Lời giải trên thiếu tự nhiên vì xuất hiện đa thức phụ 2x + 3.[r]
(1)Chuyên Đề : Giải Toán Đa Thức Trên máy Tính Casio Fx-500MS Trong tài liệu bồi dưỡng Giáo Viên dạy học tự chọn môn : Thực hành giải toán trên máy tính Casio Fx-500MS Bộ Giáo Dục Đào Tạo biên soạn bài 10 đề có nội dung sau : Cho đa thức f(x) = x4+ mx3 + nx2 + px + q biết f(1) = 5, f(2) = 7, f(3) = 9, f(4) = 11 Tính f(10), f(11), f(12), f(13) Đây là lời giải tài liệu nêu trên : Xét đa thức g(x) = f(x) – (2x + 3) Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = Điều này chứng tỏ 1, 2, 3, là nghiệm g(x) Suy : g(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) Từ đây ta có : g(10) = 9.8.7.6 = f(10) – (2.10 + 3) hay f(10) = 2.10 +3 + 9.8.7.6 = 3047 Tương tự f(11) = 2.11 +3 + 10.9.8.7 = 5065 f(12) = 2.12 +3 + 11.10.9.8 = 7947 f(13) = 2.13 +3 + 12.1110.9 = 11909 Lời giải trên thiếu tự nhiên vì xuất đa thức phụ 2x + Tôi xin trình bày kinh nghiệm tìm đa thức phụ sau : Thuật toán tìm đa thức phụ : Bước : Đặt g(x) = f(x) + h(x), h(x) là đa thức có bậc nhỏ bậc f(x), đồng thời bậc h(x) nhỏ số gía trị đã biết f(x) (Trong vd trên bậc h(x) < 2), nghĩa là g(x) = f(x) + ax+b Bước :Tìm a, b để g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = Giải hệ Pt máy ta có a= -2, b = -3 Từ đó suy h(x) = -2x - hay g(x) = f(x) – (2x + 3) Sau đây là số ví dụ minh hoạ : Vd1 : Cho f(x) bậc với hệ số cao là 1, thỏa f(1) = ,f(3) = 11, f(5) = 27 Tính f(-2) + 7f(6) Giải : Đặt g(x) = f(x) + ax2+bx+c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = a, b, c là nghiệm cuûa heä 3+a+b+c = 0; 11+9a+3b+c = 0; 27+25a+5b+c = Giaûi a = -1, b = 0, c = -2 neân g(x) = f(x) - x2 -2 Baäc cuûa f(x) laø neân baäc cuûa g(x) laø vaø g(x) chia heát cho (x-1), (x-3), (x-5) neân G(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-x0) Từ đó f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-x0) + x2 +2 Tính f(-2) + 7f(6) = 1112 Vd2 : Tìm f(x) baäc thoûa f(0) = 10 ,f(1) = 12, f(2) = , f(3) = Giải : Đặt g(x) = f(x) + ax2+bx+c Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = Tìm a = 5, b = -7, c = -10 nên g(x) = f(x) + 5x2 –7x – 10 với g(0) = g(1) = g(2) = Do baäc f(x) laø neân baäc g(x) laø vaø g(x) chia heát cho x, (x-1), (x-2) Gọi m là hệ số x3 đa thức f(x) thì g(x) = mx(x-1)(x-2) Suy f(x) = mx(x-1)(x-2) - 5x2 +7x + 10 Maët khaùc theo GT f(3) =1 m =5/2 (2) Vaäy f(x) = 5/2x3 – 25/2x2 + 12x + 10 Vd3 : Tìm f(x) bậc biết chia f(x) cho (x – 1), (x-2), (x-3) dư và f(-1) = -18 Giải : Ta có f(1) = f(2) = f(3) =6 Đặt g(x) = f(x) + ax2+bx+c Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = Tìm a = 0, b = 0, c = -6 nên g(x) = f(x) – với g(1) = g(2) = g(3) = Do baäc f(x) laø neân baäc g(x) laø vaø g(x) chia heát cho (x-1) , (x-2), (x-3) Gọi m là hệ số x3 đa thức f(x) thì g(x) = m(x-1)(x-2)(x-3) Suy f(x) = m(x-1)(x-2)(x-3) + Maët khaùc theo GT f(-1) = -18 m =1 Vaäy f(x) = x3 – 6x2 + 11x Vd4 : Cho đa thức P(x) = x5 + ax4+ bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận các giá trị 1, 2, 3, thì giá trị tương ứng đa thức P(x) là 8, 11, 14, 17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15 (Trích đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử cấp khu vực 2004-2005) Giải : Xét đa thức Q(x) = P(x) – (3x + 5) Ta có Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Điều này chứng tỏ 1, 2, 3, là nghiệm Q(x) Suy : Q(x) = P(x) – (3x + 5) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4).R(x) Đa thức Q(x) có bậc cao là 5, đó suy đa thức R(x) có thể có bậc cao là hay R(x) = x+ r Ta coù Q(0) = + 132005 – (0 + 5) = (-1)(-2)(-3)(-4)r suy r = 5500 Chứng tỏ P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4)(x + 5500) + (3x + 5) Từ đây ta có : P(11) = 3.11 +5 + 10.9.8.7.(11 + 5500) = 27775478 P(12) = 3.12 +5 + 111.0.9.8.(12 + 5500) = 43655081 P(13) = 3.13 +5 + 12.1110.9.(13 + 5500) = 65494484 P(14) = 3.14 +5 + 13.12.11.10.(14 + 5500) = 94620287 Vd5 : Cho đa thức P(x) = x4 + ax3+ bx2 + cx + d Biết x nhận các giá trị 1, 2, thì giá trị tương ứng đa thức P(x) là 7, 28, 63 Tính P =(P(100) + P(-96))/ (Trích đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử cấp khu vực 2004-2005) Giải : Xét đa thức Q(x) = P(x) – 7x2 Ta có Q(1) = Q(2) = Q(3) = Điều này chứng tỏ 1, 2, 3, laø nghieäm cuûa Q(x) Q(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – r) vaø P(x) = Q(x) + 7x2 Ta coù P(100) = 99.98.97.(100 – r) + 7.1002 vaø P(-96) = (-97).(-98).(-99).(-96-r)+7.(-96)2 Suy P =(P(100) + P(-96))/ = 23073617 GV : Đoàn ngọc Thế Trường THCS Lê Qúy Đôn Naêm hoïc 2006 - 2007 (3)