Một số bài toán về POSET tôpô trên một tập cố định

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thanh Phong MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ POSET TƠPƠ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức q báu suốt q trình thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn q thầy phịng Khoa học Công nghệ Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Trong trình thực luận văn, tác giả vài lần liên lạc với nhà toán học nước ngoài, đặc biệt giáo sư Offia T Alas tận tình giải đáp vấn đề liên quan Xin chân thành cám ơn giáo sư Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Trỗi Tỉnh Tây Ninh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Xin chân thành cảm ơn người thân gia đình ln động viên tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Sau chân thành cám ơn bạn lớp với trao đổi góp ý động viên tác giả suốt trình thực luận văn TP HCM tháng năm 2010 Tác giả Trần Thanh Phong MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ý kiến cho việc nghiên cứu tôpô so sánh hai tôpô khác tập Trong cơng trình mình: “G Birkhoff, On the combination of topologies, Fund Math 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng so sánh cách xếp họ tất tôpô tập hợp cho trước nhìn vào kết hình thành gọi dàn Về chất, so sánh hai tôpô, nghĩa    hai tôpô tập hợp cho trước  thơ với    tập   Đối với hai tơpơ    tập hợp, có tơpơ     (kí hiệu xác     ) gọi tôpô lớn chứa hai tôpô    , có tơpơ     gọi tôpô bé chứa hai tơpơ    Dàn có phần tử lớn tôpô rời rạc phần tử nhỏ tơpơ thơ (tơpơ chí có tập rỗng tập hợp xét) Dàn tất tôpô tập gọi dàn đầy đủ, tức có tơpơ lớn chứa phần tử họ tôpô có tơpơ nhỏ chứa phần tử họ tơpơ Các tốn dàn tơpơ nhiều nhà Toán học quan tâm vào năm 60 kỉ trước Chẳng hạn cơng trình N.Smythe C.A Wilkins không gian Hausdorff cực tiểu compact cực đại (1963); cơng trình Anne K Stiener phần bù dàn tôpô T1 , cấu trúc phần bù dàn tơpơ (1966); cơng trình A R Padmanabhan B.V Rao Idean dàn tôpô (1969)…Đặc biệt vào năm 1967, Garnett Birkhoff cho xuất sách “lý thuyết dàn” Đến năm 1975, Roland E Larson Suan J Andima khảo sát tổng hợp đầy đủ dàn tơpơ Do đó, cơng trình nhiều nhà tốn học quan tâm, dùng làm tài liệu tra cứu hữu ích q trình nghiên cứu dàn tơpơ Trong q trình nghiên cứu dàn tơpơ, ta thấy có khái niệm poset (partially ordered set) tôpô Và gần có nhiều cơng trình nghiên cứu poset tơpơ Ví D.W McIntyre W.S Watson (2004) quan tâm đến khoảng vô hạn poset tơpơ có số chiều 0, tơpơ Tychonoff, tơpơ quy; Offlia T Alas Richard G.Wilson (2004) quan tâm tôpô tôpô dàn tôpô T1 Nathan Carlson (2007) quan tâm tôpô tôpô poset tơpơ T2 Bài tốn poset tơpơ nhiều nhà tốn học quan tâm cịn nhiều toán mở Nghiên cứu toán poset tơpơ vấn đề mang tính thời Đề tài nghiên cứu đặc biệt quan đến vấn đề với tên đề tài “MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ POSET TƠPƠ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH” nhằm nghiên cứu số vấn đề quan tâm thời gian gần Mục đích Nghiên cứu poset tôpô Hausdorff ( T2 ) tập cố định Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn tơpơ tôpô poset tôpô T2 Tìm ví dụ cụ thể tơpơ tôpô Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nghiên cứu trình bày chứng minh số tốn tơpơ tơpơ góp phần hồn thiện tính chất poset tơpơ T2 , dàn tôpô T1 , dàn tôpô Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Phần luận văn tập trung chương 2, Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát đề tài Chương 1: Nêu khái niệm poset, dàn nhắc lại số kiến thức tôpô đại cương Chương 2: Nêu dàn tôpô T1 , nêu poset tôpô T2 , trình bày mở đầu tơpơ tơpơ  (X ) Chương 3: Trình bày kiến thức: tôpô không cực tiểu  ( X ) thuộc CH tôpô cho ví dụ tơpơ Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày lại kiến thức tơpơ đại cương có liên quan đến chương sau mở đầu khái niệm dàn tập hợp Ở đây, định lí, hệ quả, bổ đề kết phát biểu không chứng minh Chúng dùng làm sở lý thuyết phục vụ đề tài 1.1 Một số kiến thức lý thuyết tập hợp 1.1.1 Tập hợp 1.1.1.1 Thứ tự phận tập phận (poset) Quan hệ R tập hợp X gọi thứ tự phận thỏa tính chất sau: (i) Phản xạ: xRx, x  X , (ii) Phản đối xứng: Nếu xRy yRx x  y, x , y  X , (iii) Bắc cầu: Nếu xRy yRz xRz, x , y, z  X Tập hợp X với thứ tự phận R gọi tập hợp phận (viết tắt poset) ký hiệu (X, R) Thứ tự phận thường ký hiệu  poset ký hiệu  X ,   1.1.1.2 Phần tử cực tiểu, cực đại Cho poset  X ,   , phần tử a  X gọi phần tử cực tiểu X khơng có phần tử x cho x  a Phần tử b  X gọi phần tử cực đại X khơng có phần tử x cho b  x Một poset khơng có, có có nhiều phần tử cực tiểu hay cực đại 1.1.1.3 Cận dưới, cận Cho poset  X ,   , A  X Phần tử a  X gọi phần tử cận A a  x với x  A Phần tử b  X gọi phần tử cận A x  b với x  A Nếu A có cận A gọi bị chặn Nếu A có cận A gọi bị chặn Nếu A bị chặn bị chặn A gọi bị chặn 1.1.1.4 Phần tử bé nhất, lớn Cho  X ,   poset A  X Phần tử a  a  A gọi phần tử bé (phần tử đầu tiên) A a  A a  x , x  A Phần tử b  b  A  gọi phần tử lớn (phần tử cuối cùng) A b  A x  b , x  A 1.1.1.5 Cận lớn nhất, cận nhỏ Cho poset  X ,   , giả sử A tập hợp X A có cận Nếu tập hợp cận A có phần tử lớn   gọi cận lớn kí hiệu   inf A Nếu A có cận tập hợp cận A có phần tử bé   gọi cận bé ký hiệu   SupA 1.1.1.6 Tập tốt: Tập phận  X ,   gọi tốt tập hợp khơng rỗng X có phần tử bé Tập hợp số tự nhiên với quan hệ  thông thường tập tốt Dựa vào tính chất tập hợp số tự nhiên người ta xây dựng phương pháp chứng minh sử dụng rộng rãi, phương pháp quy nạp tốn học (cịn gọi phương pháp quy nạp hữu hạn) Chúng ta có phương pháp tương tự cách thay tập hợp số tự nhiên tập hợp tốt Phương pháp gọi phương pháp quy nạp siêu hạn 1.1.2 Tiên đề chọn 1.1.2.1 Tiên đề chọn Giả sử  Ai  họ không rỗng tập hợp không rỗng Lúc tồn ánh xạ iI f từ I vào  iI Ai cho f (i)  Ai 1.1.2.2 Định lí ( Zermelo) Mọi tập hợp tốt 1.1.2.3 Định lí (Zorn) Giả sử ( X , ) poset không rỗng cho tập hợp tuyến tính X có cận (cận dưới) X Lúc X có phần tử cực đại (cực tiểu) 1.1.3 Lực lượng tập hợp Cho tập X Y Nếu tồn đơn ánh f : X  Y ta viết X  Y ; tồn song ánh f : X  Y ta viết X  Y ; tồn đơn ánh f : X  Y không tồn song ánh từ X lên Y ta viết X  Y Ta gọi X lực lượng tập X Hiển nhiên X  Y X  Y 1.1.4 Tập đếm Một tập X tập đếm X   Như vậy, X tập đếm có đơn ánh f : X   có tồn ánh g : Y Mọi tập hữu hạn đếm Ta kí hiệu X  n X  1,2, , n  0 Trong trường hợp ta hiểu X số phần tử X 1.1.5 Tập có lực lượng continuum 1.1.5.1 Định nghĩa Một tập hợp vô hạn không tương đương tập hợp số tự nhiên gọi tập hợp khơng đếm 1.1.5.2 Định lí Tập hợp điểm [0,1] không đếm 1.1.5.3 Định nghĩa Một tập hợp tương với tập hợp điểm [0,1] tập hợp có lực lượng continuum Kí hiệu: [0,1]  c 1.1.6 Giả thiết continuum Những tập hợp điểm không đếm quan trọng đường thẳng, có thân đường thẳng tập hợp có lực lượng continuum Một vấn đề tự nhiên đặt là: đường thẳng tồn hay tập hợp không đếm tập hợp có lực lượng continuum, nói cách khác tồn hay không tập hợp A cho  A Quá trình tìm câu trả lời cho câu hỏi dẫn đến giả thiết sau thường gọi giả thiết continuum: Không tồn tập hợp A cho:  A Định lí Cantor: Giả sử X tập hợp Lúc X  P( X ) 1.1.7 Mở đầu dàn (Lattice) tập hợp 1.1.7.1 Dàn Một poset gọi dàn hai phần tử tập hợp có cận nhỏ có cận lớn Trong đó: Cận nhỏ a, b  a  b (cái hợp a b ) Cận lớn a, b  a  b (cái giao a b ) Kí hiệu dàn với quan hệ thứ tự  là: ( L , ) 1.1.7.2 Ví dụ Xét poset (, ) ;  số tự nhiên  quan hệ nhỏ Cho a, b   , ta có: Cận nhỏ a, b  a  b  Max (a, b) Cận lớn a, b  a  b  Min(a, b ) Do đó: (, ) dàn 1.1.7.3 Một số thuật ngữ kí hiệu dàn Dàn gọi đầy đủ tập có cận nhỏ có cận lớn ( L , ) gọi dàn đối ngẫu ( L , ) ( A, ) gọi dàn ( L , ) A  L hợp giao hữu hạn bảo toàn ( A, ) gọi đầy đủ dàn ( L , ) hợp giao bảo tồn Cách nói “ a phủ b” dàn ( L , ) hàm ý b  a b  c  a b  c c  a Phần tử hay tập hợp nhỏ dàn ký hiệu O phần tử hay tập hợp lớn ký hiệu I Một nguyên tử phần tử phủ phần tử nhỏ Dàn gọi nguyên tử phần tử ngồi O biểu diễn dạng hợp nguyên tử Phản nguyên tử phần tử phủ I Dàn gọi phản nguyên tử phần tử khác I biểu diễn dạng giao phần tử phản nguyên tử Phần tử a gọi phụ bù b dàn a  b  O a  b  I Dàn gọi phụ bù phần tử có phần tử phụ bù gọi phụ bù phần tử có phần tử phụ bù Dàn gọi phân phối a  ( b  c )  (a  b )  (a  c ) a  (b  c)  (a  b)  (a  c) , với a, b, c dàn Một dàn gọi modular a  c a  (b  c)  (a  b)  c Một dàn gọi nữa-modular với hai phần tử phân biệt a b L cho a b phủ c a  b phủ hai phần tử a b Một dàn gọi modular với hai phần tử phân biệt a b L cho a b phủ c a  b phủ hai phần tử a b Nếu L dàn nguyên tử đầy đủ với A tập hợp nguyên tử L gọi cao (tall) với P  A,   p   a aP , a a  A, a  p  B P  B  A, a, b  B vaøc  a  b c  B Một ánh xạ từ dàn L vào dàn K gọi đồng cấu dàn bảo tồn hữu hạn giao hợp Ánh xạ nói gọi đồng cấu đầy đủ bảo tồn hợp giao Một đẳng cấu dàn đồng cấu dàn 1-1 Một dàn ( L , ) gọi tự đối ngẫu đẳng cấu dàn với ( L , ) 1.2 Không gian mêtric 1.2.1 Không gian mêtric Cho X tập Một hàm d : X   mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: (i) d  x, y   0; d  x, y    x  y; (ii) d  x, y   d  y , x  ; (iii) d  x, z   d  x, y   d  y, z  , x, y, z  X Không gian mêtric  X , d  tập X với mêtric d X Nếu  X ,d  khơng gian mêtric x  X gọi điểm với x, y  X ta gọi d  x, y  khoảng cách từ x đến y 1.2.2 Khoảng cách Cho A, B hai tập khác rỗng không gian mêtric X Đặt d ( A, B )  inf d ( x, y ) x A, yB Ta gọi số thực d(A, B) khoảng cách hai tập hợp A B Nếu A = {a} ta viết d(A, B) = d(a, B) gọi khoảng cách từ điểm a đến tập B Nếu A  B   d(A, B) = 0, điều ngược lại nói chung khơng 1.2.3 Khơng gian mêtric tích Cho  X , d X   Y , dY  hai không gian mêtric tùy ý X Y   x, y x  X , y  Y  tích Descartes X Y Đặt d   x1 , y1  ,  x2 , y2    d X  x1 , x2   dY  y1 , y2  ,   x1 , x2  ,  y1 , y2   X  Y Khi d mêtric X  Y Không gian mêtric  X  Y , d  gọi không gian mêtric tích hai khơng gian mêtric X Y 1.3 Không gian tôpô 1.3.1 Tôpô Không gian tôpô 1.3.1.1 Cho tập X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau: Cho A B tập bản, A B tập hàm từ A đến B Đối với hai tập   ,  số tập   (với hai tập A B bất kì, ta có B B A  A ) Cho tập A tập  bất kì, ta kí hiệu [A] [A] tập hợp tất tập A có số  không lớn  3.1.8 Mệnh đề  Nếu  tập vơ hạn tồn   -họ độc lập có số 22 tập có số 2 Chứng minh Hiển nhiên, chứng minh cơng thức với tập đơn có số 2 Cho {T }2 list [2 ] với   2 , cho {Y , } 2 list [ T 2] (không cần thiết phải ánh xạ 1-1) Đặt M  {( ,  , )  ,   2 ,  Y ,  2};  đó, hiển nhiên M có số 2 Chúng ta muốn kết hợp   2 với tập M M theo cách mà {M }   2 họ   -độc lập  Cho   2 , đặt M  {( ,  ,  )  M  T  Y ,    ( T )  1}  Giả sử ta có tập L 2  với L   hàm  : L  ; đó, với { , } [L ]2 , có  ( , )  2 cho  ( ({ , }))   ( ({ , })) Tập L   { ( , ) { , } [L ]2 } tập 2 có số   ; đó, L   T với số T   2 Vì   { T   L} phần tử [  2] , tồn   2 cho   Y ,  Chúng ta    định nghĩa  : Y ,  : Cho   Y , , theo định nghĩa L  ( T ) , tồn   L với  T   Khi đặt  ( )   ( )   Đối với   L ,  M neáu  ( )  1, M    M \ M neáu  ( )  1, chứng minh ( ,  , )  L M Thật vậy, cho   L , ta có quan hệ  T  Y , Do đó,  ( )   ( T )  , ( ,  ,  )  M  M theo định nghĩa     M Nếu ngược lại  ( )   ( T )  , ( ,  ,  )  M    ,  )  M \ M  M  ( ,     3.1.9 Chú ý Nếu S  {S j}jJ  -họ độc lập tập X tập biết  J   hai tập hợp rời J1 , J2  J với J1   J2   , ta có: ( jJ S j ) \ ( jJ )   Thật vậy, ta có S   , S  ( jJ S j ) \ ( jJ ) tồn ánh xạ 1-1 V : S  J \ (J1  J2 ) Vì vậy, đặt  S   (    J1  V ( x ) x  S, x  SV ( x ) J2  V ( x ) x  S, x  SV ( x ) , ta được: jJ1  S j ) \ ( jJ  SJ   , tức ( jJ J  S j ) \ ( jJ 1  J2  S j )   Điều mâu thuẩn J1  J1   , J2  J2   (J1  J1)  (J2  J2 )   3.1.10 Định lý Cho X không gian tôpô giả sử có tập vơ hạn  cho A  2 tập A mở không rỗng X Giả sử  ( X )  2 Khi đó, tồn  họ (được đánh số xác) {S   22 tập X cho với tập A không rỗng mở X , họ  {S  A   22 }   -họ độc lập Chứng minh Cố định ánh j : 2  2 cho với   2 , ta có tập j 1 ( )  {  2 j( )   } có số 2 ; lại cố định  -cơ sở {B   2 } X (với   B không cần thiết ánh xạ 1-1), với   2 , cho {x ,   2 } tập B (với   x  , ánh xạ 1-1) Theo phương pháp quy nạp siêu hạn, với   2 ta định nghĩa  ( ) sau:    ( )     2 x j ( ),  {x j (  ), ( )     } (3.1.1) (Dĩ nhiên, định nghĩa hồn tồn xác    x j ( ),  ánh xạ 1-1 với   2 ) Vì vậy, cho y  x j ( ), ( ) với   2 , theo (3.1.3) dễ dàng thấy   y ánh xạ 1-1 Với   2 , tập M   {y   2  j( )   }; đó, theo định nghĩa tính chất y theo cách chọn j , có khẳng định sau: (1)   2 : M  B ; (2)   2 : M  2 ; (3)  ,    2 : (     M   M    ); Bây giờ, theo (2) mệnh đề (3.1.8), với   2 , tồn họ   -độc lập  {T ,   22 } M Đặt S   T ,  2   với   22 , khẳng định {S   22 } có tính chất địi hỏi cơng thức Thật vậy, cho A tập mở không rỗng X ; tồn   2 cho  B  A Chúng ta cần chúng minh {S  A   22 }   -độc lập A , tức với hai  tập rời I1 , I  22 với I1   I   , ta có bất đẳng thức sau:     I (S  A) \   I (S  A)  A  (  I S ) \ (  I )   2 Dĩ nhiên, điều chứng minh   M  (  I S ) \ (  I S   (có xét đến (1)) Thật vậy, I1 I trên, xét thấy  S    T ,   T ,  I1  I1  2   I1 (3.1.2)     T ,        I2  2 \{ }       T ,     T ,      2 \{}  I2    I2   S    T ,    T ,  I  I  2   I2     T ,   I2   M      2 \{ }  ;  để chứng minh (3.1.2), cần chúng minh    M   (  I T , ) \ (  I T , )  (  2 \{ } M  )  , tức    M  (  I T , ) \ (  I T , ) \ (  2 \{ } M )  , (3.1.3) Chú ý rằng, theo (3) trên, M  (  2 \{ } M  )   , để (3.1.3) tương đương với   M   (  I T , ) \ (  I T , )   hệ trực tiếp thực tế {T ,   2 } họ   -độc lập M   3.1.11 Hệ Tồn tập hợp {S   2c } tập khoảng đơn vị I  [0;1] , với điều kiện tập không rỗng A I (theo tôpô Euclid), họ {S  A   2c } 1 -độc lập 3.2 Một tôpô không cực tiểu  ( X ) thuộc CH tôpô Trong tôpô Euclid, cho B tập hợp tất tất tập mở khác rỗng I Dựa vào hệ 3.1.11, cố định tập hợp  tập I  [0,1] , với   c với điều kiện B  B , tập hợp {M  B M  } họ w1 -độc lập B M1  B  M2  B với hai tập rời M1 , M2   Từ bây giừ trở đi, ta thừa nhận giả thiết continuum tồn q trình xây dựng khơng gian Ngồi ra, số I ánh xạ 1-1 {x   w1} tương ứng   w1 với tập   theo cách cho   c ( w1 )        với  ,   w1 rời Chúng muốn  theo ánh xạ 1-1 { ,   w1 ,    } Cho  tôpô Euclid I (tức   B  {} ); đó, đặt B  {B  B x  B} với B hệ  -lân cận (mở) x Bây giờ, định nghĩa theo phương pháp quy nạp siêu hạn, với   w1 , tập L    :  L  ( ,  )         ( ,  )  L  : x  M ,      w1 :          x  M ,  (3.2.1)  Ta thấy L0   Chúng tơi chứng hai tính chất L Tính chất 1: Nếu ( ,  )  L với   w1  * thỏa mãn     *    ( ,  *)  L Chứng minh Trước hết, ta có ( ,  )  L suy     *      x  M ,  với ( ,  )  L Ta lại có,   thỏa mãn        *         Vì ( ,  )  L nên ta x  M ,  Vậy ( ,  *)  L  Tính chất 2: Nếu (1 , 1 )  L với   w1 L  L 2 Chứng minh Chúng ta chứng minh mệnh đề sau phương pháp quy nạp siêu hạn  :    w1 , 1  w1 ,   w1 : (1 , 1 )  L  L  L 2  (3.2.2) Thật vậy, cho   w1 thỏa mãn điều kiện    Khi đó, (3.2.2) thỏa mãn Ta chứng minh (3.2.2) với    : Xét ( ,  )  L , ta chứng minh L  L Thật vậy, cho (, )  L Trước hết, theo (3.2.1) ta có ( ,  )  L suy      , ta lại có    Vậy        (, )  L suy    1 Tiếp theo, giả sử có cặp ( ,  )  L  Vì    (theo giả thiết quy nạp), ta áp dụng (3.2.2) với    , 1   1   Vì (, )  L suy L  L Do đó, từ 1 ( ,  )  L suy ( ,  )  L ; đó, từ ( ,  )  L ( ,  )  L xem xét (3.2.1) (đối với    ), ta x  M ,  2 Cuối cùng, cho    w1 với       , ta có quan hệ x  M,  Thật vậy, từ        ( ,  )  L , theo tính chất ta (,  )  L Khi đó, từ ( ,  )  L 1 (,  )  L ta suy x  M,   Bây giờ, định nghĩa tôpô I cách kết hợp   w1 hệ  lân cận x thực theo cách mà phần tử  trở thành  -mở Với   w1 , đặt   {V , ,B     w1 }, (3.2.3) với   w1 có    với B  B , đặt     V , ,B   x    B    M ,      M ,   \ x         ( , )L            (3 2.4) (Dĩ nhiên, đẳng thức xuất với giao họ tập rỗng xem I ) Để chứng minh phép gán nguồn góc tơpơ, ta chứng minh tính chất sau: (BP1) Với   w1 ,    với U   , x  U (BP2) Nếu x *  U   tồn V   * cho V  U (BP3) Với U1 ,U2   , tồn U   cho U  U1  U2 (BP1) hiển nhiên (BP3) chứng minh đơn giản: với   w1 ,  ,     B, B  B , ta có bao hàm V ,max(  ,  ),B B  V , ,   V ,  ,  Ta chúng minh (BP2) Theo cách đó, giả sử ta có  ,  , *  w1 B  B với    x *  V , ,B Hiển nhiên, thừa nhận  *   ; Do từ (3.2.4), ta  *     , B  B , x  M ,  với        )  L , từ x *  M ,  với ( ,  )  L Khi xét (3.2.1) với    * , ta thấy ( ,  * theo tính chất tính chất suy {( ,  )      }  L L  L * Do đó,     M ,     M ,      M ,   (  ,  )L *   ( , )L         Vì vậy, lấy, chẳng hạn như, phần tử V *. *1,B  * (nhớ B  B * ) xét     V *, *1,B  {x *}   B    M  ,   \ {x      * 1}  ( ,  )L *    Ta có bao hàm sau V *, *1,B  V , ,B Dĩ nhiên, V , ,B sinh B , tôpô  sinh phép gán mịn tơpơ  ; Vì vậy, nói riêng, tơpơ T2 Chú ý “mịn hơn” có nghĩa trường hợp đặc biệt, tức    Thật vậy, với n  w, cho  n cho x  x  n n  , tương tự, tập   sup nw  n Khi đó, với B  B cố định, tập V  , 1,B với n  - 1  , mà  -hội tụ đến Vì vậy, V , 1,B  n nw \{0} lận cận khơng có phần tử dãy   không  -lân cận Bây giờ, ta chứng minh hóa   để sau ta áp dụng mệnh đề 3.1.4 Thực sự, cho  S quy hóa  ; ta biết, quy hóa tơpơ T2  tơpơ quy   mịn cho     ta có bao hàm    S Do đó, phải chứng minh  S   , tức là, với x  I với  -lân cận mở V x , tồn lân cận  -lân cận W x với W  Int Cl V Xét sở  -lân cận tùy ý V , ,B x với    B  B Chúng ta chứng B  Cl V , ,B Vì B  -mở nên B  -mở Ta có bao hàm B  Int B  Int Cl V , ,B Thực tế, cho x *  B tùy ý Ta chứng minh với  *   * với B*  B * , V *, *,B*  V , ,B   Thật vậy, với  * B * trên, tập B #  B  B * định nghĩa  B #  {M  B # M  }  B  {M ,   B # (  ,  )  L *  L } #  {M *,   B #  *      *}  {M ,   B #       }; Vì  B tập đếm  B nên theo ý 3.1.9 ta  B  c ( w1 ) # # #   B#    M ,      M *,      M *,   \ {x     max{ *,  }}      *    *   ( ,  )L * L    *    * Sau đó, xét (3.2.4), ta kết luận V *, *,B*  V , ,B   Bây giờ, ta chứng minh với tôpô Hausdorff     với A  \   , ta có bất đẳng thức      {A} điều chứng minh  tôpô  (I ) (theo định lý 2.3.6.3) Thực tế, giả sử   tôpô T2 I với     ; đó, ý từ trước, theo mệnh đề 3.1.4, ta có bao hàm sau   (3.2.5) Nếu A  \   phải có điểm x  A cho W    : ( x  W   W  \ A  ), (3.2.6) với  , tồn    B  B cho V , ,B  A (3.2.7) Chúng ta khẳng định với   -lân cận W  x Chúng ta có bất đẳng thức (W   A) \ V , ,B   theo mệnh đề 3.1.5, điều đủ để chứng minh V , ,B không    {A} -lân cận x (nói riêng,    {A}   ) Trên thực tế, cho x  W     Vì B  B      (theo 3.2.5) x  V , ,B  B , ta có quan hệ x  W   B    Vì vậy, theo (3.2.6), ta cố định phần tử x *  (W   B) \ A (3.2.8) Nói riêng, x *  W    suy (vì     ) có  *   B*  B * cho V *, *,B*  W  (3.2.9) Chú ý rằng, ( ,   1)  L * Thật vậy, ( ,   1) L * , đó, trước hết theo (3.2.1) ta  *      x *  M , với       (nói riêng,      ; theo tính chất ta có bao hàm L  L * , x *  M ,  với ( ,  )  L * (sử dụng lại 3.2.1)) Vì theo (3.2.9), x *  B , ta có kết luận cuối      x *   B    M ,      M ,   \ x '      V , ,B  ( ,  )L                  mâu thuẩn với tổ hợp (3.2.7) (3.2.8) Bây giờ, xét tập hợp     M ,       M *,  *     *  M , ( ,  )  L  L *       Vì ( ,   1)  L * (chứng minh trên), ( ,   1)  L (vì ( ,   1)  L suy       )  *   (theo (3.2.8), x  A , x *  A ), ta suy   tập đếm  mà không chứa M , 1 Cho B #  B  B * , B #  B * (nhớ lại rằng, theo (3.2.9) x *  B chọn B * thuộc B * ); xét tập hợp  B  {M  B # M  } Theo tính chất ban đầu # tập hợp  , ta B họ w1 -độc lập B # Vì B  {M   B # M    } tập đếm # # B M , 1  B #   B (vì hạn chế tới B tác động vào  ánh xạ 1-1) nên # # theo ý (3.1.9), tồn     x   (B #  M , )     (B #  M , )     (B #  M *, )        *    *  ( , )L L *       ,  *}  B# \ M \ x   max{   ,  1    Do đó, xét (3.2.4), ta kết luận x  V , ,B , x  V *, *,B* x  V , 1,B Do đó, theo (3.2.8) (3.2.9) suy x  ( A  W ) \ V , 1,B ; ( A  W ) \ V , 1,B   3.3 Ví dụ tơpơ  (X ) 3.3.1 Ví dụ Cho  thông thường khoảng đơn vị I , C  1/ n : n       I \ C Ta có (I , ) Hausdoff, H -đóng, quy hóa (I , )    Theo Định lý 2.3.6.3,  tôpô 3.3.1 Bổ đề Cho  tôpô T2 tập X Giả sử có điểm x  X , hệ x  lân cận mở x ,  -lân cận V * x có tập M  X cho (1) V *  M   ; (2) V  x : Int Cl V  M   ; (3) V  x : V  (Int Cl V  M )  Khi  tôpô  (X ) Chứng minh Xét tôpô   X cho  X \{x }  X \{x } , điểm x có một hệ lân cận (mở) cho {V  (Int Cl V  M ) V  x }  X \{x }  X \{x } , ta thấy Sử dụng tính chất với kiện  T2 (do đó,  T1 )   điều kiện (BP2) thỏa mãn với x  x Vậy   tôpô X thô  Tuy nhiên, ý   T2 mịn (hoặc bằng) với quy hóa   ,  T2 theo mệnh đề 3.1.3 Thật vậy, x  x , tôpô   trùng với tôpô  (mịn  ), điểm x , sở  -lân cận có dạng Int Cl V với V  ( x ) ; tập hợp có dạng V   (Int Cl V   M ) phần tử Int Cl V , với V   x V   V mà V   -lân cận x Cuối cùng, thấy     V *  -lân cận x mà không bao hàm   -lân cận x ; thật vậy,   -lân cận x bao gồm tập có dạng V  (Int Cl V  M ) với V   x theo (2), tập giao với M khác trống, V * M   Bây giờ, ta chứng minh    {V *}   theo định lý 2.3.6.3, ta  tôpô  ( X ) Dĩ nhiên, phải với V  ( x ) , có    {V *} -lân cận x thuộc  Cho V  ( x ) , lấy V   x với V   V ; đó, tập (V   (Int Cl V   M ))  V *  (V   V *)  (Int Cl V   M  V *)  V   V * (ta có sử dụng 1)    {V *} -lân cận x chứa V  3.3.3 Ví dụ Cho  tơpơ Euclid I  [0,1]  tôpô cho x  I tương ứng với hệ lân cận (mở)     {x }  (W  {x     c}) W   ( x ),   c Khi đó,  tơpơ  (I ) Chứng minh Rõ ràng    ,  T2 Bây giờ, cho a0  c cho x a  với n   , lấy an  c cho x a  Vì tính đối góc c lớn w nên ta có   sup n  n  c n n Chúng ta áp dụng bổ đề 3.3.1 với x  , x  {0}  ([0,  [  {x     c})    1,   c ,  V *  {0}  {x     c} M  {x n  } Rõ ràng (1) thỏa mãn V * khơng chứa n x với n   Cịn tính chất (2) (3), trước hết xét      c ta có n đẳng thức Cl ({0}  ([0, [  {x      c}))  [0,  ] Thật vậy, với x  [0, ] , W   ( x )    c , ta thấy [0, ]  W phải bao hàm tập mở khác trống (I , ) mà có số c , [0, [  W không chứa {x   max{ ,  }}; {0}  ([0, ]  {x         c})  {x }  (W  {x      c})  [0,  [  W  {x max{ ,  }    c}   Vì Int [0,  ]  Int [0, ]   Int [0,  ] , có kết luận 1 Int [0,  ]=Int  [0,  ]=[0,  [ Do đó, thấy (2) thỏa mãn (vì với    , rõ ràng tập [0,  ] chứa x  n với n   ) Để chứng minh (3), ta chứng minh với   c n với    , phần tử x  n thuộc [0, [  M có  -lân cận V  chứa n ([0, [  M )  ([0,  [  {x     c}) ; điều chứng minh trực tiếp chúng 1  n  ta chọn V      ([0,  [  {x     c})  3.3.4 Ví dụ Với   c , cho   {(W  {x     c}) W   ( x )} Khi x   phép gán lân cận mở tôpô T2 với tôpô  I tôpô  (I ) Chứng minh Dễ dàng kiểm tra tính chất (BP1)-(BP3) Cho S  {  c x    I }   sup S  ( c) , ta thấy {x    } trù mật I , với n  w ,  n   n cho x  x  n  X \{x }   2X \{x } Tại điểm x  ,   trùng với  (dễ Cho   tôpô I cho        dàng chứng minh   tôpô) Cho A  {x     c} Khi đó, dễ thấy A  -mở   -mở (vì   -lân cận x phải chứa vài x ) Do đó, chúng n ta thấy     Chúng ta cần chứng minh    {A}   , theo định lý 2.3.6.2 ta có  tơpơ Thật vậy,    {A}   X \ {x } (do       {A}   ), cần chứng minh với V   ( x ) , tồn W   ( x ) cho W  A  V Và điều này, hiển nhiên sở  -lân cận x có dạng W  {x     c}  KẾT LUẬN I Kết đạt Chúng hệ thống lại kiến thức dàn tôpô Các tôpô Haudorff không tạo thành dàn quan tâm nhiều nhà toán học Các tôpô Haudorff tập X tạo thành poset tôpô Haudorff theo quan hệ bao hàm kí hiệu  ( X ) Trong  ( X ) tồn tôpô    mà khơng có tơpơ Haudorff  thỏa mãn      Khi đó,   tơpơ tôpô  ( X ) Alas Wilson chứng minh không gian Hausdorff compact khơng chứa điểm cực đại tơpơ khơng phải tơpơ Chương luận văn chứng minh rằng: điểm cực đại khơng gian H-đóng khơng phải điểm quy (định lý 2.3.4.5) Tiếp theo, xây dựng tốn tơpơ đếm chặt chẽ tôpô compact đếm (mục 2.3.5) Cuối chương, mô tả đặc điểm tôpô  ( X ) tôpô mở rộng đơn giản (mục 2.3.6) đưa toán: Các tôpô  ( X ) tơpơ có phải tơpơ Hausdoff cực tiểu không? Trong chương 3, chứng minh theo giả thuyết continumm có tơpơ khơng cực tiểu  ([0;1]) mà tôpô chúng tơi giải đáp toán đưa chương II (mục 3.2) Cuối chúng tơi đưa ví dụ tơpơ  ( X ) ( mục 3.3) II Hạn chế đề tài Đề tài chưa nghiên cứu tôpô Haudorff giả radial tập X chưa tìm lời giải cho tốn: Tơpơ Haudorff giả radial tập X có phải tơpơ  ( X ) khơng? Một số tính chất, định lý phát biểu mà không chứng minh việc chứng minh dài dòng nhiều vượt nội dung nghiên cứu luận văn III Hướng phát triển luận văn Nghiên cứu tôpô Haudorff giả radial tập X Nghiên cứu poset tơpơ quy poset tơpơ Haudorff compact địa phương Vì thời gian có hạn đặc biệt trình độ thân cịn hạn chế, chắn nhiều vấn đề đáng quan tâm khác mà chúng tơi chưa nhận thấy Bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý độc giả Chúng xin chân thành cảm ơn độc giả quan tâm đóng góp ý kiến cho luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2010 Tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, Nhà xuất Giáo dục Hoàng Xuân Sính – Đồn Quỳnh, Tơpơ ?, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật J L Kelli (1973), Tôpô đại cương (Hồ Thuần, Hà Huy Khái, Đinh Mạnh Tường dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Nhụy, Lê Xuân Sơn, Bài tập tôpô đại cương, Nhà xuất Giáo dục Trần Tráng (2005), Tôpô đại cương, Nhà xuất Đại học Sư phạm TP.HCM Tiếng Anh Da-Jiang Chen, Hui Kou, Notes on the products of the lower topology and Lawson topology on posets,Topology and its Applications, Volume 157, Issue 12, August 2010, Pages 1975-1979 J Porter, G Woods, Accumulation points of nowhere dense sets in H-closed spaces, Proc Amer Math Soc, 93 (1985) 539–542 J Porter, G Woods, Extensions and Absolutes of Hausdorff Spaces, Springer, Berlin, 1988 N Carlson, Lower and upper topologies in the Hausdorff partial order on a fixed set, Topology and its Applications, 154 (3): 619–624, 2007 10 O T Alas and R G Wilson Which topologies can have immediate successors in the lattice of T1-topologies? Applied General Topology, 5(2): 231–242, 2004 11 _, Constructing weaker connected Hausdorff topologies, Top Proc 35 (2010) pp 225-232 12 O T Alas, S Hernandez, M Sanchis, M G Tkachenko and R G Wilson Adjacencyin subposets of the lattice of T1-topologies on a set, Acta Mathematica Hungarica, 112 (3):199–219, 2006 13 R E Larson and E Andima, The lattice of topologies: a survey, The Rocky Mountain Journal of Mathematics, (1975), 177–198 14 Ryszard Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag Berlin ... đề với tên đề tài “MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ POSET TƠPƠ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH” nhằm nghiên cứu số vấn đề quan tâm thời gian gần Mục đích Nghiên cứu poset tơpơ Hausdorff ( T2 ) tập cố định Đối tượng phạm...  1 tôpô tôpô Tương tự,  2 tôpô tôpô Theo định lý 2.3.2.10, tôpô     {p, q}  tôpô ứng với tôpô  1  2 Vì vậy,  tơpơ ứng với hai tôpô rời nhau, hai tôpô  1  2 tôpô tôpô  tôpô. .. CÁC TÔPÔ, DÀN CỦA CÁC TÔPÔ T1, POSET CỦA CÁC TÔPÔ T2 TRÊN TẬP HỢP Kí hiệu: £(X), £1(X),  ( X ) tương ứng dàn tôpô, dàn tôpô T1, poset tôpô T2 tập hợp X Trong chương này, giới thiệu dàn tôpô,