Một số bài toán đồ thị và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TIN - - LÊ THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP LỜI CẢM ƠN Cầu thủ xuất sắc xứ sở hoa Tulip, Hà Lan – Johan Cruyiff nói: “Sự may mắn khơng tự đến, cần phải tìm kiếm nó, có lúc đổ mồ nước mắt” Đối với em, câu nói hồn tồn xác thành mà đạt trước hết phải xuất phát từ nỗ lực thân Tuy nhiên, không nhờ giúp đỡ người xung quanh khơng đạt mục tiêu mong đợi Chính ngày hơm nay, hồn tất xong luận văn này, em xin dành trang luận văn để bày tỏ lòng biết ơn đến tất thầy cô giáo hết lòng dạy dỗ, truyền đạt cho em kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt năm học vừa qua, người bạn bên em giúp đỡ, động viên em cố gắng Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, người thầy trực tiếp, tận tình giảng dạy hướng dẫn em hồn thành luận văn Thầy giúp đỡ em nhiều việc hướng dẫn nội dung, cách trình bày giới thiệu tài liệu tham khảo Và đặt biệt, xin cảm ơn ba mẹ, gia đình nuôi dạy nên người, chỗ dựa tinh thần vững chắc, giúp cho chúng vượt qua khó khăn, thử thách sống Để đáp lại chân tình thầy cơ, gia đình, bạn bè em xin hứa cố gắng vận dụng kiến thức mà học cách hiệu để đem lại lợi ích cho cho xã hội Đà Nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên: Lê Thị Nga Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Đà Nẵng, ngày tháng năm 2012 Giáo viên hướng dẫn PGS.TSKH Trần Quốc Chiến MỤC LỤC MỞ ĐẦU ….1 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chương 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ I CÁC ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ Định nghĩa đồ thị 2 Đồ thị vô hướng Đồ thị có hướng II MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐỒ THỊ Đồ thị “lấn tổ” sinh thái học Đồ thị ảnh hưởng 3 Thi đấu vòng tròn Đồ thị có ưu tiên trước sau III CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Bậc đồ thị a Bậc đồ thị vô hướng b Bậc đồ thị có hướng Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng Một số dạng đồ thị đặt biệt a Khái niệm b Một vài ứng dụng đồ thị đặc biệt IV BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ VÀ SỰ ĐẲNG CẤU 11 Biểu diễn đồ thị 11 a Ma trận kề 11 b Ma trận liên thuộc 12 Đồ thị đẳng cấu 114 Chương 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI 15 I ĐỒ THỊ EULER 15 Định nghĩa 15 Điều kiện cần đủ 16 Các thuật tốn tìm chu trình Euler 16 II ĐỒ THỊ HAMINTON 18 Định nghĩa 18 Điều kiện cần đủ 19 a Điều kiện cần 19 b Điều kiện đủ 19 Một số toán ứng dụng 19 a Bài toán thi đấu bóng bàn 19 b Bài toán mã tuần 20 c Bài toán xếp chỗ ngồi 20 III TÌM ĐƯỜNG ĐI TRONG MÊ CUNG 22 Phát biểu toán 22 Thuật tốn tìm đường mê cung 22 Một số toán ứng dụng 22 a Bài tốn sói, dê cải 22 b Bài tốn ơng chồng ghen 23 c Bài toán thầy tu quỷ 23 IV TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 23 Phát biểu toán 23 Nội dung thuật toán 24 Các ứng dụng 39 a Ứng dụng truyền tin 39 b Ứng dụng việc lập lịch thi công cơng trình 41 Bài tốn người du lịch 44 a Giới thiệu toán 44 b Phương pháp nhánh cận 44 e Mệnh đề 45 f Phân nhánh 45 g Tính cận 46 h Thủ tục ngăn chặn hành trình 46 k Tính chất tối ưu 46 Chương 3: CÂY 49 I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 48 Định nghĩa 49 Định lý tương đương 50 Cây m-phân 50 Các ứng dụng 50 a Mã tiền tố 50 b Cây biểu thức 52 c Cây định 53 d Cây nhị phân tìm kiếm 53 II CÂY PHỦ 56 Định nghĩa tính chất 56 Các thuật toán tìm phủ 56 a Tìm theo chiều ngang 56 b Tìm theo chiều sâu 56 Cây bao trùm bé 57 a Bài toán thực tế 57 b Quy đồ thị 57 Ứng dụng 58 a Bài toán kết nối hệ thống mạng 58 b Bài toán phủ lớn 58 c Bài tốn tìm mạng điện với độ tin cậy lớn 58 d Bài toán Steiner đồ thị 59 Chương 4: BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRONG MẠNG 60 I MẠNG, LUỒNG TRONG MẠNG, BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI 60 Định nghĩa 60 Bài toán luồng cực đại mạng 60 II THUẬT TỐN TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI FORD-FULKERSON 61 III LUỒNG CỰC ĐẠI VÀ LÁT CẮT CỰC TIỂU 62 IV MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 62 Mạng với nhiều điểm phát điểm thu 62 Bài tốn với khả thơng qua cung đỉnh 62 Bài toán ghép cặp 63 Chương 5: SỐ ỔN ĐỊNH VÀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ 64 I SỐ ỔN ĐỊNH TRONG, SỐ ỔN ĐỊNH NGOÀI, NHÂN ĐỒ THỊ 64 Số ổn định 64 Số ổn định 64 Nhân đồ thị 64 Các thuật tốn tìm tập ổn định 65 Ứng dụng lập cờ Ca rô 65 II TÔ MÀU ĐỒ THỊ 68 Tô màu đồ 68 Tô màu đồ thị 68 Các mệnh đề 68 Thuật toán tham lam (greedy algorithm) 70 Những ứng dụng tốn tơ màu đồ thị 70 a Bài tốn điều khiển đèn hiệu nút giao thơng 70 b Bài toán lập lịch 70 c Phân chia tần số 72 d Các ghi số 72 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu tồn từ năm đầu kỷ 18 lại có ứng dụng đại Những ý tưởng Lý thuyết đồ thị nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đề xuất ơng người dùng đồ thị để giải toán cầu Konigsberg tiếng Đồ thị sử dụng để giải nhiều toán thuộc lĩnh vực khác Chẳng hạn, ta dùng đồ thị để biểu diễn mạch vòng mạch điện, dùng đồ thị biểu diễn trình tương tác lồi giới động thực vật, dùng đồ thị biểu diễn đồng phân hợp chất polyme biểu diễn mối liên hệ loại thơng tin khác Có thể nói, Lý thuyết đồ thị ứng dụng rộng rãi tất lĩnh vực khác thực tế lĩnh vực trừu tượng lý thuyết tính tốn Đề tài “Một số tốn đồ thị ứng dụng”, đề tài nghiên cứu lý thuyết giải nhiệm vụ làm sáng tỏ sở toán cho Tin học đồng thời nêu khả ứng dụng đồ thị theo nội dung Lý thuyết đồ thị I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết đồ thị đóng vai trị làm sở tốn cho Tin học đồ thị phận Toán rời rạc, chất cấu trúc đồ thị mang tính rời rạc mà cơng cụ Tin học máy tính, q trình xử lý, lưu trữ thơng tin máy tính mang tính rời rạc, nên điều tương hợp gắn chặt lý thuyết đồ thị với công nghệ máy tính việc nghiên cứu đối tượng có tính chất rời rạc “Một số tốn đồ thị ứng dụng” đề tài có tầm quan trọng mang nghĩa thiết thực cao Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng nghành kĩ thuật nghiên cứu nhiều với khối lượng kiến thức đồ sộ Đề tài thực trước tiên đề cập tới vấn đề chủ yếu lý thuyết đồ thị, sau tùy nội dung xoay quanh ứng dụng đồ thị, giải toán Tin học xác định xem hai máy tính mạng truyền tin hay khơng nhờ mơ hình đồ thị mạng máy tính, tốn nối mạng máy tính cho tổng chi phí nhỏ việc khắc phục gói tin bị truyền sai nhờ giải thuật nghiên cứu đồ thị Có ứng dụng đồ thị không trực tiếp vào lĩnh vực Tin học, ví dụ tốn lập lịch cơng tác hành chính, xác định đường ngắn hai điểm nút giao thông, ta xem ứng dụng cách gián tiếp Tin học mơ hình tốt tốn đồ thị giải chúng dễ dàng máy tính, chơi chơi cờ Ca rô môn chơi trí tuệ đồ thị hỗ trợ tốt cho muốn lập trình chơi cờ Ca rơ máy tính mơ hình cờ đồ thị II MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ Đề tài thực nhằm làm sáng tỏ sở toán cho Tin học đồng thời nêu khả ứng dụng đồ thị theo nội dung Lý thuyết đồ thị III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Tìm hiểu thơng tin mạng internet, sách, báo + Thông qua hướng dẫn thầy cô kiến thức học -1- Chương 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ I CÁC ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính số cạnh nối cặp đỉnh đồ thị Đồ thị mơ tả hình thức: G = (V, E) Trong V tập đỉnh, E tập cạnh Có thể xem E tập cặp {v, w}, với v, w hai đỉnh thuộc V Ví dụ Giả sử ta có mạng gồm máy tính kênh điện thoại nối máy tính Chúng ta biểu diễn vị trí đặt máy tính điểm kênh điện thoại nối chúng đoạn nối hình 1.1 Hà Tây Thanh Hóa Đồng Nai An Giang Hồ Chí Minh Hà Nội Nam Định Long An Huế Khánh Hịa Hình 1.1: Mạng máy tính Đồ thị vô hướng Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh Mỗi cạnh e  E liên kết với cặp đỉnh {v, w} (không kể thứ tự) hình sau: e v w Hình 1.1 ví dụ đồ thị vơ hướng Đồ thị có hướng Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập đỉnh V tập E cạnh có hướng gọi cung Mỗi cung e  E liên kết với cặp đỉnh {v, w} (có thứ tự) hình sau: e v w Hình 1.2 ví dụ đồ thị có hướng Hà Tây Hà Nội Thanh Hóa Đồng Nai An Giang Hồ Chí Minh Long An Nam Định Huế Khánh Hịa Hình 1.2: Mạng truyền thơng có đường điện thoại chiều -2- II MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐỒ THỊ Đồ thị “lấn tổ” sinh thái học Đồ thị dùng nhiều mơ hình có tính đến tương tác loài vật Chẳng hạn cạnh tranh loài hệ sinh thái mơ hình hóa đồ thị “lấn tổ” Mỗi loài biểu diễn đỉnh Một cạnh vơ hướng nối hai đỉnh hai lồi biểu diễn đỉnh cạnh tranh với Gấu trúc Cắt Cú Đây mơ hình hệ sinh thái rừng Từ đồ thị thấy sóc gấu trúc cạnh tranh với cịn quạ chuột trù khơng Sóc Thú có túi Quạ Chuột trù Chuột Chim gõ kiến Hình 1.3: Đồ thị lấn tổ Đồ thị ảnh hưởng Khi nghiên cứu tính cách nhóm người, ta thấy số người có ảnh hưởng lên suy nghĩ người khác Đồ thị có hướng gọi đồ thị ảnh hưởng dùng để mơ hình tốn Mỗi người nhóm biểu diễn đỉnh Khi người biểu diễn đỉnh a có ảnh hưởng lên người biểu diễn đỉnh b có cung nối từ đỉnh a đến đỉnh b Linda Deborah Brian Fred Đây đồ thị ảnh hưởng thành viên nhóm Deborah có ảnh hưởng lên Brian, Fred Linda khơng có ảnh hưởng lên Deborah Cịn Yrone Brian ảnh hưởng lẫn Yrone Hình 1.4: Đồ thị ảnh hưởng Thi đấu vịng trịn Một thi đấu thể thao đội đấu với đội khác lần gọi đấu vịng trịn Cuộc thi đấu mơ hình đồ thị có hướng đội đỉnh Một cung từ đỉnh a đến đỉnh b đội a thắng đội b Đội Đội Trong thi đấu đội khơng thua trận cịn đội không thắng trận Đội Đội Đội Đội Hình 1.5: Mơ hình đồ thị thi đấu vịng trịn -3- Đồ thị có ưu tiên trước sau Các chương trình máy tính thi hành nhanh cách thi hành đồng thời số câu lệnh Điều quan trọng khơng thực câu lệnh đòi hỏi kết câu lệnh khác chưa thực Sự phụ thuộc câu lệnh vào câu lệnh trước biểu diễn đồ thị có hướng Mỗi câu lệnh biểu diễn đỉnh có cung từ đỉnh tới đỉnh khác câu lệnh biểu diễn đỉnh thứ hai thực trước câu lệnh biểu diễn đỉnh thứ thực S6 S1 a := S5 S2 b := Dựa vào đồ thị câu lệnh S5 thực trước câu lệnh S1, S2, S4 thực S3 c := a+1 S3 S4 d := b+a S4 S5 e := d+1 S6 e := c+d S1 S2 Hình 1.6: Đồ thị có ưu tiên trước sau III CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Bậc đồ thị a Bậc đồ thị vô hướng Bậc đỉnh đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khun đỉnh tính hai lần cho bậc Người ta kí hiệu bậc đỉnh v deg(v) Ví dụ Bậc đỉnh đồ thị sau ? B C D A E H F G Hình 1.7: Đồ thị vơ hướng G Trong đồ thị G deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 6, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = deg(H) =  Nếu deg(v) = đỉnh v đỉnh lập  Nếu deg(v) = đỉnh v đỉnh treo Định lí Cho G = (V, E) đồ thị vơ hướng Khi 2.|E| =  deg(v) Trong vV |E| ký hiệu số phần tử tập E Ví dụ Có cạnh đồ thị có 12 đỉnh, đỉnh có bậc 5? Tổng bậc đồ thị 12.5 = 60, suy 2|E| = 60 Do |E| = 30 Chứng minh Mỗi cạnh e = (v, w)  E tham gia tính bậc đỉnh v bậc đỉnh w Từ suy 2.|E| =  deg(v) vV -4- Chương 4: BÀI TỐN LUỒNG CỰC ĐẠI TRONG MẠNG Bài tốn luồng cực đại mạng số toán tối ưu đồ thị tìm ứng dụng rộng rãi thực tế ứng dụng thú vị lý thuyết tổ hợp Bài toán đề xuất vào đầu năm 1950 gắn liền với tên tuổi hai nhà toán học Mỹ Ford Fulkerson I MẠNG, LUỒNG TRONG MẠNG, BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI Định nghĩa Định nghĩa Ta gọi mạng đơn đồ thị có hướng G = (V, E), có đỉnh khơng có cung vào gọi nguồn, đỉnh cung gọi đích, trọng số cij cung (i, j) số không âm gọi khả thông qua cung, đồ thị liên thông yếu Định lý Cho mạng G với khả thông qua cij,(i,j)G Tập giá trị {fii,(i,j)G} gọi luồng mạng G thỏa mãn:  ≤ fij ≤ cij ,(i,j)  G  Với đỉnh k khơng phải nguồn đính  f ik =  f kj ( i , k )G ( k , j )G Định lý Cho fij, (i,j)  G, luồng mạng G với nguồn a đích z Khi đó:  f =  f iz ( a ,i )G ( i , z )G Định nghĩa Giá trị luồng Cho luồng f mạng G Giá trị luồng f định nghĩa đại lượng: v(f) =  f =  f iz ( a ,i )G ( i , z )G Bài toán luồng cực đại mạng Cho mạng G với nguồn a đích z khả thông qua cij,(i,j)  G Trong số luồng mạng G tìm luồng có giá trị lớn Ý tưởng xây dựng luồng sau: Xuất phát từ luồng đó, ta tìm đường từ a đến z cho phép hiệu chỉnh giá trị luồng đường cho luồng có giá trị lớn Nếu khơng tìm đường ta có luồng cực đại Giả sử: P(a, u, , i, j, , v, z) đường khơng có hướng từ a đến z Nếu cạnh (i, j) cung P cung hướng với P Ngược lại (i,j) cung cung ngược hướng với P Tập cung hướng với P ký hiệu P+ Tập cung ngược hướng với P ký hiệu P- Cơ sở thuật toán định lý sau: Định lý Cho f luồng G Giả sử: P = (a, u, , i, j, , v, z) đường không định hướng thỏa:  Với cung (i,j) hướng với P: fij < cij  Với cung (i,j) ngược hướng với P: < fij Đặt  = x|x M >0, M tập giá trị cij – fij, (i,j)  P+ vaf fij, (i,j)  P-  jij , (i, j )  P  Ta xây dựng luồng f’ sau: f’ij =  f ij   , (i, j )  P     f ij   , (i, j )  P Khi luồng f’ có giá trị lớn luồng f lượng  - 60 - II THUẬT TỐN TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI FORD-FULKERSON Đầu vào: Mạng G với nguồn a, đích z, khả thông qua C = (cij), (i,j) G, (i,j) G Đầu ra: Luồng cực đại F = (fij), (i,j)  G Phương pháp: 1: Khởi tạo luồng xuất phát fij (i,j)  G 2: While FindPath(a,z) = TRUE F := F + Incflow(a,z) end while - Hàm tìm đường FindPath(a,z): Boolean Đặt nhãn: a(∞) S := {a} tập đỉnh có nhãn chưa dùng sinh nhãn S’ :=  tập đỉnh gán nhãn nhờ đỉnh S while S   Chọn đỉnh vi S có số i nhỏ S := S - vi Ký hiệu nhãn vi(p,) Tập A := đỉnh chưa có nhãn kề vi for Tất đỉnh v  A if (vi,v)  E f viv < c viv then Đặt nhãn v(vi, {, c viv - f viv }) end if if (v, vi)  E f viv > then Đặt nhãn v(vi, min{, f viv }) end if if v gán nhãn then S’ := S’ {v} end if end for if đỉnh z chưa gán nhãn then PindPath := TRUE end if end while PindPath := FALSE - Hàm hiệu chỉnh tăng luồng Incflow(a,z) Kí hiệu nhãn: z(q,) Cho đỉnh j := z, i:= q While i a if cung (i,j)  G then fij := fij+ end if if cung(j,i) G then fij := fij- end if j := i i:=p, với p thành phần thứ nhãn đỉnh j end while Incflow := Thành phần thứ nhãn đỉnh z - 61 - Chương trình cài đặt thuật tốn Ford Fulkerson tìm luồng cực đại cho kết sau: Dữ liệu vào: fordfulk.inp đỉnh a, b, c, d, e, z tương ứng với đỉnh 1, 2, 3, 4, 5, chương trình Tệp input: fordfulk.inp Tệp output: forkfulk.out b c a z d e Hình 4.1 Sau chạy chương trình tệp fordfulk.out nhận giá trị luồng cực đại E = III LUỒNG CỰC ĐẠI VÀ LÁT CẮT CỰC TIỂU Định nghĩa Cho mạng G = (V,E) với nguồn a đích z Lát cắt (S, V-S) gồm tập S đỉnh V phần bù V-S, a  S z  V-S Khả thông qua lát cắt (S, V-S) giá trị C(S, V-S) =   cij iS jV \ S Định lý Cho mạng G với nguồn a đích z, f = {f ij|(i,j) G} luồng mạng G, (S, V-S) lát cắt G Khi khả thơng qua lát cắt (S, V-S) không nhỏ giá trị luồng f, tức là: C(S, V-S) ≥ v(f) Định lý Cho mạng G với nguồn a đích z, F = {fij| (i,j)  G} luồng mạng G, (S, V-S) lát cắt G Khi đó:  Nếu C(S, V-S) = v(F) luồng đạt giá trị cực đại lát cắt đạt giá trị cực tiểu  Đẳng thức C(S, V-F) = v(F) i fij = cịj i S, j V-S ii fij =  iV-S, jS Định lý Cho mạng G với nguồn a đích z, F = {fij| (i,j)  G} luồng nhận kết thúc thuật tốn tìm luồng cực đại Khi đó, F luồng cực đại Hơn nữa, S tập đỉnh mang nhãn (S, V-S) lát cắt cực tiểu IV MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Mạng với nhiều điểm phát điểm thu Cho n kho cần chuyển hàng s1, s2, , sn m kho nhận hàng t1, t2, , tm Hãy tìm phương án chuyển hàng cho lượng hàng chuyển lớn nhất, cho biết trước số lượng hàng cần chuyển khả chứa hàng kho số hàng chuyển từ si đến tj c(i,j) Bài tốn đưa tốn mạng với nhiều nguồn đích Ta coi kho si nguồn, kho nhận đích Đồng thời đưa vào đích giả s nối với tất đích nguồn giả t nối với nguồn Giá trị c(s,si) số hàng cần chuyển kho si, c(tj,t) khả chứa hàng kho Bài tốn với khả thơng qua cung đỉnh Hãy tìm phương án vận chuyển dầu từ bể chứa s tới bể nhận t thông qua hệ thống đường ống dẫn dầu, cho lượng dầu chuyển nhiều Cho biết lượng dầu lớn bơm qua đường ống qua điểm nối ống Phương án giải toán sau: Xây dựng đồ thị G(V,E), với V tập đỉnh đồ thị gồm s, t tập điểm nối, E tập cung đồ thị gồm - 62 - đường ống dẫn dầu Trong G, với đỉnh v thuộc V tổng luồng vào đỉnh v khơng vượt q khả thơng qua d(v) nó:  f (w, v) ≤ d(v), w thuộc V Để tìm luồng cực đại s t mạng ta xây dựng mạng G’ cho: Mỗi đỉnh v G tương ứng với đỉnh v + v- G’, cung (u,v) G tương ứng với (u-,v+) G’ có khả thơng qua d(v) tức khả thông qua đỉnh v G Dễ thấy luồng cực đại G’ luồng cực đại G với khả thông qua cung đỉnh Bài toán ghép cặp Phát biểu toán Cho tập X Y Mỗi phần tử X ghép với số phần tử Y Vấn đề đặt tìm cách ghép phần tử X với phần tử Y cho số cặp ghép lớn Định nghĩa Một ghép đồ thị G tập hợp cạnh (cung) G, đơi khơng kề Bài tốn ghép cặp G tìm ghép có số cung lớn G Bộ ghép cực đại ghép có số cung lớn Lực lượng ghép cực đại ký hiệu 1(G) Cho G = (X, Y, E) đơn đồ thị lưỡng phân Bộ ghép đầy đủ từ X vào Y ghép cực đại có lực lượng lực lượng X Bộ ghép hoàn hảo ghép đầy đủ từ X vào Y từ Y vào X Xét đơn đồ thị lưỡng phân G = (X, Y,Z) Ta đưa toán ghép cặp toán luồng cực đại sau Xây dựng G’ gồm tập đỉnh V’ = {A} X  Y  {z} Tập cung: E’ = {(a,x)| x  X}  E {(y,z)|y  Y khả thông qua cax =  x  X cyz =  y  Y cxy = +∞  x  X, y Y,(x,y) E Định lý Xét toán ghép cặp G = (X,Y,Z) toán luồng cực đại mạng G’ i Mọi luồng f = {fxy} G’ sinh thuật tốn tìm luồng cực đại xác định ghép G ii Mọi luồng cực đại f = {fxy} G’ sinh thuật tốn tìm luồng cực đại xác định ghép cực đại G iii Mọi luồng cực đại f = {fxy} G’ sinh thuật tốn tìm luồng cực đại có giá trị X xác định ghép đầy đủ G Định lý (Hall) Cho đồ thị định hướng lưỡng phân G = (X  Y,E) Khi tồn ghép đầy đủ |S| ≤ R(S)  S  X Ví dụ Có người A, B, C, D xếp làm công việc 1, 2, 3, 4, Giả sử: A làm cơng việc 2, B làm cơng việc 2, A C làm cơng việc 1, 3, 4, D làm cơng việc 2, B Có thể bố trí cho người công việc không? C Giải: Đồ thị lưỡng phân tương ứng là: Xét tập S = {A,B,C} Ta có R(S) = {2,5} nên D | S| = 3>2 = |R(S)| Hình 4.2: Sử dụng ví dụ Vì vậy, theo định lý Hall, khơng tồn ghép đầy đủ, tức khơng thể bố trí cho người công việc - 63 - Chương 5: SỐ ỔN ĐỊNH VÀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ I SỐ ỔN ĐỊNH TRONG, SỐ ỔN ĐỊNH NGOÀI, NHÂN ĐỒ THỊ Số ổn định Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) A  V i Tập A gọi tập ổn định đồ thị hai đỉnh A tập khơng kề nhau, tức khơng có cạnh đồ thị chứa hai đỉnh x y ii Tập A gọi tập ổn định cực đại đồ thị G nếu: - A tập ổn định - Nếu thêm vào A đỉnh A A khơng phải ổn định Gọi L tập hợp tập ổn định G = (E, V) Khi ký hiệu  (G) = Max {|A| /A  L}  (G) gọi số ổn định đồ thị G Như  (G) số phần tử tập ổn định cực đại Số ổn định ngồi Cho đồ thị vơ hướng G = (V, E) B  V i Tập B gọi tập ổn định đồ thị với phần tử y  V \ B tồn x  B cho có cạnh nối x y B gọi tập thống trị đồ thị ii Tập B gọi tập ổn định cực tiểu nếu: - B tập ổn định - Nếu bớt phần tử B B khơng cịn tập ổn định Gọi M tập tất tập ổn định G = (V, E) Khi kí hiệu (G) = Min {|B| /B  M} (G) gọi số ổn định đồ thị G Đối với tập ổn định ngoài, ta thường quan tâm đến tập ổn định ngồi có số phần tử lực lượng liên quan tới số ổn định ngồi đồ thị Nhân đồ thị Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) Nếu tập A  V vừa tập ổn định vừa tập ổn định ngồi đồ thị G A gọi nhân đồ thị Đối với nhân đồ thị, ta quan tâm tới nhân có số phần thử Ví dụ Xét đồ thị hình bên ta có: Các tập ổn định đồ thị: A1 = {1, 5, 7} A6 = {2, 6, 7} A2 = {1, 6, 7} A7 = {4, 5, 7} A3 = {3, 5, 7} A8 = {4, 6, 7} A4 = {3, 6, 7} A9 = {2, 4, 5, 7} Hình 5.1 A5 = {2, 5, 7} A10 = {2, 4, 6, 7} Tập A9 A10 tập ổn định cực đại có phần tử thêm đỉnh vào tập chúng khơng cịn tập ổn định Số ổn định đồ thị (G) = Với đồ thị tập ổn định cực tiểu B1 = A1; B2 = A2; B3 = A3; B4 = A4 Vì tập bớt phần tử chúng tập cịn lại khơng tập ổn định ngồi Số ổn định đồ thị (G) = Nhân đồ thị B1, B2, B3, B4 tập đồ thị ổn định đồng thời tập ổn định - 64 - Các thuật tốn tìm tập ổn định cực đại, ổn định cực tiểu Thuật tốn tìm số ổn định Đầu vào: Đồ thị G = (V, E) với V = {x1, x2, ,xn} Đầu ra: Tập ổn định Phương pháp: 1: Tìm tập ổn định có phần tử cách xếp tất tổ hợp chập n phần tử (n số đỉnh), kiểm tra tập mà phần tử ma trận kề tương ứng tập ổn định 2: Duyệt tập có phần tử bổ sung thêm phần tử thứ kiểm tra cặp bước 1, tập thỏa ta tập ổn định phần tử ………… k: Giả sử tìm m tập ổn định có k+1 phần tử + Duyệt tập bổ sung vào tập thêm phần tử + Nếu khơng có tập bổ sung dừng Thuật tốn tìm số ổn định ngồi Đầu vào: Đồ thị G = (V, E) với V = {x1, x2, ,xn} Đầu ra: Tập ổn định Phương pháp: 1: Xác định tập xi) i = n với xi) = {xi đỉnh kề với xi} 2: Từ tập x1), x2), ,xn) ta tìm tập B B = {xk1 , xk2 , , xkm} cho xk1)  xk2)  xkm) = V Khi B tập ổn định cực tiểu Ứng dụng lập cờ Ca rô Ta xét ứng dụng đồ thị cho tốn lập trình chơi cờ Ca rơ máy tính Cờ Ca rơ loại cờ mà nhiều bạn trẻ đặt biệt giới sinh viên học sinh ưa thích Quy tắc cánh thức chơi đơn giản, thực tốn tin hay, lập trình thể nhiều tư thuật tốn, sở trí tuệ nhân tạo cho việc lập trình trị chơi người máy Trong kĩ thuật chơi cờ Ca rô quân có khả thắng nhiều quân có khả thống trị quân đối phương , sử dụng cấu trúc liệu đồ thị cho cờ ta áp dụng phương pháp tìm tập ổn định để tính nước có lợi cho cờ Ca rơ, việc tính tốn đường đi, nước thuận lợi Ta xét ứng dụng đồ thị phục vụ cho toán lập trình trị chơi Ca rơ Xét cờ Ca rơ hình sau: o1 A = 0 x1 x2 x4 x3 o2 0 0 2 o3 5.2.a 5.2.b Cấu trúc liệu cho cờ dùng bảng ma trận hình 5.2.b, với vùng trắng, quân “o” qn “x” Nhưng việc tính tốn khó khăn, ta dùng đồ thị làm cấu trúc liệu cho cờ Ca rô, việc tính tốn dễ dàng tận dụng tính chất nghiên cứu đồ thị tốn lập trình trị chơi Ca rơ trở nên thuận lợi nhiều - 65 - Mô hình đồ thị theo vị trí liền kề Ta xây dựng đơn đồ thị theo nguyên tắc sau - Mỗi quân “x” quân “o” tương ứng với đỉnh - Hai đỉnh kề tương ứng với quân vị trí liên tiếp - Mỗi cạnh gán nhãn, nhãn cho biết đỉnh kề kề đứng, kề chéo hay kề ngang cờ Ta gán tên nhãn sau: thẳng ngang nhãn 1, thẳng chéo trái 2, thẳng dọc nhãn 3, thẳng chéo phải o1 x1 4 x2 x4 x3 o3 o2 5.3.a Cách đánh nhãn 5.3.b Đồ thị cho cờ Ví dụ Đồ thị hình 5.3 b thể cho cờ hình 5.3.a Trong luật chơi cờ Ca rơ qn “x’ trước sau quân “o” sau, tiếp tục lại “x” lại “o”…Chính điều ta coi quân “x” tương ứng đỉnh số lẻ, quân “o” tương ứng đỉnh số chẵn ngược lại Trong cờ Ca rô tồn dãy quân liên tiếp “x” “o” thẳng hàng ngang, thẳng hàng dọc thẳng hàng chéo thắng Với đồ thị tồn đường cạnh nhãn gồm đỉnh số lẻ, số chẵn cờ thắng cho tương ứng quân “x” quân “o” Xét đồ thị hình 5.3.b có đường nhãn gồm đỉnh quân x1, x2, x3 Nếu ta thêm đỉnh x6 kề với đỉnh o2 cho cạnh (o2, x6) có nhãn 4, sau ta thay đỉnh o2 đỉnh x5 ta có đường nhãn gồm đỉnh quân “x” (x1, x2, x3, x5, x6) ta cờ thắng cho quân x Nhận xét: - Với mô hình ta khơng thể thấy đầy đủ mối quan hệ đỉnh, đồ thị hình 5.3.b đỉnh o3 đỉnh cô lập, cờ hình 5.3.a, o1 có mối quan hệ thẳng hàng với x1 x3 đồ thị tương ứng ta khơng nhìn thấy mối quan hệ nên khó tính tốn nước cho lần sau Mà mối quan hệ “thẳng hàng” quân quan trọng tốn lập trình trị chơi ca rơ - Mơ hình thích hợp cho việc lập trình mà chơi người với người, lúc tốn tìm đường nhãn gồm đỉnh qn, khơng phải tốn tính nước cho bước Mơ hình đồ thị theo mối quan hệ thẳng hàng Cách xây dựng tương tự cách thứ có đặc điểm sau: - Hai đỉnh x o kề tương ứng với quân x o mà chúng có mối quan hệ thẳng hàng với - Trên cạnh nhãn thể mối quan hệ thẳng hàng, ta thêm trọng số đường đi, trọng số cạnh (x, o) số ô thẳng hàng từ quân x đến quân o cờ - Hai đỉnh x o kề trọng số cạnh (x, o) không - 66 - x1 x2 x3 x4 x5 a o1 x1 x2 x3 o2 o3 b Hình 5.4 Ví dụ Xét cờ hình 5.4.a 5.4.b đồ thị tương ứng hình 5.5.a 5.5.b x1 o1 x2 x5 x3 x1 x2 o3 o2 x3 x4 a b Hình 5.5 Mỗi cạnh đồ thị, nhãn đặt trước trọng số, trọng số đứng sau cách nhãn dấu phẩy Xét cờ 5.4.a từ quân x1 đến quân x2 cách ô tính từ x1 nên trọng số cạnh (x1, x2) 1, quân x1 cách x3 ô nên trọng số (x1, x3) Ta thấy x1, x2, x3 thẳng hàng dọc nên nhãn 3, tương tự đánh nhãn trọng số cho cạnh lại ta có đồ thị hình 5.5.a Như tồn đường nhãn có trọng số gồm đỉnh quân cờ thắng, đồ thị hình 5.4.a đường thắng cho quân x (x1,x2,x3,x4,x5) Trong kỹ thuật chơi cờ ca rơ, nước có lợi nước có tạo nhiều khả dẫn đến cờ thắng, ví dụ cờ hình 5.4.b vị trí o1 nước có lợi nhất, ta thay o1 x4 qn x có thêm khả phát triển nước dẫn đến cờ thắng (x4, x2); (x4, x1); ( x4, x3), với đồ thị tương ứng x4 phần tử thống trị tập {x1, x2, x3} Nếu giữ vị trí o1 ban đầu qn “o” ngăn chặn đối phương có hiệu o1 thống trị {x1, x2, x3}, ta thấy cịn có o2 thống trị {x1, x2, x3} ngăn chặn thắng theo thẳng chéo {x1, x2, x3} (xem đồ thị hình 5.4 b) Như góc độ đồ thị ta tìm tập thống trị (tập ổn định cực tiểu), đồ thị {o1, o2} tập thống trị Nhận xét: - Với mơ hình ta có ưu điểm nhìn rõ trước mối quan hệ đỉnh, có đỉnh khơng thẳng hàng chúng lập nhau, điều thường xảy số đỉnh nhỏ ta dễ dàng kiểm soát cờ Hơn ta quan tâm quân có mối quan hệ thẳng hàng, để khắc phục nhược điểm ta dựa vào mối quan hệ tay ba cách đưa thêm đỉnh ảo - Khi số đỉnh lớn, thêm đỉnh có mối quan hệ thẳng hàng số bậc đỉnh tăng, quy luật cờ Ca rô nên đỉnh thẳng hàng mà cách không ô ảnh hưởng lẫn nhau, nên đỉnh kề trọng số chúng ≤ Có hướng thẳng hàng, nên đỉnh có tối đa 8.4 = 32 bậc - Khi đỉnh có số bậc 32 loại bỏ khỏi đồ thị, khơng cịn ảnh hưởng đến đỉnh khác Nhãn trọng số cạnh khóa phục vụ cho việc xử lý tìm kiếm, tra cứu thơng tin cần thiết - 67 - II TÔ MÀU ĐỒ THỊ Tơ màu đồ: Mỗi đồ coi đồ thị phẳng Trong đồ, ta coi hai miền có chung đường biên hai miền kề (hai miền có chung điểm biên không coi kề nhau) Một đồ thường tô màu, cho hai miền kề tô hai màu khác Ta gọi cách tô màu đồ cách tô màu Để đảm bảo chắn hai miền kề khơng có màu trùng nhau, tô miền màu khác Tuy nhiên việc làm nói chung khơng hợp lý Nếu đồ có nhiều miền khó phân biệt màu gần giống Do người ta dùng số màu cần thiết để tơ đồ Một tốn đặt là: Xác định số màu tối thiểu cần có để tơ màu đồ M3 Ví dụ Bản đồ hình bên có miền, cần có màu M4 M1 M2 (vàng, đỏ, xanh) để tô đồ Chẳng hạn, màu vàng tô cho M1 M4, màu đỏ tô cho M2 M6, màu xanh M6 M5 tô cho M3 M5 Tơ màu đồ thị: Hình 5.6 Mỗi đồ mặt phẳng biểu diễn đồ thị, miền đồ biểu diễn đỉnh, cạnh nối hai đỉnh, miền biểu diễn hai đỉnh kề Đồ thị nhận cách gọi đồ thị đối ngẫu đồ xét Rõ ràng đồ mặt phẳng có đồ thị đối ngẫu phẳng Bài tốn tô màu miền đồ tương đương với tốn tơ màu đỉnh đồ thị đối ngẫu cho khơng có hai đỉnh liền kề có màu, mà ta gọi tơ màu đỉnh đồ thị Số màu cần dùng để tô màu đồ thị G gọi sắc số đồ thị G ký hiệu χ(G) a b d f c e g h Hình 5.7 Ta thấy đỉnh b, d, g, e đôi kề nên phải tơ màu khác Do χ(G) ≥ Ngồi ra, dùng màu (χ(G) = 4) đánh số 1, 2, 3, để tô màu G sau: 4 Hình 5.8 - 68 - Các mệnh đề Mệnh đề Nếu đồ thị G chứa đồ thị đẳng cấu với đồ thị đầy đủ Kn χ(G) ≥ n Chứng minh Gọi H đồ thị G đẳng cấu với Kn χ(H) ≥ n Do χ(G) ≥ n Mệnh đề Nếu đơn đồ thị G khơng chứa chu trình độ dài lẻ χ(G) = Chứng minh Khơng tính chất tổng qt giả sử G liên thơng Cố định đỉnh u G tơ màu hai màu Với đỉnh v G, tồn đường từ u đến v, đường có độ dài chẵn tơ màu cho v, đường có độ dài lẻ tơ màu cho v Nếu có hai đường mang tính chẵn lẻ khác nối u với v dễ thấy G phải chứa chu trình độ dài lẻ Điều mâu thuẫn cho biết hai màu tô đồ thị G Mệnh đề Với số nguyên dương n, tồn đồ thị khơng chứa K3 có sắc số n Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề quy nạp theo n - Trường hợp n=1 hiển nhiên - Giả sử ta có đồ thị Gn với kn đỉnh, khơng chứa K3 có sắc số n Ta xây dựng đồ thị Gn+1 gồm n Gn thêm kn đỉnh theo cách sau: thứ tự (v1, v2, …, vn), với vi thuộc Gn thứ i, tương ứng với đỉnh mới, đỉnh nối n cạnh đến đỉnh v1, v2, …, Dễ thấy Gn+1 khơng chứa K3 có sắc số n+1 Định lý màu( Kempe-Heawood): Mọi đồ thị phẳng có sắc số ≤ Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh đồ thị Bước sở: Với n = 1, mệnh đề hiển nhiên Bước quy nạp: Giả sử đồ thị phẳng n đỉnh tô màu Xét đồ thị G có n+1 đỉnh Khơng tính tổng qt ta giả sử G đơn đồ thị Vì G phẳng nên tồn đỉnh X có deg(X) ≤ 5, xóa đỉnh X cạnh liên thuộc khỏi G ta thu đồ thị H có n đỉnh Theo giả thuyết quy nạp ta tơ màu H màu Có trường hợp xảy ra: - Trường hợp 1: Các đỉnh kề X tơ màu Ta tơ đỉnh X màu thứ - Trường hợp 2: Các đỉnh kề X tơ màu Khi X kề đỉnh A, B, C, D, E tô màu 1, 2, 3, 4, Xét tất đường G A qua đỉnh tô màu 1,3 Nếu đường qua C ta hốn đổi màu đỉnh đường sau: Đỉnh màu tô màu 3, đỉnh màu tơ màu Sau tơ đỉnh X màu Ngược lại giả sử tồn đường sơ cấp từ A đến C gồm toàn đỉnh màu Nối thêm cạnh CX XA, ta chu trình sơ cấp Hai đỉnh B D không nằm bên bên ngồi chu trình Như khơng tồn đường từ B đến D gồm đỉnh màu Lập luận tương tự trên, ta hốn đổi màu đỉnh đường xuất phát từ B gồm đỉnh màu sau: Đỉnh màu tô màu 4, đỉnh màu tô màu Sau tơ đỉnh X màu Cuối ta tô G màu Theo nguyên lý quy nạp, định lý chứng minh Định lý màu (Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng có sắc số ≤ Định lý (Brooks) Cho G đơn đồ thị n đỉnh có bậc đỉnh ≤ k (k>1) không chứa thành phần liên thông đồ thị đầy đủ k+1 đỉnh Kk+1 Khi χ(G) ≤ k - 69 - Thuật toán tham lam (greedy algorithm) Đầu vào: Đồ thị G = (V,E) Đầu ra: Số màu k đồ thị G với đỉnh tô Phương pháp: 1: Lập danh sách đỉnh đồ thi theo thứ tự giảm dần V’ = (v 1, v2, , vn) với deg(v1) ≥ deg(v2) ≥ … ≥ deg(vn) Đặt i :=1 2: Tô màu i cho đỉnh v danh sách V’ Duyệt đỉnh tô màu i cho đỉnh không kề đỉnh đượng tô màu i 3: Nếu tất đỉnh tô màu kết thúc: Đồ thị tơ màu i màu Ngược lại sang bước 4: Loại khỏi V’ đỉnh tô màu, đặt i := i+1, quay lại bước Những ứng dụng tốn tơ màu đồ thị: a Bài tốn điều khiển đèn hiệu nút giao thông Giả sử ta cần thiết lập quy trình điều khiển đèn hiệu nút giao thông phức tạp, nhiều giao lộ, cho khoảng thời gian ấn định, số tuyến thông qua, số tuyến khác bị cấm để tránh xảy đụng độ Vấn đề đặt phân hoạch tuyến đường thành số nhóm, cho tuyến nhóm khơng đụng độ Khi thời gian chờ đợi tối đa để thơng đường Giả sử nút giao thơng có n tuyến T1, T2, …,Tn Những tuyến giao dẫn đến đụng độ gọi tuyến xung khắc Như đèn hiệu phải báo cho tuyến xung khắc không đồng thời lưu thông cho phép lưu thông tuyến khơng xung khắc Ta mơ hình hóa tốn đồ thị đưa tốn tơ màu đồ thị sau: Các đỉnh đồ thị tuyến đường, hai tuyến kề chúng xung khắc Ta tô màu đỉnh đồ thị cho đỉnh kề không màu Ta coi màu đại diện cho pha điều khiển đèn báo: Các tuyến màu lưu thơng Như tốn ban đầu đưa tốn tơ màu đồ thị với số màu b Bài toán lập lịch Bài toán Hãy lập lịch thi trường đại học cho khơng có sinh viên có hai mơn thi lúc Có thể giải tốn lập lịch thi mơ hình đồ thị, với đỉnh mơn thi, có cạnh nối hai đỉnh có sinh viên phải thi hai môn biểu diễn hai đỉnh Thời gian thi môn biểu thị màu khác Như việc lập lịch thi tương ứng với việc tô màu đồ thị Chẳng hạn, có mơn thi cần xếp lịch Giả sử Đỏ môn học đuợc đánh số từ tới cặp Xanh môn thi sau có chung sinh viên: (1,2), (1,3), (1,4), Nâu (1,7), (2,3), (2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (5,6), (5,7), (6,7) Hình 5.9 biểu diễn đồ thị tương ứng Việc lập lịch thi việc tơ màu đồ thị Vì số màu đồ thị nên Xanh Vàng cần có đợt thi Các đỉnh màu thi đợt thi Vàng Nâu Hình 5.9 - 70 - Chương trình cài đặt tốn xếp lịch cho kết sau: Input: Xeplich.inp Out: Xeplich.out Bài tốn Trong phịng lập lịch có nhóm lập trình sau: 1- Hệ thống: A, B, C 3- Thương mại: B, D, E 2- Multimedia: A, F, G 4- Về mạng: C, F, A Các chữ tên thành viên, thành viên tham gia nhiều nhóm khác Hàng tháng nhóm họp lần để thảo luận dự án phân chia công việc, lập lịch họp cho nhóm để cho khơng họp trùng nhiều nhóm thời gian Như lịch cho nhóm có chung thành viên khơng thể họp thời điểm Gọi nhóm đỉnh đồ thị, nhóm chung thành viên tương ứng đỉnh kề nhau, ví dụ nhóm chung thành viên A đỉnh kề nhau, ta biểu diễn đồ thị hình 5.10 X Đ Đ V Hình 5.10 - 71 - Ta tô màu đồ thị với X: xanh; Đ:đỏ; V: vàng Từ đồ thị ta có lịch xếp họp sau: Đợt họp Tên nhóm I II 2, III Mỗi màu tương ứng cho đợt họp, nhóm tơ màu họp đợt c Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số tới số 12 phân chia cho đài truyền hình cho khơng có đài phát cách khơng q 240 km lại dùng kênh Có thể chia kênh truyền mơ hình tơ màu đồ thị Ta xây dựng đồ thị cách coi đài phát đỉnh Hai đỉnh nối với cạnh chúng cách không 240 km Việc phân chia kênh tương ứng với việc tơ màu đồ thị, màu biểu thị kênh d Các ghi số: Trong dịch hiệu cao việc thực vòng lặp tăng tốc biến dùng thường xuyên lưu tạm thời ghi số xử lý trung tâm (CPU) mà nhớ thông thường Với vòng lặp cho trước cần ghi số? Bài tốn giải mơ hình tơ màu đồ thị Để xây dựng mơ hình ta coi đỉnh đồ thị biến vịng lặp Giữa hai đỉnh có cạnh biến biểu thị đỉnh phải lưu ghi số thời điểm thực vòng lặp Như số màu đồ thị số ghi cần có ghi khác phân cho biến đỉnh biểu thị biến liền kề đồ thị - 72 - KẾT LUẬN Tin học công cụ đắc lực, lĩnh vực có nhiều ứng dụng phục vụ cho nhiều nghành khác đời sống xã hội Cho nên việc nghiên cứu vấn đề ứng dụng việc nghiên cứu ứng dụng giải máy tính Có nhiều tốn ứng dụng, mơ hình tốt đồ thị dễ dàng giải máy tính Lý thuyết đồ thị phận tốn rời rạc nên có tính chất rời rạc Cấu trúc q trình xử lý, lưu trữ thơng tin máy tính có tính chất rời rạc Tuy nhiên chúng lại có quan hệ với nhau, Lý thuyết đồ thị sở toán cho Tin học Đề tài thực làm sáng tỏ phần nội dung Đề tài chủ yếu tìm hiểu ứng dụng để giải toán tối ưu, toán lập lịch, vấn đề nhiều ứng dụng cho việc phân tích giải thuật, bảo mật thơng tin Sự mơ hình tốn tạo khả phân tích thuật tốn rõ nét hơn, nhờ kết nghiên cứu từ lại làm rõ chất thuật tốn, ví dụ thuật tốn mã hóa tiền tố Huffman, thuật tốn xếp tìm kiếm… Đối với việc cài đặt ứng dụng, đề tài cài đặt thuật tốn tìm đường đi, số ứng dụng cây, thuật tốn Ford Fulkerson tìm luồng cực đại, toán lập lịch… Nếu hết tất vấn đề đồ thị khối lượng kiến thức khổng lồ, vấn đề ứng dụng đồ thị nhiều đa dạng Tuy nhiên hạn chế trình độ, thời gian không nhiều nằm khuôn khổ luận văn nên kết đạt chưa đầy đủ có nhiều sai sót, nhiều vấn đề ứng dụng nêu chung chung, dừng lại mơ hình lý thuyết, số ứng dụng chưa có chứng minh số liệu hay chương trình cài đặt cụ thể Ứng dụng đồ thị thực tiễn quan trọng, việc nghiên cứu số toán đồ thị ứng dụng góp phần phát triển kỹ thuật tin học, đặt biệt khâu lập trình Cần có phương hướng nghiên cứu toàn diện sâu - 73 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Quốc Chiến: Giáo trình Lý thuyết đồ thị, Đại học Đà nẵng, 2002 [2] Trần Quốc Chiến: Giáo trình Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Đại học Đà nẵng, 2007 [3] Nguyễn Thanh Tuấn: Bài giảng Lý thuyết đồ thị, 2010 [4] Đỗ Đức Giáo: Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999 [5] Đỗ Đức Giáo:Cơ sở toán lập trình, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1998 [6] Nguyễn Đức Nghĩa – Nguyễn Tơ Thành: Tốn rời rạc, NXB Giáo dục, 1999 [7] Kenneth H.Rose: Discrete Mathematics And Its Applications Bản dịch tiếng Việt: Toán học rời rạc ứng dụng Tin học NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1998 Người dịch: Phạm Văn Thiều - Đặng Hữu Thịnh [8] Phan Đoàn Ngọc Phương: Bài giảng Cấu trúc liệu giải thuật, 2007 [9] Nguyễn Thúc Hải: Mạng máy tính hệ thống mở, NXB Giáo dục, 1997 [10] Vũ Đức Thi: Các thuật toán nén liệu [11] Narsingh Deo: Graph Theory with Applicatioins to Engineering and Computer Science [12] C Vasudev: Graph Theory with Applicatioins [13] Phan Thanh Long: Ứng dụng đồ thị tin học, 2000 [14] Hoàng Chúng: Đại cương toán học hữu hạn, NXB Giáo dục, 1997 [15] Smith Nguyen Ebooks: http://elib.dtu.edu.vn/file/Ebook/5509.pdf, 2011 [16] Trang web: vi.wikipedia.org, http://www.vn-zơm.com/f174/các-thuat-tốn-hay-và kho-1488669.html - 74 - ... MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ I CÁC ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ Định nghĩa đồ thị 2 Đồ thị vô hướng Đồ thị có hướng II MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐỒ THỊ Đồ. .. Bậc đồ thị vô hướng b Bậc đồ thị có hướng Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng Một số dạng đồ thị đặt biệt a Khái niệm b Một vài ứng dụng đồ thị. .. P7 IV BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ VÀ SỰ ĐẲNG CẤU Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng thực tế, mơ hình nhiều ứng dụng đồ thị sử dụng máy tính để giải tốn ứng dụng Nên việc biểu diễn lưu trữ đồ thị máy tính vấn