2.5 Nếu G = A Å B F nhóm bất biến hồn tồn G G / F = (FA / F ) Å (FB / F ) Chứng minh: Vì A F nhóm chuẩn tắc G nên FA nhóm chuẩn tắc G Ta có FA F nhóm chuẩn tắc G F FB F nhóm chuẩn tắc G F Vì G = A Å B nên G / F = (FA / F ) + (FB / F ) Ta chứng minh FA F Ç FB F = {1} Tht vy gi s Fx ẻ FA F ầ FB F x = fa = f *b với f , f * Ỵ F , a Ỵ A, b ẻ B Ta cú F = (F ầ A ) Å (F Ç B ) nên f = cd f * = c *d * c, c * ẻ F ầ A; d, d * Î F Ç B Suy x = cda = c *d *b Vì d Ỵ B nên x = (ca )d = c *(d *b) suy ca = c * x = (ca )d = c *d Ỵ F Û Fx = Vậy G / F = (FA / F ) Å (FB / F ) Tính chất Nhóm J p nhóm khơng phân tích Chứng minh: Giả sử nhóm J p = B Å C cần chứng minh B C nhóm tầm thường Đặt M = pJ p Theo bổ đề 3.2.4 M nhóm bất biến hồn tồn, theo bổ đề 3.2.5 J p / M = [(M + B ) / M ] Å [(M + C ) / M ] (1) 72 Mặt khác từ tính chất ta có J p / M @¢ ( p) Khi ¢ ( p) nhóm khơng phân tích (vì có hai nhóm thân nhóm tầm thường), nhóm J p / M nhóm khơng phân tích Suy có hạng tử trực tiếp (1) phải nhóm tầm thường Khơng tính tổng qt giả sử nhóm tầm thường (M + B ) / M Ta có B Í M = pJ p suy pJ p Ç B = B pB = B Do B = pn B với số tự nhiên n B Í p nJ p Vậy B Í I {p nJ p | n ẻ Ơ } v B l tm thng theo tính chất hay nhóm J p nhóm khơng phân tích Bổ đề 3.2.6 Giả sử A B hai nhóm H < A, K < B Gọi g : A ® B đồng cấu thỏa g[H ] Í K Đặt g Â: A H đ B K xỏc nh bi g ¢(Hx ) = Kg(x ) g ¢ đồng cấu Hơn g toàn cấu g ¢cũng tồn cấu Chứng minh: Ta có g ¢ ánh xạ Thật giả sử xH = yH xy - Ỵ H suy g(xy - ) Ỵ K g(x )g(y )- Ỵ K Û g(x )K = g(y )K Vậy g ¢ ánh xạ Do Nếu xH , yH Ỵ A / H g ¢(xHyH ) = g ¢(xyH ) = g(xy )K = g(x )K g(y )K = g ¢(xH ).g ¢(yH ) Suy g ¢ đồng cấu Ngồi giả sử bK Ỵ B K b = g(a) với a Ỵ A g tồn cấu nên g ¢(aH ) = g(a )K = bK Vậy g ¢cũng tồn cấu Bổ đề 3.2.7 Nếu G (khơng thiết nhóm Abel) có tập hợp nhóm bất biến hồn tồn À mà G / H nhóm hopf với nhóm H Ỵ À I À= {1} nhóm G nhóm hopf Chứng minh: Giả sử g : G / B ® G đẳng cấu với B nhóm khơng tầm thường ta điều mâu thuẫn Đặt e : G ® G / B ánh xạ tự nhiên đặt s : G ® G thỏa s = g o e Nhận thấy s tồn ánh Vì B nhóm khơng tm thng, tn ti b ẻ B , b Do đó, b Ï I À Tồn H Ỵ À thỏa b Ï H Theo giả thiết H nhóm bất biến hồn tồn, nên s[H ] Í H Theo bổ đề 3.2.6 có tồn cấu s ' : G / H ® G / H định nghĩa s '(Hx ) = Hs(x ) Áp dụng định lý đẳng thứ ta có (G / H ) / (ker s ¢) @G / H Điều giả thiết G H nhóm hopf dẫn đến ker s ¢ nhóm tầm thường 73 Khi s(b) = g o e(b) = g(bB ) = bB = Suy s '(Hb) = Hs(b) = H Vậy Hb Ỵ ker s ¢ Điều tính tầm thường ker s ¢, dẫn đến bH = H suy b Ỵ H mâu thuẫn Tính chất Nhóm J p nhóm hopf Chứng minh: Ta có {p nJ p | n ẻ Ơ }l hp cỏc nhóm bất biến hồn tồn J p Theo tính chất {p nJ p | n Ỵ ¥ } = {0} Theo tính chất Jp p nJ p Jp p nJ p hữu hạn, nhóm hopf với n Vậy J p nhóm hopf (theo bổ đề 3.2.7) Tính chất Nhóm J p có nhóm tối đại pJ p Chứng minh: Theo tính chất 3, J p pJ p ; ¢ ( p) Theo tính chất 2, J p nhóm q - chia với số nguyên tố q ¹ p Nhóm J p có nhóm tối đại pJ p Bổ đề 3.2.8 Nếu p số nguyên tố, A p - nhóm Abel S tập hợp thỏa S = {0,1, , p - 1} Với dãy f : Ơ đ S gi f * : A đ A tha f * (x ) = iẻ Ơ fi p i x Tổng hữu hạn pi x = với p i ³ o(x ) Khi a) f * đồng cấu b) Nếu A không bị chặn f , g hai dãy, f * = g* Þ f = g Chứng minh: a) Đặt x, y Ỵ A, f * (x + y ) = å ỉ ÷ fi p i (x + y ) = ỗỗỗồ fi p i x ữ + ữ ữ ốỗ ứ ổ ỗỗ f p iy ữ ÷ = f *(x ) + f *(y ) å ữ i ỗốỗ ữ ứ Suy f * l đồng cấu b) Giả sử f ¹ g Đặt n số tự nhiên nhỏ thỏa fn ¹ gn Vì A tập khơng bị chặn nên tồn phần tử x có cấp pn + Khi f * (x ) = n å n fi p i x g * (x ) = i= å gi p i x Tuy nhiên f * = g* fi = gi với i= i < n (theo định nghĩa n ) Do fn pn x = gn pn x Þ ( fn - gn )pn x = 74 Vậy o(x ) | ( fn - gn )p n Þ p | f n - g n Điều giả thiết fn , gn Ỵ S Þ fn = gn (Mâu thuẫn) Vậy ta có điều phải chứng minh Tính chất J p nhóm khơng đếm Chứng minh: Đặt S = {0,1, , p - 1} S N tập tất dãy nhận giá trị S gọi P (N ) tập tất tập N Theo định lý Cantor card(N ) < card(P (N )) , nên P (N ) tập không đếm N Tuy nhiên tập P (N ) {0,1} (tập dãy mà giá trị nhận {0,1} N N tương đương nên {0,1} tập không đếm Mặt khác {0,1} tập S N nên S N không đếm Đặt l : S N ® J p xác định l ( f ) = f * với f * : A ® A thỏa f * (x ) = ( ) không bị chặn nên theo bổ đề 4.2.8 ta cú A =  p Ơ Vỡ  p Ơ ( ) iẻ Ơ fi p i x f * = g* Þ f = g hay l đơn ánh Mặt khác, ta có S N tập không đếm nên J p khơng đếm Ngồi ra, nhóm J p cịn thỏa tính chất như: - J p khơng nhóm xyclic địa phương - J p khơng nhóm đơn túy - Mỗi nhóm túy nhóm J p nhóm hopf - Mỗi nhóm túy nhóm J p nhóm khơng phân tích - J p lập thành vành với phép nhân định nghĩa tích hai ánh xạ Khi đó, J p miền nguyên p m J p idêan J p với số t nhiờn m Ngoi ra,  ( p Ơ ) mơđun J p Tóm lại nhóm J p có vai trị quan trọng lý thuyết nhóm lý thuyết nhóm tơpơ lý thuyết vành Một tính chất quan trọng nhóm tính compact đại số (algebraically compact) Một nhóm Abel A gọi compact đại số A nhúng vào nhóm Abel G mà ảnh phép nhúng nhóm túy, ảnh hạng tử trực tiếp G Ngoài ra, qua tính chất nhóm p - Pruffer nhóm J p ta rút nhận xét sau: - Mặc dù nhóm p - Pruffer nhóm chia nhóm tự đồng cấu nó, nhóm J p nhóm q - chia với q số nguyên tố khác với p - Nhóm J p nhóm có thặng dư hữu hạn nhóm rút gọn thân nhóm p - Pruffer khơng thỏa tính chất 75 KẾT LUẬN Nhóm Abel lớp nhóm có nhiều ứng dụng ngành khoa học kỹ thuật Một số nhóm Abel thường gặp nhóm số ngun với phép tốn cộng (¢ , + ) nhúm cng cỏc s hu t (Ô , + ) Các nhóm Abel liệt kê thành ba lớp Lớp thứ lớp nhóm xoắn, tức tất phần tử có cấp hữu hạn Lớp thứ hai lớp không xoắn, tức khơng có phần tử ngồi phần tử đơn vị có cấp hữu hạn Lớp cịn lại gồm nhóm có phần tử có cấp hữu hạn phần tử có cấp vơ hạn gọi nhóm hỗn hợp Đối với nhóm thuộc lớp thứ lớp thứ hai có tính chất chung sau: Nhóm xoắn G hạng tử trực tiếp nhóm Điều dẫn đến việc phân tích lớp nhóm hỗn hợp thành hai lớp nhóm sau: Một nhóm Abel hỗn hợp G chia thành nhóm tách (splitting) hay nhóm khơng tách (nonsplitting) tùy thuộc vào nhóm xoắn G có hạng tử trực tiếp G hay không Dựa vào số kiến thức lý thuyết nhóm, đề tài trình bày số ví dụ lớp nhóm Abel vơ hạn, có nhóm cộng cỏc s hu t Ô vi hai nhúm ca nú l Ô p v Ô p ú p số ngun tố cho trước Qua trình bày thêm số tính chất tính xoắn, rút gọn, hopf, cohopf, tính thặng dư hữu hạn điều kiện xích tăng ACC xích giảm DCC v/v Ngoi ra, da vo nhúm Ô p ti cng trình bày nhóm thương nhóm p - Pruffer  p Ơ ( ) v nhúm J p ( ( ) ( )) Đây hai nhúm úng vai trũ khỏ = Hom  p Ơ ,  p Ơ quan trng lý thuyt nhúm Các kết đề tài cho thấy lớp nhóm chia khơng đóng với lớp nhóm ( ) con, c th nhúm (Ô , + ) l nhúm chia c, nhng nhúm Ô p , + khơng chia Tính chất nhóm cohopf khơng đóng vi cỏc nhúm vỡ nhúm (Ô , + ) nhóm cohopf, nhóm (¢ , + )khơng nhóm cohopf ; ¢ Mặc dù tính chất nhóm hopf đóng nhóm nhúm cng cỏc s hu t Ô nhng trng hợp tổng qt điều khơng thỏa Nhóm khơng phân tích khơng đóng lớp nhóm Ngồi ra, lớp nhóm xyclic địa phương lớp nhóm khơng xoắn đóng với nhúm Cỏc nhúm thc s ca nhúm (Ô , + )là nhóm rút gọn khơng có thặng dư hữu hạn Bên cạnh đó, đề tài giới thiệu tính chất chung nhóm ca nhúm cng cỏc s hu t (Ô , + ) qua viết “A characterization of the subgroups of the additive rationals” tác giả Ross A Beaumont H.S.Zuckerman trích Pacific J Math, trang 169 – 177 76 Da vo cỏc tớnh cht ca nhúm Ô p nhóm thương nó, nhóm p - Pruffer cho thấy tính chất nhóm chia được, nhóm hopf, nhóm thặng dư hữu hạn nhóm rút gọn khơng đóng lớp nhóm thương Bên cạnh đó, nhóm p - Pruffer ví dụ p - nhóm vơ hạn khơng hữu hạn sinh mà tất nhóm thực xyclic hữu hạn Do đó, nhóm p - Pruffer ví dụ nhóm vơ hạn mà nhóm thực nhóm xyclic hữu hạn đồng thời nhóm vơ hạn đẳng cấu với tất nhóm thương thực khơng tầm thường Ngồi dựa vào tính chất nhóm thương p - Pruffer nhóm tự đồng cấu nhóm J p cho thấy tính chất nhóm thặng dư hữu hạn, nhóm chia được, nhóm hopf v/v… khơng đóng nhóm tự đồng cấu Tuy đề tài trình bày số tính chất mt nhúm cng Abel quen thuc (Ô , + ) hai nhóm nó, nhóm thương p - Pruffer nhóm tự đồng cấu nhóm p - Pruffer nhóm J p kết đề tài phần cho thấy tính chất phong phú đa dạng nhóm Abel vơ hạn Các kết đề tài nguồn tư liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán, nghiên cứu lý thuyết nhóm Do thời gian có hạn nên đề tài chưa trình bày nhiều số nhóm khác nhóm cộng s hu t Ô , cỏc ng dng ca cỏc nhúm Ô p v nhúm Ô p cng nh nhúm p - Pruffer nhóm J p Ngồi ra, đề tài khơng sâu vào lớp nhóm tơpơ tính chất compact đại số nhóm J p ứng dụng nhóm Do đó, nội dung hướng nghiên cứu đề tài Tuy có nhiều cố gắng đề tài khơng tránh khỏi mặt hạn chế định, thân mong nhận ý kiến đóng góp quý báu đồng nghiệp sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn./ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Xuân Hải (chủ biên), Trịnh Thanh Đèo, Đại số đại 2002 NXB Đại học Quốc gia TP.HCM Derek J.S Robinson A course in the theory of group, 2nd edition 1996 Springer – Verlag New York J.Rotman An introduction to the theory of group, 4th edition 1995 Springer – Verlag J.Rotman Advanced Modern Algebra, 2nd edition 1995 Springer – Verlage Michael Weistein Example of groups 1997 Polygon Publishing House Phan Việt Chương 2009 Nhóm p - Pruffer Đại học Cần Thơ Luận văn thạc sĩ ... hữu tỉ số nhóm 30 2.1 Nhóm cộng số hữu tỉ 30 2.2 Một số nhóm nhóm cộng số hữu tỉ 41 2.3 Tính chất nhóm nhóm cộng số hữu tỉ 56 Chương Nhóm p - Pruffer nhóm J p 60 3.1 Nhóm p - Pruffer 60 3.2 Nhóm. .. Tp hp cỏc số hữu tỉ Số thực a gọi số hữu tỉ a = p p, q ẻ  v q Nu a q khụng phải số hữu tỉ ta nói a số vơ tỉ Tập hợp số hữu tỉ có tính chất đóng kín bốn phép tốn số học thứ tự theo quan hệ £... 1 Đề tài ? ?Nhóm cộng số hữu tỉ số nhóm nó? ?? cung cấp số kiến thức lý thuyết nhóm Các kết đề tài phần làm rõ tính phong phú đa dạng lớp nhóm cộng Abel vơ hạn qua ví dụ nhóm cộng số hữu tỉ hai nhúm